Non oltrepasserò mai quel confine

“Si denoti con l’area del poligono regolare di n lati inscritto in C (cerchio di raggio assegnato r).

Si dimostri che e si trovi

un’analoga espressione per l’area del poligono regolare di n lati circoscritto a C.

Si calcoli il limite di “

(estratto dal problema n. 2 dell’ ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO corso di ordinamento, sessione ordinaria 2007)

ns

nrn

sn2

sin2

2

nns

lim

Nel passato: il metodo di esaustione

Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., sfruttando il metodo di esaustione già elaborato da Eudosso di Cnido (408-355 a.C. cc), determinò con buona approssimazione la lunghezza della circonferenza, l’area del cerchio del segmento parabolico e di numerose altre superfici nonché alcuni volumi di superfici di rotazione.

Il metodo di esaustione si basava sull’idea di approssimare una superficie curva attraverso una sequenza di poligoni inscritti o circoscritti dal numero di lati via via crescente. Ai matematici greci però mancava il concetto di limite. Il metodo di esaustione non comprendeva alcun passaggio al limite e si arrivava a dimostrare la tesi attraverso un ragionamento per assurdo

Oggi: il concetto di limite

1. Data una circonferenza C di raggio r, per ogni numero naturale n si possono costruire poligoni regolari di n lati, sia inscritti che circoscritti ad essa?

2. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio in che relazione sono con i perimetri e le aree dei poligoni sia inscritti che circoscritti ad essi?

3. È possibile esprimere in funzione del raggio r del cerchio e del numero dei lati n del poligono inscritto l’area di quest’ultimo e calcolarne il limite per ?

n

Alcuni spunti di riflessione

Triangolo

4

3

2

3

2

1

3

2sin

2

1120sin

2

1 2222 rrrrSAOB

da cui

22 34

3

3

2sin

2

13 rrSABC

Quadrato

22 24

2sin

2

144 rrSS AOBQUADRATO

Pentagono

22

8

19

5

2sin

2

155 rrSS AOBPENTAGONO

Esagono

22 32

3

6

2sin

2

166 rrSS AOBESAGONO

Si noti che:

Generalizzando sul poligono inscritto di n lati otteniamo:

nnrsn

2sin

2

1 2

Striangolo Squadrato Spentagono Sesagono

Dalle costruzioni fatte si può dedurre che:

• È possibile costruire una funzione f (successione): che associ ad ogni numero naturale n (numero

dei lati del poligono inscritto) il numero reale non negativo che rappresenta l’area del poligono regolare.

• La successione dei poligoni regolari inscritti è limitata superiormente ed il suo limite è l’area della circonferenza circoscritta

• Si può dimostrare che la successione è monotona crescente, ossia:

1 nn ssNn

PH sin x

PA xPosto: e

1sin

lim0

PH

x

xx PA

n

nnn nn

2

2sin2

lim2

sinlim

1

nt

12

2sinlim

2

2sin

lim0

t

t

n

ntn

222 )2

2sin2

2

1(lim)

2sin

2

1(limlim r

n

nn

nrn

nrsnn

nn

Ponendo si ha che t tende a 0 quando n

tende all’infinito per cui:

Ritornando in ns otterremo:

La successione delle aree dei poligoni regolari

inscritti in una circonferenza tende all’area del cerchio che li contiene

Possiamo pensare anche ad una rappresentazionedella successione in un opportuno riferimento

r2

… e i poligoni circoscritti ?

Analoghe considerazioni possono essere svolte per i poligoni circoscritti i cui lati

risultano essere tangenti alla circonferenza di raggio r.

Nel triangolo isoscele AOB, OH=r e HB=r

da cui:

L’area di AOB è ,mentre l’area del poligono

circoscritto è

Si otterrà la successione

tann

r2 tann

nr2 tann

Sn nr2 tann

Dalla costruzione del generico poligono circoscritto alla circonferenza si può dedurre che:

• È possibile costruire una funzione (successione) che associ ad ogni numero naturale n (numero dei lati del poligono circoscritto) un numero reale non negativo (la sua area)

• La successione dei poligono regolari circoscritti è limitata inferiormente ed il suo limite è l’area della circonferenza inscritta

• Si può dimostrare che la successione è monotona decrescente, ossia:

1 nn ssNn

Con analoghe considerazione si perviene a dimostrare che:

limn

Sn limn

nr2 tann

r2

Quindi sia la successione delle aree dei poligoni inscritti che quella delle aree dei poligoni circoscritti alla medesima circonferenza tende all’area della stessa al crescere del numero dei lati

limn

n

2r2sen

2n

limnnr2tg

n

r2

2limlim rSs nn

nn

Hanno partecipato :

Castiello Emmanuele

Di Costanzo Rossella

Ferriero Iacopo

Formisano Isabella

Marsiglia Giulia

Mastantuoni Cesiria

Paduano Luigi

Pesarino Salvatore

Sghairi Ahmed Giovanni

Docenti : Rosemary Romano, Maria Rita Tammaro