Formule generali per il calcolo di superficie e volume di solidi a 2

basi

by iprof

SOLIDI GEOMETRICI SOLIDI GEOMETRICI a 2 basia 2 basi

POLIEDRIPOLIEDRI Solidi di rotazioneSolidi di rotazione

cilindricilindri

PRISMIPRISMI

PARALLELEPIPEDPARALLELEPIPEDII

CUBOCUBO

RIASSUMIAMO CON IL DIAGRAMMA AD ALBEROF

orm

ule

per

il ca

lcol

o di

sup

erfic

ie e

vol

ume

di…

..

Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.

Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari.

QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

ESAGONO REGOLARE

Consideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare.

Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma.

La superficie di tutte le facce di un solido è detta

superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale.

Il solido P è un prisma quadrangolare regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti.

Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P.

P

parallelepipedo

Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE/15

4. CALCOLO DELLE AREE

DEFINIZIONE

Superficie di un poliedroLa superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce.

Al = Pb . h

Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi per calcolare l’area totale.

Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale:

At= 2Ab + Al

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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE/15

•cubol

Area di base Ab=l2

Area laterale Ab= 4 l2

Area totale At= 6 l2

SOLIDI DI ROTAZIONE

SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN POLIGONO, PER 3600, INTORNO AD UN SUO LATO

UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA DIMENSIONE

CILINDRO RETTO

ASSE DI ROTAZIONE

RAGGIO DI BASE

È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro

CILINDRO RETTO

Ab

Ab

Pb C

Al

poliedri a due basi

Al = Pb x h

cilindro

Al = C x h

At = Al + 2Ab

Area cerchio

Area cerchio Ab= πr2

Superficie del cilindro

Circonferenza C=2πr

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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE/15

5. CALCOLO DEI VOLUMIper tutti i solidi a due basi V=Ab x h (nel cilindro Ab=πr2)

TEOREMA

Volume del cuboLa misura del volume del cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza:

V = a3 o meglio V = l3

Perché V= l2 x lCioè V=Ab . h

TEOREMA

Volume del prismaLa misura del volume del prisma è uguale al prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza:

V = Ab . h

TEOREMA

Volume del cilindroLa misura del volume del cilindro è uguale ap prodotto dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza:

V =π .r2 . h che significa sempre V=Ab . h

Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto tra l’area della superficie di base e l’altezza.

Riepilogando…aree di solidi a due basiArea di base

PrismiDipende dal poligono di

base

Parallelepipedi

Ab=bh (rettangolo)

Ab=l2 (quadrato)

Cubi

Ab=l2

Cilindri

Ab=πr2

Area laterale

Al= Pbh

h= Pb=

Ab=4l2 C=2πr oppure

C=πd

Area totale

At=2Ab+Al

Ab

r

h

Al

Pb

Al

2

Cr

C

d

Riepilogando…..volume di solidi a due basi ..

• V=Abh h

VAb

Ab

Vh

…….e peso di qualunque tipo di solido

P=V psps

PV

* Il peso specifico di una sostanza è noto. Esiste la tabella dei pesi specifici. Il suo

valore indica di quanto vale il rapporto tra il peso di un cubetto di volume unitario di una sostanza rispetto al peso di un uguale cubetto di acqua, che ha ps=1 (1 cm2

pesa 1 g)

V

Pps

*