1
Regime sinusoidale
2
Un circuito elettrico è in regime sinusoidale quando ciascun elemento presenta una tensione
sinusoidale ed una corrente sinusoidale della stessa frequenza.
Perché ciò si verifichi, la tensione sinusoidale deve essere stata applicata da un certo tempo
prima dell’istante di osservazione.
L’intervallo di tempo necessario perché le grandezze assumano andamento sinusoidale è il
transitorio.
La durata del transitorio dipende dalle caratteristiche dei componenti e dalla topologia del
circuito.
Le grandezze elettriche nelle macchine che producono energia elettrica sono sinusoidali, così
come nei circuiti che utilizziamo nella vita quotidiana.
Nell’ingegneria dell’informazione si usano segnali elettrici ben più complessi (ad ex.,
microfono che in uscita riproduce il suono della voce) la serie di Fourier permette di
scomporli in segnali sinusoidali.
Regime sinusoidale
3
Grandezze periodiche
y(t) = y(t+T) = y(t+2T)=…. = y(t+nT)
T periodo [s, ms=10-3s, ms=10-6s, ns=10-9s]
f=1/T frequenza [Hz]=[s-1]
n. di periodi in un secondo
w=2pf pulsazione [rad/s]
T
yM
ym
y
t
y
4
Tt
t
dttyT
y )(1
valore medio
Tt
t
effdtty
Ty )(
1 2 valore efficace
yM valore massimo
ym valore minimo
Tt
t
dttyTy )(
5
Grandezze alternate
Nel periodo T hanno valor medio nullo 0y
T
y
t
In un periodo, le aree positive sono uguali a quelle negative
6
Grandezze sinusoidali
I due semiperiodi positivo e negativo sono simmetrici
y(t) = YMsenwt=YMsen[(2p/T)t]
T
YM
2]/(2[
1 22 M
Tt
t
Meff
YdtT)tsenY
Ty
p
t
Valore medio:
0)(1
Tt
t
dyT
y
YM ampiezza
Valore efficace
7
VM
wt
F
w
w
tsenVv
tsenVv
M
M
2
1
1v2v
v2 è in anticipo su v1 di
F. v2 e v1 sono
sfasate
In generale
a(t) = AMsen(wt+a)
b(t) = BMsen(wt+b)
a > b a è in anticipo di > 0
b è in ritardo di
a- b p/2 a e b sono in quadratura = p/2 (a è in quadr. anticipo)
a b a e b sono in fase = 0
a-b sfasamento
Differenze di fase
8
Fasori
Un fasore è un numero complesso che rappresenta
l’ampiezza e la fase di una sinusoide (Steinmetz 1893)
jrez
rz
j y xz
forma rettangolare
forma esponenziale
forma polarey
z
x
Im
Re
r
x
y
rseny
rx
yxr
atan
cos
22
)(cos)(cos
)(cos
jsenejsenrre
jsenrjyxz
jj
Numero complesso z
Formula di Eulero
9
Addizione e sottrazione forma rettangolare
Moltiplicazione e divisione forma polare
coniugato complesso
quadrata radice
reciproco
divisione
zionemoltiplica
esottrazionaddizione/
2
1
2222
1111
j
j
erjyxz
erjyxz
212121
yyjxxzz
21
2121
jerrzz
21
2
1
2
1 -
je
r
r
z
z
jerz 11
2jerz
jyxrez j - - *
10
L’idea della rappresentazione con i fasori si basa sulla
formula di Eulero
e±jF= cos F ± j sen F formula di Eulero
j
j
esen
e
Im
Recos
v(t)eVV
eVtv
eVV
eeVeVtVtv
jM
tj
jM
jtjM
tjMM
sinusoide della fasore
Posto
w
www
Re)(
ReRecos)(
Un fasore è un numero complesso che rappresenta
l’ampiezza e la fase di una sinusoide.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascun elemento di
un insieme di sinusoidi isofrequenziali e ciascun fasore
11
Interpretazione grafica
Vettore rotante nel piano complessoIm
w
t=0
VMcosFF
O
VM
t
Al crescere di t il vettore ruota in verso antiorario descrivendo
una circonferenza di raggio VM , con velocità angolare w.
v(t) è la sua proiezione sull’asse reale vale
v(t) = VMcos(wt+F
Il vettore rotante in t=0 è il fasore della sinusoide v(t) vettore
rotante = fasore rotante.
Nel fasore il termine ejwt è implicito notevole
semplificazione
F tj
M
tj eVeV ww
Re
t=t0
t0
tjeV v(t) wRe
12
fasore
w
w
jM
tj
M
eVV
eVtv
)t( Vv(t)
Re)(
cos
Re
Im
O
I
V w
F
-a
fasore a
w
aw
jM
tj
M
eII
eIti
)t( Ii(t)
-
-
Re)(
cos
Diagramma fasoriale
Per ottenere la sinusoide
corrispondente ad un fasore si
moltiplica per ejwt e se ne
prende la parte reale.
Per ottenere il fasore data la
sinusoide, si deve esprimere la
sinusoide in forma coseno,
come parte reale di un numero
complesso. Si elimina poi ejwt
13
Re
Im
O m
jm
m reale
jm immaginario
L’operatore j fa ruotare il vettore a cui è applicato di p/2 in verso antiorario
L’operatore j2 fa ruotare il vettore a cui è applicato di p in verso antiorario
L’operatore j3 fa ruotare il vettore a cui è applicato di 3p/2 in verso antiorario
o p/2 in verso orario.
Re
Im
O 1
j m = 1
-1
-j
Dalla formula di Eulero
ejp/2 = j
e-jp/2 = -j
ejp = e-jp = -1
ej0 = 1
L’operatore che fa ruotare dell’angolo q: e±jq operatore vettoriale a modulo
unitario
14
Proprietà dei fasori
MOLTIPLICAZIONE PER UNA COSTANTE
cos w j
MM eVV)t( Vv(t)
Qual è il fasore di ?)(1 t kv(t) v
VkekVV)t( kV(t) v j
MM w 11 cos
ADDIZIONE
cos
cos
2
1
22222
11111
w
wj
MM
j
MM
eVV)t( V(t) v
eVV)t( V(t) v
Qual è il fasore di ?)(213 tv(t)v(t)v
coscos
2121
2211113
tjtjtj
MM
eVVeeVeeVe
)t( V)t( V(t) v(t) v(t) v
www
ww
Quindi 213 VVV
15
DERIVAZIONE
cos w j
MM eVV)t( Vv(t)
Qual è il fasore di
VjeVV
tsenVtsenVdt
tdv (t) v
j
M
MM
ww
pwwww
p
-
)2(
1
1 )2()()(
?)(
1dt
tdv (t) v
INTEGRAZIONE
cos w j
MM eVV)t( Vv(t)
Qual è il fasore di
wwww
pwwww
p
j
Ve
j
Ve
VjeVV
tsenVtsenV (t) v
jMjMj
M
MM
-
-
- )2(
1
1 )2()(1
?)(1 dv(t) v
16
Dominio del tempo Dominio della
frequenza
fasore
)t(VvM
w cos
)tsen(VvM
w
dt
dve
j
MeVV
- 90j
MeVV
90ww j
MeVVjE
vdtf - 90
ww
jM eV
j
VF
17
Bipoli resistivi
IRV
eVIReRIV
t RIiRv
eII
tIi
j
M
j
M
M
j
M
M
w
w
)(
)(
cos
cos
La corrente è in fase con la tensione
Rappresentazione vettoriale: Il vettore corrente è in fase con
il vettore tensione
i R
iG
Re
Im
R è un operatore vettoriale
che modifica solo il modulo diVI
I
18
Bipoli induttivi
i L v
+
-
e vettorialazioneRappresent
2
cos
2cos
cos
2
ILjV
ILje LIjee LIe LIV
, LI V
)t(V
)t( LI ) t sen( L I dt
di Lv
eII
t Ii
j
M
jj
M
j
M
VMM
VM
MM
j
M
M
V
w
wwww
pw
w
pwwww
w
p
-
Re
Im
V
V
ILa corrente è in ritardo di 90° sulla tensione
19
vC C
iC
e vettorialazioneRappresent
2
2cos
2cos
cos
22
VI
VI
V
C j
C jeC VjeeC VeI
C VI
)t(I
)t(C V)t sen(C Vdt
dvCi
eV
)t(Vv
j
M
jj
M
j
M
IMM
M
MM
j
M
M
w
www
pw
pw
pwwww
w
p
p
-
Re
Im
I
Bipoli capacitivi
V
La tensione è in ritardo di 90° sulla corrente
I
20
CjCj
LjLj
RR
ww
ww
11
I
VIV
I
VIV
I
VIV
Legge di Ohm tra i fasori
L’impedenza è il rapporto tra il fasore della tensione e quello
della corrente
NON E’ UN FASORE
impedenza)(wZZ
IZVI
VZ
001
00
CCC
LLL
R
ZZCj
Z
ZZLjZ
RZ
w
w
21
v
i
idtCdt
diLRivvvtv
)t(Vv
CLR
VM
1)(
cos w
Bipoli RLC
LR
C
-
-
-
CLjR
CLjR
CjLjR
CLR
ww
ww
ww
1
1
Z
I
IIIVVVV
22
IV Z
R
CL
CLRZ
CLjRZ
-
-
-
ww
ww
ww
1
atan
1
1
2
2
Re
Im
V
I IRI
C
j
w
-
ILjw
R
Xa
XRZ
jXRZ
XXXC
LX CL
tan
0
0 reattanza
1
22
>-
-
ww
I
-
C
jLj
ww
23
senXR
R
XaXR
e
X
R
jXR
j
ZZ
Z
ZZ
Z
Z
Z
>
cos
tan
Im
Re
22
leesponenzia forma
capacitiva 0
induttiva 0 reattanza
resistenza
rerettangola forma
2222
22
1
Im
Re
1
XR
XB
XR
RG
XR
jXR
jXRjBG
SVB
SG
jBG
V
I
-
-
>
Y
Y
Y
ZY
induttiva 0
capacitiva 0 asuscettanz
aconduttanz
rerettangola forma
24
v i
regime a ,permanente risposta cos
oria transitrisposta0
coseparticolar int.generale int.
:completa Risposta
cos1
)(
cos
/
/
)t(A
ke
)t(Akev
)t(RC
Vv
RCdt
dvv
dt
dvRCvvtv
)t(Vv
tRCt
RCt
C
VM
CC
CC
CR
VM
w
w
w
w
-
-
Risposta ad un ingresso sinusoidaleR
C
Col metodo dei fasori studiamo la sola risposta a regime
)RCt(RC
Vv
RC
V
RCj
VV
eRC
V
RC
VVj)t(
RC
Vv
RCdt
dv
MC
RCj
MMC
jMCCV
MC
C V
)(atancos)(1
)(11
cos1
2
)(atan
2
www
ww
ww
w
-
-
25
00
00
k
k
Ii
Vv
Leggi di Kirchhoff
Anche i fasori soddisfano le leggi di Kirchhoff
26
Bipoli serie
321
321
321
ZZZZ
IZZZ
IZIZIZVVVV
eq
311V
I
L’impedenza equivalente a più impedenze collegate in serie, è
la somma delle singole impedenze
)()(3232
XXXjRRR
jXRii
11
i
Z
Z
2Z1
Z
3Z
VI
eqZ
Partitore di tensione VV 21
1
1ZZ
Z
Se le impedenza sono due:
27
Bipoli parallelo
321
321
321
YYYY
VYYY
VYVYVYIIII
eq
321
V
L’ammettenza equivalente a più ammettenze collegate in
parallelo, è la somma delle singole ammettenze
)()(3232
BBBjGGG
jBGii
11
i
Y
Y
+ I
-
2Y
2I
V
I
eqY
+
-
Partitore di corrente II 21
2
1ZZ
Z
3Y1
Y
1I 3
I
Se le impedenze sono due:
28
Trasformazione stella triangolo A
C B
CABCAB
BCCA
C
CABCAB
ABBC
B
CABCAB
CAAB
A
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
B
BACBCA
CA
A
BACBCA
BC
C
BACBCA
AB
Z
ZZZZZZZ
R
ZZZZZZZ
R
ZZZZZZZ
Nel caso di tre impedenze uguali sarà:
3
ZZ
Y(Carico bilanciato)
29
Metodo simbolico (o dei fasori)
Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione w con
un generatore di pulsazione costante pari al fasore
corrispondente.
Sostituire ogni tensione e corrente col fasore
corrispondente.
Sostituire ogni condensatore di capacità C con un bipolo di
impedenza 1/jwC e ogni induttore di induttanza L con un bipolo
di impedenza jwL
Analizzare il circuito ottenuto come un circuito resistivo,
ricavando i fasori delle grandezze desiderate.
Ricavare le grandezze sinusoidali antitrasformando il fasore
nella corrispondente sinusoide.
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