AREA DEI POLIGONI 1

Area dei poligoni

Def: si dice area di una superficie piana la parte delimitata di piano che essa occupa.

Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA. Proprietà: due figure congruenti sono sempre equivalenti, ma due superfici equivalenti non sono sempre congruenti.

𝐅 ≠ 𝐅′

𝐴𝐹 = 𝐴𝐹′

Def: Figure che possono essere scomposte in figure equivalenti, si dicono EQUISCOMPONIBILI.

AREA DEI POLIGONI 2

Proprietà: Figure equiscomponibili sono tra loro EQUIVALENTI. Proprietà: La somma o la differenza fra superfici rispettivamente congruenti da origine a figure equivalenti.

Approfondimento:

Il tangram è un antico gioco di origine cinese; è costituito da un quadrato diviso in sette pezzi di forme geometriche diverse:

- un parallelogramma

- un quadrato - cinque triangoli (2 grandi, 1 medio e 2 piccoli).

AREA DEI POLIGONI 3

Def: misurare una superficie significa calcolare quante volte contiene l’unità di misura. L’unità di misura delle superfici è il metro quadrato 𝑚2 Si utilizzano multipli e sottomultipli:

𝒌𝒎𝟐 𝒉𝒎𝟐

𝒅𝒂𝒎𝟐 𝒎𝟐

𝒅𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒎𝒎𝟐

Per passare da un’unità di misura all’altra si deve MOLTIPLICARE o DIVIDERE per 100

AREA DEI POLIGONI 4

AREA DEI QUADRILATERI

Rettangolo lati paralleli e congruenti due a due

base e altezza tutti gli angoli di 900 (retti) ha due diagonali congruenti, che si

tagliano a metà ha due assi di simmetria

𝑃 = (𝑏 + ℎ) ∙ 2

𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ

𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ

𝑏 =𝐴

ℎ ℎ =

𝐴

𝑏

AREA DEI POLIGONI 5

Quadrato:

lati tutti congruenti angoli tutti congruenti e di 900 due diagonali congruenti e che si tagliano a metà 4 assi di simmetria

𝑃 = 4𝑙

𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑙 = 𝑙2 Formula inversa:

𝑃 = 4𝑙 𝑙 =𝑃

4

𝐴 = 𝑙2 𝑙 = √𝐴

Parallelogrammo

Un parallelogrammo è equivalente a un rettangolo avente base e altezza rispettivamente congruenti.

lati paralleli a due a due DE e CF sono le due altezze non ha assi di simmetria le due diagonali si tagliano a metà,

ma non sono congruenti tra loro

𝑃 = (𝑏 + 𝑙) ∙ 2 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ

AREA DEI POLIGONI 6

Formule inverse:

𝑃 = (𝑏 + 𝑙) ∙ 2 𝑃

2= 𝑏 + 𝑙

𝑃

2− 𝑙 = 𝑏 𝑏 =

𝑃

2− 𝑙

𝑙 =𝑃

2− 𝑏

𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 𝑏 =𝐴

ℎ ℎ =

𝐴

𝑏

Rombo:

tutti i lati congruenti e paralleli due a due

angoli congruenti due a due

diagonali perpendicolari che si tagliano a metà, che dividono la figura in 4 triangoli rettangoli congruenti

assi di simmetria sono le diagonali Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente

per lati le diagonali del rombo.

𝑑1= 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑒 𝑑2 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒

𝐴 =𝑑1 ∙ 𝑑2

2

AREA DEI POLIGONI 7

Formule inverse

𝐴 ∙ 2 = 𝑑1 ∙ 𝑑2 𝐴∙2

𝑑1= 𝑑2

Quindi 𝑑1 =2∙𝐴

𝑑2 𝑑2 =

2∙𝐴

𝑑1

Osservazione 1: Il rombo è anche un parallelogrammo, quindi valgono anche le formule viste per il parallelogrammo!

𝐴 =𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷

2= 𝐴𝐵 ∙ 𝐷𝐻

Osservazione 2: Il quadrato è un rombo particolare avente le diagonali congruenti. Per

il quadrato risulta quindi:

𝐴 =𝑑2

2

da cui:

𝑑2 = 𝐴 ∙ 2

𝑑 = √2 ∙ 𝐴

AREA DEI POLIGONI 8

Quadrilateri aventi le diagonali perpendicolari

L’area del rettangolo ottenuto è uguale al doppio dell’area del quadrilatero ABCD:

𝐴𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷

𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 =𝐴𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜

2=

𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷

2=

𝑑1 ∙ 𝑑2

2

Trapezio

SCALENO ISOSCELE RETTANGOLO

Lati tutti diversi Angoli tutti

diversi Altezze: DK=CH

AD = BC lati obliqui

�̂� = �̂� e �̂� = �̂�

Altezze: DK=CH

Diagonali congruenti

�̂� = �̂� = 90° 𝐴𝐷 è 𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎

AD=CH HB è proiezione

del lato obliquo BC sulla base maggiore

AREA DEI POLIGONI 9

OSSERVAZIONE: ogni trapezio è equivalente alla metà del parallelogrammo avente per base la somma delle basi del trapezio e la

stessa altezza. Se raddoppio il trapezio ottengo un parallelogramma, la cui area misura:

𝐴𝑝 = 𝐴𝐷′ ∙ 𝐷𝐻

Quindi l’area del trapezio è la metà: 𝐴𝑡 =𝐴𝐷′∙𝐷𝐻

2

Ma 𝐴𝐷′ = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 base maggiore+base minore

𝐴𝑡 =(𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) ∙ 𝐷𝐻

2

𝐴 =(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ

2

Formule inverse:

(𝐵 + 𝑏) =𝐴 ∙ 2

ℎ

𝐵 =𝐴∙2

ℎ− 𝑏

𝑏 =𝐴 ∙ 2

ℎ− 𝐵

ℎ =𝐴 ∙ 2

(𝐵 + 𝑏)

AREA DEI POLIGONI 10

SCHEMA DEI PROBLEMI N. 6

𝐵𝐶 =4

6𝐴𝐵

𝐴 = 2400 𝑚2

𝐴𝑞 =𝐴

6 ∙ 4=

2400

24= 100 𝑚2

𝑙𝑞 = √𝐴𝑞 = √100 = 10 𝑚

𝐴𝐵 = 𝑙𝑞 ∙ 6 = 10 ∙ 6 = 60 𝑚

𝐵𝐶 = 𝑙𝑞 ∙ 4 = 10 ∙ 4 = 40 𝑚

Regola: data l’area di un quadrilatero e sapendo che una dimensione è una data frazione dell’altra dimensione, si procede:

1. Si trova l’AREA del quadratino che rappresenta l’unità

frazionaria 𝐴𝑞 =𝐴

𝑁∙𝐷

2. Si trova l’unità frazionaria 𝑙𝑞 = √𝐴𝑞

3. Si moltiplica l’unità frazionaria una volta per il denominatore e

una volta per il numeratore 𝐴𝐵 = 𝑙𝑞 ∙ 𝑁 𝐵𝐶 = 𝑙𝑞 ∙ 𝐷