CAP. II Le onde nei materiali 1. Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche 2. Lindice di...

CAP. II Le onde nei materialiCAP. II Le onde nei materiali

1. Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche

2. L’indice di rifrazione

3. Dispersione e velocità di gruppo

4. L’assorbimento

5. La radiazione dal dipolo oscillante

1. Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche

2. L’indice di rifrazione

3. Dispersione e velocità di gruppo

4. L’assorbimento

5. La radiazione dal dipolo oscillante

1. Energia trasportata dalle onde e.m.1. Energia trasportata dalle onde e.m.

U

x

y

z

V

VVme dVdVUUU )( )( 2

121 BHDE

dalla definizione di energia del campo elettromagnetico entro V:

si può dimostrare che la potenza netta che fluisce attraverso la superficie è:

μ

)(

dσt

UWW inout

BE

Dato un volume V attraversato da un’onda elettromagnetica,

bilancio energeticobilancio energetico

ad esempio:

Flusso entrante

z

Flusso uscente

1) nei materiali trasparenti:(vuoto e dielettrici)

Flusso entrante = flusso uscente(flusso netto zero)

assorbimento zero

0 μ

)(

dσt

UWW inout

BE

bilancio energeticobilancio energetico

z2) Materiali completamente opachi:

Flusso entrante

][W/m

μ)(

area di unità

assorb. Pot. 2

σ

BEd

W

flusso entrante(incidente)

= potenza assorbitaflusso netto =

μ

)( assinout Wdσ

t

UWW

BE

quindi, per il flusso propagante si introduce un vettore S tale che:

energia delle ondeenergia delle onde

U

x

z

V

y

μσSσ

BEdd

S

Flusso di energia

flusso di S attraverso la superficie che racchiude V

flusso di S attraverso la superficie che racchiude V

μBEHES

vettore di Poynting

rappresenta la densità di flusso di potenza che si propaga (radiante) con le onde e.m. (W/m2)

vettore di Poyntingvettore di Poynting

e nei materiali completamente opachi, per esempio, si avrà z

S

densità di potenza elettromagnetica

][W/m

μ)(

area di unità

assorb. Pot. 2SσSσ

BE

dd

W


vvvvvBvBS BE uZEEEB ˆˆ

μ

v )(

μ

1

2222 2

μμμ

Si noti i molti modi per scrivere S:

per esempio, per un’onda piana monocromatica E(z, t) = E0 cos(kz - t) si ha:

)ω(cos

, ),( 2

20

2

tkzZ

E

Z

tzEtz S


ma nessuno strumento può seguire il valore istantaneo S(t), per cui si media sul tempo (un periodo ottico):

)( 1

0

tempotdtS

TSI

T

intensità elettromagnetica(intensità)

intensità elettromagnetica(intensità)

-2mWatt

ε

μ

2 vε

2

1

μ

ε

2

2

1

) - z(cos

202

0

20

20

220 H

EE

Z

E

Z

tkESI

intensità di un onda monocromatica

intensità di un onda monocromatica

-2mWatt

per un’onda piana monocromatica E(z, t) = E0 cos(kz - t) :

)ωcos( ),( 0 tkrr

E trE


per un’onda sferica monocromatica:per un’onda sferica monocromatica:

)( )( 1

)( )( 222 BBAA rrIrrI

rrIrS

si conserva la potenza irraggiatasi conserva la potenza irraggiata

Watt

infatti:

cost. 2

4π

4π totaleFlusso20

2

22

area

Z

ErrSId

r


in genere, nei casi pratici, si considera la potenza (I, P, W, ecc.) di un fascio di radiazione ovvero l’intensità integrata su un fronte d’onda finito

in genere, nei casi pratici, si considera la potenza (I, P, W, ecc.) di un fascio di radiazione ovvero l’intensità integrata su un fronte d’onda finito

laser

per esempio: W Id

Esercizi numericiEsercizi numerici

2.1) Il campo elettrico del segnale raccolto da un ricevitore radio ha un’ampiezza massima E0 = 0.1 V/m; approssimando l’onda ricevuta a un’onda piana, si calcoli:a) l’ampiezza massima del campo magnetico;b) l’intensità media dell’onda;c) la potenza della stazione se questa irradia isotropicamente ed è posta a distanza d = 500 m dall’apparecchio ricevitore.

T 103.3 103

0.1 10-

8

cEB

a)

2622

0 W/m10 13.3 3772

10

2

1 -

Z

ESI

b)

W9 41. 2

d 4π 4π Area 2022 Z

ErSIdW

σ S

c)

Esempi numericiEsempi numerici

The 846 khz antenna (1200 kW was used on this frequency)

L'antenna dell'impianto onde medie di Decimoputzu (CA), potenza 60 kw, frequenza di trasmissione 1062 khz

Esempi numericiEsempi numerici

Dall'1.1.99 esistono limiti massimi di esposizione ai campi elettromagnetici (Dlsg 381/98 e relativo regolamento di applicazione). Successivamente è stata varata una Legge Quadro (36/2001) sull'elettrosmog.

Le Regioni dettano ulteriori regole sanitarie e di indirizzo urbanistico, mentre i Comuni possono avere norme urbanistiche ed edilizie precise. Sulla carta, l'Italia ha le norme più complete e restrittive al mondo insieme alla Confederazione Elvetica. Ci sono però lentezze nell'applicazione.

Il Decreto legislativo interministeriale 381/98 indica limiti massimi a 20 Volt/metro e un "obiettivo di qualità" per zone residenziali, scuole e ospedali di 6 V/m. La certezza scientifica di totale assenza di effetti biologici esiste comunque soltanto sotto il valore di 0.5 V/m.

Un più recente Decreto legislativo (Dlgs. 198/2002) sospende in parte le regole esistenti allo scopo di favorire la realizzazione delle nuove reti Umts. Ma Regioni e Comuni (Anci) contestano il Decreto come anticostituzionale e illegittimo.

Esercizio numericoEsercizio numerico

2.2) Secondo le norme dell’Agenzia Regionale Prevenzione e Ambiente dell’Emilia-Romagna per l’esposizione ai campi a radiofrequenza, il limite massimo consentito di intensità è IM = 1 W/m2. Si calcoli: (a) l’ampiezza del campo elettrico corrispondente; (b) l’ampiezza del campo magnetico; (c) la distanza corrispondente da un trasmettitore radio, supposto emettere con irradiazione isotropa, di potenza totale 1 MW.

mV 27.45 Z2 0M MIE 2

1

20

Z

ESI

a)

T 019.15 c

v

8-MMM

EEB

b)

m 892 4

π4 2 πI

PrrIP

c)


2.3) Assumendo che l’intensità della radiazione solare al suolo sia circa pari a quella appena fuori dall’atmosfera, cioè Iea 1350 W/m2 (costante solare), si calcoli l’ampiezza media del suo vettore campo elettrico E. Si calcoli anche l’intensità di tale radiazione in prossimità della superficie solare (si assuma per il raggio solare Rs 0.696 106 km, e per la distanza Terra-Sole d = 149.6 106 km).

mV 1009 Z2 0ea eaIE 2

1

20

Z

ESI

a)

22

222 MW/m 62.4

R

d)d( )R( R)R( d)d(

ssss IIII

b)


2.4) Un cellulare irraggia nello spazio una potenza P = 500 mW sotto forma di onde radio monocromatiche. Assumendo che siano generate onde sferiche (non è vero!) e che la propagazione sia nel vuoto, si calcoli l’ampiezza del campo elettrico e del campo magnetico nei seguenti punti: (a) a 10 cm dal cellulare; (b) in prossimità di un ricevitore situato a 200 m dal cellulare.

Z2 00 IE 24

r

PI

c

v 00

0

EEB

per r = 0.1 m: V/m 4.85 0 E T 103 1.8 -70 B

per r = 200 m: V/m 107.42 -30 E T 109.15 -11

0 B

2. L’indice di rifrazione2. L’indice di rifrazione

m/s 1.1) .2(299792456 με

1 v

00

cnel vuoto:

εμ

1 v con:)v()v txGt F(xf(x, t)

x

f

G(x)F(x)

-v

v

Ricordiamo che l’equazione d’onda unidimensionale:

0 εμ 2

2

2

2

t

E

x

E

ha come soluzione più generale:

in un materiale ottico: 1

v

ad esempio pensando a un’onda monocromatica:

με

1

εμ

με

εμ

1

00

00vnc

frispetto alla velocità nel vuoto:

indice di rifrazioneindice di rifrazionedove: ε εε

με

εμ r

000

n

fvv

εμ

1 si definisce: velocità di fasevelocità di fase

)v(cos )ω cos( ) (z, vω

00 tzEtkzEtE

l’indice di rifrazionel’indice di rifrazione

0.5890 m (giallo)

Plexiglass 1.4793

Aria 1.0003

Acqua 1.3330

Vetro crown 1.5171

Vetro flint 1.5804 Diamante 2.4242

l’indice di rifrazionel’indice di rifrazione

ff

cn

n

c

v v velocità nel vuoto

velocità nel materialen =

quindi:

n

E(z, t) = E0 cos(k’z - t ) E(z, t) = E0 cos(k’z - t )

in un materiale quindi si può introdurre un k’ = nk, cioè:

onde nei materialionde nei materiali

ω

λ'

π2 '

cnk λ

λ

1

ω

π2 λ'

nv

c

nn

ccon: e

vc c

'

v v v

onde nei materialionde nei materiali

usando i fasori, quindi: usando i fasori, quindi:

c.c. )( 2

1 )( Re )( tkztkz iiz, t ee 00 EEE

nel vuoto

ω

Re ω( Re )( )()' tz

cni

EtiEz, tE ee 00zk

in un materiale con n


2.5) a) Determinare la frequenza delle oscillazioni luminose di lunghezza d’onda 500 nm nel vuoto.b) Determinare la frequenza dei raggi X di lunghezza d’onda 1 Å nel vuoto.

1con 1

ω

π2 λ n

v

c

nn

c da cui:

a) Hz 106 10500

103

λ 14

9

8

cv

b) Hz 103 101

103

λ 18

10

8

cv


2.6) Un’onda elettromagnetica piana sinusoidale di frequenza = 100 kHz, polarizzata linearmente, si propaga nel verso positivo dell’asse x in un mezzo avente la stessa permeabilità magnetica del vuoto e r = 3.

a) m/s 10.731 3

103 v 8

8

r

c

n

c

a) Quanto vale la velocità di propagazione dell’onda?b) Se il campo elettrico ha ampiezza E0=10 V/m, quanto vale l’ampiezza del campo magnetico?c) Si determinino le espressioni in funzione del tempo del campo elettrico e di quello magnetico se all’istante t1=7.5s nel punto x1=57 m il campo elettrico ha componente E1 = E0 = 10 V/m lungo l’asse y.

b) T 1077.5 103

10 3

v 8

8

c

En

EB


)ω sin( ) ,( 0 tkxEtxE

1-3 m 1062.3 c

2 λ

2 v

nk

con:

-15 s 1028.6 2 v

011011 )ω sin( ) ,( EtkxEtxE dall’ipotesi:

segue:

2

1n4 )ω ( 11 tkx

c)


ovvero: 2

ω 11

kxt

)22.4ω sin( ) ,( 0 tkxEtxE

in conclusione:

numericamente:

.076 57.1 571062.3107.5 1028.6 2

ω 36-511 kxt

2.7) L’onda elettromagnetica piana sinusoidale di frequenza = 100 kHz emessa da un sottomarino in navigazione di superficie, si propaga orizzontalmente nell’aria e nell’acqua (r = 79). a) che ritardo c’è fra l’arrivo delle due onde nel punto P a una distanza d = 100 m dal sottomarino? b) che relazione di fase c’è fra i campi elettrici nel due mezzi nel punto P?


d

P

nell’aria:

2π

Re )( )(1 tz

cvi

Ez, tE e0aa

nell’acqua:

2π

Re )( )( tz

cnvi

Ez, tE e0HH


d

P

nell’aria:c

ta

a

d

v

d

nell’acquac

ntH

H

d

v

d

s 1063.2 1d

6 nc

tt Ha

con: rn

nell’aria:

2π

Re )( )(1 td

cvi

Ez, tE e0aa

nell’acqua:

2π

Re )( )( td

cnvi

Ez, tE e0HH

il rapporto:)

1(2π

)(

)(

0

0 c

ndvi

E

E

z, tE

z, tE eH

a

H

a

la cui fase: rad 65.11

π2

c

nvd

2.8) Una lastra di vetro spessa d = 3 mm con indice di rifrazione n = 1.50 è posta tra una sorgente puntiforme che emette luce di lunghezza d’onda = 600 nm (nel vuoto) ed uno schermo. La distanza sorgente - schermo è D = 3 cm. Calcolare il numero di onde comprese tra sorgente e schermo.


nel vetro:0

v λ

d

λ

d nN

nell’aria:0

a λ

dD

N d

D

compless.: 52500 ddD λ

1

0tot nN

A

B

S

x


2.9) Una sorgente puntiforme S emette luce con = 500 nm in aria. A e B sono due punti distanti 1 cm e posti sullo schermo a 100 cm da S. a) Determinare la differenza tra il numero di onde nel percorso SA e SB. b) Una lastra di vetro con n = 1.50 è inserita nel percorso SA. Determinare lo spessore richiesto affinché il numero di onde nel percorso SA sia uguale al numero nel percorso SB.

100 λ

SAABSA

λ

SA

λ

SB

0

22

00SASB

NN

aggiungendo la lastra di vetro deve essere:

100 1 xλ

1 xx

λ

1 SAxxSA

λ

1

000SA nnnN

ovvero: mm 0.1 1001

λ x 0

n

Si consideri che:

n( ) n( ) dispersionen( ) n( ) dispersione

tipico andamento di n()

0.6563 m(rosso)

0.5890 m(giallo)

0.4861 m(blu)

Elio 1.000036 1.000040 1.000043

Aria 1.000293 1.0003 1.00032

Acqua 1.3312 1.3330 1.3372

Vetro crown 1.5146 1.5171 1.5233

Vetro flint 1.5764 1.5804 1.5903Diamante 2.4215 2.4242 2.4351

n

12

3

UV IR

VIS

ω)ε ω (rnn n dipende dalla frequenza!

3. La dispersione3. La dispersione

Effetti della dispersione: scomposizione della luceEffetti della dispersione: scomposizione della luce

questi li studieremo in seguito....

κ n in Si consideri che in realtà è: complesso!

quindi:

]

] κ)(n

[

[ )(

tzc

iiω

Etz

cniω

Ez, tE ee 00kze κ

)n(

tzciωE e0

estinzione di coeff. κ

l’onda si attenua,l’energia è assorbita

l’onda si attenua,l’energia è assorbita

z

κ n in 1 n

kze κ

4. n complesso: l’assorbimento4. n complesso: l’assorbimento

assorbimentoassorbimento

se per l’ampiezza del campo elettrico vale:

]

κ)(n

[ )(

tzc

iiω

Ez, tE e0kze κ

)n(

tzciωE e0

per l’intensità sarà:

)(

2

1 )( 0

2

0

ω2

II

z

Z

zEz ce ze 0I

κ2 κ 2 αc

k

toassorbimen di coeff.

-1cm

ovvero:

)( zI ze 0I

legge di d’Alembert

)( )(n )( κ inn


in generale:

dispersione e assorbimento dipendono dalla frequenzadispersione e assorbimento dipendono dalla frequenza

con:

)()n( spettro di

assorbimento

κ2 κ 2 αc

k toassorbimen di coeff.


si ricordi la corrispondenza si ricordi la corrispondenza

)()n(

)(n)(

la dipendenza dell’assorbimento da spiega i colori per sintesi sottrattivala dipendenza dell’assorbimento da spiega i colori per sintesi sottrattiva

rosso luce bianca

)(

spettro di assorbimento

assorbimento – sintesi sottrattiva assorbimento – sintesi sottrattiva

rosso luce bianca

)(

gli altri colori sono assorbiti

luce

bia

nca

rosso

pigmento

assorbimento – sintesi sottrattiva assorbimento – sintesi sottrattiva

substrato

2.10) Un fascio di luce di potenza I0 = 100 mW viaggia in aria e incide normalmente sulla finestra anteriore di vetro di una cella di spessore L = 10 cm contenente un gas) con coefficiente di assorbimento per la luce incidente = 0.05 cm-1. Calcolare la potenza assorbita complessivamente dal gas nella cella (si trascurino fenomeni di riflessione sulla finestre di ingresso e uscita).

mW 9.33 1I II I L0

L00ass ee

Considerando la legge di D’Alembert per l’assorbimento del gas sulla lunghezza della cella, si ha:

I0

L

I0e-L

Riepilogo Riepilogo

ε με

εμ

v )ω(r

00

cn

ε

μ

2 vε

2

1

μ

ε

2

2

1

202

0

20

20

HE

E

Z

ESI intensità e.m di

onda monocrom.

intensità e.m di onda monocrom.

)( zI ze 0I legge di d’Alembert

1

ω

1 v

ddk

k'g velocità di gruppo

)( )(

V

dVdt

UJEσHE

Bilancio energetico

μBEHES vettore di Poynting

indice di rifrazione

ovvero: come generare un’onda elettromagnetica?ovvero: come generare un’onda elettromagnetica?

dipolo oscillante

x

y

z

-q

d

tI

dttIIdttq sinω ω

cosω )( 00

xxp ˆsinω ω

d ˆ d 0

t

Iq

p

I

5. Radiazione da dipolo oscillante5. Radiazione da dipolo oscillante

+q

0

πε4

inθ

πε4

θcos2

22

2

0

0

E

rc

rtp

crc

rtp

cc

rtpsE

rc

rtp

cc

rtpE

r

rr

rc

rtp

cc

rtpsinB

B

B

r

r

θ

π4

μ

0

0

0

A) Risposta in campo vicinoA) Risposta in campo vicino

dipolo oscillante - dimostrazionedipolo oscillante - dimostrazione

p

x

y

z

θ̂

r̂

φ̂E

Er 0

Er 0

onda non trasversaleonda non trasversale

B kB kè ancora:

ma:

r

0

θω

πε4

1

0

)ω(2

20

0

E

isinpE

E

terc

r

rk

)ω( θω

π4

μ

0

0

200 tisinp

B

B

B

ecr

r

rk

B) Risposta in campo lontanoB) Risposta in campo lontano

dipolo oscillante - dimostrazionedipolo oscillante - dimostrazione

p

x

y

z

E

onda trasversaleonda trasversale

B kE k

B kE k

è:

rB

k

0

θω

πε4

1

0

)ω(2

20

0

E

isinpE

E

terc

r

rk

Risposta in campo lontanoRisposta in campo lontanodipolo oscillantedipolo oscillante

p

x

y

z

E

l’onda è polarizzata linearmente nel piano definito dai vettori p e k

l’onda è polarizzata linearmente nel piano definito dai vettori p e k

rk

guardiamo solo al campo elettrico:

rHES ˆε

π

θω 23

02

220

4

23 rc

sinp

il flusso d’energiail flusso d’energiadipolo oscillantedipolo oscillante

p

x

y

z

r

S

p

x

y

z

S()

il flusso di energia è radiale, ma:

θ

2

2

r

sin S

non è un’onda sfericanon è un’onda sferica

applicazioni: antenne radio trasmittentiapplicazioni: antenne radio trasmittenti

dipolo oscillantedipolo oscillante

pS()

θ

2

2

r

sin S

invece, a grande distanza da molti dipoli microscopici:invece, a grande distanza da molti dipoli microscopici:


onda sferica onda sferica

Nella materia:

π

μ

2

φ θ θ

60

202

c

pddsindW rS σS

La potenza complessivamente irraggiata è:La potenza complessivamente irraggiata è:


4ω

infine:infine:

Watt

RiepilogoRiepilogo

θsin

,2

2

r

SrI

Radiazione di dipolo

onda polarizzata linearmente nel piano definito dai vettori p e konda polarizzata linearmente nel piano definito dai vettori p e k

π

μ

2

ω φ θ θ

60

20

4

2

c

pddsinW rS Potenza complessivamente

irraggiata

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