I poligoni e la circonferenza

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Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia:

Poligoni inscritti e circoscritti

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono.

Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel poligono e il raggio si chiama apotema del poligono.

• inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza

• circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza.

I poligoni e la circonferenza

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Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti:

Caso dei quadrilateri

un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari

A+D = π

E+B = π

AB + DE ≅ AE + BD

un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

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Conseguenze:

Caso dei quadrilateri

un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti non è congruente alla somma degli altri due

un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile

un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono supplementari

un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo (quindi è circoscrittibile)

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Poligoni regolari

Se un poligono è regolare allora:

Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare.

• ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati

• ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati

• è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro

I poligoni e la circonferenza

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Poligoni regolari

Inoltre:

i punti di una circonferenza che la dividono in n archi congruenti sono i vertici di un poligono regolare

le rette tangenti ad una circonferenza condotte per i punti che la dividono in n parti congruenti, intersecandosi, formano un poligono regolare di n lati

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Punti notevoli dei triangoli

Punti notevoli di un triangolo:

• gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, centro della circonferenza circoscritta al triangolo

• le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto incentro, centro della circonferenza inscritta

• le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro

I poligoni e la circonferenza

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Punti notevoli dei triangoli

Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel caso del triangolo equilatero.

• le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra

AO ≅ 2ON

BO ≅ 2OS

CO ≅ 2OM