Poligoni inscritti, circoscritti e regolari

De Berardinis Floriana-Dea

Il centro O e il raggio dellacirconferenza circoscritta

sono rispettivamente ilCIRCOCENTRO e il RAGGIOdel poligono in essa inscritto

Il centro O e il raggio dellacirconferenza inscrittasono rispettivamente

l’ INCENTRO e l’ APOTEMAdel poligono ad essa circoscritto

TRIANGOLI INSCRITTI E CIRCOSCRITTIUn triangolo si può sempre INSCRIVERE e CIRCOSCRIVERE a una circonferenza; in esso sono infatti unici il circocentro e l’incentro.

QUADRILATERI INSCRITTI in una circonferenza

Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se gli angoli opposti sono supplementari e viceversa.

Si possono inscrivere in una circonferenza il rettangolo, il quadrato ed il trapezio isoscele.

180ˆˆ CA

180ˆˆ DB

QUADRILATERI CIRCOSCRITTI a una circonferenza

Un quadrilatero può essere circoscritto a una circonferenza se la somma dei lati opposti è uguale e viceversa.

Si possono circoscrivere a una circonferenza il quadrato e il rombo.

AB + CD = BC + DA

AREA DI UN POLIGONO CIRCOSCRITTO

L’area di un poligono circoscritto a una circonferenza si ottiene moltiplicando il perimetro per la misura del raggio e dividendo tale prodotto per due.

Un poligono circoscritto è equivalente ad un triangolo avente come base il perimetro 2p e per altezza il raggio r (apotema) del cerchio inscritto.

A = 2p x r /2 = p x r

I POLIGONI REGOLARI

Un poligono regolare si può sempre inscrivere e circoscrivere a una circonferenza. In esso circocentro e incentro coincidono in un unico punto, che è il centro sia della circonferenza inscritta sia della circonferenza circoscritta e si chiama CENTRO DEL POLIGONO.Il raggio della circonferenza circoscritta è il raggio del poligono.Il raggio della circonferenza inscritta è l’apotema del poligono.

OSSERVAZIONI SU ALCUNI POLIGONI REGOLARI

In un esagono regolare il lato è congruente al raggiodella circonferenza circoscritta.

Nel triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio del raggio della circonferenza inscritta e quindi l’apotema è la metà del raggio o 1/3dell’altezza.

A B

C

H

O

CO = 2 OH oppure OH = 1/3 CH

OH = apotema

AREA DEI POLIGONI REGOLARI

L’area di un poligono regolare si ottiene moltiplicando il perimetro per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due.

2

5

25

alalA

pl 25

apap

A

2

2

l

a

2p = perimetrop = semiperimetro

ma

l

a

RELAZIONE LATO-APOTERMA DI UN POLIGONO REGOLARE

Ogni poligono regolare è caratterizzato da un valore costante (cioè che non cambia) del rapporto tra l'apotema e il lato; tale rapporto viene definito costante o numero fisso e viene indicato con la lettera f.In simboli avremo:

fl

a

866,03

3

2

2

1

1 l

a

l

a

l

a

IL RAPPORTO TRA L'APOTEMA E IL LATO DI UN POLIGONO REGOLARE È COSTANTE. TALE COSTANTE DIPENDE DAL NUMERO DEI LATI DEL POLIGONO.

Nella seguente tabella riportiamo i valori delle costanti f per i poligoni regolariche incontreremo più frequentemente: