Poligoni inscritti e circoscritti

by iprof

Preparatevi all’esame di matematica e scienze, studiando queste pagine, scaricate da internet e

rielaborate da me, per il prossimo incontro.Fate attenzione ad alcune imprecisioni, che

volutamente non ho modificato, per incrementare il vostro spirito critico

Circonferenza e Circonferenza e cerchiocerchio

Definizione di circonferenzaDefinizione di circonferenza

Si definisce Si definisce circonferenza il circonferenza il luogo geometrico luogo geometrico dei punti del dei punti del piano piano equidistanti da equidistanti da un punto detto un punto detto centro della centro della circonferenzacirconferenza

Definizione di cerchioDefinizione di cerchio

Si definisce Si definisce cerchio la cerchio la porzione di porzione di piano piano racchiusa da racchiusa da una una circonferenzacirconferenza

RaggioRaggio Si definisce Si definisce

raggio di una raggio di una circonferenza in circonferenza in segmento che segmento che unisce il centro unisce il centro con un qualsiasi con un qualsiasi punto della punto della circonferenzacirconferenza

Corda e diametroCorda e diametro Si definisce corda Si definisce corda

qualsiasi segmento qualsiasi segmento che unisce due punti che unisce due punti della circonferenzadella circonferenza

Si definisce diametro Si definisce diametro una corda che passa una corda che passa per il centro della per il centro della circonferenzacirconferenza

È facile vedere che : È facile vedere che :

dd = = 2r2r

Rapporto fra circonferenza e Rapporto fra circonferenza e diametrodiametro

Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematicanumeri che più ricorrono e non solo in matematica

Si tratta di un numero che non può essere espresso Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionalicategoria dei numeri irrazionali

Abbiamo già trovato un numero di questo tipo Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2= √2

Nel nostro caso abbiamo che:Nel nostro caso abbiamo che:

Cd

3,14…

FormuleFormuleC = x

dMa d = 2 x r

allora

Circonferenza uguale a p greco per il diametro

C = x 2r

Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio

Formule

inverse

Cd C

r

Area del cerchioArea del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolariConsideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 latiUn poligono a 6 lati Un poligono a 10 latiUn poligono a 10 lati Un poligono a 24 latiUn poligono a 24 lati La formula per calcolare l’area di questi La formula per calcolare l’area di questi

poligoni è sempre la stessa:poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema dove a è l’apotema

(celeste)(celeste) 2P = n x l 2P = n x l ((n n = numero dei lati = numero dei lati ll lato) lato) Ogni poligono è inscritto in un Ogni poligono è inscritto in un

circonferenza ed in rosso è mostrato il circonferenza ed in rosso è mostrato il raggioraggio

Asserviamo cosa succede al poligono Asserviamo cosa succede al poligono all’aumentare del numero dei lati fissando all’aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscrittafra poligono e circonferenza circoscritta

Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli

Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema

Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nell’ultima essa diventa trascurabile

Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio

ConclusioniConclusioniNella formula

diventa

Formula della lunghezza di una circonferenza

diventa

segue A = (2r x r) : 2

infine

L’area del

cerchio è data

dal prodotto di p

greco per il

raggio al

quadrato

Formula inversaFormula inversa

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E ANGOLI AL CENTRO

Rappresentazione grafica: a sx angoli alla circonferenza a dx

angoli al centro

o

=2

TEOREMA: L’ANGLO AL CENTRO E’ SEMPRE IL DOPPIO DELL’ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO

COROLLARIO

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo.

Infatti l’angolo alla circonferenza α è la metà del corrispondente angolo al centro ß che è piatto

α

ß

Altro esempio di proporzionalità è il seguente:

In una stessa circonferenza gli archi sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli al centro.

l

m

1

2

Se l=m allora 1=2

Alla somma l+m corrsponde la somma 1+2

1 e 2 sono gli angoli al centro (voi siete abituati ad indicare gli angoli con le lettere greche…..)

I poligoni e la circonferenza

1

Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia:

Poligoni inscritti e circoscritti

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono.

Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel poligono e il raggio si chiama apotema del poligono.

• inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza

• circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza.

I poligoni e la circonferenza

2

Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti:

Caso dei quadrilateri

un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari

A+D = 180°

E+B = 180°

AB + DE ≅ AE + BD

un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

I poligoni e la circonferenza

3

Conseguenze:

Caso dei quadrilateri

un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti non è congruente alla somma degli altri due

un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile

un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono supplementari

un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo (quindi è circoscrittibile)

I poligoni e la circonferenza

4

Poligoni regolari

Se un poligono è regolare allora:

Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare.

• ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati

• ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati

• è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro

I poligoni e la circonferenza

6

Punti notevoli dei triangoli

Punti notevoli di un triangolo:

• gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, centro della circonferenza circoscritta al triangolo

• le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto incentro, centro della circonferenza inscritta

• le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro

Consideriamo un esagono regolare inscritto in una circonferenza

1

r

rO

A

B

L’ANGOLO 1 è LA SESTA PARTE DELL’ANGOLO GIRO, QUINDI è DI 60°.Il triangolo OAB è isoscele perché i lati sono uguali al raggio. Quindi gli angli alla base sono di 60°. Pertanto il triangolo, avendo glia angoli congruenti, è equilatero.

AB= r

I poligoni e la circonferenza

7

Punti notevoli dei triangoli

Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel caso del triangolo equilatero.

• le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra

AO ≅ 2ON

BO ≅ 2OS

CO ≅ 2OM