1

Regime sinusoidale

2

Un circuito elettrico è in regime sinusoidale quando ciascun elemento presenta una tensione

sinusoidale ed una corrente sinusoidale della stessa frequenza.

Perché ciò si verifichi, la tensione sinusoidale deve essere stata applicata da un certo tempo

prima dell’istante di osservazione.

L’intervallo di tempo necessario perché le grandezze assumano andamento sinusoidale è il

transitorio.

La durata del transitorio dipende dalle caratteristiche dei componenti e dalla topologia del

circuito.

Le grandezze elettriche nelle macchine che producono energia elettrica sono sinusoidali, così

come nei circuiti che utilizziamo nella vita quotidiana.

Nell’ingegneria dell’informazione si usano segnali elettrici ben più complessi (ad ex.,

microfono che in uscita riproduce il suono della voce) la serie di Fourier permette di

scomporli in segnali sinusoidali.

Regime sinusoidale

3

Grandezze periodiche

y(t) = y(t+T) = y(t+2T)=…. = y(t+nT)

T periodo [s, ms=10-3s, ms=10-6s, ns=10-9s]

f=1/T frequenza [Hz]=[s-1]

n. di periodi in un secondo

w=2pf pulsazione [rad/s]

T

yM

ym

y

t

y

4

Tt

t

dttyT

y )(1

valore medio

Tt

t

effdtty

Ty )(

1 2 valore efficace

yM valore massimo

ym valore minimo

Tt

t

dttyTy )(

5

Grandezze alternate

Nel periodo T hanno valor medio nullo 0y

T

y

t

In un periodo, le aree positive sono uguali a quelle negative

6

Grandezze sinusoidali

I due semiperiodi positivo e negativo sono simmetrici

y(t) = YMsenwt=YMsen[(2p/T)t]

T

YM

2]/(2[

1 22 M

Tt

t

Meff

YdtT)tsenY

Ty

p

t

Valore medio:

0)(1

Tt

t

dyT

y

YM ampiezza

Valore efficace

7

VM

wt

F

w

w

tsenVv

tsenVv

M

M

2

1

1v2v

v2 è in anticipo su v1 di

F. v2 e v1 sono

sfasate

In generale

a(t) = AMsen(wt+a)

b(t) = BMsen(wt+b)

a > b a è in anticipo di > 0

b è in ritardo di

a- b p/2 a e b sono in quadratura = p/2 (a è in quadr. anticipo)

a b a e b sono in fase = 0

a-b sfasamento

Differenze di fase

8

Fasori

Un fasore è un numero complesso che rappresenta

l’ampiezza e la fase di una sinusoide (Steinmetz 1893)

jrez

rz

j y xz

forma rettangolare

forma esponenziale

forma polarey

z

x

Im

Re

r

x

y

rseny

rx

yxr

atan

cos

22

)(cos)(cos

)(cos

jsenejsenrre

jsenrjyxz

jj

Numero complesso z

Formula di Eulero

9

Addizione e sottrazione forma rettangolare

Moltiplicazione e divisione forma polare

coniugato complesso

quadrata radice

reciproco

divisione

zionemoltiplica

esottrazionaddizione/

2

1

2222

1111

j

j

erjyxz

erjyxz

212121

yyjxxzz

21

2121

jerrzz

21

2

1

2

1 -

je

r

r

z

z

jerz 11

2jerz

jyxrez j - - *

10

L’idea della rappresentazione con i fasori si basa sulla

formula di Eulero

e±jF= cos F ± j sen F formula di Eulero

j

j

esen

e

Im

Recos

v(t)eVV

eVtv

eVV

eeVeVtVtv

jM

tj

jM

jtjM

tjMM

sinusoide della fasore

Posto

w

www

Re)(

ReRecos)(

Un fasore è un numero complesso che rappresenta

l’ampiezza e la fase di una sinusoide.

Esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascun elemento di

un insieme di sinusoidi isofrequenziali e ciascun fasore

11

Interpretazione grafica

Vettore rotante nel piano complessoIm

w

t=0

VMcosFF

O

VM

t

Al crescere di t il vettore ruota in verso antiorario descrivendo

una circonferenza di raggio VM , con velocità angolare w.

v(t) è la sua proiezione sull’asse reale vale

v(t) = VMcos(wt+F

Il vettore rotante in t=0 è il fasore della sinusoide v(t) vettore

rotante = fasore rotante.

Nel fasore il termine ejwt è implicito notevole

semplificazione

F tj

M

tj eVeV ww

Re

t=t0

t0

tjeV v(t) wRe

12

fasore

w

w

jM

tj

M

eVV

eVtv

)t( Vv(t)

Re)(

cos

Re

Im

O

I

V w

F

-a

fasore a

w

aw

jM

tj

M

eII

eIti

)t( Ii(t)

-

-

Re)(

cos

Diagramma fasoriale

Per ottenere la sinusoide

corrispondente ad un fasore si

moltiplica per ejwt e se ne

prende la parte reale.

Per ottenere il fasore data la

sinusoide, si deve esprimere la

sinusoide in forma coseno,

come parte reale di un numero

complesso. Si elimina poi ejwt

13

Re

Im

O m

jm

m reale

jm immaginario

L’operatore j fa ruotare il vettore a cui è applicato di p/2 in verso antiorario

L’operatore j2 fa ruotare il vettore a cui è applicato di p in verso antiorario

L’operatore j3 fa ruotare il vettore a cui è applicato di 3p/2 in verso antiorario

o p/2 in verso orario.

Re

Im

O 1

j m = 1

-1

-j

Dalla formula di Eulero

ejp/2 = j

e-jp/2 = -j

ejp = e-jp = -1

ej0 = 1

L’operatore che fa ruotare dell’angolo q: e±jq operatore vettoriale a modulo

unitario

14

Proprietà dei fasori

MOLTIPLICAZIONE PER UNA COSTANTE

cos w j

MM eVV)t( Vv(t)

Qual è il fasore di ?)(1 t kv(t) v

VkekVV)t( kV(t) v j

MM w 11 cos

ADDIZIONE

cos

cos

2

1

22222

11111

w

wj

MM

j

MM

eVV)t( V(t) v

eVV)t( V(t) v

Qual è il fasore di ?)(213 tv(t)v(t)v

coscos

2121

2211113

tjtjtj

MM

eVVeeVeeVe

)t( V)t( V(t) v(t) v(t) v

www

ww

Quindi 213 VVV

15

DERIVAZIONE

cos w j

MM eVV)t( Vv(t)

Qual è il fasore di

VjeVV

tsenVtsenVdt

tdv (t) v

j

M

MM

ww

pwwww

p

-

)2(

1

1 )2()()(

?)(

1dt

tdv (t) v

INTEGRAZIONE

cos w j

MM eVV)t( Vv(t)

Qual è il fasore di

wwww

pwwww

p

j

Ve

j

Ve

VjeVV

tsenVtsenV (t) v

jMjMj

M

MM

-

-

- )2(

1

1 )2()(1

?)(1 dv(t) v

16

Dominio del tempo Dominio della

frequenza

fasore

)t(VvM

w cos

)tsen(VvM

w

dt

dve

j

MeVV

- 90j

MeVV

90ww j

MeVVjE

vdtf - 90

ww

jM eV

j

VF

17

Bipoli resistivi

IRV

eVIReRIV

t RIiRv

eII

tIi

j

M

j

M

M

j

M

M

w

w

)(

)(

cos

cos

La corrente è in fase con la tensione

Rappresentazione vettoriale: Il vettore corrente è in fase con

il vettore tensione

i R

iG

Re

Im

R è un operatore vettoriale

che modifica solo il modulo diVI

I

18

Bipoli induttivi

i L v

+

-

e vettorialazioneRappresent

2

cos

2cos

cos

2

ILjV

ILje LIjee LIe LIV

, LI V

)t(V

)t( LI ) t sen( L I dt

di Lv

eII

t Ii

j

M

jj

M

j

M

VMM

VM

MM

j

M

M

V

w

wwww

pw

w

pwwww

w

p

-

Re

Im

V

V

ILa corrente è in ritardo di 90° sulla tensione

19

vC C

iC

e vettorialazioneRappresent

2

2cos

2cos

cos

22

VI

VI

V

C j

C jeC VjeeC VeI

C VI

)t(I

)t(C V)t sen(C Vdt

dvCi

eV

)t(Vv

j

M

jj

M

j

M

IMM

M

MM

j

M

M

w

www

pw

pw

pwwww

w

p

p

-

Re

Im

I

Bipoli capacitivi

V

La tensione è in ritardo di 90° sulla corrente

I

20

CjCj

LjLj

RR

ww

ww

11

I

VIV

I

VIV

I

VIV

Legge di Ohm tra i fasori

L’impedenza è il rapporto tra il fasore della tensione e quello

della corrente

NON E’ UN FASORE

impedenza)(wZZ

IZVI

VZ

001

00

CCC

LLL

R

ZZCj

Z

ZZLjZ

RZ

w

w

21

v

i

idtCdt

diLRivvvtv

)t(Vv

CLR

VM

1)(

cos w

Bipoli RLC

LR

C

-

-

-

CLjR

CLjR

CjLjR

CLR

ww

ww

ww

1

1

Z

I

IIIVVVV

22

IV Z

R

CL

CLRZ

CLjRZ

-

-

-

ww

ww

ww

1

atan

1

1

2

2

Re

Im

V

I IRI

C

j

w

-

ILjw

R

Xa

XRZ

jXRZ

XXXC

LX CL

tan

0

0 reattanza

1

22

>-

-

ww

I

-

C

jLj

ww

23

senXR

R

XaXR

e

X

R

jXR

j

ZZ

Z

ZZ

Z

Z

Z

>

cos

tan

Im

Re

22

leesponenzia forma

capacitiva 0

induttiva 0 reattanza

resistenza

rerettangola forma

2222

22

1

Im

Re

1

XR

XB

XR

RG

XR

jXR

jXRjBG

SVB

SG

jBG

V

I

-

-

>

Y

Y

Y

ZY

induttiva 0

capacitiva 0 asuscettanz

aconduttanz

rerettangola forma

24

v i

regime a ,permanente risposta cos

oria transitrisposta0

coseparticolar int.generale int.

:completa Risposta

cos1

)(

cos

/

/

)t(A

ke

)t(Akev

)t(RC

Vv

RCdt

dvv

dt

dvRCvvtv

)t(Vv

tRCt

RCt

C

VM

CC

CC

CR

VM

w

w

w

w

-

-

Risposta ad un ingresso sinusoidaleR

C

Col metodo dei fasori studiamo la sola risposta a regime

)RCt(RC

Vv

RC

V

RCj

VV

eRC

V

RC

VVj)t(

RC

Vv

RCdt

dv

MC

RCj

MMC

jMCCV

MC

C V

)(atancos)(1

)(11

cos1

2

)(atan

2

www

ww

ww

w

-

-

25

00

00

k

k

Ii

Vv

Leggi di Kirchhoff

Anche i fasori soddisfano le leggi di Kirchhoff

26

Bipoli serie

321

321

321

ZZZZ

IZZZ

IZIZIZVVVV

eq

311V

I

L’impedenza equivalente a più impedenze collegate in serie, è

la somma delle singole impedenze

)()(3232

XXXjRRR

jXRii

11

i

Z

Z

2Z1

Z

3Z

VI

eqZ

Partitore di tensione VV 21

1

1ZZ

Z

Se le impedenza sono due:

27

Bipoli parallelo

321

321

321

YYYY

VYYY

VYVYVYIIII

eq

321

V

L’ammettenza equivalente a più ammettenze collegate in

parallelo, è la somma delle singole ammettenze

)()(3232

BBBjGGG

jBGii

11

i

Y

Y

+ I

-

2Y

2I

V

I

eqY

+

-

Partitore di corrente II 21

2

1ZZ

Z

3Y1

Y

1I 3

I

Se le impedenze sono due:

28

Trasformazione stella triangolo A

C B

CABCAB

BCCA

C

CABCAB

ABBC

B

CABCAB

CAAB

A

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

B

BACBCA

CA

A

BACBCA

BC

C

BACBCA

AB

Z

ZZZZZZZ

R

ZZZZZZZ

R

ZZZZZZZ

Nel caso di tre impedenze uguali sarà:

3

ZZ

Y(Carico bilanciato)

29

Metodo simbolico (o dei fasori)

Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione w con

un generatore di pulsazione costante pari al fasore

corrispondente.

Sostituire ogni tensione e corrente col fasore

corrispondente.

Sostituire ogni condensatore di capacità C con un bipolo di

impedenza 1/jwC e ogni induttore di induttanza L con un bipolo

di impedenza jwL

Analizzare il circuito ottenuto come un circuito resistivo,

ricavando i fasori delle grandezze desiderate.

Ricavare le grandezze sinusoidali antitrasformando il fasore

nella corrispondente sinusoide.