Propagazione in presenza di discontinuità: Riflessione e Rifrazione · Si può dimostrare che, per...

Va l e r i a Pe t r i n i , Ph .D. S tuden t DE IS /ARCES - Fondaz i one Ugo Bo rdon i

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Propagazione in presenza di discontinuità:

Riflessione e Rifrazione

Valeria Petrini - Propagazione M

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Università degli Studi di Bologna - DEIS

Introduzione

Una corretta caratterizzazione dei collegamenti radio non può prescindere dallo studio di alcuni fenomeni che possono influenzare la propagazione in spazio libero:

Presenza di ostacoli che si frappongono tra le antenne provocando una ostruzione alla libera propagazione del fronte d’onda

Atmosfera terrestre che può portare significative differenze dalla propagazione ideale, provocando un aumento di attenuazione soprattutto ad alte frequenze ma anche effetti di deviazione della direzione di propagazione

Ellissoide terrestre che è l’ostacolo più evidente sul quale poggiano le antenne. Le presenza del suolo genera una discontinuità tra dielettrici (atmosfera e terreno)

Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS

2

Propagazione in presenza di ostacoli


3

L’onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l’ambiente di propagazione reale prima di giungere al ricevitore; i fenomeni più importanti sono: 1. Riflessione

2. Rifrazione (Trasmissione)

3. Diffrazione

4. Diffusione (Scattering)

Obiettivo


4

Vogliamo studiare l’effetto di una discontinuità data da un piano di separazione tra mezzi omogenei.

Considereremo il caso di una superficie di separazione tra due semispazi omogenei: qui il segnale incidente verrà sia riflesso che trasmesso e vedremo come calcolare le parti riflesse e trasmesse.

A tale scopo applicheremo le condizioni di continuità sulla superficie di separazione tra mezzi

Ipotesi


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Per semplificare la trattazione di queste situazioni si ricorre al concetto di ONDA PIANA LOCALE:

Si ammette che ciascun raggio incidente abbia in tutti i punti un comportamento analogo a quello di un’onda piana TEM avente in tutto lo spazio le medesime condizioni di incidenza valide localmente per il raggio

Ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad un raggio riflesso e ad uno rifratto che dipendono dalle caratteristiche elettromagnetiche dell’oggetto in un intorno del punto di riflessione e dalle proprietà del campo incidente nel punto di riflessione

Definizione del problema


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Si considerino due semispazi costituiti da due mezzi normali, il primo di caratteristiche ε1, μ1 e σ1, il secondo con caratteristicheε2, μ2 e σ2

La superficie di separazione è data dal piano x=0

Si assume che il campo incidente sia dato da un’ onda piana uniforme con componenti del vettore di propagazione entrambe positive.

Si indichino il pedice “i” le grandezze, note, relative al campo incidente, coi pedici “r” e “t” le grandezze relative alle onde riflesse e trasmesse

Condizioni di continuità (1)


7

Le equazioni di Maxwell sono definite in volumi nei quali si assume che le proprietà del materiale siano descritte da funzioni continue ed infinitamente derivabili

E’ importante descrivere le condizioni a cui devono soddisfare i campi sulle superfici di discontinuità (presenza di discontinuità di prima specie), sulle quali non è possibile applicare le equazioni di Maxwell, perché in tali punti non è possibile calcolare la derivata



8

Facciamo riferimento alle equazioni di Maxwell scritte in forma integrale:

Le densità superficiali di carica e le correnti superficiali sono:



9

Consideriamo le componenti tangenti dei campi

Supponendo che nel volume ΔV esista una corrente con densità volumetrica costante e che il volume ΔV al quale sono applicate le equazioni di Maxwell sia abbastanza piccolo da avere i campi costanti sulle due superfici ΔS e Δn→0, le equazioni di continuità risultano:

€

ˆ n × E 1 − E 2( ) = −J mS

ˆ n × H 1 −H 2( ) = J S

Riflessione e rifrazione (1)


10

Consideriamo quindi un’onda piana uniforme incidente sul piano di separazione tra i due mezzi

vettore di propagazione vettore attenuazione vettore di fase vettore posizione

€

E i = E i0 ⋅ e−S i ⋅r

€

⇒ H i = H i0 ⋅ e−S i ⋅r =S i × E i0

jωµ1⋅ e−S i ⋅r

€

S = a + jk

€

S :

€

a :

€

k :

€

r :



11

I campi riflesso e trasmesso necessari per scrivere le condizioni di continuità sono:

Le incognite sono i coefficienti di ampiezza dei campi ed i vettori di propagazione. Per ottenere i loro valori si impongono le condizioni di continuità sul piano x=0 :

€

E r = E r0 ⋅ e−S r ⋅r ⇒ H r = H r0 ⋅ e−S r ⋅r =S r × E r0

jωµ1⋅ e−S r ⋅r

€

E r = E t0 ⋅ e−S t ⋅r ⇒ H t = H t0 ⋅ e−S t ⋅r =S t × E t0

jωµ2⋅ e−S t ⋅r



12

Affinché questa condizione sia verificata, i fattori esponenziali devono essere uguali tra loro:

Si ottengono quindi dei vincoli sulle componenti dei vettori di propagazione che devono valere sul piano di separazione tra i mezzi

€

H i0τ⋅ e−S i ⋅r + H r0

τ⋅ e−S r ⋅r = H t0

τ⋅ e−S t ⋅r

Onda riflessa (1)

Ricordando che per un’onda piana uniforme e che il mezzo 1 è senza perdite, l’ultima condizione impone:

Da cui risulta:

Si può dimostrare che, per la prima relazione solo la soluzione è compatibile con il problema

⇒ anche l’onda riflessa è un’onda piana uniforme come l’onda incidente


13

€

a = 0

€

S i ⋅ r = S r ⋅ r ⇒ jk i ⋅ r = a r + jk r( )⋅ r

€

a r ⋅ r = 0kr ⋅ r = k i ⋅ r

⎧ ⎨ ⎩

€

ar = 0

Onda riflessa (2)

Essendo:

Dalla seconda relazione segue:

E’ possibile dimostrare che l’onda piana riflessa è sempre dello stesso tipo di quelle incidente, qualunque sia il mezzo da cui proviene (con o senza perdite)


14

€

kr = ki =ω µ1ε1

Onda trasmessa(1)

Per quanto riguarda l’onda trasmessa dal mezzo 1 al mezzo 2 abbiamo:

Essendo i mezzi in cui si propagano le due onde, differenti, l’onda trasmessa può quindi essere indifferentemente uniforme o evanescente ma deve comunque rispettare la continuità delle componenti tangenti del vettore di propagazione:


15

€

a t ⋅ r = 0k t ⋅ r = k i ⋅ r

⎧ ⎨ ⎩

€

k i sinθ i = k t sinθ t ⇒ sinθ t =k ik tsinθ i

Onda trasmessa(2)

Consideriamo il secondo mezzo senza perdite

Caso 1: onda trasmessa piana uniforme

Questa relazione è valida sempre, qualunque siano le caratteristiche, dielettriche e magnetiche, dei mezzi

Per materiali dielettrici in cui e con (i=1,2)risulta:

Legge di Snell


16

€

(at = 0)

€

µi = µ0

€

ε i = ε0εri = ε0 ni

€

n1 sinθ i = n2 sinθ t

Onda trasmessa(3)

Caso 2: onda trasmessa piana evanescente

Il passaggio dalla situazione in cui l’onda trasmessa è piana uniforme a quella in cui è piana evanescente si ha per quel particolare valore dell’angolo di incidenza, detto angolo critico (indicato con ϑc) per cui vale:

Oltre l’angolo critico l’onda trasmessa è quindi evanescente:

Per poter parlare di angolo critico deve essere n1>n2


17

€

ϑc = arcsin n2n1

Onda trasmessa(4)

Dall’espressione della componente lungo x del vettore di propagazione, si ha propagazione nella direzione di z ma attenuazione nella direzione x nonostante il mezzo sia senza perdite e quindi l’onda è evanescente

Poiché la potenza attiva si attenua per x crescente, essa rimane sostanzialmente confinata nel semispazio inferiore. Si parla quindi di riflessione totale del campo


18

€

cosθ t = ± 1− sin2θ t = ± j sin2θ t −1 = − j 1n2

n12 sin2θ i − n2

2 ⇒

⇒ kxt = k0n2 cosθ t = − jk0 n12 sin2θ i − n2

2

Formule di Fresnel (1)

Si sono trovate le relazioni tra i vettori di propagazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa ma non le relazioni tra le ampiezze dei campi

Per fare ciò si sfrutta la linearità delle equazioni di Maxwell e si scompone il problema in due parti indipendenti più semplici da analizzare

Ruotando il sistema di riferimento in modo tale che non ci siano variazioni lungo y, il piano x-z è assunto come piano di incidenza

Le equazioni di continuità sono divise in due gruppi indipendenti, quelle per cui l’unica componente di campo elettrico è parallela a y (TE) e quelle per cui tale relazione è valida per il campo magnetico (TM)


19


Campo TE:

Campo TM:


20

€

E = Ei0ye− j k i ⋅r ˆ y

H = 1η1

ˆ k i × E = − 1η1

Ei0ye− j k i ⋅r ˆ ξ

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

H = Hi0ye− j k i ⋅r ˆ y

E =η1H × ˆ k i =η1Hi0ye− j k i ⋅r ˆ ξ

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪


La direzione di propagazione è la stessa per i campi TE e TM, cioè quella del vettore di propagazione ; quello che cambia sono le caratteristiche della propagazione nella direzione ortogonale alla superficie di separazione

E’ possibile ora calcolare i coefficienti di riflessione e trasmissione nei due casi


21

€

ki

Caso TE (1)

Imponendo le condizioni di continuità si ha:

I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono:


22

€

ρTE =Ery

Eiy

=η2 cosθ i −η1 cosθ tη2 cosθ i +η1 cosθ t

=n1 cosθ i − n2 cosθ t

n1 cosθ i + n2 cosθ t

τTE =Ety

Eiy

=2η2 cosθ i

η2 cosθ i +η1 cosθ t=

2n1 cosθ i


Caso TE (2)

Applicando la legge di Snell:

Introducendo l’angolo di elevazione :


23

€

sinθ t =n1n2sinθ i ⇒ cosθ t = 1− n1

n2sinθ i

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

=n1n2

n2n1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

− sin2θ i

€

⇒ ρTE =

cosθ i −n2n1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

− sin2θ i

cosθ i +n2n1⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

− sin2θ i

Caso TE (3)

Il coefficiente di riflessione per il caso TE risulta:

Il coefficiente di trasmissione per il caso TE risulta:


24

€

ρTE =

senθ − n2n1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

− cos2θ

senθ +n2n1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

− cos2θ

€

τTE =2sinθ

sinθ +n2n1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

− cos2θ

Caso TE (4)

Riprendendo il concetto di riflessione totale per cui:

Nel caso di mezzi dielettrici si può scrivere:


25

€

cosθ t = − j 1n2

n12 sin2θ i − n2

2

€

ρTE =n1 cosϑ i − n2 cosϑ t

n1 cosϑ i + n2 cosϑ t

=n1 cosϑi + j n1

2 sin2ϑi − n22

n1 cosϑi − j n12 sin2ϑi − n2

2=A + jBA − jB

= ej2arctg

BA⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

⇒

ρTE =1

arg ρTE( ) = 2arctgn12 sin2ϑ i − n2

2

n1 cosϑ i

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

Caso TM (1)

Imponendo nuovamente le condizioni di continuità:

Da cui si ricavano:


26

€

Eiz + Erz = Etz

Hiy +Hry = Hty

⎧ ⎨ ⎩

⇒Hiyη1 cosθ i −Hryη1 cosθ r = Htyη2 cosθ t

Hiy +Hry = Hty

⎧ ⎨ ⎩

€

ρTM =Hry

Hiy

=η1 cosθ i −η2 cosθ tη1 cosθ i +η2 cosθ t

=n2 cosθ i − n1 cosθ t


τTM =Hty

Hiy

=2η1 cosθ i

η1 cosθ i +η2 cosθ t=

2n2 cosθ i


Caso TM (2)

Nel caso di onda incidente di tipo TM, si può verificare il fenomeno della rifrazione totale:

Ricordando la legge di Snell:

Uguagliando gli argomenti dei coseni si ottiene l’angolo di Brewster:


27

€

ρTM = 0

€

n1 sinθ i = n2 sinθ t

€

⇒n2n1

=cosθ t

cosθ i

=sinθ isinθ t

=cos(π /2 −θ i)cos(π /2 −θ t )

Considerazioni

Ponendo n = n2/n1 i coeffiecienti per i casi TE e TM risultano:


28

€

ρTE =cosθ i − n2 − sin2θ icosθ i + n2 − sin2θ i

ρTM =n2 cosθ i − n2 − sin2θ i

n2 cosθ i + n2 − sin2θ i

Riepilogo

Imponendo le condizioni di continuità all’interfaccia tra i due mezzi, si ha: 1. Legge di Snell della riflessione: onda riflessa dello stesso tipo

di quella incidente e

2. Legge di Snell della rifrazione:

Onda rifratta uniforme: Onda rifratta evanescente:

3. Leggi di Fresnel:

Onda TE: Onda TM:


29

€

Er = ρTEEi Et = τTEEi

€

Hr = ρTM Hi Ht = τTM Hi

Riflessione e rifrazione: caso ideale


30

Onda diretta, rifletta e rifratta piana uniforme ⇒ immediata rappresentazione a raggi della propagazione Raggio riflesso

L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto di riflessione è:

Raggio trasmesso Analogamente per il raggio trasmesso risulta:

€

E r s( ) =

E r

TE s( ) + E r

TM s( ) =ρTE 00 ρTM

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⋅

E i

TE PR( ) E i

TM PR( )⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ⋅ e− jβs

Riflessione e rifrazione: caso reale

I risultati ottenuti nel caso del piano ideale restano validi in situazioni realistiche più generali purchè le superfici d’onda e di interfaccia siano localmente piane

⇒ Le grandezze in gioco nel sistema (ed in particolare i raggi di curvatura) >>λ

L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto di riflessione diviene pertanto:


31

€

E r(s) = E rTE (s) + E r

TM (s) =ρTE 00 ρTM

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⋅

E iTE (PR )

E iTM (PR )

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⋅

r1r ⋅ r2

r

r1r + s( ) r2

r + s( )⋅ e− jβs

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