Raccolta Delle Fond Amen Tali Leggi e Teoremi Per Il Calcolo Integrale

8/8/2019 Raccolta Delle Fond Amen Tali Leggi e Teoremi Per Il Calcolo Integrale

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Scritto da Renato Tassone

RACCOLTA DELLE FONDAMENTALI LEGGI

E TEOREMI PER IL CALCOLO

DELLINTEGRALE

Matematica generaleIdentit sui LogaritmiDisuguaglianzeIdentit Trinogometrica

Tavola delle DerivateStudio di Funzione

Massimo e Minimo RelativoCalcolo delle Derivate parziali prime e seconde

Matrice HessianaPunto CriticoPunto di SellaTeorema ed esercizi sui moltiplicatori di LagrangeEsercizi sui moltiplicatori di LagrangeEsercizi sui moltiplicatori di Lagrange parte 2 (.pdf)

Argomenti Vari (.pdf)Teorema fondamentale per il Calcolo dellIntegrale

Metodi di IntegrazioneTavola degli INTEGRALI pi COMUNITavola degli INTEGRALI di FUNZIONI RAZIONALITavola degli INTEGRALI di FUNZIONI IRRAZIONALITavola degli INTEGRALI di FUNZIONI ESPONENZIALITavola degli INTEGRALI di FUNZIONI LOGARITMICHETavola degli INTEGRALI di FUNZIONI TRINOGOMETRICHETavola degli INTEGRALI di FUNZIONI IPERBOLICHETavola degli INTEGRALI di FUNZIONI DAREATavola degli INTEGRALI di FUNZIONI DARCO

INTEGRALE IMPROPRIOTavola degli INTEGRALI DEFINITI

Somma di potenze di interi successiviEquazioni Differenziali
http://esercizi_moltlagrange.pdf/http://taylormultideregressionelineare.pdf/http://esercizi_moltlagrange.pdf/http://taylormultideregressionelineare.pdf/http://taylormultideregressionelineare.pdf/


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Identit sui logaritmiIn vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontranosvariate identit sui logaritmi.

Identit algebriche

Le identit pi semplici

deriva daderiva da

deriva da

Semplificazione di calcoli numerici

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si pu ottenere ilprodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

deriva da

deriva da

deriva da

deriva da

Cancellazione con gli esponenziali (identit logaritmica)

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni dellafunzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullanoreciprocamente.

deriva da

deriva da

Cambiamento della base


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Scritto da Renato TassoneQuesta identit permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran partedelle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log10, ma nessuno che permetta il calcolodiretto di log2. Per ottenere il valore di un numero come log2(3), si pu calcolare log10(3) / log10(2)(o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

Identit utili al calcolo infinitesimale

Limiti

L'ultima identit viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono pilentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabilex".

Derivata delle funzioni logaritmiche

Integrali di funzioni logaritmiche

Per rendere pi mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

dove l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identit:


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Di conseguenza

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Disuguaglianza di Weitzenbck

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Teorema: disuguaglianza di Weitzenbck

Qualunque triangolo di lati a, b e c esuperficie soddisfa la disuguaglianza di Weitzenbck:

L'uguaglianza verificatase e solo se iltriangolo equilatero.

Teorema: disuguaglianza di Weitzenbck

Dimostrazione: disuguaglianza di Weitzenbck

Questa dimostrazione cerca di dimostrare la veridicit della disuguaglianza in modo diretto

utilizzando solo qualche nozione di trigonometria. Indichiamo con l'angolo opposto al lato c.Dalteorema:

In accordo con due noti teoremi di trigonometria, possiamo esprimere il lato "c" e la superficie

deltriangolo in funzione dei lati "a" e "b" e dell'angolo mediante le seguenti espressioni:

, vedi legge del coseno
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Sostituendo nella disuguaglianza otteniamo:

Sviluppando i conti in modo molto semplice:

Ricordando che e :

Ora, applicando la formula delcosenoper una somma di angoli in modo inverso:

Sommando e sottraendo da si ottiene:

Siccome si tratta di una somma di due quantit sempre positive, ottengo che la disuguaglianza

vera .

Identit trigonometrica

Questa pagina dedicata alle identit trigonometriche, cio ad uguaglianze riguardanti funzionitrigonometriche che risultano vere per tutti i valori delle variabili che vi compaiono.

Queste identit sono utilizzate per semplificare molte espressioni contenenti funzionitrigonometriche e per molti calcoli di integrali; anche molti integrali di funzioni nontrigonometriche possono essere calcolati con cambiamenti di variabile che utilizzano una funzionetrigonometrica e portano a decisive semplificazioni.

Notazioni: Per denotare la funzione inversa del seno talora si usa sin31(x); qui preferiamo usarearcsin(x) e scrivere csc(x) per denotare la inversa moltiplicativa della funzione seno.
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_trigonometrichehttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_trigonometrichehttp://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A0_(matematica)http://it.wikipedia.org/wiki/Integralehttp://it.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://it.wikipedia.org/wiki/Angolohttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_trigonometrichehttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_trigonometrichehttp://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A0_(matematica)http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale


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Definizioni

Periodicit, simmetria e traslazioni

Queste formule si ricavano facilmente dalle definizioni sulla circonferenza trigonometrica.

Molti modelli fisici si basano sul fatto che qualsiasi combinazione lineare d'onde sinusoidali con lostesso periodo ma di differenti fasi ancora un'onda sinusoidale dello stesso periodo, ma con unanuova fase. Precisamente:

dove

Conseguenze del teorema di Pitagora
http://it.wikipedia.org/wiki/Ondahttp://it.wikipedia.org/wiki/Fasehttp://it.wikipedia.org/wiki/Fasehttp://it.wikipedia.org/wiki/Fasehttp://it.wikipedia.org/wiki/Ondahttp://it.wikipedia.org/wiki/Fasehttp://it.wikipedia.org/wiki/Fase


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Teoremi di addizione e sottrazione

Il modo piu veloce per dimostrare le prime due formule utilizzare le formule di Eulero attraversola funzione cis. La formula per la tangente segue dalle prime due. Una dimostrazione geometricadell'identit per sin(x +y) data alla fine di questa voce.

dove

Formula di duplicazione

Queste possono essere ottenute sostituendox =y nei teoremi di addizione, e utilizzando il teoremadi Pitagora per le ultime due. Ancor meglio utilizzare la formula di De Moivre con n = 2.

Formule per gli angoli multipli

Se denotiamo Tn l' n-esimopolinomio di Chebyshev, allora
http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Formule_di_Eulero&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_De_Moivrehttp://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi_di_Chebyshevhttp://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi_di_Chebyshevhttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Formule_di_Eulero&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_De_Moivrehttp://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi_di_Chebyshev


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Formula di De Moivre:

Il nucleo di DirichletDn(x) la funzione che si trova da entrambe la parti della seguente identit:

La convoluzione di ogni funzione a quadrato sommabileperiodica di periodo 2< con il nucleo diDirichlet coincide con la somma troncata di ordine n della sua serie di Fourier.

Formule di riduzione della potenzaDalla formula di duplicazione del coseno e dalla formula trigonometrica di Pitagora si ottiene

Formule di bisezione

Sostituendox/2 al posto dix nelle formule di riduzione della potenza, e calcolando cos(x/2) esin(x/2) si ottiene.

Moltiplicare tan(x/2) per 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) e sostituire sin(x/2) / cos(x/2) al posto di tan(x/2). Ilnumeratore sin(x), per la formula di duplicazione, e il denominatore 2cos2(x/2) 3 1 + 1, che cos(x) + 1 per le formule di duplicazione. La seconda formula deriva dalla prima moltiplicata persin(x) / sin(x) e semplificata con il teorema di Pitagora.
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_De_Moivrehttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Nucleo_di_Dirichlet&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzionehttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_a_quadrato_sommabile


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Posto segue:

e e

La sostituzione di tper tan(x/2), con il conseguente cambiamento di sin(x) con 2t/(1 + t2) e di cos(x)con (1 3 t2)/(1 + t2) spesso in grado di covertire funzioni razionali in sin(x) e cos(x) da integrare infunzioni di tintegrabili. (Vedi anche il successivo "punto di vista astratto".)

Prodotti espressi mediante somme

Queste formule possono essere provate sviluppando la loro parte destra e semplificando con leformule di addizione.

Somme espresse mediante prodottiBasta rimpiazzarex con (x +y) / 2 ey con (xy) / 2 nelle espressioni dei prodotti mediante somme.

Funzioni trigonometriche inverse


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Funzione Gudermanniana

Questa funzione collegata alle funzioni trigonometriche circolari e alle iperboliche senza ricorrereai numeri complessi -- vedi l'articolo per i dettagli.

Identit per angoli costanti

La seguente curiosa identit stata appresa da Richard Feynman quando era ragazzino:

Si tratta di un caso particolare della seguente identit in cui compare una variabile:

:

Altre identit senza variabili:

La misura in gradi degli angoli risulta meno vantaggiosa di quella in radianti per unax con 21 adenominatore:

I fattori 1, 2, 4, 5, 8, 10 inducono a pensare agli interi inferiori a 21/2 primi con 21. Gli ultimiesempi sono le conseguenze di un risultato di base suipolinomi ciclotomici irribucibili: i cosenisono le parti reali delle radici di questi polinomi; la somma degli zeri d il valore della funzione diMbius valutata in 21; solo la met delle radici sono presentate nella relazione precedente. Le dueidentit che precedono quest'ultima nascono nello stesso modo relativamente ai casi 10 e 15,

rispettivamente.

La seguente identit senza variabili pu essere utilizzata per calcolare < efficientemente:

oppure usando la formula di Eulero:

Calcoli
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gudermannianahttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_trigonometricahttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_iperbolicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_complessihttp://it.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynmanhttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomio_ciclotomico&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_M%C3%B6biushttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_M%C3%B6biushttp://it.wikipedia.org/wiki/%CE%A0http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gudermannianahttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_trigonometricahttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_iperbolicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_complessihttp://it.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynmanhttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomio_ciclotomico&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_M%C3%B6biushttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_M%C3%B6biushttp://it.wikipedia.org/wiki/%CE%A0


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Scritto da Renato TassoneNel calcolo infinitesimale essenziale che gli angoli argomenti di funzioni trigonometriche sianomisurati in radianti; se sono misurati in gradi o in altre unit di misura, allora le relazioni riportatequi sotto risultano false. A partire dalle definizioni geometriche delle funzioni trigonometriche siricavano le loro derivate dopo aver stabiliti i due limiti che seguono.

(si verifica osservando la circonferenza trigonometrica e il teorema del confronto). Osserviamo chese usassimo la regola di de L'Hpitalper stabilire questo limite creeremmo un circolo vizioso sul

piano logico, in quanto da questo limite si ricavano le derivate di seno e coseno necessarie perapplicare la suddetta regola.

(Si verifica usando l'identit tan(x/2) = (1 3 cos(x))/sin(x))

Avendo stabilito questi due limiti, si stabilisce che sinH = cos e cosH = 3sin. riconducendo laderivazione alla sua definizione come limite di rapporto incrementale.

Se le funzioni seno e coseno sono definite dalle loro serie di Taylor, le loro derivate possono essereottenute derivando le serie di potenze termine a termine.

Le derivate delle altre funzioni trigonometriche sono ricavate dalle precedenti con le regole diderivazione. Abbiamo quindi:

Le identit integrali possono essere trovate nella tavole di integrali.
http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_infinitesimalehttp://it.wikipedia.org/wiki/Radiantehttp://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_L'H%C3%B4pitalhttp://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylorhttp://it.wikipedia.org/wiki/Derivatahttp://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_infinitesimalehttp://it.wikipedia.org/wiki/Radiantehttp://it.wikipedia.org/wiki/Circonferenza_trigonometricahttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_confronto&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_L'H%C3%B4pitalhttp://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylorhttp://it.wikipedia.org/wiki/Derivatahttp://it.wikipedia.org/wiki/Tavole_di_integrali


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Risolvendo perA abbiamo la derivata di T(x) e ponendo 0 al posto dix

Utilizando le condizioni iniziali e dato che

SostituendoA eB nell'equazione originale di T(x)abbiamo

ma dato che T(x) definita come abbiamo

o

C.V.D.

Usando queste definizioni di seno e coseno, si possono provare tutte le altre propriet di seno ecoseno utilizzando le stesse tecniche.

Dimostrazioni geometriche

sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

In questa figura l'angolox parte dell'angolo retto del triangolo ABC, e l'angoloyparte dell'angoloretto del triangolo ACD. Si costruisce DG perpendicolare ad AB e si costruisce CE parallelo ad AB.

Angolox = Angolo BAC = Angolo ACE = Angolo CDE.

EG = BC.
http://it.wikipedia.org/wiki/Immagine:Sinesum.png


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cos(x+y) = cos(x) cos(y)-

sin(x) sin(y)

Osservando la figura precedente:

Punti di vista astratti

Dato che la circonferenza una curva algebrica di genere 0, ci si aspetta che le funzioni circolaripossano essere riducibili a funzioni razionali. In effetti noto classicamente che usandosistematicamente le formule di bisezione per la tangente si possono esprimere le funzioni seno ecoseno in termini di una nuova variabile t.

http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Funzioni_razionali&action=edit

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http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_algebrica&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Genere_di_una_curva_algebrica&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Funzioni_razionali&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_algebrica&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Genere_di_una_curva_algebrica&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Funzioni_razionali&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Funzioni_razionali&action=edit


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Tavola delle derivate

L'operazione primaria nel calcolo differenziale il calcolo della derivata. Questa pagina costituisceuna tavola delle derivate delle principali funzioni.

Nel seguitofegdenotano funzioni generiche della variabile realex, e c una costante. Le formuleche seguono permettono di derivare ogni funzione elementare.

Regole per la derivazione di funzioni generiche

Derivate di funzioni semplici e di polinomi
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Derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche

Derivate di funzioni trigonometriche
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Derivate di funzioni iperboliche
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_iperbolichehttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_iperboliche


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Studio di funzione

Lo studio di funzione si occupa di analizzare una funzione al fine di determinarne alcunecaratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di schizzare ilgrafico della funzione.

Grafico di una funzione esempio, realizzato con Derive 5

Operazioni preliminari

Introduciamo dei concetti base per effettuare lo studio di funzione:

Determinazione dell' insieme di definizione

Per determinare l' insieme di definizione di una funzione assegnata in termini di funzionielementari, a meno di indicazioni esplicite, si deve individuare il sottoinsieme dei reali pi esteso
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Scritto da Renato Tassoneentro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso. In particolare conviene porrel'attenzione alle seguenti evenienze:

Le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si annulla Le funzioni sotto radice di esponente pari non esistono se il radicando minore di zero La funzioni logaritmiche non esistono nei punti dove l'argomento minore o uguale a zero

Simmetrie e periodicit

Si deve porre l'attenzione alle eventualisimmetrie eperiodicit della funzione che, se individuate,semplificano notevolmente lo studio della funzione.

VediFunzioni pari e dispari eFunzione periodica

Intersezioni con gli assi

Pu essere utile a questo punto cominciare ad individuare alcuni punti del piano che stanno sul

grafico della funzione, in particolare si soliti cercare le eventuali intersezioni con gli assicartesiani. Per determinarle si operer come segue:

intersezioni con l'asse x: sono i punti di coordinate dove soluzione

dell'equazione . Si possono presentare diverse eventualit:o l'equazione potrebbe non avere soluzioni, e in questo caso la funzione non ha

intersezione con l'asse xo potrebbe avere una o pi soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni (e

quindi un numero finito di punti di intersezione)o ma potrebbe anche averne infinite.

intersezione con l'asse y: l'intersezione con l'asse y esiste solamente se lo 0 (zero)appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione unica per

definizione stessa di una funzione, e sar il punto di coordinate .

Segno della funzione

Ci si chiede ora di studiare il segno della funzione, cio ci si chiede quando la funzione positiva(sopra l'asse x) o negativa (al di sotto dell'asse x). In altre parole quali sono i valori della

appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta la disequazione e quali invece siano tali

che sia soddisfatta la .Pu essere molto utile a questo punto annerire su un piano cartesiano tutte le zone in cui il grafico

della funzione non pu passare, se ad esempio nell'intervallo la funzione risultasse positivasi annerir la zona del piano sotto l'asse x, dove x compresa fra a e b.

Calcolo dei limiti di frontiera

Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che pu avere la funzione, si studia ilcomportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andr a calcolare i limiti

per x che tende a se il dominio illimitato inferiormente se il dominio illimitato superiormente
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Scritto da Renato Tassone se punto di accumulazione del dominio ma non un suo punto interno. In alcuni

casi sar necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.

Continuit / Discontinuit della funzione

Il calcolo dei limiti permette di verificare la continuit di una funzione o di valutarne le

discontinuit.

Individuazione degli asintoti

Con il calcolo dei limiti si in grado di individuare anche l'esistenza di eventuali asintoti siaverticali, orizzontali che obliqui:

asintoto verticale: la retta di equazione se

asintoto orizzontale: la retta di equazione se

asintoto obliquo: la retta di equazione se si verificano nell'ordine leseguenti propriet:

o

o

o

Da notare che potranno esserci:

da zero a infiniti asintoti verticali da zero a due asintoti orizzontali da zero a due asintoti obliqui

Derivata prima

A questo punto si effettua il calcolo della derivata della funzione per studiarne la crescenza estabilire l'esistenza di eventuali punti stazionari. Tramite lo studio del segno della derivata si ingrado di individuare eventuali punti di massimo o di minimo.

Ci si occuper quindi di studiare il segno dellafunzione derivata in modo da individuare per qualivalori di x essa positiva, negativa o nulla.

dove derivabile e , crescente

dove f derivabile e , decrescente

dove derivabile e , ha nel punto xo un massimo relativo o un minimo relativo se il segno della derivata prima e dopo il

punto x (cio in un suo intorno) discorde,o un punto di flesso se il segno della derivata costante in un intorno di x.

Derivata seconda
http://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_accumulazionehttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Limite_destro&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Limite_sinistro&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Asintotohttp://it.wikipedia.org/wiki/Derivatahttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_decrescentehttp://it.wikipedia.org/wiki/Flessohttp://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_accumulazionehttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Limite_destro&action=edithttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Limite_sinistro&action=edithttp://it.wikipedia.org/wiki/Asintotohttp://it.wikipedia.org/wiki/Derivatahttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_crescentehttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_decrescentehttp://it.wikipedia.org/wiki/Flesso


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Scritto da Renato TassonePer avere una maggiore precisione nello studio di una funzione si effettua inoltre lo studio delladerivata seconda in modo da valutare se esistono punti di flesso (punti dove la derivata seconda siannulla) e intervalli di convessit.

Relazione con derivata seconda

se derivabile in :

Se allora convessa in x

Se allora concava in x

Se un punto di flesso allora la

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.

Massimo e minimo relativo

Questa voce solo un abbozzo (stub). Se puoi, contribuisci adesso a migliorarla secondo leconvenzioni di Wikipedia. Per l'elenco completo degli stub di matematica, vedi la relativacategoria.

In questo grafico sono evidenti un massimo e un minimo relativi
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Si consideri la generca funzione reale . Il puntox0 detto massimo

(minimo) relativo (o locale) se, preso , con Ppiccolo a piacere, alloraf(x0) >f(x1)(f(x0)


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Scritto da Renato TassoneIl numeratore del limite a volte chiamato rapporto incrementale difnel puntox rispetto allavariabilexk

Derivata direzionale

La derivata parziale un caso particolare di derivata direzionale. Usando questo concetto si pudefinire la derivata parziale come:

con , ovvero il versore k3 esimo, cio quel vettore che ha tutte lecomponenti nulle tranne la k3 esima.

Notazioni

La notazione pi comune fa uso del simbolo simile alla usata nella notazione di Leibniz per la

derivata di funzioni di una variabile. Altre notazioni per indicare la derivata di rispetto allaprima variabile ( ) sono:

L'ultima notazione fa uso dei cosiddetti multi indici.

Calcolo delle derivate parziali

Il calcolo delle derivate parziali pu essere svolto tramite il calcolo di derivate ordinarie. Infatti

supponiamo di voler calcolare . Definiamo .Allora:

per questo che a parole si dice che la derivata parziale difinx rispetto axk la derivata che siottiene considerando la funzione come funzione della solaxke considerando costanti le rimanenti.

Derivate parziali in


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Consideriamo una funzionefcon dominio in , insieme formato da tutte le coppie ordinate

con , e con valori in . Tale funzione in ogni punto del propriodominio pu avere due derivate parziali:

derivata parziale difrispetto a x:

derivata parziale difrispetto a y:

Se entrambi i limiti esistono finiti, allora la funzionefsi dice derivabile in . Il

vettore che ha per componenti e detto gradiente della funzione in

Derivate parziali di ordine superiore

Le operazioni di derivazione si pu cercare di applicarle anche alle funzioni ottenute come derivateparziali di una data. si possono definire quindi derivate parziali di ordine superiore al primo.

Continuit delle derivate parziali

Se una funzione ha le derivate parziali prime continue nel suo dominio in , si dice

che una funzione di classe (si legge funzione di classe C uno in ).

In generale per un qualsiasi intero positivo m se tutte le derivate parziali di ordine minore o uguale a

m della funzione sono continue nell'insieme di definizioneD, si dice che laf di classe .

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Matrice hessiana

In matematica la matrice hessiana di una funzione di n variabili la matrice quadrata n n dellederivate parziali seconde della funzione.

Data la funzione reale di n variabili reali

se tutte le derivate parziali seconde difesistono, allora si definisce matrice hessiana dellafla

matrice , dove
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.

Questa matrice ha preso il nome dal matematico tedesco Ludwig Otto Hesse (1811-1874).

Derivate miste e simmetria dell'hessianaLe derivate miste dellafhanno le entrate fuori dalla diagonale principale nell'hessiana. Ma, ingenerale, vale il seguente teorema:

questa uguaglianza si scrive anche come:

In termini formali: se le derivate seconde difsono tutte continue in una regione W, allora l'hessianadif una matrice simmetrica in ognipunto di W; vedi simmetria delle derivate seconde.

Punti critici e discriminante

Se il gradiente della funzionef nullo in unpunto x appartenente al dominio della funzione, allorafin x ha unpunto critico. Il determinante dell'hessiana in x anche detto discriminante in x. Sequesto determinante zero allora x chiamatopunto critico degenere dellaf. Negli altripunti viene

chiamato non degenere.

Test per la derivata seconda

Il seguente criteriopu essere applicato in unpunto critico non degenere x:

se l'hessiana definita positiva in x, allorafha un minimo locale in x;

se l'hessiana definita negativa in x, allorafha un massimo locale in x;

se l'hessiana ha entrambi gli autovaloripositivi e negativi allora x unpunto di sellaperf(questo vero se x degenere pari).

Altrimenti il test inconclusivo. Nota che perhessiane semidefinite positive e semidefinitenegative il test inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di pi dal punto di vista della teoria diMorse.

Tenuto conto di quanto stato appena detto, il test per le derivate secondeper funzioni di una e duevariabili sono semplici. In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:
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Le croci rosse rappresentano i punti stazionari della funzione. I punti verdi invece sono punti diflesso non stazionari

Nell'analisi matematica si chiama punto critico o punto stazionario di una funzione derivabiledefinita su un insieme aperto dei numeri reali a valori reali

un puntox in cui la derivata si annulla.

L'uso della parola "critico" dovuto al fatto che nelle vicinanze di un punto che non critico lastruttura topologica di una funzione sempre la stessa: quella di una retta crescente o decrescente(come si pu vedere approssimando la funzione con la retta tangente) e la funzione invertibile,mentre nelle vicinanze un punto su cui la derivata nulla si possono avere comportamenti "atipici"con punti di massimo o minimo locale o di flesso.

Funzioni differenziabili

La nozione si estende per una generica funzione differenziabile

in questo caso si chiama punto critico un puntox del dominioA tale che il differenzialeDF(x)calcolato inx ha nucleo di dimensione non nulla.

Esempi

Se un punto sar critico se e solo se il gradiente vi si annulla. Ilpiano

tangente alla superficie individuata dal grafico diFin un punto critico il piano orizzontale.Se una curva di livello diFcontiene un punto critico in tale punto la curvapu non avereuna tangente ben definita.

Se abbiamo una curva un punto critico un valore di ttale che

. In tal caso nel punto pu esserci una cuspide in cui non ben definita una tangentealla curva.

Se abbiamo una superficie differenziabile nello spazio parametrizzata da una funzione

differenziabile un punto critico un punto in cui la matrice jacobiana harango minore di 2. In un punto critico la superficie non ha un piano tangente ben definito.

Funzioni olomorfe e meromorfe
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Scritto da Renato TassoneUnpunto critico per una funzione olomorfa

un puntoz0 in cui la derivata complessa difsi annulla.

Nel caso di una funzione meromorfa sono consideratipunti critici anche ipoli.Per una funzione olomorfa o meromorfa un punto critico un punto in cui la funzione non definisceuna mappa conforme.

Campi vettoriali

Un punto critico per un campo vettoriale Vsu un insieme aperto di o su una varietdifferenziabile un puntox dove il campo vettoriale nullo.

Nelle vicinanze di un punto che non critico il campo vettoriale equivalente ad un campovettoriale costante, cio esiste un intorno ed un cambiamento di coordinate continuo dell'intorno chetrasforma il campo vettoriale in un campo vettoriale costante (e non nullo).

Nell'intorno di unpunto critico un campo vettoriale pu avere diversi comportamenti che possonoessere classificati in un numero finito di casi a meno di cambiamenti di coordinate. Laclassificazione dipende dalla dimensione dello spazio vettoriale (o della variet) su cui definito ilcampo.

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Punto di sella

Questa voce solo un abbozzo (stub). Se puoi, contribuisci adesso a migliorarla secondo leconvenzioni di Wikipedia. Per l'elenco completo degli stub di matematica, vedi la relativacategoria.In analisi matematica, un punto di sella di una funzione reale di pi variabili reali

unpunto criticoPdel dominio dellafin cui la matrice hessiana risulti indefinita:vale a dire non sia n una matrice semidefinita positiva, n una matrice semidefinita negativa. Intermini visivi (nel caso n = 2), esiste una sezione difcomprendentePper la quale tale punto un
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Scritto da Renato Tassoneminimo relativo, e un'altra sezione comprendentePper la quale tale punto invece un massimorelativo.

Esempio: sia

Nel punto abbiamo un punto stazionario dato che ilgradiente nullo: infatti

La forma quadratica della funzione data dall'espressione sottostante

che lo stesso di scrivere

cio

per cui nel punto essa risulta essere

Si pu ora verificare semplicemente (ad esempio tramite la matrice hessiana corrispondente) che laforma quadratica non n semidefinita positiva n semidefinita negativa, per cui risulta essereindefinita, e quindi il punto (0,0) un punto di sella.

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MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e a ricondurre una funzione il cui insieme di

definizione un insieme aperto a una funzione, detta lagrangiana, che definita su un insiemecompatto. esso applicabile a funzione da 2 o pi variabili indipendenti e a una sola variabiledipendente. Il metodo anche detto metodo dei moltiplicatori o metodo di Lagrange.Esso utile

perch il Teorema di Weierstrass garantisce che una funziona continua e definita su un compatto,possiede massimo e minimo assoluti. Tale teorema non vale per insiemi di definizione aperti. La
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Scritto da Renato Tassonecontinuit della funzione la seconda ipotesi necessaria: la funzione iniziale deve essre continua.Solitamente, le funzioni proposte negli esercizi sul metodo di Lagrange di livello universitario sono

polinomiali e dunque continue.Data la funzione f(x,y) vincolata su un insieme g(x,y), la funzioneausiliaria z(x,y)=f(x,y)+ Yg(x,y), con Yreale positivo. Anche la funzione vincolo g(x,y) unafunzione definita su un insieme aperto pi o meno esteso di quello di f(x,y).La funzione ausiliaria z(o funzione lagrangiana L) una funzione di tre variabili (x, y e Y) ed pari alla somma dellafunzione inziale per un multiplo del vincolo g(x,y). Il numero Y chiamato "moltiplicatore diLagrange". Se il moltiplicatore nullo: z(x,y)=f(x, y, Y), un vuoto cambiamento di lettere che cilascia nella situazione iniziale in cui non vale il teorema di Weierstrass.

Il primo passo del metodo consiste nello scrivere la funzione lagrangiana.

2)porre a zero le tre derivate funzionali. Si deriva la funzione lagrangiana (non f(x,y)) rispetto ad x,ad y e Ye si eguagliano le derivate a zero. L'ultima derivata parziale uguale al vincolo g(x,y). Lasoluzione del sistema di 3 equazioni in 3 incognite fornisce le coordinate dei punti critici. Un puntocritico un punto nel quale si annullano le derivate prime e pu essere un massimo, un minimo ouna sella per una funzione a due variabili.3) si calcolano le derivate seconde e l'hessiano per ognuno

dei punti critici. Il determinante della matrice hessiana un numero: se minore di 0 abbiamo unpunto di sella, se maggiore di 0 necessario andare a considerare il segno della derivata secondarispetto a x (che presente alla posizione [1,1] della matrice hessiana: se maggiore di 0 abbiamoun minimo, se minore di 0 abbiamo un massimo. Infine se il determinante uguale a 0 ricadiamonel caso di indeterminazione.Le derivate seconde sono quattro, quelle da calcolare tre poich lederivate miste sono uguali. Sono: derivata rispetto a x della derivata prima rispetto a x (vienederivata una seconda volta), derivata rispetto a y della derivata prima rispetto a y, derivata rispetto ay della derivata prima rispetto a x. quest'ultima, derivata mista, coincide con la derivata rispetto a xdella derivata prima rispetto a y. Le derivate seconde sono numeri e in parte ancora funzioni di x ey. Si pongono nella matrice hessiana delle derivate seconde e si sostituiscono a x e y le coordinatwe(numeri) del punto critico. Per ogni punto si in grado di dire che estremo (punto critico) :

massimo, minimo, sella.Per i casi di indeterminazione si ricorre allo studio del differenziale dif(x,y) (non del lagrangiano) posto maggiore di zero. Lo studio del segno pu essere spinto fino adifferenziale di qualunque ordine. Solitamente non si va oltre lo studio del differenziale terzo.

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ESERCIZI

Esercizio 27.1
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Scritto da Renato TassoneData una funzione di due variabili ( )yxf , dire chi sono gli insiemi di livello c, cio gli insiemi

delle coppie tali che ( ) cyxf =, .

I) ( ) yxyxf += 2,

Dato Rc , il relativo insieme di livello descritto dalla seguente equazione:cxycyx +==+ 22

che, come noto, descrive una parabola con asse di simmetria lassey e vertice il punto ( )c,0 .

II) ( ) 22 32, yxyxf +=

Dato Rc , il relativo insieme di livello descritto dalla seguente equazione:cyx =+ 22 32

che, perc0, lequazione di unellisse. Si ha infatti:

1

32

3222

22=+=+

c

y

c

xcyx

che rappresenta unellisse di centro lorigine e vertici i punti:

0,

2,

3,0,

3,0

ccce

0,

2

c.

III) ( ) xyyxf =,

Dato Rc , il relativo insieme di livello descritto dalla seguente equazione:cxy =

che, come noto, descrive una iperbole equilatera con asintoti gli assix ed y.

Esercizio 27.2

Si studino i massimi ed i minimi relativi delle seguenti funzioni.

I) ( ) 123, 22 +++= yxyxyxyxf

Sappiamo che condizione necessaria affinch un punto ( )00 ,yx sia di massimo o di minimo relativo

che in esso si annullino le derivate parziali prime della funzione ( )yxf , . Calcoliamo allora le duederivate parziali prime. Derivando la funzione rispetto adx si ottiene:

32 +=

yx

f

;derivando invece la funzione rispetto ady si ottiene:

22 +=

yx

y

f.

Risolvendo ora il seguente sistema

=+

=+

022

032

yx

yx

si trova che le derivate parziali prime si annullano nel punto ( )

=

3

1,

3

4, 00 yx che potrebbe

pertanto essere un punto di massimo o di minimo relativo.Per verificare ci occorre calcolare le derivate parziali seconde:

2=xxf 1=xyf


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Scritto da Renato Tassone1=yxf 2=yyf

e quindi lHessiano della funzione cos definito:

yxxyyyxx ffff .

Poich nel punto ( )

=

3

1,

3

4, 00 yx risulta:

0314>==

yxxyyyxx ffff

il punto ( )

=

3

1,

3

4, 00 yx un punto di massimo oppure di minimo relativo e precisamente si

tratta di un punto di minimo relativo in quanto 02 >=xxf .

II) ( ) xyyxyxf 3, 33 +=

Calcoliamo le due derivate parziali prime:

yxf

33 2 =

;

xyy

f

332

=

.Risolvendo ora il seguente sistema

=

=

033

0332

2

xy

yx

si trova che le derivate parziali prime si annullano nei punti ( ) ( )0,0, 11 =yx ed ( ) ( )1,1, 22 =yx .Calcoliamo le derivate parziali seconde:

xfxx 6= 3=xyf

3=yxf yfyy 6=

Se calcoliamo lHessiano della funzione nel punto ( ) ( )0,0, 11 =yx troviamo che:( ) ( ) ( ) ( ) 00,00,00,00,0 = yxxyyyxx ffff

e quindi su questo punto non possiamo dire nulla.Calcolando invece lHessiano della funzione nel punto ( ) ( )1,1, 22 =yx troviamo che:

( ) ( ) ( ) ( ) 0279661,11,11,11,1 >== yxxyyyxx ffff

e quindi il punto ( ) ( )1,1, 22 =yx un punto di massimo oppure di minimo relativo e precisamente si

tratta di un punto di minimo relativo in quanto ( ) 061,1 >=xxf .

Studiare i massimi ed i minimi relativi della seguente funzione:

III) ( )xyx

eyxf

=

22

, .


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Esercizio 27.3

Data la funzione ( ) 12, 22 ++= yxyxf si determinino, se esistono, il massimo ed il minimo della

funzione sullinsieme ( ) 1:, 22 += yxyxS .

Poich questa funzione continua e linsieme S chiuso e limitato, per il teorema di Weirstrass essa

ammette massimo e minimo (si noti bene che stiamo parlando del massimo e del minimo dellafunzione, cio del massimo e del minimo dellinsieme imagine). Per determinare questi massimi eminimi ricerchiamo i massimi e minimi relativi interni allinsieme S (cio sui punti cheappartengono al cerchio di centro (0,0) e raggio 1, frontiera esclusa) mediante lo studio dellederivate parziali e dellHessiano della funzione; e quindi i massimi e minimi sulla frontiera (cio sui

punti della circonferenza di centro (0,0) e raggio 1), risolvendo un problema di massimi e minimivincolati.

Iniziamo con lo studio dei massimi e dei minimi relativi interni allinsieme S.Data ( ) 12, 22 ++= yxyxfcalcoliamo le due derivate parziali prime:

xf 2=

yy

f4=

e risolviamo il seguente sistema

=

=

04

02

y

x

si trova che le derivate parziali prime si annullano nel punto ( ) ( )0,0, 00 =yx .Calcoliamo le derivate parziali seconde:

2=xx

f 0=xy

f

0=yxf 4=yyf

Poich lHessiano della funzione nel punto ( ) ( )0,0, 00 =yx

( ) ( ) ( ) ( ) 080,00,00,00,0 >= yxxyyyxx ffff

ed essendo inoltre ( ) 021,1 >=xxf possiamo concludere che il punto ( ) ( )0,0, 00 =yx un punto di

minimo relativo ed ( ) 10,0 =f .Ricerchiamo ora i massimi ed i minimi relativi della funzione sulla frontiera di S, risolvendo quindiun problema di massimi e minimi della funzione ( ) 12, 22 ++= yxyxf con il vincolo 122 =+yx .Per trovare i massimi ed i minimi vincolati si pu procedere in due modi:

esplicitando una delle due variabili del vincolo e sostituendola nella funzione; si deve studiarecos una funzione in una variabile; applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.Procediamo dapprima per sostituzione.Dal vincolo si ricava

2222 11 xyyx ==+che sostituito nella espressione della funzione d luogo ad una funzione di una variabile:

( ) 311212 22222 +=++=++= xzxxzyxz .Ora dobbiamo studiare i massimi ed i minimi di questa funzione sullintervallo [ ]1,1 in quanto ilvincolo limita in questo modo il dominio di questa funzione. Questa funzione ammette un punto di

massimo relativo interno per 0=x , che sostituito nella espressione del vincolo individua i seguentipunti: ( ) ( )1,0, 11 =yx e ( ) ( )1,0, 22 =yx . Poich siamo interessati a trovare i massimi ed i minimidella funzione, dobbiamo tenere conto anche degli estremi dellintervallo [ ]1,1 e quindi dobbiamoconsiderare anche i punti: ( ) ( )0,1, 33 =yx e ( ) ( )0,1, 44 =yx .


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Scritto da Renato TassoneUn modo alternativo per studiare i massimi ed i minimi di una funzione con un vincolo espresso dauna equazione il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Precisamente si tratta di studiare imassimi ed i minimi della funzione:

( ) ( ) ( )yxyxfyxF ,,,, +=

dove ( ) 12, 22 ++= yxyxf e ( ) 1, 22 += yxyx .Il metodo fornisce delle condizioni necessarie per i punti di massimo e di minimo in quanto vanno

ricercati nellinsieme dei punti che sono soluzione del seguente sistema:

( )

( )

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=

=

=

01

02

01

01

024

022

0

0

0

2222 yx

y

x

yx

yy

xx

Fy

Fx

F

Le soluzioni sono: ( ) ( )2,1,0,, =yx , ( ) ( )2,1,0,, =yx , ( ) ( )1,0,1,, =yx e( ) ( )1,0,1,, =yx ; esse individuano i seguenti quattro punti:

( ) ( )1,0,11

=yx , ( ) ( )1,0,22

=yx , ( ) ( )0,1,33

=yx e ( ) ( )0,1,44

=yx .

Abbiamo individuato in questo modo cinque punti che sono candidati ad essere punti di massimoe di minimo della funzione, cio punti nei quali la funzione assume valore rispettivamente massimoe minimo. Per decidere qual il massimo e qual il minimo della funzione dobbiamo calcolare ilvalore della funzione in questi cinque punti. Risulta:

( ) ( ) 10,0, 00 == fyxf ( ) ( ) 31,0, 11 == fyxf ( ) ( ) 31,0, 22 == fyxf

( ) ( ) 20,1, 33 == fyxf ( ) ( ) 20,1, 44 == fyxfe quindi possiamo concludere che il minimo della funzione 1 ed il punto di minimo (0,0); ilvalore massimo della funzione 3 e ci sono due punti nei quali la funzione assume valore massimo,rispettivamente i punti ( ) ( )1,0, 11 =yx e ( ) ( )1,0, 22 =yx .

Data la funzione ( ) 1423, 22 +++= xyxyxf si determinino, se esistono, il massimo ed il

minimo della funzione sullinsieme ( ){ }1:, =+= yxyxS .

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Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il Teorema fondamentale del calcolo stabilisce una importante connessione tra i concetti di

integrale e derivataper funzioni da in . In generale si usa il termine teorema fondamentaledel calcolo per indicare ci che stabiliscono i seguenti due teoremi:

Primo teorema

Se una funzione continua allora la "funzione integrale" definita come

una funzione derivabile in [a,b] e si ha che per ogni .Dimostrazione. Si consideri il rapporto incrementale di ; per la propriet di additivitdell'integrale, si pu scrivere:
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Dal teorema della media integrale risulta che esiste un punto interno all'intervallotale che vale la relazione

Abbiamo dunque

Se ora , (poich ) e, in forza della continuit di si ha che

.

Possiamo quindi concludere che

ovvero la tesi.

Secondo Teorema

Se una funzione continua e unaprimitiva dif, ovvero

allora

.

Dimostrazione. Poniamo , dal teorema precedente abbiamo che

e d'altra parte sappiamo che , per la linearit della derivata

concludiamo che per ogni , dalle propriet della derivataconcludiamo che esiste un tale cheF(x) 3 G(x) = c, cio

.
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Scritto da Renato TassoneLa formula stabilita da questo teorema viene talvolta chiamata formula fondamentale del calcolointegrale.

Conseguenze e applicazioni

Il teorema fondamentale del calcolo, oltre al suo valore teorico, ha una importantissima

applicazione pratica: consente di ricavare esattamente il valore degli integrali definiti di unaconsistente quantit di funzioni.

Se vogliamo calcolare l' integrale definito di una funzione possiamo cercare unafunzioneFche abbiafcome derivata (cio unaprimitiva dif) ed avvalerci dellaformula

fondamentale del calcolo per concludere che

e quindi ridurci a calcolare la funzioneFsugli estremi di integrazione. Con questa formula

possiamo dire ad esempio che l'area compresa tra l'assex, la parabolay =x2

e la rettax = 1

esattamente uguale a 1 / 3 poich una primitiva dix2 e ; seavessimo usato solamente la definizione di integrale di Riemann avremmo dovuto approssimarel'area racchiusa dal grafico della funzione mediante rettangoli "piccoli" e ci saremmo dovutiaccontentare di un valore approssimato.

Altri modi di vedere le cose

Approccio fisico

Supponiamo di avere un punto che si muove lungo una retta la cui posizione al tempo tindividuata dalla funzioneF(t). In tal caso la velocit istantanea v(t) in ogni momento sar pari alladerivataF'(t). Lo spazio percorso nell'intervallo di tempo che va da a a b sar dato dalla differenzatra le posizioni occupate negli istanti a e b cioF(b) 3F(a). D'altra parte lo spazio percorso saranche uguale alla somma degli spazi percorsi in ogni istante. Se dividiamo l'intervallo di tempo inintervallini molto piccoli

possiamo trattare il moto in ciascun intervallo di tempo come se la velocit fosseapporssimativamente costante, quindi lo spazio percorso in ogni intervallo sar uguale a

lo spazio percorso in tutto l'intervallo di tempo [a,b] sar uguale alla somma degli spazi percorsi intutti gli intervalli di tempo cti cio

e la somma al secondo membro tende a quando gli intervalli di tempo consideratihanno lunghezze arbitrariamente piccole.
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Approccio geometrico

Consideriamo preliminarmente una funzioneFche abbia derivata sempre positiva.

La derivatapi essere vista geometricamente come coefficiente di dilatazione locale, cioF'(x) quel fattore di cui vengono espansi (o contratti) dalla funzioneFtutti i segmentini che sono vicini al

puntox: se chiamiamo lla lunghezza abbiamo che per ogni intervallinoIvicino adx si ha

Ora l'intervallo [a,b] verr mandato dalla funzioneF(che in questo caso monotona crescente)nell'intervallo [F(a),F(b)], la lunghezza dell'intervallo immagine quindiF(b) 3F(a). D'altra parte

possiamo calcolare questa lunghezza in quest'altro modo: dividiamo [a,b] in tanti piccoli intervalli

disgiuntiI1,...,INcosicch la lunghezza complessiva dell'intervallo immagine sar data dalla sommadelle lunghezze delle immagine degli intervallini in cui lo abbiamo suddiviso (sempre perch Fmonotona):

consideriamo che la funzioneFdeforma ciascuno di questi intervallini di un fattoreapprossimativamente uguale alla derivata diFcalcolata in un punto interno all'intervallo:

quindi nel complesso abbiamo che

se prendiamo intervalli di lunghezza h arbitrariamente piccola l'espressione sulla destra convergeall'integrale

.

L'idea quindi che il calcolo dell'integrale diF'(x) ci dice quanto spazio percorriamo andando asommare tutti i segmenti trasformati dalla funzioneF, cio la lunghezza complessiva dell'intervallotrasformato daF.

Il discorso appena fatto vale per il caso in cui si haF'(x) > 0 ovunque. Nel caso in cui abbiamoovunqueF'(x) < 0 il discorso simile con la differenza che l'orientamento degli intervalli vieneinvertito.

Nel caso generale in cuiF'(x) pu cambiare di segno si riconduce ai precedenti considerandoseparatamente gli intervalli in cui il segno della derivata rimane costante.

Somme telescopiche
http://it.wikipedia.org/wiki/Derivatahttp://it.wikipedia.org/wiki/Derivata


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Se abbiamo una somma e riusciamo a trovare una sequenzaA0,A1,...,ANtale che ak=Ak3Ak3 1 allora la nostra somma si semplifica drasticamente:

cio la somma si risuce alla differenza diAksugli "estremi". Questo tipo di somme che si possono"accorciare" vengono chiamate somme telescopiche.L'analogia con laformula fondamentale del calcolo

non casuale.

Supponiamo di approssimare l'integrale della derivata mediante una somma finita di aree di

rettangolini di base lunga e altezza immaginando di aver diviso l'intervallo [a,b]

in n sottointervalli [xk,xk+ 1] lunghi conx0 = a exn = b. L'integrale approssimato sar dato dallasommatoria

ora approssimiamo le derivate che compaiono nella sommatoria con i rapporti incrementali, dal

momento che rimpiazziamo queste quantit approssimate nellasommatoria:

semplificando si ottiene

ed in conclusione, semplificando tutti gli addendi di segno opposto si ha

.

Dimostrazione alternativa

L'argomento appena presentato pu essere usato (con piccoli ritocchi) per dimostrare laformulafondamentale del calcolo nel seguente modo:
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consideriamo per ogni n un'approssimazione dell'integrale di Riemann di simile alla precedente ma in cui calcoliamo su valori interni a ciascun intervallino [xk,xk+ 1]:

in cui dato dal teorema di Lagrange applicato aFnell'intervallo [xk,xk+ 1], cio

, allora - fatte le dovute semplificazioni - abbiamo

D'altra parte dalla definizione di integrale di Riemann l'intergale approssimato che abbiamo

considerato deve convergere (se integrabile secondo Riemann) per all'integrale

e dunque dimostrata laformula fondamentale del calcolo.

Generalizzazioni

Il teorema si pu generalizzare in diverse direzioni.

Si possono considerare le estensioni della nozione di derivata in spazi euclidei a pi dimensioni (ilconcetto di funzione differenziabile e di derivata parziale) e l 'integrazione su variet e su dominicontenuti in spazi euclidei di dimensione maggiore di 1. Gli analoghi del teorema fondamentale delcalcolo in questo contesto sono il teorema di Green, il teorema di Stokes e il teorema delladivergenza.

Si pu considerare anche la nozione di derivabilit e integrabilit sulpiano complesso (vedi lefunzioni olomorfe e meromorfe), in questo caso gli analoghi del teorema fondamentale del calcolosono il teorema integrale di Cauchy e ilteorema dei residui).

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Metodo di integrazione

Un metodo di integrazione una procedura per il calcolo del valore di una precisa tipologia diintegrali. Per giungere alla soluzione quasi sempre necessario utilizzare diversi metodi,utilizzando in particolare le tavole di integrali; si ricordi che non tutti gli integrali sono risolvibili.

Forma logaritmica

Se un integrale si presenta nella seguente forma:
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A,B si determinano in base alla condizione:

Questa equivalente alla:

che ammette un'unica soluzione (A,B). Poich il determinate della matrice dei coefficineti:

Determinate A,B (risolvendo il sistema), si calcola:

ammette due radici reale coincidentix1 =x2 =x0 dunquex2 +

b1x + b0 = (x 3x0)2

Esistono due costanti reali tali che:

A,B si determinano in bae alla condizione

questa equivalente:

che ammette un'unica soluzione (A,B). poich il determinate della matrice deicoefficienti :

Determinate A,B si calcola:


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non ammette radici reali. E' sempre possibile determinareA,B tali che: .

L'uguaglianza precedente equivalente a:

Il calcolo dell'integrale:

Si esegue nel seguente modo:

Integrazione per parti

Se f e g sono derivabili in [a,b] si ha

(fg)' =f'g+fg'

ossia

fg' = (fg)' +f'g.

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che sitrova la formula di integrazione per parti:

Dimostrazione

Osserviamo per prima cosa che gli integrali esistono per la continuit delle funzioni f e g prese inesame. La funzione f(x)g(x) derivabile e la sua derivata f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

Prendendo l'integrale indefinito dell'uguaglianza precedente si ottiene:


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Scritto da Renato TassoneRicordando che a meno di una costante additiva si ha

da cui si ottiene la regola di integrazione per parti

Integrazione per scomposizione

L'intregrazione per scomposizione si rif alla propriet di linearit dell'integrale. Infatti dovendo

calcolare talvolta pi semplice scriveref(x) =f1(x) +f2(x) + . . . +fn(x) e sfruttarel'uguaglianza:

Integrazione per sostituzione

Nel calcolo infinitesimale la regola di sostituzione costituisce un importante strumento per ladeterminazione di integrali indefiniti e di integrali definiti. Essa equivalente alla regola diderivazione della composizione di funzioni.

Supponiamo chef(x) sia una funzione integrabile, e d(t) una funzione differenziabile con continuitdefinita sull'intervallo [a, b] e la cui immagine contenuta nel dominio dif. Allora

Questa formula si ricorda meglio usando il formalismo di Leibniz: la relazionex = d(t) comportadx/dt= d'(t) e quindi la conseguenza formale dx = d'(t) dt, che precisamente la sostituzionerichiesta perdx. In effetti la regola di sostituzione pu considerarsi come un ottimo sostegno della

bont del formalismo di Leibniz per gli integrali e le derivate.

La formula usata per trasformare l'integrale di una funzione nell'integrale di un'altra nella

prospettiva che questo nuovo sia pi facile da determinare. La formula pu essere utilizzata al finedi semplificare un integrale dato, sia "da sinistra verso destra" che "da destra verso sinistra".

Esempi

Consideriamo l' integrale

Usando la sostituzionex = t2 + 1, otteniamo dx = 2t dte quindi


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Scritto da Renato TassoneQui usiamo la regola di sostituzione "da destra a sinistra". Si noti come il limite inferiore t= 0 vienetrasformato inx = 02 + 1 = 1 e il limite superiore t= 2 i nx = 22 + 1 = 5 .

Per l'integrale

occorre usare la formula da sinistra a destra: serve la sostituzionex = sin(t), dx = cos(t) dt, in quantoe(1-sin2(t)) = cos(t):

L'integrale risultante pu essere calcolato effettuando una integrazione per parti.

Integrali indefiniti

La regola di sostituzione pu essere usata anche per determinare vari integrali indefiniti. Si sceglieuna relazione trax e t, che determina la relazione corrispondente tra i differenziali dx e dte consentela sostituzione. Se si riesce a determinare il nuovo integrale indefinito, occorre successivamenteeffettuare la sostituzione opposta.

Similmente al nostro primo esempio precedente, applichiamo il metodo per determinare il seguenteintegrale indefinito:

Si noti che sono stati sottoposti a trasformazione integrali indefiniti e che nell'ultimo passo abbiamoinvertito la sostituzione originalex = t2 + 1.

Regola di sostituzione per variabili multiple

Si pu anche usare la sostituzione quando si integrano funzioni in diverse variabili. Qui la funzione

sostituzione (v1,...,vn) = d(u1,...,un) deve essere uno a uno e differenziabile con continuit, e idifferenziali si trasformano secondo la formula

dove det(Dd) denota il determinante della matrice jacobiana che contiene le derivate parziali di d.Questa formula esprime il fatto che il valore assoluto del determinante dei vettori dati uguaglia ilvolume del parallelepipedo formato.

Pi precisamente, la formula del cambiamento di variabili precisata nel seguente enunciato.

Teorema Siano U, Vinsiemi aperti in Rn e d : Uf Vuna funzione differenziabile biiettiva conderivate parziali continue. Allora per ogni funzione con valori realifsu Vintegrabile


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Tavola degli integrali pi comuni

In base al Primo teorema fondamentale del calcolo integrale, il calcolo di suddetti integrali tramiteidentificazione della primitiva viene effettuato attraverso algoritmi atti a far s che la derivata delrisultato coincida con la funzione integranda. Questa pagina contiene una tavola degli integrali picomuni. Queste formule sono equivalenti a quelle presentate nella tavola delle derivate. Per altriintegrali vedi Indici per la matematica#Tavole di integrali.

Qui Cdenota una costante arbitraria di integrazione che ha senso specificare solo in relazione a unaspecificazione del valore dell'integrale in qualche punto.

Regole per l'integrazione di funzioni generiche

Funzioni razionali

Logaritmi

Funzioni esponenziali


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Funzioni irrazionali

Funzioni trigonometriche

Funzioni iperboliche


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Tavola degli integrali indefiniti di funzioni

razionali


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irrazionali


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Questa pagina contiene una tavola di integrali indefiniti di funzioni irrazionali. Per altri integralivedi Tavole di Integrali.
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esponenziali


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logaritmiche

Questa pagina contiene una tavola di integrali indefiniti di funzioni logaritmiche. Per altriintegrali vedi Indici per la matematica#Tavole di integrali.

In questa pagina si assume chex sia una variabile sull'insieme dei reali positivi.
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trigonometriche


Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo sin
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Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo cos
http://it.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://it.wikipedia.org/wiki/Coseno


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Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo tan

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo sec

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo csc

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo cot

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Integrali di funzioni trigonometriche contenenti sin e tan
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Integrali di funzioni trigonometriche contenenti cos e tan

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti sin e cot

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti cos e cot

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti tan e cot

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iperboliche

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d'area

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d'arco
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Integrale improprio

Integrazione su intervalli illimitati

Sia continua. Poniamo:


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Se il limite esiste finito si dice che la funzione f integrabile in e che 'integrale

convergente.

Se il limite vale si dice che l'integrale divergente.

Altrimenti si dice che l'integrale non esiste. --- Sia continua. Poniamo:


convergente.


Altrimenti si dice che l'integrale non esiste. --- Sia continua. Poniamo,sfruttando la propriet dell'additivit :

dove c un punto qualunque


convergente.


Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.

Criteri di integrabilit all'infinito

Siano f,g definite nell'intervallo . Riprendendo la teoria dei limitipossiamo definire duecriteri importanti:

Criterio del confronto

Se allora si pu avere:

se g integrabile in allora anche f integrabile in

se f divergente in allora anche g divergente in

Criterio del confronto asintotico
http://it.wikipedia.org/wiki/Limitehttp:

Raccolta Delle Fond Amen Tali Leggi e Teoremi Per Il Calcolo Integrale

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