Teoremi e definizioni Analisi Matematica

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    Siccome (n 1)x2 0 per ogni n 1 e per ogni x, se tralasciamo questoaddendo non negativo, otteniamo una nuova quantit non maggiore della

    precedente1

    . Possiamo allora continuare la catena delle disuguaglianze cos:(1 +x)n 1 +nx+ (n 1)x2 1 +nx.

    Il primo e lultimo termine della catena provano la tesi.

    Teorema 3 (Disuguaglianza triangolare). Per ogni x, y R vale la disu-guaglianza

    |x+y| |x| + |y|.Definizione 1 (Maggiorante, estremo superiore). Si dice maggiorante2 diun insieme A R qualunque numero M tale che M x per ogni x A.Si dice estremo superiore di A, e si indica con sup A, il minimo3 di tutti imaggioranti di A, cio

    sup A= min{M R :x M, x A}.

    2. Successioni in R

    Definizione 2 (Definitivamente). Si dice che la successione{an} R pos-siede una certa proprietdefinitivamentese esisteN Na partire dal qualela propriet vera, cio se la propriet vera per gli an tali che n N.Definizione 3 (Limite). Si dice che una successione{an} convergente seesiste un numero l Rtale che, per ogni >0,

    |an l| < definitivamente.

    Il numerol si dice il limitedella successione{an} e si scrivelimn

    an = l,

    oppure

    an l per n .Teorema 4 (Unicit del limite). Se la successionean convergente allorail suo limite unico.

    Dimostrazione. Se fosse, per assurdo, limn an = l1 e limn an = l2,con l1= l2 (e possiamo supporre l1 < l2), allora per ogni > 0 avremmodefinitivamente

    l1

    < an < l1+ e l2

    < an < l2+.

    1Si tratta di una cosiddettaminorazione, che consiste nel passare da una certa quantitdata ad una nuova quantit minore o uguale a questa, pi utile per il tipo di calcoli chesi stanno portando avanti (di solito catene di disuguaglianze).

    2Le definizioni di minorantee di estremo inferioresono analoghe e la loro formulazione lasciata al lettore.

    3Lesistenza di questo minimo garantita dallassioma di completezza di R, in virtdel quale ogni sottoinsieme di Rammette estremo superiore in R = R {+, }.

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    Teorema 6 (Algebra dei limiti). Se an a e bn b per n , cona, b R, allora

    an bn a ban bn a b

    anbn

    ab

    (an)bn ab

    dove nella penultima relazionebn, b = 0 e nellultimaan, a >0.Dimostrazione. (Somma). Occorre dimostrare che, per ogni >0,

    |(an+bn) (a+b)| < definitivamente.Riscrivendo il primo membro, si ottiene

    |an+bn

    a

    b

    |=

    |an

    a+bn

    b

    | |an

    a

    |+

    |bn

    b

    |avendo usato la disuguaglianza triangolare (Teorema 3). Ma, per ipotesi,entrambi i moduli allultimo membro sono definitivamente pi piccoli di qua-lunque numero positivo fissato a priori. In particolare, sono definitivamenteminori del numero/2e dunque la loro somma risulta essere definitivamenteminore di/2 +/2 =.

    Teorema 7(Aritmetizzazione parziale di ). Il Teorema6continua a valereanche sea, b R, purch il risultato delloperazione non rientri in uno deiseguenti sette casi (forme di indecisione):

    , 0, , 0

    0, 1, 0, 00.

    Definizione 6 (Infiniti e infinitesimi). Si dice un infinito una qualunquesuccessione che ha limite uguale a + oppure a. Si dice infinitesimouna qualunque successione che ha limite uguale a0.

    Teorema 8(Il limite conserva le disuguaglianze). Sean 0definitivamenteean a pern , allora5 anchea 0.Teorema 9 (Permanenza del segno). Sean a pern ea >0, alloraan > 0 definitivamente.

    Teorema 10 (Confronto). Se an a pern , bn b per n ean bn definitivamente, alloraa b.Definizione 7 (Ordine di infinito o infinitesimo). Se

    {an

    }e

    {bn

    }sono due

    successioni infinite elimn

    anbn

    = 0,

    allora si dice che{bn} uninfinito di ordine superiorerispetto ad{an}. Sele successioni sono invece infinitesime e il limite del loro quoziente 0, allora

    5La conclusione del teorema non cambia supponendo an > 0 definitivamente. Dunqueloperazione di limite conserva le disuguaglianze, ma in generale le attenua.

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    {an} infinitesimo di ordine superiorerispetto a{bn}. Se il limite finito,lordine (di infinito o di infinitesimo) lo stesso.

    Definizione 8 (Asintotico). Si dice che due successioni{an} e{bn} sonoasintotiche, e si scrive an bn, se

    limn

    anbn

    = 1

    Teorema 11 (Prodotto di infinitesimo per quantit limitata). Se{an} infinitesima e{bn} limitata6 alloraan bn 0 pern .Teorema 12 (Numero di Nepero e). Per ogni successione{an} divergentea esiste finito il limite

    limn

    1 +

    1

    an

    an=e.

    Teorema 13 (Gerarchia degli infiniti). Per ogni >0 e per ognib >1

    limn

    logbn

    n = 0,

    limn

    n

    bn = 0,

    limn

    bn

    n! = 0,

    limn

    n!

    nn = 0.

    3. Funzioni da R in R

    Definizione 9 (Successionale di limite). Si dice che il limite di f(x) per xtendente a c uguale al e si scrive

    limxc

    f(x) =l,

    se per ogni successione {cn} tale checn cpern si ha chef(cn) l.Definizione 10 (Limite destro). Si dice che il limite per x cda destra dif(x) uguale a l , e si scrive

    limxc+

    f(x) =l,

    se per ogni successione {cn} tale checn c+ pern si ha chef(cn) l.Definizione 11(Limite per eccesso). Si dice che il limite perx cdi f(x) uguale a l per eccesso, e si scrive

    limxc

    f(x) =l+,

    se per ogni successione {cn} tale checn cper n si ha chef(cn) l+.6La successione {bn}si dice limitata se esiste M >0 tale che |bn|< Mper ogni n.

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    Teorema 14 (Estensione dei teoremi sui limiti di successioni). Tutti i teo-remi sul limite delle successioni valgono anche per i limiti delle funzioni.

    In particolare valgono: il Teorema9(permanenza del segno), il Teorema10(confronto), il Teorema 11 (prodotto di un infinitesimo per una quantitlimitata), il Teorema13(gerarchia degli infiniti).

    Definizione 12 (Intorni). Si dice intorno di un punto c R un qualunqueintervallo aperto7 che contiene il punto. Si dice intorno di + qualunquesemiretta(M, +).Definizione 13 (Definitivamente). Si dice che una certa propriet vale de-finitivamente per x c se essa vale per tutti i punti di un intorno di cescluso tuttal pi il punto c stesso, cio se esiste un intorno V dic tale chela propriet vale per ogni x V\ {c}.Definizione 14(Topologica di limite). Si dice che il limite dif(x)perx

    c

    uguale a l (c, l R) se, per ogni intornoU dil ,f(x) U definitivamenteper x c.Definizione 15 (Continuit). Si dice che la funzione f(x) continua in unpuntox0 del suo dominio se esiste il

    limxx0

    f(x) =f(x0).

    Sef continua in tutti i punti di un intervalloI, si dice che f continua inI.

    Definizione 16(Discontinuit a salto). Si dice che la funzionef(x)presentaunadiscontinuit a salto in x0 se

    limxx0

    f(x) =l1 R, limxx+0

    f(x) =l2 R,

    mal1=l2. Si chiama salto della funzione inx0 il numerol2 l1.Teorema 15 (Algebra delle funzioni continue). La somma, il prodotto e ilquoziente di funzioni continue sono funzioni continue, laddove sono definite.

    Teorema 16 (Continuit delle funzioni elementari). Potenze e radici, espo-nenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche elementari e loro inverse sonofunzioni continue in ogni punto del loro dominio.

    Teorema 17 (Cambio di variabile nel limite). Se

    limxx0 f(x) =a, limta g(t) =b

    e vale inoltre una almeno delle seguenti due ipotesi:

    i) f(x) =a definitivamente perx x0, oppureii) g(t) continua ina,

    7Si pu considerare intorno di c qualunque insieme che contenga un intervallo apertoche contiene il punto c. Questi insiemi contengono gli elementi vicini a c in R.

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    alloralimxx0

    g(f(x)) = limta

    g(t) =b.

    Teorema 18 (Continuit della funzione composta). Sef(x) continua inx0 eg(t) continua int0= f(x0), allorag(f(x)) continua inx0.

    Teorema 19 (Degli zeri). Sef continua in [a, b] ef(a) f(b)< 0, alloraesistec (a, b) tale chef(c) = 0.Dimostrazione. (Metodo di bisezione) Si pone a0 = a e b0 = b, poi si

    considerac0= a0+b0

    2 . Sef(c0) = 0, c0 lo zero cercato, altrimenti poniamo

    a1 = a0, b1= c0 sef(c0)(a0)< 0;

    a1=c0, b1= b0 sef(c0)(b0)< 0.

    Osserviamo che abbiamo ottenuto un intervallo [a1, b1]lungo la met di [a, b]

    e tale che agli estremifha segno opposto. Si considera quindic1=

    a1+b1

    2 e siripete il procedimento, ottenendo un intervallo [a2, b2]con le stesse propriet.Iterando la costruzione, abbiamo una successione di intervalli [an, bn] taliche f(an)f(bn) < 0 e bn an = (1/2)n. La successione{an} crescente,mentre la successione{bn} decrescente, inoltre entrambe le successionisono limitate perch contenute in [a, b] e dunque ammettono limite finitoper il Teorema 5. Ma siccome (bn an) 0 per n , i due limitidevono per forza coincidere. Chiamato c questo limite comune, non restache dimostrare che f(c) = 0. Poich f(an)f(bn) < 0 per ogni n, portandoquesta disuguaglianza al limite, abbiamo, per il Teorema8,

    f(an)f(bn) < 0

    f(c)f(c) 0dovelimn f(an)f(bn) =f(c)f(c)per la continuit dife per il teorema dellimite del prodotto (Teorema6). Siccome, ovviamente,f(c)f(c) =f2(c) 0,ne segue che f2(c) = 0 e cio f(c) = 0.

    Teorema 20 (di Weierstrass). Se f continua in [a, b] allora f ammettemassimo assoluto Me minimo assoluto m in [a, b], cio esistono xm, xM[a, b] tali che

    m= f(xm) f(x) f(xM) =M, per ognix [a, b].Teorema 21 (Dei valori intermedi). Sef continua in [a, b] edm, M sono

    il minimo e il massimo assoluti di f in [a, b], allora per ogni y [m, M]esistec [a, b] tale chef(c) =y. In altre parole, f([a, b]) = [m, M].Teorema 22 (Limiti notevoli).

    limx0

    sin x

    x = 1,

    limx0

    1 cos xx2

    =1

    2,

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    limx0

    ex 1x

    = 1,

    limx0

    log(1 +x)x = 1,

    limx0

    (1 +x) 1x

    =.

    Dimostrazione. Il primo limite si dimostra osservando che nel cerchio trigo-nometrico il triangolo di base 1 e altezza sin x incluso nel settore circolaredi ampiezzaxche, a sua volta, contenuto nel triangolo di base 1 e altezzatan x. Quindi le aree di queste tre figure8 sono nella relazione

    1

    2sin x 1

    2x 1

    2tan x.

    Sex >0, dividendo per sin xe moltiplicando per 2, si ottiene

    1 xsin x cos x.Per il teorema del confronto, segue la tesi. Analogo ragionamento si fa sex

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    Teorema 23(Uso delle stime asintotiche). In un limite possibile sostituireun fattore con una sua stima asintotica senza alterare il risultato del limite.

    La stessa cosa non vale in generale per addendi, basi o esponenti.4. Calcolo differenziale per funzioni da R in R

    Definizione 18 (Derivata). Una funzione f(x), definita in un intorno diun punto x0, si dice derivabile in x0 se esiste finito il limite del rapportoincrementale perx x0. Il valore di tale limite si indica con f(x0), cio:

    f(x0) := limxx0

    f(x) f(x0)x x0 = limh0

    f(x0+h) f(x0)h

    .

    Si parla di derivatadestraf+(x0), osinistraf

    (x0), nel caso in cui il limite

    sia un limite destro o sinistro.

    Definizione 19(Punto angoloso). Si dice che x0 unpunto angoloso per la

    funzionef sef continua inx0 ed esistono finite le derivate destra e sinistrain x0, ma sono diverse.

    Definizione 20 (Flesso o punto a tangente verticale). Si dice che x0 unpunto di flesso a tangente verticaleper la funzione f se f continua in x0ed i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in x0coincidono e sonoinfiniti. Se f definita solo in un intorno destro di x0 (o solo in un intornosinistro) e il limite del rapporto incrementale infinito, si parla di punto atangente verticale.

    Definizione 21 (Cuspide). Si dice che la funzione f presenta una cuspideinx0 sef continua inx0 ed entrambi i limiti destro e sinistro del rapportoincrementale sono infiniti, ma di segno opposto.

    Teorema 24(Relazione tra derivabilit e continuit). Se una funzionef(x) derivabile inx0, alloraf(x) continua inx0.

    Dimostrazione. Dalla definizione di derivata,

    limxx0

    f(x) f(x0)x x0 =f

    (x0),

    ciof(x) f(x0)

    x x0 f(x0) =(x) 0 per x x0.

    Quindi f(x) f(x0) = (x x0) [f(x0) +(x)] 0 per x x0. Ne seguechef(x) f(x0)perx x0, cio la continuit dif in x0. Teorema 25 (Algebra delle derivate). Somme algebriche, prodotti e quo-zienti di funzioni derivabili inx sono derivabili inx e inoltre

    (f+g)(x) =f(x) +g(x)

    (f g)(x) =f(x)g(x) +f(x)g(x)1

    f

    (x) = f(x)

    f2(x)

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    10 f

    g

    (x) =f(x)g(x) f(x)g(x)

    g2(x) .

    Dimostrazione. (Derivata della somma.) Il rapporto incrementale di(f+ g)

    (f+g)(x+h) (f+ g)(x)h

    =f(x+h) +g(x+h) (f(x) +g(x))

    h ,

    che si pu riscrivere come

    f(x+h) f(x)h

    +g(x+h) g(x)

    h f(x) +g(x)

    per h 0, per il teorema sul limite della somma.

    Teorema 26 (Derivata di funzione composta). Sef(x) derivabile inx0 eg(y) derivabile iny0= f(x0), allora la funzione compostag

    f derivabile

    inx0 e vale la formula(g f)(x0) =g (f(x0)) f(x0).

    Teorema 27 (Derivata della funzione inversa). Se f invertibile in unintorno dix0 ed derivabile inx0, conf

    (x0)= 0, alloraf1 derivabileiny0= f(x0) e vale la formula

    (f1)(y0) = 1

    f(x0).

    Definizione 22 (Estremi). Si dice che M massimo (assoluto, o globale)dif in [a, b] e x0 [a, b]punto di massimo se

    f(x0) =M

    f(x) per ognix

    [a, b].

    Analoga definizione vale per iminimie ipunti di minimo. Massimi e minimisi dicono anche estremi. Se la disuguaglianza precedente non vale in tutto[a, b], ma solo in un intorno9 dix0, si parla di estremi relativi, o locali.

    Teorema 28(Di Fermat). Sef(x) derivabile in(a, b)e ammette un puntodi estremo x0 (a, b) allora10

    f(x0) = 0.

    Dimostrazione. Se x0 , ad esempio, un punto di massimo (non importa selocale o globale), allora prendendo h >0 si ha

    f(x0+h) f(x0)h

    0

    in un intorno destro di x0, mentre prendendo h

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    in un intorno sinistro di x0. Portando al limite la prima disuguaglianza,per il teorema della permanenza del segno, si ottiene f+(x0) 0 da destra.Portando al limite la seconda, si ottiene invece f

    (x0)0 da sinistra. Masiccomef derivabile in x0 per ipotesi, si concludef+(x0) =f(x0) = 0.

    Teorema 29 (di Lagrange, o del valor medio11). Sef continua in [a, b] ederivabile in(a, b), allora esistec (a, b) tale che

    f(b) f(a)b a =f

    (c).

    Dimostrazione. Chiamiamo

    r(x) =f(a) +f(b) f(a)

    b a (x a)la retta passante per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). Il coefficiente angolare di

    r(x) uguale al primo membro della disuguaglianza da dimostrare. Consi-deriamo allora la funzione w(x) = f(x) r(x). Il teorema dimostrato sefacciamo vedere che esiste c (a, b) tale che w (c) = 0. Infatti, ne segue che(f(c) r(c)) = 0e ciof(c) =r (c). Osserviamo che w continua in [a, b],perch differenza di funzioni continue, ed derivabile in (a, b), per lo stessomotivo. Per il Teorema 20 (di Weierstrass), w ammette dunque massimoassolutoMe minimo assoluto m in [a, b]. Distinguiamo due casi:

    1) se m = M allora w costante su [a, b] e dunque w(c) = 0 per ognic (a, b);

    2) se invece m= M, siccome w(a) = w(b), allora M e m non possonoessere raggiunti entrambi agli estremi dellintervallo [a, b]e, necessariamente,uno almeno dei due viene raggiunto in un punto c interno ad (a, b); esiste

    quindi almeno un c (a, b) tale che, questa volta per il Teorema 28 (diFermat),w(c) = 0.In ciascuno dei casi la tesi dimostrata.

    Teorema 30 (Test di monotonia). Sef derivabile in(a, b), allora

    i) f crescente in(a, b) se e solo sef(x) 0 per ognix (a, b);ii) f decrescente in(a, b) se e solo sef(x) 0 per ognix (a, b).

    Teorema 31(Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla). La funzionef costante su(a, b) se e solo sef(x) = 0 per ognix (a, b).Dimostrazione. In un verso, se f costante in (a, b), allora si prova diret-tamente (con la definizione) che f derivabile in (a, b) e la sua derivata

    identicamente nulla. Nellaltro, se esistessero per assurdo due punti a0e b0in(a, b)tali chef(a0) =f(b0), allora, applicando il teorema di Lagrange (Teo-rema29) allintervallo (a0, b0), troveremmo c (a0, b0) tale che f(c)= 0,contraddicendo lipotesi.

    11La quantit f(b)f(a)ba

    rappresenta la variazione media di f su [a, b]; interpretando fcome lo spazio e x come il tempo, questo valore la velocit media su [a, b]. Il teoremaafferma che la velocit media (valore astratto) effettivamente realizzata lungo il percorso.

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    5. Serie numeriche

    Definizione 23 (Serie numerica). Data una successione

    {an

    } R, si dice

    serie ditermine generale an la scrittura formalen=0

    an.

    Si dice successionedelle somme parziali di{an}la successione{sn}definitaponendo per ogni n N

    sn =n

    k=0

    ak.

    Si dice che la serie

    n=0an convergente, divergente o irregolare se tale il carattere di{sn}. In particolare, se{sn} convergente e il suo limite s,si dice che s la sommadella serie e si scrive

    n=0

    an = s.

    Teorema 32 (Serie geometrica). Per ogni q R, la serie geometrica diragioneq

    n=0

    qn

    converge e la sua somma 11q se|q|

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    13

    Portando al limite entrambi i membri di questa uguaglianza si ottiene

    limn

    an= s

    s

    cioan tendo a zero.

    Teorema 34 (Divergenza della serie armonica).n=1

    1

    n= +.

    Dimostrazione. Raggruppiamo i termini della serie nel modo seguente:

    1+1

    2+

    1

    3+

    1

    4

    +

    1

    5+

    1

    6+

    1

    7+

    1

    8

    +

    1

    9+

    1

    10+

    1

    11+

    1

    12+

    1

    13+

    1

    14+

    1

    15+

    1

    16

    + . . .

    Minorando ogni gruppo, otteniamo la quantit pi piccola

    1+ 12

    + 14

    +14

    1/2

    +18

    + 18

    + 18

    + 18

    1/2

    + 116

    + 116

    + 116

    + 116

    + 116

    + 116

    + 116

    + 116

    1/2

    . . .

    Questo mostra che s1 1, s2 1 + 12 , s4 1 + 12+ 12. . . e, in generale,

    s2n 1 +n12

    .

    Siccome il secondo membro tende a + per n , abbiamo dimostratochesup{sn} = + ed essendo{sn}crescente, tale anche il suo limite.

    Teorema 35 (Serie armonica generalizzata). Per ogni R, la serien=1

    1n converge se >1diverge a + se 1.

    Teorema 36(Criterio del confronto). Se

    n=0an e

    n=0bn sono due seriea termini non negativi ean bn definitivamente, allora

    se

    n=0bn converge, anche

    n=0an converge; se

    n=0an diverge, anche

    n=0bn diverge.

    Teorema 37 (Criterio del confronto asintotico). Se

    n=0an e

    n=0bnsono due serie a termini non negativi ean bn, allora le due serie hannolo stesso carattere13.

    Teorema 38 (Criterio del rapporto). Data la serie

    n=0an, conan >0 e

    posto chelimn

    an+1an

    =l R

    allora

    se l 1 la serie diverge,

    13Non detto per che abbiano la stessa somma.

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    se l= 1 non si pu concludere nulla.Teorema 39 (Criterio della radice). Data la serien=0an, conan 0 eposto che

    limn

    n

    an = l R

    allora

    se l 1 la serie diverge, se l= 1 non si pu concludere nulla.

    Teorema 40 (Convergenza assoluta e convergenza semplice). Se la serie

    n=0 |an| converge, allora converge anche la serie

    n=0an.

    Teorema 41 (Criterio di Leibniz). La serie a segni alterni

    n=0

    (1)n an

    convergente sean 0. 14

    6. Polinomi e serie di Taylor

    Definizione 24 (o piccolo). Si dice che f(x) un o piccolo di g(x) perx c, e si scrive f=o(g) perx c, se

    limxc

    f(x)

    g(x) = 0.

    Se, in particolare, g un infinitesimo per xc, allora f un infinitesimoper x c di ordine superiore rispetto a g .Teorema 42 (Relazione tra o piccolo e asintotico). Per x c vale laseguente equivalenza:

    f(x) =g(x) +o(g(x)) se e solo sef(x) g(x).Definizione 25 (Polinomio di MacLaurin). Se f derivabile n volte inx= 0, esiste uno e un solo polinomioTn(x), di grado n, tale che

    Tn(0) =f(0), T

    n(0) =f(0), . . . , T (n)n (0) =f

    (n)(0).15

    Questo polinomio, dettopolinomio di MacLaurin dif(x)di ordinen, datodalla formula

    Tn(x) =n

    k=0

    f(k)(0)

    k! xk.

    14Il simbolo an 0 significa due cose: 1) an 0 per n ; 2) {an} monotonadecrescente.

    15Il simbolof(n) indica la derivata n-esima dif, da non confondere con fn, che denotala potenza n-esima di f. Il simbolo f(0) indica la funzione fstessa (derivata di ordine 0).

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    15

    Definizione 26 (Polinomio di Taylor). Sef derivabile nvolte in x= x0,esiste uno e un solo polinomio Tn,x0(x), di grado n,16 tale che

    Tn,x0(x0) =f(x0), Tn,x0(x0) =f(x0), . . . , T (n)n,x0(x0) =f(n)(x0).

    Questo polinomio, dettopolinomio di Taylor dif(x)di ordinen centrato inx0, dato da

    Tn,x0(x) =n

    k=0

    f(k)(x0)

    k! (x x0)k.

    Teorema 43(Formula di Taylor con resto secondo Peano). Sef : (a, b) R derivabilen volte inx0 (a, b), allora17

    f(x) =Tn,x0(x) +o

    (x x0)n

    perx x0.Teorema 44(Formula di Taylor con resto secondo Lagrange). Sef : [a, b] R derivabile n+ 1 volte in [a, b] e x0

    [a, b], allora esiste un punto c

    compreso trax0 ex tale che

    f(x) =Tn,x0(x) +f(n+1)(c)

    (n+ 1)!(x x0)n+1.

    Teorema 45 (Formule di MacLaurin delle funzioni elementari con resto diPeano).

    ex = 1 +x+x2

    2! +

    x3

    3! + +x

    n

    n! +o(xn)

    ln(1 +x) =x x2

    2 +

    x3

    3 + (1)n1x

    n

    n +o(xn)

    sin x= x

    x3

    3!

    +x5

    5!

    +

    + (

    1)n

    x2n+1

    (2n+ 1)!

    +o(x2n+1)

    cos x= 1 x2

    2! +

    x4

    4! + + (1)n x

    2n

    (2n)!+o(x2n).

    Teorema 46 (Sviluppi in serie delle funzioni elementari).

    ex =k=0

    xk

    k!

    ln(1 +x) =k=1

    (1)k1xk

    k

    sin x=

    k=0

    (

    1)k x2k+1

    (2k+ 1)!

    cos x=k=0

    (1)k x2k

    (2k)!.

    16Come gi nei polinomi di MacLaurin, il grado minore di n se f(n)(x0) = 0.17La formula permette di ricavare il valore di fin un punto qualsiasix (a, b)a partire

    dai valori di fe delle sue derivate nel solo punto x0.

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    16

    7. Calcolo integrale per funzioni da R in R

    Definizione 27(Somme di Cauchy-Riemann). Data una funzionefdefinita

    e limitata in[a, b]e diviso lintervallo[a, b]innintervalli[xj, xj+1]della stessaampiezza ban , si dice sommanesima di Cauchy-Riemann il numero

    Sn =

    n1j=0

    b an

    f(j)

    dove j un numero scelto arbitrariamente nellintervallo [xj, xj+1]. Ognisuccessione {Sn}nN, ottenuta con questo procedimento per ogni scelta pos-sibile deglij , si dice successione di CauchyRiemann

    Definizione 28 (Funzione integrabile, integrale definito). Una funzione f,definita e limitata in [a, b], si dice integrabile in [a, b] se esiste ed finito illimite, pern

    , di ogni successione di Cauchy-Riemann e se il suo valore

    lo stesso per tutte le successioni, indipendentemente dalla scelta dei puntij . Questo limite si chiamaintegrale definito di f in [a, b] e viene indicatocol simbolo b

    af(x) dx = lim

    n

    n1j=0

    b an

    f(j)

    .

    Teorema 47 (Classi di funzioni integrabili). Sef continua in [a, b] alloraf integrabile in [a, b]. Se f monotona e limitata in [a, b] allora f integrabile in [a, b].

    Teorema 48(Propriet dellintegrale definito). Lintegrale definito soddisfale seguenti propriet:

    linearit: sef eg sono integrabili in [a, b] e, R, allora anche(f+g) integrabile in [a, b] e vale luguaglianza b

    a[f(x) +g(x)] dx=

    ba

    f(x) dx+

    ba

    g(x) dx;

    additivit rispetto allintervallo18 di integrazione: sef integrabile in[a, b] er [a, b] alloraf integrabile anche in [a, r] e in [r, b] e vale b

    af(x) dx=

    ra

    f(x) dx+

    br

    f(x) dx;

    positivit: sef integrabile in [a, b] ef 0 in [a, b] allora ba

    f(x) dx 0; monotonia: sef eg sono integrabili in [a, b] ef g in [a, b] allora b

    af(x) dx

    ba

    g(x) dx.

    18Per convenzione, si poneab

    f(x) dx= ba

    f(x) dx.

  • 8/9/2019 Teoremi e definizioni Analisi Matematica

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    17

    Dimostrazione. (Solo linearit, positivit e monotonia.) La linearit se-gue direttamente dalla definizione. La somma di CauchyRiemann per la

    funzione(f+ g)pu infatti essere riscritta cos:n1j=0

    b an

    (f+ g)(j) =n1j=0

    b an

    f(j) +n1j=0

    b an

    g(j).

    Portando al limite entrambi i membri (e usando il teorema del limite dellasomma), si ottiene la tesi. La positivit segue invece dal teorema della per-manenza del segno, perch se f 0 allora ogni somma di CauchyRiemann non negativa e tale sar anche il suo limite. La monotonia segue dallapositivit e dalla linearit: se infatti f(x)g(x) allora la funzione (f g) non negativa in [a, b] e dunque

    ba

    [f(x) g(x)] dx= ba

    f(x) dx ba

    g(x) dx 0.

    Lultima disuguaglianza prova la tesi.

    Teorema 49 (Della media). Sef continua in [a, b] allora esistec [a, b]tale che

    1

    b a ba

    f(x) dx= f(c).

    Il valoref(c) si dice valore medio dif su [a, b].

    Dimostrazione. Per il teorema di Weierstrass (Teorema 20), f ammette

    massimo e minimo assoluti su [a, b]. Dunque esistono m, M Rtali chem f(x) M per ognix [a, b].

    Per la monotonia dellintegrale avremo ba

    m dx ba

    f(x) dx ba

    M dx,

    cio

    m(b a) ba

    f(x) dx M(b a),

    e quindi

    m 1b a

    ba

    f(x) dx M,

    dunque il valore 1babaf(x) dxappartiene allintervallo [m, M] e per il teo-

    rema dei valori intermedi (Teorema 21) esso viene raggiunto dalla funzionecontinua f in qualche punto c [a, b].

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    18

    Definizione 29 (Primitiva). Si dice che G(x) una primitiva19 di f(x) inun intervallo[a, b] se G derivabile in [a, b] e

    G(x) =f(x) per ognix [a, b].Teorema 50 (Primo teorema fondamentale del calcolo integrale). Se f integrabile in [a, b] eG una primitiva dif in [a, b], allora b

    af(x) dx= G(b) G(a).

    Dimostrazione. Si divida lintervallo[a, b]in un numero arbitrariondi inter-valli della stessa ampiezza. Sex0, x1, x2, . . . , xnsono gli estremi di questi in-tervalli, conx0= aexn= b, allora lespressioneG(b)G(a) =G(xn)G(x0)pu essere riscritta nel seguente modo:

    G(xn)

    G(x0) =G(xn)

    G(xn1)

    G(xn2)

    G(x1)

    G(x0).

    Raggruppando gli addendi a due a due, si ottiene

    G(b) G(a) =n1j=0

    G(xj+1) G(xj)

    .

    Applicando il Teorema 29 (di Lagrange) alla funzione G(x) nellintervallo[xj , xj+1], si ricava lesistenza dij [xj, xj+1]tale che

    G(xj+1) G(xj)xj+1 xj =G

    (j).

    Ma G una primitiva di f e dunque G() = f(). Inoltre lampiezzaxj+1

    xj di ogni intervallo costante e vale

    ba

    n

    . In definitiva abbiamo

    G(xj+1) G(xj) = b an

    f(j).Sostituendo questa espressione nella sommatoria iniziale, si ottiene

    G(b) G(a) =n1j=0

    b an

    f(j),

    cio una sommanesima di CauchyRiemann perf in[a, b]. Inoltre, questaparticolare successione di CauchyRiemann costante, valendoG(b) G(a)per ogni n. Passando al limite per n , dalla precedente uguaglianzaotteniamo

    G(b) G(a) = limn

    n1j=0

    b an

    f(j) = b

    af(x) dx,

    essendof integrabile in [a, b]per ipotesi.

    19Non ogni funzionefammette una primitiva. Sefpresenta, ad esempio, discontinuita salto in [a, b], si pu dimostrare che fnon pu avere primitiva in [a, b].

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    19

    Teorema 51 (Integrazione per scomposizione).

    [f(x) +g(x)] dx= f(x) dx+ g(x) dx.Teorema 52 (Integrazione per sostituzione).

    f((x))(x) dx=

    f(t) dt, t= (x).

    Per lintegrale definito: ba

    f((x))(x) dx=

    (b)(a)

    f(t) dt (t= (x)).

    Teorema 53 (Integrazione per parti).

    f(x)g(x) dx= f(x)g(x) f(x)g(x) dx.

    Definizione 30 (Funzione integrale). Data una funzione f integrabile in[a, b] e un punto x0 [a, b], si chiamafunzione integraledif la funzione

    F(x) =

    xx0

    f(t) dt.

    Teorema 54 (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale). Sef integrabile in [a, b] ex0 [a, b] allora

    i) la funzione integraleF(x) =xx0

    f(t) dt continua in [a, b];

    ii) se f anche continua in [a, b], allora F(x) derivabile e la suaderivata coincide conf(x) in tutto [a, b], cio20

    F(x) =f(x) per ognix [a, b].Dimostrazione. i) Per definizione,F(x) continua nel generico x [a, b] see solo se F(x)F(x) per x x. Ponendox = x+h, allora sufficientemostrare che

    F(x+h) F(x) 0per h 0. Abbiamo

    F(x+h) F(x) = x+hx0

    f(x) dx xx0

    f(x) dx

    =

    x+hx

    f(x) dx

    e lultimo termine della catena di uguaglianze tende a zero perch, se f integrabile su [a, b], allora il suo integrale tende a zero al tendere a zerodellampiezza dellintervallo di integrazione21.

    20La conclusione importante allora che ogni funzione continua fammette una primi-tiva: la sua funzione integrale F. Quando sono state definite le primitive, non era statadata nessuna garanzia che queste esistessero per classi abbastanza generali di funzioni.

    21Se f limitata, la dimostrazione di questo fatto immediata: basta infatti mag-giorarefcon la costante della limitatezza e applicare la monotonia dellintegrale rispettoallintegranda.

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    20

    ii) Per i calcoli gi svolti, il rapporto incrementale di F(x) nel genericox [a, b] vale

    F(x+h) F(x)h

    = 1

    h

    x+hx

    f(x) dx= f(ch), con ch [x,x+h],

    avendo applicato nellultimo passaggio il teorema della media in virt delfatto che f continua in [a, b]. Siccomech [x,x+h] e perci ch x perh 0, si deduce che

    F(x) = limh0

    F(x+h) F(x)h

    = limh0

    f(ch) =f(x),

    dove lultimo passaggio segue ancora dalla continuit di f in x.

    Definizione 31 (Integrali generalizzati). Se f : [a, +) R integrabilein ogni intervallo [a, c], con c a, allora si definisce integrale generalizzatodif sullinsieme illimitato [a, +) il numero, se esiste22, +

    af(x) dx= lim

    c+

    ca

    f(x) dx

    .

    Se f : [a, b) R tale che limxbf(x) = , maf integrabile in ogniintervallo [a, c], con a c b, allora si definisce integrale generalizzato di fsu [a, b)il numero, se esiste,

    b

    a

    f(x) dx = limcb

    c

    a

    f(x) dx .Teorema 55 (Convergenza degli integrali generalizzati). Il problema dellaconvergenza23 degli integrali generalizzati isomorfo al problema della con-vergenza delle serie numeriche e si applicano gli stessi risultati. In partico-lare:

    la convergenza assoluta (cio lintegrabilit in senso generalizzato di|f|) implica la convergenza semplice (cio lintegrabilit dif);

    sef 0su[a, +), condizione necessaria per la convergenza dellin-tegrale generalizzato su[a, +) chefsia infinitesimo perx +e condizione sufficiente che lo sia di ordine >1 rispetto a 1x ;

    sef(x) + perx b, condizione sufficiente per la convergenzadellintegrale generalizzato di f su [a, b) che f sia un infinito diordine

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    21

    8. Equazioni differenziali

    Definizione 32(Equazione differenziale). Si diceequazione differenzialedi

    ordinen unequazione della forma

    F(t ,y ,y, y, . . . , y(n)) = 0,

    dove y(t) la funzione incognita e F una funzione assegnata nelle n+ 1variabili t, y, y, . . . y(n), a valori reali. Lordine dellequazioni lordinemassimo di derivazione che vi compare. Si dice soluzione, ointegrale, delle-quazione differenziale nellintervallo Iuna funzione (t), definita almeno inIe a valori reali, tale che

    F(t, (t), (t), (t), . . . , (n)(t)) = 0 per ognit I.Si dice integrale generale linsieme di tutte le soluzioni dellequazione. Le-quazione si dice in forma normalese si pu esplicitare la derivata di ordine

    massimo:y(n)(t) =f(t ,y ,y, . . . , y(n1))

    Definizione 33(Problema di Cauchy). Si diceproblema di Cauchyassocia-to allequazione differenziale di ordine n F(t ,y ,y, . . . , y(n)) = 0 il problema

    F(t ,y ,y, . . . , y(n)) = 0y(t0) =y0y(t0) =y1. . .

    y(n1)(t0) =yn1

    che consiste nel trovare una soluzione dellequazione che soddisfi anche le n

    condizioni aggiuntive, dette condizioni iniziali.24

    Definizione 34 (Equazione a variabili separabili). Unequazione differen-ziale si dicea variabili separabilise si pu scrivere nella forma

    y(t) =a(t)b(y)

    dove a(t) una funzione continua in un intervallo I e b(y) una funzionecontinua in un intervallo J.

    Definizione 35(Spazi di funzioniCn). Si dice che una funzionef di classeCn in un intervallo I, per qualche n N, e si scrive

    f Cn(I),se f derivabile n volte in I e la sua derivata nesima continua25 in I.La classe C(I) coincide con la classe delle funzioni continue in I(si omette

    24Mentre le soluzioni dellequazione in generale sono infinite, la soluzione del problemadi Cauchy sotto ipotesi ragionevoli unica.

    25La funzione integrale F(x)di una funzione continua f(x), ad esempio, di classe C1

    perch, per il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, la sua derivata coincidecon f, che appunto continua.

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    23

    Teorema 58 (Integrale generale per equazioni lineari del primo ordine).Lintegrale generale dellequazioney (t)+a(t)y(t) =f(t) dato dalla formula

    y(t) =ceA(t) +eA(t)

    f(t)eA(t) dt, c R,doveA(t) una (qualsiasi) primitiva dia(t).

    Teorema 59 (Problema di Cauchy per equazioni lineari del primo ordine).Sea(t) ef(t) sono continue inI et0 I, allora il problema di Cauchy

    y(t) +a(t)y(t) =f(t)y(t0) =y0

    ammette una e una sola soluzione28 y C1(I) per ogniy0 R, data da

    y(t) =y0eA(t) +eA(t)

    t

    t0

    f(t)eA(t) dt,

    doveA(t) =tt0

    a(s)ds.

    Teorema 60(Problema di Cauchy per equazioni lineari del secondo ordine).Sea(t), f(t) sono continue inI e t0 I, allora il problema di Cauchy

    y(t) +a(t)y(t) +b(t)y(t) =f(t)y(t0) =y0y(t0) =y1

    ammette una e una sola soluzioney C2(I) per ogniy0, y1 R.Teorema 61(Struttura dellintegrale generale delle equazioni lineari). Lin-tegrale generale dellequazione lineare e omogenea di ordinen,Ly = 0, in un

    dato intervallo I, uno spazio vettoriale di dimensionen, sottospazio vetto-riale diCn(I). Lintegrale generale dellequazione completaLy= f si ottie-ne sommando lintegrale generale dellomogenea a una particolare soluzionedella completa.

    Teorema 62 (Equazione del secondo ordine a coefficienti costanti omo-genea). Lintegrale generale dellequazione lineare, omogenea, del secondoordine, a coefficienti costantia, b R

    y +ay +by = 0

    dipende dal valore del determinante dellequazione caratteristica

    r2 +ar+b= 0

    nel seguente modo:

    se> 0 er1, r2 sono le soluzioni reali distinte dellequazione carat-teristica, lintegrale generale

    c1er1t +c2e

    r2t, c1, c2 R;28A differenza del teorema analogo per equazioni separabili, qui garantita lesistenza

    della soluzione in tutto lintervallo Idi regolarit dei coefficienti.

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    24

    se < 0 ei sono le soluzioni complesse coniugate dellequazionecaratteristica, allora lintegrale generale

    et(c1cos t+c2sin t), c1, c2 R; se = 0 er la soluzione reale dellequazione caratteristica, allora

    lintegrale generale

    c1ert +c2te

    rt, c1, c2 R.Teorema 63 (Metodo di somiglianza). Una soluzione particolarey(t) del-lequazione lineare, completa, del secondo ordine, a coefficienti costanti

    y +ay +by= f(t)

    somiglia af(t) nei casi elencati di seguito:

    sef(t) = pr(t), cio sef un polinomio di grado r, allora anchey un polinomio di grado maggiore o uguale ar e precisamente:

    y(t) =tmqr(t),

    doveqr(t) un polinomio di grado r em la molteplicit del numero0come soluzione dellequazione caratteristica29. I coefficienti diqr(t)si trovano sostituendo lespressione diy nellequazione differenziale;

    sef(t) =Aet alloray(t) =Btmet

    dovem la molteplicit di come soluzione dellequazione caratte-ristica30 e il valore della costanteB si pu ottenere per sostituzionenellequazione differenziale oppure ricordando direttamente che:

    sem= 0 alloraB= A/(2 +a+b), sem= 1 alloraB= A/(22 +a), sem= 2 alloraB= A/2;

    sef(t) =A cos t, oppuref(t) =A sin t, alloray(t) =tm

    c1cos t+c2sin t

    ,

    dove m la molteplicit del numero complesso i nellequazionecaratteristica31 e c1 e c2 sono costanti da determinare sostituendolespressione diy nellequazione differenziale.

    29Essendo lequazione caratteristica di secondo grado, m pu assumere solo tre valori:m = 0 se 0 non soluzione dellequazione caratteristica (cio se b = 0); m = 1 se 0 soluzione semplice (cio se b = 0 ma a = 0); m = 2 se 0 soluzione doppia (cio sea= b = 0).

    30Ciom = 0se non soluzione dellequazione caratteristica; m = 1se soluzionesemplice (cio annulla il polinomio caratteristico, ma non la sua derivata); m = 2 se soluzione doppia (cio annulla sia il polinomio caratteristico, che la sua derivata).

    31Dalla teoria dei numeri complessi, il parametro m pu assumere in questo caso soloi valori 0 o 1. Per decidere quale dei due valori attribuire, basta sostituire il numeroi nellequazione caratteristica, ricordando, nei calcoli, che i2 = 1. Se i soluzionedellequazione caratteristica allora m = 1, altrimenti m = 0. In particolare m = 0 ognivolta che lequazione caratteristica ha soluzioni reali.

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    25

    Teorema 64 (Metodo di sovrapposizione). Se si indica con Ly il primomembro di unequazione differenziale lineare (in forma normale) e si consi-

    dera unequazione completa del tipoLy(t) =f1(t) +f2(t),

    allora una soluzione di questa equazione data da y1+ y2, dove y1 unasoluzione diLy= f1 ey2 una soluzione diLy= f2.

    9. Funzioni da Rn in R

    Definizione 38 (notazioni). Il generico punto (vettore) di Rn si indica con

    x= (x1, x2, . . . , xn).

    Se n= 2 allora si usa la notazione x= (x, y) e se n= 3 si usa la notazionex= (x,y ,z). La lunghezza32 del vettore xviene indicata con

    |x

    |(pern = 1

    si riduce allusuale modulo di un numero reale).

    Definizione 39 (Grafico). Data una funzione f : A Rn R, si dicegrafico difil sottoinsieme di Rn+1

    {(x, z) Rn+1 : x A, z = f(x)}.Definizione 40 (Insiemi di livello). Data una funzione f : A Rn R escelto un numero c R, si dice insieme di livello c di f il sottoinsieme33

    {x A: f(x) =c}.Definizione 41 (Intorno sferico). Si dice intorno sferico di raggio r di unpunto x0 Rn linsieme

    Ur(x0) = {x Rn : |x x0| < r},cio la sfera ndimensionale34 centrata in x0, di raggio r. Si diceintornodi x0 un qualunque insieme che contiene un intorno sferico di x0. Si diceintorno di infinito ogni insieme del tipo {x Rn : |x| > M} conM costantepositiva arbitraria.

    Definizione 42 (Topologica di limite). Si dice che il limite di f(x) perx x0 uguale a L e si scrive

    limxx0

    f(x) =L

    se per ogni intorno V diL esiste un intornoU di x0 tale che

    f(U\ {x0}) V32Pi precisamente, si tratta della normadel vettore x: |x|=

    nj=1x

    2j .

    33Gli insiemi di livello sono sottoinsiemi del dominio di f, mentre il grafico vive in unospazio pi grande, con una dimensione in pi. Possiamo tuttavia visualizzare gli insiemidi livello come le intersezioni del grafico di fcon gli iperpiani z= c. Se n = 1si parla dilinee di livello; se n = 3si parla di superfici di livello.

    34Notare che |x x0| la distanza di xda x0.

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    Teorema 65 (Propriet dei limiti). Continuano a valere inRn i teoremi diunicit del limite, di permanenza del segno, il teorema del confronto e il teo-

    rema sul limite della somma, del prodotto, del quoziente e della composizionedi funzioni. Inoltre:

    la non esistenza del limite dif(x) per x x0, si pu provare tro-vando due curve35 nel dominio dif, passanti per x0, lungo le qualifha due limiti diversi (oppure trovando anche solo una curva lungola qualefnon ha limite);

    lesistenza del limite pu essere provata, in coordinate polari, tro-vando una maggiorazione del modulo|f(x) L| con una funzioneginfinitesima e dipendente solo da:= |x x0|, cio:

    limxx0

    f(x) =L |f(x) L| g() 0 per 0.

    Definizione 43 (Continuit). Si dice che f : A

    Rn

    R continua in

    x0 Ase esiste il limitelimxx0

    f(x) =f(x0.

    Teorema 66 (propriet delle funzioni continue). Le funzioni elementari (diuna variabile) sono continue anche come funzioni di pi variabili. Somme,prodotti e quozienti di funzioni continue sono funzioni continue. Composi-zioni di funzioni continue sono funzioni continue.

    Definizione 44 (Insieme limitato). Un insieme A Rn si dice limitato seesiste una costante M >0 tale che36

    |x

    | M per ogni x

    A.

    Definizione 45 (Punti interni, esterni, di frontiera). Dato A Rn, si diceche un punto x0 Rn un punto:

    interno ad A se esiste un intorno di x0 tutto contenuto in A; esterno ad A se esiste un intorno di x0 tutto contenuto nel comple-

    mentare diA; di frontiera per A se ogni suo intorno interseca sia A che il comple-

    mentare diA(linsieme dei punti di frontiera di Asi indica A).

    Definizione 46(Insiemi aperti, insiemi chiusi). Un insieme A Rn si diceaperto se ogni suo punto un punto interno. Un insieme si dice chiuso se ilsuo complementare aperto.

    Teorema 67 (Caratterizzazione degli aperti e dei chiusi). Un insieme chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di frontiera; un insieme aperto se e solo se non ne contiene alcuno.

    35Si parla di restrizioni di f, vale a dire funzioni di una sola variabile ottenute da frestringendo il suo dominio ai soli punti della curva.

    36In altre parole, si richiede che A sia contenuto nella sfera ndimensionale centratanellorigine, di raggio M.

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    Teorema 68(di Weierstrass). Sef continua su un insiemeA Rn chiusoe limitato, allorafammette massimo e minimo assoluti inA.

    10. Calcolo differenziale per funzioni da Rn in R

    Definizione 47 (Derivata parziale). Sia f : A Rn R, con A aperto ex0 A. Si dice derivata parzialedif in x0 fatta rispetto alla variabile xi, esi indica con i simboli

    f

    xi(x0) oppure fxi(x0),

    il limite, se esiste,37

    limh0

    f(x0+hei) f(x0)h

    .

    Pern = 2, in particolare, abbiamo due derivate parziali:f

    x(x0, y0) = lim

    h0

    f(x0+h, y0) f(x0, y0)h

    ,

    f

    y(x0, y0) = lim

    k0

    f(x0, y0+k) f(x0, y0)k

    .

    Definizione 48(Derivabilit). Una funzionef :A Rn R, conAapertoe x0 A, si dice derivabile in x0 se esistono len derivate parziali dif in x0.Sef derivabile in x0, si chiamagradientedif in x0 il vettore

    38

    f(x0) = f

    x1(x0),

    f

    x2(x0), . . . ,

    f

    xn(x0) .

    La funzione f si dice derivabile in Ase derivabile in ogni punto di A.

    Teorema 69 (Calcolo delle derivate). Per ogni coppia di funzioni derivabilif, g: Rn R e per ogni, R, valgono le formule

    (f+ g) = f+ g(f g) = gf+ fg

    f

    g

    =

    gf fgg2

    Se poih: R R derivabile e ha senso la composizione(h f) : Rn R,allora

    (h f) = hf

    37Si tratta del limite di un particolare rapporto incrementale: quello ottenuto incre-mentando la sola coordinata xi e lasciando invariate tutte le altre. Qui ei rappresentaliesimo vettore della base canonica, cio ei = (0, 0, . . . , 0, 1

    i, 0, . . . , 0).

    38f(x0) un vettore di Rn, cio vive nel dominio di fe non sul grafico di f.

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    Definizione 49(Differenziabilit). Una funzionef :A Rn R,Aapertoe x0 A, si dice differenziabile in x0 se esiste un vettore a Rn tale che39

    f(x0+ h) =f(x0) + a h +o(|h|) per h 0,dove a hrappresenta il prodotto scalare tra i vettori ae h. In altre parole,f differenziabile in x0 se possibile scrivere lincremento di f da x0 a unqualunque altro punto x0+ h come una funzione lineare dellincremento h,pi un errore che infinitesimo di ordine superiore a|h|al tendere di ha 0.Si dice chef differenziabile in A se f differenziabile in tutti i punti di A.

    Teorema 70 (Propriet delle funzioni differenziabili). Sef differenziabileinx0, allora

    f derivabile inx0 e il vettoreache compare nella Definizione49il gradiente dif inx0 cio:

    a= f(x0); f continua inx0; esiste liperpiano tangente al grafico dif inx0 e la sua equazione :

    z= f(x0) + f(x0) (x x0).Definizione 50 (classe C1). Una funzione f :A Rn R, con A aperto,si dicedi classeC1 suA, e si scrive

    f C1(A),se derivabile in A e tutte le derivate parziali sono continue in A.

    Teorema 71(Condizione sufficiente per la differenziabilit). Sef di classe

    C1(A) alloraf differenziabile inA.

    Definizione 51 (Derivata direzionale). Siaf :A Rn R, con A apertoe x0 A. Se v un versore di Rn, si dice derivata direzionale di f in x0rispetto al versore v, il limite

    limt0

    f(x0+tv) f(x0)t

    .

    Teorema 72 (Formula del gradiente). Siaf :A Rn R, conA aperto efdifferenziabile inx0 A. Allora, qualunque sia il versorevdiRn, esiste laderivata direzionale difrispetto av e questa derivata direzionale si calcolafacendo il prodotto scalare40

    f(x0) v.39Sen = 1otteniamof(x0 + h) = f(x0) + ah + o(h)per h 0 e, sef(x) derivabile in

    x0,questa formula sicuramente vera ponendo proprio a = f(x0). Dunque la definizionedi differenziabilit per funzioni di una sola variabile equivale alla definizione di derivabilit.In Rn, invece, la differenziabilit una condizione pi forte della derivabilit (la derivabilitin x0 non implica nemmeno la continuit in x0).

    40Questa formula si chiama formula del gradiente.

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    11. Estremi liberi e vincolati

    Definizione 54 (Estremi locali o globali, punti di estremo). Sia f : A

    Rn Re x0 A. Si dice che x0 unpunto di massimo assoluto (oglobale)perf inA e che f(x0) il massimo assoluto (o globale) dif inA se

    f(x) f(x0) per ogni x A.Analoga la definizione dei minimi. Se la condizione non vale in tuttoA,ma solo in un intorno di x0, si parla diestremo relativo (o locale). Se vale ladisuguaglianza stretta, gli estremi si dicono forti, altrimenti si diconodeboli.

    Teorema 75 (di Fermat). Siaf :A Rn R e siax0 un punto interno44adA. Sex0 un punto di estremo perfe la funzionef derivabile inx0,allora

    f(x0) = 0.

    Definizione 55(Punti critici, punti di sella). Siaf :A Rn R e x0 A.Si dice che x0 unpunto critico o unpunto stazionario dif se f(x0) = 0.Se x0 un punto stazionario, ma non un punto di estremo, si dice che x0 unpunto di sella45 per f.

    Teorema 76(Test della matrice hessiana46 in R2). Siaf C2(A), conA R2, e sia (x0, y0)A un punto critico perf interno adA. SiaHf(x0, y0)

    la matrice hessiana47 difnel punto critico, cio

    Hf(x0, y0) =

    fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)fxy(x0, y0) fyy(x0, y0)

    .

    Si hanno i seguenti casi:

    sefxx(x0, y0)> 0 edetHf(x0, y0)> 0 allora(x0, y0) un punto diminimo locale forte;

    sefxx(x0, y0)< 0 edetHf(x0, y0)> 0 allora(x0, y0) un punto dimassimo locale forte;

    sedetHf(x0, y0)< 0 allora(x0, y0) un punto di sella; sedetHf(x0, y0) = 0 occorre unulteriore analisi.

    Teorema 77 (Test della matrice hessiana in R3). Siaf C2(A), conA R3, e sia x0 = (x0, y0, z0) A un punto critico per f interno ad A. Sia44Lipotesi che x0 sia interno ad A essenziale perch sulla frontiera di A possono

    nascere punti di estremo che non annullano il gradiente di f (vedere lottimizzazionevincolata).

    45In molti contesti x0 considerato un punto di sella se esistono due curve passanti perx0 tali che la restrizione di falla prima curva ha un massimo in x0, mentre la restrizionedi falla seconda curva ha un minimo in x0.

    46Come gi accadeva al test della derivata seconda in R, anche questo test non sempreconclusivo. La stessa ossevazione vale per lanalogo test in R3 cio per il Teorema77.

    47Si noti che lipotesi fC2(A)implica, per il Teorema74(di Schwarz), la simmetriadellhessiana.

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    Hf(x0) la matrice hessiana difnel punto critico, cio

    Hf(x0, y0, z0) = fxx(x0) fxy(x0) fxz(x0)fxy(x0) fyy(x0) fyz(x0)fxz(x0) fyz(x0) fzz(x0)

    .Si hanno i seguenti casi:

    se tutti i minori di nord-ovest diHf(x0)hanno determinante positi-vo, cio se

    fxx(x0)> 0, det

    fxx(x0) fxy(x0)fxy(x0) fyy(x0)

    >0, e detHf(x0)> 0,

    allorax0= (x0, y0.z0) un punto di minimo locale forte; se i segni dei determinanti dei minori di nord-ovest sono invece

    alternati e precisamente

    fxx(x0)< 0, det fxx(x0) fxy(x0)

    fxy(x0) fyy(x0) >0, e detHf(x0)< 0,

    allorax0= (x0, y0.z0) un punto di massimo locale forte; se detHf(x0)= 0, ma la successione dei segni48 dei determinanti

    dei minori di nord-ovest non coincide con nessuna delle precedenti,allorax0= (x0, y0, z0) un punto di sella;

    sedetHf(x0) = 0 occorre unulteriore analisi.Definizione 56 (Estremi vincolati). Date due funzioni f, gC1(R2) e unnumero b R, si dice problema di estremo vincolato un problema del tipo

    max fsubg(x, y) =b

    oppure min fsubg(x, y) =b

    che consiste nel trovare gli estremi della funzione che si ottiene restringendofai punti (x, y)tali che g(x, y) =b, cio ai punti dellinsieme livello b dellafunzioneg. Questi estremi, se esistono, si dicono estremi vincolatidif sottoil vincolog(x, y) =b.49

    Definizione 57(Vincolo esplicitabile). Il vincolog(x, y) =b si dice esplici-tabilese si pu scrivere nella forma y = h(x)(oppure nella forma x = k(y)).In questo caso, il problema di estremo vincolato si riconduce a un sempliceproblema di estremo per la funzione di una variabile f(x, h(x)).

    Teorema 78 (Metodo dei moltiplicatori di Lagrange). Siano f, g C1(R2)e sia(x

    , y

    ) un punto di estremo vincolato perf sotto il vincolog(x, y) =b.

    48Il determinante del primo o del secondo minore pu eventualmente anche annullarsi.49Per distinguerli dagli estremi vincolati, gli estremi di fnel suo dominio originale A

    si chiamano estremi liberi. Ovviamente, ogni punto(x, y) A di estremo libero per f anche, a maggior ragione, un punto di estremo vincolato per f sotto qualunque vincolog(x, y) = b passante per (x, y), cio tale che g(x, y) = b.

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    Seg(x, y)= 0,50 allora esiste R, detto moltiplicatore di Lagrange,tale che

    f(x

    , y

    ) =

    g(x

    , y

    ).In altre parole, gli eventuali punti di estremo vincolato si trovano risolvendoil sistema

    fx(x, y) = gx(x, y)fy(x, y) = gy(x, y)g(x, y) =b

    nelle incognite (x,y,). Se (x, y, ) una soluzione del sistema, allorail punto (x, y) un candidato punto di estremo vincolato per f sotto ilvincolo g(x, y) =b.51

    12. Integrali doppi e tripli

    Teorema 79(Integrabilit delle funzioni continue). Sef : [a, b] [c, d] R continua su [a, b] [c, d], alloraf integrabile su [a, b] [c, d].Teorema 80 (Di riduzione per un rettangolo). Sef : [a, b] [c, d] R integrabile su[a, b] [c, d], allora il suo integrale doppio si pu calcolare comeintegrale iterato nel seguente modo

    [a,b][c,d]f(x, y) dxdy=

    ba

    dc

    f(x, y) dy

    dx

    oppure

    [a,b][c,d] f(x, y) dxdy= d

    c b

    af(x, y) dx dy.

    Teorema 81 (Integrazione di funzioni a variabili separate). Lintegrale suun rettangolo di una funzione della formaf(x)g(y) si calcola come prodottodi due integrali unidimensionali:

    [a,b][c,d]f(x)g(y) dxdy=

    ba

    f(x) dx

    dc

    g(y) dy

    .

    50Questa condizione garantisce la regolarit del vincolo in (x, y), cio il fatto che,in un intorno di (x, y), il vincolo sia una curva regolare (ad esempio il grafico di unafunzione derivabile di una variabile). La conclusione del teorema non garantita per gli

    eventuali punti del vincolo nei quali il gradiente di g si annulla o, pi in generale, per glieventuali punti in cui il vincolo non una curva regolare.51Si noti che, come al solito, la condizione necessaria, ma non sufficiente. Il teorema

    di Weierstrass, tuttavia, permette di rendere conclusivo questo metodo ogni volta cheil vincolo un insieme chiuso e limitato. Infatti, in questo caso si gi sicuri a prioridellesistenza di un massimo e di un minimo assoluti sul vincolo e per determinarli sufficiente calcolare il valore difnei punti candidati e confrontare tra loro i valori ottenuti.Ricordiamo che tra i punti da controllare ci sono anche quelli nei quali il vincolo non una curva regolare.

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    Definizione 58 (Insiemi semplici, regolari). Un insieme E R2 si dicey-semplicese del tipo

    E= {(x, y) R2 :x [a, b], g1(x) y g2(x)},cong1 e g2 funzioni continue in [a, b]. Linsieme Esi dice invece x-semplicese del tipo

    E= {(x, y) R2 :y [c, d], h1(y) x h2(y)}.Un insieme si dice semplicese semplice rispetto ad almeno uno degli assie si dice regolarese unione di un numero finito di insiemi semplici.

    Teorema 82 (Di riduzione per domini semplici). Sef una funzione con-tinua su un dominio R2 y-semplice52 con

    = {(x, y) R2 :x [a, b], g1(y) y g2(y)},allora lintegrale doppio dif su si pu calcolare come integrale iterato nelseguente modo:

    f(x, y) dxdy=

    ba

    g2(x)g1(x)

    f(x, y) dy

    dx.

    Teorema 83(Passaggio a coordinate polari o polari ellittiche nel piano). SiaD R2 un dominio regolare ef :D R una funzione continua. Operandoil cambio di variabili

    x= cos y= sin

    dove [0, 2) e 0,

    cio passando alle coordinate polari, lintegrale doppio dif suD diventa:D

    f(x, y) dxdy=

    D

    f(, ) dd

    dove D rappresenta lespressione del dominio D nelle nuove coordinate.53

    Passando invece alle coordinate polari ellittiche, cio ponendo x= a cos y= b sin

    per qualchea,b >0,

    allora lintegrale doppio dif suD diventa:

    D f(x, y) dxdy= D f(, ) abdd.52Un risultato perfettamente analogo vale per i domini x-semplici. In generale, lin-

    tegrale su un insieme regolare si spezza, per la propriet di additivit dellintegrale suldominio di integrazione, nella somma di un numero finito di integrali su insiemi semplici.

    53La trasformazione vantaggiosa quando linsieme D ha unespressione pi semplicein queste coordinate e f non si complica troppo, oppure quando lespressione di f asemplificarsi, senza complicare troppo D. Diversamente dal caso unidimensionale, infatti,negli integrali doppi e tripli si tratta di conciliare entrambe queste esigenze.

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    Teorema 84(Integrazione per fili). Sef : R una funzione integrabilesu un dominio R3 della forma

    = {(x,y ,z) R3 : (x, y) D, g1(x, y) x g2(x, y)},doveD un dominio regolare del piano eg1, g2 sono funzioni continue suD, allora lintegrale triplo dif su si pu calcolare come integrale iteratonel seguente modo54

    f(x,y ,z) dxdydz =

    D

    g2(x,y)g1(x,y)

    f(x,y ,z) dz

    dxdy.

    Teorema 85 (Integrazione per strati). Se f : R una funzioneintegrabile su un dominio R3 della forma

    = {(x,y ,z) R3 : h1 z h2, (x, y) D(z)},dove, per ogni z

    [h

    1, h

    2], D(z) un dominio regolare del piano, allora

    lintegrale triplo dif su si pu calcolare come integrale iterato nel seguentemodo55

    f(x,y ,z) dxdydz =

    h2h1

    D(z)

    f(x,y,z) dxdy

    dz.

    Teorema 86 (Passaggio a coordinate sferiche o cilindriche nello spazio56).Sia D R3 un dominio regolare e f : D R una funzione continua.Lintegrale triplo dif suD nelle coordinate sferiche

    x= sin cos y= sin sin z = cos

    con 0, [0, ] e [0, 2), assume la formaD

    f(x,y,z) dxdydz =

    D

    f(,,) 2 sin ddd

    dove D lespressione del dominio D in coordinate sferiche. Lintegraletriplo dif suD nelle coordinate cilindriche

    x= cos y= sin z = t

    con 0, [0, 2) et R, assume invece la forma

    D f(x,y,z) dxdydz =

    D f(,,t) dddt

    doveD lespressione del dominio D in coordinate cilindriche.

    54Questa formula viene detta di integrazione per fili.55Questa formula viene detta di integrazione per strati.56Si tratta ancora una volta di scegliere il sistema di coordinate che semplifichi la

    funzione o il dominio di integrazione (meglio ancora se entrambi!).