Nella lezione precedente: Abbiamo definito le regioni di campo Introdotto delle approssimazioni degli operatori per calcolare più semplicemente campo a grande distanza e

campo lontano, verificandole su un dipolo hertziano Introdotto e dimostrato il teorema di reciprocità Abbiamo introdotto il concetto di reazione e di equazione integrale Usato il teorema di reciprocità per verificarne le implicazioni sul comportamento delle antenne in spazio libero Introdotto i concetti di Altezza Efficace (e di fattore di antenna) e di Area Efficace Calcolata la relazione tra Guadagno ed Area Efficace

Nella lezione precedente:

Abbiamo utilizzato tale relazione per ottenere l’equazione del “collegamento radio”

Usando la sovrapposizione degli effetti, abbiamo introdotto l’antenna filiforme rettilinea

Abbiamo riportato una soluzione approssimata per la distribuzione di corrente, utile per il calcolo del campo lontano ma non per l’impedenza di ingresso

Antenna Corta

Abbiamo visto che la corrente su una antenna è circa

sinkLzLsink

IkL

zLsinkVjzI

)(cos

)(2)( 0

0

Una antenna è “corta” se lo è rispetto alla lunghezza d’onda L<< o in generale se kL<<1 il seno somiglia in tal caso ad un triangolo: del resto approssimiamo il seno con l’argomento ed il coseno con 1

)(2

cos)(2

)( 00 zLkV

jkL

zLsinkVjzI

)1(0 Lz

I kLV

jI

0

02

V0I0

Antenna CortaNotate: un’antenna corta non è un dipolo Hertziano!

Campo lontano?

Partiamo dall’espressione generale per antenna filiforme

La corrente non è uniforme; nel dipolo Hertziano questa si può ottenere solo mettendo ai capi serbatoi di carica

2)2(2 Lr

L

L

jkzjkr

dzezIr

esinjE

cos)(

21

Consideriamo che l’esponenziale è circa 1, ed inseriamo l’espressione triangolare della corrente

L

L

jkrdz

Lz

Ir

esinjE 121

0

Antenna CortaDa cui

Notate: se confrontiamo con l’espressione per il dipolo Hertziano

(NB: nell’espressione originaria avevamo h/2ma h, lunghezza totale, è qui 2L)

L

L

jkrdz

Lz

Ir

esinjE 121

0

02I

resinLjE

jkr

E

H

resin

LIjE

jkr

0

Vediamo che il campo prodotto da un’antenna corta è pari a quello prodotto da un dipolo di metà lunghezzadel resto: nel dipolo elementare l’integrale della corrente è I0h (trattandosi di un “rettangolo”) mentre ora è I0h/2 (area di un triangolo)

Antenna CortaVolendosi calcolare il diagramma di radiazione, usiamo la definizione

E quindi il solido di radiazione (una componente, quindi un solido solido)

Ovviamente come il dipolo elementare

Calcoliamo altre quantità, come la potenza irradiata: la densità è

usinE

Ef

),(),(

),(maxmax

sinfr ),(

r

EHEP u

2

*

21Re

21

rsinLIr

u 222

0228

Antenna CortaDa cui la potenza attraverso una superficie sferica intorno all’antenna

Per la resistenza di radiazione invece

Che è 1/4 del valore trovato per il dipolo Hertziano

0

22

222

02 28

dsinrr

sinLISdPWS

r20

2240 IL

22

20

802

L

IW

R rrad

Quanto alla Direttività

isav P

rPD ,,),( maxmax

2

2

4

21

rW

E

r

2

20

22

22022

4

40

8 r

IL

LIr

2

3

Antenna CortaL’altezza efficace? Ricordate che è tale che il campo sia

Poiché abbiamo visto che

L’altezza efficace è

corrispondente a metà antennauh Lsin

reIj

reIjkr

jkrjkr

),(2

),(4

),,(

hhE

02I

resinLjE

jkr

Per l’area efficace, ricorriamo alla relazione con il guadagno (e quindi con la direttività in assenza di perdite)

24

AD 2

2

83

23

4

ANB: stessa del dipolo

Antenna a mezz’ondaConsideriamo il caso 2L=/2

in tal caso kL=/2 e dalla soluzione di Hallen

Dove

notate che il denominatore di I0 si annulla per l’antenna a mezza lunghezza d’onda; ricorderete tuttavia che in una linea di trasmissione dove c’è un massimo di corrente c’è un minimo di tensione

kLsinkLjVIcos

20

Per una linea in circuito aperto, tale minimo è zero, per cui nel nostro modello anche V al numeratore tende a zero, ed il rapporto resta finito

2

20

sin

zksinIzI

zkI cos0 kzI cos0

Antenna a mezz’ondaCalcoliamo il campo lontano sostituendo l’espressione della corrente

L

L

jkzjkr

dzezIr

esinjE

cos)(

21

L

L

jkzjkr

dzekzIr

esinj

cos0 )cos(

21

Identità di Eulero

L

Ldzkzjsinkzkz coscoscos)cos( perché dispari in z

L

dzkzkz0

coscos)cos(2 4

0cos1coscos1cos

dzkzkz

4

0

4

0 cos1cos1

cos1cos1

kkzsin

kkzsin

cos1

cos22

cos1

cos22

k

sin

k

sin

Antenna a mezz’onda

cos1

cos2

cos

cos1

cos2

cos1k

cos1

cos22

cos1

cos22

k

sin

k

sin

2

cos2

cos2

sink

Quindi il campo lontano diventa

re

sinkI

jEjkr

cos2

cos2

20

E

H

Antenna a mezz’ondaIl diagramma di radiazione è quindi

sin

f

cos

2cos

),(

sin

cos2

cos

sin

x

z

Calcoliamo la potenza irradiata: partiamo dal vettore di Poynting

rsinrI

P u

2

2

22

20

cos2

cos1

8

Antenna a mezz’ondaquindi integriamo

L’integrale non ha forma chiusa in termini di funzioni elementari; occorrono i “seni e coseni integrali” che sono tabellati

0

22

2

22

20 2

cos2

cos1

8dsinr

sinrI

SdPWS

r

0

220

cos2

cos

4d

sinI

2

0

2

20

cos2

cos60

dsin

I

In ogni caso, risolvendo numericamente (provate…anzi proviamo insieme) si ha

20606093.0 IWr

Antenna a mezz’ondaLa resistenza di radiazione è

Per la direttività

L’altezza efficace

736093.01202

20I

WR r

rad

isP

rPD max,,

20

2

22

20

606093.041

8120

Ir

rI

65.1

6093.01

uhsink

cos

2cos

2,

u

sin

cos

2cos

Antenna a mezz’ondaL’area efficace: come al solito dal confronto con la direttività

24

AD

4265.1

4

2

A

Appare come l’area efficace sia maggiore della superficie fisica; per ricordare:

/2

/4

Antenna MarconianaSi consideri un’antenna corta, disposta verticalmente sul suolo ed alimentata rispetto ad esso

V0/2L<<

Si assuma un suolo perfettamente conduttorePer il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo corto di lunghezza doppia, almeno per il campo irradiato

V0Molto diffuso alle basse frequenze; spesso per migliorare la conducibilità del suolo nelle vicinanze dell’antenna viene disposta una raggiera di fili di rame con centro nell’antenna

Monopolo in quarto d’onda su piano di massaCome prima, ma ora di consideri un’antenna di un quarto d’onda

V0/2L=

Si assuma un suolo perfettamente conduttorePer il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo in quarto d’onda (la tensione è doppia ma la corrente uguale)

V0

Tuttavia per la potenza irradiata e la resistenza di radiazione occorre considerare che irradia solo in metà spazio

Monopolo in quarto d’onda su piano di massaQuindi

)()( immagine dipoloE4

monopoloE

)(21)( immagine dipoloW

4 monopoloW rr

5.36)(21)( immagine dipoloR

4 monopoloR radrad

L’altezza efficace è pari a quella del dipolo immagine

Altezza efficace di un’antenna verticale in presenza del suolo

Consideriamo un’antenna con altezza efficace h in presenza di suolo perfettamente conduttore

dr

2dcos

d r2 Il campo totale sarà quello dovuto all’antenna più la sua immagine

La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2 può essere approssimata (nel termine di fase) cos22 drr

per cui, ricordando la definizione di altezza efficace

reIj

reIjr

drjkjkr

cos2),(

2),(

2),,(

hhE

mentre al denominatore r2 può essere approssimata con r

Altezza efficace di un’antenna verticale in presenza del suolo

Quindi l’altezza efficace complessiva è

reIj

reIjr

drjkjkr

cos2),(

2),(

2),,(

hhE

cos21),(

2kdjjkr eIe

rj h

coscos2),(

2cos kdeIe

rj jkdjkr h

coscos),(2),( cos kde jkdt

hh

per d=0 si riottiene che l’altezza efficace complessiva è doppia dell’antenna singola

Altezza efficace di un’antenna orizzontale in presenza del suolo

Consideriamo un’antenna con altezza efficace h orizzontale in presenza di suolo perfettamente conduttore

Il campo totale sarà quello dovuto all’antenna meno la sua immagine

La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2 può essere approssimata (nel termine di fase) dsinrr 22

d

r

2dsin

d r2

I

reIj

reIjr

dsinrjkjkr

2),(

2),(

2),,(

hhE

quindi kdsinj

t e 21),( hh kdsinsinej jkdsin ),(2 hOvviamente se d=0, l’altezza è nulla (non irradia): la corrente è “cortocircuitata” dal piano conduttore

Altezza efficace di una spira elementareRicordiamo il campo elettrico

ovvero in campo lontano

Pertanto, confrontando con la definizione

rjk

resin

pjE

jkrm 1

4

resin

kpE

jkrm

4 r

esin

RIk jkr

4)( 2

resinRIk jkr

2)( 2

uh sinRjk 2),(

reIjr

jkr

),(2

),,( hE

l’altezza efficace risulta

Dipolo di lunghezza genericaConsideriamo un dipolo qualsiasi e sostituiamo l’espressione della corrente per calcolare il campo lontano

sinkL

zLsinkI

kLzLsinkV

jzI

0

0

cos2

da cui

L

L

jkzjkr

dzezIr

esinjE

cos)(

21

L

L

jkzjkr

dzekLsin

zLksinI

re

sinj

cos02

L’integrale lo possiamo calcolare usando l’espressione

)cos()()( 22 cbxbcbxasinba

edxcbxsine

axax

Dipolo di lunghezza generica

Saltiamo un po’ di passaggi…e calcoliamo direttamente il diagramma di radiazione

che risulta (dopo un po’ di passaggi…)

L

L

L

L

jkz

dzLsin

zLsinkI

dzeLsin

zLsinkIsin

EE

f

0

cos0

maxmax ),(),(

,

sinkLkLkLf

cos1coscoscos)(

Dipolo di lunghezza genericaAl crescere della lunghezza, cresce il numero di lobi, ed il massimo non è più per =/2

Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso

Il calcolo, anche approssimato, è molto complesso; ne diamo qui un breve resocontoAbbiamo visto nella precedente lezione il concetto di “reazione” introdotto con il teorema di reciprocità, ed applicato alle antenne filiformi

badlba IE , lE dI ab abVI zyxI uJ )()(

Vdove a è b si riferivano a due antenne irradianti l’una alla presenza dell’altra Consideriamo il caso di una sola antenna: quella che si ha è “auto-reazione” (reazione del proprio campo con la propria sorgente)

aadlaa IE , aaVI2a

in IZ

p1 x( )

x2 0 2

0

10

20

Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso

ovvero

Questa è un’espressione “stazionaria” o “variazionale”

IE

dlII

aaZ in 221,

ovvero un errore di un certo ordine nell’incognita I si ripercuote in un errore di ordine maggiore in Zin

soluzione

Soluzione approx

in pratica la soluzione è un minimo o un massimo (qui x potrebbe essere la corrente e p1(x) l’impedenza)

Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso

Allora: si inserisce una I (o una J) di tentativo

IE

dlII

aaZ in 221,

E si calcola Zin utilizzando per E il campo prodotto dall’antenna (inclusi i termini reattivi!)

Trovate i grafici risultanti in diversi testi (per es. R. Harrington, Time Harmonic Electromagnetic Fields, a p.352, al variare della lunghezza e della sezione)

Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingressoA solo titolo di esempio:

Del resto il dipolo è un esempio di antenna risonante

Parte reale

Parte immaginaria

comportamento tipico delle antenne a banda stretta: frequenza di risonanza dove la parte reattiva si annulla

Dipolo RipiegatoDue conduttori connessi alle estremità, con distanza d<<

d

2L

Si analizza considerando la sovrapposizione degli effetti: sovrapponiamo un “modo linea” con corrente di ritorno (caso dispari) ed un “modo antenna” (caso pari)

V/2+

+V/2

IT IT

+ +V/2 V/2

IA IA

V

IA+ IT IA- IT+

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressivaSupponiamo di utilizzare una linea adattata come antennaOvviamente perché una implementazione dell’idea funzioni dovremo evitare che la corrente di “ritorno” cancelli completamente il campo prodotto dalla corrente di “andata”Accantoniamo momentaneamente il problema; la corrente ha la forma jkzeIzI 0)(

Una corrente di tal genere, se distribuita su una antenna filiforme, produce un campo lontano pari a

L

jkzjkr

dzezIr

esinjE0

cos)(21

L

jkzjkzjkr

dzeeIr

esinj0

cos02

1

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva

Risolviamo l’integrale

Per cui

L

jkzjkz dzeeI0

cos0

L

jkz dzeI0

)1(cos0

Ljkz

jke

0

)1(cos

)1(cos

)1(cos1)1(cos

jke jkL

)1(cos1

41 )1(cos

jkLjkr er

esinE

EH

ed il diagramma di radiazione banalmente

)1(cos1),(

)1(cos

jkLesinf

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva

Grafico per L=

y r ( ) ( )

x r ( ) ( )

x r ( ) r cos ( )

y r ( ) r sin ( )

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva

Grafico per L=3

y r ( ) ( )

x r ( ) ( )

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva

Grafico per L=5

y r ( ) ( )

x r ( ) ( )

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda progressiva

Quel che succede è che all’aumentare della lunghezza, aumenta il numero di lobi secondari, ma quelli principali si schiacciano verso l’asse dell’antenna (orizzontale)Un’antenna di questo che irradiasse lungo il suo asse si definisce “Endfire”

Come realizzarle?Per esempio l’antenna “rombica”: una linea di trasmissione divaricata a forma di rombo e terminata su un carico adattato

le dimensioni sono scelte in modo che i campi associati ai lobi 1 e 2 (3’ e 4’) si sommino in fase, e i campi associati a 3 e 4 ( 1’ e 2’) si elidano, dando un puro comportamento endifire

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a ElicaE’ una struttura con due modi di radiazione

Modo NORMALE: direzione di massimo ortogonale all’asse (broadside)

Modo ASSIALE: direzione di massimo sull’asse (endfire)

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo NormaleDimensioni piccole rispetto alla lunghezza d’ondaIn particolare C essendo C la circonferenza

dell’elica

0nL essendo n il numero di avvolgimenti dell’elica

In modo “normale” il comportamento è piuttosto simile ad un dipolo: comportamento a banda stretta

Per il calcolo: vista l’ipotesi sulle dimensioni, analizziamo un unico avvolgimento; il campo totale sarà la sovrapposizione di n avvolgimenti, ma per le dimensioni piccole, la distribuzione complessiva non cambia

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo NormaleL’avvolgimento può essere trattato come sovrapposizione di:

Spira (loop elementare) Dipolo elementare

uE sinr

eIDkjkr

loop 4422

uE sinr

eISjjkr

dipolo 4

+

Passo, quindi lunghezza del dipolo

Il diagramma di radiazione di entrambe le componenti è pari a quello del dipolo (sin)

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Normale

uuE sinr

eISjsinr

eIDkjkrjkr

44422

Le due componenti sono Ortogonali tra loro Sfasate di /2

Il campo sarà generalmente a polarizzazione ellitticaIl rapporto tra gli assi dell’ellisse è

2

2

C

S

E

ELa polarizzazione diventa circolare se gli assi sono uguali (quindi il rapporto=1)

SC 2

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Normale

Se si schiaccia molto l’ellisse, al limite riotteniamo una polarizzazione lineareIn particolare con un rapporto molto maggiore di 1 si ha una polarizzazione lineare verticaleMolto usato nei telefoniniIl diagramma di radiazione è omnidirezionale come il dipoloma, a parità di efficienza di radiazione, le dimensioni sono molto contenutePer esempio: eliche su piano di massa di dimensioni </8 (quindi “corte”) la resistenza di radiazione è

][6402

hRrad

molto maggiore di un dipolo “corto”

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Assiale

Se le dimensioni sono grandi rispetto alla lunghezza d’onda, comportamento endfire

La corrente non è più uniforme, ed i contributi si sommano a dare un comportamento endfireBanda larga e polarizzazione circolare

Valore ottimale dimensioni:

34

43

C

CRrad 140

Resistenza di radiazione

Antenne filiformi a banda larga: Antenna a Elica: Modo Assiale

All’aumentare del numero di passi, il lobo diventa più stretto