LICEO SCIENTIFICO E. FERMI AVERSA

PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHESUN 2010/2011

La matematica dell’incerto…

Quando sentiamo parlare di “matematica”, pensiamo a quell’insieme di numeri, definizione e teoremi che ci accompagnano ogni giorno anche nelle piccole cose. Ma in realtà esiste anche un’altra matematica, ossia quella dell’incerto…

SCOPRIAMOLA INSIEME

INTRODUZIONE 

Spesso nella vita quotidiana affrontiamo scelte di cui non

sappiamo prevedere le conseguenze. La parte della matematica che si occupa di

razionalizzare le interpretazioni dei fenomeni casuali, invece che affidarsi a pregiudizi, a superstizioni

o al fato, è detta calcolo delle probabilità.

Quest’ ultima è nata come

scienza analitica nel Seicento, tuttavia affonda le proprie radici nell’età antica,

che ha fornito basi concettuali in seguito riprese

ed ampliate.

Nell'antica Grecia degli eroi i dadi rappresentavano il fato e la sorte. La loro simbologia ha origini antiche. Secondo Sofocle i dadi da gioco ed

anche gli scacchi sarebbero stati inventati da Palamede,

durante l'assedio di Troia. Era il gioco più diffuso al tempo dei greci tanto che una loro rappresentazione è visibile

anche nella famosa anfora di Aiace e Achille, in cui i

guerrieri sono raffigurati nel corso di una partita, a

rappresentare la possibilità degli eroi di vincere il fato,

determinando il proprio destino.

Nella civiltà greco-latina per l’interpretazione dei

fenomeni casuali ci si affidava al concetto di

'Fato', che era invincibile e persino gli dei vi

dovevano sottostare. Nella cultura greca è personificato dalle tre

Moire (chiamate Parche dai Romani). Una dea

senza scrupoli, Nemesis, rappresentava la cieca

distribuzione della fortuna per gli antichi greci con intenzioni né buone né cattive, ma

semplicemente in proporzione a seconda

dei suoi desideri. Le tre Parche

Un passo in avanti, che ha contribuito agli studi riguardanti il

calcolo probabilistico, fu la scoperta del “metodo di

esaustione”. Quest’ultimo viene

tradizionalmente attribuito ad Eudosso ma fu perfezionato da

Archimede. Si può esplicare mediante l’assioma: se da una

qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora non

meno della metà della parte rimanente, continuando questo processo, alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi

grandezza dello stesso genere già assegnata. Ciò permise di

verificare il rapporto tra due determinate figure.

Archimede

Nel Medioevo il problema probabilistico ebbe una

funzione utilitaristica; fu, infatti, adoperato per

l’interpretazione dei giochi d’azzardo. Potrebbe essere

che qualche giocatore intelligente avesse sviluppato qualche metodo, tuttavia non ci sono pervenute trattazioni sistematiche dell’argomento.

Wibold, vescovo vissuto attorno all’anno 1000, inventò

un gioco in cui enumerò 56 virtù, ciascuna corrispondente

ai modi in cui tre dadi possono essere lanciati, a prescindere dall'ordine.

A Niccolò Tartaglia (1499-1577) dobbiamo la formulazione dell’omonimo triangolo, che fu in seguito adottato dagli studiosi francesi Pascal e Fermat. Tale triangolo

permette di calcolare rapidamente i coefficienti dello sviluppo di un binomio.

Per tale motivo i numeri che compongono questo triangolo sono anche detti

coefficienti binomiali.

In seguito, durante l’epoca rinascimentale, studiosi come Tartaglia, XV-XVI sec., e successivamente Galileo e Cardano, XVI sec., cominciarono ad affrontare il problema, gettando le basi della

futura disciplina.Tartaglia

Galileo

Cardano

Come sappiamo furono i dadi a portare i matematici del XVII sec. a trattare il problema del calcolo delle probabilità.

Uno dei protagonisti delle vicende fu il Cavaliere di Merè, un incallito giocatore

d’azzardo, che, volendo trovare un metodo che gli consentisse di vincere

al gioco, pose a Blaise Pascal due problemi che ormai sono rimasti

celebri nel mondo del calcolo delle probabilità:

E’ più probabile avere un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una

volta il doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?

Se due giocatori, della stessa bravura, interrompono all’improvviso un gioco in cui vince chi per primo totalizza un

fissato numero di punti, come va divisa la posta se nessuno raggiunge il

punteggio?

Il cavaliere di Merè

Pascal e Fermat (1623- 1662) (1601 - 1665)

La nascita della teoria delle probabilità, quindi, risale al XVII secolo e va attribuita ai matematici francesi Pascal e Fermat.

Infatti per risolvere i problemi posti dal Cavaliere di Merè, Pascal (1623-1662) si consultò con Pierre de Fermat(1601-1665) e ne nacque una famosa corrispondenza epistolare.

Il 29 luglio 1654 Pascal scriveva a Fermat: "Vedo che la verità è la stessa a Tolosa come a Parigi." I due grandi

matematici avevano scoperto le prime leggi della probabilità e inventato il calcolo combinatorio. Sempre in

quell’anno, infatti, Pascal pubblica il Traité du Triangle Arithmétique dove si parla del triangolo di Tartaglia.

Con i coefficienti binomiali, Pascal risolse il problema della divisione della posta:

Se ad un giocatore mancano j punti per vincere e all’altro k, la posta deve essere divisa nel rapporto seguente

11

0 0

1 1/

jk

h h

j k j k

h h

Ma naturalmente lo studio della probabilità non si esaurì con i risultati proposti dal francese Pascal ma fu affrontato anche da altri studiosi europei.Newton contribuì con la cosiddetta Formula di

Newton, che riprese gli studi sui coefficienti binomiali di Tartaglia. Secondo tale formula la potenza del binomio può essere scritta come:

Isaac NewtonGottfried Wilhem Leibniz

0

2n

n

k

n

k

0

nn n k k

k

na b a b

k

Leibniz usa, ma non dimostra, che la somma dei coefficienti binomiali su una riga è una potenza di due:

L’Età dei Lumi:la famiglia Bernoulli

Nonostante le numerose teorie enunciate nel XVII secolo è solo nel corso del secolo successivo che

cominciarono ad essere enunciate le prime leggi e definizioni riguardanti il calcolo delle probabilità.

Importante fu in questo senso il ruolo della famiglia Bernoulli, le cui scoperte anticipavano la formulazione della definizione classica di Laplace.

A Jacob Bernoulli (1654-1705) si devono in particolare:

la risoluzione del problema delle navi mediante la Distribuzione Binomialel’enunciazione della Legge dei Grandi Numeri

Jacob Bernoulli

Con la Legge dei Grandi Numeri nasceva la teoria della misura e dell’analisi funzionale:

Un evento di probabilità p, sconosciuta, viene considerato in n prove indipendenti. Sia Sn il numero di volte in cui l’evento si è verificato ed ε > 0 un numero piccolo a piacere. Allora la probabilità che Sn /n differisca in modulo meno di ε da p, quando il numero n di prove cresce all’infinito, è uguale a uno.

Il problema delle navi poneva tale interrogativo:

Se una nave ha probabilità p di naufragare, si chiede qual è la probabilità che di n navi salpate, più o meno dello stesso tipo e per la stessa rotta, k di esse facciano naufragio.

Delta q=1-p la probabilità che la nave non naufraghi, la probabilità richiesta è:

Tale formula è nota con il nome di Distribuzione Binomiale

Daniel Bernoulli

Daniele Bernoulli (1700-1782), nipote di Jacob, nel suo

Specimen Theoriae novae de mensura sortis affrontò, invece,

il problema del paradosso di Pietroburgo:

Supponiamo che Pietro e Paolo si mettono a giocare a testa e croce con una moneta. Se il

primo lancio dà testa, Paolo darà a Pietro una corona; se il primo lancio dà croce, ma si ottiene

testa per la prima volta al secondo lancio, Paolo darà a

Pietro due corone; […] Qual è la somma che Pietro dovrebbe pagare a Paolo perché questi

accetti di giocare?

CARL FRIEDRICH GAUSS

 A inizio ‘800,

cominciarono a nascere legami tra il

calcolo delle probabilità e le altre

discipline scientifiche: nel 1809, durante il

suo studio degli errori di osservazione in astronomia, Gauss trovò la curva che

prenderà il suo nome. 

Carl Friedrich Gauss(1777-1855)

CAMPANA DI GAUSSIn prima approssimazione la curva di Gauss rappresenta la frequenza con la quale si presentano gli errori casuali. È considerata Gli errori più piccoli sono più frequenti di quelli grandi. Infatti per il punto P si ha: errore -2, frequenza 82 %; per il punto Q errore -5, frequenza 14 %. Graficamente la curva ha la forma di una campana, è simmetrica, è asintotica rispetto all'asse orizzontale. C'è però anche un altro modo di usare la curva di Gauss: essa può rappresentare la probabilità p con la quale un certo errore può presentarsi.Se le misure sono già state eseguite, sulle ascisse si riportano gli scarti:se la loro distribuzione è simile a quella della curva di Gauss, significa che abbiamo operato correttamente. Come si vede la curva di Gauss ha una grande importanza nella teoria degli errori, nella statistica, nel calcolo delle probabilità.

Definizione classica di probabilità

Pierre Simon de Laplace(1749 – 1827)Laplace, nella sua opera Théorie analytique

des probabilités del 1812, ci fornì la sua celebre definizione conosciuta come classica:La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero m dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, supposti tutti equiprobabili.

La definizione di Laplace, tuttavia, risultava facilmente criticabile in quanto presupponeva:1. l’equiprobabilità dei possibili esiti elementari2. la possibilità di conteggiarli in termini combinatori3. la finitezza del loro numero

Pierre Simon de Laplace

Circa 30 anni dopo la comparsa del lavoro di Laplace, Antoine Cournot e

Robert Leslie Ellis separatamente proposero una nuova definizione di impostazione statistica, nota come

definizione frequentista:La probabilità di un evento E è il

rapporto tra il numero k di volte che si è verificato E e le n prove effettuate.

Naturalmente quando n tende a infinito questo rapporto corrisponderà a quello

individuato da Laplace.Ma anche questa definizione venne

sottoposta a molte critiche in quanto conteneva elementi di arbitrarietà o

quantomeno di soggettività.

Antoine Cournot

Definizione frequentista di probabilità:

Antoine Cournot(1801-1877)

Definizione soggettivista di probabilità:

Bruno De FinettiDe Finetti fu il primo matematico

a rispondere alla questione del calcolo della probabilità con la teoria soggettivista che si definisce come

“il prezzo che un individuo razionale e coerente ritiene equo pagare per ricevere un guadagno unitario al verificarsi dell’evento.”

La teoria assiomaticaAgli inizi del ‘900 prese il sopravvento l’idea di

svincolare il concetto di probabilità da ogni riferimento concreto.

La sistemazione definitiva è dovuta a Kolmogorov che nel 1933 propose una definizione di probabilità prendendo come punto di partenza alcuni assiomi che esprimono la natura , le proprietà matematiche degli enti su cui opera e i relativi legami.

Sia lo spazio degli eventi possibili.

Si dice probabilità una qualsiasi funzione P definita sulla classe degli eventi tale che:

1. Se A è un evento allora

2. Se è l’evento certo allora

3. Se sono eventi a due a due

incompatibili allora

In tal modo la probabilità acquista ufficialmente la dignità di disciplina matematica.

Kolmogorov

I fisici protagonistiSuperato il muro del determinismo la probabilità fece il suo ingresso trionfale nel mondo fisico fin dai primi anni del ‘900.Nel 1905 Albert Einstein spiegò il moto browniano in termini casuali scoprendo che tutto il mondo degli atomi è governato da leggi probabilistiche.Nel 1910 Rutherford, Bateman e Geiger vinsero il Nobel per la fisica: scoprirono che il numero di particelle emesso da una sostanza radioattiva è una variabile aleatoria (con distribuzione di Poisson). Nel 1928 i fisici Paul e Tatiana Ehrenfest vinsero il Nobel per aver spiegato la diffusione dei gas mediante un modello probabilistico (catene di Markov).

Nel 1926 Einstein scriveva a Max Born: “Tu ritieni che Dio giochi a dadi col mondo, io credo invece che tutto obbedisca ad una legge ….”.

Albert Einstein

.Il gioco del lotto (o semplicemente lotto) è un gioco d’ azzardo, e probabilmente il gioco a premi più diffuso in Italia.

EtimologiaLa parola "lotto" deriva dal francese "lot", che significa sia "porzione" che "sorte". Il termine, giunto nella penisola iberica, è documentato come "lote" in spagnolo e "loto" in portoghese. Il verbo francese "lotir", inoltre, significa "dividere la sorte" o "assegnare la sorte". Ma analogo lemma si ritrova nell'antico inglese "hlot" ("cosa toccata in sorte"), cui corrispondono "Los" nel tedesco moderno e "lot" nel danese

ProgenitoreSolo dal 1448 si ha notizia certa della diffusione, a Milano, delle cosiddette "borse di ventura", indicate da molti storici come il primo nucleo di quello che più tardi diverrà il vero Gioco del Lotto moderno.Il gioco consisteva nell'assegnare sette "borse" contenenti, rispettivamente dalla prima alla settima, 300, 100, 75, 50, 30, 25, 20 ducati in contanti. Chiunque, pagando un ducato, aveva la possibilità di veder inserito in un recipiente di vimini un biglietto recante il proprio nome. In un secondo recipiente, venivano depositati altrettanti biglietti, sette dei quali recavano l'ammontare dei diversi premi mentre i restanti erano in bianco. Nominato uno dei presenti ad effettuare le operazioni, veniva estratto un biglietto dal recipiente contenente i nomi, e uno da quello dei premi: se al nome estratto risultava abbinato un biglietto bianco, non si vinceva nulla; se invece ne veniva estratto uno recante un premio, l'ammontare di questo veniva consegnato al vincitore.

Caratteristiche del giocoConsiste in tre estrazioni settimanali (martedì, giovedì e sabato) che vengono effettuate a partire dalle ore 20:00 per dieci ruote: Bari, Cagliari, Firenze, Genova, Milano, Napoli,Palermo, Roma, Torino, Venezia e Nazionale. Per ogni ruota vengono estratti 5 numeri tra l'1 e il 90 senza reimmissione, nel senso che un numero una volta estratto non viene reimmesso nell'urna. L'estrazione è effettuata su tutte le ruote attraverso un'urna meccanica che mischia le palline con un getto di aria compressa e le cattura con una nicchia rotante ai bordi dell'urna. Il gioco consiste nello scommettere sui numeri estratti sulle varie ruote.Si può scommettere di indovinare, su una ruota, su più ruote o su tutte le ruote:l'ambata, o estratto semplice, ovvero un solo numero (l'ordine di estrazione non conta);l'estratto determinato, ovvero un numero e la posizione in cui viene estratto;l'ambo, ovvero due numeri;il terno, ovvero tre numeri;la quaterna, ovvero quattro numeri;la cinquina, ovvero cinque numeri.Si possono giocare fino a 10 numeri sulla stessa scheda. La vincita è pagata a quota fissa e dipende da quanti numeri si sono indovinati, da cosa si è giocato e da quanti numeri sono stati messi in gioco.

Gioco “non Equo”Il gioco del lotto è un gioco definibile "non equo", laddove per gioco equo si intende un gioco che paga al vincitore una vincita pari alla posta giocata moltiplicata per l'inverso della probabilità di vincità.

il ratio vincita equa/vincita reale segue il seguente trend: 1,6, 1,6, 2,61, 4,26, 7,32, e se si considera la trattenuta del 6% sulla vincita tali valori sono ancora più alti.

SUPERENALOTTO

La storiaIl Superenalotto  è un gioco d'azzardo a premi gestito dalla sisal , introdotto per

la prima volta in Italia il 3 dicembre 1997, in sostituzione del gioco dell‘enalotto . Il suo ideatore è stato Rodolfo Molo che fu uno degli inventori del Totocalcio. Nel regolamento originario, in vigore fino al 30 giugno 2009, la combinazione vincente, esattamente come l'Enalotto, era legata alle estrazioni del lotto ed era composta dai primi numeri estratti delle ruote di Bari, Firenze, Milano,Roma, Napoli e Palermo.

A questi numeri si affiancavano il cosiddetto "Numero Jolly", ovvero il primo estratto (o il secondo o il terzo e così via in caso di uguaglianza) della ruota di Venezia, ed il numero "SuperStar", ovvero il primo estratto sulla ruota nazionale.

Dal 1º luglio 2009, con l'entrata in vigore del nuovo regolamento, la combinazione vincente del Superenalotto ed i numeri Jolly e SuperStar non dipendono più dai numeri estratti sulle ruote del Lotto, ma da due estrazioni separate (una per determinare la sestina ed il Jolly e un'altra a parte per il SuperStar), effettuate mediante macchine a mescolamento pneumatico.

Il Superenalotto (a differenza, ad esempio, del Lotto) è un gioco a vincita variabile, nel senso che il montepremi (più eventualmente il jackpotdel concorso precedente) di ogni concorso viene suddiviso nelle 5 categorie di vincita e spartito in modo equo tra i vincitori delle singole categorie. Pertanto la vincita dipende dal montepremi e dal numero di altri vincitori della stessa categoria.

Le più alte vinciteIl primo "sei" in assoluto fu indovinato il 17 gennaio 1998 a Poncarale,

provincia di Brescia, e valse 11 miliardi di lire. Una particolare vincita si ebbe nell'autunno 1998 a Peschici: 100 persone giocarono un sistema vincendo 63 miliardi di lire.

Un caso particolare si ebbe poi a Bitonto: due "sei" nella stessa ricevitoria (uno tratto da un sistema e uno "spurio"), che fruttarono, in totale, circa quarantaquattro miliardi di lire. E un altro caso particolare lo si ebbe il 31 gennaio 2009 quando la sestina vincente fu azzeccata da 5 vincitori.

Il SuperEnalotto ha al suo attivo la più alta vincita in un gioco a premi italiano, pari a poco più di 177 milioni di €, assegnato a un sistema di 70 quote da 24 € giocato on line, che ha indovinato la sestina vincente dopo nove mesi di attesa.

La vincità singola più alta finora assegnata è invece di 147.807.299,08 €, vinti il 22 agosto 2009 a Bagnone, in provincia di Massa-Carrara, con una schedina da 2 euro, dopo un'attesa lunga 7 mesi.

Il montepremi più alto nella storia delle lotterie europee appartiene all'EuroMillions. Il 3 febbraio 2006 la lotteria che viene estratta a Parigi, ha distribuito 183 milioni di euro a tre vincitori (due francesi e un portoghese). Il Superenalotto detiene il primato della più alta vincita mai aggiudicata a una sola persona in Europa.

Come si gioca?

Si vince, dopo aver scommesso su una schedina, indovinando:

il terno, ovvero tre numeri; la quaterna, ovvero quattro numeri; la cinquina, ovvero cinque numeri; il cinque più uno, ovvero cinque numeri più il numero jolly; il sei, ovvero i sei numeri della combinazione base

(escluso il numero jolly).La giocata minima si ottiene marcando due combinazioni (sei

numeri su ciascun pannello) per un importo pari a 1,00 €, mentre la giocata massima su una schedina è di 27.132 colonne (corrispondente ad una giocata di 19 numeri su un pannello) per un importo pari a 13.566,00 €.

Quante sono le probabilita?

La seguente tabella riporta le combinazioni messe in gioco e le probabilità di vincita secca (sei numeri) a seconda del totale di numeri giocati in combinazione integrale su un solo pannello.

Numero giocati su un pannello

Combinazioni in gioco

Probabilità di vincita

Calcolo matematico

6 1 1 su 622.614.630

622.614.630

7 7 1 su 88.944.947

88.944.974

8 28 1 su 22.236.237

22.236.236

9 84 1 su 7.412.079

7.412.078

10 210 1 su 2.964.832

2.964.831

11 462 1 su 1.347.651

1347650

12 924 1 su 673.825 673.825

Il numero SuperStar

Il numero SuperStar è un numero casuale tra 1 e 90, indipendente dalla sestina del Superenalotto, generato dal terminale al momento della convalida ed è abbinato alle combinazioni per le quali è stata scelta l'opzione "SuperStar". Questa nuova formula di gioco complementare è stata introdotta con il concorso n. 37 del 28 marzo 2006.

Fino al 30 giugno 2009 il numero SuperStar corrispondeva al primo numero estratto sulla ruota Nazionale, mentre a partire dal 1º luglio 2009 viene determinato con un'apposita estrazione e lo si può scegliere anche personalmente, marcandolo sull'apposita sezione prevista nella nuova versione della schedina.

Vincite al superstar

Nel caso in cui si indovini una combinazione del superenalotto e il numero superstar si ha diritto a uno dei seguenti premi aggiuntivi:

Probabilità del numero superstar

Punteggio su una colonna con superstar

Probabilità di uscita

0 1 su 137,7

1 1 su 302,4

2 1 su 1935,9

3 1 su 29.403,9

4 1 su 1.071.625,5

5 1 su 111.181.183,2

5+ 1 su 9.339.219.450

6 1 su 56.035.316.700

il gioco più difficile al mondo Il SuperEnalotto è il gioco d'azzardo a premi più

difficile al mondo di tutti i tempi (l'EuroMillions, che distribuisce pure premi molto ricchi, è giocato su meno numeri); centrare 6 numeri, ciascuno tra 1 e 90, rappresenta il record assoluto di minima probabilità fra tutti i giochi del mondo di questa tipologia, da sempre; infatti rispetto agli altri giochi d’azzardo italiani questo è il più difficile dai vincere il montepremi e il più diffuso per le sue alte vincite.

gioco Numeri giocati

Probabilita di vincita del premio massimo

Superenalotto 6 1 su 622.614.630

Lotto(cinquina) 5 1 su 43.949.268

Totogol 7 1 su 17.297.280

Totocalcio 14 1 su 4.782.969

Win for Life 10+1 1 su 3.695.120

Ripartizione montepremi e tasse

La quota derivante dall'incasso delle giocate che è distribuita fra i vincitori è pari al 34,648%.

Del totale delle giocate, la quota trattenuta dall'erario è pari a circa il 53,6%, tranne che per le giocate effettuate in Sicilia, per le quali il 12,5% è trattenuto dalla Regione. L'8% è trattenuto dal punto vendita, il 3,73% va al concessionario (attualmente la Sisal) e il 34,648% costituisce il montepremi . Le vincite, in contanti, non sono tassate.

Il montepremi totale viene ripartito tra le cinque categorie di premi nelle seguenti proporzioni:

Ai 6 va il 20% del montepremi totale; Ai 5 + numero Jolly va il 20% del montepremi totale; Ai 5 va il 15% del montepremi totale; Ai 4 va il 15% del montepremi totale; Ai 3 va il 30% del montepremi totale.

Negatività del superenalotto

 Guadagnare dal Superenalotto non è solo chi scommette ma anche le casse dello Stato. Su cento euro incassati, per esempio, la lotteria gestita da Sisal, ne versa il 49,5% allo Stato, ben al di là di quel 20 e 30 per cento, previsto per gli altri giochi, e del 5% associato alle scommesse sportive.

Così nei primi nove mesi del 2008 la raccolta ha raggiunto il miliardo e 460 milioni, di cui 723 destinati allo Stato. Come si calcolano le somme di vincita? Il montepremi è costituito dal 38% dell’incasso totale e viene ripartito in 5 parti uguali fra le cinque categorie di vincita 6, 5+, 5, 4, 3.

In assenza di vincitori con il 6 e con il 5+, la quota del montepremi viene riportata (con il meccanismo chiamato jackpot) al concorso successivo. Nel caso in cui il jackpot raggiunga il tetto stabilito dal regolamento (50 miliardi per il 6, e 25 miliardi per il 5+) e non ci siano ancora vincitori, l’incremento non sarà più dell’intera parte di montepremi, ma solo del 4%.

Una volta fatto il ‘botto’ del Superenalotto, la vincita non è soggetta a tassazione perché le responsabilità fiscali risultano già assolte all’atto della giocata attraverso l’imposta unica di gioco e la percentuale, spettante al montepremi, è fissata a livello nazionale. 

Montecarlo

Tempio del gioco d’azzardo

Montecarlo è una città celebre per il suo casinò

e per il gran premio di formula uno.

Montecarlo è anche il nome di un metodo statistico, molto utilizzato nelle scienze applicate, per simulare risultati che non si è in grado di valutare direttamente e che richiederebbero calcoli molto complicati. Il suo nome per certi aspetti ricorda quanto accade al tavolo da gioco. Proprio come le sequenze di numeri generati da una roulette, il metodo si fonda su sequenze di numeri prodotti a caso.

Le applicazioni del metodo Montecarlo sono enormi: fisica nucleare, fisica della materia, dinamica delle popolazioni, problemi finanziari, problemi di traffico, informatica.

METODO MONTECARLOLe sue origini risalgono alla metà degli anni 40, quando per il Progetto Manhattan, ci fu una straordinaria concentrazione di matematici e fisici: John von Neumann, Stanisław Marcin Ulam, Enrico Fermi e Nicholas Constantin Metropolis (che coniò il nome Montecarlo). Il più famoso utilizzo di tale metodo è quello di Enrico Fermi, che nel 1930 usò un metodo casuale per calcolare le proprietà del neutrone.

Ecco come è nata l’idea di calcolare l’area di una figura curvilinea servendosi del caso. Si disegna in un quadrato Q la superficie chiusa S a contorno curvilineo di cui si vuole calcolare l’area .Si faccia cadere da una certa altezza sul quadrato una manciata di riso, si contino quanti chicchi sono caduti dentro la superficie S di cui si vuole calcolare l’area e quanti sono caduti in tutto ilquadrato Q. Il rapporto tra il numero dei chicchi caduti dentro S e quelli caduti dentro tutto Q si assume come rapporto tra le aree delle figure S e Q.

E’ possibile simulare con l’elaboratore elettronico il lancio dei chicchi di riso. Si pensi il quadrato Q di lato l e la figura S inseriti nel primo quadrante di un piano cartesiano in modo che i vertici del quadrato abbiano rispettivamente coordinate A(0 ; 0), B(l ; 0), C(l ; l) e D(0 ; l) e si generino con la funzione RANDOM n coppie ordinate di numeri casuali compresi tra 0 e l. Intendendo ogni coppia rispettivamente come ascissa e ordinata di un punto, otteniamo n punti casuali ognuno dei quali simula la caduta di un chicco di riso.I punti casuali ottenuti potranno cadere dentro o fuori la figura S , cadranno comunque dentro il quadrato Q.Il rapporto tra il numero dei punti dentro S e quelli dentro tutto Q si assume come rapporto tra le aree delle figure S e Q.Simulando il lancio di 215 chicchi di riso si è valutata l’area di un cerchio di raggio 2 inserito in un quadrato di lato 4.

Si sono ottenuti 169 punti dentro la circonferenza . L’area S del cerchio risulta i   dell’area del quadrato Q che vale 16 ;

si ha pertanto : . Sapendo che   e quindi  ,

otteniamo che vale 3,14.

Il metodo Monte Carlo, che sfrutta le capacità di calcolo iterativo di un elaboratore, è l’unico che possa fornire almeno un valore approssimativo della misura cercata.Si debba calcolare l’area di una superficie piana conoscendo una serie di punti del suo bordo. Si uniscano i punti con segmenti, o archi di parabola, o, a seconda dei casi, archi di curve note. L’area da determinare può essere espressa mediante un sistema di disequazioni. Si racchiude l’area da calcolare in un quadrato di lato unitario (cosa sempre possibile con una opportuna scelta delle unità di misura).Supponiamo ora di disporre di due sequenze di numeri casuali distribuitinell’intervallo (0;1) e consideriamo il punto P di coordinate (x;y) con x e y appartenenti rispettivamente alle due sequenze casuali e guardiamo sela coppia (x;y) soddisfa le disequazioni che definiscono l’area interessata.

IL SEGMENTO DI PARABOLA

Ripetendo l’operazione un numero molto grande di volte (legge dei grandinumeri) il rapporto fra il numero di punti che cadono internamente all’area(casi favorevoli) e il numero totale di tentativi (casi possibili) approssimal’area considerata in quanto rappresenta il rapporto (frequenza) tra l’areadella figura e l’area del quadrato in cui essa è racchiusa che, per leconvenzioni fatte, è uguale a uno. Ovviamente il metodo può essereapplicato anche racchiudendo l’area da calcolare in un generico rettangolodi dimensioni note.

Verifica del teorema di Archimede: l’area del segmento parabolico è 2/3 dell’area del rettangolo

in cui è inscritto.Consideriamo una parabola con il vertice nell’origine degli assi (per comodità; comunque è sempre possibile eseguire una traslazione per portarla in questa posizione) e poiché la curva è simmetrica rispetto l’asse y, ne consideriamo solo la parte nel I quadrante.

Costruiamo con excel una tabella che ci permetta di rappresentare la curva e le rette parallele agli assi cartesiani che la delimitano, individuando così il rettangolo che racchiude la figura di cui vogliamo calcolare l’area.

Archimede e il segmento di Parabola

Archimede  usa il procedimento di esaustione per calcolare l'area del segmento di parabola, nel  suo scritto Quadratura della parabola : (naturalmente la dimostrazione  che diamo qui non segue letteralmente quella di Archimede, ma la traduce in linguaggio e simbologia attuale).

Si vuole determinare l'area del segmento di parabola delimitato dal segmento AB . A tal scopo si traccia il triangolo  ABC  inscritto alla parabola (cioè il triangolo formato prendendo il punto C come il punto sull'arco di parabola che è  più distante dal segmento AB ), e su di esso ancora dei triangoli ( AEC  e  CDB costruiti in modo analogo) inscritti alla parabola.

    Sia ora  S l'area cercata ; A 0 l'area del triangolo ABC , A 1 l'area coperta dai triangoli AEC  e  CDB , A2 l'area che si copre ripetendo la costruzione su tutti i lati  AE , EC, CD, DB e così via per  A 3 , A4 , ... , A n .   Ad ogni passo il numero dei triangoli raddoppia, ma la somma di essi è un quarto di quelli del passo precedente, cosicché abbiamo:

   

Sia  A0,A1 ,A2, ... ,A n , una successione di grandezze, ognuna quadrupla della successiva.  allora:

La dimostrazione si avvale di due lemmi:Lemma 1:  L'area del triangolo inscritto è maggiore di metà dell'area del segmento di parabola (cioè, nell'esempio in figura, l'area del triangolo ABC è maggiore di metà dell'area tratteggiata in Fig. 6).Lemma 2:  La somma delle aree dei triangoli AEC  e  CDB è uguale  ad un quarto dell'area di  ABC.

Applicazione del metodo: Ago di Buffon, calcolo di πIl problema dell'ago di Buffon è una questione posta nel XVIII secolo da Georges-Louis Leclerc conte di Buffon: supponiamo di avere unpavimento in parquet, costituito da strisce di legno parallele, tutte dellastessa larghezza, e facciamo cadere un ago sul pavimento. Qual è laprobabilità che l'ago si trovi su una linea fra le due strisce?Il problema può essere ricondotto a un procedimento del metodoMontecarlo per ottenere un valore approssimato di π. Si lascia cadere unago di lunghezza t su una superficie sulla quale si siano tracciate righeparallele a distanza t l'una dall'altra...La probabilità che l'ago incroci una linea èdata da P = 2/π Se l'ago vienelanciato N volte, indicando con Nx il numero di volte che l'ago incrocia una linea Nx/N tende a P all'aumentare di N e quindi 2 N/Nx tende a π.

Determinare il valore di π

Sia M un punto di coordinate (x,y) con 0<x<1 e 0<y<1.

Scegliamo casualmente i valori di x e y. Sia x2 + y2 < 1 allora il punto M appartiene

al disco di centro (0,0) di raggio 1. La formula per determinare l'area di un

disco è il raggio elevato al quadrato per π. Nell'esempio il raggio è pari a uno e quindi l'area di interesse è 1*π = π. Il punto può cadere solo in uno dei quattro quadranti del disco e quindi la probabilità che cada all'interno del disco è π/4.

Facendo il rapporto del numero dei punti che cadono nel disco con il numero dei tiri effettuati si ottiene un'approssimazione del numero π/4 se il numero dei tiri è grande.

Eseguendo numericamente l'esempio si ottiene un andamento percentuale dell'errore mostrato nel

grafico sottostante.

Andamento % dell'errore tra il pi-greco teorico e il pi-greco calcolato. Il programma ha eseguito 1370 milioni di lanci. Si noti che all'inizio l'errore è molto elevato ma rapidamente tende a decrescere. Essendo un metodo statistico ci possono essere dei temporanei innalzamenti dell'errore ma la tendenza è la sua diminuzione all'aumento dei lanci.

Pasquale Costanzo Melania Dell’Omo Costantino Di Domenico Linda Franzese Nicla MarinoAmelia Origine Vincenza Rita RammaironeFrancesco Sgravo Elisabetta Venditti Nicola Virgilio

Anna Maria Pezone L.Scientifico E.Fermi AversaBruno Carbonaro 2^ Università Napoli

Hanno partecipato:Gli studenti con la collaborazione di: