Nella lezione precedente: Abbiamo visto come simmetrizzare le equazioni di Maxwell introducendo cariche e correnti magnetiche abbiamo introdotto il teorema di dualità, che permette di scrivere la soluzione in presenza di sole

sorgenti magnetiche dalla conoscenza di quella in presenza di sole sorgenti elettriche Introdotto i “muri magnetici”, e visto come nella realtà certi problemi di simmetria possano essere

affrontati ipotizzando tali muri Abbiamo utilizzato il teorema di dualità per calcolare il campo irradiato da un dipolo magnetico

elementare, ed identificato nella spira l’antenna che realizza tale radiatore abbiamo introdotto il teorema di equivalenza, sfruttando il teorema di unicità

Nella lezione precedente: Abbiamo introdotto il teorema delle immagini Abbiamo quindi scritto i campi in funzione dei potenziali in presenza di sorgenti elettriche e magnetiche, usando il principio di sovrapposizione degli effetti Abbiamo dato una prima classificazione delle antenne (filiformi, planari, ad apertura, a riflettore, schiere) Introdotto alcuni parametri caratteristici:

caratteristica o diagramma di radiazione densità di potenza irradiata intensità di radiazione direttività guadagno larghezza di banda polarizzazione impedenza di ingresso efficienza di radiazione

Parametri caratteristici: impedenza di ingresso L’abbiamo già incontrata parlando del dipolo

Il sistema generatore+antenna in trasmissione ha quindi il circuito equivalente

Vg VA

IA

Vg ZA

Zg

E la massima potenza irradiata è quindi

A

g

R

VW

8

2

max

Parametri caratteristici: impedenza di ingresso In ricezione invece equivalente Thevenin

ZL

A

A’

V0

ZA

ZL

Regioni di campo Campo vicino reattivo: fino a circa R=

362.0 D

Nel caso del dipolo è circa /6 Campo vicino radiativo (o regione di

Fresnel): regione intermedia in cui esiste ancora una componente radiale e il campo dipende da r; non esiste in radiatori piccoli

Campo lontano (o regione di Fraunhofer): domina 1/r, componenti lungo r trascurabili; limite a circa

22Dr

Campo lontano Sappiamo che le distribuzioni di campo approssimano

localmente onde piane; nel caso più generale le onde piane sono rkEE je0

rkHH je0 Vediamo come: esplicitiamo

zkykxkj zyxe 0EE

Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

zzyyxx EEE uuuE 0000

Campo lontano: Onde piane in direzione arbitraria L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari

Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione generale per l’onda piana

022

2

2

2

2

2

x

xxx Ekz

E

y

E

x

E

022 EE

k

0

0

0

22

22

22

zz

yy

xx

EkE

EkE

EkE

xxzxyxx EkEkEkEk 02

02

02

02

2222 kkkk zyx Cioè, il vettore d’onda k che ha

modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a kx, ky, kzzzyyxx kkk uuuk

Onde piane in direzione arbitraria Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana

che si propaga lungo una direzione generica:

rkEEE jzkykxkjee zyx

00

Campo lontano: Onde piane in direzione arbitraria In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno

Come verificare che sono onde piane? Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che

kj Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una

semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano”

rkEE je0rkHH je0

BE jDH j

0 D0 B Sia E che H

ortogonali a k

00 HEk 00 EHk

00 Ek00 Hk

Onde piane in direzione arbitraria

Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima

00 HEk 00 EHk 00 Ek

00 Hk

)(1

)( rEurH k

00

1EkH

ovvero

Dove è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza l’espressione che avevate trovato per una direzione

Campo lontano

In particolare nel nostro caso k è diretto lungo r

rjku

Ora possiamo sfruttare il fatto che in campo lontano le onde sono localmente piane per “algebrizzare” anche le equazioni del potenziale

AH 1

Per cui

r

AuH

rr

jk)(1

jj

AAE

j

jkjkj rr

r

AuuAE

Campo lontano: esempio dipolo Hertziano

L’unico impiccio è trasformare le coordinate cartesiane in sferiche: introduciamo una matrice di trasformazione del tutto generale

0cos

coscoscos

coscos

sin

sinsin

sinsinsin

M

Avevamo visto nella prima lezione che

r

heIA z

jkr

z uurA

4

)( 0

È una matrice di trasformazione molto comoda: se applicata su un vettore cartesiano restituisce il vettore in coordinate sferiche

Campo lontano: esempio dipolo Hertziano

Da cui

Nel nostro caso A è diretto lungo z, quindi

AA

A

A

z

r

0

0

M

Per cui ritroviamo banalmente

0cos

coscoscos

coscos

sin

sinsin

sinsinsin

zA

0

0

Ar=AzcosA=-AzsinA

ur

eIhsin

jk jkr

4

AuH

rr

jk)(1

j

jkjkj rr

r

AuuAE

ur

eIhsin

jk jkr

4

Avendo trascurato le componenti i r per l’ipotesi di campo lontano

Campo a grande distanza (ma non campo lontano)

Possiamo fare approssimazioni meno “spinte”, che valgano anche in zona di Fresnel: prendiamo l’espressione del potenziale vettore

')'(4

)('

dVe

V

jk

r'rrJrA

r'r

P

V

r

r’

r-r’

J(r’)dV’

r'r

'rr'r

A grande distanza:

Per cui possiamo approssimare:

rr'r nel denominatore

La funzione esponenziale invece necessita di una approssimazione migliore (è rapidamente oscillante)

rr urr'r '

Infine considereremo il vettore r-r’ circa parallelo ad r

Campo a grande distanza (ma non campo lontano)

quindi

')'(4

)('

dVe

V

jk

r'rrJrA

r'r

')'(4 '

'

dVr

e

V

rjk r

ur

rJ

')'(4 '

' dVer

e

V

jkjkr

r

urrJ

funzione scalare solo di rFunzione vettoriale f()

Teorema di reciprocità Potentissimo teorema, conseguenza diretta delle

equazioni di Maxwell per mezzi isotropi, lineari e passivi

nel suo senso più semplice, un teorema di reciprocità stabilisce che la risposta di un sistema ad una sorgente non cambia se si scambiano sorgente e misuratore della risposta

In senso più generale, i teoremi di reciprocità pongono in relazione una risposta ad una sorgente -risposta dovuta ad una seconda sorgente- con la risposta alla seconda sorgente, dovuta alla prima…

Il teorema di reciprocità per le equazioni di Maxwell è molto fecondo: è alla base del Metodo dei Momenti (Harrington), alle proprietà di ortornormalità dei modi di una guida ecc.

Teorema di reciprocità Consideriamo due insiemi di sorgenti armoniche Ja, Ma e

Jb,Mb, alla stessa frequenza, nello stesso mezzo; indichiamo inoltre con Ea,Ha i campi prodotti dalle sole sorgenti a, ed Eb,Hb quelli prodotti dalle sorgenti b; scriviamo le equazioni di Maxwell nelle due situazioni

Moltiplichiamo (scalarmente) la prima per Eb e l’ultima per Ha, e sommiamo

aaa

aaa

j

j

MHE

JEH

bbb

bbb

j

j

MHE

JEH

ababab

ababab

j

j

MHHHEH

JEEEHE

abababababab jj MHHHJEEEEHHE

Teorema di reciprocità

Ora, solita identità

Scambiando a e b si ha anche

BAABBA

abababababab jj MHHHJEEEEHHE

ababababab jj MHJEHHEEHE

babaababba jj MHJEHHEEHE

Sottraiamo l’una all’altra….

abbaabbaabba MHMHJEJEHEHE Integriamo in un volume V, delimitato da una superficie S

ed applichiamo il th. Della divergenza

abbaabba

V

abba

S

dVd MHMHJEJEHEHEs

Teorema di reciprocità

Nel caso di superficie distante dalle sorgenti, sappiamo che

abbaabba

V

abba

S

dVd MHMHJEJEHEHEs

EuH r1

Per cui i due termini a primo membro si cancellano. Resta quindi

abab

V

baba

V

dVdV MHJEMHJE

I termini di sopra si definiscono “reazioni”

baba

V

dVba MHJE ,

Per cui il teorema diventa semplicemente abba ,,

Teorema di reciprocità Che possiamo leggere dicendo che del campo a alla sorgente b

è uguale alla reazione del campo b alla sorgente a

Se consideriamo un’antenna filiforme

Per cui

badlba IE ,

Supponiamo di considerare per esempio a e b due antenne, e di schematizzare il collegamento tra loro con una rete sue porte, per esempio una matrice Z

b

a

b

a

I

I

zz

zz

V

V

2221

1211

lE dI ab abVI

zyxI uJ )()(

V

abba VIVI

Ebbene, la relazione di reciprocità implica evidentemente che

2112 zz

Teorema di reciprocità Quanto detto ovviamente non vale solo per le antenne ( e di fatto

si estende senza grosse difficoltà ad ogni tipo di antenna) e dimostra che ogni rete cistruita da materia isotropa e lineare ha matrice di impedenza simmetrica

L’implicazione più importante per le antenne è che i diagrammi di radiazione in ricezione o trasmissione sono identici. In pratica il comportamento in trasmissione ed in ricezione sono indistinguibili

Per dimostrare quest’ultima affermazione dobbiamo prima riconsiderare il diagramma di radiazione: esso può anche essere definito come la tensione (funzione angolare, ovviamente) ai capi dei terminali dell’antenna dovuta ad un’onda piana che incide su di essa

Teorema di reciprocità

Se si ha quindi un’antenna in trasmissione a, e si muove intorno ad essa un’antenna in ricezione b, la tensione ricevuta ai capi dell’antenna in ricezione sarà

Dove Vb è la tensione a vuoto; la caratteristica di radiazione sarà il rapporto tra Vb ed il suo valore max

),(),(12 ba VIZ

),(

),(

maxmax

b

b

V

V

Teorema di reciprocità

Se ora invece si pone al centro l’antenna in ricezione (ora indicata come a) e si muove quella in trasmissione (b), la tensione a vuoto sarà

E la caratteristica di radiazione sarà

),(),(21 ab VIZ

),(

),(

maxmax

a

a

V

V Tuttavia essendo Z21=Z12, la caratteristica risulta la stessa

Altezza efficaceIn zona lontana sappiamo che il campo decresce come 1/r Se nell’antenna è possibile individuare facilmente dei morsetti ai quali si possa misurare

una corrente di riferimento Io (come nelle antenne filiformi), si può porre

r

eI

jkr

jkr

),(4

),,( hE

E la funzione vettoriale h (dimensionalmente una lunghezza) prende il nome di altezza efficace

Per il dipolo elementare o Hertziano, essendo

uEr

eIhsin

jk jkr

4

L’altezza efficace sarà: uh hsin

La caratteristica o l’altezza efficace descrivono totalmente l’andamento angolare del campo irradiato

Altezza efficace in ricezioneConsideriamo un’antenna filiforme su cui incida perpendicolarmente un’onda piana, con il campo elettrico polarizzato lungo l’asse del filo

ihEV

La tensione indotta nel gap dipende dal campo elettrico incidente ed è certamente proporzionale, così si può porre

h è l’altezza efficace in ricezionePiù in generale, se il campo incide con un angolo diverso da 90° e con polarizzazione arbitraria, sarà utile definire

V

Ei

Hi

iV EhIl teorema di reciprocità consente di dimostrare che l’altezza efficace in ricezione è uguale a quella precedentemente introdotta (in trasmissione)

Altezza efficaceNoto il campo elettrico incidente sull’antenna, l’altezza efficace consente il calcolo della tensione ai capi del carico: infatti varrà il circuito equivalente Thevenin

L’altezza efficace è poi facilmente legata alla direttività: infatti

ZL

ZL

Zg

iEh

is

D P

rPg

),,(,

S

rdsds

r

2/4

1

2/lim

2

2

2

E

E

S

dsdsr

2

2

2

4

1h

h

Fattore di Antenna (AF)

Simile all’altezza efficace, ma consente il calcolo diretto della tensione indotta ai capi del carico, supposto noto (solitamente 50Quindi non si misura ora la tensione a vuoto, ma quella con l’antenna chiusa sul carico

iLV Eh

Area efficaceQuando l’individuazione di una corrente di riferimento non è semplice o è artificiosa (come nelle antenne ad apertura) si preferisce far riferimento alle potenze

Si introduce allora una quantità che lega la densità di potenza incidente Si sull’antenna con la potenza disponibile sul carico (condizione di massimo adattamento) PL: l’area efficace A tale che

iL ASP Ora vale per la densità di potenza incidente 2/

2iiS E

Mentre per la massima potenza consegnata al carico

iL RVP 8/2 ii R8/

2hE

Quindi

ii

i

RA

42

2

E

hE

Essendo Ri la parte reale dell’impedenza di ingresso dell’antenna

ii

i

R422

22

hE

hEh

iR4

2h

Area efficacedove abbiamo definito

Fattore di depolarizzazione

o efficienza di polarizzazione, che varia tra 0 ed 1

iR

A4

2h

22

2

hE

hE

i

i

Si noti però che così l’area efficace dipende non solo dalle caratteristiche dell’antenna, ma anche dalla polarizzazione del campo incidente

Si è soliti quindi adottare come definizione il caso di efficienza 1 (in pratica massimo trasferimento di potenza e massima efficienza di polarizzazione)

In tal modo la potenza ceduta ad un carico adattato risulta

ASP iL

Relazione tra Area Efficace e GuadagnoIl guadagno abbiamo visto è il rapporto tra la densità di potenza irradiata in una direzione e la densità di potenza che irradierebbe se fosse isotropica e senza perdite

22

2

4/2

1

2/,,,

rIR

rG

i

E

2

22 ,,4

IR

rr

i

E

ma sappiamo che il campo è legato all’altezza efficace da

r

eI

jkr

jkr

),(4

),,( hE per cui il guadagno diventa

2

2,,

hiR

G

Relazione tra Area Efficace e Guadagno

ricordando la relazione tra guadagno ed altezza efficace

si ottiene l’importantissima relazione

2

2,,

hiR

G

iRA

4

2h

2

4

,

,

A

G

Implicazioni: Il collegamento radio

Problema fondamentale: calcolo della potenza ricevuta Pr dall’antenna ricevente quando sia nota la potenza trasmessa dalla trasmittente Pt

Soluzione: formula del collegamento

tt ,Antenna trasmittente

Antenna ricevente

rr ,

Sia il guadagno dell’antenna trasmittente all’angolo con cui vede l’antenna ricevente tttG ,

La densità di potenza che incide sull’antenna ricevente è quindi

tttt Gr

PS

,

4 2

Implicazioni: Il collegamento radio

Sia l’area efficace dell’antenna ricevente all’angolo con cui vede l’antenna trasmittente rrrA ,

La potenza trasferita ad un carico adattato (in adattamento di polarizzazione) sarà

rtt

r AGr

PP

24 rtt GG

rP

2

4

Nel caso più generale in cui il collegamento non sia nello spazio libero, di introduce un fattore di attenuazione F

22

4FGG

rPP rttr

Antenne filiformi: sottile rettilinea

Useremo la sovrapposizione degli effetti immaginando che l’antenna sia la sovrapposizione di tanti dipoli elementari di lunghezza dz: il campo lontano risulta quindi dalla sovrapposizione di

z

+L

-L

dz r

r''

P

'

'

' ''

2

)(

u

r

esin

dzzIjdE

jkr

supporremo di essere in campo lontano, cioè

22 )2(22 Ldr

ed utilizziamo le approssimazioni introdotte all’inizio della lezione

Antenne filiformi: sottile rettilineaovvero

Quindi

z

+L

-L

dz r

r''

P

rr'r

coszr r'r

Infine considereremo il vettore r circa parallelo ad r’ (e quindi circa ’)

Nel denominatore

Nell’esponenziale denominatore

dzr

esin

zIjdEE

L

L

zrjk

L

u)cos(

2 2

)(

L

L

jkzrj

dzezIr

esinjE

cos)(2

1

E

H

Antenne filiformi: sottile rettilineaSe avessimo usato l’espressione approssimata per il potenziale vettore?

Ricordando

z

+L

-L

dz r

r''

P

Non sarebbe cambiato nulla: infatti

')'(4 '

' dVer

e

V

jkjkr

r

r

urrJA

')'(4

cos' dzezIr

e L

L

jkzz

jkr

u sinAA z

uu

L

L

jkzjkr

dzezIr

esinjAjE ')'(

2][ cos'

..come prima...

Antenne filiformi: OsservazioniPossiamo definire, come fatto nel caso delle onde piane

zkk cos

u

')'(2

'dzezIr

esinjE zjk

jkrz

E riscrivere (visto che la corrente è non nulla solo sull’antenna)

E l’integrale risulta fondamentalmente una trasformata di Fourier della corrente: quindi il campo lontano è legato alla trasformata di Fourier della corrente

Antenne filiformi: Equazione Integrale di HallenCome determinare la corrente? Bisogna far riferimento al meccanismo con cui alimenteremo l’antenna

Immaginiamo di avere un generatore di tensione bilanciato, e di applicare tale tensione ad un taglio infinitesimo dell’antenna

Per quel che abbiamo detto parlando dell’altezza efficace, il campo elettrico applicato sarà

zi zVE u)(

V

l

l

2a

z

Ipotizziamo poi, di nuovo, l’antenna sottile, ovvero con rapporto 2l/a>150

In particolare, si è soliti introdurre un parametro definito parametro di “snellezza”

a

l2ln2

che per un’antenna sottile deve essere maggiore di 10

Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen

In tali condizioni, potremo considerare tutta la corrente concentrata sull’asse del cilindro

Imponendo che il campo elettrico tangenziale sia nullo tranne che nel gap, dove vale quanto assegnato, si ottiene una equazione integrale (in cui la corrente è sotto il segno di integrale)

Nell’ipotesi di antenna sottile (quindi anche il potenziale vettore orientato solo lungo z) ed usando le approssimazioni di campo lontano per il potenziale vettore, si ottiene una versione particolare dell’equazione integrale, equazione integrale di HallenLa soluzione (approssimata) di tale equazione fornisce per la corrente

sinkL

zlsinkI

kL

zlsinkVjzI

)(

cos

)(2)( 0

0

Ltg

VjII

00

2)0(

con

Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen

Si noti che l’impedenza di ingresso dell’antenna verrebbe

puramente immaginaria! Come se non irradiasse

del resto appare come l’impedenza di ingresso di un tratto di linea in circuito aperto con impedenza caratteristica

kLjI

VZ i cot

20

0

20

Z

Questo avviene perché nell’equazione di Hallen abbiamo usato le formule per il campo lontano, ed il risultato è un’approx accettabile per il campo lontano ma non per l’impedenza di ingresso

Schematizzazione di un’antennaDel resto possiamo immaginare l’antenna come limite di una linea di trasmissione in circuito aperto

fin tanto che i due conduttori sono vicini, l’effetto delle correnti all’esterno si cancella

quando i conduttori si allontanano del campo viene irradiato, ma la distribuzione di corrente rimane simile (sinusoidale)