I.S.I.S. “B. Varchi” MontevarchiAndrea Mori - classe 4° C liceo scientifico

docente: Cecilia Magni

I solidi platonici ed archimedei

Si definisce solido platonico ( dal nome del

filosofo greco Platone che li studiò ) un poliedro convesso avente per facce dei poligoni regolari congruenti e gli angoloidi uguali.

I solidi platonici

I solidi platonici sono soltanto 5

Faccia triangolo equilatero (angoli di 60°)• Prendendo tre triangoli equilateri per formare l’angoloide (numero minimo per avere

un angoloide) la somma degli angoli delle facce è di 180° e otteniamo il tetraedro ;• Formando l’angoloide con quattro triangoli equilateri la somma degli angoli delle

facce sarà 240° e otterremo così l’ottaedro ;• Prendendo cinque triangoli equilateri per formare l’angoloide otterremo una somma di

300° e abbiamo così costruito l’ icosaedro .Ma con sei triangoli equilateri non possiamo formare un angoloide poiché la somma degli angoli è 360° e quindi i triangoli si schiacciano su un piano. Faccia quadrato (angoli di 90°)Prendendo tre quadrati per formare l’angoloide la somma degli angoli è 270° e otteniamo il cubo o esaedro.Con quattro quadrati otteniamo una somma pari a 360° e quindi non formiamo piùalcun poliedro con facce quadrate.Faccia pentagono regolare (angoli di 108°)Prendendo tre pentagoni regolari per formare l’angoloide abbiamo che la somma degli angoli delle facce è 324° (3x108°) e si ottiene il dodecaedro ma non possiamo costruire altri poliedri regolari perché già 4x108°supera 360°.

Faccia esagono regolare (angoli di 120°)Non possiamo formare neppure un poliedro perché 3x120°=360° e quindi a maggior ragione è inutile provare con poligoni con un numero maggior e di lati.

Tetraedro regolare

Ottaedro regolare

Cubo o esaedro

Dodecaedro regolare

Icosaedro regolare

Storia dei solidi platoniciFin dall’antichità i solidi platonici hanno affascinato gli antichi per le loro molteplici simmetrie.Sono stati studiati dal famoso matematico greco Pitagora e del grande filosofo, anch’egli greco, Platone , dal quale prendono il nome.

Proprio Platone, nel Timeo, associò ad ogni solido platonico uno dei quattro elementi: al tetraedro egli associò il fuoco, al cubo la terra, all'ottaedro l'aria ed all'icosaedro l'acqua, mentre nel Fedone egli

ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.

“… e alla terra diamo la forma cubica perché delle quattro

specie è la meno mobile e di tutti i corpi la più plasmabile. E

tale bisogna che sia quello che ha le basi più salde... all'acqua

poi la forma che delle rimanenti è più difficile a muoversi, la

più mobile di tutte al fuoco, e quella di mezzo all'aria; e così il

corpo più piccolo al fuoco, il più grande all'acqua, e quello

di mezzo all'aria; e il più acuto ancora al fuoco, e quello che

gli vien dopo all'aria, e il terzo all'acqua... quel corpo solido

che ha assunto la figura della piramide sia l'elemento e il

seme del fuoco, e il secondo in ordine di generazione

diciamolo quello dell'aria, e il terzo dell'acqua"

• [Il Timeo, 2001]

Essi furono successivamente studiati con maggiore razionalità dai geometri greco-alessandrini.

Le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli Elementi di Euclide , in particolare nelle proposizioni 13, 14, 15, 16 e 17, rispettivamente dedicate alla costruzione del tetraedro regolare, dell’ottaedro regolare, del cubo, dell'icosaedro regolare e del dodecaedro regolare.

Tra i matematici e artisti rinascimentali che studiarono questi poliedri troviamo Piero della Francesca , che scrisse il trattato De quinque corporibus regularibus, e Luca Pacioli.

Proprio Luca Pacioli pubblicò nel 1509 il De Divina Proportione, con le celebri illustrazioni di poliedri regolari eseguite da Leonardo da Vinci.

Anche Keplero nella sua opera Mysteriumcosmographicum e nel successivo HarmonicesMundi, riprese, in termini diversi, l'indagine di Platone sul legame tra i poliedri regolari e la struttura dell’universo.

Scrive Keplero:

«La Terra è la sfera che misura tutte le altre. Circoscrivi ad essa un dodecaedro : la sfera che lo comprende sarà Marte [nel senso che contiene l'orbita, che allora Keplero ancora riteneva circolare, del suo moto attorno al sole].

Circoscrivi a Marte un tetraedro : la sfera che lo comprende sarà Giove. Circoscrivi a Giove un cubo : la sfera che lo comprende sarà Saturno.Ora inscrivi alla Terra un icosaedro : la sfera inscritta ad essa sarà Venere. Inscrivi a Venere un ottaedro : la sfera inscritta ad essa sarà Mercurio.

Hai la ragione del numero dei pianeti.»

I solidi platonici nell’arte

I poliedri platonici hanno ispirato anche numerosi artisti.

Salvador Dalí nella sua opera Ultima Cena, ha ambientato la scena è all'interno di un dodecaedro.

Oltre al surrealismo, anche l'arte cinetica e programmata, verso la metà del XX secolo, ha attinto ai poliedri platonici. La computer art, in particolare, ha dato nuovo impulso all’esplorazione di complicate strutture che derivano dall'intreccio di poliedri ruotati tra loro.

L'artista italiano Lucio Saffaro, tramite originali ricerche matematiche, pone insistentemente i poliedri al centro delle sue opere.

I solidi platonici in natura

Anche nel mondo naturale possiamo trovare esempi di solidi platonici.Tra i minerali possiamo trovare la pirite, che può presentare sia cristalli cubici, sia a forma di ottaedro. Inoltre si èosservato anche che essa è in grado di formare cristalli dodecaedrici non regolari.

Anche altri minerali si presentano con un reticolo cristallino con geometria analoga ai solidi platonici. Il cloruro di sodio o salgemma ha cristalli cubici ed il fluoruro di calcio o fluorite ha cristalli a forma di ottaedro.

Solidi archimedei

I solidi archimedei traggono il loro nome da Archimede, che li descrisse in una sua opera oggi perduta.

Si definisce solido archimedeo un poliedro convesso le cui facce sono costituite da due o più tipi di poligoni regolari congruenti e i cui vertici sono omogenei e che non sia un prisma od un antiprisma (vedi figura).

PRISMA ANTIPRISMA

Si può dimostrare che i solidi archimedei sono solo 13

Osserviamo che molti di questi si ottengono sezionando i solidi platonici.

Tetraedro tronco

Ottaedro tronco

Cubo tronco

Icosaedro tronco

Si può notare che il pallone da calcio ha la

forma di un icosaedro tronco.

Dodecaedro tronco

Cubo camuso

Cubottaedro rombitronco

Cubottaedro

Si può osservare che questo solido appare anche nel quadro Ritratto di Luca Pacioli.

Icosadodecaedro camuso

Icosadodecaedro rombitronco

Icosadodecaedro

Rombicosadodecaedro

Rombicubottaedro

Storia dei solidi archimedeiI solidi archimedei traggono il loro nome da Archimede, che li descrisse in una sua opera oggi perduta.

Anche i solidi archimedei sono stati rappresentati da Leonardo da Vinci nel Divina Proporzione di Luca Pacioli.

I solidi archimedei in naturaI solidi archimedei si possono osservare soprattutto in natura.

Ne è un esempio il fungo Clathrus ruber, che con la maturazione si apre creando una struttura a forma di icosaedro troncato.

In tempi recenti l’uomo ha ottenuto in laboratorio una classe di composti, i fullereni, costituiti solo da atomi di carbonio.

Di questi fullereni, importanti per le nanotecnologie e simili alle cupole geodetiche, fa parte il buckminsterfullerene, che ha la forma di un icosaedro troncato.

Conclusione

Abbiamo così terminato il nostro viaggio attorno al mondo dei poliedri platonici ed archimedei in cui abbiamo cercato di capire cosa sono e cosa hanno rappresentato nelle varie epoche fino a quella presente.Grazie per l’attenzione!