Cosa succede quando un’onda incontra un mezzo diverso?

Riflessione e rifrazione delle onde

In generale, quando un’onda incontra una superficie che divide due mezzi diversi abbiamo

➔ Riflessione: un onda (onda riflessa) torna indietro nello stesso mezzo da dove veniva

➔ Rifrazione: un’onda (onda rifratta o trasmessa) si propaga nel secondo mezzo

Studieremo le proprietà dell’onda riflessa e trasmessa, in funzione dell’onda incidente. In particolare vedremo la direzione, l’ampiezza e l’intensità delle due onde che si producono.

Studieremo soprattutto la riflessione e la rifrazione delle onde elettromagnetiche ma vedremo anche qualche caso relativo alle onde meccaniche, per cui si può fare un discorso analogo.

Data una sorgente puntiforme nel punto O, contenuta in una superficie Σ, in un generico punto Q di tale superficie, il campo vale

Data una qualsiasi sorgente di onde e.m., il campo da essa prodotto nello spazio può essere calcolato se conosciamo il campo e la sua derivata normale su una superficie che racchiude le nostre sorgenti.

Teorema matematico fondamentale che riguarda le soluzioni di un equazione differenziale alle derivate parziali di secondo grado (eq. di d’Alambert)

La superficie Σ è poi fatta da ostacoli opachi alla radiazione e zone aperte (buchi, fenditure, etc …). L’ipotesi di Kirchoff è che il campo e la sua derivata siano nulli sugli ostacoli e nelle zone aperte valgono quello che varrebbero in assenza degli ostacoli.

Teorema di Kirchoff e principio di Huygens-Fresnel

Nel punto P, distante r da O e s dq Q, il teorema di Kirchoff fornisce la seguente espressione del campo

dΣ è la superficie elementare intorno al punto Q mentre θ0 e θ sono rispettivamente gli angoli formati dai segmenti OQ e QP con la normale alla superficie

Teorema di Kirchoff e principio di Huygens-Fresnel

Consideriamo ora, sempre una sorgente puntiforme e la superficie Σ sia una sfera centrata in O (θ0=0). Abbiamo allora

Consideriamo ora il campo totale come la somma (integrale) di tutti i campi elementari relativi alle superfici dΣ dove stiamo integrando. Possiamo allora affermare che

è il campo prodotto da una superficie dΣ nel punto P.Possiamo allora riassumere tale risultato nel modo seguente (teorema di Kirchoff)

Ogni elemento dΣ di una superficie (fronte) d’onda Σ si può considerare formalmente come una sorgente di onde secondarie sferiche la cui ampiezza, proporzionale all’ampiezza dell’onda primaria e all’area dΣ, varia con l’angolo secondo la funzione f(θ)), detto fattore geometrico. La perturbazione in un punto P si può sempre ottenere come sovrapposizione di tutte le onde sferiche elementari che raggiungono P.

Il teorema di Kirchoff rappresenta una versione avanzata (semi quantitativa) di un principio postulato molto tempo prima da Huygens e Fresnel, il quale afferma:

Ogni punto di un fronte d’onda è sorgente di un’onda sferica secondaria. Dato il fronte d’onda al tempo t, il fronte d’onda al tempo t+Δt si può trovare costruendo l’inviluppo di tutte le onde sferiche secondarie, emesse al tempo t e Δt si può trovare costruendo l’inviluppo di tutte le onde sferiche secondarie, emesse al tempo t e t si può trovare costruendo l’inviluppo di tutte le onde sferiche secondarie, emesse al tempo t e propagatesi per un tempo Δt si può trovare costruendo l’inviluppo di tutte le onde sferiche secondarie, emesse al tempo t e t

diagramma polare di f(θ)

Il teorema di Kirchoff e il principio di Huygens-Fresnel rappresentano uno strumento fondamentale per studiare i fenomeni di interferenza e diffrazione tipici della natura ondulatoria della luce (ottica fisica)

Il principio di Huygens Fresnel, afferma che ogni punto di un fronte d’onda puo essere considerato una sorgente di onde sferiche (onde secondarie). L’inviluppo di tali onde sferiche ad un determinato istante costituisce il fronte d’onda “evoluto” dell’onda madre di cui faceva parte il fronte da cui originano le onde secondarie.

onda piana onda sferica diffrazione da una singola fenditura

Teorema di Kirchoff e principio di Huygens-Fresnel

Quando un’onda passa da un mezzo ad un altro, cambia la velocità dell’onda.

Sa cambia la velocità deve cambiare o la lunghezza d’onda o la frequenza della luce, λν = v. D’altra parte la frequenza non può cambiare essendo legata alla sorgente dell’onda → Cambia la lunghezza d’onda λ, e k = 2π/λπ/λ

λ proporzionale a v k inv. proporzionale a v

In termini dell’indice di rifrazione,

Vediamo qual’è la direzione dell’onda riflessa e rifratta. A tal fine consideriamo un’onda incidente che sia un’onda armonica piana

Quando un’onda, sia essa armonica o impulsiva, passa da un mezzo ad un altro (con velocità diverse), le proprietà temporali rimangono invariate (legate alle sorgenti) e cambia la forma spaziale (lunghezza d’onda)

onda incidente onda riflessa onda trasmessa

Sulla superficie di separazione le fasi delle tre onde devono coincidere ad ogni istante. Questo impone che la frequenza delle onde riflessa e trasmessa siano uguali alla frequenza dell’onda incidente e inoltre

Senza perdere di generalità, mettiamoci nel caso in cui il piano d’incidenza sia il piano yz e il piano di separazione sia il piano xy

Leggi della riflessione e della rifrazione

Consideriamo un’onda armonica piana e.m. che incide su una superficie che separa due mezzi diversi

Leggi della riflessione e della rifrazioneLeggi della riflessione e della rifrazione

La componente parallela del campo elettrico deve conservarsi sulla superficie di separazione tra i due mezzi (Σ). Nel mezzo 1 ho E

i+E

r, nel mezzo 2π/λ ho E

t

Senza perdere di generalità, mettiamoci nel caso in cui il piano d’incidenza sia il piano yz e il piano di separazione sia il piano xy

onda incidente

onda riflessa

onda trasmessa

La prima relazione ci dice che l’onda riflessa e l’onda trasmessa sono anche loro nel piano di incidenza (1a legge)

2π/λa legge

Leggi della riflessione e della rifrazione, legge di Snell

Scriviamo la seconda equazione esplicitando i vettori d’onda k

mezzo 1

mezzo 2π/λ

3a legge

La terza legge può essere scritta in termini dell’indice di rifrazione n

Legge di Snell

Legge di Snell e riflessione totale interna

Consideriamo la legge di Snell

Se un’onda luminosa passa da un mezzo 1 a un mezzo 2π/λ con n1 < n

2π/λ, c’è sempre un’onda trasmessa

Se invece l’onda passa da un mezzo 1 a un mezzo 2π/λ con n1 > n

2π/λ

In queste condizioni (n1 > n

2π/λ), perché esista un’onda trasmessa, e dunque un θ2π/λ valido, l’angolo di incidenza deve essere minore

di un certo angolo limite θ*=sin-1(n2π/λ/n

1).

Il fenomeno prende il nome di riflessione totale interna l’angolo limite è l’angolo di riflessione totale

Il fenomeno è delle importanti applicazioni nel trasporto della luce nelle fibre ottiche (vedi esercizi)

mezzo 1

mezzo 2π/λ

Se passo da un mezzo 1 ad un mezzo 2π/λ con n1>n2π/λ

posso avere solo riflessione se

fibra ottica

Esempio

Un sottile fascio di luce monocromatica di lunghezza d’onda λ0=589 nm incide con un angolo θ

i = 30° su una lastra di

vetro spessa h=2π/λ cm e con indice di rifrazione n= 1.66 alla lunghezza d’onda λ0. Determinare la posizione del fascio di

luce all’uscita dalla lastra. Discutere il caso di luce bianca.

A partire dall’angolo di incidenza θ1, troviamo langolo di trasmissione dentro la lastra θ

2π/λ e dunque l’angolo

con cui esce il fascio θ3.

L’angolo di uscita è esattamente lo stesso dell’angolo di entrata. La lastra non altera la direzione del fascio luminoso ma provoca solo uno spostamento laterale d.

Calcoliamo tale spostamento

A

B

D’altra parte

Se la luce non è monocromatica (contiene tutti i colori), poiché l’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda, abbiamo il fenomeno della dispersione. In particolare, ogni lunghezza d’onda esce parallela al fascio originale ma in un punto diverso. Dunque il fascio acquista una sua larghezza con colori diversi, tutti paralleli, ma in posizione diversa.

Legge di Snell e principio di Huygens

La 2π/λa legge della riflessione così come la legge di Snell si possono dedurre a applicando il principio di Huygens ad un’onda piana che incontra una superficie di separazione tra due mezzi diversi

Consideriamo una porzione di onda piana, quella compresa tra i raggi 1 e 2π/λ. Il primo raggio che incontra la superficie è il raggio 1 nel punto A al tempo t.

All’istante t dunque il punto A inizia ad emettere un’onda sferica, sia nel mezzo 2π/λ, velocità v

2π/λ, sia nel mezzo 1, a

velocità v1.

Successivamente, uno dopo l’altro, arrivano altri raggi della mia onda, che impattano la superficie in punti compresi tra A e C e questi punti sono, uno dopo l’altro, andando da A verso C, sorgenti di onde sferiche secondarie, finché, al tempo t+Δt, arriva il raggio 2π/λ nel punto C.

12π/λ

L’onda trasmessa (così come l’onda riflessa) può essere costruita facendo la convoluzione delle varie onde sferiche secondarie emesse dai punti della superficie di separazione. Δt è l’intervallo di tempo tra la partenza della prima onda sferica in A e la partenza dell’ultima onda sferica in C.

D’altra parte possiamo scrivere anche

Uguagliando, troviamo

Intensità dell’onda riflessa e trasmessa, formule di Fresnel

Vogliamo ora calcolare l’ampiezza e l’intensità dell’onda riflessa e trasmessa. A tal fine scriviamo le condizioni di continuità dei campi sulla superficie di separazione dei due mezzi

Consideriamo allora il campo elettrico e scomponiamolo in due componenti: una sul piano di incidenza (π), normale alla direzione dell’onda e l’altra nella direzione normale al piano di incidenza (uscente dal foglio, componente σ)

Componente parallelaContinuità del campo E e H

Componente normaleContinuità del campo D e B

Cominciamo col dimostrare che se il campo elettrico dell’onda incidente è sul piano di incidenza (componente π) anche il campo dell’onda riflessa e dell’onda trasmessa saranno sul piano π.

Consideriamo allora il campo elettrico e scomponiamolo in due componenti: una sul piano di incidenza (π), normale alla direzione dell’onda e l’altra nella direzione normale al piano di incidenza (uscente dal foglio, componente σ)

Supponiamo per assurdo che il campo elettrico dell’onda riflessa abbia una componente normale al piano d’incidenza. L’onda riflessa avrebbe allora una componente non nulla nel piano π (diciamo B*, perpendicolare alla direzione dell’onda riflessa).

D’altra parte, trascurando le proprietà magnetiche dei due mezzi (μ1=μ

2π/λ=μ

0), il campo magnetico

si deve conservare passando dal mezzo 1 al mezzo 2π/λ

Considerando le componenti sul piano π, questo implica, essendo nulla la componente del campo B incidente, che il campo B trasmesso abbia la stessa componente del campo B riflesso. Ma questo non è possibile perché tale componente non sarebbe perpendicolare alla direzione dell’onda trasmessa.

Le due componenti, π e σ, sono dunque indipendenti e vanno studiate separatamente

Ampiezza dell’onda riflessa e trasmessa sul piano π

Consideriamo, per iniziare, il piano di incidenza, direzione π, e scriviamo la continuità della componente parallela del campo E e la continuità della componente normale del campo D

Nello scrivere tali relazioni (in particolare i segni) abbiamo preso come riferimento della componente π del campo quella indicata nella figura, cioè ottenuta ruotando il vettore k, sul piano π, di 90° in senso antiorario. Abbiamo due equazioni e due incognite, le ampiezze dei campi riflesso e trasmesso

Componente parallela di E Componente normale di D

Dividiamo per Ei0π

e introduciamo i coefficienti di Fresnel rπ e t

π, rapporto dell’ampiezza riflessa e trasmessa rispetto a quella

incidente, e usiamo le relazioni

Troviamo facilmente

Formule di Fresnel nel piano π

Intensità e potenza dell’onda riflessa e trasmessa sul piano π

Sempre per la direzione π, troviamo l’intensità delle onde riflesse e trasmesse

Coefficienti di riflessione e trasmissione nel piano π

e per la potenza vale

Se Σ sono le sezioni dei fasci incidente, riflesso e trasmesso (porzioni di onda piana) vale

dove Σ0 è l’area intercettata dal fascio sulla superficie di separazione.

Calcoliamo allora la frazione di potenza incidente che viene riflessa e la frazione di potenza che viene trasmessa

Esprimendo tutto nei soli angoli di incidenza e trasmissione abbiamo

Dovendosi conservare l’energia, vale

Ampiezza dell’onda riflessa e trasmessa nella direzione σ

Consideriamo ora la componente del campo elettrico normale al piano di incidenza, direzione σ. Per questo consideriamo le relazioni di continuità dei campi H e B sul piano π, in particolare la continuità della componente parallela del campo H e la continuità della componente normale del campo B

Nello scrivere tali relazioni (in particolare i segni) abbiamo preso come riferimento della componente π del campo B quella indicata nella figura, cioè ottenuta ruotando il vettore k, sul piano π, di 90° in senso orario. Questa corrisponde ad un campo elettrico uscente dal foglio per tutte e tre le onde. Come prima, abbiamo due equazioni e due incognite, le ampiezze dei campi riflesso e trasmesso

Componente parallela di H Componente normale di D

Dividiamo per Ei0σ

e introduciamo i coefficienti di Fresnel rσ e t

σ, rapporto dell’ampiezza riflessa e trasmessa rispetto a quella

incidente, e usiamo le relazioni

Troviamo facilmente

Formule di Fresnel nella direzione σ

Trascuriamo le proprietà magnetiche del mezzo (μ1=μ

2π/λ=μ

0) e passiamo all’ampiezza del campo elettrico, E = vB

Intensità e potenza dell’onda riflessa e trasmessa nella direzione σ

Procedendo come fatto per la componente π, troviamo l’intensità delle onde riflesse e trasmesse

Coefficienti di riflessione e trasmissione nella direzione σ

E anche in questo caso si può verificare che vale

Coefficienti di riflessione R e trasmissione T nei due piani

In generale, a meno di non andare a grandi angoli di incidenza, incidenza radente, la potenza trasmessa è molto maggiore della potenza riflessa. Pensiamo ad esempio al vetro. La quantità di luce che viene riflessa è molto piccola.

Vale inoltre che

Tra i quattro coefficienti il solo Rπ è l’unico che può annullarsi e lo fa per un angolo di incidenza particolare che prende il

nome di angolo di Brewster θB

Considerazioni sulla direzione del campo riflesso e trasmesso

E’ interessante studiare il segno dei coefficienti di Fresnel

Nel caso dell’onda trasmessa

Il campo dell’onda trasmessa ha sempre il verso rappresentato nella figura e dunque ha sempre lo stesso verso del campo incidente

Nel caso dell’onda riflessa, campo dell’onda riflessa ha il segno come segue

θi < θB θi > θB

n1 < n2π/λ + -

n1 > n2π/λ - +

n1 < n2π/λ -

n1 > n2π/λ +

I versi di riferimento del campo E per l’onda riflessa e per l’onda rifratta sono quelli delle figure, nel piano π (sopra) e per la direzione σ (sotto).

Per θi < θ

B (per esempio incidenza normale, θ

i=0) r

π si comporta esattamente come r

σ e cioè ha il

verso opposto al campo incidente.

Quando θi > θ

B, cambia verso la componente σ mentre la componente π ha la direzione e il verso

del campo illustrato nella figura. Non ha molto senso, in tale caso, confrontare il verso del campo riflesso con quello incidente perché i due vettori hanno direzioni completamente diverse

Incidenza normale

Studiamo ora cosa succede se l’onda incide in modo normale alla superficie di separazione dei due mezzi. Va innanzitutto osservato che in questo caso il piano di incidenza perde di significato.

I campi dell’onda incidente, riflessa e trasmessa sono tutti paralleli tra di loro e paralleli alla superficie di separazione.

Imponiamo la continuità del campo

Incidenza normale

Li scriviamo tutti con il segno +. Il verso di riferimento di tutti i campi E è lo stesso e diciamo l’asse orizzontale da sx a dx.

direzione e verso di riferimento

Imponiamo anche la conservazione dell’energia

Introducendo anche in questo caso le ampiezze relative dei campi riflesso e trasmesso rispetto al campo incidente, possiamo facilmente trovare

Si può subito osservare che alle stesse espressioni si potrebbe arrivare partendo dai coefficienti di Fresnel per le componenti π e σ e facendo il limite per l’angolo di incidenza che tende a zero, come deve essere. Valgono infatti i limiti

Il campo dell’onda trasmessa ha sempre lo stesso verso del campo incidente infatti t > 0 sempre

Come avevamo già osservato analizzando la riflessione delle componenti π e σ

verso opposto al campo incidente

stesso verso del campo incidente

Per il campo magnetico si può vedere che vale esattamente il contrario

Incidenza normale

Del cambio di segno, quando la luce incontra un mezzo più rifrangente (n2π/λ>n

1) si può tenere conto ponendo una fase aggiuntiva

di π nell’espressione dell’onda armonica riflessa.

Calcoliamo anche nel caso di incidenza normale la potenza riflessa e la potenza trasmessa

E’ notevole osservare che R e T sono invarianti per lo scambio

Intensità riflessa e rifratta, caso generale

Cosa succede all’intensità (e alla potenza) di un’onda e.m. generica, il cui campo non è necessariamente sul piano π o nella direzione σ ?

Scomponiamo il campo nelle due componenti

Come prima possiamo scrivere

D’altra parte possiamo scrivere

per cui possiamo riscrivere R e T nel modo

Una formula simile si trova per il coefficiente di trasmissione T, tranne che abbiamo il fattore ulteriore n2π/λ·cosθ

t/n

1·cosθ

i. Mettendo

insieme abbiamo

Il coefficienti di riflessione e trasmissione sono una media dei coefficienti π e σ, pesati con le intensità relative.

In generale, la cosa più semplice per calcolare la potenza (e l’intensità) riflessa e trasmessa, quando si hanno una o più superfici di separazione tra mezzi è trattare separatamente le due componenti π e σ. Lo possiamo fare perché, come abbiamo visto in precedenza, le due componenti sono completamente indipendenti. La potenza totale sarà la somma delle potenze sulle due componenti.

Intensità e polarizzazione dell’onda riflessa e trasmessa

Consideriamo il caso di un’onda polarizzata linearmente e sia β l’angolo formato dalla direzione del campo con il piano di incidenza

e dunque

Si vede facilmente che l’onda riflessa e trasmessa sono anch’esse polarizzate linearmente ma con un angolo diverso rispetto al piano di incidenza

Un’onda con polarizzazione ellittica produce un’onda riflessa e trasmessa anch’esse con polarizzazione ellittica, ma con semiassi un po’ diversi rispetto all’onda incidente.

Per questo motivo, se l’onda incidente ha una polarizzazione circolare, l’onda riflessa e trasmessa avranno una polarizzazione ellittica dal momento che le due componenti cambieranno in modo diverso.

Nel caso di polarizzazione circolare

Intensità e polarizzazione dell’onda riflessa e trasmessa

Per un’onda con polarizzazione casuale (non polarizzata), possiamo dire che l’intensità sul piano π e nella direzione σ saranno uguali dal momento che non ci sono direzioni privilegiate. Vale anche in questo caso

L’onda riflessa e l’onda trasmessa continueranno a non avere una polarizzazione definita (lo sfasamento tra le due componenti del campo sarà sempre casuale e rapidamente variabile nel tempo).

Tuttavia essendo

soprattutto ad angoli vicini all’angolo di Brewster, domina, nell’onda riflessa, la componente del campo normale al piano di incidenza (componente σ)

Allo stesso modo definiamo il grado di polarizzazione dell’onda trasmessa.

Si definisce il grado di polarizzazione dell’onda riflessa come

Angolo di Brewster e polarizzazione per riflessione

Un solo coefficiente di Fresnel può annullarsi nell’intervallo 0 – π/2π/λ e questo è rπ

L’angolo d’incidenza per cui si verifica tale condizione si chiama angolo di Brewster e per esso vale

D’altra parte applichiamo la legge di Snell

L’angolo di Brewster esiste per qualsiasi coppia di indici di rifrazione n1 e n

2π/λ

La misura dell’angolo di Brewster può essere usato per misurare il rapporto n1/n

2

Si può usare tale fenomeno per produrre luce polarizzata, in questo caso luce polarizzata in modo lineare nella direzione perpendicolare al piano di incidenza (direzione σ)

Una ragione fisica del fenomeno può essere trovata pensando che la radiazione riflessa è prodotta dall’oscillazione degli atomi nel mezzo su cui l’onda si trasmette. Assumiamo che il campo incidente sia nel piano di incidenza (π) → anche il campo dell’onda trasmessa nel mezzo è nel piano π a 90° rispetto alla direzione dell’onda. Dobbiamo allora pensare a tanti dipoli (atomi) che oscillano lungo tale direzione, ma tale direzione sarebbe proprio la direzione dell’onda riflessa e un dipolo non emette lungo la direzione di oscillazione. Ne segue che in questo caso non c’è onda riflessa.

Evidentemente tale ragionamento non vale se il campo incidente ha anche una componente σ.

Riflessioni multiple (esempio 14.4)Un sottile fascio di luce ordinaria di potenza W

0 incide con un angolo θ

i = 30° su una lastra di vetro a facce

piane e parallele di spessore h, avente indice di rifrazione n=1.66; il mezzo esterno è l’aria. Calcolare la potenza dei vari raggi riflessi e trasmessi ed estendere il risultato al caso in cui ci sia assorbimento.

Ad ogni superficie incontrata dal raggio abbiamo un raggio trasmesso ed un raggio riflesso, per cui complessivamente si formano un numero infinito di raggi riflessi e trasmessi. La potenza totale riflessa e trasmessa si otterrà sommando tutti i contributi.

La luce non è polarizzata dunque la potenza iniziale è divisa a metà tra le due componente π e σ. Conviene poi analizzare le due componenti separatamente e poi sommare le potenza finali.

Procediamo con il calcolo dell’angolo di trasmissione e dei coefficienti di riflessione e rifrazione

Consideriamo i vari raggi riflessi (sinistra) e trasmessi. Per questi dobbiamo calcolare separatamente la componente π e quella σ. D’altra parte la calcolo per le due componenti è lo stesso, dunque consideriamo il generico coefficiente R (e T).

primo raggio riflesso

secondo raggio riflesso

terzo raggio riflesso

quarto raggio riflesso

primo raggio trasmesso

secondo raggio trasmesso

terzo raggio trasmesso

quarto raggio trasmesso

Riflessioni multiple (esempio 14.4)

La potenza totale si ottiene sommando le due componenti π e σ.

Queste sono le frazioni di potenza riflessa e trasmessa.

Da notare che la somma è 1, come deve essere. Questo era vero anche per i coefficienti delle singole componenti e possiamo dimostrarlo a partire dalle espressioni trovate per i coefficienti

Se abbiamo anche l’assorbimento, ad ogni singolo passaggio della luce nella lastra bisogna moltiplicare la potenza per un fattore di attenuazione. Sia h=10 cm e i

ass=1 m

Le somme di prima diventano

Anche in questo caso dobbiamo passare per i coefficienti delle due componenti π e σ

In questo caso, evidentemente, la somma dei coefficienti non è 1 e possiamo calcolare la parte di energia assorbita dalla lastra come

Abbiamo studiato un esempio di riflessioni multiple che si riduce alla somma di una serie. Se invece ci si dice di trascurare le riflessioni multiple, allora dobbiamo considerare non più di una riflessione (ma magari più di una trasmissione, T>>R) dunque scartare tutti i termini con R2π/λ (R<<1). Considerando solo una riflessione

per l’onda riflessa la differenza è 3·10-4

per l’onda trasmessa 4·10-3

Riflessione e trasmissione di onde elastiche

Vogliamo ora studiare cosa succede ad un’onda elastica quando, nel suo cammino, incontra una discontinuità.

Consideriamo a tale scopo l’onda su una corda tesa, il caso della sbarra solida è del tutto simile. La discontinuità per una corda tesa significa che ad un certo punto la corda cambia proprietà, in particolare cambierà la sua densità lineare di massa

Come esempio, prendiamo un’onda impulsiva, che si propaga da sinistra verso destra lungo l’asse x, ed in particolare prendiamo un impulso di forma gaussiana

Nello scrivere tale onda impulsiva abbiamo dovuto introdurre il nuovo parametro τ, che descrive la durata dell’impulso. In questo caso Δt = 2π/λτ è l’intervallo di tempo in cui la perturbazione è maggiore o uguale di ξ

0i/e. L’altro parametro è evidentemente la

velocità dell’onda v. L’onda incidente e l’onda riflessa hanno velocità v1, l’onda trasmessa v

2π/λ

Va infine osservato che si potrebbe introdurre anche un parametro legato alla larghezza spaziale dell’impulso, considerando l’onda ad un istante fissato nella sua estensione spaziale. Tale larghezza, diciamo 2π/λδ, vale 2π/λδ=vΔt. Va tuttavia sottolineato che, come già visto per le onde armoniche, i parametri legati all’evoluzione temporale dell’onda non dipendono dal mezzo in cui l’onda si propaga mentre quelli spaziali si. Per questo abbiamo scritto l’impulso come sopra e non

Scriviamo dunque l’impulso riflesso e l’impulso trasmesso.

Per semplicità, e senza perdere di generalità, mettiamo l’origine dell’asse x nel punto di giunzione delle due corde. A destra della giunzione l’onda è ξ

1=ξ

i+ξ

r mentre a sinistra vale ξ

2π/λ=ξ

t e dovremo

avere continuità.

Otteniamo allora

Riflessione e trasmissione di onde elastiche

Inoltre la componente della forza lungo y, cioè la forza che muove la corda, nel punto della giunzione dovrà essere la stessa, sia che la calcolo nella tratto 1 che nel tratto 2π/λ. Possiamo allora scrivere

Introduciamo le ampiezze relative delle onde riflessa e trasmessa

Risolviamo e troviamo

Come nel caso delle onde elettromagnetiche, t > 0 sempre, mentre per r vale che r > 0 se ρ1 > ρ

2π/λ e

viceversa. Anche in questo caso dunque l’onda riflessa cambia segno se il mezzo dove si riflette ha una velocità minore (più pesante).

Alle stesse conclusioni si arriva prendendo una perturbazione armonica.

C’è una perfetta similitudine con quanto avviene nel caso delle onde elettromagnetiche

Riflessione e trasmissione di onde elastiche

Consideriamo ora il caso in cui l’estremità della corda dove arriva l’impulso è fissata.

Ora ho solamente l’onda incidente e l’onda riflessa e la sola condizione che devo porre è che all’estremità fissa la perturbazione dell’onda sia nulla.

Questo caso si può ottenere dal caso delle due corde nel limite

C’è poi il caso di una corda vincolata all’estremo dove si riflette l’onda da un anellino scorrevole (senza attrito) su una sbarra verticale, dunque l’estremo può scorrere senza attrito in modo perpendicolare alla corda.

Anche in questo caso abbiamo solo l’onda incidente e l’onda riflessa e, poiché l’anello può scorrere senza attrito, perché istante per istante ci sia equilibrio, la corda alla giunzione scorrevole lungo la verticale deve essere sempre orizzontale, non ci deve essere una forza lungo la verticale→ la derivata della nostra perturbazione è nulla

Questo caso si può ottenere dal caso delle due corde (ma solo per l’onda riflessa) nel limite

corda con estremo fisso

corda con estremo mobile

Riflessione e trasmissione di onde elastiche

Alla giunzione c'è sempre un onda trasmessa con la stessa polarità dell’onda incidente.L’onda riflessa è dritta o capovolta a seconda della densità dei due tratti di corda

capovolta

dritta

L’impulso è diverso nei due tratti perché la velocità è diversa. La durata si mantiene costante dunque se v è maggiore diventa più largo

Riflessione e trasmissione di onde elastiche

Se l’estremo è fisso l’onda torna indietro capovolta, c'è uno sfasamento di π rispetto all’onda incidente

Se l’estremo è mobile l’onda torna indietro con la stessa polarità, non c'è sfasamento rispetto all’onda incidente

https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_it.html

Polarizzatori

Esistono materiali che hanno una direzione privilegiata al loro interno e possono essere usati per ottenere luce polarizzata linearmente.

Tali cristalli (prisma di Nicol, cristalli dicroici, polaroid) quando sono investiti da una onda e.m. lasciano passare solo la componente del campo elettrico lungo una direzione fissata.

Calcoliamo l’intensità della luce dopo il polarizzatore per i diversi stati di polarizzazione polarizzazione.

Per questo, dobbiamo considerare la componente del campo lungo l’asse di polarizzazione del polarizzatore

Nel caso di polarizzazione lineare, supponiamo che l’onda si propaghi lungo x e che l’asse del polarizzatore sia lungo l’asse y. Se, sul piano yz, la direzione del campo forma l’angolo θ con l’asse y, possiamo scrivere

Nel caso l’asse del polarizzatore formi un angolo α con l’asse y, allora vale

In generale compare il cos2π/λ dell’angolo tra che il campo forma con l’asse del polarizzatore

Polarizzatori

Consideriamo il caso di polarizzazione ellittica.

In questo caso, sempre con l’onda che si propaga lungo x, sappiamo che il campo oscilla, su x e su, sfasato di π/2π/λ, con ampiezze E

y e E

z, e a queste ampiezze sono associate le intensità I

y e I

z. Vale infatti

A prescindere dalla direzione del polarizzatore, che in questo caso non conta nulla.

Se l’asse del polarizzatore forma un angolo α con l’asse y, il campo e l’intensità dopo il polarizzatore saranno

Nel caso particolare di polarizzazione circolare.

Consideriamo infine il caso di luce non polarizzata.

In questo caso possiamo sempre considerare il caso di polarizzazione lineare, assumendo che la direzione del campo vari in modo casuale su tempi molto rapidi. Dobbiamo allora considerare il valore medio nel tempo di cos2π/λα dove α è l’angolo (casuale) tra il campo e l’asse del polarizzatore