MECCANICA TEORICA E APPLICATA · 2019. 2. 28. · Bruno Zappa Meccanica Teorica e Applicata 2...

MECCANICA TEORICA E APPLICATA

RICHIAMI SULLE UNITÀ DI MISURA

E

ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Bruno Zappa

Meccanica Teorica e Applicata

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Sistema Internazionale di unità di misura (S.I.)

Il Sistema Internazionale di unità di misura (S.I.) è stato

introdotto nel 1961 dalla XI Conferenza Generale dei Pesi

e Misure.

Il S.I. è stato legalmente adottato in Italia nel 1982.

Il S.I. distingue per convenzione due tipi di grandezze:

a. grandezze fondamentali (base quantities), le loro unità

di misura sono dimensionalmente indipendenti;

b. grandezze derivate (derived quantities), le loro unità di

misura sono definite da relazioni che le collegano alle

unità fondamentali.

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Completo: tutte le grandezze fisiche considerate si possono ricavare dalle grandezze fondamentali tramite relazioni analitiche.

Coerente: le relazioni analitiche che definiscono le unità delle grandezze derivate non contengono fattori di proporzionalità diversi da 1.

Decimale: multipli e sottomultipli delle unità di misura sono potenze di 10(tranne la misura di tempo).

… il Sistema internazionale è:

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Le 7 grandezze fondamentali del Sistema Internazionale

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Definizioni delle grandezze fondamentali

Il secondo è la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione emessa dall'atomo

di Cesio 133 (1967)

Il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di

1/299.792.458 di secondo (1983)

Il kilogrammo è la massa del prototipo internazionale conservato a Sevres,

Francia (1901)

Il kelvin è la frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua

(1967)

L' ampere è la corrente che, se mantenuta in due conduttori paralleli indefinitamente lunghi

e di sezione trascurabile posti a distanza di un metro nel vuoto, determina tra questi due

conduttori una forza uguale a 2x10-7 newton per metro di lunghezza (1948)

La mole è la quantità di sostanza che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi

in 0.012 kg di Carbonio 12. Quando si usa la mole, deve essere specificata la natura delle

entità elementari, che possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni, altre particelle o

gruppi specificati di tali particelle (1983). Il numero di entità elementari che costituiscono 1 mole è detto Numero di Avogadro; il suo valore

approssimato è NA= 6.022x1023

La candela è l'intensità luminosa, in un'assegnata direzione, di una sorgente che emette una

radiazione monocromatica di frequenza 540x1012 Hz e la cui intensità energetica in tale

direzione è 1/683 W al steroradiante (1979)

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Grandezze derivate espresse nelle unità fondamentali

…

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7

Grandezze derivate con nomi specifici

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8

… grandezze derivate

…

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Conversione tra gradi e radianti

a=1rad

l=r

r

Radiante: angolo al centro che sottende

un arco di lunghezza pari la raggioc

360° ↔2𝜋𝑟

𝑟rad = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

Esempio:

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Velocità angolare

Velocità angolare (di rotazione):

è la variazione di un angolo nel tempo.

In ambito tecnico, spesso viene

espressa in giri/min o rpm (revolutions

per minute) ed è indicata col simbolo n

n

Esempio: assegnata la velocità angolare in giri al minuto trasformarla in rad/s

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SCALARI E VETTORI

Grandezza scalare: è completamente definita dal valore che ne

rappresenta la misura.

massa

lunghezza

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… SCALARI E VETTORIIn alcuni casi per definire completamente una grandezza fisica (es velocità,

accelerazione, forza) oltre al suo valore sono necessarie anche altre informazioni:

una direzione e un verso.

Grandezza vettoriale: è definita dal suo valore numerico (modulo o intensità) e dalla sua

direzione e verso.

A

B direzione

verso

Un vettore è rappresentato graficamente da un segmento orientato. Modulo: la misura della lunghezza del segmento AB rispetto a un’unità

prefissata. Direzione la direzione della retta a cui appartiene il segmento; Verso: specifica il senso di percorrenza (es da A a B), è indicato dalla freccia

lunghezza

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VETTORI LIBERIUn vettore libero (non applicato ad un punto) è l’insieme di tutti i segmenti orientati

equipollenti a un segmento orientato.

Due segmenti orientati AB e CD sono equipollenti se hanno: stessa lunghezza (congruenti); stessa direzione (appartengono a rette parallele); stesso verso.

A

B

C

D

b

a

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VETTORI APPLICATI

Un vettore applicato ad un punto P è un particolare rappresentante del vettore.

Il vettore applicato è definito univocamente dal vettore e dal punto di

applicazione

b

a

a

b

P1

P2

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Simboli per indicare un vettore

a

A

B

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Direzione di un vettore nel pianoConsideriamo un vettore a giacente in un piano.

Fissiamo una retta orientata di riferimento (x):

la direzione del vettore è individuata dall’angolo θ che il vettore forma con la retta orientata di riferimento. Un vettore b con verso opposto formerà un angolo di θ +π

a

b

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Somma di vettoriDati due vettori a e b, il vettore somma s è definito da:

s = a + b = b + a

In modo più semplice:

Si sceglie un punto di applicazione O

Si riporta il vettore a (oppure b)

Si riporta il secondo consecutivo al

al primo

Il vettore s è il terzo lato del triangolo

(verso da O all’estremo di a).

a

b

s

a

b

s


Si riportano i vettori a e b

Il vettore somma s è la diagonale del

parallelogramma individuato dai due

vettori (regola del parallelogramma).

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EsempioDati i vettori:

a |a| = 10u, θa = 30°

b |b| = 6u , θb = 90°

Trovare il vettore somma s=a+b

ab

x

ba

s

a

bs

b

a

s

O

O O

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Somma di più vettoriDati n vettori a1, a2, … an , la loro somma:

s = a1 + a2 + … + an


Si riportano i vettori ai consecutivi in

modo da ottenere una poligonale

Il vettore somma s è il lato che

congiunge O con l’ultimo estremo della

poligonale

Se la poligonale si chiude, la somma è nulla.

a1

a3

a2

a4

s

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EsempioDati i vettori:

a |a| = 10u, θa = 30°

b |b| = 6u , θb = 90°

c |c| = 6u , θc = 180°

Trovare il vettore somma s=a+b+c

ab

x

a

b

s

c c

O

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Differenza di vettoriDati due vettori a e b, si definisce differenza tra i due vettori il vettore d che

aggiunto a b riproduce a:

d = a − b

Definiamo l’opposto di b il vettore −b(stesso modulo e direzione, verso opposto)

Quindi:

d = a − b = a + (−b)

Scelto un punto O, si riportano i vettori a e b

Il vettore d chiude il triangolo puntando sull’estremo di a.

ab

a

-b

dO

O

ab

d

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Esempio

Dato il vettore somma s = a + b e il vettore a, trovare il vettore b

s |s| = 13u, θs = 60°

a |a| = 8u , θa = 90°

a s

x

O

O

s -a

s

a

b

b

b = s -a = s + (-a)

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Scomposizione di un vettore secondo due direzioni assegnate

In generale, dati un vettore v e due direzioni r e s, il vettore può

essere scomposto in due vettori che hanno direzioni r e s e per

somma v

v

O

r

C

A

B

s

ab

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Esempio

Dato il vettore somma s = a + b e le direzioni di a e b

s |s| = 10u, θs = 90°

θa = 0° θb = 60°

dir(a)

s

x

s

s

dir(a)

a

a

b

b

dir(a)

O

C

O

C

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Proiezione ortogonale di un vettore

Dato un vettore a=(B−A ) ed una retta r , si dice vettore proiezione

ortogonale di a su r il vettore a’ = (B’ − A’).

B’ e A’ le proiezioni ortogonali dei punti B e A su r

Operativamente:

si conducono dagli estremi B, A i piani

π, π’ perpendicolari alla retta r.

Si trovano le intersezioni B’ e A’

Il segmento (B’−A’) definisce il vettore

proiezione ortogonale su r.

A

B

A’ B’a’

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Componente di un vettore

Consideriamo la retta r orientata.

La componente del vettore a secondo r è il

modulo del vettore a’ = (B’−A’), preso col

segno positivo se concorde con la direzione

di r , negativo se discorde.

A’B’ ≡ ar = |a| cos(a),

dove a è l’angolo formato dal vettore con r.

Esempio:

A

B

A’ B’

a

r

a

|a| = 10u θ = 120°

a

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Versore

A

B

A’ B’

a

ur

Un versore è un vettore di modulo unitario

Il versore associato al vettore a lo indichiamo

con vers(a) oppure ua.

Se ur è il versore con direzione e verso di r,

possiamo esprime il vettore proiezione

come:

𝑣𝑒𝑟𝑠( Ԧ𝑎) =Ԧ𝑎

Ԧ𝑎

Ԧ𝑎′ = 𝑎𝑟 𝑢𝑟

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Componenti cartesiane (nel piano)Dato il piano cartesiano Oxy consideriamo un vettore a. Indichiamo con i il

versore dell’asse x e con j il versore dell’asse y.

Possiamo esprimere il vettore a come somma delle proiezioni ortogonali sugli

assi cartesiani

x

y

O i

j

A

B

a

A’ B’

ay

ax

A’’

B’’

θ

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Esercizi

Dato il vettore aa |a| = 10, θa = 60°

Trovare le sue componenti cartesiane

Dato il vettore b = (-3, 4); rappresentare il vettore nel piano, calcolare il

modulo e l’angolo formato con l’orizzontale.

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Vettori e coordinate cartesiane

x

y

x

z

O

yi

j

k

O

i

j

P (xP, yP, zP)

P (xP, yP)

p

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31

Somma e differenza

Le componenti cartesiane della somma/differenza sono uguali alla somma/differenza delle componenti dei vettori

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Dati i vettori:a |a| = 10u, θa = 30°

b |b| = 6u , θb = 90°

Trovare il vettore somma s = a + b

Trovare il vettore differenza d = a - b

Esercizi

Dato il vettore somma s = a + b e il vettore a

s |s|= 13u, θs = 60°

a |a| = 8u , θa = 90°

Trovare il vettore b


b |b| = 10u , θb = 135°

c |c| = 4u , θc = 90°

Trovare il vettore somma s = a + b + c

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Prodotto di un vettore per uno scalare

Dato un vettore a e un numero reale l

il prodotto l per a è un vettore

direzione: stessa di a,

modulo: uguale al prodotto del valore assoluto di l per il modulo di a

verso: di a se l>0 , opposto se l<0

a 0.5 a -1 a

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Prodotto scalare

aa

b

Il prodotto scalare di due vettori a e b è uno scalare:

Ԧ𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎 𝑏 cos(a)

L’angolo a tra i due vettori determina il segno del prodotto:

è massimo quando i vettori sono allineati, nullo quando sono ortogonali,

minimo quando sono opposti

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35

Esercizio

a

b

x

y


b |b| = 6u , θb = -90°

Calcolare il prodotto scalare:

Ԧ𝑎 ∙ 𝑏

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36

Esercizio

a

r

x

y

Dato il vettore:a = (5, 10)

E la retta orientata r (angolo di 30°)

Calcolare la componete di a su r

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37

Prodotto vettoriale

a

b

c = a x b

Bruno Zappa


38

… Prodotto vettoriale

a

b

x

z

O

y

i

jk

Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 × 𝑏

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39

Esempi

a

b

x

y

Dati i vettori:a |a| = 10u , θa = 180°

b |b| = 6u , θb = 45°

Calcolare il prodotto vettoriale:

Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 × 𝑏

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