Prof. Ing. Claudia Madiaipeople.dicea.unifi.it/clau/2 Domini di comportamento AA...il carico è...

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENTALE Sezione Geotecnica

Dinamica dei TerreniDinamica dei TerreniComportamento dei terreni in presenza di carichi dinamici e ciclici

Prof. Ing. Claudia Madiai

DEFINIZIONIIn generale

CARICHI “DINAMICI” : carichi variabili nel tempo (in intensità e/o direzione e/o posizione) ⇒ stati tensionali e deformativi variabili nel tempo

prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica

e/o posizione) ⇒ stati tensionali e deformativi variabili nel tempo

Se la variazione è abbastanza lenta rispetto alle caratteristiche dinamiche del problema in esame, si può ritenere di essere nel campo delle azioni statiche

Nella Dinamica dei Terreni

CARICHI “DINAMICI” : carichi con velocità di applicazione così elevata da non poter trascurare le forze di inerzia e gli effetti indotti sul terreno (modifica delle condizioni di drenaggio, effetti viscosi)CARICHI “CICLICI” : alternanza periodica (più o meno ‘regolare’ ) di fasi di carico, scarico, ricarico

Un carico dinamico può essere:- monotono- ciclico

22

2

DEFINIZIONI

Nelle più comuni applicazioni ingegneristiche i carichi dinamici sono generalmente anche ciclici e possono essere di tipo:


impulsivo (esplosioni) contenente frequenze molto elevate (fino anche a 300 Hz)

transitorio (terremoti) contenente prevalentemente frequenze medie (1 ÷10 Hz)

vibratorio (macchine industriali, traffico, etc.) contenente frequenze medio-alte(comunque superiori a 1 Hz)

CARATTERIZZATI DA UN ANDAMENTO ‘IRREGOLARE’

ondulatorio (vento, onde, ..) contenente frequenze molto basse (minori di 1 Hz)CARATTERIZZATI DA CICLI ‘REGOLARI/PERIODICI’

NB: Anche i carichi più irregolari (come i terremoti) possono essere ricondotti, applicando il teorema di Fourier, ad una sommatoria di carichi ‘regolari’ (funzioni armoniche elementari) 33

LEGAME FREQUENZA-AMPIEZZA-VELOCITÀ DI APPLICAZIONEPer definire completamente un carico ciclico periodico ad andamento ‘regolare’ (es. sinusoidale, rettangolare, triangolare ) occorre conoscere:

ampiezza


Relazione tra frequenza f , ampiezza Amax e velocità di applicazione per un carico ciclico periodico di forma ‘triangolare’

A&

periodo:T= 1/f

frequenza durata

tT 2T T 3T

Α

Αmax

Α

/(T/4)AA =&

m axA f 4A =&

t t

f = 1/T bassavelocità di caricobassa

T T 3T

f = 1/T altavelocità di caricoalta

T/4-Αmax

44

/(T/4)maxAA =

3

Campi di frequenza tipici di alcune sorgenti di vibrazione


SORGENTE DI VIBRAZIONI CAMPO DI FREQUENZA [HZ]Terremoti 1÷10Moto ondoso 0.05 ÷ 0.2Vento ~ 0.7Traffico stradale e ferroviario ~ 1Infissione di pali, cadute di magli 1÷10Macchine di cantiere 10÷60Macchine di cantiere 10÷60

Macchine industriali > 10

Esplosioni > 100

55

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

I carichi dinamici producono nel terreno vibrazioni meccaniche che si propagano in tutte le direzioni imprimendo alle particelle del mezzo attraversato dei movimenti di tipo oscillato io (con andamento egola e o i egola e) into no a na posi ione di


tipo oscillatorio (con andamento regolare o irregolare) intorno a una posizione di equilibrio

Si generano così delle onde progressive di sforzo e di deformazione che, per analogia con quelle generate dai terremoti, sono denominate ‘onde sismiche’

Le vibrazioni si attenuano con la distanza dalla sorgente e si smorzano nel tempo a meno che la sorgente non sia continua (es. macchine vibranti)

L’entità e l’andamento nel tempo e nello spa io delle sollecita ioni e defo ma ioniL’entità e l’andamento nel tempo e nello spazio delle sollecitazioni e deformazioni cicliche indotte nel terreno dai carichi dinamici dipendono strettamente dalle caratteristiche del carico dinamico, oltre che dalle proprietà del terreno

TEORIA DELLE VIBRAZIONI66

4

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

La fase successiva al rilascio di energia è quello della propagazione delle onde sismiche nel mezzo ‘terreno’

I l i i ità d ll t


In generale, in prossimità della sorgente:- i carichi dinamici periodici regolari producono vibrazioni periodiche e regolari; - i carichi dinamici ad andamento impulsivo e casuale producono vibrazioni irregolariAd una certa distanza dalla sorgente le vibrazioni indotte possono comunque avere un andamento irregolare nel tempo e nello spazio per effetto di vari fenomeni (riflessione e rifrazione all’interfaccia fra i vari strati di terreno e all’impatto con la superficie libera; interazione tra terreno e vibrazioni)

TEORIA DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE

La teoria della propagazione delle onde sismiche nei mezzi continui ed elastici è di fondamentale importanza per comprendere i problemi legati alla propagazione delle onde sismiche nei terreni (anche se i terreni reali hanno caratteristiche molto particolari difficilmente riconducibili a quelle del mezzo continuo ed elastico) 77

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHEIn prossimità della superficie libera il terreno e le sovrastanti costruzioni sono soggetti a vibrazioni che inducono oscillazioni (libere o forzate) e deformazioniSe la frequenza fondamentale delle vibrazioni si avvicina a quella del sistema (terreno di fondazione-struttura) si possono avere fenomeni di risonanza


Vibrazioni della struttura σv σv τ

δ+τ +δ ‐δ‐τ

Propagazione delle onde in direzione verticale

(terreno di fondazione struttura) si possono avere fenomeni di risonanza

Nel seguito, quindi, verrà concentrata l'attenzione sul legame tra sollecitazioni e deformazioni di taglio (piano τ, γ)

In campo dinamico le deformazioni più critiche per la stabilità dei terreni e delle opere sono le deformazioni di taglio γdovute al passaggio delle onde di taglio (onde S)

ONDES

γ = δ/H = τ/G

δ

H

γ = deformazione di taglio

G = modulo di taglio

+δ δ

88

τ = sforzo di taglio

5

CARATTERISTICHE DEI PROBLEMI GEOTECNICI DINAMICI

il carico è dinamico e ciclico (varia rapidamente e irregolarmente neltempo e nello spazio):


tempo e nello spazio):⇒ la velocità di applicazione e la successione di fasi di carico, scarico

e ricarico producono effetti sul terreno (modifica delle condizioni didrenaggio con possibile accumulo di pressioni interstiziali, effettiviscosi, sviluppo di deformazioni irreversibili, variazione di rigidezzae resistenza)

⇒ sforzi e deformazioni sono funzioni del tempo e si utilizzano‘equazioni d'onda’ anziché ‘equazioni di equilibrio’ per descrivere leq q q pvariazioni dello stato tensio-deformativo

il comportamento del terreno viene definito in termini di tensioni edeformazioni di taglio in un range molto ampio (da piccolissime agrandi deformazioni)

99

PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

Per la progettazione in zona sismica devono essere affrontate trefondamentali categorie di problemi:


1. identificazione delle caratteristiche dell‘azione sismica

2. analisi delle modalità di propagazione delleperturbazioni nel mezzo di trasmissione attraversato(terreno) e studio delle mutue interazioni fra vibrazionie mezzo attraversato

3. studio degli effetti indotti sul terreno e sui manufatti

Per affrontare i problemi indicati ai punti 2 e 3 è necessaria la conoscenza del comportamento del terreno in condizioni dinamiche

(DINAMICA DEI TERRENI) 1010

6

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

l’effetto indotto dai carichi dinamici sul terreno è molto più complesso rispetto alle condizioni statiche specie nei terreni saturi ove la velocità di applicazione dei carichi non consente la dissipazione delle sovrappressioni interstiziali.


dei carichi non consente la dissipazione delle sovrappressioni interstiziali. Ciò può causare:

- nei terreni poco permeabili (argille) un’attivazione e rafforzamento dei legami intramolecolari e un conseguente incremento della rigidezza e della resistenza

- nei terreni molto permeabili (sabbie) una riduzione delle tensioni efficaci e conseguentemente della resistenza

Sono dunque spesso identificabili condizioni di deformazione e di resistenza

il comportamento del terreno sotto l’azione di carichi dinamici e ciclici è molto più complicato di quello esibito sotto l’azione di carichi dinamici monotoni: la ripetitività del carico fa sì che gli effetti dinamici di modificazione delle condizioni di drenaggio e di natura viscosa possano essere particolarmente rilevanti e produrre nel terreno effetti permanenti significativi

molto diverse durante l’applicazione dei carichi dinamici e dopo

1111

a)


Non esistono condizioni di carico esclusivamente dinamico (c’è sempre il peso proprio, poi spinte,

h )


- se il rapporto è piccolo (a) l’influenza è limitata;

b)

ε0, u0

A

A

carichi esterni…)

L’influenza dei carichi dinamici (e ciclici) dipende dalla velocità di applicazione e dal rapporto tra l’ampiezza A del carico dinamico e ciclico e lo sforzo statico iniziale τ0:

;- in caso contrario (b)

l’influenza è sensibile e gli effetti conseguenti dipendono da: - caratteristiche dell’azione dinamica - natura dei terreni - condizioni di drenaggio

ε0, u0

A

1212

7

1. conoscenza del comportamento dei terreni attraversati dalle onde sismiche in


La previsione realistica della risposta di un sottosuolo alle azioni sismiche richiede:


prove di laboratorio che riproducono condizioni analoghe a quelle del terreno in sito sotto una determinata azione sismica

2. identificazione di un modello interpretativo di tale comportamento (legge costitutiva) per ogni strato di terreno attraversato dalle onde sismiche

3. accurata misura o stima dei parametri dinamici richiesti dal modello

Per affrontare il punto (1) è necessario definire preliminarmente:Per affrontare il punto (1) è necessario definire preliminarmente:

a. quali sono gli stati di sollecitazione e deformazione indotti nell’elemento di volume dalle azioni sismiche

b. come si può applicare ad un provino di laboratorio una sollecitazione di taglio equivalente a quella indotta da un terremoto reale

1313

a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

L’azione sismica in un deposito determina:

i i i à d ll fi i d


in prossimità della superficie ondeprevalentemente di taglio che sipropagano verticalmente (onde SHcon direzione di propagazioneverticale), ovvero tensioni tangenzialiτcyc e deformazioni di taglio γcycdinamiche e cicliche

condizioni non drenate conl’instaurarsi di sovrappressioniinterstiziali

1414

8

1) Prima del sisma sui piani orizzontali eti li ti


a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

sforzi normali (totali) σv e σhtensioni tangenziali τst(nel caso di pendio o di caricoapplicato in superficie)

verticali sono presenti:

h

2) Durante il sisma vengono indottisforzi di taglio dinamicie ciclici τcyc

1515

Il moto del terreno prodotto dall’azione sismica è irregolare in ampiezza efrequenza e pertanto anche gli sforzi di taglio hanno un andamento irregolare

+τ

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE


τ

In laboratorio, invece, per poter rendere i risultati generalizzabili, è utile fareriferimento a sequenze regolari di forma semplice (armonica, triangolare,rettangolare ecc ) con ampiezza e frequenza costanti nel tempo

(a)O

t

−τ

τcyc

rettangolare, ecc. ), con ampiezza e frequenza costanti nel tempo

È quindi necessario stabilire un’equivalenza tra gli sforzi di taglio applicati inlaboratorio e quelli presenti (o ‘attesi’ ) in sito durante l’evento sismico

“TEORIA DEL DANNO EQUIVALENTE”

Seed et al., 1975“Numero di cicli equivalente”

1616

9

1. Una sequenza irregolare di cicli di carico può essere considerata come unasommatoria di sequenze di cicli regolari, ognuna delle quali costituita da Ni ciclidi ampiezza τi



di ampiezza τi

(b) Ot

+τ

−τ−τ

τi i, Ν

τ1τ2

τ3τ4

τcyc

2. Un elemento di terreno può essere portato a rottura in infiniti modi, ognunodei quali è caratterizzato da una particolare combinazione di ampiezze dellosforzo di taglio e di numero di cicli, ad esempio :

- con una sommatoria di Nif cicli di ampiezza τi

- con Nef cicli di ampiezza arbitraria τe

1717

3. L’effetto di Neq cicli di ampiezza τe è equivalente (danno equivalente) a quellodella sommatoria di Ni cicli di ampiezza τi e quindi a quello della sequenzairregolare iniziale (a) :



∑=fi

i

fe

eq

NN

NN

fefi

ieq N

NN

N ⋅= ∑

+τ

τe eq, Ν

Magnitudo M

Numero dei cicli equivalenti Neq

6 5Ot

−τ

6 5 6.5 8 7 12 7.5 15 8 20 τe = 0.65 τmax

1818

10

Modificazioni della struttura del terreno indotte da carichi dinamici e ciclici

Il comportamento del terreno in presenza di carichi dinamici e ciclici è assaicomplesso a causa di:


p

- natura granulare del materiale- presenza di più fasi- instaurarsi di condizioni non drenate

In generale, le azioni dinamiche e cicliche:in terreni asciutti comportano variazioni di volumein terreni saturi comportano variazioni delle pressioni interstiziali

Le modifiche della struttura del terreno (MICROSCALA) per effetto di carichidinamici e ciclici dipendono da:

natura del terreno (coesivo o incoerente)stato di addensamento o di consistenza iniziale (Dr o IC )ampiezza dello sforzo di taglio ciclico (τ)numero di cicli di carico (N )

1919

Effetti della ciclicitàMEZZO IDEALE (sferette uguali, lisce e prive di peso)

In relazione allo stato di addensamento iniziale si avrà:


- terreno sciolto ⇒ iniziale riduzione di volume- terreno denso ⇒ iniziale aumento di volume

A PRESCINDERE DALLO STATO INIZIALE:l’applicazione di un carico ciclico comporta l’alternanza di riduzioni e aumenti divolume; il comportamento è simmetrico (ad una inversione di τ corrispondeun’inversione di δ)

δ δτ τ σ σ σ

δ δ

δ δ

stato sciolto

stato addensato

τ τ σ σ σ

2020

11

Effetti della ciclicità MEZZO IDEALE (sferette uguali e lisce) DOTATO DI PESO

S l f d di ’è iù i i il è


Se le sferette sono dotate di peso non c’è più simmetria: il comportamento èdiverso in relazione allo stato di addensamento iniziale:

{τ piccolo ⇒ riduzione di volume immediata e quasi definitiva

τ grande ⇒ aumenti e riduzioni di volume con gradiente decrescente, complessiva densificazione

- stato sciolto

{decrescente, complessiva densificazione(il materiale tende a ‘dimenticare’ lo stato iniziale){τ piccolo ⇒ movimento ciclico con piccole variazioni di volume regolari

- stato addensato

2121

Effetti della ciclicità - TERRENI INCOERENTI ASCIUTTI

{τ piccolo ⇒ riduzione di volume contenuta (spostamento verso il basso delle particelle più piccole e rotazione delle più grandi) e comportamento quasi reversibile

d id i di l i i i l d- stato sciolto


{τ grande ⇒ riduzione di volume iniziale grande e progressiva densificazione

τ piccolo ⇒ solo movimento ciclico delle particelle con variazioni di volume praticamente nulle

- stato addensato{τ grande ⇒ alternanza di aumenti (comportamento dilatante) e riduzioni di volume con progressiva lenta densificazione

τ τσ σ σ

δ

δ δ

δSTATO SCIOLTO(e τ grande)

STATO ADDENSATO(e τ piccolo)

δ δ

δ δ

τ

2222

12

Effetti della ciclicità - TERRENI COESIVI ASCIUTTI

progressiva rottura dei legami; orientamento delle particelle; significative diminuzioni di volume

- soffici {


significative diminuzioni di volume

variazioni di volume significative solo per τ grandi; alternanza di aumenti (comportamento dilatante) e riduzioni di volume con complessiva diminuzione per numero di cicli elevato

- compatti

{{

τ τ σ σ σ

δδ

2323

TERRENO SOFFICE

Agli effetti della ciclicità (“load repetition effects”) si aggiungono altri effetti legati alla velocità di applicazione dei carichi (“strain velocity effects”) che complicano

t l t il d d ll ibili i t d l t tt tt i

Effetti della velocità di applicazione del carico


notevolmente il quadro delle possibili risposte del terreno soprattutto in presenza di acqua

Il comportamento di un terreno saturo è governato dal principio delle pressioni efficaci e la resistenza a rottura è convenzionalmente descritta dal criterio di Mohr-Coulomb

τ = σ‘ tg ϕ’ + c’σ’ = σ ‐ u

L’applicazione veloce di carichi ciclici in un terreno saturo produce condizioni non drenate e quindi una modificazione del regime delle pressioni interstiziali e delle pressioni efficaci, con ricadute sulla rigidezza e sulla resistenza al taglio

2424

13

Comportamento dei terreni in condizioni di carico dinamico e ciclico

T(o σd)

carico monotonoProva triassiale ciclica

- apparecchiatura avanzata e complessa- modalità di prova complessa

rappresentazione dei risultati sul piano q


t

T(o σd)

t

carico ciclico

- rappresentazione dei risultati sul piano q, εa

σ1c

σ3c

σd σ1c

σ3c

σ1c

σ3c

σd

εa

(uo) (uo+Δu)

(uo+Δu)

Prova di taglio semplice ciclico- apparecchiatura avanzata e complessa- prove capaci di simulare bene le condizioni dei depositi reali durante i terremoti- rappresentazione dei risultati sul piano τ, γ

σ’v

σ’h

T(t)δ

σ’h

σ’v

T(t) δσ’h

σ’v

H (u0) (u0 + Δu) (u0 + Δu) 2525

Prova triassiale: carico dinamico monotono (1/2)

σ1cσd

200Prova rapida (”dinamica”)

(tempo di applicazione= 0.02 sec)


σ1c

σ3c

σ1c

σ3c

εa

(uo) (uo+Δu)

( )3

2p c3dc1 σ+σ+σ

=

( ) c3dc1q σ−σ+σ=

N B Nella prova rapida sia la rigidezza (E=σ /ε ) sia ione assiale, [k

Pa]

σ a

100

150 Prova lenta (”statica”)(tempo di applicazione= 4 min)

N.B. Nella prova rapida sia la rigidezza (E=σa/εa) siala resistenza a rottura (σa,max) sono molto più elevatedi quelle relative alla prova lenta(con velocità di carico minori il terreno ha lapossibilità di sfogare fenomeni deformativi di creep, asforzo costante, e di relaxation, a deformazionecostante, invece impediti quando la velocità èelevata) Deformazione assiale, [%]εa

Tensi

50

02 4 6 8 10 12

w = 44%

2626

14

Prova triassiale: carico dinamico monotono (2/2)

(I hih 1996)

materiali argillosi e limosi(Ip = 15-50 %; w=20-50%)


(Ishihara, 1996)

E d/Est

-per εa < 0.2%, il modulo di Young secante,Ed, non è molto influenzato dalla velocità diapplicazione del carico (Ed/Est 1)

-per εa > 2% Ed/Est > 1(con una tendenza a crescere all’aumentaredi εa , fino a raggiungere valori superiori a 2)

Deformazione assiale, εa

- la resistenza in prove rapide è sempre maggiore di quella in prove statiche e il rapportotra resistenza dinamica e resistenza statica può raggiungere valori anche superiori a 2

2727

In generale la resistenza al taglio in condizioni di carico dinamico monotono èmaggiore di quella in condizioni statiche

Prova di taglio semplice: carico dinamico monotono


γ = δ/h = tg(θ) ≅ θτ = Τ/Αcon A: area della sezione

στ δ

hθ

⎪⎩

⎪⎨⎧

÷=⇒

÷=⇒==

15.10.1

0.35.1

Fsabbie

Fargilleresistenza dinamicaF

T: forza di taglio

resistenza statica2828

15

Parametri che influenzano la resistenza in condizioni dinamicheIn generale la resistenza al taglio in condizioni di carico dinamico aumentaall’aumentare del grado di sovraconsolidazione, OCR, dell’indice di plasticità, IP ,e della velocità di deformazione,γ&


2929

Comportamento dei terreni in condizioni di carico dinamico monotono

curva di decadimento della rigidezza con la deformazione


Parametri che definiscono la curva dorsale: • modulo di taglio iniziale, Gmax (o G0)Parametri che definiscono la curva dorsale:

γ γ

curva sforzi deformazioni di taglio (‘backbone curve’

o ‘curva dorsale’)

Parametri che definiscono la curva dorsale: modulo di taglio iniziale, Gmax (o G0)• sollecitazione di taglio massima τmax

Sulla curva G-γ si identificanodue importanti livelli deformativi(soglie di deformazione):

Parametri che definiscono la curva dorsale:(≅ iperbole )( ) ( ) γτ

γγτ⋅+

⋅=

maxmax

max

/1 GG

• soglia di deformazione lineare (o elastica), γl

• soglia di deformazione volumetrica, γv

3030

16

DEFINIZIONI

SOGLIA DI DEFORMAZIONE LINEARE (O ELASTICA), γl :

deformazione di taglio oltre la quale il comportamento del terreno diventa marcatamente non lineare


marcatamente non lineare. Convenzionalmente viene definita, con riferimento alla curva G-γ, come la deformazione di taglio in corrispondenza della quale il valore del modulo di taglio G è pari al 95% del valore del modulo di taglio massimo Gmax

γl = γ (G=0.95 Gmax)

SOGLIA DI DEFORMAZIONE VOLUMETRICA, γv :

deformazione di taglio oltre la quale g q- in condizioni drenate si hanno deformazioni volumetriche irreversibili- in condizioni non drenate si hanno incrementi della pressione interstizialeÈ definita come la deformazione di taglio in corrispondenza della quale il rapporto tra le sovrappressioni interstiziali e la pressione media di confinamento raggiunge un valore prestabilito (di norma Δu/σ’0=1%)L’esperienza ha evidenziato che per γ=γv , G/Gmax=0.60÷0.85

3131

I domini di comportamento del terreno e le relative soglie di deformazione, identificate sulla “curva dorsale” con riferimento a prove dinamiche di taglio monotone, possono essere identificate anche in condizioni dinamiche e cicliche

Prova di taglio semplice: carico dinamico ciclico


Si considerano tre provini saturi dello stesso materiale (1, 2 e 3):• consolidati alla stessa pressione di consolidazione verticale (σ’v)• sottoposti a sforzi di taglio ciclici regolari, totalmente invertiti, di

ampiezza rispettivamente pari a τ1 , τ2, τ3 ( τ1 < τ2 < τ3)(“prova a sforzo controllato”)

Consolidazione

CON RIFERIMENTO AL 1° CICLO DI CARICO

3232

(Provini 1, 2 e 3)

σ’v

σ’h H (u0)

Consolidazione

σ’h

σ’v

T(t)

(u0 + Δu)δ

γl γv

τ G0 G 1 1 τmax

γ

τ3

τ2

τ1

17

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorio

Per uno sforzo di taglio ciclico, τ1, molto basso (⇒ γ1 molto bassa), si osserva:


τ

all’aumentare del numero dei cicli di carico-scarico, l'andamento delle

PROVINO 1

COMPORTAMENTO (VISCO)ELASTICO LINEARE

t

t

t

τ1

τ1

τ τ

γ

γ γ

u

DO

MIN

IO E

LASTI

CO

LIN

EAR

E

SFORZO CONTROLLATO

DEFORMAZIONE CONTROLLATA

γ1

τ1

Δu

deformazioni e delle pressioni interstiziali è caratterizzato da piccoleoscillazioni intorno allo zeroi cicli di carico, scarico, ricarico risultano praticamente ‘chiusi’ (modestadissipazione di energia) e sovrapposti indipendentemente dal valore di τ1(comportamento elastico lineare)

3333

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorioPer uno sforzo di taglio ciclico maggiore (τ2 > τ1), ovvero tale da produrre unadeformazione di taglio ciclica maggiore (γ2 > γ1), si osserva:


SFORZO CONTROLLATO

DEFORMAZIONECONTROLLATA

PROVINO 2

COMPORTAMENTO VISCOELASTICONON LINEARE(ISTERETICO STABILE)

CONTROLLATO CONTROLLATA

t

t

t

ττ

2

γc

τ τ

γ γ

γ

N1 10 100

γc

γ

u

DO

MIN

IO I

STE

RE

TIC

OS

TAB

ILE

G1

Δu

i cicli di carico, scarico, ricarico sono approssimabili ad ellissi (cicli di isteresi)⇒ si ha dissipazione significativa di energia per attritoall’aumentare del numero dei cicli di carico l’ampiezza massima delladeformazione ciclica cresce, stabilizzandosi intorno a un valore limite γc; i ciclidi isteresi tendono a sovrapporsi, assumendo la stessa forma (comportamentonon lineare: γc e energia dissipata dipendono dal valore di τ2)le pressioni interstiziali oscillano intorno allo zero in modo all’incircasimmetrico 3434

18

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorioPer uno sforzo di taglio ciclico ancora maggiore (τ3 > τ2), ovvero tale daprodurre una deformazione di taglio ciclica elevata (γ3 > γ2), si osserva:


SFORZO CONTROLLATO

DEFORMAZIONECONTROLLATA

PROVINO 3

COMPORTAMENTO VISCO-ELASTO-PLASTICONON LINEARE(ISTERETICO INSTABILE)

t

t

t

ττ

3

γc

γ

γ

N1 10 100γ

V

u

DO

MIN

IO I

STE

RE

TIC

OIN

STA

BIL

E

τ τ

γ γ

G11 G

n1

γc

CONTROLLATO CONTROLLATA

Δu

l’ampiezza delle deformazioni e le pressioni interstiziali cresconoprogressivamente con il numero di cicli di caricoall'aumentare del numero dei cicli di carico, l'area racchiusa da ciascun ciclodi isteresi è sempre maggiore e la direzione della retta congiungente gliestremi è sempre più inclinatal'azione continuata degli sforzi di taglio ciclici produce una crescenteinstabilità della struttura interna del terreno che porta il provino al collasso 3535

Definizione del rapporto di smorzamentoIl comportamento dissipativo del terreno viene interpretato facendo riferimento adun ciclo τ-γ corrispondente all’intera sequenza di carico, scarico e ricarico

La rigidezza media durante il ciclo è espressa con il modulo elastico equivalenteG = τ /γ (rapporto tra le ampiezze picco picco di tensione e deformazione);


backbonecurve

pp

ppeqG γ

τ=

S

D

WWDπ4

=

Geq = τpp/γpp (rapporto tra le ampiezze picco-picco di tensione e deformazione);se i cicli tensione-deformazione sono simmetrici, Geq coincide con il modulo secanteG della backbone curveL’energia dissipata è definita mediante il rapporto di smorzamento D

WD

WS

γc

pp

• WD = area del ciclo di isteresi• WS = energia elastica immagazzinata in OA

La definizione di D deriva dalla teoria delleoscillazioni libere smorzate di un sistema visco-elastico ad un grado di libertà

3636

19

Definizione del rapporto di smorzamento

MODELLO DI KELVIN-VOIGTm = massa del sistemak t t l ti d ll ll


u

k = costante elastica della mollac = coefficiente di viscosità dello smorzatoreu = spostamento del sistema

0=++ kuucum &&&

Si definisce:

Equazione di moto per oscillazioni libere (F(t)=0)

[1]

pulsazione naturale del sistema

coefficiente di smorzamento critico

RAPPORTO DI SMORZAMENTO

00 f2mk πω == [2]

[3]

[4]k

cmc

kmc

cc

c 2220

0

ωω

ξ ====

kmcc 2=

3737


Con le suddette definizioni l’equazione di moto diventa: 02 200 =++ uuu ωξω &&&


Riferendosi al sistema ad un grado di libertà (SDOF - Single Degree ofFreedom) visco-elastico di Kelvin-Voigt,

tutu ωsin)( 0=

La for a esercitata s lla massa dalla molla e dallo smor atore iscoso è

la velocità è data da : tutu ωω cos)( 0=&

soggetto ad uno spostamento armonico:

La forza esercitata sulla massa dalla molla e dallo smorzatore viscoso è:

tuctkutFtFtuctkutF ck ωωω cossin)()()()()( 00 +=+=+= &

componentenon dissipativa

componentedissipativa

3838

20


L’energia dissipata in un ciclo di oscillazione, ovvero tra t0 e t0+T, è data dall’areainterna al ciclo di isteresi ovvero:

/2 /20 0dut t πωπ ωπ+ +


20

20

2220

2

0 0

cos ucucdttucdtdtduFW

t tcD ωπ

ωπωωω ==== ∫ ∫ [7]

202

1 kuWS = [8]

D ll i i [7] [8] h

F

u0-u0

ku0

0uωc

In corrispondenza del massimo spostamento, lavelocità è nulla e l’energia elastica accumulataè data da:

u

Dalle equazioni [7] e [8] segue che:

)/( 20uWc D ωπ= 2

0/2 uWk S=

Sostituendo le espressioni di c e k nella [4], avendo posto si ottiene la

definizione di:0ωω =

S

D

c WW

kc

ccD

πωξ

420 ====

3939


Se il comportamento del terreno è rappresentabile con il modello di Kelvin-Voigt• l’equazione sforzi-deformazioni è data dae se γ ha andamento armonico con ampiezza γc e frequenza circolare ω

γG'γGτ &⋅+⋅=


• un ciclo di isteresi è rappresentato da un’ellisse di area

• l’energia elastica immagazzinata tra 0 e γc è:

2' cD GW γπω= τ

γc

G γc

G’ ωγc2

21

cS GW γ= γ

):'G( viscosità

Si osserva che D dipende dalla frequenza del carico ciclico,ovvero dalla velocità di deformazione

NOTA: i metodi per la determinazione del rapporto di smorzamento da provedinamiche di laboratorio fanno riferimento al SDOF visco-elastico di Kelvin-Voigt

GG

WWD

S

D

2'

4ω

π==

Vale quindi la seguente relazione:

4040

21

DOMINI DI COMPORTAMENTOIn relazione all'ampiezza dello sforzo di taglio dinamico τ (o della deformazionedi taglio γ) i terreni mostrano comportamenti diversi. Al crescere dell'ampiezzadella deformazione di taglio si individuano tre diversi domini di comportamento:1) elastico lineare, per γ < γl


1) elastico lineare, per γ γl2) isteretico stabile, per γl < γ < γv3) isteretico instabile, per γ > γv

1) 2) 3)ELEVATE

γl ≅ 10-3 ÷10-2 %

γv ≅ 10-2 ÷10-1 %

4141

Dominio elastico lineare

Si è nel dominio ‘elastico lineare’ quando γ < γl

Tale dominio di comportamento è caratterizzato da: deformazioni permanenti trascurabili (comportamento reversibile) con


deformazioni permanenti trascurabili (comportamento reversibile) con dissipazione di energia durante un ciclo di carico, scarico, ricarico, molto bassa (1% ≤ D0 ≤ 5%)andamento dei cicli τ−γ approssimativamente indipendente dal livello deformativo (comportamento lineare: D=D0 e G=G0)sovrappressioni interstiziali praticamente nulle

⇒ il comportamento lineare del terreno è descritto mediante i parametri G0 e D0

PROBLEMI DINAMICI: fondazioni di macchine vibranti, vibrazioni prodotte datransito di veicoli, macchine di cantiere, misure geofisiche etc.MODELLI: elastico o visco-elastico linearePARAMETRI: modulo di taglio iniziale, G0 , e rapporto di smorzamento iniziale, D0

Bassi livelli deformativi (γ ≤ γl ≅ 5·10-3 %)

4242

22

Dominio elastico lineare


ELEVATE

lγγ <

4343

Dominio isteretico stabile

Si è nel dominio ‘isteretico stabile’ quando γl < γ < γv

Tale dominio di comportamento è caratterizzato da: deformazioni permanenti modeste; significativa dissipazione di energia durante un


deformazioni permanenti modeste; significativa dissipazione di energia durante un ciclo di carico, scarico, ricarico (comportamento visco-elastico) deformazione massima crescente per alcuni cicli di carico fino ad un valore limite legato all’entità della sollecitazione in modo non lineare;forma dei cicli τ−γ tendenti ad un limite legato al livello deformativo raggiuntosovrappressioni interstiziali oscillanti intorno allo zero, con media quasi nulla

⇒ il comportamento non lineare del terreno è descritto mediante curve G(γ) e D(γ)

PROBLEMI DINAMICI: terremoti (risposta sismica locale), carichi ciclici irregolaritransitori con frequenze tra 1 e 10 HzMODELLI: visco-elastico lineare equivalente o non linearePARAMETRI: G0, D0 e leggi di variazione G=G(γ) e D=D(γ)

Medi livelli deformativi (5·10-3 % ≅ γl ≤ γ ≤ γv ≅ 10-1 %)

4444

23

Dominio isteretico stabile

ELEVATE


l γγγ << vl γγγ <<

4545

Dominio isteretico instabile (1/2)

Si è nel dominio isteretico stabile quando γ > γv

Tale dominio di comportamento è caratterizzato da:


psignificative deformazioni permanenti (comportamento elasto-plastico)ampiezza massima della deformazione legata all’ampiezza della sollecitazione e progressivamente crescente col numero di cicli di carico N; significativa dissipazione di energia durante un ciclo di carico, scarico, ricarico con andamento dei cicli di isteresi dipendente dal livello deformativo raggiunto e dal numero di cicli di carico N (comportamento marcatamente non lineare)accumulo di deformazioni volumetriche nei terreni asciutti o accumulo di deformazioni e sovrapressioni interstiziali nei terreni saturi all’aumentare deldeformazioni e sovrapressioni interstiziali nei terreni saturi, all aumentare del numero di cicli di carico N

⇒ il comportamento del terreno deve essere descritto mediante relazioniG(γ, N), D(γ, N) e Δu(γ, N)

4646

24

Dominio isteretico instabile (2/2)

Inoltre, poiché applicando un numero crescente di cicli si può raggiungerela rottura⇒ è necessario talvolta conoscere le leggi di degradazione della


gg gresistenza del terreno con il numero dei cicli τcyc = τcyc(N)

PROBLEMI DINAMICI: terremoti distruttivi e esplosioni (carichi ciclici irregolaritransitori di notevole entità e con frequenze elevate)MODELLI: non lineari elastoplastici, con incrudimento, ecc.

PARAMETRI: G0, D0 e leggi di variazione con deformazione di taglio γ e numero

Elevati livelli deformativi (γ ≥ γv ≅ 10-1 %)

di cicli N: G = G(γ, N); D = D(γ, N); Δu = Δu (γ, N)τcyc =τcyc (N)(per livelli deformativi γ > 5 ·10-1 % si può definire un dominio di collasso incrementale con sviluppo di elevate deformazioni progressive fino alla rottura generalizzata dei contatti interparticellari)

4747

Dominio isteretico instabile


ELEVATE

vγγ >4848

25

TERRENI A GRANA GROSSA E A GRANA FINE

Dal punto di vista qualitativo i comportamenti descritti sono caratteristici di tutti i terreni;nello specifico la risposta dei terreni a grana grossa si differenzia da quella dei terreni agrana fine


grana fine

Il comportamento dei terreni a grana grossa è governato esclusivamente da:

modificazioni dello scheletro solido (dilatanza)

principio delle pressioni efficaci

Il comportamento dei terreni a grana fine è più complesso e dipende anche dallat d i l i i t ti ll inatura dei legami interparticellari

In particolare l’applicazione veloce di carichi dinamici potenzia i legami interparticellarimentre l’applicazione di carichi ciclici opera nella direzione opposta, che è quella diprodurre fenomeni di fatica del materiale e una sua progressiva destrutturazione

4949

SOGLIE DI DEFORMAZIONEL’esperienza ha evidenziato che γv / γl 30 (Vucetic, 1994)

γv ‐ γl un ordine di grandezza (massimo due)

Valori tipici della soglia lineare: γ ≅ 10-3 ÷10-2 %


Valori tipici della soglia lineare: γl ≅ 10 3 ÷10 2 %Valori tipici della soglia volumetrica: γv ≅ 10-2 ÷10-1 %

I valori delle soglie sono più elevati per le argille che per le sabbie

FATTORI CHE INFLUENZANO LE DUE SOGLIE:

1) nei terreni incoerenti:indice dei vuotipressione di confinamento (tensioni geostatiche)composizione granulometrica

2) nei terreni coesivi:

composizione granulometrica

indice di plasticitàgrado di sovraconsolidazionevelocità di deformazioneaging e cementazione

N.B. Le due soglie dipendono invece poco dallapressione di confinamento 5050

26

SABBIE – Andamento del rapporto sovrappressioni interstiziali/pressione di confinamento per diversi valori di Dr

SOGLIE DI DEFORMAZIONE


Δu/σ’0 = 0 per γ < 10‐4

Δu/

σ’0

5151

TERRENI COESIVI – Influenza di IP su γl


1.E-01


1.E-03

1.E-02

c th

resh

old

shea

r stra

in, γl

[%

]

Senigallia Quaternary soilsSenigallia Plio-Pleistocene soils }

Crespellani e Simoni (2007)γl = 0.0001 IP

1.326

R2 0 865a el

astic

a lin

eare

,γl

[%]

1.E-040 10 20 30 40 50 60 70

plasticity index, PI [%]

linea

r cyc

lic Senigallia Plio-Pleistocene soilsGori (1998)Several Authors (from Lo Presti, 1989)Silvestri (1991)Simoni (2003)

}R2=0.865

Indice di plasticità, IP [%]

Sog

lia

5252

27

TERRENI COESIVI – Influenza di IP su γv


1 E+00


1.E-02

1.E-01

1.E+00

clic

thre

shol

d sh

ear s

train

, γV

[%]

Senigallia Quaternary soils

Lo Presti (1989)

Lo Presti (1989)

Vucetic (1994)

}Crespellani e Simoni (2007)γv= 0.0024 IP

0.859a vo

lum

etric

a,γ v

[%]

1.E-030 10 20 30 40 50 60 70

plasticity index, PI [%]

volu

met

ric c

yc Senigallia Quaternary soils

Gori (1998)

Simoni (2003)

Tika et Al. (1999)Lo Presti (1989)

} γv PR2=0.762

Sog

lia

Indice di plasticità, IP [%]

5353


ARGILLE DI SENIGALLIAI fl di I


Influenza di IP su γl e γv

γv ‐ γl ≅ costante al variare di IP

ARGILLE DI SENIGALLIAInfluenza di σ’0 sull’incremento delle

pressioni interstiziali

5454

28

Influenza di OCR e di IP su γv



volu

met

rica,

γ v[%

]

Grado di sovraconsolidazione, OCR

Sog

lia

5555

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