I solidi PlatoniciCenni storiciI poliedri regolari sono tradizionalmente chiamati Solidi Platonici per il ruolo fondamentale che giocano nella cosmogonia elaborata da Platone. Nell'antichit classica il ruolo della simmetria come principio ispiratore, nella concezione del mondo fisico, veniva accentuato dalla rarit di figure solide simmetriche analoghe ai poligoni regolari. Mentre infatti nel piano abbiamo un'infinit numerabile di poligoni regolari corrispondenti alle rotazioni finite, nello spazio tridimensionale si possono realizzare soltanto cinque poliedri regolari: il Cubo, il Tetraedro, l' Ottaedro, il Dodecaedro, e l'Icosaedro.

Platone nel Timeo affronta il problema delle origini e del funzionamento del cosmo. Per voce di Timeo, egli formula lipotesi che la materia sia composta da quattro particelle fondamentali aventi la forma dei primi quattro poliedri regolari e corrispondenti ai quattro elementi tradizionali.

Tetraedro: un poliedro con 4 facce. Le sue facce sono triangoli equilateri, ha 4 vertici e 6 spigoli. Viene chiamato anche tetragono. Il tetraedro un simplesso tridimensionale, cio il solido tridimensionale col minor numero di vertici.

Ottaedro: un poliedro con 8 facce triangolari. Ha 6 vertici e 12 spigoli. Se un tetraedro e un ottaedro hanno lo spigolo di lunghezza uguale, la superficie dell'ottaedro il doppio di quella del tetraedro mentre il volume il quadruplo.

Icosaedro : si genera dai triangoli elementari, uniti fra loro, in modo che formino trenta spigoli e dodici angoli solidi, ciascuno dei quali compreso da cinque triangoli piani di uguali lati.Cubo o esaedro: un poliedro con 6 facce quadrate. Ha 8 vertici e 6 spigoli. Le facce e gli spigoli che si incontrano in un vertice sono tutti ortogonali due a due. Il cubo un parallelepipedo rettangolo regolare, ed un caso particolare di prisma quadrato e di trapezoedro.

Dodecaedro: un poliedro con 12 facce. Le facce si incontrano in ogni vertice a gruppi da tre e sono pentagoni regolari, ha 20 vertici e 30 spigoli.

Platone si ispir alla teoria di Empedocle (vissuto tra il 490 e il 430 a.C.), secondo la quale la materia sarebbe composta da quattro elementi fondamentali, la Terra, lAcqua, lAria e il Fuoco, e la integr con la teoria degli atomi di Democrito (vissuto tra il 460 e il 370 a.C.), secondo cui le componenti del creato erano il vuoto e delle particelle non ulteriormente divisibili, gli atomi. Platone associa ogni elemento, con le sue peculiarit, a un solido regolare: Il Fuoco si unisce al Tetraedro, la forma pi mobile, piccola e acuta; La Terra, immobile, plastica e solida, legata allEsaedro, il Cubo;LAria collegata allOttaedro, forma intermedia per mobilit, grandezza e acutezza; LAcqua associa allIcosaedro, definito come la forma meno mobile dopo il Cubo, la pi grande e la meno acuta; Il Dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene per gli altri poliedri citati), veniva invece associato all'immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza. Questa identificazione suggerisce un'immagine di perfezione che indubbiamente nasce anche dal fatto che il dodecaedro, in volume, approssima pi degli altri poliedri regolari la sfera. Platone non il primo a meditare sugli elementi fondamentali della natura, ma la novit che porta la seguente: le figure geometriche e il numero sono origine delle cose, del cielo e del tempo; il principio armonico alla base della teoria dei quattro corpi dunque la proporzione e il principio geometrico viene detto essere il triangolo.

Infatti gi nellantichit si riconosceva alla scuola pitagorica linizio dello studio dei poliedri regolari. Nel V secolo d.C. , Proclo, nei suoi Commentari su Euclide, cita un passo della Storia della Geometria di Eudemo di Rodi in cui si indica in Pitagora lo scopritore dei numeri irrazionali e delle figure cosmiche (il frammento giunto fino a noi e contenente tale asserzione viene detto Sommario Eudemiano). Molto probabilmente linteresse dei pitagorici per i Solidi Platonici si deve allosservazione dei cristalli di pirite presenti nelle zone della Magna Grecia in cui questa scuola inizi nel VI secolo a.C. La pirite pu cristallizzarsi assumendo le forme di un Esaedro, di un Ottaedro e di un Dodecaedro irregolare o pentadodecaedro. Il ritrovamento di tali forme in natura doveva rafforzare la teoria pitagorica sul significato dei numeri, ovvero della loro doppia natura di principi universali e di entit fisiche, di agenti formativi delluniverso. Teeteto (vissuto tra il 417 e il 369 a.C.) fu il primo a scrivere un trattato sistematico sui cinque Solidi Platonici (nello Suida, un lessico di epoca bizantina, si afferma che egli fu il primo a costruire i cinque poliedri regolari). Secondo il matematico Pappo, vissuto nel IV secolo d.C., Teeteto fu il primo a distinguere le potenze commensurabili dalle incommensurabili, tra cui quella alla base del rapporto aureo, fondamentale per la costruzione soprattutto del Dodecaedro, il pi interessante tra i Solidi Platonici. Teeteto era in rapporto con lAccademia Platonica, tanto che Platone gli dedicher uno dei suoi dialoghi e molto probabilmente si ispirer anche alla sua opera per lidea che la struttura della materia sia fondata sui cinque Solidi Platonici. Alcuni filosofi di epoca successiva non si accontentarono dellassociazione tra Dodecaedro e universo, ma cercarono un quinto elemento che questo poliedro regolare potesse rappresentare. Lo trovarono nellEtere, adottando la descrizione che ne dette Aristotele nelle sue opere, raccolte in epoca successiva nella Metafisica, nella Fisica e nel trattato Sul Cielo. Aristotele (vissuto tra il 384 e il 322 a.C.) considerava luniverso come sferico, finito, unico e con al suo centro la Terra. Secondo tale visione, questa era composta dai quattro Elementi tradizionali che presentavano ciascuno due delle quattro qualit che definivano la materia: Secco e Freddo per la Terra; Freddo e Umido per lAcqua; Umido e Caldo per lAria; Caldo e Secco per il Fuoco. Ogni Elemento tendeva inoltre a rimanere o a tornare con un movimento rettilineo nel proprio luogo naturale, come lo definiva Aristotele:il Basso per la Terra e lAcqua;lAlto per lAria e il Fuoco.Il Basso Assoluto corrispondeva al Centro delluniverso, pertanto il pianeta Terra, composto principalmente dagli Elementi Terra e Acqua poteva trovarsi solo in quella posizione. Aristotele riteneva che tutto quello che si trovava oltre la Terra fosse composto da un quinto Elemento o Essenza: lEtere. Nonostante le sostanziali differenze tra la visione platonica e quella aristotelica rispetto alla materia e alluniverso, nelle epoche seguenti alcuni teorici avvicinarono i quattro Elementi Tradizionali al quinto Elemento, lEtere, chiamato perci anche Quintessenza, e alla descrizione dei cinque Solidi Platonici che pertanto furono cos suddivisi: TERRA - ESAEDROACQUA - ICOSAEDROARIA - OTTAEDROFUOCO - TETRAEDROETERE - DODECAEDRO

La descrizione dei solidi data da Platone esercit una grande influenza sul pensiero esullattivit scientifica e filosofica delle generazioni successive, aprendo la strada ad un susseguirsi di studi finalizzati allindividuazione delle propriet geometriche delle cinque figure poliedriche. Euclide (fine IV, inizi III sec. a.C.), nel XIII libro degli Elementi, trattava dei poliedri: si proponeva di inscrivere ciascun poliedro in una sfera di dato diametro e quindi di determinare il rapporto tra lo spigolo del poliedro inscritto ed il diametro della sfera circoscritta. In tal modo le misure degli spigoli diventavano tra loro confrontabili. Nell'ultimo capitolo del suo libro, inoltre, Euclide dimostrava che non ci potevano essere altri poliedri regolari al di fuori dei 5. Anche Archimede (287-212 a.C.) si occup di poliedri, ma non solo di quelli strettamente regolari: egli richiedeva la regolarit delle facce, ma non pretendeva che siano tutte dello stesso tipo.Nacquero cos i primi poliedri semiregolari o archimedei per i quali c un numero limitato di possibilit di costruzione: ce ne sono di 13 tipi.

Nel Rinascimento la ripresa dellinteresse e degli studi della geometria dovutaessenzialmente agli artisti, che fanno di questa disciplina lo strumento indispensabile per la costruzione dellopera darte. L'arte, infatti, si avvicina al metodo scientifico e usa come strumenti di osservazione la geometria, l'ottica, la teoria della luce e dei colori, l'anatomia e la fisiologia: in questo periodo gli artisti sono oltre che grandi artisti, matematici e scienziati, basti ricordare a titolo di esempio, Leonardo da Vinci (1452-1519).Leon Battista Alberti (1404-1472) concentr la sua attenzione sul problema di rappresentare nel piano oggetti tridimensionali sotto diversi punti di vista. Nacque cos la teoria della prospettiva e il problema di quali siano le propriet geometriche della figura reale che si conservano, passando alla sua immagine mediante proiezione.Piero della Francesca (1410-1492) nel trattato De quinque corporibus regularibus sostenne che il mondo pieno di corpi complessi o senza una particolare forma, ma ognuno di essi pu essere ricondotto ai cinque poliedri regolari che rappresentano l'eterna perfezione. Fra Luca Pacioli (1471-1514) nella Divina Proporzione traduce in volgare il testo di Piero della Francesca, inserendo le tavole raffiguranti i cinque poliedri dipinte da Leonardo.

Frau Ilaria 3 F