ovvero hanno tutti i lati uguali hanno tutti gli angoli uguali Sono poligoni equilateri ed...

ovvero

hanno tutti i lati uguali

hanno tutti gli angoli uguali

Sono poligoni equilateri ed equiangoli

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Poligoni regolari - definizione

Poligoni regolari

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3lati

TriangoloEquilatero

4lati

Quadrato

5lati

PENTAgono6

lati ESAgono

8lati

OTTAgono12lati

DODECAgono

Poligoni regolari - proprietà

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Sono ISCRITTIBLI:è possibile trovare una circonferenza in cui

inscriverli,ovvero una circonferenza esterna alla figura

e che la ‘tocca’ nei vertici

Sono CIRCOSCRITTIBLI:è possibile trovare una circonferenza a cui

circoscriverli,ovvero una circonferenza interna alla figura e

che la ‘tocca’ sui lati

Invio

Poligoni regolariCirconferenza Circoscritta

Next

Per questa lezione concentriamo la nostra attenzione sulla circonferenza circoscritta

raggioraggio

ragg

io

Next


Ricordiamo che in un T. Equilatero il centro della circonferenza circoscritta è il circocentro:il punto d’intersezione degli assi dei lati

raggio

Next


Ripetendo il procedimento è possibile disegnare la circonferenza attorno ad ogni poligono regolare

Next


Tracciata la circonferenza circoscritta è possibile disegnare all’interno del poligono tanti triangoli quanti

sono i lati che formano il poligono stesso

raggio

raggioraggio

ragg

io

Next

Poligoni regolari

Quali segmenti formano i triangoli?

raggio

raggioraggio

ragg

io

?1 lato del poligono2 raggi

Quale tipo di triangoli vengono formati? ?ISOSCELI, perché

hanno 2 lati uguali

Come sono tra loro i triangoli? ?Uguali!

Se il poligono di partenza NON fosse stato

REGOLARE, saremmo arrivati agli stessi risultati?

?NO! perché . . .

Invio

Next

Poligoni regolari

Riassumendo

raggio

raggioraggio

ragg

io

Un T.Equilatero è formato da3 T.isosceli

uguali tra loro

Un Quadrato è formato da4 T.isosceli

uguali tra loro

Un Pentagono è formato da5 T.isosceli

uguali tra loro

Un Esagono è formato da6 T.isosceli

uguali tra loro

apotema

apotema

apotema

apotema

apo

tema

apo

tema

apotemaapotema

apo

tema

Next

Poligoni regolari

L’altezza di ognuno di questi t.isosceli prende il nome di

APOTEMA del POLIGONO (a)

raggioraggio

ragg

io

Next

L’area di un triangolino

lato apotema2=

Area poligono

=

=

L’area di un

triangolino

numero

lati

numero

lati

lato apotema2

2p a2

semiperimetro apotema

=

=perimetro apotema

2

= p a=

= =

Poligoni regolariArea

apotema

apotema

apotema

apotema

apo

tema

apo

tema

Invio

Next

Poligoni regolariArea

Area poligono regolare

semiperimetro apotema

=

a

a

a

aa

a

Next

Poligoni regolariNumero fisso

Si può mostrare coi calcoli o ‘sperimentalmente’ che il rapportoapotema / lato

è un valore costante per ogni poligono regolare.Tale rapporto viene detto

numero fissoe indicato con la lettera f

Il numero fisso è un valore importante perché consente di calcolare la misura dell’apotema nota

quella del lato (o viceversa)

f = apotema / lato

apotema = f lato

f= apotema / lato = 1.866






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3lati

T. Equilatero

4lati

Quadrato

5lati

pentagono

6lati

esagono

8lati

ottagono

12lati

dodecagono

Poligoni regolariNumero fisso - tabella

l

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Poligoni regolariArea - Problema

a r

Un quadrato ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area?

?Metodo “classico”: A = l 2 = 102 = 100 cm2

InvioMetodo “del poligono regolare”:

Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare l’apotema utilizzando il relativo numero fisso

a = f l = 0.5 10 = 5cm

Calcolo il perimetro del poligono 2p = 4 l = 4 10 = 40cm

Calcolo l’area del poligono A = p a = 20 5 = 100cm2

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Poligoni regolariArea - Problema

Un pentagono REGOLARE ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? ?

Metodo “del poligono regolare”:

Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare l’apotema utilizzando il relativo numero fisso

a = f l = 0.688 10 = 6.88cm

Calcolo il perimetro del poligono 2p = 5 l = 5 10 = 50cm

Calcolo l’area del poligono A = p a = 25 6.88 = 172cm2

ar

l

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Poligoni regolariperimetro e apotema

Abbiamo detto che il rapporto

apotema / latoè un valore costante per ogni poligono regolare.

Allora sicuramente lo sarà anche il rapporto

perimetro / apotemache indichiamo con la lettera 2s

Quale relazione intercorre tra

2s e f ?

2s = 2p / a = 6.431

2s = 2p / a = 6.628

2s = 2p / a = 6.928

2s = 2p / a = 7.267

2s = 2p / a = 8.000

2s = 2p / a = 10.380

Next

3lati

T. Equilatero

4lati

Quadrato

5lati

pentagono

6lati

esagono

8lati

ottagono

12lati

dodecagono

Poligoni regolarida 2s a 2p

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Triangolo - 3 lati2s = 10.380

Quadrato - 4 lati2s = 8.000

Pentagono - 5 lati2s = 7.268

Esagono - 6 lati2s = 6.928

Ottagono - 8 lati2s = 6.628

Dodecagono - 12 lati2s = 6.431

25 lati2s = 6.316

50 lati2s = 6.291

75 lati2s = 6.287

100 lati

2s = 6.285

125 lati2s = 6.285

150 lati2s = 6.284

175 lati2s = 6.284

200 lati2s = 6.284

225 lati2s = 6.284

250 lati2s = 6.284

275 lati2s = 6.283

300 lati2s = 6.283

Si osservi ora con molta

attenzione come varia il valore

di

2scioè il rapporto tra il perimetro e

l’apotema del poligono regolare

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lati 2s

3 10.3804 8.0005 7.2686 6.9288 6.628

12 6.43125 6.31650 6.29175 6.287

100 6.285125 6.285150 6.284175 6.284200 6.284225 6.284250 6.284275 6.283300 6.283

Aumentando il numero dei lati il valore di 2s diminuisce

2s NON diminuisce fino a zero, ma si assesta attorno alvalore 6.2831853…

Il valore 6.2831853… , che chiameremo 2p, vieneraggiunto quando il poligono è formato da un numerograndissimo (infinito) di lati

p = 3.1415927…

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Come è fatto un poligono con un numero infinito di lati? ?È un poligono con i lati talmente corti che si possono considerare punti.

Il POLIGONO è diventato una CIRCONFERENZA

Poligoni regolaridal 2p alla Circonferenza

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Cosa è l’apotema di un poligono con un numero infinito di lati? ?Man mano che il lato si riduce il triangolino, formato dai due raggi e il lato,

diventa sempre ‘lungo’ e quindi anche la sua altezza,

cioè l’apotema, si allunga.

raggioraggioraggio

ragg

io

aaaaa

Linee di riferimento


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Aumentando all’infinito il numero dei lati del poligono regolare …


… il poligono diventa una circonferenza

… l’apotema diventa lunga come il raggio: a = r

apotem

a

raggio

… il rapporto 2s tra il perimetro e l’apotema diventa uguale a 2p = 6.2831853… :

rπ2 nzacirconfere

rcirc

apotemanzacirconfere

2

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Abbiamo così determinato la formula per calcolarela misura della lunghezza di una circonferenza

Poligoni regolariCirconferenza

circonferenza = 2r

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Per cerchio si intende la parte di piano racchiusa dalla circonferenza

Poligoni regolariCerchio

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Ricordando che la misura della superficie di un poligono regolare è data dalla formula

Poligoni regolariCerchio

A = p a

per il cerchio posso scrivere

cerchio = r semicirconferenza == r 2r / 2 = r2

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Circonferenza e Cerchio

r2

= 2 r

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