Landau Lifshitz - Fisica Teorica Vol 01 Meccanica - Ita

Lev D. Landau Evgenij M. Lifiits

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Fisica teorica 1

Editori Riuniti Edizioni Mir

Lev D. Landau Evgenij M. Lifiits

Meccanica

Editori Riuniti Edizioni Mir

I11 edizione, I ristampa: maggio 1994 Titolo originale: Mechanika C3 Copyright Edizioni Mir, Mosca C3 Copyright Editori Riuniti, 1976 Piazza Vittorio Emanuele 11, 47 - 00185 Roma ISBN 88-359-3473-7

Prefazione all'edizione italiana . . . . . . . . . . . . . . . . p . Dalla prefazione alla prima edizione russa . . . . . . . . . . . . . E . M . LifSic e Lev DavidoviC Landau Ã . . . . . . . . . . . . .

Capitolo I . EQUAZIONI DEL MOTO 5 1 . Coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . $ 2 . I l principio d i m in ima azione . . . . . . . 5 3 . I l principio d i relativita d i Galilei

5 4 . Funzione . di Lagrange d i u n punto materiale libero 5 . Funzione d i Lagrange d i u n sistema d i punti materiali

Capitolo I1 . LEGGI DI CONSERVAZIONE

5 6 . Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 . Quant i tk d Ã moto . . . . . . . . : . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . $ 8 Centro d i massa . . . . . . . . . . $ 9 M'omento citlla quantitÃ d i moto

. . . . . . . . . . . . 5 1 0 . Simi l i tudine meccanica

Capitolo 111 . INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO

5 11 . Moto unidimensionale . . . . . . . . . . . . . $ 12 . Determinazione dell'energia potenziale dal periodo

delle oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $ 13 . Massa ridotta

5 1 4 . Moto t n u n campo centrale . . . . . . . . . . 16 . I l problema di Keplero . . . . . . . . . . . . .

Capitolo IV . URTI DI PARTICELLE

. . . . . . . . . . . $ 16 . Disintegrazione di particelle . . . . . . . . . . . . 8 1 7 Urto elastico d i particelle

. . . . . . . . . . . . . 5 1 8 Diffusione d i particelle . . . . . . . . . . . . . $ 1 9 Formula d i Rutherford . . . . . . . . . . . . 20 . Diffusione a piccoli angoli

6 INDICE

Capitolo V . PICCOLE OSCILLAZIONI

. . . . . . . 5 21 Oscillazioni libere unidimensionali P- . . . . . . . . . . . . . . . 5 22 Oscillazioni forzate

5 23 . Oscillazioni dei sistemi con pia gradi d i liberta . . . . . . . . . . . . . . 24 Oscillazioni delle molecole

. . . . . . . . . . . . . . 5 25 Oscillazioni smorzate . . . . . 5 26 . Oscillazioni forzate i n presenza di attrito

5 27 . Risonanza parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 28 Oscillazioni anarmoniche

. . . . . 5 29 . Risonanza nelle oscillazioni non lineari

. . . . . 5 30 . Moto i n u n campo rapidamente oscillante

Capitolo VI . MOTO DEI CORPI SOLIDI

. . . . . . . . . . . . . . . . 5 31 VelocitÃ angolare

. . . . . . . . . . . . . . . . 5 32 Tensore d'inerzia 33 . Momento della quantitÃ d i moto d i u n solido . . .

. . . . . . 5 34 Equazioni del moto di u n corpo solido

. 5 35 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 36 Equazioni d i Eul tro

. . . . . . . . . . . . . . 5 37 Trottola asimmetrica

. . . . . * . . . . . . 5 38 Contatto f ra i corpi solidi 39 . Moto i n u n sistema di riferimento non inerziale . .

Capitolo VI1 . EQUAZIONI CANONICHE

. . . . . . . . . . . . . . 40 Equazioni d i Hamil ton

. . . . . . . . . . . . . . . . 41 Funzione d i Rou th

. . . . . . . . . . . . . . . 5 42 Parentesi d i Poisson

. 43 Azione come funzione delle coordinate . . . . . .

. 44 Principio d i Maupertuis . . . . . . . . . . . .

. 5 45 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . .

. 5 46 Teorema d i Liouville . . . . . . . . . . . . . 5 47 . Equazione d i Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . 5 48 . Separazione delle variabili . . . . . . . . . . .

. 5 49 Invarianti adiabatici . . . . . . . . . . . . .

. ( 50 Variabili canoniche . . . . . . . . . . . . . . 5 51 . Conservazione d i u n invariante adiabatico . . . . . 5 52 . Moto condizionatamente periodico . . . . . . . .

Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prefazione al1 'edizione italiana

I l Corso di fisica teorica, che ora viene proposto all'attenzione del lettore italiano nella sua lingua, Ã nato su iniziativa del mio maestro e amico, Lev Landau. I l nostro lavoro comune su questi libri inizia giÃ nella seconda metÃ degli anni '30.

I n tutt i i volumi di questo Corso abbiamo cercato di esporre i l materiale i n modo che risultasse chiaro, per quanto possibile, i l senso fisico della teoria. C i siamo sforzati inoltre di sviluppare i n modo completo l'apparato matematico nella forma p i 6 adatta alle necessitÃ pratiche e, al tempo stesso, nella forma pid semplice; abbiamo cercato di evitare quelle complessitÃ matematiche che non siano giustificate da considerazioni fisiche.

Era propria dell'opera scientifica di Landau la tendenza alla chiarezza, la tendenza a semplificare le cose complesse e, quindi, a rivelare la bellezza delle leggi della natura nella loro vera semplicitÃ Landau cercÃ sempre di sviluppare questa tendenza nei suoi allievi.

Nei decenni trascorsi dalla prima edizione i vari volumi d i questo Corso sono stati ristampati pi6 volte. Per ogni nuova edizione i libri sono stati sempre rielaborati ed ampliati tenendo conto delle ult ime scoperte della scienza. Questo lavoro si Ã reso oggi pi6 difficile quando lo si deve fare senza la partecipazione di Landau.

L a traduzione italiana dei primi tre volumi del Corso Ã¨stat condotta sulla base dell'ultima edizione russa appena uscita. Il lavoro d i rielaborazione sugli altri volumi continua ancora e di esso sarÃ tenuto conto, per quanto possibile, nella presente edizione italiana.

Questo primo volume del Corso d i fisica teorica contiene u n articolo dedicato a Landau, che io ho scritto nel 1969 per l'edizione postuma russa delle sue opere. Voglio sperare che questo articolo aiuti i l lettore italiano a farsi almeno un'idea della personalitÃ di questo straordinario uomo.

Mosca, gennaio 1975.

Dalla prefazione alla prima edizione russa

Con il presente volume ci proponiamo di iniziare la nuova edizione completa della @Fisica teorica)). I l piano generale dell'opera comprende:

1. Meccanica. 2. Teoria dei campi. 3, Meccanica quantlstica (teoria non relativistica) . 4. Teoria quantistica relativistica. 5. Fisica statistica. 6 . Idrodinarnica. 7. Teoria della elasticitÃ¹ 8. Elettrodi- namica dei mezzi continui. 9. Cinetica fisica.

Mosca, luglio 1957

LEV DAVIDOVIC LANDAU (1 908-1 968)

Dal giorno i n cui moriva Lev Davidovi6 Landau, i l 1 aprile 1968, non Ã trascorso molto tempo, m a la sorte ha voluto che gid oggi guardiamo questa figura da u n a certa distanza. Questa distanza ci permette non soltanto 'di valutare meglio la grandezza dello scienziato, la cui opera acquista un'importanza sempre pi6 evidente, ma anche di vedere piti chiaramente la nobiltÃ di animo dell'uomo stesso. Egl i era profondamente buono e aveva uno spiccato senso della giustizia. l? indubbio che anche ciÃ costituisce la causa della sua popolaritÃ come scienziato e come maestro, dell'ammirazione e della stima che provavano per lui i suoi allievi diretti e indiretti, ammirazione e stima che si sono manifestate constraordinaria forza nei giorni i n cui si lottava per salvargli la vita dopo u n pauroso incidente.

A Landau Ã toccata la tragica sorte di morire due volte. L a prima volta accadde i l 7 gennaio 1962, sulla strada tra Mosca e Dubna, quando la sua automobile andÃ ad urtare contro u n autocarro. L'epica storia della successiva battaglia per salvare la vita di L . D. Landau Ã prima di tutto una storia di abnegazione e di bravura di numerosi medici e infer- mieri. M a al tempo stesso Ã la storia di un'eccezionale solidarietÃ collettiva di colleghi ed amici. L'incidente scosse tutto i l mondo scientifico provocando u n a reazione spontanea e immediata. La clinica nella quale Landau fu ricoverato in stato d i coma divenne il centro d i coloro - allievi e colleghi - che si sforzavano, nella misura delle proprie possibilitÃ d i aiutare i medici nella loro lotta disperata per salvare L. D . Landau.

Ã L a loro impresa collettiva iniziÃ subito dal primo giorno. Eminenti scienziati, pur non essendo competenti in medicina, accademici, membri corrispondenti dell'Accademia, candidati e dottori in scienze*), persone della stessa generazione di Landau allora cinquantaquattrenne, allievi di Landau, giovanissimi allievi dei suoi allievi, tutti svolgevano volon- tariamente mansioni di fattorino, autista, intermediario, fornitore, segretario, infermiere e persino di facchino e manovale. I l loro quartiere generale, sorto spontaneamente, si stabilÃ nello studio del primario della

*) Titoli, successivi alla laurea, conferiti nelltURSS per meriti scientifici (N.d.R.).

10 LEV DAVIDOVIC LANDAU

-clinica n. 50 diventando u n vero centro organizzativo atto ad eseguire di giorno e di notte, i n modo incondizionato e urgente, tutte le prescrizioni -dei medici curanti.

87 fisici teorici e sperimentatori parteciparono a quest'opera volon- taria di salvataggio. F u approntata una guida alfabetica con telefoni

.e indirizzi d i tu t t i e di tutto: persone ed enti di cui si poteva aver bisogno in ogni istante. Essa conteneva 223 numeri di telefono/ A l t r i ospedali, .autorimesse, aerodromi, dogane, farmacie, ministeri, luoghi di eventuali arrivi d i medici consulenti.

Nei giorni p i L tragici i n cui sembrava che Ã Dau morisse Ã - furono Â¥almen quattro - davanti all'edificio di sette piani della clinica -c1erano pronte 8-10 auto ... Nel momento in cui, i l 12 gennaio, si rese necessario l'apparecchio per la respirazione artificiale, uno dei fisici propose di costruirlo immediatamente nei laboratori dell'Istituto d i problemi fisici. Era una proposta inutile e ingenua, m a meravigliosa per lo spirito che Vaveva suggerita. Alcuni fisici andarono a prendere l'apparecchio nell'Istituto di poliomelite e lo trasportarono a mano nella corsia dove giaceva Landau ansimante. Essi salvarono cosi i l loro -colle a , maestro ed amico.

l$ impossibile raccontare tutto ... F u u n vero e proprio atto di fratel- lanza tra i fisici. .. Ãˆ*

Dunque, la vita di Landau venne salvata. M a quando tre mesi dopo egl i riprese conoscenza, non era pili la persona che avevamoconosciuto prima. Egl i non potÃ mai pi6 riprendersi dalle conseguenze dell'incidente e le sue capacitÃ non si ristabilirono mai completamente. L a storia dei .sei anni successivi Ã soltanto la storia di lunghe sofferenze e di dolore.

Lev Davidovi2 Landau nacque i l 22 gennaio 1908 a B a k u nella fami- g l ia di u n ingegnere che lavorava nei pozzi di petrolio. S u a madre era medico e per un periodo si occupÃ d i ricerca nel campo della fisiologia.

Ali 'etÃ d i tredici anni Landau terminÃ la scuola media superiore. G i Ã allora egli si appassionava alle scienze esatte rivelando molto presto le sue doti d i matematico. D a solo egli apprese l'analisi matematica e diceva spesso che neppure si ricordava di quando non sapeva derivare e integrare.

I genitori di Landau ritennero che era ancora troppo giovane per iscriverlo all'universitÃ e cosi per u n anno egli frequentÃ una scuola te- m i c a d i studi economici. Nel 1922 egli si iscrisse all'universitÃ di Baku dove studiÃ contemporaneamente i n due faccoltÃ matematico-f isica e chimica. In seguito L . D. Landau non continuÃ la chimica, maconservÃ per t u t t a la vita interesse per questa scienza.

*) Ã Literaturnaia gazeta Ã 21 luglio 1962 (D. Danin, SolidwietÃ )

LEV DAVIDOVIC LANDAU 11

Nel 1924 L. D. Landau passa alla facoltÃ d i fisica dell'universitÃ d i Leningrado. I n questa cittiÃ¬ che era allora i l centro principale della fisica sovietica, Landau per la prima volta si accosta alla fisica teorica che i n quegli anni subiva un periodo impetuoso. Egli si t u f f ~ nello studio con tutto l'ardore del suo entusiasmo giovanile. Per l'eccessivo lavoro si prendeva spesso esaurimenti tali da non poter dormire di notte perse- guitato dalle formule che gli sembrava di vedere dappertutto.

Egli diceva p i ~ tardi che i n quell'epoca si senti scosso dall' incredibile bellezza della teoria della relativitÃ generale (talvolta affermava persino che tale ammirazione dopo una prima conoscenza con questa teoria doveva essere, a suo avviso, u n sintomo che i n generale ogni vero fisico deve avere). Egli ricordava anche i n quale stato di estasi lo condusse lo studio degli articoli di Heisenberg e di Schrodinger, che segnarono l'avvento della nuova meccanica quantistica. Landau riconosceva che quegli articoli gli permisero non soltanto di godere della vera bellezza del pensiero scientifico, m a anche di provare un'acuta sensazione della forza del genio umano i l cui trionfo pi6 grande Ã nella capacitÃ dell'uomo di capire le cose che egli non arriva ad immaginare. E tali sono, naturalmente, proprio la curvatura dello spazio-tempo e i l principio di indeterminazione.

Nel1927 Landau prese la laurea e divenne aspirante di ruolo presso l'Istituto di fisica tecnica di Leningrado. A quegli anni risalgono i suoi primi lavori scientifici. Nel 1926 egli pubblicÃ la teoria delle intensitÃ degli spettri di molecole biatomich^*), e giÃ nel 1927 compare i l suo lavoro sul problema dell'irraggiamento nella meccanica quantistica, nel quale per la prima volta venne introdotta la descrizione dello stato di sistemi mediante la matrice densitÃ

La dedizione alla fisica e i primi successi scientifici erano offuscati, perii, dalla morbosa timidezza nei contatti con la gente, cosa che gli provocava molte sofferenze e che, a volte, come egli stesso riconoscerÃ pil tardi, lo portava alla disperazione. Quei mutamenti che con gli anni avvennero i n lui e che lo trasformarono i n una persona piena di vita, capace di sentirsi libera ovunque e sempre, sono i n misura notevole i l risultato dell'autodisciplina che gli era propria e del sentimento di responsabilitÃ nei confronti di sÃ stesso. Queste qualitÃ rinforzate da una mente sobria e autocritica, gli permisero di fare di stf stesso u n uomo dotato di una rara capacitÃ di sentirsi felice. La stessa sobrietÃ di mente Valutava sempre a distinguere nella vita le cose vere dalle cose false, alle quali non valeva la pena attribuire troppa importanza, e a conservare quindi l'equilibrio di spirito nei momenti pi6 duri che non mancarono nella sua vita.

*) Egli non sapeva per6 che un anno prima questi risultati erano gih stati pubblicati da H. Honl e F. London.

Qui e piti avanti le cifre indicano il numero dell'articolo pubblicato nel libro ucollected papers of L. D. Landau~, Pergamon Press, 1965.


Nel 1929, Landau fu inviato dal Commissariato del popolo per l'istruzione pubblica i n missione scientifica all'estero e per u n anno e mezzo lavort3 i n Danimarca, Inghilterra e Svizzera. L a p i ~ importante per lui fu la permanenza a Copenaghen, dove neZl1Istituto di fisica teorica si riunivano dal grande Nieis Bohr fisici di tutta Europa e dove, durante i famosi simposi diretti da Bohr, venivano affrontati i problemi della fisica teorica di quell'epoca. L'atmosfera scientifica rafforzata dal fascino della persona stessa di Bohr esercitÃ un'influenza decisiva sulla formazione della concezione fisica del mondo di Landau. In seguito egli si considerÃ sempre allievo di Niels Bohr. Egli visitÃ Copenaghen ancora due volte: nel 1933 e nel 1934. Durante la sua permanenza all'estero Landau serisse i lavori sulla teoria del diamagnetismo del gas di elettroni4 e fece studi sulle restrizioni imposte alla misurabilitÃ delle grandezze fisiche nel campo quantlstico relativistico (%, i n cellabo- razione con Peieris).

Dopo i l suo ritorno a Leningrado nel 1931, Landau lavorÃ all 'I- stituto d i fisica tecnica e nel 1932 si trasferi a Kharkov dove fu direttore della sezione teorica dell'appena, organizzato Istituto di fisica tecnica deIV Ucraina. Contemporaneamente egli diresse la cattedra di fisica teorica nel Politecnico di Kharkov e dal 1935 la cattedra di fisica generale presso V UniversitÃ di Kharkov.

Gli anni trascorsi a Kharkov furono per Landau anni di intenso lavoro e di molteplice ricerca scientifica*). Proprio a Kharkov iniziÃ la sua attivitÃ di insegnante, lÃ furono gettate le fondamenta della sua scuola di fisica teorica.

La fisica teorica del X X secolo Ã ricca di nomi gloriosi. Fra questi ci fu anche Landau. La sua influenza sullo sviluppo della scienza Ã ben lontana daIV1esaurirsi nel suo contributo personale. L'insigne fisico f u a l tempo stesso u n grande maestro, maestro per vocazione. Sotto questo aspetto si potrebbe forse confrontare Landau soltanto con i l suo maestro, Niels Bohr.

S i n da giovane egli si interessa vivamente ai problemi dell'insegnamento della fisica teorica, cosi come della fisica i n generale. Proprio a Khurkov egli per la prima volta si mise a elaborare i programmi del Ã minimo teorico Ã nozioni fondamentali di fisica teorica indispensabili ai fisici sperimentali e, separatamente, a coloro che volevano dedicarsi alla ricerca professionale nel campo della fisica teorica. Non limitandosi solo alla elaborazione dei programmi, egli tenne u n corso di fisica teorica per i collaboratori dell'Istituto di fisica tecnica del17Ucraina e per gli

*) Dell'intensa attivitÃ scientifica di Landau in quel periodo si puÃ giudi- caresemplicementeelencando i lavori portati a termine nel solo 1936: teoria delle transizioni di fase di seconda specie29, teoria dello stato intermedio dei superconduttori30, equazione cinetica nel caso dell'interazione co~ lombiana~~ , teoria delle reazioni monomolecolari~~, proprieth di metalli a temperature molto basse26, teoria della dispersione e dell'assorbimento del suon0~~1 ", teoria dei fenomeni fotoelettrici nei semiconduttorifi.


studenti del Politecnico d i Kharkov. Appassionato ali'idea di u n rinno- vamento globale dell'insegnamento della fisica, egli assunse ladirezione della cattedra di fisica generale presso l'UniversitÃ di Kharkov (pili tardi, nel periodo postbellico, continuÃ a tenere u n corso di fisica generale presso la facoltÃ di fisica d e l l Universitk di Mosca).

Sempre a Kharkov gli venne l'idea di scrivere u n Corso completo di fisica teorica e u n Corso di fisica generale, idea che egli cominciÃ subito a tradurre in pratica. Durante tut ta la vita Landau sogna di scrivere libri d i fisica a tut t i i livelli: da testi per la scuola secondariaauncorso d i fisica teorica destinato agli specialisti. D i fatto, prima del fatale incidente, furono portati a termine quasi tutt i i volumi della Fisica teorica e i primi volumi del Corso di fisica generale e della Fisica per tutti. Egli accarezzava anche Videa di scrivere testi di matematica per fisici, che avrebbero dovuto diventare Ã guida d''azione Ã insegnare ad applicare praticamente la matematica alla fisica ed essere privi del rigore e della complessitÃ superflui a tale scopo. L a realizzazione di questo program- m a non fu m a i iniziata.

Landau attribuiva i n generale grande importanzaal fatto che i fisici avessero padronanza dell'apparato matematico. I l grado di questapadro- nanza deve essere tale che le dif f icoltÃ matematiche non devono distogliere l'attenzione, per quanto possibile, dalle difficoltÃ fisiche del problema, soprattutto se si tratta di metodi matematici ordinari. Questo puÃ essere raggiunto soltanto mediante u n sufficiente esercizio. M a come mostra l'esperienza, i l metodo esistente e i programmi universitari d i matematica per i fisici spesso non. assicurano tale esercizio. L'esperienza mostra anche che lo studio della matematica appare ad u n fisico, chehagiÃ iniziato la sua attivitÃ pratica, troppo u noioso Ãˆ

PerciÃ la prima cosa alla quale Landau sottoponeva chiunque volesse entrare nel gruppo dei suoi allievi era la prova di matematica nei suoi aspetti Ã pratici Ã d i calcolo*). Chi superava questa prova poteva poi passare a dare gli esami nei sette campi del Ã minimo teorico Ã che inclu- deva nozioni fondamentali d i tutt i i campi della fisica teorica. Landau riteneva che queste nozioni dovessero essere i l bagaglio scientifico di ogni fisico, a prescindere dalla sua futura specializzazione. Egl i , beninteso, non chiedeva a nessuno di essere universale, nella stessa misura in cui lo era lui. M a in ciÃ si rivelava la sua convinzione che la fisica teorica rappre- senti una scienza a sÃ© con metodi propri.

I n u n primo tempo Landau faceva pelsonalmente tutt i gli esami del (( minimo teorico Ã M a dopo, quando il numero degli esaminandi

*) Si chiedeva di saper calcolare un qualsiasi integrale indefinito (espresso da funzioni elementari) e risolvere una normale equazione differenziale, di conoscere l'analisi vettoriale e l'algebra tensoriale, nonchÃ i fondamenti della teoria delle funzioni con variabile complessa (teoria dei residui, metodo di Laplace). Si supponeva, inoltre, che campi della matematica come l'analisi tensoriale, la teoria dei gruppi, ecc. sarebbero stati studiati in quei campi della fisica in cui essi venivano applicati.


aumentÃ troppo, questi impegni vennero distribuiti anche tra i suoi collaboratori pili vicini. M a i l diritto di fare il primo esame e di fare la prima conoscenza con ogni giovane Landau lo ha sempre riservato persi. A tale scopo chiunque poteva incontrarlo: bastava telefonargli ed esprimere i l proprio desiderio.

E naturale che non tutti coloro che si mettevano a studiare i l Ã minimo teorico Ã avevano capacitÃ e tenacia per terminarlo. Dal 1934 al 1961 hanno superato questa prova i n tutto 43 persone.Quanto fosse efficace quella scelta si puÃ giudicare anche solo i n base ai seguenti dati formali: di queste persone 7 sono gia accademici e 16 dottori in , scienze.

Nella primavera del 1937 Landau si trasferf a Mosca dove assunse l'incarico di capo sezione teorica dell'Istituto di problemi fisici, costruito poco prima per P. L. Kapitza. Qui egli passÃ il resto della sua vita; i n questo istituto, diventato per lui una casa paterna, la sua attivitÃ rag- giunse l'apice. Proprio qui Landau creÃ² i n un'interazione magnifica con ricerche sperimentali, quello che possiamo considerare i l tema principale della sua vita di scienziato: la teoria dei liquidi quantistici.

Sempre mentre lavorava qui gli vennero conferiti riconoscimenti esterni dei suoi meriti. Nel 1946 egli diventa membro effettivo dell'Accademia delle Scienze dell'URSS. E insignito di molte decorazioni (tra cui due ordini di Lenin) e di titolo di Eroe del Lavoro socialista: ono- rificienze sia per i successi puramente scientifici che per i l contributo alla realizzazione pratica di compiti di stato. Gli Ã¨conferit ire volte i l Premio di Stato e nel1962 i l Premio Lenin. Non mancavano neppure onorif icienze dall'estero. GiÃ nel 1951 Ã eletto membro dell'Accademia dellaDanimarca e nel 1956 dei Paesi Bassi. Nel 1959 diventa membro della SocietÃ d i fisica britannica e nel 1960 membro straniero della SocietÃ reale britannica. Lo stesso anno Ã eletto membro dell'Accademia nazionale delle scienze degli Stati Uniti e dell'Accademia americanadelle scienze e delle arti. Nel 1960 Landau Ã insignito del Permio F. London ( U S A ) e della medaglia Max Planck (RFT). Ed inf ine, nel 1962 gli Ã conferito i l Premio Nobel Ã per la ricerca pionieristica nella teoria dello stato con- densato della materia e , i n particolare, dell'elio liquido Ã

L'influenza scientifica di Landau non si limita ai suoi allievi diretti. Egli era profondamente democratico nella vita scientifica (come, tra l'altro, nella vita privata; gli furono sempre estranei boria e servi- lismo). Per consigli o osservazioni critiche, sempre ben nette e chiare, gli si poteva rivolgere chiunque, indipendentemente dai suoi meriti scientifici e titoli, ma ad un'unica condizione: si doveva trattare di una cosa seria e non di raziocinio cervellotico vacuo - cosa che egli de- testÃ sempre nella scienza - camuf fatto da complessitÃ pseudoscientif i- che prive di contenuto e di risultato. Al la sua mente era propria un'ar- guzia critica; questa qualitÃ insieme con u n metodo profondamente fisico nell'affrontare i problemi rendevano attraente e utile la discussione con lui.


Nel dibattito egli era veemente e aspro m a non sgarbato, arguto e iro- nico ma non caustico. Una targa sulla porta del suo ufficio nell'Istituto di Kharkov diceva:

Lev Landau. Attenzione, morde!

Con gli anni i l suo carattere e le maniere divennero p i ~ mit i , ma non mutarono i l suo entusiasmo per la scienza e la sua coerenza scientifica. senza compromessi. Dietro la sua apparente asprezza si celavano impar- zialitÃ scientifica, u n grande cuore e una grande bontÃ Quanto aspra

Dau ha detto ... e spietata era la sua critica tanto sincero era i l suo desiderio di aiutare con un consiglio i l successo altrui e altrettanto calda era la sua appro- vazione.

Questi tratti del carattere e del talento di Landau gli meritarono la posizione di arbitro supremo tra i suoi allievi e colleghi.*) E indubbio che questo aspetto dell'attivitÃ di Landau e il suo prestigio scientifico e morale, che serviva di freno ai lavori precoci, hanno determinato i n misura notevole Volto livello della fisica teorica nel l 'URSS.

Il contatto scientifico costante con numerosi colleghi e allievi era anche per Landau fonte di conoscenze. Lo stile di lavoro di Landau era contrassegnato da u n tratto assai originale: da molto tempo, giÃ dal periodo di Kharkov, egli non leggeva articoli e libri scientifici. Per avere queste conoscenze gli servivano le numerose discussioni e gli interventi al seminario scientifico da lui diretto.

Questo seminario si tenne regolarmente, una volta alla settimana, per quasi trent'anni. Negli ultimi tempi esso acquistÃ il carattere di una riu- nione generale dei fisici di tutta Mosca. Intervenire al seminario era il dovere sacrosanto di tutti i suoi allievi e collaboratori, e Landau stesso constraordinaria serietÃ e zelo selezionava i l materiale per gli interventi.

*) Questa posizione Ã espressa dalla caricatura di A. A. Jusefovit ripro- dotta sopra.


Egli si interessava ed era ugualmente competente i n tutti i campi della fisica, cosicchÃ i partecipanti al seminario spesso si trovavano i n diffi- coltÃ nel passare con Landau dalla discussione, per esempio, delle pro- prietÃ delle particelle Ã strane Ã direttamente aconsiderazionisullospettro energetico degli elettroni nel silicio. L'ascoltare gli interventi non era mai per Landau una formalitÃ non si calmava finchÃ non veniva messa completamente i n luce l'essenza di u n lavoro e non vi erano state eli- minate le tracce della Ã§ f i l o log ia~ cioÃ delle asserzioni infondate e delle proposte avanzate secondo il principio: u e perchÃ non cosi Ãˆ Dopo una, simile discussione e critica molti lavori si dichiaravano u patologia Ã

e Landau non ne aveva pili alcun interesse. Viceversa, articoli che conte- nevano effettivamente idee e risultati nuovi venivano iscritti al cosiddetto Ã fondo d'oro Ã e Landau li ricordava sempre.

D i fatto, gli bastava soltanto conoscere l'idea principale di u n lavoro per riprodurne tutti i risultati. D i regola, gli era pili facile otte- nerli a modo suo anzichÃ seguire nei dettagli ilragionamento dell'autore. Cosi egli ottenne per sÃ e ripensÃ profondamente la maggior parte dei risultati fondamentali i n tutti i campi della fisica teorica*). Con questo si spiega, evidentemente, la sua fenomenale capacitÃ di dare una risposta a quasi tutte le domande di fisica che gli venivano poste.

A l10 stile scientifico di Landau era estranea la tendenza, purtroppo abbastanza diffusa, di complicare le cose semplici (spesso giustificata con motivi di generalitÃ e di rigore che risultano di solito illusori). Egli tendeva sempre al contrario, a rendere semplici le cose complicate, a rivelare i n modo pili chiaro la vera semplicitÃ dei fenomeni basati sulle leggi della natura. Di questo, di saper Ã rendere banali Ã le cose, come egli stesso diceva, era particolarmente fiero.

La tendenza alla semplicitÃ e all'ordine era propria, in generale, della mentalitÃ di Landau. Essa si manifestava non soltanto nelle cose serie, ma anche nelle cose semiserie e persino nei suoi tipici scherzi?. Cosi, gli piaceva classificare tutto: dalle donne (secondo i l gradodella loro bellezza) ai fisici (secondo Inefficacia del loro contributo nella scienza). Quest'ultima classifica si basava su u n sistema di cinque punti su scala logaritmica; per esempio, si sottintendeva che il contributo di u n fisico della seconda classe era di 10 volte superiore a quello di u n fisico della terza (nella quinta classe andavano a finire i Ã patologi B). Sempre secondo questa classifica, Einstein occupava la classe Ã u n mezzo Ã

mentre Bohr, Heisenberg, Schrodinger, D i rm ed alcuni altri apparte- nevano alla prima classe. Per lungo tempo Landau si mise modesta-

*) Questo spiega, tra l'altro, la mancanza di alcuni necessari riferimenti negli articoli di Landau, ciÃ che non era un atto intenzionale. In certi casi. perÃ² egli poteva omettere un riferimento anche intenzionalmente se riteneva troppo banale un dato problema: i suoi criteri in merito erano molto alti.

**) Ã caratteristico, tuttavia, che questo tratto non si riferiva alle abitu- dini di Landau nella vita, diciamo, quotidiana. Egli era tutt'altro che ordi nato, e molto presto attorno a lui si creava una Ã zona di disordine W .


mente nella classe due e mezzo e soltanto pi6 tardi si autopromosse alla seconda classe.

Egli lavorava sempre e molto (mai alla scrivania, m a sdraiatodi solito su u n divano). Per ogni scienziato i l riconoscimento dei risultati del proprio lavoro Ã i n una certa misura importante; Ã ovvio che questo aveva un'importanza sostanziale anche per Landau. Tuttavia, si pud affermare che egli attribuiva alle questioni della prioritÃ molto meno importanza d i quanto si faccia di solito. &' indubbio comunque che lo stimolo interno al lavoro era per Landau non la sete di gloria, bensl l'in- saziabile curiositÃ l'inesauribile passione di conoscere le leggi della natura nelle loro rivelazioni grandi e piccole. Mai occorre lavorare per scopi estranei, per fare una scoperta; i n questo modo non si ottiene niente: egli non perdeva mai l'occasione per ripetere questa semplice veritÃ

L a cerchia di interessi di Landau al di fuori della fisica era molto vasta. Oltre alle scienze esatte, egli amava molto - e la conosceva bene- la storia. Lo interessavano vivamente ed impressionavano profondamente tutte le arti, ad eccezione della musica (e anche del balletto).

Coloro che ebbero la fortuna di trovarsi per lunghi anni tra i suoi allievi e amici sapevano che il nostro Dau, come lo chiamavano amici e colleghi*), non invecchiava. I n sua compagnia non ci si annoiava mai. L a sua personalitÃ brillante non impallidiva e i l vigore scientifico non si indeboliva. Tanto pi6 assurdo e terribile per questo ci sembra il caso che ha interrotto la sua brillante attivitÃ

Gli articoli d i Landau sono contrassegnati, come regola, da tutt i i tratti intrinseci del suo stile scientifico: chiarezza e precisione dell'impo- stazione fisica dei problemi, procedimento diretto ed elegante per la loro soluzione, niente di superfluo. Persino oggi, dopo tanti anni , la maggior parte dei suoi articoli non richiederebbe alcuna modifica.

L a breve rassegna che segue ha i l solo scopo di aiutare ad orientarsi tra i molti e diversi lavori di Landau, nonchÃ di precisare u n po' i l posto che spetta a questi lavori nella storia della fisica, cosa che forse non sempre Ã evidente per i l lettore moderno.

I l tratto pir.i caratteristico dell'opera scientifica d i Landau Ã l a vastitÃ quasi senza precedenti del campo dei suoi interessi; esso abbrac- cia tutta l a fisica teorica: dall'idrodinamica alla teoria quantistica dei campi. Mentre la specializzazione si restringeva sempre di pir.i, e le vie scientifiche prese dai suoi allievi a poco a poco divergevano, Landau stesso l i riuniva tutti conservando costantemente u n interesse veramente straordinario per tutto. L a fisica con lui h a perduto forse uno degli ult imi grandi universali.

*) Landau amava dire che questo soprannome Ã dovuto alla pronuncia alla francese del suo cognome: Landau=L'ane Dau (l'asino Dau).


U n rapido sguardo all'elenco dei suoi lavori mostri che nella vita di Landau Ã impossibile individuare u n periodo piri o - m e n o lungo i n cui egli abbia lavorato soltanto in qualche singolo campo della fisica. Per questo nell'enumerare i suoi lavori non seguiremo l'ordine cronologico ma, per quanto possibile, adotteremo il principio tematico. Iniziamo dai lavori dedicati alle questioni generali della meccanica quantistica.

Fra questi ci sono, soprattutto, alcuni lavori giovanili di Landau. Considerando il problema del frenamento per radiazione, egli introdusse per la prima volta i l concetto di descrizione incompleta quantistica mediante delle grandezze che p i ~ tardi furono chiamate matrici densitÃ a I n questo lavoro la matrice densitÃ venne introdotta nella rappresentazione del l'energia.

Due suoi a r t i ~ o l i ' " ~ sono dedicati al calcolo delle probabilitÃ dei processi quasi-classici. La complessitÃ di questo problema Ã dovuta a l fatto che, essendo le funzioni d'onda quasi - classiche esponenziali (con grande esponente immaginario), l'espressione integranda negli elementi di matrice risulta una grandezza rapidamente oscillante, cosa che rende molto d i f f i c i l e persino la stima dell'integrale. Prima, dei lavori di Landau tutt i gli studi fatti su questi problemi risultavano di fatto sbagliati. Landau fu i l primo ad introdurre u n metodo generale per i l calcolo degli elementi di matrice quasi-classici e ad applicarlo a u n gruppo di processi concreti.

Nel 1930 Landau (con R. Peierls) ~ u b b l i c Ã uno studio dettagliato sulle limitazioni imposte alla descrizione quantistica dalle condizioni relativistiche6; questo articolo suscitÃ a suo tempo accese discussioni. I l suo risultato principale (oltre a mettere i n luce i l problema della indeterminazione della coordinata per una singola particella) consistette nello stabilire, i n linea d i principio, i l imiti della possibilitÃ d i misurare l'impulso i n u n intervallo di tempo finito. N e seguiva che nel campo quantistico relativistico non si puÃ misurare nessuna variabile dinamica, che caratterizza le particelle nella loro interazione, e che le uniche quantitÃ misurabili sono gli impulsi (o le polarizzazioni) delle particelle li bere. Questa Ã l'origine fisica delle complessitÃ che nascono quando si vuole trasportare nel campo relativistico metodi della meccanica quantistica ordinaria, metodi operanti con concetti che perdono qui i l loro significato. Landau ritornÃ ancora su questo problema nel suo ultimo articolo pubblicato100, nel quale espresse la convinzione che gli operatori $, come portatori di un'informazione inosservabile, e con essi f in tero metodo hamiltoniano, avrebbero dovuto scomparire dalla futura teoria.

A questa convinzione Landau fu portato dai risultati dei suoi studi sui . ' fondamenti dell'elettrodinamica q u a n t i ~ t i c a ' ~ - ~ ~ ~ eseguiti nel 1954 - 1955 ( i n collaborazione con A. A. A brikosov, I . M. Khalatnikov e I . J . Pomeranciuk). Questi studi partivano dalla rappresentazione dell'interazione puntuale come limite dell'interazione non locale a l tendere a zero del raggio d i interazione. Questo permise immedza-


tamente di ottenere espressioni f inite. In seguito risultÃ possibffe som- mare i termini principali dell'intero gruppo della teoria delle pfrtur- bastoni e, finalmente, furono ottenute le espressioni asintotiche ( a grandi impulsi) per le grandezze fondamentali dell'elettrodinynica quantistica: le funzioni di Green e Ã la -parte al vertice Ãˆ D a queste espressioni venne dedotta, a sua volta, la relazione f r a la vera carica e la vera massa e la carica Ã intrinseca - i ~ dell'elettrone. Anche se questi calcoli furono eseguiti supponendo che la carica Ã intrinseca Ã fosse piccola, furono avanzati validi motivi i n favore dell'ipotesi che la formula esprimente la relazione fra la carica vera e la carica Ã intrinseca conservi la sua applicabilitÃ qualunque sia i l valore dell'ultima. Lo studio della formula mostra allora che nel limite dell'interazione puntuale la carica vera si annulla, ossia la teoria si Ã annulla Ãˆ*) ( U n a rassegna di questi problemi Ã data negli a r t i c ~ l i ~ * , ~ ~ . )

Soltanto i l futuro potrÃ mostrare quanto sia giustificato i l program- ma di edificazione della teoria relativistica quantistica dei campi tracciato da L a n d a ~ * ~ ~ ) . Negli ult imi anni , prima dell'incidente, egli lavorÃ intensamente i n questa direzione. I n questo campo egli elaborÃ² i n particolare, u n metodo generale per determinare le singolaritÃ delle grandezze che figurano nel metodo dei diagrammi della teoria quantistica dei campig8.

A lla scoperta della non conservazione della paritÃ nelle interazioni deboli, nel 1956, Landau rispose immediatamente proponendo la teoria del neutrino con elicitÃ fissa (Ã neutrino bicom~onente ) ) jg2**} e avanzÃ anche i l principio di conservazione della Ã paritÃ combinata Ã come egli chiamÃ l'applicazione congiunta dell'inversione dello spazio e della coniugazione delle cariche. Secondo Videa di Landau, doveva essere cosi Ã salvata Ã la simmetria dello spazio, mentre l'asimmetria era nelle particelle stesse. I n f a t t i , questo principio trovÃ un'applicabi- litÃ pi.6 larga della legge di conservazione della paritÃ Come Ã noto, perÃ² negli u l t imi anni sono stati scoperti processi i n cui non si conserva nemmeno la paritÃ combinata; i l signif icato di questa violazione Ã ancora da definire.

A l la fisica nucleare si riferisce un lavoro di Landau3' pubblicato nel 1937. Esso rappresenta un'elaborazione quantitativa delle idee avanzate poco prima d a N . Bohr. I l nucleo vi Ã considerato, applicando i metodi della fisica statistica, come goccia di un Ã liquido quantistico Ã

E da notare che non vennero fatte supposizioni azzardate sul modello contrariamente a quanto altri autori avevano fatto precedentemente. In

*) In relazione con la ricerca di una dimostrazione pik rigorosa di questa asserzione l'articolo100 contiene una frase molto caratteristica di Landau: Ã data la brevitÃ della nostra vita, non possiamo permetterci il lusso di occuparci delle questioni che non promettono risultati nuovi )).

**) Contemporaneamente e indipendetemente questa teoria venne elaborata da Salam e anche da Lee e Yang.


particolare, egli ottenne per la prima volta una relazione f ra le distanze medie dei livelli dei nucleoni e le loro larghezze.

L a mancanza di modelli contraddistingue u n altro lavoro di Lan- dau ( i n collaborazione con J . A. Smorodinskij) dove egli sviluppÃ la teoria della di f fus ione protone-protone. L a sezione d i d'urto vi Ã espressa con parametri i l cui significato non Ã legato a ipotesi concrete circa i l potenziale di interazione delle particelle.

U n esempio di virtuosismo tecnico Ã dato nel lavoro ( i n collaborazione con J . B. Rumer) sulla teoria della cascata elettrofotonica degli sciami elettronici nei raggi cosmici"; i fondamenti fisici questa teoria erano stati dati prima da u n gruppo d i autori, ma una teoria quantita- Uva, i n sostanza, non esisteva. In questo lavoro venne creato Vapparato matematico che servi di base per successivi lavori in questo campo. Lan- dau stesso continuÃ l'elaborazione della teoria degli sciami i n altri due articoli: sulla distribuzione angolare delle particelle43 e sugli sciami secondari**.

D i u n virtuosismo non minore Ã u n altro lavoro di Landau dedicato allo sviluppo dell'idea di Fermi sul carattere statistico della produzione multipla delle particelle nelle c ~ l l i s i o n i ' ~ * ) . Questo lavoro Ã u n altro esempio brillante dell'unitÃ metodologica della fisica teorica, quando alla soluzione del problema vennero applicati metodi appartenenti a u n campo del tutto diverso. Landau mostrÃ che il processo della produzione multipla passa attraverso lo stadio del processo di espansione della Ã nube Ã le cui dimensioni sono grandi rispetto al cammino percorso all'interno di essa dalle particelle; questo stadio deve essere descritto corrispondentemente mediante equazioni dell'idrodinamica relativistica. L a soluzione di queste equazioni richiese alcuni artifizi e un'analisi approfondita. Landau riconobbe in seguito che questo lavoro gli costÃ una fatica maggiore di qualsiasi altro.

Landau rispondeva sempre con prontezza alle richieste e ai bisogni degli sperimentatori. In particolare, tale Ã l'origine del suo lavoro66 in cui fu determinata la distribuzione delle perdite di energia per ioniz- zazione daparte delle particelle veloci nell'attraversamento della materia (prima esisteva soltanto la teoria delle perdite medie di energia).

Passando a i lavori di Landau dedicati alla fisica macroscopica. Ã¬nÃ¬zia da alcuni articoli che rappresentano il suo contributo a l l ~ fisica del magnetismo.

In accordo con la meccanica classica e la statistica, i l cambiamento del carattere del moto degli elettroni liberi i n u n campo magnetico non puÃ generare nuove proprietÃ magnetiche del sistema. Landau f u i l primo a mettere i n luce i l carattere del moto nel campo magnetico nel caso quantistico e ad avvertire che la quantizzazione muta interamente la situazione causando i l diamagnetismo del gas di elettroni

*) Un esame piti particolareggiato con ulteriori dettagli di questo lavoro 6 dato nel resoconto88 (scritto insieme con S. Z. Belenkij).


liberi (questo fenomeno Ã chiamato ora a diamagnetismo di Landau~)'. Nello stesso lavoro egli predisse qualitativamente la dipendenza periodica della suscettivitÃ magnetica dalla grandezza del campo magnetico a valori grandi. A quell'epoca (1930) questo fenomeno non era stato ancora osservato da nessuno; esso verrÃ scoperto pifi tardi sperimental- mente (effetto De Haas - V a n Alphen). Landau teorizza quantitati- vamente questo effetto i n uno dei suoi lavori successivim.

U n breve articolo pubblicato nel 193312 va oltre i limiti del problema posto nel suo titolo: sulla possibile spiegazione della dipendenza dal campo della suscettivitÃ magnetica d i u n determinato gruppo di sostanze a basse temperature. V i f u introdotto per la prima volta i l concetto di antiferromagnetismo (anche se questo termine non fu applicato) come fase particolare della magnetizzazione che si differenzia per la sua s h - metria dalla fase paramagnetica; conformemente a c i ~ , la transizione fra i due deve avvenire i n u n punto ben determinato*). I n questo lavoro venne considerato concretamente i l modello di u n untiferromagnetico strati f icato con forte legame ferromagnetico i n ogni strato e legame anti- ferromagnetico debole fra gli strati; per questo caso venne eseguita una analisi quantitativa e furono determinate le caratteristiche delle pro- prietÃ magnetiche della sostanza che si trova vicino al punto di transizione. I l metodo applicato da Landau si fondava sulle idee che furono sviluppate i n seguito nella sua teoria generale delle transizioni di fase di seconda specie.

C'Ã ancora u n lavoro relativo alla teoria del ferromagnetismo. GiÃ nel 1907 P. W& aveva avanzato un'ipotesi sulla struttura dei ferromagnetici come formati da regioni elementari e magnetizzate spontaneamente nelle diverse direzioni (a domini magnetici Ã secondo la ter-. minologia moderna). Non esisteva ancora, pera, una teoria quantitativa di questa struttura. Nel lavoro d i Landau ( i n collaborazione con E. M. L i f &)l8 eseguito nel 1936 fu provato che tale teoria deve essere basata su considerazioni termodinamiche e vennero determinate per un caso tipico la forma e le dimensioni dei domini. Nello stesso lavoro fu dedotta l'equazione macroscopica del moto del vettore magnetizzazione dei domini. Questa equazione permise poi di sviluppare le basi della teoria della dispersione della permeabilitÃ magnetica dei ferromagnetici i n u n campo magnetico variabile; i n particolare, fu predetto u n /e- meno noto oggi sotto i l nome d i risonanza ferromagnetica.

In u n breve articolom pubblicato nel 1933 fu avanzata un'idea sulla possibilitÃ di <i autolocalizzazione Ã di u n elettrone nel reticolo

*) Circa un anno prima in un lavoro di Ne61 (sconosciuto a Landau) era stata predetta la ossibilita dell'esistenza di sostanze formate, dal punto di vista magnetico, da due sottoreticoli con momenti op osti. Tuttavia, Ne61 non supponeva che si trattasse di uno stato particolare della materia, credendo semplicemente che il paramagnetico con integrale di scambio positivo assumesse a poco a poco, per effetto delle basse temperature, una struttura formata da pi6 sottoreticoli magnetici.


cristallino in una buca di potenziale, generatasi i n forza della sua azione polarizzatrice. Questa idea costituÃ poi la base della cosiddetta teoria polaronica della conduttivitÃ dei cristalli ionici. Landau tornÃ ancorauna volta su queste questioni in u n lavoro successivo ( i n collaborazione con S . I. P e k ~ r ) ~ ' dedicato alla deduzione delle equazioni del moto del polarone i n u n campo esterno.

I n u n altro breve articolo d i Landau (scritto insieme con G. Pla- czek) furono ottenuti risultati circa la struttura della riga della d i f f u - sione di Ragleigh i n liquidi o i n ga.2*. Ancora all'inizio degli anni '20 Brillouin e Mandelstam dimostrarono che grazie alla dif fusione da oscillazioni acustiche questa riga devescindersi i n doppietto. Landau e Placzek ' richiamarono l'attenzione sulla necessitÃ dell'esistenza anche della diffusione da fluttuazioni dell'entropia non accompagnata da alcuna variazione di frequenza; come risultato, i n luogo del doppietto, si deve osservare u n tripletto*) .

Alla fisica del plasma si riferiscono due lavori di Landau. i n uno di essi fu dedotta originariamente l'equazione cinetica tenendo conto dell'interazione coulombiana fra le particelle2*; la lenta decrescenza di queste forze rendeva inapplicabili, nel caso considerato, i metodi usuali per la deduzione delle equazioni cinetiche. I n u n altro lavoro, dedicato alle oscillazioni del plasma61, egli mostrÃ che le oscillazioni ad alta frequenza si smorzano persino nelle condizioni i n cui si possono trascurare gli urti tra le particelle nel plasma (Ã smorzamento di Landau )))**).

77 lavoro su uno dei volumi del Corso di fisica teorica indusse Lan- dau a studiare profondamente l'idrodinamica. Come sempre, egli si mise a ripensare e riprodurre autonomamente tutte le affermazioni e i risultati fondamentali d i questa scienza. La sua visionenuova e originale portÃ² i n particolare, a u n nuovo trattamento del problema dell'origine della turbolenza; egli mise in luce le proprietÃ fondamentali del processo di evoluzione graduale della non stazionarietÃ all'aumentare del numero di Reynolds, quando i l moto laminare perde la sua stabilitÃ e predisse diverse varianti possibili52. Indagando le proprietÃ qualitative del- l'aerodinamicitÃ dei solidi, Landau ottenne u n risultato inaspettato: lontano da u n solido deve esistere non una sola onda, come si credeva di solito, m a due onde d'urto che seguono l 'una dietro l'altra60. Persino i n una questione u classica Ãˆ come la teoria delle linee d i corrente dei liquidi egli riusci a trovare una nuova, finora inosservata, soluzione esatta per

*) L'esposizione particolareggiata delle conclusioni e dei risultati di questo lavoro non Ã stata pubblicata sotto forma di un articolo. Essa Ã data, in parte, nel libro Elektrodinamika sploshnych sred Ã (Elettrodinamica dei mezzi continui), 9 96, Mosca, Fizmatghiz, 1959.

* *) Ã interessante notare che questo lavoro Ã nato come reazione di Landau alla u filologia Ã propria, a suo avviso, dei lavori precedenti su questo tema (per esempio, la sostituzione ingiustificata degli integrali divergenti con i loro valori principali). Per dimostrare di aver ragione, egli s i mise a lavorare su questo problema.

LEV DAVIDOVIC LANDAIT 23

una linea Ã annegata Ã con simmetria assiale di u n liquido viscoso Ã¬n compressi bile 'I.

U n posto eminente nella produzione scientifica di Landau - sia per l'importanza diretta che per i l numero di possibili applicazioni - spetta alla teoria delle transizioni d i fase di seconda speciez9; i l primo abbozzo delle idee basilari di questa teoria era giÃ contenuto i n una breve pubblicazionei7*). I l concetto di transizioni di fase di diversi ordini fu introdotto originariamente da Ehrenfest i n modo puramente formale: a seconda dell'ordine delle derivate termodinamiche che avrebbero potuto subire uno sbalzo nel punto d i transizione. Erano perÃ rimaste aperte le questioni su quali di queste transizioni potessero effettivamehte esistere e i n che cosa consistesse la loro natura fisica; nella letteratura si avanzavano i n merito ipotesi troppo vaghe e infondate. Landau mise i n rilievo il profondo legame fra la possibilitÃ dell'esistenza di una transizione di fase continua (nel senso di variazione dello stato del solido) e la variazione a sbalzi d i una qualsiasi proprietÃ di simmetria del solido nel punto di transizione. Egli mostrÃ anche che nel punto di tale transizione non Ã possibile una qualsiasi variazione della simmetria e propose un metodo che permette di determinare forme possibili di variazione della simmetria. L a teoria quantitativa sviluppata da Landau era fondata sull'ipotesi della regolaritÃ della scomposizione delle grandezze termodinamiche nella prossimitÃ del punto di transizione. Oggi Ã chiaro che tale teoria, che non tiene conto di possibili singolaritÃ di queste grandezze nel punto d i transizione, non rif lette tutte le proprietÃ della transizione di fase. Landau si interessÃ molto della questione inerente al carattere d i questa.singolaritÃ e negli u l t imi anni lavorÃ parecchio su questo d i f f i - cile problema, m a non fece i n tempo ad ottenere dei risultati.

Nello spirito della teoria delle transizioni di fase Ã costruita anche la teoria fenomenologica della s u p e r c ~ n d u t t i v i t Ã ~ creata da Landau ( i n collaborazione con V . L. Ghinzburg) nel 1950; p i c tardi, i n particolare, essa servi da base per la teoria delle leghe superconduttrici. I n questa teoria intervengono quantitÃ e parametri i l cui significato non era del tutto chiaro al momento della sua comparsa; esso fu chiarito soltanto dopo la creazione nel 1957 della teoria microscopica della supercondut- tivitÃ che permise di dare un'argomentazione rigorosa delle equazioni di Ghinzburg - Landau e di determinarne il campo di applicabilitÃ A questo proposito Ã assai istruttiva la storia (raccontata da V. L. Ghinz- burg d i un'affermazione sbagliata fatta i n u n articolo scritto i n comune. L'equazione fondamentale della teoria, che determina la funzione d'onda ef/icace V degli elettroni supercohduttori, contiene il

*) A Landau appartiene l'applicazione di questa teoria alla diffusione dei raggi Rontgen da arte di cristalli32 e (in collaborazione con I . M. Khalatnikov) all'assorbimento. dei suono" neii'intorno del punto di transizione


potenziale vettore A in u n termine del tipo

analogo a l termine corrispondente dell'equazione di Schrodinger. Poteva sembrare che nella teoria fenomenologica il parametro e* dovesse rappresentare una certa carica eff icace, non necessariamente legata con la carica e dell'elettrone libero. M a Landau respinse questa idea mostrando che la carica efficace non Ã universale e dovrebbe dipendere da diversi fattori (pressione, materiale del modello, ecc.); allora i n u n modello eterogeneo e* sarebbe una funzione delle coordinate, db che violerebbe la gauge-invarianza della teoria. Nell'articolo f u scritto percid che la carica e* Ã ... non puÃ essere considerata per alcuna ragione diversa dalla carica dell'elettrone Ãˆ Sappiamo ora che i n realtÃ e* coincide con la carica della coppia di elettroni di Cooper, si ha cioÃ e* = Ze, e non e* = e. Questo valore della carica poteva essere previsto, beninteso, soltanto sulla base dell'idea dell'accoppiamento di elettroni sulla quale Ã fondata la teoria microscopica della superconduttivitÃ M a i l valore 2e Ã altrettanto universale che e, cosicchÃ l'argomentazione di Landau era di per sÃ giusta.

U n altro contributo di Landau nella fisica della superconduttivitÃ consiste nella spiegazione della natura del cosiddetto stato intermedio. I l concetto d i stato intermedio fu introdotto originariamente da R. Pe- ierls e F. London (1936) per la descrizione del fenomeno osservato della gradualitÃ della transizione al la superconduttivitÃ i n u n campo magnetico. M a la loro teoria aveva u n carattere fenomenologico, mentre la questione della natura dello stato intermedio rimaneva aperta. Landau mostrÃ che questo stato non rappresenta qualche cosa di nuovo e che i n realtÃ i l superconduttore in esso Ã formato da una serie di strati successivi f i n i i n fase normale e i n fase superconduttrice. Nel 193730 Landau esaminÃ u n modello in cui questi strati appaiono alla superficie; egli riusci con u n elegante art i f i z io a determinare completamente la forma e le dimensioni degli strati d i tale modello*). Nel 1938 egli propose una nuova variante della teoria secondo la quale gli strati apparsi alla superficie subiscono u n a ramificazione multipla; tale struttura deve presentare u n vantaggio maggiore dal punto di vista termodinamico, se le dimensioni del modello sono sufficientemente grandiM).

M a i l contributo maggiore che la fisica deve a Landau Ã la sua teoria dei liquidi quantistici. L'importanza di questo nuovo settore cresce attual- mente sempre di p i ~ ; Ã indubbio che il suo sviluppo negli u l t imi decenni ha rivoluzionato anche altri settori della fisica: la fisica dei solidi e persino la fisica del nucleo.

*) Landau scrisse in proposito che Ã risulta meravigliosamente possibile la determinazione esatta della forma degli strati Ã ˆ ~ O

**) L'esposizione particolareggiata di questo lavoro Ã stata pubblicata nel 19474B.


La teoria della superfluiditÃ fu creata da Landau nel 1940 - 1941, subito dopo la scoperta, fatta nel 1937 da P . L . Kapitza, di questa pro- prietÃ fondamentale dell'elio I I . Pr ima di questa scoperta le premesse per la spiegazione della natura fisica della transizione di fase osservata nell'elio liquido di fatto non esistevano, e non c'Ã da meravigliarsi che si avanzassero i n merito delle idee che oggi potrebbero sembrare persino ingenue*). E da notare che s in dall'inizio la teoria dell'elio 11 fu costruita completa: giÃ il primo articolo classico di Landau^ conteneva quasi tutte le idee basilari sia della teoria microscopica dell'elio II che della teoria macroscopica fondata sulla base della prima, ossia della termodinamica e della fluidodinamica di questo liquido ( a quest'ultima Ã dedicato anche l'articolos3).

La teoria di Landau si basa sul concetto di quasi-particelle (eccitazioni elementari) che costituiscono lo spettro energetico dell'elio I I . Landau fu i l primo a porre la questione dello spettro energetico di u n corpo macroscopico i n forma cosi generica e f u proprio lui a determinare i l carattere dello spettro per u n liquido quantistico del tipo del- l'elio liquido (isotopo He4) o, come si dice ora, del tipo di Bose. I n u n lavoro del 1941 Landau suppose lo spettro delle eccitazioni elementari formato da due parti: fononi con dipendenza lineare dell'energia 8 dall'impulso p e Ã rotoni Ã con dipendenza quadratica separata dallo stato fondamentale da una fessura energetica. P id tardi Landau comprese che tale forma dello spettro era insoddisf acente ( i n quanto instabile) dal punto di vista teorico e un'analisi particolareggiata dei dati sperimentali completi e esatti comparsi i n quel periodo lo indusse, nel 1946, a stabilire i l famoso spettro formato da u n solo ramo i n cui ai Ã rotoni Ã

corrisponde u n minimo sulla curva &(p) . Le rappresentazioni macro- scopiche della teoria della superf luiditÃ sono universalmente note. Nella loro sostanza, esse si riducono alla rappresentazione di due movimenti che avvengono contemporaneamente nei liquidi - Ã normale Ã e Ã superf luido Ã - e che si possono considerare, per maggiore evidenza, come movimenti d i due Ã componenti del liquido Ãˆ** I l movimento normale Ã accompagnato, come nei liquidi ordinari, dall'attrito interno. L a determinazione del coef f iciente d i viscositÃ rappresenta u n problema cine- tico che richiede d i analizzare i l processo di formazione dell'equilibrio nel Ã gas d i quasi-particelle n; i fondamenti della teoria della viscositÃ del'elio 11 furono sviluppati da Landau ( i n collaborazione con

*) Cosi, Landau stesso nel suo lavoro sulla teoria delle transizioni di fase%* espresse l'ipotesi che l'elio I 1 fosse un cristallo liquido, pur sottolineando quanto fosse dubbia tale rappresentazione.

**) Alcune idee della descrizione macroscopica Ã bicomponente Ã dell'elio liquido (anche senza un'interpretazione fisica chiara) furono introdotte, indipendentemente da Landau, da L. Tisza. Il suo articolo particolareggiato, pubblicato- in Francia nel 1940, fu portato nell'URSS, essendo in tempo di guerra, soltanto nel 1943, mentre un suo breve articolo apparso nel 1938 negli Ã Atti dell'Ac- cademia di Parigi Ã assÃ² purtroppo, inosservato. La critica della parte quantitativa della teoria di Tisza fu data da Landau nell'artic010~~.

26 LEV DAVIBQVIC LANDAU

I. M. Khalatnikov) nel 194960~70. I n f i n e , in un altro lavoro (scritto insieme con I . J . Pomeranciuk) f u considerata la questione del compor- tamento di atomi ridondanti n e l l ' e l i ~ ~ ~ ; i n particolare, fu dimostrato che ogni atomo di questo genere f a parte della Ã componente normale Ã del liquido, indipendentemente dal fatto che l'additivo abbia di per sÃ la proprietÃ di superfluiditÃ contrariamente all'ipotesi errata avanzata allora nella letteratura.

L'isotopo liquido He3 Ã u n liquido quantistico di altro tipo, detto oggi tipo di Fermi. Anche se le sue proprietÃ non sono cosi notevoli come quelle del liquido He4, dal punto di vista teorico esse presentano u n interesse non minore. La teoria di tali liquidi fu creata ed esposta da Landau i n tre articoli pubblicati nel 1956 - 1958. Nei primi due*so1 venne determinato i l carattere dello spettro energetico del liquido di Fermi, furono esaminate le sue proprietÃ termodinamichee f u dedotta Inequazione cinetica per i processi di rilassamento. Lo studio dell'equazione cinetica permise a Landau di predire u n tipo particolare di processo oscillatorio i n He3 liquido i n prossimitÃ dello zero assoluto, chiamato da egli suono nullo. Nel terzo articoloo5, all'equazione cinetica, la cui deduzione conteneva prima certe ipotesi intuitive, fu data un'argomentazione microscopica rigorosa.

Nel concludere questa breve rassegna, che Ã lontana dall'essere completa, non mi resta che ripetere che Ã superfluo sottolineare per i' fisici quanto sia grande i l contributo di Lev DavidoviZ Landau nella fisica teorica. L a sua opera ha un valore imperituro e resterÃ sempre nella scienza.

E. Lifi ic

Istituto di robiemi fisici dell'Accademia iel le Scienze delllURSS

Capitolo I

EQUAZIONI DEL MOTO

$ 1 . Coordinate generalizzate

Uno dei concetti fondamentali della Meccanica Ã i l concetto di punto materiale1). Con punto materiale si intende un corpo le cui dimensioni s i possono trascurare nella descrizione del suo moto.

ben chiaro che questa possibilitÃ dipende dalle condizioni concrete d i questo o d i quell'altro problema. Per esempio, i pianeti possono esser considerati punti materiali quando si studia la loro rivoluzione intorno a l Sole, ma, naturalmente, non quando si considera la loro rotazione.

La posizione d i un punto materiale nello spazio Ã determinata d a l suo raggio vettore r le cui componenti coincidono con le sue coordinate cartesiane x, y, z. La derivata d i r rispetto al tempo t ,

dr v:- dt

d'+ s i chiama velocitÃ e la derivata seconda, , accelerazione del punto.

Seguendo l'uso comune, indicheremo sempre la derivazione rispetto

a l tempo con un punto sopra l a lettera: v = r . Per determinare la posizione nello spazio d i un sistema d i N .

punti materiali, Ã necessario dare N raggi vettori, ci06 3N coordinate. I n generale, il numero d i grandezze indipendenti che si debbono dare per determinare univocamente la posizione d i un sistema, s i chiama numero d i gradi di libertÃ del sistema; nel presente caso, questo numero fi uguale a 3N. Queste grandezze non sono necessariamente le coordinate cartesiane del punto; puÃ risultare p i ~ comoda la scelta d i un altro sistema d i coordinate, il che dipende dalle condizioni de l problema considerato. s grandezze qualsiasi q = , q^, . . ., I s l che caratterizzano completamente l a posizione d i u n sistema (con s

gradi d i libertÃ ) s i chiamano coordinate generalizzate, e le derivate q i , velocitÃ generalizzate.

La conoscenza delle sole coordinate generalizzate non Ã sufficiente per determinare lo Ã stato meccanico Ã d i un sistema ad un istante dato, non permette cioÃ di prevedere l a posizione del sistema negli istanti successivi. Se vengono dat i infatti solo valori delle coordina-

1) Spesso useremo il termine Ã particella Ã invece di Ã punto materiale n.

28 CAPITOLO PRIMO

te, i l sistema puÃ avere velocitÃ arbitrarie, e a seconda dei differenti valori di queste, la posizione del sistema in un istante successivo- (dopo un intervallo infinitesimo dt) puÃ variare.

Se, invece, tutte le coordinate e le velocitÃ sono date nello stesso- istante, allora, come dimostra l'esperienza, Ã possibile determinare interamente lo stato del sistema e, in linea di massima, prevederne il moto futuro. Dal punto di vista matematico, ciÃ significa, che dan-

do in un certo istante tutte le coordinate q e le velocitÃ q, si definisce . . univocamente anche i l valore delle accelerazioni q in questo istante1).

Le relazioni che legano le accelerazioni con le coordinate e le ve- locitÃ si chiamano equazioni del moto. Rispetto alle funzioni q ( t ) esse sono equazioni differenziali del secondo ordine la cui integrazione permette di determinare, in linea di massima, queste funzioni,. cioÃ le traiettorie del sistema meccanico.

$ 2. I l principio di minima azione

Una formulazione piii generale della legge del moto di sistemi meccanici Ã data dal principio di minima azione (o principio di Hamil- ton). Secondo questo principio, ogni sistema meccanico Ã caratterizzato da una determinata funzione . .

L (qii - 9 98, qii qz, m la, t )

o, brevemente, L (q, i, t); inoltre, i l moto del sistema soddisfa la seguente condizione.

Supponiamo che negli istanti t = t , e t = t 2 il sistema occupi posizioni determinate, caratterizzate dai due insiemi di valori delle coordinate qci) e q(2). Allora, entro queste posizioni, il sistema s i

'muove in modo tale che l'integrale t

s = \ L (q, i, t ) dt ti

abbia i l pifi piccolo valore possibile2). La funzione L Ã detta funzione di Lagrange del dato sistema, e l'integrale (2,1), azione.

La funzione di Lagrange contiene solamente q e q, ma non deriva- .. ... te di ordine superiore q, q, . . . CiÃ Ã dovuto al fatto suindicato che

l) Per semplificazione, intenderemo spesso con q l'insieme di tutte le coordinate , , q . . . q (ed analogamente con l'insieme di tutte le velocitÃ )

necessario notare, perÃ² che il principio di minima azione cosi formulato non sempre Ã valido per la traiettoria del moto in totale, bensi per ogni porzione sufficientemente piccola di quest'ultima; per tutta la traiettoria, l'integrale (2,1) puÃ avere soltanto un valore estremo che non sarÃ necessariamente minimo. Questa circostanza non Ã di importanza sostanziale nella deduzione delle equazioni del moto, in cui si fa uso soltanto della condizione di estremo.

EQUAZIONI DEL MOTO 29

l o stato meccanico di un sistema Ã interamente definito dalle sue coordinate e dalle sue velocitÃ

Stabiliamo ora le equazioni differenziali che permettono di determinare i l minimo dell'integrale (2,l). Per semplicitÃ ammet- tiamo anzitutto che il sistema abbia un solo grado di libertÃ i l che vuoi dire che bisogna definire una sola funzione q (t).

Supponiamo che q = q (t) sia precisamente la funzione per la quale S ha un minimo. CiÃ significa che S cresce sostituendo q (t) con una funzione qualsiasi del tipo

q (t) + 6 q (t), (2,2)

dove Ã® (t) Ã una funzione piccola in tutto l'intervallo di tempo da tia t2 (617 ( t) si chiama variazione} della funzione q (t)). PoichÃ negli istanti t = ti e t = tÃ tutte le funzioni del tipo (2,2) debbono assumere rispettivamente i valori q e q*2), si avrÃ

6 q (ti) = Sq (t2) = 0. (293)

La variazione di S nel sostituire q con q + 6 q Ã data dalla differenza

Lo sviluppo in serie di questa differenza secondo le potenze di 6 q

e 6q (nell'espressione integranda) comincia dai termini del primo ordine. La condizione necessaria perchÃ S abbia un minimo1) Ã che si annulli l'insieme di questi termini, detto variazione prima (o, semplicemente, variazione) dell'integrale. Dunque, il principio d i minima azione puÃ essere scritto nella forma seguente:

t2

6S=6 j L(*, i, t) dt =o, (294) ti

o, eseguendo la variazione:

d Osserviamo che 6 q = -,- 6 q ; integrando per parti i l secondo termine- otteniamo:

l) In generale, un valore di estremo.

Il primo termine di questa espressione sparisce, in v i r t ~ delle condizioni (2,3). Resta l'integrale che deve essere uguale a zero per valori arbitrari d i 6q. CiÃ Ã possibile soltanto nel caso in cui l'espressione integranda Ã identicamente nulla. Otteniamo cosi l'equazione

a 9~ aL -- - -- o . d t 9; 99

Per un sistema con piii gradi d i libertÃ nel principio d i minima azione si debbono variare indipendentemente s funzioni diverse q; ( t ) . E evidente che si ottengono allora s equazioni del tipo

Queste sono le equazioni differenziali cercate, chiamate in meccanica equazioni d i Lagrangel). Se Ã nota la funzione di Lagrange di un dato sistema meccanico, allora le equazioni (2,6) stabiliscono un legame tra le accelerazioni, le velocitÃ e le coordinate, cioÃ¨rappresentan le equazioni del moto del sistema.

Dal punto d i vista matematico, le equazioni (2,6) costituiscono un sistema d i s equazioni differenziali del secondo ordine con s funzioni incognite q; (t). La soluzione generale di un tale sistema contiene 2s costanti arbitrarie. Per determinarle e, di conseguenza, per definire completamente i l moto d i un sistema meccanico, Ã necessario conoscere le condizioni iniziali che caratterizzano lo stato meccanico del sistema in un dato istante, per esempio, i valori iniziali di tut te le coordinate e le velocitÃ

Sia un sistema meccanico composto di due parti A e B, ciascuna delle quali, se fosse isolata, avrebbe per funzione d i Lagrange, rispettivamente, le funzioni LA ed Ly. Se queste parti vengono allon- tanate l 'una dall'altra per una distanza sufficientemente grande tanto da rendere trascurabile la loro interazione, la funzione di Lagrange dell'intero sistema tende a

lim L = LA + LB. (2,7)

Questa proprietÃ di additivitÃ della funzione d i Lagrange esprime i l fatto che le equazioni del moto di ciascuna delle parti componenti non interagenti non possono contenere grandezze riguardanti le altre parti del sistema.

l? evidente che la moltiplicazione della funzione di Lagrange per una costante arbitraria non produce alcun effetto sulle- equazioni del moto. Di qui sembrerebbe derivare una sostanziale indeterminatezza: le funzioni d i Lagrange d i differenti sistemi meccanici isolati

l ) Nel calcolo variazionale, che affronta il problema formale di determinazione degli estremi di integrali del tipo (2,1), sono chiamate equazioni di Eulero.


si potrebbero moltiplicare per costanti arbitrarie diverse. La pro- prietÃ d i addit ivi tÃ elimina questa indeterminatezza: essa ammette soltanto la moltiplicazione simultanea delle funzioni di Lagrange di tut t i i sistemi per una stessa costante, ciÃ che corrisponde semplicemente alla naturale arbitrarietÃ nella scelta'delle uni tÃ d i misura di questa grandezza fisica; di questo riparleremo nel $4 .

l? necessario fare ancora un'osservazione di carattere generale.

Consideriamo due funzioni L' (q, i, t) ed L (q, i, t) che differiscono per una derivata totale rispetto a l tempo di una funzione delle coordinate e del tempo f (q, t):

Gli integrali ( 2 , l ) valutati con queste due funzioni sono legati dalla relazione

t2 t 2 t 2 di s = j L (q , q , t) d t = j L (q, q, t) dt + ( d t =

t 1 t i t i

cioÃ differiscono per un termine supplementare che s i annulla quando varia l'azione. Du,nque, la condizione M' = O coincide con la condizione SS = O, e la forma delle equazioni del moto resta immutata.

La funzione di Lagrange Ã determinata quindi a meno di una derivata totale additiva di una funzione qualsiasi delle coordinate e del tempo.

3. I l principio di relativitÃ di Galilei

Lo studio dei fenomeni meccanici richiede che sia scelto .un sistema di riferimento. Le leggi del moto in sistemi di riferimento differenti hanno in generale forma diversa. Se si prende un sistema di riferimento qualunque, puÃ risultare che le leggi dei fenomeni pifi semplici assumano una forma estremamente complicata. Sorge spon- taneo il problema della scelta di un sistema di riferimento tale che le leggi della meccanica abbiano la forma piti semplice possibile.

Rispetto ad un sistema di riferimento qualunque, lo spazio Ã eterogeneo ed anisotropo. CiÃ vuoi dire che anche se un corpo non inte- ragisce con nessun altro corpo, le sue differenti posizioni nello spazio e le sue differenti orientazioni non sono, perÃ² equivalenti dal punto d i vista meccanico. Anche per quanto riguarda i l tempo, si puÃ dire che, in generale, esso non Ã omogeneo, cioÃ i diversi istanti non

32 CAPITOLO PRIMO

sono equivalenti. La complicazione che queste proprietÃ dello spazio e del tempo porterebbero nella descrizione dei fenomeni meccanici Ã evidente. Per esempio, un corpo libero (cioÃ non sollecitato da azione esterna) non potrebbe perseverare nello stato di quiete: pur essendo nulla la velocitÃ del corpo ad un dato istante, i l corpo comincerebbe a muoversi nell'istante successivo in una determinata direzione. .

Nonostante questo, si puÃ sempre trovare un sistema di riferimento tale che rispetto ad esso lo spazio sia omogeneo ed isotropo ed i l tempo omogeneo. Un sistema con queste caratteristiche si chiama inerziale. In particolare, un corpo libero che ad un dato istante si trovi, in questo sistema, in uno stato di quiete vi resterÃ per un periodo di tempo illimitato.

Possiamo ora trarre qualche conclusione riguardante la forma della funzione di Lagrange per un punto materiale che si muove liberamente in un sistema di riferimento inerziale. L'omogeneitÃ dello spazio e del tempo significa che questa funzione non puÃ contenere in forma esplicita nÃ il raggio vettore r del punto, nÃ i l tempo t , cioÃ L Ã una funzione soltanto della velocitÃ v. In virtfi dell'isotropia dello spazio, la funzione di Lagrange non puÃ dipendere neanche dalla direzione del vettore v ; essa Ã quindi una funzione del suo valore assoluto, cioÃ del quadrato v2 = v2:

L = L (v2). (371)

Dato che la funzione di Lagrange non dipende da r, abbiamo -- a - O , e le equazioni d i Lagrange assumono quindi la forma1) ffr

d a cui 9L/9v = costante. Essendo dato che 9Ll9'v Ã funzione soltanto della velocitÃ ne segue anche che

v = costante. (32)

Arriviamo cosi alla conclusione che, in un sistema di riferimento inerziale, ogni moto libero avviene con velocitÃ costante e in grandezza e in direzione. Questa asserzione costituisce il contenuto della cosiddetta legge di inerzia.

Se accanto a un dato sistema inerziale introduciamo un altro sistema, animato da moto rettilineo ed uniforme rispetto al primo, le leggi del moto libero rispetto a questo nuovo sistema saranno le stesse che rispetto al sistema originario: i l moto libero sarÃ ancora un moto a velocitÃ costante.

l) Per derivata di una grandezza scalare rispetto ad un vettore si intende un vettore le cui componenti sono uguali alle derivate di questa grandezza rispetto alle corrispondenti componenti del vettore.


Tuttavia, l'esperienza mostra non solo che le leggi del moto libero coincidono in questi due sistemi, ma che esse sono meccanicamente del tut to equivalenti sotto t u t t i gli aspetti. Esiste quindi non uno, ma una molteplicitÃ infinita di sistemi d i riferimento, moventisi l'uno rispetto all'altro con moto rettilineo e uniforme. In tu t t i questi sistemi le proprietÃ dello spazio e del tempo sono identiche, come pure sono identiche tut te le leggi della meccanica. Questa asserzione costituisce i l contenuto del cosiddetto principio di relativitÃ di Galilei, uno dei principi fondamentali della meccanica.

Tutto quanto abbiamo detto mette in evidenza l a peculiaritÃ delle proprietÃ dei sistemi di riferimento inerziali, in forza delle quali l'uso d i questi sistemi s i impone, d i regola, nello studio dei fenomeni meccanici. Nel seguito, dove non si dica esplicitamente i l contrario, considereremo esclusivamente sistemi d i riferimento inerziali.

La completa equivalenza meccanica d i tut ta l 'infinitÃ d i questi sistemi dimostra, a l tempo stesso, che non esiste nessun sistema Ã assoluto Ã che possa essere preferito agli altri.

Le coordinate r ed r' di uno stesso punto date in due sistemi di riferimento differenti K e K ' dei quali i l secondo si muove rispetto al primo con velocitÃ V, sono legate dalla relazione

r = r' + \t, (373)

in cui s i sottintende che i l trascorrere del tempo in ambedue i sistemi d i riferimento avviene in modo identico, cioÃ

t = t'. (374)

L'ipotesi d i un tempo assoluto s ta alla base stessa dei concetti della meccanica classica1).

Le formule (3,3) e (3,4) sono dette trasformazioni di Galileo. I l principio d i relativitÃ galileiano puÃ essere formulato come requisito d i invarianza delle equazioni del moto della meccanica rispetto a queste trasformazioni.

5 4. Funzione di Lagrange di u n punto materiale libero

Prima d i determinare la forma della funzione d i Lagrange, consideriamo anzitutto un caso elementare, studiando cioÃ i l moto libero di un punto materiale in un sistema di riferimento inerziale. La funzione d i Lagrange, come abbiamo giÃ visto, puÃ dipendere in questo caso soltanto dal quadrato del vettore velocitÃ Per espli- citare questa dipendenza, ci serviremo del principio d i relativitÃ d i Galilei. Se un sistema di riferimento K si muove rispetto ad un

l) Questa ipotesi non Ã valida in meccanica relativistica.

3-0563

34 CAPITOLO PRIMO

altro sistema inerziale K' con velocitÃ infinitesima e, si ha v' = = v + e. Dovendo restare identica la forma delle equazioni del moto in tu t t i i sistemi di riferimento, la funzione d i Lagrange L (v2) assume, sotto tale trasformazione, la forma L', la quale, pur essendo differente da L (v2), differisce da essa soltanto per una derivata totale di una funzione delle coordinate e del tempo (vedi fine del $ 2).

Abbiamo: L '=L(d2)=L(v2+2ve+e2) .

Sviluppando "questa espressione in serie secondo le potenze di e e trascurando gli infinitesimi d'ordine superiore, otteniamo:

I l secondo termine del secondo membro di quest'uguaglianza Ã una derivata totale rispetto a l tempo soltanto nel caso in cui esso

aL dipenda linearmente dalla velocitÃ v. Per questo % non dipende dalla velocitÃ in altri termini, la funzione di Lagrange nel caso considerato Ã proporzionale al quadrato della velocitÃ

L = uv2.

PoichÃ la funzione di Lagrange in questa forma soddisfa il principio d i relativitÃ galileiano in una trasformazione infinitesima della velocitÃ discende immediatamente che la funzione di Lagrange Ã invariante anche per una velocitÃ finita V del sistema inerziale K rispetto al sistema K'. Infatti,

L ' = a v ' 2 = a ( ~ + V ) ~ = a v ~ + 2 a v V + a P oppure

Il secondo termine Ã una derivata totale e, di conseguenza, puÃ essere omesso.

La costante a viene comunemente indicata con m/2. La funzione di Lagrange per un punto materiale in moto libero si scrive in definitiva:

mvs L=- 2 - (471)

La grandezza m si chiama massa del punto materiale. In virtii della proprietÃ additiva della funzione di Lagrange, si ha per un sistema di punti non interagenti1):

l ) Per numerare le particelle, useremo quale indice le prime lettere del l'alfabeto, e per numerare le coordinate, le lettere i, k, I...

EQUAZIONIDEL MOTO 35

Bisogna sottolineare che la definizione data della massa acquista un senso reale esclusivamente grazie a questa proprietÃ additiva. Come abbiamo giÃ notato nel $ 2 , si puÃ sempre moltiplicare la funzione di Lagrange per una costante qualsiasi, il che non influisce sulle equazioni del moto. Per la funzione (4,2), questa, moltiplicazione implica un cambiamento dell'unitÃ di misura della massa; ma i rap- porti delle masse d i diverse particelle che sono gli unici ad avere un senso fisico reale, restano invariati in questa trasformazione.

facile vedere che la massa non puÃ essere negativa. Infatti, secondo i l principio di minima azione, quando un punto materiale si muove da un punto . ad un punto 2 dello spazio, l'integrale

assume un valore minimo. Se la massa fosse negativa, allora per una traiettoria lungo la quale la particella cominci ad allontanarsi rapidamente dal punto 1 per poi avvicinarsi rapidamente al punto 2, l'integrale d'azione prenderebbe valori negativi arbitrariamente grandi in assoluto, cioÃ non avrebbe minimo1).

E utile notare che

Per stabilire la funzione di Lagrange, Ã sufficiente quindi trovare il quadrato della lunghezza dell'elemento d'arco di nel sistema di coor dinate corrispondente.

In coordinate cartesiane,-per esempio, si ha di2 = dx2 + dy2 + + dz2, da cui

In coordinate cilindriche si ha di2 = dr2 + r2dq2 + dz2, da cui

In coordinate sferiche si ha di2 = dr2 + r2 do2 + r20 sen2 d(p2, da cui

1) La notazione alla pag. 28 non Ã in contraddizione con questa conclusione, erchh per m < O l'integrale non potrebbe avere un minimo per alcuna porzione ella traiettoria per quanto piccola fosse.

3*

36 CAPITOLO PRIMO

$ 5. Funzione d i Lagrange d i u n sistema d i punti materiali

Consideriamo ora un sistema di punti materiali interagenti fra loro ma isolati dall'esterno; un tale sistema Ã detto isolato. Risulta che si puÃ descrivere l'interazione dei punti materiali del sistema aggiungendo alla funzione di Lagrange (4,2), valida per i punti materiali liberi, una funzione (dipendente dal carattere dell'interazione)') delle coordinate. Indichiamo questa funzione con - U e scriviamo:

dove ra Ã il raggio vettore dell'a- esimo punto. Questa Ã la forma generale della funzione di Lagrange di un sistema isolato.

La somma

si chiama energia cinetica, e la funzione U, energia potenziale del sistema. I l significato di questi termini verrÃ chiarito nel 5 6.

I l fatto, che l'energia potenziale dipenda soltanto' dalla distribuzione di tut t i i punti materiali in un medesimo istante di tempo, significa che un cambiamento della posizione di un punto si riper- cuote istantaneamente su tu t t i gli altri; si puÃ dire che l'interazione Ã si propaga Ã istantaneamente. Questo carattere Ã inevitabile in meccanica classica; ciÃ deriva direttamente dai postulati fondamen- tal i d i quest'ultima, e cioÃ¨ tempo assoluto e principio d i relativitÃ di Galilei. Se l'interazione si propagasse non istantaneamente, bensi con una velocitÃ finita, quest'ultima varierebbe nei differenti sistemi di riferimento (che si muovono l'uno rispetto all'altro); infatti, l'esistenza del tempo assoluto comporta automaticamente che la regola comune di composizione delle velocitÃ Ã applicabile in tu t t i i fenomeni. Ma in questo caso le leggi del moto di corpi interagenti sarebbero diverse nei diversi sistemi di riferimento (inerziali), cosa che sarebbe in contraddizione con il principio d i relativitÃ

Nel $ 3 abbiamo parlato soltanto dell'omogeneitÃ del tempo. La forma (5,l) della funzione di Lagrange mostra che i l tempo Ã non soltanto omogeneo, ma anche isotropo, cioÃ le sue proprietÃ sono identiche in ambedue le direzioni. Infatti, la sostituzione di t con -t lascia invariata la funzione di Lagrange e, di conseguenza, le equazioni del moto. In altri termini, se in un sistema Ã possibile un qual-

1) Questa affermazione concerne la meccanica classica, non relativistica, che Ã oggetto del presente volume.


siasi moto, sarÃ sempre possibile, anche i l moto inverso, un moto tale cioÃ che il sistema passi nuovamente per gli stessi s tat i ma nell'ordine inverso. In questo senso, tut t i i moti regolati dalle leggi della meccanica classica sono reversibili.

Conoscendo la funzione di Lagrange, possiamo scrivere le equazioni del moto

d 9L 9L -- -- dt ha -%' (5'2)

Riportando la (5,l) nella (5,2), otteniamo:

Le equazioni del moto in questa forma si chiamano equazioni di New- ton. Esse costituiscono la base della meccanica di un sistema di particelle interagenti. I l vettore

del secondo membro delle equazioni (5,3) Ã detto forza agente sull'a-esimo punto. Come l'energia potenziale U, questa forza dipende soltanto dalle coordinate di tut te le particelle e non dalle loro velo- citÃ Dalle equazioni (5,3) risulta quindi che i vettori accelerazione delle particelle sono funzioni delle sole coordinate.

L'energia potenziale Ã una grandezza definita a meno di una costante additiva arbitraria; aggiungere una qualsiasi costante non cambierebbe le equazioni del moto (Ã questo un caso particolare della non univocitÃ della funzione di Lagrange cui abbiamo accennato alla fine del $ 2). I l modo pi6 naturale e comunemente adottato per la scelta di questa costante consiste nel fare si che l'energia potenziale tenda a zero al crescere della distanza tra le particelle.

Se per la descrizione di un moto si ricorre non alle coordinate cartesiane ma a delle coordinate generalizzate arbitrarie qi, allora, per ottenere la funzione di Lagrange, si devono effettuare le seguenti trasformazioni:

Riportando queste espressioni nella funzione 1 L = ~ S ma 6: +i:+ ;a)- u ,

a

si ottiene la funzione di Lagrange cercata

38 CAPITOLO PRIMO

dove a& sono funzioni delle sole coordinate. L'energia cinetica in coordinate generalizzate resta sempre funzione quadratica delle velo- citÃ m a puÃ dipendere anche dalle coordinate.

Abbiamo parlato sinora d i sistemi isolati. Consideriamo ora un sistema A non isolato, interagente con un sistema B che compie un dato movimento. Si dice in questo caso che i l sistema A si muove in un dato campo esterno (creato dal sistema B). PoichÃ le equazioni del moto vengono dedotte dal principio di minima azione mediante una variazione indipendente d i ciascuna delle coordinate (considerando cioÃ note le altre coordinate), per trovare la funzione d i Lagrange LA del sistema A , possiamo, servirci della lagrangiana L dell'intero sistema A + B, sostituendo in essa le coordinate qB con funzioni date del tempo.

Supponendo i l sistema A + B isolato, abbiamo:

dove i due primi termini rappresentano le energie cinetiche dei siste- m i A e B, e i l terzo termine 6 l a loro energia potenziale comune. So- stituendo q. con funzioni date del tempo e tralasciando i l termine

T (qB ( t ) , is' t ) ) che dipende soltanto dal tempo (e che Ã quindi l a derivata totale d i un'altra funzione del tempo), otteniamo:

In t a l modo, i l moto d i un sistema in un campo esterno Ã descritto da una funzione d i Lagrange del tipo solito, con l a sola differenza che l'energia potenziale puÃ ormai dipendere dal tempo esplicitamente.

La forma generale della funzione di Lagrange per i l moto d i una partiftella in un campo esterno Ã

e l'equazione del moto

Se i n t u t t i i suoi punti una particella Ã sollecitata dalla stessa forza F i l campo si dice uniforme. L'energia potenziale in un tale campo evidentemente Ã

U = - Fr. (5,8)

Per concludere questo paragrafo, facciamo ancora la seguente osservazione sull'applicazione delle equazioni d i Lagrange ai diversi problemi concreti. Nella pratica s i incontrano spesso sistemi


meccanici in cui l'interazione fra i corpi (punti materiali) h a un carattere d i vincoli, cioÃ di limitazioni imposte alla disposizione reciproca dei corpi. In pratica, questi vincoli vengono creati fissando i corpi con varie aste, fili, cerniere. Questa circostanza introduce nel moto un fattore nuovo: i l moto dei corpi Ã accompagnato in questi casi da at t r i to nei punti d i contatto dei corpi, e i l problema esce,in generale, dai confini della meccanica pura (vedi $25). CiÃ nondimeno, l 'attrito in molti casi Ã cosi debole da poterne trascurare completamente l'effetto sul moto. Se si possono inoltre trascurare le masse degli Ã elementi vincolanti Ã del sistema, l'effetto d i quest'ultimi si riduce semplicemente ad una diminuzione del numero di gradi d i libertÃ s del sistema (rispetto a l numero 3 N ) . Per determinare i l moto del sistema dato, si puÃ ricorrere nuovamente al la forma (5,5) della funzione d i Lagrange con un numero d i coordinate generalizzate indipendenti, corrispondente a l numero effettivo dei gradi d i libertÃ

P R O B L E M I

Trovare la funzione di Lagrange dei seguenti sistemi collocati in un campo uniforme di gravitÃ (accelerazione di gravitÃ Ã g ) .

1. Pendolo doppio oscillante in un piano (fig. 1).

Fig. 1 Fig. 2

Soluzione. Come coordinate prendiamo gli angoli (pl e <p, formati'dai fili 4 ed I, con la verticale. Abbiamo allora per la particella m,:

1 ' T i =- r n i l M , U = - 2 m i g l i cm (pt.

Per trovare l'energia cinetica della seconda particella, esprimiamo le sue coordinate cartesiane x,, y, (l'origine delle coordinate Ã fissata nel punto di sospensione, l'asse y Ã diretto verticalmente verso i l basso) mediante gli angoli (p,, q,:

2% = li sen (pl 4- 1, sen q),. y, = l , cos (pi + l* cos (pÃˆ

Dopo di che otteniamo: . . T, =q M +i;) = A i IW+ l M + 2 1 1 i 2 cos ( ( p i - ^ (pi(p21.

40 CAPITOLO PRIMO

Infine:

2. Pendolo piano di massa m , il cui punto di sospensione (di massa ml) puÃ spostarsi su una retta orizzontale (fig. 2)

Soluzione. Introducendo la coordinata x del punto ml e l'angolo (p fra i l filo del pendolo e la verticale, otteniamo:

. . L z- ' + ,,l+ "1. ( l~, l+21Ãˆ< C 0 (p)+ m2g1 cos (p. 2

3. Pendolo piano i l cui punto di sospensione: a) si muove uniformemente lungo una circonferenza verticale con una

frequenza costante y (fig. 3); b) oscilla orizzontalmente secondo la legge a cos yt: C) oscilla verticalmente secondo la legge a cos yt.

Fig. 3 Fig. 4

S o l u z i o w . a) Coordinate del punto m:

x = a cos y t + I sen (p, y = -a sen yt + l cos q. Funzione di Lagrange:

m12 L = - e + mlay2 sen (-8 + mgl cos (p;

sono stati omessi qui i termini dipendenti soltanto dal tempo ed Ã stata eliminata la derivata totale rispetto al tempo di maly cos ((p - yt).

b) coordinate del punto m:

x = a cos yt + I sen (p, y = I cos (p.

Funzione di Lagrange (omesse le derivate totali):

mi2 L = - 2

<p2 + mlaya cos y t sen (p +mgl cos (p.

EQUAZIONI DEL MOTO

e) In modo analogo troviamo

m12 L = - (p=+ mlay2 cos "y cos (p + mgl cos (p;

4. Il sistema rappresentato nella fig. 4; i l punto m si muove lungo l'asse verticale, e tut to i l sistema ruota con una velocitÃ angolare costante Q intorno a questo asse.

Soluzione. Siano 0 l'angolo formato dal segmento a e la verticale, e cp l'angolo di rotazione del sistema intorno all'asse; (p = Q . Lo spostamento elementare per ciascuno dei punti m^ Ã d12 = a2d02 + a2 sen2 Od(p2. La distanza del punto m, dal punto di sospensione A Ã uguale a 2a cos 6, da cui d i , = -2 a sen 0 do. La funzione di Lagrange Ã

Capitolo I1

LEGGI DI CONSERVAZIONE

6. Energia

Se un sistema meccanico Ã animato da un moto, le 2s grandezze

q i e qi (i = 1, 2, . . ., s) che ne determinano lo stato, variano col tempo. Tuttavia, esistono funzioni di queste grandezze le quali conservano durante i l moto valori costanti che dipendono soltanto dalle condizioni iniziali. Tali funzioni sono dette integrali del moto.

Per un sistema meccanico isolato avente s gradi d i libertÃ i l numero di integrali del moto indipendenti Ã uguale a 2s - 1. CiÃ risulta evidente dalle semplici considerazioni seguenti. La soluzione generale delle equazioni del moto contiene 2s costanti arbitrarie (vedi pag. 30). PoichÃ le equazioni del moto di un sistema isolato non contengono esplicitamente i l tempo, la scelta dell'origine del tempo Ã arbitraria, e una delle costanti arbitrarie nella soluzione delle equazioni puÃ essere sempre scelta sotto forma di una costante additiva t. del tempo. Eliminando t + t. dalle 2s funzioni

qi = qi (t + O, Ci, - 7 c28-i),

qi = qi ( t -t- t09 Ci, C27 * ^28-l),

possiamo esprimere le 2s - 1 costanti arbitrarie Ci, C2, . . . . . . , sotto forma: d i funzioni di q e q che saranno integrali del moto.

CiÃ nondimeno, non tu t t i gli integrali del moto hanno un ruolo d i uguale importanza in meccanica. Tra questi ce ne sono alcuni la cui invarianza nel tempo ha un'origine assai profonda, connessa alle proprietÃ fondamentali dello spazio e del tempo, e cioÃ alla loro omo- geneitÃ ed isotropia. Tutte queste grandezze, dette conservative, hanno una proprietÃ generale importante: esse sono additivo, cioÃ il loro valore per un sistema composto di pih elementi, la cui interazione possa essere trascurata, Ã uguale alla somma dei valori per ciascuno degli elementi preso separatamente.

Ã precisamente la proprietÃ di additivitÃ che conferisce alle corrispondenti grandezze una parte di particolare importanza nella meccanica. Supponiamo per esempio che due corpi interagiscano per un certo intervallo d i tempo. PoichÃ© sia prima che dopo l'interazione,

LEGGI DI CONSERVAZIONE 4 3

ciascuno degli integrali additivi dell'intero sistema Ã uguale alla somma dei valori per i due corpi presi separatamente, le leggi di conservazione di queste grandezze permettono direttamente di trarre una serie di conclusioni inerenti allo stato dei corpi dopo l'interazione, se si conosce i l loro stato prima dell'interazione.

Cominciamo dalla legge di conservazione che deriva dalla omoge- neitÃ 'de tempo.

In virtfi di questa omogeneitÃ la funzione lagrangiana di un sistema isolato non dipende esplicitamente dal tempo. PerciÃ si puÃ scrivere la derivata totale rispetto a l tempo della funzione di La- grange nella forma seguente:

(se L dipendesse esplicitamente dal tempo, ali secondo membro del-

l'uguaglianza si dovrebbe aggiungere i l termine $). Sostituendo se- QL , si ottiene: condo le equazioni di Lagrange le derivate - con- - Qqi dt Qqi

ovvero

Da queste espressioni si vede che la grandezza

resta invariata nel corso del moto del sistema isolato, cioÃ essa Ã un'o dei suoi integrali del moto. Questa grandezza si chiama energia del sistema. L'additivitÃ dell'energia deriva direttamente dall'additivi- tÃ della funzione d i Lagranee mediante la quale essa Ã espressa linearmente secondo la (6,l).

La legge di conservazione dell'energia Ã valida non soltanto per sistemi isolati, ma anche per sistemi che si trovano in un campo esterno costante (cioÃ non dipendente dal tempo); infatti, la sola proprietÃ della funzione di Lagrange che abbiamo utilizzato nei nostri ragio- namenti, ossia la mancanza di una dipendenza esplicita dal tempo, sussiste anche in questo caso. I sistemi meccanici la cui energia si conserva sono detti talvolta conservativi.

44 CAPITOLO SECONDO

Come abbiamo visto nel Â 5, la funzione lagrangiana di un sistema isolato (o posto in un campo costante) ha la forma:

dove T Ã una funzione quadratica delle velocitÃ Applicando qui i l noto teorema di Eulero sulle funzioni omogenee, si ottiene:

Riportando questo valore nella (6,1), troviamo:

e in coordinate cartesiane:

Dunque, l'energia di un sistema puÃ essere presentata sotto forma di somma di due termini aventi una natura fisica sostanzialmente diversa: l'energia cinetica, che dipende dalle velocitÃ e l'energia potenziale dipendente solo dalle coordinate delle particelle-

$ 7. QuantitÃ di moto

Un'altra legge di conservazione appare in connessione con l'omogeneitÃ dello spazio.

In virtii di questa omogeneitÃ le proprietÃ meccaniche di un sistema isolato non cambiano in una traslazione parallela qualsiasi d i questo sistema nel suo insieme nello spazio. Consideriamo una traslazione infinitesima e e imponiamo che la funzione di Lagrange resti immutata.

Traslazione parallela significa una trasformazione in cui tu t t i i punti del sistema si spostano di uno stesso segmento, cioÃ¨ i loro- raggi vettori i,, 4 ra + E . La variazione della funzione L in seguito a una variazione infinitesima delle coordinate delle particelle, invariate restando le velocitÃ Ã

dove la sommatoria Ã estesa a tu t t i i punti materiali del sistema- Essendo e arbitrario, la condizione 6L = O Ã equivalente alla condi-

LEGGI DI CONSERVAZIONE 45

zione 9 L s ==o- (791)

a

Quindi, in forza delle equazioni di Lagrange (5,2), otteniamo:

Dunque, siamo giunti nico isolato la grandezza

resta invariata durante i l

alla conclusione che in un sistema mecca- vettoriale

moto. I l vettore P Ã detto ~uantitÃ di moto o impulso del sistema. Dalla derivazione della funzione di Lagrange (5 , l ) resulta che l'impulso si esprime mediante le velocitÃ dei punti nel modo seguente:

L'additivitÃ dell'impulso Ã evidente. Inoltre, l'impulso di un sistema, a differenza dell'energia, Ã uguale alla somma degli impulsi

delle singole particelle, indipendentemente dal fatto che la loro interazione sia trascurabile o no.

La legge di conservazione delle tre componenti del vettore impulso sussiste soltanto in assenza di campo esterno. Tuttavia, singole componenti dell'impulso possono conservarsi anche in presenza di un campo se l'energia potenziale in esso non dipende da qualcuna delle coordinate cartesiane. I n una traslazione lungo un asse coordi- nato corrispondente, le proprietÃ meccaniche del sistema evidentemente non cambiano, e in modo analogo, troveremo che la proiezione dell'impulso su questo asse si conserva. Cosi, in un campo uniforme, diretto lungo l'asse z, si conservano le componenti dell'impulso lungo gli assi x ed y.

L'uguaglianza iniziale (7,l) ha un semplice significato fisico. La 9L

derivata- = - xrappresen ta la forza Fa agente sulla a-esima 8% ara

particella. L'uguaglianza (7,1) significa quindi che la somma delle forze agenti su tutte le particelle di un sistema isolato Ã uguale a zero:

46 CAPITOLO SECONDO

In particolare, se s i t ra t ta d i un sistema composto soltanto d i d u e punti materiali, Fi + Fa = O, la forza agente sulla prima particella da parte della seconda Ã uguale in modulo, ma opposta in direzione alla forza agente sulla seconda particella da parte della prima. Que- s ta asserzione Ã nota sotto i l nome d i legge d i eguaglianza dell'azione e della reazione.

Se i l moto Ã descritto mediante coordinate generalizzate q,, le derivate della funzione lagrangiana rispetto alle velocitÃ generalizzate

QL Pi = 7

Qqi (795)

sono det te allora impulsi generalizzati, e le derivate

sono det te forze generalizzate. Le equazioni d i Lagrange si scrfvono- allora:

Gli impulsi generalizzati in coordinate cartesiane coincidono con le componenti dei vettori -pa. Nel caso generale, le grandezze p , sono funzioni lineari omogenee delle velocitÃ generalizzate ii che non si possono ridurre a semplici prodotti d i massa per velocitÃ

P R O B L E M A

Una particella di massa m, moventesi con velocitÃ vl passa da un semispazio deve la sua energia potenziale Ã costante ed uguale ad U1, in un altro semispazio dove questa energia 6 pure costante ma uguale ad U,. Determinare i l cambiamento di direzione del moto della particella.

Soluzione. L'energia potenziale non dipende dalle coordinate lungo gli assi paralleli al iano di separazione dei due semispazi. Per questo la roiezione dell'impulso delfa particella su questo piano si conserva. Siano vl e 1 , fe velocitÃ della particella prima e dopo l'attraversamento del piano, e 61 e 6, gli angoli formati da queste velocith con la normale al piano di separazione; otteniamo- allora v-, sen 6, = v, sen e*. Ma la relazione tra v, e % Ã data dalla legge d i conservazione dell'energia, da cui si ottiene in definitiva

$ 8. Centro di massa

L'impulso d i un sistema meccanico isolato h a valori diversi rispetto a sistemi di riferimento (inerziali) diversi. Se un sistema di riferimento K' si muove rispetto ad un altro sistema K con velocitÃ V, le velocitÃ V: e va delle particelle rispetto a questi sistemi sono legate dalla relazione va = V: + V. PerciÃ la relazione tra i valori P e P'


dell'impulso in questi sistemi Ã data dalla formula

In particolare, esiste sempre un sistema di riferimento K' in cui l'impulso totale Ã nullo. Ponendo nella (8,1) P' = O, troviamo che la velocitÃ d i questo sistema di riferimento Ã uguale a

Se l'impulso totale di un sistema meccanico Ã nullo, si dice allora che questo sistema persevera in quiete rispetto a l corrispondente sistema di riferimento. Questa Ã una espressione che generalizza in modo del tutto naturale i l concetto di quiete per un punto materiale isolato. Analogamente la velocitÃ V, data dalla formula (8,2), acquista i l significato di velocitÃ del Ã moto Ã di un sistema meccanico preso come un insieme indivisibile e avente un impulso differente da zero. Vediamo dunque che la legge di conservazione dell'impulso permette di formulare in maniera naturale i l concetto di quiete e di velocitÃ d i un sistema meccanico come insieme intero.

La formula (8,2) mostra che la relazione tra l'impulso P e la velo- citÃ V di un sistema nel suo insieme Ã identica alla relazione esistente tra l'impulso e la velocitÃ di un punto materiale di massa p = = 2 ma, uguale alla somma delle masse d i tutte le particelle punti- formi del sistema. Si puÃ esprimere questo fatto affermando l'additi- vita della massa.

I l secondo membro della formula (8,2) puÃ essere espresso come derivata totale rispetto al tempo dell'espressione

2j '"ara R=-â y, ma (8'3)

Si puÃ dire che la velocitÃ d i un sistema nell'insieme Ã la velocith di spostamento nello spazio di un punto i l cui raggio vettore Ã dato dalla formula (8,3). Questo punto Ã chiamato centro di massa del sistema.

Si puÃ formulare la legge di conservazione dell'impulso di un sistema isolato dicendo che i l suo centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme. In questa forma, la precedente affermazione rappresenta la generalizzazione della legge d'inerzia stabilita nel Â 3 per un punto 'materiale libero il cui (1 centro di massa Ã coincide con il punto stesso.

48 CAPITOLO SECONDO

Nello studio delle proprietÃ meccaniche di un sistema isolato Ã naturale servirsi di un sistema di riferimento in cui il centro d i massa persevera in quiete. Si esclude quindi la necessitÃ di considerare i l moto uniforme e rettilineo del sistema in blocco.

L'energia di un sistema meccanico perseverante in quiete in blocco solitamente si chiama energia interna Eint di questo sistema. Essa include in sÃ l'energia cinetica relativa al moto delle particelle nel sistema e l'energia potenziale della loro interazione. Quanto all'energia totale di un sistema che si muove in blocco con velocitÃ V, essa puÃ essere espressa nella forma:

Sebbene questa formula sia evidente, ne diamo perÃ una deduzione diretta. Le energie E ed E' di un sistema meccanico in due sistemi di riferimento K e K' sono legate dalla relazione

ossia

Questa formula definisce l a legge di trasformazione dell'energia nel - passare da un sistema di riferimento ad un altro; per l'impulso questa

legge Ã data dalla formula (8,l). Se nel sistema K' i l centro d i massa persevera in quiete, allora P' = O, E' = E\nt, e noi ritorniamo alla formula (8,4).

P R O B L E M A

Trovare la legge di trasformazione dell'azione quando si passa da un sistema di riferimento inerziale ad un altro.

Soluzione. La funzione di Lagrange Ã uguale alla differenza delle energie cinetica e otenziale. E evidente che essa si trasforma secondo una formula analoga alla (8,5), e cioh:

Integrando questa uguaglianza rispetto al tempo, troviamo la legge richiesta di trasformazione dell'azione:

dove R' Ã i l raggio vettore del centro di massa nel sistema K'.


5 9. Momento della quantitÃ di moto

Passiamo ora alla deduzione della legge di conservazione che deriva dall'isotropia dello spazio.

Questa isotropia significa che le proprietÃ meccaniche di un sistema isolato non cambiano, qualunque sia la rotazione nello spazio di tutto il sistema in blocco. Consideriamo pertanto il caso di una

Fig. 5

rotazione infinitesima del sistema ponendo la condizione che la funzione di Lagrange resti invariata.

Chiamiamo vettore della rotazione infinitesima 6 9 il vettore di modulo pari all'angolo d i rotazione 6rp e diretto come l'asse di rotazione (il verso della rotazione rispetto a l verso di 6<p risponde alla regola della vite).

Cerchiamo anzitutto a che cosa Ã uguale, in una tale rotazione, l'incremento del raggio vettore tracciato dalla origine delle coordinate (collocata sull'asse di rotazione) ad un qualunque punto materiale del sistema soggetto a rotazione. Lo spostamento lineare dell'estremo del raggio vettore Ã collegato con l'angolo dalla relazione

6 r I = r sen 8-6q

(fig. 5), mentre la direzione del vettore Ã perpendicolare a l piano passante per r e 69 . l3 chiaro quindi che

Nella rotazione del sistema cambia non solo la direzione dei raggi vettori, ma anche delle velocitÃ di tutte le particelle; tutt i i vettori inoltre si trasformano secondo la stessa legge. Per questo l'incremento

l) Nel presente volume per i l prodotto vettoriale di due vettori a e b Ã usato il simbolo [ab] mentre il prodotto scalare Ã indicato con ab (N. d. R.) .

50 CAPITOLO SECONDO

della velocitÃ rispetto a l sistema d i coordinate immobile Ã

Riportando queste espressioni nella condizione d'invarianza per rotazione della funzione lagrangiana

sostituiamo le derivate QL/9va == pa, QL/Qra = pa:

o, con uno scambio ciclico dei fattori e portando 6 0 fuori dal segno di somma, otteniamo:

Essendo 6cp arbitraria, segue che

in altri termini, siamo giunti alla conclusione che nel moto di un sistema isolato si conserva la grandezza vettoriale

detta momento della quantitÃ d i moto (o semplicemente momento) del sistema1). L'additivitÃ di questa grandezza Ã evidente. Per di pi6, essa, come nel caso dell'impulso, Ã indipendente dal fatto che s i abbia o meno interazione tra le particelle.

Con questo si esauriscono gli integrali del moto additivi. Quindi ogni sistema isolato ha in tutto sette integrali del moto di questo tipo: l'energia, le tre componenti del vettore impulso e le tre componenti del vettore momento angolare.

PoichÃ i raggi vettori delle particelle entrano nella definizione del momento, i l valore d i quest'ultimo dipende in generale dalla scelta dell'origine delle coordinate. I raggi vettori ra ed T; di uno stesso punto rispetto a due origini separate da una distanza a sono legati dalla relazione ra = r f a + a. Si ha quindi:

l) Si usa anche la denominazione Ã momento angolare D o Ã momento rotazionale D.


Da questa formula risulta che solo nel caso in cui i l sistema in blocco persevera in stato di quiete (cioÃ P = O), il momento angolare non dipende dalla scelta dell'origine delle coordinate. E evidente che questa indeterminazione del valore del momento angolare non influisce sulla legge di conservazione del momento perchÃ© per un sistema isolato, anche l'impulso s i conserva.

Stabiliamo ora una formula che lega i valori del momento angolare in due differenti sistemi d i riferimento inerziali K e K' dei quali il secondo si muove rispetto al primo con velocitÃ V. Partiremo dal- l'ipotesi che le origini delle coordinate nei sistemi K e K' coincidano ad un istante dato. Allora i raggi vettori delle particelle nei due sistemi sono uguali, e la relazione tra le velocitÃ Ã va = V: + V. Abbiamo quindi

La prima somma del secondo membro d i questa uguaglianza Ã momento M' nel sistema K'; introducendo nella seconda somma raggio vettore del centro di massa secondo la (8,3), otteniamo:

Questa formula definisce la legge di trasformazione del momento angolare nel passaggio da un sistema di riferimento ad un altro i n modo simile alle leggi analoghe per l'impulso e l'energia date dalle formule (8,1) e (8,5).

Se i l sistema di riferimento K' Ã quello in cui i l dato sistema meccanico Ã in quiete in blocco, V Ã la velocitÃ del centro di massa di questo sistema, e pV il suo impulso totale P (rispetto a K). Si ha allora:

M = M' + [RPI. (976)

In altri termini, i l momento angolare M di un sistema meccanico consta del suo Ã momento angolare intrinseco Ã rispetto al sistema d i riferimento nel quale esso persevera in quiete, e del momento [RP] legato al moto del sistema come insieme.

Sebbene la legge di conservazione delle tre componenti del momento (rispetto ad un'origine delle coordinate arbitraria) sussista soltanto per sistemi isolati, essa, in una forma pifi limitata, puÃ sussistere anche per sistemi collocati in un campo esterno. Dai ragio- namenti precedenti Ã evidente che s i conserva sempre la proiezione del momento su quell'asse rispetto a l quale il dato campo Ã simmetrico; di conseguenza, le proprietÃ meccaniche del sistema non cambiano, qualunque sia la rotazione intorno a questo asse; resta inteso, perÃ²

4*

52 CAPITOLO SECONDO

che il momento deve essere definito rispetto ad un punto (origine delle coordinate) situato su questo stesso asse.

Il caso pii3 importante di questo genere Ã quello d i un campo a simmetria centrale, cioÃ un campo in cui l'energia potenziale dipende soltanto dalla distanza da un punto (centro) determinato nello spazio. Ã evidente che durante il moto in un tale campo si conserva la proiezione del momento su ogni asse passante per i l centro. In altri termini, si conserva i l vettore momento M, ma solo se esso Ã definito, perÃ² rispetto non a un punto qualsiasi dello spazio, ma a l centro del campo.

Un altro esempio: un campo iniforme diretto come l'asse z nel quale si conserva la proiezione M, del momento, e l'origine delle coordinate puÃ essere scelta in modo arbitrario.

Osserviamo che la proiezione del momento angolare su un asse qualunque (chiamiamolo z ) puÃ essere ottenuta derivando la funzione d i Lagrange secondo la formula

dove q? Ã l'angolo di rotazione intorno all'asse z. CiÃ deriva chiaramente dallo stesso modo in cui abbiamo stabilito la legge d i conservazione del momento angolare, ma d i questo ci s i puÃ con- vincere con un calcolo diretto. In coordinate cilindriche r, q, z (ponendo xa = r a cos qa , ya = ra sen qa) abbiamo:

D'altra parte, la funzione d i Lagrange in queste variabili ha la forma

che, posta nella formula (9,7), dÃ la stessa espressione (9,8).

P R O B L E M I

1. Trovare le espressioni per le componenti cartesiane e per i l valore assoluto del momento angolare di una particella in coordinate cilindriche r, (p, z.

Risposta: . . Mx=msen<p(rz-zr)-mrzqcos cp, . . My = m cos (p(zr-rz)-mrzq sen q,

. . M2= mZrW (r2 +zz) +ma (rz -zr)2.

LEGGI D I CONSERVAZIONE

2. LO stesso problema in coordinate sferiche r , 0, <p. Risposta:

M ^ = -mr2 (6 sen (p + <p sen 0 cos 0 cos (p),

M y = mr2 (0 cos (p- q> sen 6 cos 0 sen (p),

3. Indicare le componenti dell'impulso P e del momento M che si conservano durante il moto nei campi seguenti:

a) Campo di un piano omogeneo indefinito. Risposta. P , P y , M, (il piano indefinito Ã i l piano x, y). b) Campo di un cilindro omogeneo indefinito. Risposta. M,. P, (l'asse del cilindro Ã l'asse 2).

C ) Campo di un prisma omogeneo indefinito. Risposta. P* (gli spigoli del prisma sono paralleli all'asse z) . d) Campo di due punti materiali. Risposta. M, (i punti sono situati sull'asse 2).

e) Campo d i un semipiano omogeneo indefinito. Risposta. Py (il semipiano indefinito Ã una parte del piano x, y limitato

dall'asse y). f ) Campo di un cono omogeneo. Risposta. M, (l'asse del cono Ã l'asse 2 ) .

g) Campo di un toro circolare omogeneo. Risposta. M, (l'asse del toro Ã l'asse 2).

h) Campo d i un'elica cilindrica omogenea indefinita. Soluzione. La funzione di Lagrange non varia in una rotazione di un

angolo &(p intorno all'asse dell'elica (asse 2 ) accompagnata da una traslazione h

lungo questo asse di una distanza -6q (h Ã i l passo dell'elica). Pertanto 2n

QL 8~ il=-&+- az &(p=

Q9 quindi

h M*+-Pz= 2n costante.

$ 10. Simili tudine meccanica

Se si moltiplica funzione d i Lagrange per una costante arbitraria non si alterano le equazioni del moto. Grazie a questa circostanza (giÃ notata nel $ 2) Ã possibile, in alcuni casi importanti, trarre alcune conclusioni sostanziali inerenti alle proprietÃ del moto, senza eseguire di fat to l'integrazione delle equazioni del moto.

Per esempio, casi simili s i hanno quando l'energia potenziale Ã una funzione omogenea delle coordinate, cioÃ una funzione che soddisfa la condizione

k U (ari, a r a , . . ., a i n ) = a U (rl, ra, . . ., rn), (10,l)

54 CAPITOLO SECONDO

dove a Ã una costante qualunque, e i l numero k i l grado di omogenei- tÃ della funzione.

Eseguiamo sulle variabili le trasformazioni seguenti: moltipli- chiamo tutte le coordinate per una stessa costante a e i l tempo per un'altra costante arbitraria p:

Tutte le velocitÃ v a = Ã variano allora di cx/p volte, e l'energia - - cinetica d i a2/(i2 volte. L'energia potenziale viene invece moltiplica- t a per ah. Se a e (i sono legate dalla condizione

h a2 i - - -- P2

-ak , cioÃ fJ=a 2 ,

allora, per questa trasformazione, la funzione di Lagrange sarA globalmente moltiplicata per i l fattore costante a', cioÃ le equazioni del moto restano invariate.

Moltiplicare tut te le coordinate delle particelle per uno stesso numero significa passare da determinate traiettorie ad altre geometricamente simili alle prime e da queste differenziantisi soltanto per le dimensioni lineari. Siamo giunti dunque alla seguente conclusione: se l'energia potenziale d i un sistema Ã una funzione omogenea di k-esimo grado delle coordinate (cartesiane), le equazioni del moto ammettono allora traiettorie geometricamente simili; tut t i i tempi del moto (presi in punti corrispondenti delle traiettorie) stanno t ra loro nel rapporto

dove VII Ã i l rapporto delle dimensioni lineari di due traiettorie. Insieme con i tempi, stanno nel rapporto l'Il elevato a una determinata potenza anche i valori di tut te le grandezze meccaniche nei corrispondenti punti delle traiettorie nei corrispondenti istanti. Cosi per la velocitÃ l'energia e i l momento angolare si ha

Diamo qualche esempio per illustrare questo fatto. Come vedremo p i ~ avanti, nel caso delle piccole oscillazioni,

l'energia potenziale Ã una funzione quadratica delle coordinate (k = 2). La formula (10,2) mostra che i l periodo di queste oscillazioni non dipende dalla loro ampiezza.


In un campo d i forze uniforme, l'energia potenziale Ã¨un funzione lineare delle coordinate [vedi (5,8)1, cioÃ k = 1. Dalla (10,2) abbiamo

Da questa uguaglianza segue, per esempio, che nella caduta dei gravi i quadrati dei tempi di caduta sono proporzionali alle altezze da cui i corpi cadono.

Nell'attrazione newtoniana d i due masse, o nell'interazione coulombiana d i due cariche, il'energia potenziale Ã inversamente proporzionale al la distanza tra le particelle; in altri termini, essa Ã una funzione omogenea d i grado k = -1. In questi casi

t'

e noi possiamo affermare, per esempio, che i quadrati dei tempi di rivoluzione di corpi sulle loro orbite sono proporzionali a i cubi delle dimensioni di quest'ultime (terza legge di Keplero).

Se il moto d i un sistema, l a cui energia potenziale Ã una funzione omogenea delle coordinate, avviene in una regione limitata dello spazio, esiste sempre una relazione assai semplice fra i valori medi, rispetto al tempo, dell'energia cinetica e dell'energia potenziale; essa Ã nota sotto i l nome d i teorema del viriate.

PoichÃ l'energia cinetica T Ã una funzione quadratica delle velo- citÃ s i ha, in v i r t ~ del teorema di Eulero sulle funzioni omogenee:

8T ossia, introducendo gli impulsi aTa = pa:

Prendiamo l a media rispetto al tempo d i questa uguaglianza. Si chiama valore medio d i una funzione qualunque del tempo f ( t ) la grandezza

T

7 = limi ( (t) itt. T+- o

W ) l3 facile vedere che se .j (t) Ã la derivata rispetto a l tempo f ( t ) =

di una funzione limitata F ( t ) (cioÃ di una funzione che non assume valori infiniti), allora i l suo valore medio si annulla. Infatti ,

= l i m a T- W ( ~ d t - l i r n F ( t ) - F (0) =o, T* m T

o

56 CAPITOLO SECONDO

Supponiamo che un sistema si muova in una regione finita dello spazio e con velocitÃ non tendenti all'infinito. Allora la grandezza /, rnpa Ã limitata, e i l valore medio del primo termine del secondo membro dell'uguaglianza (10,4) si annulla. Sostituendo nel secondo - -

su termine, conformemente alle equazioni di Newton, pa con - -

ara si ottiene1):

Se l'energia potenziale Ã una funzione omogenea di A-esimo grado di tutt i i raggi vettori ra, allora secondo i l teorema di Eulero l'uguaglianza (10,5) si trasforma nella relazione cercata

2T= kÃ¹ (10'6)

Siccome + = E = E, si puÃ scrivere la relazione (10'6) nelle forme equivalenti :

dove a e T sono espresse mediante l'energia totale del sistema. In particolare, per le piccole oscillazioni (A = 2) si ha: -

T = o, cioÃ i valori medi delle energie cinetica e potenziale sono uguali. Per l'interazione newtoniana (k = -I):

2T= -D. -

In questo caso E = -T, in connessione con i l fatto che per questa interazione il moto avviene in una regione finita dello spazio soltan- to se l'energia totale Ã negativa (vedi il Â 15).

P R O B L E M I

1. In che rapporto stanno i tempi di moto su traiettorie identiche di particelle con masse diverse, a paritb di energia potenziale?

Risposta:

t' t

2. Come cambiano i tempi di moto su traiettorie uguali cambiando l 'energia potenziale di un fattore costante?

R is~osta:

l) L'espressione al secondo membro dell'uguaglianza (10,5) Ã chiamata talvolta viriale del sistema.

Capitolo I I I

INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO

$ 11. Moto unidimensionale

Si chiama unidimensionale il moto d i un sistema con un solo gra-- do di libertÃ La forma pifi generale della funzione lagrangiana per un tale sistema, soggetto a condizioni esterne costanti, Ã

dove a (q) Ã una funzione della coordinata generalizzata q. In particolare, se q Ã una coordinita cartesiana (chiamiamola x),

mx2 L:=-- U ( x ) . (11,2),

Le equazioni del moto corrispondenti a queste funzioni lagrangia- ne s i integrano in forma generale. Per questo non occorre neppure- scrivere l'equazione stessa del moto; conviene partire direttamente dal loro integrale primo, cioÃ dall'equazione che esprime l a legge d i conservazione dell'energia. Cosi, per la funzione d i Lagrange (11,2), abbiamo:

Questa Ã un'equazione differenziale del primo ordine che si integra- per separazione delle variabili. S i ha

da cui

+ costante. VEÃ‘UÃ

La parte delle due costanti arbitrarie nella soluzione delle equazioni del moto Ã qui tenuta dall'energia totale E e dalla costante d'integrazione.

PoichÃ l'energia cinetica Ã una grandezza sostanzialmente positiva, durante i l moto l'energia totale Ã sempre maggiore dell'energia~

58 CAPITOLO TERZO

potenziale, cioÃ il moto puÃ avvenire soltanto nelle regioni dello spazio dove U (x) <E.

Supponiamo, ad esempio, che la funzione U (x) abbia l'andamento rappresentato nella fig. 6. Se tracciamo su questo grafico una retta orizzontale corrispondente ad un valore dato dell'energia totale, vedremo subito quali sono le regioni possibili di moto. Cosi,

Fig. 6

nel caso della fig. 6, i l moto puÃ effettuarsi soltanto in AB o regione a destra di C.

1 punti nei quali l'energia potenziale Ã uguale all'energia totale

fissano i limiti del moto. Questi sono i punti d'arresto in quanto l a velocitÃ in essi Ã nulla. Se la regione del moto Ã limitata da due questi punti, il moto avviene in una regione limitata dello spazio; si dice allora che esso Ã finito. Se invece la regione de'l moto Ã illi- mitata o limitata soltanto da un lato, il moto Ã detto infinito, la particella se ne va all'infinito.

Un moto unidimensionale finito Ã oscillatorio: la particella compie un moto di andirivieni periodico tra due limiti (nella fig.. 6, nella buca di potenziale AB t ra i punti xl ed xo). Tenendo conto della proprietÃ generale d i reversibilitÃ (pag. 37), i l tempo del moto da xl ad x2 Ã uguale al tempo del moto inverso da x2 ad xr Di conseguenza, il periodo delle oscillazioni T, cioÃ il tempo impiegato dal punto per andare da x1 ad x2 e ritornare in xi, Ã uguale al doppio del tempo necessario per percorrere i l segmento XG~, oppure secondo la (11,3),

'dove i limiti x-, ed x2 sono radici dell'equazione (11,4) per un valore -dato di E. Questa formula esprime il periodo del moto in funzione dell'energia totale della particella.

INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO 59

P R O B L E M I

1. Determinare il periodo delle oscillazioni di un pendolo matematico piano (un punto m all'estremitÃ di un filo di lunghezza I in un campo di gravitÃ in funzione della loro ampiezza.

Soluzione. L'energia del pendolo 6

dove Ã l'angolo di scostamento del filo dalla verticale; cpn Ã l'angolo massimo. ~ s s e n l o i l periodo uguale al tempo quadruplicato impiegato per i l percorso da O a q,, si ha :

<p Ponendo sen -/seri 9 = sen E, questo integrale diventa 2 2

dove

Ã il cosiddetto integrale ellittico completo di prima specie. Nel caso delle

piccole oscillazioni (sen 9 Ã 3 < i ) , lo sviluppo della funzione K (li} ci dÃ 2 2 1 r=2./"- (i+Ã£v; ...).

I l primo termine di questa serie corrisponde alla ben nota formula elementare. 2. Determinare i l eriodo delle oscillazioni in funzione dell'energia di una

particella di massa m che si muove in un campo in cui l'energia potenziale Ã a) U = A 1 x I n . Risposta:

Ponendo yn = u , l'integrale si riduce ad un integrale euleriano I3 che si esprime mediante le funzioni r:

2 w r ( i ) 1 - 1 T- 1 1

E" 2 .

n ~ ~ ~ ~ r (;-t--)

La dipendenza di T da E Gin accordo con la legge della similitudine meccanica (10,2), (10,3).

CAPITOLO TERZO

Un b) U = - - chzax'

Risposta:

C) U = Un tg2 UX. Risposta:

$ 12. Determinazione dell'energia potenziale dal periodo delle oscillazioni

Vediamo fino a che punto Ã possibile ristabilire l a forma U (x) dell'energia potenziale del campo nel quale una particella compie un moto oscillatorio, partendo dalla conoscenza della dipendenza del

Fig. 7

periodo T dall'energia E. Da un punto d i vista matematico si trat ta d i risolvere l'equazione integrale (11,5) nella quale U (x) Ã considerata funzione incognita, e T (E) funzione nota.

Supponiamo a priori che la funzione cercata U (x) abbia un solo minimo nella regione considerata dello spazio, e non prendiamo in considerazione l a questione dell'esistenza di soluzioni dell'equazione integrale che non soddisfino la nostra condizione. Per ragioni di comoditÃ scegliamo come origine delle coordinate i l punto in cui l'energia potenziale Ã minima, ponendo i l valore d i quest'ultima in questo punto uguale a zero (fig. 7).

Trasformiamo l'integrale (11,5), considerando in esso la coordina- t a x quale funzione di U. La funzione x (U) Ã biunivoca: a ciascun valore dell'energia potenziale corrispondono due valori differenti di x. Di conseguenza, l 'integrale (11,5), nel quale sostituiamo

dx dx con - dU, diventa una somma di due integrali: da x = x1 ad dU


x = O, e da x = O ad x = 2%; indicheremo la dipendenza d i x da U in questi due regioni rispettivamente con x = x1 (U) ed x = xa (U).

Gli estremi d'integrazione in dU saranno, evidentemente, E e O, e, di conseguenza, otteniamo:

Dividendo i due membri d i questa uguaglianza per fi - E, dove a Ã un parametro, e integrando rispetto a E da O ad a , abbiamo:

ossia, cambiando l'ordine d'integrazione:

L'integrale in dE Ã elementare e risulta uguale a n. Dopo di che l'integrazione in dU diventa banale e dÃ

T ( E ) d E = n v% [x2 (a) -q (a)]

o

(si Ã tenuto conto che x2 (0) = xi (0) = 0). Sostituendo ora la lettera a con U, troviamo infine:

Cosi, dalla conoscenza della funzione T (E), si determina la differenza x2 (U) - xi (U). Quanto alle funzioni x2 (U) e xi (U), esse restano indeterminate. Questo significa che esiste non una sola, ma una molteplicitÃ infinita d i curve U = U (x) che portano a una data dipendenza del periodo dall'energia e che differiscono l'una dall'al- t ra per deformazioni che non alterano l a differenza di due valori d i x corrispondenti a uno stesso valore d i U .

La molteplicitÃ delle soluzioni scompare se s i impone che la curva U = U (x) sia simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, cioÃ

62 CAPITOLO TERZO

che sia: x2 ( U ) - -2, (Â£7 = x ( U ) .

In questo caso la formula (12,l) dÃ per x (U) l'espressione univoca u

x ( U ) = 1 T ( E ) d E

25cv% -'

13. Massa ridotta

il problema particolarmente importante del moto di un sistema composto di due particelle interagenti (problema dei due corpi) dmmette una soluzione completa in forma generale.

Come passo preliminare alla soluzione di questo problema, mostriamo come Ã possibile semplificarlo sostanzialmente separando i l moto del sistema in moto del centro d i massa e moto dei punti materiali rispetto a quest'ultimo.

L'energia potenziale d'interazione di due particelle dipende soltanto dalla distanza tra di loro, cioÃ dal valore assoluto della difle- renza tra i loro raggi vettori. PerciÃ la funzione lagrangiana di un tale sistema Ã

mi i l m2rj L = - 2 +T-Â£7(lri-r21) (13,l)

Sia r = rl - r2

i l vettore della distanza che separa i due punti; poniamo l'origine delle coordinate al centro di massa i l che ci dÃ

miri + m2r2 = 0.

Dalle due ultime uguaglianze otteniamo:

Riportando queste espressioni nella (13.1), otteniamo:

dove

Ã una grandezza chiamata massa ridotta. La funzione (13,3) coincide formalmente con la funzione di Lagrange di un punto materiale di massa m che si muove in un campo esterno U ( T ) simmetrico rispetto all'origine immobile delle coordinate.


Cosi, i l problema del moto di due punti materiali interagenti si riduce a l problema del moto d i un punto materiale in un campo esterno dato U (r). La soluzione r = r (t) d i questo problema permette di determinare separatamente, mediante la formula (13,2), le traiettorie r, == ri (t) e rn = ra (t) (rispetto a l centro d i massa) per ciascuna delle due particelle m= e m^.

Un sistema Ã composto di una particella di massa M e di n particelle di massa m. Eliminare i l moto del centro di massa e ridurre i l problema a quello del moto di n particelle.

Soluzione. Siano R i l raggio vettore della particella M ed Ra (a = 1, 2, . . . . . n) i raggi vettori delle particelle di massa m. Introduciamo le distanze della particella M dalle particelle m

e come origine delle coordinate prendiamo i l centro di massa:

M R + ~ X Ra=O. a

Da queste uguaglianze otteniamo:

dove p = M + nm. Riportando queste espressioni nella funzione di Lagrange

a otteniamo:

dove v s ra. L'energia potenziale dipende soltanto dalle distanze tra le particelle e puÃ

quindi essere rappresentata come funzione dei vettori ra.

$14. Moto in un campo centrale

Nel ridurre il problema del moto dei due corpi a l problema del moto d i un corpo, ci siamo venuti a trovare d i fronte a l problema della determinazione del moto di una particella in un campo esterno in cui l'energia potenziale della particella dipende soltanto dalla distanza r da un dato punto fisso; un tale campo Ã detto centrale. La forza

64 CAPITOLO TERZO

agente sulla particella, dipende anch'essa, in valore assoluto, da r ed Ã diretta in ogni punto come i l raggio vettore.

Come giÃ Ã stato detto nel 3 9, durante i l moto in un campo centrale i l momento angolare del sistema rispetto a l centro del campo si conserva. Per una particella questo momento angolare Ã

PoichÃ i vettori M ed r sono mutuamente perpendicolari, la costanza d i M significa che durante i l moto della particella i l suo raggio vettore resta sempre in uno stesso piano perpendicolare ad M.

In t a l modo la traiettoria d i una particella che si muove in un campo centrale giace tu t ta in un solo piano. Introducendo le coordinate polari r , q, la funzione di Lagrange assume la forma [vedi (4,5)] :

Questa funzione non contiene in modo esplicito la coordinata q. S i chiama ciclica ogni coordinata generalizzata qi che non appare in modo esplicito nella funzione d i Lagrange. I n virtii dell'equazione lagrangiana, per ogni coordinata ciclica qi si ha:

. - cioÃ l'impulso generalizzato corrispondente p , = 9L/9qi Ã un integrale del moto. Questa circostanza porta ad una semplificazione sostanziale del problema dell'integrazione delle equazioni del moto nel caso in cui esistano le coordinate cicliche.

Nel caso considerato l'impulso generalizzato

coincide con il momento angolare Mz = M [cfr. (9,6)1 e cosi ritro- viamo la legge, che giÃ conosciamo, d i conservazione del momento angolare

Notiamo, che per i l moto piano d i una particella in un campo centrale, questa legge ammette un'interpretazione geometrica semplice. L'e-

1 spressione T r -F dq rappresenta l area del settore formato dai due raggi vettori infinitamente vicini e da un elemento d'arco della traiettoria (fig. 8). Indicando questa superficie con df, il momento angolare della particella assume la forma:


dove la derivata / Ã detta velocitÃ areolare. La conservazione del momento angolare implica dunque la costanza della velocitÃ areolare: in uguali intervalli di tempo il raggio vettore della particella in moto descrive aree uguali (seconda legge di Keplerol)).

La soluzione completa del problema del moto di una particella in un campo centrale si ottiene p i ~ semplicemente se si parte dalle

Fig. 8

leggi di conservazione dell'energia e del momento angolare senza

neanche scrivere le equazioni stesse del moto. Esprimendo q~ in funzione di M con la (14,Z) e riportando questo valore nell'espressione dellyenergia7 otteniamo:

E=?(* 2 r 2 + r 2 $ ) t u ( r ) = T + Ã ‘ Ã ‘ , + u ( r mr2 M* (1434)

Da cui

oppure, separando le variabili ed integrando: dr t = j +costante.

M2 (14,6)

f E - u p ~ j - - m2r2

Scrivendo poi la (14,Z) nella forma M d ~ p =- mra dt Y

ponendovi dt dalla (14,5) e integrando, otteniamo:

Le formule (14,6) e (14,7) danno la soluzione generale del problema posto. La seconda di queste formule determina la relazione tra r e q, cioÃ l'equazione della traiettoria. La formula (14,6) determina

1) La legge di conservazione del momento angolare per una particelle in moto in un campo centrale si chiama talvolta integrale delle aree.

5-0563

66 CAPITOLO TERZO

invece, in modo implicito, la distanza r dal centro del punto in moto come funzione del tempo. Notiamo che l 'ang~lo (p varia sempre col tempo in modo monotono: risulta chiaramente dalla (14,2) che i non cambia mai di segno.

L'espressione (14,4) mostra che la parte radiale del moto si puÃ considerare come un moto lineare in un campo con energia potenziale u efficace Ã

La grandezza M^ftmr2 Ã detta energia centrifuga. I valori di r per i quali

M* U (r) + 7 E 2mr

determinano i confini della regione del moto per quanto riguarda la distanza dal centro. Se l'uguaglianza (14,9) Ã soddisfatta la velocitA radiale r si annulla. CiÃ non significa che la particella si fermi (come avviene in un vero moto unidimensionale), poichÃ la velo~itÃ ~ango -

lare (p non si annulla. L'uguaglianza r = O significa un u punto di svolta Ã della traiettoria in cui la funzione r ( t ) da crescente diventa decrescente o viceversa.

Se la regione della variazione di r Ã limitata dalla sola condizione r a m i l i , il moto della particella Ã infinito: la sua traiettoria pro- viene dall'infinito e torna all'infinito.

Se la regione della variazione di r ha invece due limiti, rmin e rmax, i l moto Ã finito e la traiettoria giace interamente in una corona limitata dalle circonferenze r = rmax e r = rmh. CiÃ non significa, perÃ² che la traiettoria sia necessariamente una curva chiusa. Nell'intervallo d i tempo in cui r varia da rmar a rmin e di nuovo a r m a x , i l raggio vettore ruota di un angolo Acp che, conformemente alla (14,7), Ã

"max M - dr A 9 = 2 ( r2

1 M* (14910) rmin 2rn (E- U) --

r=

PerchÃ la traiettoria sia chiusa Ã necessario che questo angolo sia una frazione razionale di 2n, sia cioÃ uguale a A(p = 2nm/n, dove m ed n sono numeri interi. Allora, dopo n ripetizioni di questo periodo di tempo, i l raggio vettore del punto, dopo aver fatto m giri completi, riprenderÃ il suo valore iniziale, cioÃ la traiettoria si chiude.

Casi d i questo genere sono tuttavia eccezionali, e per una forma U (r) arbitraria l'angolo A(p non Ã una frazione razionale di 2n. Per questo la traiettoria di un moto finito generalmente non Ã chiusa. Essa passa infinite volte alladistanza minima e a quella massima


dal centro (come, per esempio, nella fig. 9), e, in un tempo, infinito, ricopre tutta la corona compresa tra le due circonferenze limite.

Esistono soltanto due tipi d i campo centrale in cui tutte le traiettorie dei moti finiti sono chiuse. Sono i campi in cui l'e- nergia potenziale della particella Ã proporzionale a o r o a r2.11 primo di questi casi verrÃ esaminato nel prossimo paragrafo, e i l secondo corrisponde al cosiddetto oscillatore spaziale (vedi problema 3 del 3 23).

In un punto di svolta, la radice quadrata della (14,5)i(cosi come le espressioni integrande nella (14,6) e nella (14,7)) cambia di segno. Se

si misura l'angolo q> a partire dalla direzione di un raggio vettore terminante in un punto di svolta, le porzioni della traiettoria facenti capo, da parti opposte, a questo punto differiranno, per valo- r i di r uguali, solo per il segno di (p; questo significa che la traiettoria Ã simmetrica rispetto alla direzione indicata. Partendo, per esempio, da uno dei punti r = rmas, si percorre la porzione di traiettoria fino a l punto r = rmin, poi si ha una porzione disposta simmetricamente fino al successivo punto r = rm e via di seguito; in altre parole, l'intera traiettoria si ottiene ripetendo in andata e in ritorno porzioni uguali. CiÃ avviene anche per le traiettorie infinite le quali sono formate da due rami simmetrÃ¬c che si estendono dal punto di svolta /Â¥mi fino all'infinito.

L'esistenza di un'energia centrifuga (per un moto in cui M # O), tendente all'infinito come 1/r2 quando r + O, rende generalmente impossibile la penetrazione delle particelle nel centro del campo, anche se questo Ã di per sÃ stesso un centro d'attrazione. La Ã caduta Ã

di una particella nel centro Ã possibile soltanto nel caso in cui l'energia potenziale tende con sufficiente rapiditÃ verso - W per'r -+ O!

5 *

CAPITOLO TERZO

Dalla disuguaglianza

mr 2 M2 -= E - U ( r ) - - > O

2 2mr2

segue che r puÃ prendere valori tendenti a zero soltanto se

cioÃ U ( r ) deve tendere verso -00 come - a/r2 dove a> &12j2m, oppure proporzionalmente a - l / rn dove n > 2.

P R O B L E M I

1. Integrare le equazioni del moto di un pendolo sferico, cioÃ di un punto materiale m che si muove sulla superficie di una sfera di raggio l in un campo di gravitÃ

Soluzione. In coordinate sferiche, ponendo origine nel centro della sfera e dirigendo l'asse polare verticalmente verso il basso, la funzione di Lagrange del pendolo Ã

m12 L-- 2

(02 + sen2 O (EÂ¶ + mgl cos 6 .

La coordinata q) Ã ciclica, e perciÃ l'impulso generalizzato pm, che coincide con l a componente z del momento angolare, si conserva:

m12 sen2 O. (p = M z = costante. L'energia Ã

Ricavando di qui 0 e separando le variabili, si ottiene:

dove Ã stata introdotta Ã l'energia potenziale efficace Ã

M i uefr (0) = 2h sen2 O - mgz cos o.

Utilizzando la (i), troviamo per l'angolo (p:

Gli integrali (3) e (4) si riducono ad integrali ellittici di prima e di terza specie, rispettivamente.


La regione del moto per l'angolo 9 Ã determinkta dalla condizione E > Uen, ed i suoi limiti si trovano dall'equazione E = Uett. Quest'ultima Ã un'equazione di terzo grado in cos 8, avente due radici nell'intemallo compreso tra -1 e +l; queste radici determinano la posizione di due circonferenze parallele sulla sfera tra le uali Ã compresa tutta la traiettoria.

2. Integrare l e equazioni del moto di un punto materiale che si muove sulla superficie di un cono (angolo al vertice Ã 2a), posto verticalmente con il vertice verso i l basso, in un campo di gravitÃ

Soluzione. In coordinate sferiche (origine nel vertice del cono ed asse polare diretto verticalmente verso l'alto) la funzione di Lagrange Ã

La coordinata <p Ã ciclica e perciÃ anche in questo caso si conserva la grandezza

MÃ mr2 sen2 a - cp. L'energia Ã

Analogamente a l procedimento usato per i l problema 1, troviamo:

La condizione E'= Ueft (r) rappresenta (per M # 0) un'equazione di terzo grado in r avente due radici positive; queste radici determinano la posizione di due circonferenze orizzonta i sulla superficie del cono tra le quali Ã compresa la traiettoria.

3. Inte rare le equazioni del moto di un pendolo piano i l cui punto di sospensione (di massa mi) puÃ spostarsi orizzontalmente (vedi fig. 2)

Soluzione. Nella funzione di Lagrange, trovata nel roblema 2 del 3 5, la coordinata x Ã ciclica. Per questo, si conserva l'impulso generalizzato PÃ che coincide con la componente orizzontale dell'impulso totale del sistema:

Pf=x (mi+ m x+ mÃˆ l cos <p = costante. (1)

Si puÃ sempre considerare i l sistema come un insieme che persevera in quiete; in questo caso, la costante Ã nulla e l'integrazione dell'equazione (1) dÃ la relazione

(mi + ma) a: + mal sen <p = costante, (2)

che es rime l'immobilitÃ del centro di massa del sistema nella direzione orizzontale. Partendo dalla (i), si ottiene l'energia nella forma

70 CAPITOLO TERZO

Donde

Esprimendo mediante la (2) le coordinate x* = x + I sen q., ed y, = = / cos q della particella m, in funzione di (D, troviamo che la traiettoria di questa particella rappresenta un arco d'ellisse con semiasse orizzontale uguale a lm,l(ml + m ) e semiasse verticale uguale a 1. Quando mi ->Â oo, si ritrova l'usuale matematico oscillante secondo un arco di circonferenza.

$15 . Il problema di Keplero

L'esempio pi6 importante d i campi centrali Ã quello di un campo in cui l'energia potenziale Ã inversamente proporzionale ad r e, rispettivamente, le forze sono inversamente proporzionali a ra. il

Fig. 10

caso dei campi newtoniani di gravitÃ e dei campi coulombiani elet- trostatici. I primi, come Ã noto, hanno carattere attrattivo, e secondi possono essere sia attrattivi che repulsivi. ' Consideriamo anzitutto un campo d'attrazione in cui

dove la costante a e positiva. I l grafico dell'energia potenziale u efficace Ã

a M* uw=--+- r 2mra (1592)

6 della forma indicata nella fig. 10. Per r -P O, essa tende verso + oo, e per r + oo tende a zero per valori negativi; per r = W a r n essa


ha un minimo uguale a azm

(Uettfaiin = - 2 ~ / 2 (15'3)

Risulta direttamente da questo grafico che per E > O il moto della particella sarÃ infinito, e finito per E <O.

La forma della traiettoria Ã determinata dalla formula generale a (14'7). Riportando in essa U = - - ed eseguendo un'integrazione

elementare, s i ottiene: M ma r

o) = arccos M + costante. &,E+%

Scegliendo l'origine dell'angolo cp in modo tale che la costante sia nulla e introducendo le notazioni

possiamo scrivere la formula della traiettoria come segue:

Questa Ã l'equazione di una sezione conica avente per fuoco l'origine delle coordinate; p ed e sono detti rispettivamente parametro e eccen- tricitÃ dell'orbita. Come si vede dalla (15,5), la scelta dell'origine d i <p Ã tale che i l punto in cui cp = O Ã i l pi6 vicino a l centro (questo punto Ã detto perielio dell'orbita).

Nel problema equivalente dei due corpi interagenti secondo la legge (15,1), l 'orbita di ciascuna delle particelle rappresentauna sezione conica avente per fuoco il centro di massa comune.

Dalla (15,4) si vede che per E < O l'eccentricitÃ Ã minore d i 1, cioÃ l'orbita Ã un'ellisse (fig. H) e i l moto Ã finito conformemente a quanto detto all'inizio d i questo paragrafo. Secondo note formule della geometria analitica, i l semiasse maggiore a e il semiasse minore b sono dati da

11 valore minimo ammissibile* dell'energia coincide con l a (15,3), e in questo caso si ha e = O, cioÃ l'ellisse si trasforma in un cerchio. Notiamo che i l semiasse maggiore dell'ellisse dipende soltanto dal- l'energia (e non dal momento angolare) della particella. Le distanze minima e massima dal centro del campo (fuoco dell'ellisse) sono

72 CAPITOLO TERZO

Queste espressioni (con a ed e sostituite mediante l a (15,6) e la (15,4)) si potrebbero evidentemente ottenere direttamente come radici del- l'equazione Uett ( r ) == E.

E comodo determinare i l tempo d i rivoluzione sull'orbita ellitti- ca, cioÃ il periodo del moto T, per mezzo della legge di conservazione

Fig. 11

del momento angolare nella forma dell'Ã integrale delle aree Ã (14,3). Integrando questa uguaglianza rispetto al tempo da zero a T, si ottiene:

2mf = TM,

dove / Ã l'area racchiusa dall'orbita. Per l'ellisse f = nab, e mediante le formule (15,6) s i ottiene:

I l fat to che i l quadrato del periodo dovesse essere proporzionale al cubo delle dimensioni lineari dell'orbita era giÃ stato mostrato nel $ 10. Notiamo ancora che i l periodo dipende solo dall'energia della particella.

Per E ^> O i l moto Ã infinito. Se E > O, l'eccentricitÃ e > 1, cioÃ la traiettoria Ã un'iperbole che contorna i l centro del campo (fuoco), come Ã indicato nella fig. 12. La distanza del perielio dal centro Ã

dove

Ã i l Ã semiasse Ã dell'iperbole. Se invece E = O, l'eccentricitÃ e = 1, la particella percorre una

parabola con distanza d i perielio rmin == p/2. Questo caso si ha allor- chÃ la particella comincia i l suo moto da uno stato di quiete all'infinito.


La relazione t ra le coordinate d i una particella in moto su un'orbita e i l tempo puÃ essere trovata con l'aiuto della formula generale

Fig. 12

(14,6). Per essa esiste una forma parametrica pifi comoda a cui si puÃ giungere nel modo seguente.

Consideriamo anzitutto orbite ellittiche. Sostituendo a ed e secondo la (15,4) e la (15,6), scriviamo l'integrale (14,6), che determina i l tempo, nella forma

Eseguendo la sostituzione

questo integrale assume la forma - (1 - e cos E ) dE = /$ (E - e s e i E) + costante.

Scegliendo l'origine dei tempi in modo tale da annullare la costante, si ottiene infine la seguente rappresentazione parametrica della relazione tra r e t: -

r=a( l -ecosE) , t = ' / ~ ( ~ - e s e t t ) a (15'10)

(nell'istante t = O la particella si trova nel suo perielio). Mediante lo stesso parametro si possono esprimere anche le coordinate cartesiane della particella x = r cos <p, y = r sen (p (gli assi a" ed y sono diretti rispettivamente lungo i semiassi maggiore e minore dell'ellis-

74 CAPITOLO TERZO:

se). Dalle (15,5) e (15'10) otteniamo ex = p - r = a (1 - e2) - a (i - e cos t ) = ae (cos E - e),

e troviamo y = Ã/V - x2. Infine abbiamo:

x = a (cos - e), y = a v l - e2 sen E. (15,11) Ad una rivoluzione completa sull'ellisse corrisp~nde una variazione del parametro E da O a 2n. r Calcoli del tutto analoghi ci portano ai seguenti risultati per le traiettorie iperboliche: -

r =a(echS-l ) , t = / & ( e ~ h ~ - ~ ) , a (15'12)

x=a(e-(:h^), y=ay^e2-l s h t , dove il parametro E assume tut t i i valori compresi tra - oo e + oo.

Consideriamo ora il moto in un campo di repulsione dove a u=- r (15313)

{a > 0). I n questo caso l'energia potenziale efficace

decresce in modo monotono da + Â¡ a zero, quando r varia da zero a d oo. L'energia della particella non puÃ essere che positiva, ed i l

Fig. 13

moto Ã sempre infinito. Tutti i calcoli per questo caso sono precisa-. mente analoghi a quelli eseguiti sopra. La traiettoria Ã un'iperbole

Ip ed e sono determinate dalle formule (15,4)1. Essa passa vicino al eentro del campo, come Ã indicato nella fig. 13. La distanza del peri-


elio Ã

rmin=-- p - a ( e + i ) e- i (15'15)

La dipendenza dal tempo Ã determinata dalle equazioni parametriche

x = a (eh + e), y = a v e 2 - 1 sh 5. Concludendo questo paragrafo mostriamo che per il moto in un

campo U = a/r (dove i l segno di a Ã arbitrario) esiste un integrale del moto specifico di questo campo. l3 facile verificare con un calcolo diretto che l'espressione

[vM] +T = costante. (15,17)

Infatti, la sua derivata totale rispetto a l tempo Ã

av ar (vr) [vM] +T--- r3 '

o, sostituendo M = m [rvl: av ar (vr) mr (vv) - mv (rv) + - - -

r3 '

ponendovi, secondo le equazioni del moto, mv = ar/r3, vedremo che alla fine questa espressione si annulla.

I l vettore conservativo (15,17) Ã diretto lungo l'asse maggiore dal fuoco a l perielio e la sua grandezza Ã uguale ad ae. Questo Ã facilmente verificabile considerando il suo valore nel perielio.

Sottolineiamo che l'integrale del moto (15,17), come anche gli integrali M ed E, una funzione monodroma dello stato (posizione e velocitÃ della particella. Vedremo nel 3 50 che la comparsa di questo integrale monodromo supplementare Ã dovuta alla cosiddetta degenerazione del moto.

P R O B L E M I

1. Trovare la relazione tra le coordinate ed il tempo per una particella che si muove in un campo U = -a/r con energia E = O (sf sondo una parabola). ' Soluzione. Nell'integrale

sostituiamo

76 CAPITOLO TERZO

e otteniamo la seguente rappresentazione parametrica della relazione cercata:

I l parametro q assume tutti i valori da -00 a +m. 2. Integrare le equazioni del moto di un punto materiale in un campo

centrale U = -a/?, a > 0. Soluzione. Secondo le formule (14,6), (14,7), e scegliendo opportunamente

le origini di calcolo per cp e t, troviamo:

In tutti i tre casi

Nei casi b) e C) la particella u cade Ã nel centro seguendo una traiettoria che si avvicina all'origine delle coordinate allorchÃ cp + oo. La caduta a partire da una distanza data r avviene in un tempo finito "uguale a

3. Aggiungendo all'energia potenziale U = -a/r un valore piccolo SU (r), le traiettorie di un moto finito cessano di essere chiuse e per ogni giro i l perielio dell'orbita si sposta di un piccolo angolo 6r.p. Determinare questa grandezza angolare 6(p per a) SU = $/r2 e b) SU = ?/G.

Soluzione. Quando r varia da rmi a r e nuovamente ad rmIn, l'angolo 6r.p cambia di una grandezza data dalla formula (14,iO) che scriviamo nella forma .

(allo scopo di evitare pi6 in basso una fittizia divergenza dell'integrale). Poniamo U = -aIr + SU e sviluppiamo l'espressione sotto il segno d'integrale secondo le potenze di 6U; i l termine d'ordine zero dello sviluppo dÃ 2n, ed i l termine del primo ordine dÃ lo spostamento cercato S(p:


dove dall'integrazione in dr noi siamo passati all'integrazione in d q lungo la traiettoria del moto u imperturbato v .

Nel caso a) l'integrazione nella (1) Ã banale e d i

[p Ã il parametro dell'ellisse imperturbata datodalla (15,4)1. Nel caso b) r^SU = - y / r , e sostituendo 1/r dalla (15,5), otteniamo:

Capitolo IV

URTI DI PARTICELLE

$ 16. Disintegrazione di particelle

Le leggi di conservazione dell'impulso e dell'energia giÃ di per sÃ permettono d i trarre, in numerosi casi, una serie di importanti conclusioni sulle proprietÃ dei diversi processi meccanici. Il fatto essenziale Ã che queste proprietÃ non dipendono affatto dal tipo concre- to dell'interazione fra le particelle impegnate nel processo.

Cominciamo dal processo di disintegrazione u spontanea Ã (non provocata cioÃ da forze esterne) di una particella in due Ã parti componenti Ã cioÃ in due altre particelle che s i muovono, dopo l a disintegrazione, indipendentemente l'una dall'altra.

Questo processo ha un aspetto molto semplice, se lo si considera in un sistema di riferimento in cui la particella (prima della disintegrazione) perseverava in quiete. I n forza della legge di conservazione dell'impulso, la somma degli impulsi delle due particelle formatesi nella disintegrazione Ã pure uguale a zero, cioÃ le particelle si allontanano l'una dall'altra con impulsi uguali in grandezza e opposti in verso. I l loro valore assoluto comune (indichiamolo con po) Ã determinato dalla legge di conservazione dell'energia

dove mi ed m2 sono le masse delle particelle, Eiint ed Ezint le loro energie interne, ed Eint l'energia interna della particella iniziale (che disintegra). Indichiamo con E l'a energia di disintegrazione Ã

cioÃ la differenza

(Ã evidente che questa grandezza dev'essere positiva perch6 la disintegrazione sia in generale possibile). Si ha allora:

da cui si puÃ ricavare p. (m Ã la massa ridotta delle due particelle); le loro velocitÃ sono vlo = po/ml, uso = pom2.

URTI DI PARTICELLE 79

Passiamo ora ad un sistema d i riferimento nel quale l a particella i n i ~ i a l c si muovi' prima della disintegrazione con velocitÃ V. Questo ~islrr i ia s i chi;nna di solito sistema d i laboratorio (o sistema Ã I Ãˆ

a differenza del Ã sistema del centro di massa Ã (o sistema Ã C Ãˆ nel quale l'inipulso totale 6 millo. Consideriamo una delle particelle

a) Fig. 14

disintegrazione, e siano v e v0 le sue velocitÃ rispettivamente nei sistemi Ã I Ã e Ã C Ãˆ L'evidente uguaglianza v = V + V Q , oppure v - - V = vo, ci dÃ

v2+v2-2vVcosQ=v~ , (1633)

dove 6 Ã l'angolo della direzione del moto della particella rispetto alla direzione della velocitÃ V. Questa equazione determina la relazione tra la velocitÃ della particella d i disintegrazione e l a direzione della sua traiettoria nel sistema Ã I Ãˆ Essa puÃ essere rappresentata graficamente per mezzo del diagramma dato nella fig. 14. La veloci- t Ã v Ã data da un vettore tracciato da l punto A distante d i V dal centro della circonferenza d i raggio U n ad un punto qualsiasi della circonferenza stessa l). Le figure 14 a e b corrispondono a i casi V<v0 e V>vo rispettivamente. Nel primo caso l a particella puÃ allontanarsi ad un angolo 6 qualsiasi. Nel secondo caso essa puÃ muoversisoltanto in avanti e ad un angolo 6 non maggiore del valore Qmax dato dall'u- guaglianza

(direzione della tangente a l cerchio tracciata dal punto A ) .

1) PiG precisamente: ad un punto qualsiasi della sfera di raggio vy, di cui i l cerchio disegnato nella fig. 14 rappresenta una sezione massima.

80 CAPITOLO QUARTO

Il legame fra gli angoli d i volo O e O. nei sistemi I e C appare evidente da l diagramma ed Ã dato dalla formula

v0 sen O0 t g o = vocosoo+V

Risolvendo questa equazione rispetto a cos Oo, s i ottiene dopo trasformazioni elementari

v v2 cos 00= --sen20 Â cose sen2 O.

^O (16,6) Se i-,,, > V, i l legame tra O. e 9 Ã univoco, come segue dalla figura 14, a. Nella formula (16,6) occorre allora prendere i l segno pih davanti alla radice (perchÃ si abbia = O per 0 = 0). Se invece vo < V il legame tra O 0 e 0 non Ã pih univoco: per ogni valore di 8 si hanno due valori d i O 0 corrispondenti (fig. 14, b) ai vettori v. tracciati dal centro del cerchio ai punti B o C; a questi vettori corrispondono i due segni davanti alla radice nella (16,6).

Nelle applicazioni fisiche si h a a che fare usualmente con la disintegrazione non di una, ma di p i ~ particelle uguali, ciÃ che pone il problema d i distribuzione delle particelle di disintegrazione secondo l a direzione, l'energia, ecc. Pertanto partiremo dall'ipotesi che le particelle iniziali siano orientate caoticamente nello spazio, cioÃ che la loro orientazione sia in media isotropa.

Nel sistema C la soluzione del problema Ã banale: tut te le particelle di disintegrazione (di uno stesso tipo) hanno l a stessa energia e l a distribuzione delle loro direzioni d i volo Ã isotropa. Quest'ultima affermazione Ã dovuta alla nostra ipotesi sull'orientazione caotica delle particelle iniziali. Essa significa che i l numero di particelle che passano per un elemento d'angolo solido doo Ã proporzionale alla grandez-

do za di questo elemento, cioÃ uguale a 2. Di qui otteniamo la distri-

buzione secondo gli angoli Oo7 ponendo doo = 2nsen O0 do0, cioÃ

1 - sen O0 doo. 2 (1677) Le distribuzioni nel sistema l s i ottengono per mezzo di un'adegua-

t a trasformazione d i questa espressione. Determiniamo, ad esempio, la distribuzione rispetto all'energia cinetica nel sistema l. Elevando a l quadrato l'uguaglianza v = v. + V, abbiamo:

v2 = v, + v2 + 2v0v cos â‚¬l donde

Introducendo qui l'energia cinetica T = mu2/2 (dove m s ta per mi o m<,, secondo i l t ipo d i particella d i disintegrazione che si considera)


e sostituendo nella (16,7), otteniamo la distribuzione cercata

L'energia cinetica puÃ assumere t u t t i i valori compresi fra i l minimo m m

Tmia = 7 (vo - V)' e i l massimo Tmax = -n- (vo + V}2. In que- '. ;-.

sto intervallo le particelle sono distribuite uniformemente, secondo la (lfi,8).

Nella disintegrazione d i una particella in pifi d i due parti componenti, le leggi d i conservazione dell'impulso e dell'energia lasciano, naturalmente, nn'arbitrarictÃ nelle velocitÃ e nelle direzioni delle particelle d i disintegrazione considerevolmente maggiore che nel caso della disintegrazione in due componenti. I n particolare, le energie delle particelle di disintegrazione non prendono nel sistema C u n determinato valore. Esiste per6 un limite superiore dell'energia cinetica che ognuna particella di disintegrazione puÃ portarsi via.

Per determinare questo limite, consideriamo l'insieme d i tut te le particelle d i disintegrazione ad eccezione d i una (di massa ml) come mi unico sistema; sia & la sua energia Ã interna Ãˆ Allora l'energia cinetica della particella m-, sar i , secondo la (16,l) e l a (16,2),

(M Ã la massa della particella iniziale). evidente che T i o assumerÃ i l valore massimo possibile quando E h sarÃ minima. Per questo occorre che tu t te le particelle d i disintegrazione, esclusa la particella m^, si muovano con la stessa velocitÃ allora Eint si riduce semplicemente alla somma delle loro energie interne, e la differenza Eint - - .Elint - Â£in Ã l'energia di disintegrazione e. Quindi

P R O B L E M I

1. Trovare la relazione tra gli angoli 6, e 9, (nel sistema l) sotto i quali si allontanano le particelle dopo una disintegrazione in due componenti.

Soluzione. Nel sistema C gli angoli di volo delle due particelle sono legati da O I 0 = n; - 02,,. Indicando O l 0 semplicemente con O,, ed applicando la formula (16,5) a ciascuna delle due particelle, otteniaflo:

V + v i 0 cos QQ---v,o sen O . c tg 9,. V - cos O0 = v m sen ctg 09.

Da queste due uguaglianze 6 necessario eliminare O,,. Per fare questo, ricaviamo anzitutto da esse cos O 0 e scn O,, C scriviamo la somma cos2 Oy + sen2 O , , = 1. Tenendo conto anche che viJv.,,, = mJm, ed usando la (16,2), troviamo infine

6 - 0 5 6 3

82 CAPITOLO QUARTO

la seguente equazione:

m2 -seri2 og + 3 sen20i - 2 sen 0" sen G2 cos (Oi + 02) = 28 m1 (mi -t m21 v2 sen2 (ei + 0,). m.

2. Trovare nel sistema I la distribuzione delle particelle di disintegrazione secondo le direzioni.

Soluzioni Per v0 > V sostituiamo la (16,6) con i l segno + davanti alla radice nella ( 1C 7) ed otteniamo la distribuzione cercata nella forma

Per v0 < V bisogna tener conto delle due relazioni possibili tra e 0. PoichÃ se 0 aumenta uno dei valori corrispondenti di O,, cresce e l'altro decresce, Ã necessario prendere la differenza (e non la somma) delle due espressioni di d cos O,, con i due segni davanti alla radice nella (16,6). Tralasciando i passaggi intermedi, scriviamo la formula finale

V2 l +- cos 26

sen 6 d0 "6 va (0 < 9 4 ernax). l/' sen2 0

3. Determinare nel sistema l l'intervailo dei valori che puÃ prendere l'angolo O formato dalle direzioni delle traiettorie d i due particelle generate i n una disintegrazione.

Soluzione. L'angolo 6 Ã la somma O , + O2 degli angoli definiti dalla formula (16,5) (vedi problema 1); la cosa piu semplice nel caso considerato Ã di calcolare la tangente di questo angolo. L'analisi degli estremi dell'espressione ottenuta dÃ i seguenti intervalli dei valori possibili di 6 in funzione della velocitÃ relativa V e di ulo e (poniamo sempre v20 > vio):

O < 6 < n se vio < V < v20;

~ - 9 ~ < 0 < n se V<uio;

0 < 0 < em se v > v209

dove il valore â‚¬ Ã dato dalla formula

$ 17. Urto elastico di particelle

L'urto d i due particelle Ã detto elastico se esso non comporta modificazioni del loro stato interno. PerciÃ² quando si applica la legge d i conservazione dell'energia ad un urto di questo tipo, si puÃ non tener conto dell'energia interna delle particelle.

La descrizione matematica dell'urto assume un'espressione pifi semplice in un sistema di riferimento dove i l centro di massa d i ambedue le particelle sia in quiete (sistema C); come nel paragrafo precedente, useremo l'indice O per denotare i valori delle grandezze


i n questo sistema. Le velocitÃ delle particelle prima dell'urto nel sistema C sono legate con le loro velocitÃ v^ e v2 nel sistema d i laboratorio dalle relazioni

dove v = v i - v, [cfr. (13,2)1. In virtii della legge d i conservazione dell'impulso, gli impulsi

di ambedue le particelle restano dopo l 'urto uguali in grandezza ed opposti in direzione; in virtfi della legge d i conservazione dell'energia, restano immutat i anche i loro valori assoluti. I n questo modo, nel sistema C, i l risultato dell'urto s i riduce solo all'inversione d i direzione delle velocitÃ delle due particelle. Se indichiamo con no i l versore nella direzione della velocitÃ della particella ml dopo l'urto, le velocitÃ di ambedue le particelle dopo l 'urto (che indichiamo con un apice) saranno:

Per tornare al sistema di laboratorio, Ã necessario aggiungere a queste espressioni la velocitÃ V del centro di massa. Otteniamo cosi per le velocitÃ delle particelle dopo l 'urto nel sistema I:

Con questo espressioni si esauriscono le inforniivioni che si possono ottenere sugli urt i utilizzando solo le leggi d i conservazione dell'impulso e dell'energia. Riguardo alla direzione del versore n,,, essa dipende dalla legge d'interazionc fra le ~icirlicelle e dalla loro reciproca posizione durante l'urto.

I risultati ottenuti si possono interpretare geometricamente. A questo scopo Ã p i ~ comodo passare dalle velocitÃ agli impulsi. Moltiplicando le uguaglianze (17,2) risj~(~1tivaniente per m, ed m2, otteniamo:

(m = mlmyKml + m,) 6 la massa ridotta). Tracciamo una circonferenza di raggio mu e facciamo la costruzione indicata nella fig. 15.

-+ -+ + Se i l versore no Ã diretto lungo OC, i vettori A C e CB danno rispettivamente gli impulsi p, e p2. Se i pi e p2 sono fissati i l raggio del cerchio e la posizione dei punti A e B non variano, mentre i l punto C puÃ prendere una posizione qualsiasi sulla circonferenza.

84 CAPITOLO QUARTO

Consideriamo pifi dettagliatamente i l caso in cui una delle particelle (per esempio, ma) Ã in quiete prima dell'urto. In questo caso l a

lunghezza OB = = mu coincide con il raggio, cioÃ i l punto B m,+mz

Fig. 15

giace sulla circonferenza. I l vettore AB coincide con l'impulso pi della prima particella prima dell'urto; inoltre, i l punto A si trova all'interno del cerchio (se',ml <m2) o all'esterno (se mi > m2), I rispettivi

diagrammi sono rappresentati nella fig. 16, a e b. Gli angoli O1 e 63 che vi sono indicati sono gli angoli di deflessione delle particelle dopo l 'urto rispetto alla direzione d i incidenza (direzione d i pl). L'angolo al centro indicato nella figura con l a lettera x (che dÃ la direzione di no) rappresenta l'angolo di deflessione della prima particella nel sistema del centro d i massa. Ã evidente dalla figura che gli angoli O1 e O 2


si possono esprimere in funzione dell'angolo y con le formule m2 sen x

t g 61 = n-x 2 ' m* + m2 cos O2 = -

Scriviamo anche le formule che danno i valori assoluti delle velocitÃ di ambedue le particelle dopo l 'urto in funzione dello stesso angolo x:

La somma 0" + O 2 6 l'angolo formato dalle due direzioni lungo le quali le particelle si allontanano dopo l'urto. E evidente che O^ + + O , > n12 per mi < m2, e Ol + O 2 < n12 per ml > m2-

Fig. 17

Nel caso in cui le due particelle dopo l 'urto si muovono sulla stessa retta (Ã urto frontale Ãˆ si ha x = n, cioÃ i l punto C si trova o sul diametro a sinistra del punto A (fig. 16; a; p; e p, sono in questo caso reciprocamente opposti) oppure t ra i punti A e O (fig. 16,b; p[ e p; hanno allora lo stesso verso).

Le velocitÃ delle particelle dopo l 'urto sono date dalle formule:

vi prende qui i l valore massimo possibile; quindi l'energia massima che la particella perseverante inizialmente in quiete puÃ acquistare in seguito all 'urto Ã

dove E1 = Ã l'energia iniziale della particella incidente.

Se mi < m 2 , l a velocitÃ della prima particella dopo l 'urto puÃ avere qualsiasi direzione. Se invece ml > m2, l'angolo di deflessione della particella incidente non puÃ superare un certo valore massimo

86 CAPITOLO QUARTO

corrispondente alla posizione del punto C (fig. 16, b) per cui l a retta AC Ã tangente alla circonferenza. evidente che sen â‚¬lim = = OCJOA, ossia

m2 senâ‚¬limax= m*

(1798)

L'urto di particelle d i massa uguale (di cui una Ã inizialmente in quiete) s i puÃ descrivere in modo particolarmente semplice. In questo caso i punti B ed A stanno tu t t i e due sulla circonferenza (fig. 17). Si ha:

x " - X * = T ' " 2 7 , (4799)

Notiamo che le particelle s i allontanano l'una dall'altra dopo l 'urto secondo direzioni mutuamente perpendicolari.

P R O B L E M A

Esprimere, mediante gli angoli di deflessione nel sistema l , la velocitÃ dopo l'urto di due particelle di cui, inizialmente, una (ml) Ã in moto e un'altra (mg) in quiete.

Soluzione. La fig. 16 ci d i p; = 2 -0.8 .cos O2 oppure m

V; = 2v - cos O,. m2

Per l'impulso p{ = A C abbiamo l'equazione OC^= do^+ p[^-2AO-p[ cos 0,

ovvero

Di qui

(per mi > m, sono validi davanti alla radice ambedue i segni, e per m, > m,, 8010 il segno +).

$ 18. Diffusione di particelle

Abbiamo giÃ visto nel paragrafo precedente che per determinare completamente il risultato dell'urto d i due particelle (determinazione dell'angolo v) Ã necessario risolvere le equazioni del moto, tenendo conto di una ben determinata legge d'interazionr fra le particelle.

In accordo con l a regola generale, considereremo dapprima i l problema equivalente della deflessione di una particella di massa m nel campo U (r) d i un centro di forze immobile (posto nel centro d i passa delle due particelle).

Come Ã stato detto nel $ 14, l a traiettoria di una particella in un campo centrale Ã simmetrica rispetto alla retta passante per il punto


dell'orbita piii vicino a l centro (OA nella fig. 18). Per questo i due asintoti dell'orbita intersecano questa retta formando con essa ango- l i uguali. Se indichiamo con c p o questi angoli, l'angolo d i deflessione

della particella nel punto p i ~ vicino a l centro Ã come si vede dalla figura,

x = I n - 290 l * (1871) L'angolo ( p o 6 dato, secondo l a formula (14,7), dall'integrale

M - dr r2

,o= '\ ,, W ' (18'2) ,h 2m[E-U(r}\--- r2

preso tra la distanza minima della particella dal centro e l'infinito. Ricordiamo che rmin Ã radice dell'espressione sotto il radicale.

Fig. 18

Nel caso d i un moto infinito, come Ã i l nostro, Ã comodo utilizzare, in luogo delle costanti E ed M, la velocitÃ vw della particella all'infinito e i l parametro p, chiamato distanza d'urto. Quest'ultima rappresenta i l segmento d i perpendicolare abbassata dal centro alla direzione d i uso, cioÃ la distanza dal centro alla quale la particella passerebbe se non esistesse i l campo d i forze (fig. 18). L'energia e i l momento angolare, espressi in funzione d i queste grandezze, sono

e la formula (18,2) si scrive come segue: m dr

r2 muk

88 CAPITOLO QUARTO

Insieme con la (18,l) essa determina la dipendenza d i y da p. Nelle applicazioni fisiche s i lia spesso a che fare non con l a devia-

zione d i Ã § n particella singola, ma con la diffusione d i un fascio d i particelle uguali che incidono sul centro diffusore con la stessa velociti'! v,. Lo diverse particelle (le1 fascio hanno distanze d'urto diversi1 e\ ~~ispet t ivaniente , vengono diffuse con angoli x diversi. Sia dX il numero di piirticelle diffuse, nell 'unitÃ d i tempo, nelll,ingolo compreso tra r y + dy. Per caratterizzare i l processo di diffusione questo numero non Ã adatto d i per sÃ© perchÃ dipende dalla densitA del fascio incidente (Ã ad essa proporzionale). Introducianlo percih il rapporto

d N do-= - n ' (18,5)

dove Ã C i l numero di particelle passanti nell'unitA d i tempo per l ' u n i t i d i superficie di una se7ione trasversale del fascio (partiamo naturalmente dal pressnpposto che il fascio sia omogeneo in ogni sua seziontl). Questo rapporto Iia la dimensione di u n a superficie e si dice sezione efficace di diffusione, o sezione d'urto. Esso 6 conipleta- mente determinato dalla forma del campo diffusore e costituisce la pi6 importante caratteristica della diffusione.

Considereremo la relazione t ra e o biunivoca: auesto si verifica ,. , quando l'angolo di diffusione 6 11na funzione monotona decrescente della distanza d'urto. In questo caso in un dato intervallo (y, y - dy) verranno diffuse soltanto quelle particelle la cui distanza d'urto Ã compresa t ra p (y) e p (y) + dp (v). I l numero di queste particelle Ã uguale a l prodotto d i n per la superficie della cororiti circolare compresa t ra le circonferenze d i raggi p e p + do, cioÃ d X = 2np dp . n. La sezione d'urto 5 quindi

d a = 2np dp. (18,6)

Per trovare la dipendenza della sezione d'urto dall'angolo d i diffusione, Ã sufficiente scrivere questa espressione nella forma

Abbiamo scritto qui i l valore assoluto della derivata dp/dy, in quanto essa puÃ essere anche negativa (come Ã d i solito) l ) . Spesso da s i riferisce non ad un elemento d'angolo piano dy, ma ad un elemento (l'angolo solido do. L'angolo solido t ra due coni di apertura y e y + + dy Ã do --= 2.n sen '/ dy. Dalla (18,7) troviamo quindi:

Ritornando a l problema della diffusione d i un fascio d i particelle non da parte d i un centro d i forza immobile, ma da parte di altre

l) Se la funzione p (v) Ã polidroma, Ã necessario evidentemente prendere la somma di espressioni del tipo (18,7) per tut t i i rami della funzione.


particelle inizialmente in quiete, possiamo affermare che la formula (18,7) definisce la sezione d'urto in funzione dell'angolo di diffusione nel sistema del centro d i massa. Per trovare la sezione d'urto in funzione dell'angolo 6 nel sistema d i laboratorio, Ã necessario esprimere in questa formula x con O , secondo la (17,4). S i ottiene cosi l'espressione della sezione di diffusione sia per le particelle del fascio incidente (esprimendo x in funzione di 01), sia per le particelle inizial- monte in quiete (esprimendo x in funzione di 02).

P R O B L E M I

1. Determinare la sezione di diffusione delle particelle da parte di una sferetta perfettamente rigida di raggio a (cioÃ con una legge d'interazione tale che U = m per r < a ed U = O per r > a).

Soluzione. PoichÃ all'esterno della sferetta la particella si muove liberamente mentre dentro non puÃ assolutamente penetrare, la traiettoria consta

Fig. 19

d i due rette simmetriche rispetto a l raggio passante per i l punto d'intersezione con la sferetta (fig. 19). Come si vede dalla figura

Riportando queste espressioni nella (18,7) o nella

na2 a2 - d ~ = ~ s e n x d X = - d o , 4

(18,8\, otteniamo:

(1)

cioÃ la diffusione Ã isotropa nel sistema C. Integrando da rispetto a tutti gli angoli, vedremo che la sezione totale o = ira2 Ã in accordo con i l fatto che l'area d'urto, s u cui deve incidere una particella per essere diffusa, Ã precisamente l'area della sezione della sferetta.

Per passare a l sistema 1, bisogna esprimere y i n funzione di 01, secondo la (17,4). I calcoli sono del tut to analoghi a quelli fatti nel problema 2 del $ 16 [in virtfi della somiglianza formale delle formule (17,4) e (16,5)]. Per m, < m, (m, massa della particella, m, massa della sferetta) si ha - -

m2

do i a2

dai = - 4

- "i3 -

l+-cos 20, 2 3 cos 0, + m i

/- m2 'I/ l - 4 e n 2

90 CAPI~OLO QUARTO

(do, = 2n sen 0,d6,). Se invece m, < m,, si ha:

Per mi = rnÃ si ha: do, = a2 1 cos 0, 1 do,,

che si puÃ ottenere anche con la sostituzione diretta x = 20, (secondo la (17,9)) nella (1).

Per sferette inizialmente in quiete, si ha sempre y = n - 26.; sostituendo nella (1) v con l'espressione ottenuta, abbiamo:

da, = a2 \ cos 6, 1 do,.

2. Nello stesso caso del problema precedente esprimere la sezione d'urto come funzione dell'energia e perduta dalle particelle diffuse.

Soluzione. L'energia perduta dalla particella m-, Ã uguale all'energia acquistata dalla particella m,. Utilizzando la (17,5) e la (17,7) otteniamo

2m!m2 2 & = E ' - uoo sen2 Ã = emax sen2 - X '- (mi+ mA2 2 2 ' da cui

1 d~ = - &max sen x d x . 2

Facendo un'appropriata sostituzione nella formula (1) del problema 1, otteniamo:

de da==na2-. Emax

La distribuzione secondo-i valori di e delle particelle diffuse Ã uniforme in tutto l'intervallo di e da zero a emax.

3. Trovare la dipendenza della sezione d'urt3 dalla velocitÃ voo delle particelle nella diffusione in un campo U r-".

Soluzione. Conformemente alla (10,3), se l'energia potenziale Ã una funzione omogenea di grado k = -n, per le traiettorie simili si ha p o in un'altra forma:

P = vz2Inf (x) (per le traiettorie simili gli angoli di deviazione y sono uguali). Riportando la formula ottenuta nella (18,6), troviamo che

d o do. 4. Determinare la sezione per una Ã caduta Ã delle particelle nel centro

di un campo U = -a/r2. Soluzione. Le particelle che Ã cadono Ã nel centro sono quelle per le quali

Ã soddisfatta la condizione 2a > mp%k [vedi la (14,11)], cioÃ la loro distanza d'urto non supera il valore pmar = \/2a/rnv&. Donde la sezione cercata Ã

5. Lo stesso problema 4 per un campo U = -a/rn (n > 2, a > 0).

URTI DI PARTICELLE

Soluzione. L'energia potenziale efficace

data in funzione di r , ha la forma rappresentata nella fig. 20, con un valore massimo

n (11-2) a ( m p ~ c O y ~

(Uctr)max = uo= 2

Le particelle che Ã cadono Ã nel centro sono quelle per le quali U,, < E. Deter- minando pmax dalla condizione U,, = E, otteniamo:

6. Determinare la sezione per la caduta di particelle (di massa m-,) sulla superficie di un corpo sferico (di massa m; e di raggio R ) , versa cui esse sono at t rat te secondo la legge di Newton.

'}

Fig. 20

Soluzione. La condizione di caduta Ã data dalla disuguaglianza r m i n < < R , dove rmin Ã i l punto della traiettoria della particella pik vicino a l centro della sfera. I l valore massimo possibile d i p Ã determinato dalla condizione rmin = R equivalente alla condizione espressa dall'equazionc Uerf ( R ) = E, ovvero

con a = ymlmf (y Ã la costante gravitazionale), dove abbiamo posto m W m, considerando ma >> ml. Ricavando di qui troviamo:

o = n R 2 1+2^2 . ( a d Quando voo -+ 00, l a sezione tende, evidentemente, all'area geometrica della sezione della sfera.

7. Stabilire la forma del campo diffusore U (r) data la dipendenza della sezione efficace dall'angolo d i diffusione e data un'energia E; si suppone che U ( r ) sia una funzione monotona decrescente di r (campo repulsivo), con U (0) > E , U (m) = 0. (O. 5. Firsov, 1953.)

92 CAPITOLO QUARTO

Soluzione. L'integrazione di dorispetto all'angolo di diffueione determina, secondo la formula

i l quadrato della distanza d'urto in modo tale da poter considerare come data la funzione p (x) [e con essa anche la funzione y (p)].

Introduciamo le notazioni

Le formule (18,l) e (18,2) si possono s c r i v ~ r e allora nel modo seguente:

dove so (2) Ã la radice dell'equazione

L'equazione (3) Ã un'equazione integrale della funzione W (s); essa puÃ essere risolta con un metodo analogo a quello utilizzato nel Â 12. Dividendo - i due membri della (3) per '[/a - x ed integrando rispetto a dx nell'intervallo da zero ad a, troviamo:

oppure, integrando per parti i l primo membro dell'uguaglianza:

Deriviamo la relazione ottenuta rispetto ad a, dopo di che possiamo scrivere s in luogo d i so (a) e sostiture a con sZ/wz. Scrivendo l'ultima uguaglianza i n forma differenziale, otteniamo:

ovvero


Questa equazione puÃ essere integrata direttamente, ma nel secondo membro Ã necessario cambiare l'ordine d'integrazione i n dx e d (s/w). Tenendo conto che per s = O (cioÃ r ~ i - m) s i deve avere W = 1 (cioÃ U = O), e tornando alle variabili r e p, si ottiene i n definitiva i l seguente risultato (in due forme equivalenti):

Questa formula determina in modo implicito l'andamento di W (r) [e quindi di U (r)] per tu t t i gli r > rmin, cioÃ nel campo dei valori di r che rappresentano la traiettoria di una particella diffusa d'energia data E.

19. Formula d i Rutherford

Uno dei pifi importanti casi di applicazione delle formule ottenute sopra Ã quello della diffusione di particelle cariche in un campo coiilombiano.

Ponendo nella (18,3) U = a / r e facendo un'integrazione elementare, si ottiene:

a - mVmp cpO -= arccos

da cui

ossia, ponendo secondo la (18,l) cpO = (n - x) /2:

Derivando questa espressione rispetto a e riportando i l risultato nella (18,7) o nella (18,8), si ottiene:

cos $ d a = x (+I2 -

mvm sen3 2 d i

2 ovvero

Questa Ã la formula di Rutherford. Notiamo che la sezione efficace non dipende dal segno di a, e il risultato ottenuto Ã valido in misura uguale per un campo coulombiano sia attrativo sia repulsivo.

94 CAPITOLO QUARTO

La firmula (19,3) dÃ la sezione efficace in un sistema d i riferimen- to in eli i l centro di massa delle particelle in collisione Ã a riposo. 11 Passaggio a l sistema d i laboratorio viene effettuato con l'aiuto della formila (17,4). Per le particelle che sono inizialmente in quiete si ottieie, sostituendo x = JI - 2OZ nella (19,2):

Per le barticelle incidenti, invece, la trasformazione dÃ in generale una formula molto complicata. Notiamo soltanto due casi particolari.

Se 1;. massa m2 della particella bersaglio Ã grande in confronto alla massa ?z1 della particella proiettile, allora si puÃ porre x w 61 ed m m m : ottenendo:

dove E = rn1v&/2 Ã l'energia della particella incidente. Se le masse d i ambedue le particelle sono uguali (ml = m2,

m = m1/2), allora, secondo l a (17,9), x = 201, e l a sostituzione nella (1972) dÃ

Nel caso in cui le particelle non solo abbiano una massa uguale, ma siano identiche, la distinzione delle particelle dopo la diffusione in due grtppi: quelle inizialmente in moto e quelle inizialmente in quiete, ' ~ o n ha alcun senso. Sommando da^ e da^ e sostituendo O1 e O z con un Valore comune 0, otteniamo la sezione d'urto per tut te e due le ~ a r t i ( ; ~ l l ~ :

Mediante la formula generale (19,2) cerchiamo d i determinare la distribuzione delle particelle diffuse rispetto all'energia da esse perduta in seguito all'urto. Per un rapporto arbitrario t ra l a massa (ml) della Particella proiettile e l a massa (m2) della particella ber- sagllo 14 velocitÃ acquistata da quest'ultima viene espressa in funzione dell'angolo di diffusione nel sistema C dalla relazione

[vedi la (17,5)1. Di conseguenza, l'energia acquistata da questa particella, e quindi perduta dalla particella mi, Ã uguale a


Di quiesprimendo sen ( ~ 1 2 ) in funzione di e e riportando nella (19,2) otteniamo:

Questa formula dÃ la risposta a l problema posto in quanto essa determina la sezione d'urto in funzione della perdita d'energia e; questa puÃ assumere tu t t i i valori da zero a emaX = 2m2v200/m2.

P R O B L E M I

1. Trovare la sezione di diffusione in un campo U = a/r2 ( a > 0 ) . Soluzione. L'angolo di deflessione Ã

2. Trovare la sezione efficace nel caso di diffusione prodotta da una; buca di potenziale Ã sferica di raggio a e di Ã profonditÃ Ã U n {cioÃ U = O per ri> a, U = -U, per r < a ) .

/

Fig. 21

Soluzione. La traiettoria rettilinea della particella, entrando ed uscendo dalla buca, si Ã rifrange v . Secondo il problema del 3 7 , gli angoli d'incidenza a e di rifrazione t3 (fig. 21) sono legati dalla relazione

L'angolo di deflessione Ã x = 2 (a - p). Si ha dunque:

96 CAPITOLO QUARTO

Eliminando a da questa uguaglianza e dalla relazione

a sen a = p

(evidente dalla figura), si ottiene la relazione tra p e y nella forma

Infine, differenziando questa uguaglianza, si ottiene la sezione

x x ( n cm--I) (.-COS-) a W

da=-- 2

do. X ( 1 + n z - 2 ~ COS- 4 cos - 2 , I 2 2

L'angolo '/ varia nei limiti da zero (per p = 0) sino al valore xmax (per p = a) determinato dall'uguaglianza:

La sezione totale che si ottiene integrando da rispetto a tut t i gli angoli interni del cono x < xmax Ã evidentemente uguale all'area della sezione geometrica na2.

$ 20. Diffusione a piccoli angoli

I l calcolo della sezione d'urto s i semplifica notevolmente se si prendono in considerazione soltanto le collisioni che avvengono a grandi distanze d'urto, dove i l campo U Ã cosi debole che gli angoli di deflessione sono, corrispondentemente, piccoli. I l calcolo si puÃ eseguire subito nel sistema del laboratorio, senza introdurre i l sistema del baricentro.

Facciamo coincidere l'asse delle x con la direzione dell'impulso iniziale della particella proiettile (mi) e i l piano xy con i l piano di diffusione. Indicando con p; l'impulso della particella dopo l a diffusione, abbiamo l'uguaglianza:

sen = e. P1

Nel caso di piccole deflessioni si puÃ sostituire approssimativamente sen 6, con 9, e , nel denominatore, p. con l'impulso iniziale pi = - mivoo:


In seguito, poichÃ p y = l'asse y Ã

Per la forza, poi, si ha

Fy, l'incremento totale dell'impulso lungo

PoichÃ l'integrale (20,2) contiene giÃ l a grandezza piccola U , si puÃ² calcolandolo, considerare con l a stessa approssimazione che la particella non devii affatto dalla traiettoria iniziale, cioÃ che si muova di moto rettilineo (lungo la retta y = p) e uniforme (con velocitÃ usa). Poniamo quindi nella (20,2)

ed otteniamo:

Infine, passiamo dall'integrazione rispetto a dx all'integrazione rispetto a dr. PoichÃ per una traiettoria rettilinea abbiamo r2 = = x2 + p2, quando x varia da -W a + W, r varierÃ da oo a p e poi di nuovo a W. PerciÃ l'integrale rispetto a dx si trasforma nel doppio dell'integrale rispetto a dr nei limiti da p a W con dx sostituito da

Si ottiene infine per l'angolo di diffusione (20,l) la seguente espressione1):

che determina la relazione cercata t ra 6, e p per una piccola deflessione. La sezione d'urto (nel sistema I) s i ottiene da una formula identica alla (18,8) (con â‚¬ in luogo d i y); Ã anche qui possibile sostituire sen Ol con 61:

l) Se tut to i l nostro ragionamento si f a nel sistema C , si ottiene per x la stessa espressione con m i n luogo di m^, in relazione a l fatto che i piccoli angoli 6, e y sono legati, i n accordo con la (17'4). dalla relazione

m2 6. = mi +m2Xa

7 - 0 5 6 3

98 CAPITOLO QUARTO

1. Dedurre la formula (20,3) dalla formula (18,4). Soluzione. Per evitare divergenze fittizie degli integrali, scriviamo la (18,4)

nella forma

dove come limite superiore abbiamo preso una grande quantitÃ R, avendo l'intenzione di passare poi al limite R Ã‘> W . Dato che U Ã piccolo, sviluppiamo i l radicale secondo le potenze di U e sostituiamo approssimativamente rmm con p:

Il primo integrale, dopo i l passaggio a l limite R + W , dÃ n/2. Il secondo, dopo un'integrazione per parti, ci dÃ l'espressione

equivalente alla formula (20,3). 2. Determinare la sezione per diffusione a piccoli angoli in un campo

U = a/rn (n > 0). Soluzione. Abbiamo, secondo la (20,3),

Ponendo = u, l'integrale si riduce ad un integrale B d'Eulero che si esprime mediante funzioni T:

Esprimendo p in funzione di 6, e sostituendo nella (20,4), si ottiene:

Capitolo V

PICCOLE OSCILLAZIONI

21. Oscillazioni libere unidimensionali

Un tipo molto diffuso di movimento nei sistemi meccanici Ã rappresentato dalle cosiddette piccole oscillazioni che un sistema compie in prossimitÃ della sua posizione d'equilibrio stabile. Cominciamo a studiare questi movimenti dal caso piti semplice, quando i l sistema h a un solo grado d i libertÃ

All'equilibrio stabile corrisponde una posizione del sistema in cui la sua energia potenziale U (q) Ã minima; uno spostamento da questa posizione genera una forza - dU/dq che tende a riportare i l sistema nella sua posizione originaria. Indichiamo con q. i l valore della coordinata generalizzata corrispondente. Per piccole deviazioni dalla posizione d'equilibrio, nello sviluppo della differenza U (q) - U (qo) in potenze d i q - q. Ã sufficiente conservare i l primo termine non nullo. Nel caso generale tale Ã i l termine del secondo ordine

dove k Ã un coefficiente positivo (il valore della derivata seconda Ã Un (q) per q = qo). Nel seguito misureremo l'energia potenziale a partire dal suo valore minimo [cioÃ¨ porremo U (qo) = 01 e indicheremo con

x = q - Q 0 (2191) lo spostamento della coordinata dal suo valore nella posizione d'equilibrio. Cosi,

kx2 U (x) = - 2 ' (2192) Nel caso generale l'energia cinetica di un sistema con un solo gra-

do d i libertÃ si puÃ esprimere nella forma:

Nella stessa approssimazione Ã sufficiente sostituire l a funzione a ( } 7 con i l suo valore per q = qo. Introducendo per brevitÃ la notazione )

a (q01 = m? l) Sottolineiamo, perÃ² che la grandezza m coincide con la massa soltanto

se 2- Ã la coordinata cartesiana della particella. 7'

100 CAPITOLO QUINTO

otterremo la seguente espressione per la funzione lagrangiana di un sistema che compie piccole oscillazioni unidimensionalil):

L'equazione del moto corrispondente a questa funzione si scrive: . . mx+kx=O, (21'4)

ovvero

dove

L'equazione differenziale lineare (21,5) ha due soluzioni indipendenti: cos (ut e sen (ut, cosicchÃ la sua soluzione generale Ã

x = ci cos cot + c2 sen cot. (21,7) Questa espressione si puÃ scrivere anche nel modo seguente:

x = a cos (cot + a). (2129 PoichÃ cos ((ut + a ) = cos wt cosa - sen (ut sen a, un confronto con la (21,7) mostra che le costanti arbitrarie a ed a sono legate alle costanti ci e c2 dalle relazioni

Cosi, intorno alla sua posizione d'equilibrio stabile il sistema compie un moto oscillatorio armonico. I l coefficiente a davanti al fattore periodico nella (21,8) si chiama ampiezza delle oscillazioni, e l'argomento del coseno, la loro fase; a Ã il valore iniziale della fase che dipende, evidentemente, dalla scelta dell'origine dei tempi. La grandezza a Ã la frequenza ciclica delle oscillazioni; nella fisica teorica questa grandezza si chiama brevemente frequenza, termine che anche noi useremo.

La frequenza Ã la caratteristica fondamentale delle oscillazioni, indipendente dalle condizioni iniziali del moto; come segue dalla formula (21,6), essa Ã completamente definita dalle proprietÃ del siste-, ma meccanico come tale. l3 da notare, perÃ² che questa proprietÃ della frequenza Ã dovuta all'ipotesi d i piccole oscillazioni e viene meno se si va ad approssimazioni di grado p i ~ elevato. Dal punto di vista matematico ciÃ significa che questa proprietÃ Ã connessa alla dipendenza quadratica dell'energia potenziale dalla coordinata2).

) Un tale sistema Ã detto spesso oscillatore lineare. 2) Essa viene meno se la funzione U (x) ha, per x = O, un minimo di ordine

pih elevato, cioÃ U c-0 a;", n > 2 (vedi problema 2 a, $ 11).


L'energia d i un sistema che compie piccole oscillazioni Ã

oppure, sostituendovi la (21,8):

L'energia Ã proporzionale a l quadrato dell'ampiezza delle oscillazioni. A volte risulta comodo rappresentare la dipendenza della coor-

dinata dal tempo d i un sistema oscillante sotto forma della parte reale d i un'espressione complessa

x = Re {AeiUt}, (21'11)

dove A Ã una costante complessa; scrivendo la (21,4) nella forma

ritorniamo all'espressione (21,8). La costante A Ã chiamata ampiezza complessa; i l suo modulo coincide con l'ampiezza ordinaria, e i l suo argomento con l a fase iniziale.

Dal punto di vista matematico Ã p i ~ semplice operare con fattori esponenziali anzichÃ trigonometrici, poichÃ la derivazione non cambia la loro forma. Nelle operazioni lineari (addizione, moltiplicazione per coefficienti costanti, integrazione, derivazione), s i puÃ generalmente trascurare i l segno che mette in evidenza la parte reale, riser- vandosi di fare questo passaggio soltanto nel risultato finale del calcolo.

P R O B L E M I

1. Esprimere l'ampiezza e la fase iniziale delle oscillazioni mediante i valori iniziali x,, e v,, della coordinata e della velocitÃ

Risposta: r-

2. Trovare i l rapporto delle frequenze ca e a' delle oscillazioni di due molecole biatomiche composte di atomi di isotopi diversi; le masse degli atomi sono rispettivamente m,, m, ed mi , mi.

Soluzione. PoichÃ gli atomi degli isotopi interagiscono allo stesso modo, k = k'. Le masse ridotte delle molecole fungono allora da coefficienti m nelle energie cinetiche. Si ha perciÃ² secondo la (21,6),

3. Trovare la frequenza delle oscillazioni di un punto con massa m, suscet- tibile di moto su una retta e attaccato a una molla avente l'altro estremo fissato in un punto A (fig. 22) ad una distanza I dalla retta. La molla, quando la sua lunghezza Ã I, Ã tesa da una forza F.

102 CAPITOLO QUINTO

Soluzione. L'energia potenziale della molla Ã uguale (a meno di infinitesimi d'ordine superiore) a l prodotto della forza F per l'allungamento 61 della molla. Per x < 1 si ha:

per cui U = Fx2/21. PoichÃ l'energia cinetica Ã mx'^/2, si ha allora

4. Risolvere i l problema precedente per i l caso in cui il punto m si muove lungo una circonferenza di raggio r (fig. 2 3 ) .

Fig. 22 Fig. 23

Soluzione. In questo caso l'allungamento della molla (per (p < 1) h r (;+T) 6 ;=vrz+(~+r )2 -2 r ( ;+ r ) coscp-l%; -(p2.

21

L'energia cinetica Ã T = Ã‘mr2rp2 Quindi la frequenza Ã 2

W= rlm -

5 . Trovare la frequenza delle oscillazioni del pendolo rappresentato nella fig 2 , il cui punto di sospensione (di massa ml) puÃ muoversi lungo una retta orizzontale.

Soluzione. Per (p << 1 la formula ottenuta nel problema 3 del 5 14 dÃ

Quindi

6. Determinare la forma della curva lungo la quale (in un campo gravitazionale) un punto materiale Ã animato da un moto oscillatorio tale che la frequenza delle oscillazioni non dipende dall'ampiezza.

Soluzione. La condizione posta sarÃ soddisfatta da una curva lungo la quale la particella puntiforme animata da un moto avrÃ un'energia potenziale U = = ks^/2, dove s Ã la lunghezza dell'arco misurata a partire dalla posizione d'equi-

PICCOLE OSCILLAZIONI 103

librio; l'energia cinetica sarÃ allora T = m W (dove m Ã la massa della particella) -. e la frequenza delle oscillazioni m = non dipenderÃ dal valore iniziale di S.

Ma nel campo di gravitÃ U = mgy, dove y Ã la coordinata verticale. Quindi si ha t312 = mgy, ossia

D'altra parte, ds2 = da:% + dyB, quindi

Per facilitare l'integrazione facciamo la sostituzione

g y=-(1-cos E ) . 4u2

Si ha allora:

Queste due uguaglianze determinano in forma parametrica l'equazione della curva cercata che Ã una cicloide.

$ 22. Oscillazioni forzate

Consideriamo ora le oscillazioZ di un sistema soggetto all'azione d i un campo esterno variabile; ta l i oscillazioni si chiamano~/orzate a differenza delle oscillazioni studiate nel paragrafo precedente, che sono dette libere. PoichÃ le oscillazioni si suppongono piccole, ne segue che i l campo esterno deve essere sufficientemente debole; in caso contrario, esso potrebbe provocare uno spostamento x troppo grande.

Nel caso considerato in questo paragrafo, i l sistema possiede oltre 1 alla propria energia potenziale n- kx2 un'energia potenziale Ue (x, t)

dovuta all'azione del campo esterno. Sviluppando anche questo termine in serie di potenze della grandezza piccola x, si ottiene

Il primo termine Ã funzione solo del tempo e puÃ quindi essere omesso nella funzione lagrangiana (come derivata totale rispetto a t di un'altra funzione del tempo). Nel secondo termine, l a derivata -9Uel9x 6 l a u forza Ã esterna che agisce sul sistema nella posizione d'equilibrio; essa Ã una funzione data del tempo e l a indicheremo con F (t). Nell'energia ~o tenz ia l e appare cosi i l termine -xF (t) per cui la funzione lagrangiana del sistema sarÃ

104 CAPITOLO QUINTO

L'equazione del moto corrispondente Ã . . m x + k x = F ( t ) ,

oppure

dove abbiamo nuovamente introdotto l a freq-iinza co delle oscillazioni libere.

Come Ã noto, la soluzione generale d i un'equazione differenziale lineare non omogenea con coefficienti costanti s i ottiene sotto forma di una somma di due espressioni: x = x0 + x1, dove xo Ã la soluzione generale dell'equazione omogenea ed x1 un integrale particolare dell'equazione non omogenea. Nel caso considerato x0 rappresenta le oscillazioni libere studiate nel paragrafo precedente.

Consideriamo ora un caso di particolare interesse in cui la forza esterna Ã anch'essa una funzione periodica semplice del tempo di frequenza y:

F ( t ) = f w s (y t H). (223)

Cerchiamo un integrale particolare dell'equazione (22,2) sotto forma x-, = b cos (yt + 6) con lo stesso fattore periodico. Sostituendo nell'equazione, s i ha b = / /m ( a 2 - y2); aggiungendo l a soluzione dell'equazione omogenea, si ottiene l'integrale generale della form

Le costanti arbitrarie a ed a sono determinate dalle condizioni iniziali.

Dunque, sotto l'azione d i una forza esterna periodica, il sistema compie un moto che si puÃ rappresentare come una sovrapposizione di due oscillazioni, l 'una con l a frequenza propria del sistema w e l 'altra con la frequenza della forza esterna y.

La soluzione (22,4) non Ã applicabile al caso della cosiddetta risonanza quando la frequenza della forza che provoca le oscillazioni del sistema coincide con la frequenza d i quest'ultimo. Per trovare in questo caso la soluzione generale dell'equazione del moto, cambiando appropriatamente i l valore delle costanti, scriviamo l'espressione (22,4) nella forma

Quando +- a , i l secondo termine genera una indeterminazione del tipo 010. Applicando la regola di L'H-pital, si ottiene:

f x = a ~ o s ( w t + a ) + ~ ~ m m tsen (<ot+P). (22'5)

PICCOLE OSCILLAZIONI 105.

Cosi, nel caso di risonanza, l'ampiezza delle oscillazioni cresce linearmente con i l tempo (finchÃ le oscillazioni non cessano di essere piccole e tu t ta la teoria esposta diventa non applicabile).

Cerchiamo di chiarire ugualmente la forma che assumono le piccole oscillazioni vicino alla risonanza allorchÃ y = m + e, dove e Ã una grandezza piccola. Scriviamo la soluzione generale in forma complessa

x = Aeiat + Bei<.a+~)t E ( A + Beiet) eimt. (2296)

PoichÃ la grandezza A + BeiEt varia poco nel corso di un periodo 2:r[/co del fattore e i ~ t il moto vicino alla risonanza si puÃ considerare come una piccola oscillazione di ampiezza, perÃ² variabile1).

Indicando l'ampiezza con C, avremo:

Esprimendo A e B rispettivamente nella forma aeiz e beiP, otterremo:

C2 = a2 + b2 + 2ab cos (et -t - a). (22,7)

Cosi, l'ampiezza oscilla periodicamente con frequenza e, variando fra i due limiti

a - b l < C < a + b .

Questo fenomeno Ã chiamato battimenti. L'equazione del moto (22,2) puÃ essere integrata anche in forma

generale, qualunque sia la forza esterna F (t). CiÃ Ã facile se scriviamo preliminarmente l'equazione nella forma

ossia

dove Ã stata introdotta la grandezza complessa

L'equazione (22,8) non Ã pih del secondo ordine, ma del primo. Senza i l secondo membro la sua soluzione sarebbe E; = Aeiat con A costante. Seguendo la regola generale, cerchiamo per l'equazione non omogenea una soluzione del tipo = A (t) ei^ ed otteniamo per la funzione A ( t ) l'equazione

l) Varia pure i l termine Ã costante Ã nella fase delle oscillazioni.

t 06 CAPITOLO QUINTO

Integrando, otteniamo l a soluzione dell'equazione (22,9):

dove la costante d'integrazione I,, Ã i l valore d i nell'istante t = 0. Questa Ã l a soluzione generale cercata; la funzione x (t) Ã data dalla parte immaginaria dell'espressione (22,IO) (divisa per io^)').

ovvio che l'energia di un sistema che compie oscillazioni forzate non si conserva; i l sistema attinge energia dalla sorgente della forza esterna. Determiniamo l'energia totale ceduta a l sistema durante tut to i l tempo in cui la forza agisce (da -m a + m ) , supponendo nulla l'energia iniziale. Secondo la formula (22,10) (con -m in luogo d i zero come limite inferiore dell'integrazione e con (-m) = 0) s i ha per t -+ m:

D'altra parte, l'energia del sistema come tale Ã data dall'espressione

Ponendo qui 1 (m) 12, otteniamo per l'energia ceduta i l valore

essa Ã dunque definita dal quadrato del modulo della componente di Fourier della forza F ( t ) con frequenza uguale alla frequenza propria del sistema.

In particolare, se la forza esterna agisce soltanto per un breve

intervallo di tempo piccolo rispetto a , si puÃ porre z 1. Allora abbiamo:

( l )

00

E =-L 2m ( j F (t) d t j 2 . -m

Questo risultato Ã evidente a priori: esso significa che una forza di m

breve durata communica a l sistema un impulso Fdt, senza riu-

scire in un tempo cosi breve a provocare uno spostamento sensibile.

l) S'intende che la forza F ( t ) deve essere qui scritta in forma reale.


P R O B L E M I

1. Nell'istante iniziale t = O un sistema riposa nello stato d'equilibrio 4 x = O, x = 0). Determinare le oscillazioni forzate del sistema sotto l'azione -di una forza F (t) per i seguenti casi:

a) F = costante = Fo. - fa Risposta: x = - (1 - cos (ut); l'azione di una forza costante provoca rnm3

uno spostamento dalla posizione d'equilibrio attorno alla quale avvengono le oscillazioni.

b) F == at. a

Risposta: x = - (tit - sen ( # ) t ) . ma3

C) F = ~ ~ e - ^ . F o a Risposta: x Â¥ (e-^ - cos ~ t 4- - sen ~ t ) .

rn(ti2 + a2) O)

d ) F = F ~ P - ~ ~ ~ O S $t. Jf isposta:

x= Fo { - (ti2 + a 2 - 6 2 ) cos tit -1 m [(a2+ a2- $2)2 + 4 ~ * $ ~ ]

+ E (ti24-a^4- $2) sen a t + e'at [ ( ( ~ ~ - ! - a ~ - $ ~ ) cos pt-2a$ sen p]}

(si troverÃ pifi facilmente questa soluzione scrivendo la forza in forma complessa F = F ~ ~ ( - ~ + ~ ^ ] .

Fig. 24 Fig. 25

2. Determinare l'ampiezza finale delle oscillazioni di un sistema dopo l'azione di una forza esterna che varia secondo la legge F = O er t < O, F = = FotlT per O < t < T, F = Fo per t > T (fig. 24); fino afi'istante t = O ,il sistema Ã in quiete nella posizione d'equilibrio.

Soluzione. Nell'intervallo di tempo O < t < T, le oscillazioni che soddi- -sfano la condizione iniziale hanno la forma

x=- (fflt-senmt). mTw3

Per t > T cerchiamo una soluzione del tipo Fo x=cicos(o(t-T)+c2sena (t-T)+- ma2 '

Dalla condizione di continuitÃ di x ed x per t = T ricaviamo:

ci= -L s e (or, cg = Ã‘Ã‘ Fo (1 - cos aT). mTa3 mTco

1 08 CAPITOLO QUINTO

Quindi l'ampiezza delle oscillazioni Ã

Notiamo che essa Ã tanto pifi piccola, quanto pifi lentamente si a inserisce Ã

la forza F n (cioÃ quanto piii grande Ã T ) . 3. Risolvere il problema 2 nel caso di una forza costante Fu che agisce

per un tempo limitato T (fig. 25) .

Fig. 26 Fig. 27

Soluzione. Si puÃ seguire lo stesso metodo che nel problema 2, ma Ã pih semplice servirsi della formula (22, lO) . Per t > T abbiamo oscillazioni libere attorno alla posizione x = 0 ; allora

i l quadrato del modulo dÃ l'ampiezza secondo la formula 1 E l 2 = a z d . Si ottiene infine:

4. Risolvere i l problema 2 nel caso di una forza agente in un intervallo da zero a T secondo la legge F = Fyt /T (fig. 26) .

Soluzione. Usando lo stesso metodo si ottiene:

a=- F0 " ~ / u T z - ~ W T sen wT + 2 ( 1 - cos @T) . T m a 3

5. Risolvere i l problema 2 nel caso di una forza che varia in un intervallo di tempo da zero a T = 2 d m secondo la legge F = Fa sen mt (fig. 27).

Soluzione. Sostituendo nella (22,lO) F F ( t ) = Fo sen mt = 2 (ei0"- e-'"') 2i

ed integrando da zero a T : otteniamo: F n a=-Â¡ ma2 '

$ 23. Oscillazioni dei sistemi con p i ~ gradi di libertÃ

La teoria delle oscillazioni libere dei sistemi con piii (s} gradi di libertÃ puÃ essere costruita analogamente alla teoria delle oscillazioni unidimensionali considerate nel $ 21.


Supponiamo che l'energia potenziale U di un sistema, come funzione delle coordinate generalizzate qi (i = 1, 2, . . ., s), abbia u n minimo per qi = qio. Introducendo i piccoli spostamenti

xt = qi - OÃŒ (23,l)

e sviluppando U rispetto ad essi sino a i termini del secondo ordine, otteniamo per l'energia potenziale la forma quadratica definita positivamente

dove contiamo di nuovo l'energia potenziale a partire dal suo valore minimo. PoichÃ i coefficienti kik e k f i entrano nella (23,2) moltiplica t i per l a stessa grandezza xixk, Ã chiaro che s i possono considerare sempre simmetrici rispetto ai loro indici

kik=kki.

Nell'espressione dell'energia cinetica, che generalmente puÃ essere scritta nella forma

Ivedi la (5,5)1, sostituiamo i coefficienti qi = qio; indicando le CO-

s tant i aift (qo) con /reik, otteniamo l'energia cinetica come forma quadratica positivamente definita

Anche i coefficienti mik possono essere considerati sempre simmetrici rispetto ai loro indici

= "lfti.

Dunque, un sistema che compie piccole oscillazioni libere ha per funzione d i Lagrange

Stabiliamo ora le equazioni del moto. Per determinare le derivate, scriviamo i l differenziale totale della funzione di Lagrange:

PoichÃ i l valore della somma non dipende ovviamente da come si denotano gli indici della sommatoria, scambiamo nel primo e terzo termine tra parentesi i con k e k con i; tenendo conto della simmetria

dei coefficienti mih e kih, otteniamo . . dL = (miftxft dxi - ktk-~hdxi).

i , h

Da questa formula Ã chiaro che

Le equazioni di Lagrange sono quindi

Esse rappresentano un sistema di s (i = 1, 2, . . ., s) equazioni differenziali lineari omogenee con coefficienti costanti.

Seguendo l a regola generale d i risoluzione di equazioni di questo tipo, cerchiamo le s funzioni incognite xk ( t ) nella forma

dove A k sono costanti da determinare. Sostituendo la (23,6) nel sistema (23,5), otteniamo dopo la divisione per eÃ a un sistema di equazioni algebriche lineari omogenee cui debbono soddisfare le costanti Ah:

AffinchÃ questo sistema abbia soluzioni differenti da zero, occorre che i l determinante dei coefficienti si annulli

L'equazione (23,8), detta equazione caratteristica, Ã un'equazione di grado s in ca2. Essa ha, in generale, s radici reali positive distinte cak, a = 1, 2, . . ., s (in casi particolari alcune di queste radici possono coincidere). Le grandezze (ua cos! definite sono dette frequenze proprie del sistema.

Il fatto che le radici dell'equazione (23, 8) sono reali e positive Ã evidente a priori da considerazioni fisiche. Infatti, se Q) avesse una parte immaginaria, ciÃ significherebbe l'esistenza nelle relazioni (23,6), che definiscono le coordinate xk in funzione del tempo (e anche delle velocitÃ xh), di un fattore esponenziale crescente o decrescente- Ma l'esistenza di un tale fattore Ã inammissibile in questo caso, poi- chÃ porterebbe alla variazione con il tempo dell'energia totale del sistema E = U + T, cosa in contraddizione con la legge di conservazione.

Alla stessa conclusione si puÃ giungere con un metodo puramente matematico. Moltiplicando l'equazione (23,7) per Af e sommando


poi rispetto ad i, s i ottiene

2 ( - ca2mik + kih) A+ O , i , k

da cui

Essendo i coefficienti kik ed mik reali e simmetrici, le forme quadratiche al numeratore e a l denominatore d i questa espressione sono reali; infatti,

Queste forme sono essenzialmente positive e, di conseguenza, Ã positiva la grandezza dl).

Sostituendo nelle equazioni (23,7) le frequenze aa con i valori trovati, otterremo i valori corrispondenti dei coefficienti Ah. Se tut te le radici ma dell'equazione caratteristica sono diverse, i coefficienti Ah sono proporzionali, come Ã noto, a i minori del determinante (23,8), nel quale ca Ã stata sostituita dal corrispondente valore ma. Indichia- mo questi minori con Aha. La soluzione particolare del sistema d i equazioni differenziali (23,5) Ã quindi.

dove Ca Ã una costante (complessa) arbitraria. La soluzione generale Ã data dalla somma di tut te le s soluzioni

particolari. Prendiamo di esse solo la parte reale e la scriviamo nella forma

xk = Re { ~ ~ ~ ~ ~ e ' ' Â ¥ > a * s Ahaea, a= l a

(2399)

dovd abbiamo posto ea =Re {cae"-'at}. (23910)

In t a l modo, l a variazione col tempo d i ciascuna delle coordinate del sistema rappresenta la sovrapposizione d i s oscillazioni periodiche semplici e,, e 2 , . . ., O s di ampiezze e d i fasi arbitrarie ma d i frequenze del tut to determinate.

*) Il fatto che la forma quadratica costruita con i coefficienti k ik sia definita positiva, risulta evidente dalla definizione di quest'ultimi nella (23'2) per i valori reali delle variabili. Se scriviamo perÃ le grandezze complesse Ah in forma esplicita ah 4 ibk, otterremo (sempre in virtfi della simmetria di kik) :

cioÃ la somma di due forme definite positive.

112 CAPITOLO QUINTO

Sorge qui una domanda spontanea: Ã possibile scegliere le coordinate generalizzate in modo tale che ciascuna d i esse compia una sola oscillazione semplice? La forma stessa dell'integrale generale (23,9) indica la via per risolvere questo problema.

I n effetti, considerando le s relazioni (23,9) come un sistema di equazioni con s incognite possiamo, risolvendo questo sistema, esprimere le grandezze @i, e 2 , . . ., es mediante le coordinate xi, x2, . . ., xa. Le grandezze @a si possono considerare quindi come nuove coordinate generalizzate. Queste coordinate sono dette normali (o principali) e le loro oscillazioni periodiche semplici, oscillazioni normali del sistema.

Le coordinate normali Qa soddisfano, come segue dalla loro definizione, le equazioni

CiÃ significa che le equazioni del moto in coordinate normali s i se- parano in s equazioni indipendenti. L'accelerazione di ciascuna coordinata normale dipende soltanto dal valore di questa stessa coordinata e per determinarne completpmente l'andamento nel tempo occorre conoscere il valore iniziale soltanto della coordinata stessa e della corrispondente velocitÃ I n al tr i termini, le oscillazioni normali del sistema sono completamente indipendenti.

Da quanto detto risulta in modo evidente che la funzione di La- grange, espressa in coordinate normali, s i separa in una somma di e- spressioni ciascuna delle quali corrisponde ad una oscillazione lineare d i frequenza ma, cioÃ assume la forma

L= 2 ?.~(6;-~-.&) 2 J a , (23,121

a

dove ma sono costanti positive. Dal punto d i vista matematico ciÃ significa che le due forme quadratiche: energia cinetica (23,3) ed energia potenziale (23,2) vengono ridotte contemporaneamente dalla trasformazione (23,9) ad una forma diagonale.

Le coordinate normali vengono scelte solitamente in modo tale che i coefficienti dei quadrati delle velocitÃ nella funzione lagrangiana siano uguali a 112. f3 sufficiente a questo scopo determinare le coordinate normali (indichiamole ora con Qa) dalle uguaglianze

Qa = V m a ~ a . (23,13) Allora

1 L = ,- 3 (9;- ";Q;).

a Quanto esposto sopra cambia poco nel caso in cui fra le radici

dell'equazione caratteristica alcune sono multiple. La forma generale (23,9), (23,lO) dell'integrale delle equazioni del moto resta inal-


tera ta (con lo stesso numero s eli tenniiii), con la sola differenza che i coefficienti A;,,, corrispondenti alle frequenze multiple non sono pi6 i minori del determinante i quali , come 6 noto, in questo caso s i annullano l ) .

A ciascuna frequenza mult ipla (o, come s i dice, degenere) corrispondono tante coordinate normali diverse quanto Ã i l grado d i mol- tepl ic i t i , ina la scelta d i queste coordinate non Ã univoca. Dato che le coordinate normali (con la stessa W,-,) entrano nell'energia cinetica

e ~lell 'energia potenziale sotto forma d i somme ^Qr, e 2Q; con proprieti1 identiche di t rasfor ina~ione, le s i pu6 sottoporre a qualsiasi trasformazione lineare che lasci invar iante l a somma dei quadrati .

La determinazione delle coordinate normali per oscillazioni tri- d i m e n s i o ~ i ~ ~ l i di u n punto materiale che s i trova costantemente in 1111

campo esterno 6 assai semplice. Ponendo l 'origine di uri sistema (li coordinate cartesiane in 1111 piiiito di minimo dell'energia poi enziale U (,T, y. z ) , otteniamo qnest 'ult ima in ~ i n a forma quadratica delle variabili x, y, z , mentre l 'energia cinetica

(n1 6 la massa delle particelle) non dipende dalla scelta della direzione degli assi coordinati. Ã sufficiente quindi ridurre l'energia potenzia- lo. con [ma rotazione appropriata degli assi, ad una forma diagonale. Abbiamo allora

e lungo gli assi x, y, 'z s i hanno oscillazioni principali d i frequenze

Nel caso particolare d i u n campo a simmetria centrale (li1 ki, = = ky = k, U = kr^/2), queste t re frequenze coincidono (vedi problema 3).

L'liso delle coordinate normali permette d i ridurre il problema delle oscillazioni forzate di un sistema con pifi gradi d i libert; a l problema delle oscillazioni forzate unidimensionali. Tenendo conto dell'azione d i forze esterne variabili , l a funzione d i Lagrange del sistema assume la forma

l) 11 fatto che nell'integrale generale non possono comparire accanto ai fattori esponenziali anche fattori algebrici dipendenti dal tempo Ã evidente dalle stesse considerazioni fisiche che escludono l'esistenza di Ã frequenze Ã

complesse: la presenza di ta l i fattori contraddirebbe la legge di conservazione dell'energia.

114 CAPITOLO QUINTO

dove Lo Ã la lagrangiana delle oscillazioni libere. Sostituendo alle coordinate xk le coordinate normali, s i ottiene:

L=;Z ( Q ~ - U M ) + ~ Q.. (23,16) a a

dove

Le equazioni del moto sono allora

e contengono ciascuna una sola funzione incognita Q a ( t ) .

P R O B L E M I

1. Determinare le oscillazioni di un sistema con due gradi d i libertÃ se la sua funzione d i Lagrange Ã

(due sistemi unidimensionali identici con frequenza propria un, legati dall'inte razione -axy).

Soluzione. Le equazioni del moto sono

La sostituzione (23,6) dÃ

L'equazione caratteristica Ã ((o; - co2)2 = az, da cui @=$-a, c o 2 - 3 2-fflo+a-

Per o = col le equazioni (1) danno A X = Au, e per co = wZ A x = -Ag . Di conseguenza,

(il coefficiente 1/1/2corrisponde alla normalizzazione delle coordinate indicata nel testo).

Per a < (legame debole), abbiamo:

La variazione di x ed y rappresenta i n questo caso la sovrapposizione d i due oscillazioni di frequenze vicine, cioÃ ha un carattere di battimenti con frequenza uÃ - col = a h o (vedi $ 22). Notiamo che nell'istante in cui l'ampiezza della coordinata x raggiunge i l suo massimo, l'ampiezza della coordinata y raggiunge i l suo minimo, e viceversa.

2. Determinare le piccole oscillazioni d i un pendolo piano doppio (fig. l).


Soluzione. Per piccole oscillazioni ((p, < 1, qi., < 1) la funzione di Lagrange, trovata nel problema 1 del 5 5, assume la forma

Dopo la sostituzione (23,6) abbiamo:

A l (mi + ma) ( g lico2) - A2a2m2& = O , - A l l l ~ ' ^ + A 2 ( g Ã ‘ l 2 ~ 2 ) = O

Le radici dell'equazione caratteristica sono:

Quando m i + m , le frequenze tendono ai limiti mi e m2 che corrispondono alle oscillazioni indipendenti dei due pendoli.

3. Trovare la traiettoria di una particella in un campo centrale U = k r w (oscillatore spaziale).

Soluzione. Come in ogni campo centrale, il moto avviene in un piano. Sia questo il piano xy. La variazione di ciascuna coordinata x, y Ã un'oscillazione semplice di una stessa frequenza a = vkk/m:

x = a cos (mt + a) , y = b cos ( a t + 6) ovvero

x = a cos c p , y = b cos (cp + 6) = b cos 6 cos cp - b sen 8 sen (p,

dove Ã stato posto q = a t + a, 6 = P - a. Ricavando di qui cos cp e sen q e formando la somma dei loro quadrati. si ottiene l'equazione della traiettoria:

x 2 y2 2xy -+--- cos &=se$& a2 b2 ab

che rappresenta un'ellisse avente per centro l'origine delle coordinate1). Per 8 = O oppure n, la traiettoria degenera in segmenti di retta.

j 24. Oscillazioni delle molecole

Se s i ha un sistema d i particelle interagenti, ma non poste in un campo esterno, non tu t t i i gradi d i libertÃ del sistema hanno carattere oscillatorio. Le molecole sono un tipico esempio di sistemi d i questo genere. Oltre a i movimenti che rappresentano oscillazioni degli

l) I l fatto che in un campo d'energia potenziale U = k f l 2 i l moto possa avvenire lungo una curva chiusa, Ã stato giÃ notato nel 5 14.

8*

116 CAPITOLO QUINTO

atomi intorno alla loro posizione d'equilibrio all'interno della molecola, la molecola in blocco puÃ compiere moti traslazionale e rotazionale.

Al moto di traslazione corrispondono tre gradi di libertÃ ed altrettanti ne possiede generalmente il moto di rotazione; dei 3n gradi di liberti d i una molecola n - atomica, 372 - 6 corrispondono quindi a un moto oscillatorio. Fanno eccezione molecole nelle quali tu t t i gli atomi sono distribuiti lungo una retta. PoichÃ parlare di rotazione intorno a questa retta non ha senso in questo caso, esistono solamente due gradi di liberth corrispondenti al moto di rotazione; quindi i moti oscillatori possiedono 3n - 5 gradi di libertÃ

Per risolvere i l problema meccanico delle oscillazioni di una molecola, Ã opportuno escludere sin dall'inizio i gradi di libertÃ corrispondenti ai moti traslazionali e rotazionali.

Per eliminare i l moto di traslazione, Ã necessario porre uguale a zero l'impulso totale della molecola. Questo significa immobilitÃ del siio centro di massa, ci; che si p116 esprimere matematicamente ponendo uguali a costanti le tre coordinate di quest'ultimo. Posto rn = rno -L u,, (dove rao Ã il raggio vettore della posizione immobile d'equilibrio dell'a - esimo atomo ed ua il suo spostamento da questa posizione), scriviamo la condizione

2, mara = costante = 2 marao

nella forma h a u n = 0. (24, l)

Per eliminare la rotazione della molecola occorre porre uguale a zero il suo momento angolare totale. Dato che il momento angolare non Ã la derivata totale rispetto a l tempo di una funzione delle coordinate, questa condizione non puÃ essere espressa, in generale, ponendo uguale a zero una funzione d i questo tipo. Il caso delle piccole oscillazioni rappresenta, perÃ² un'eccezione. Infatti, ponendo ancora ra = rao + u0 e trascurando gli infinitesimi del secondo ordine negli spostamenti ua, scriviamo i l momento angolare della molecola nella forma

La condizione perchÃ esso scompaia puÃ essere espressa, in questa approssimazione, nel seguente modo:

ma [raoual = O ( 2 4 2 ) (l'origine delle coordinate puÃ essere scelta qui arbitrariamente).

Le oscillazioni normali di una molecola si possono classificare secondo il carattere del moto degli atomi, partendo da considerazioni legate alla simmetria della configurazione degli atomi nella molecola


(posizione d'equilibrio). Esiste a questo scopo un metodo generale' basato sull'uso della teoria dei gruppi; questo metodo verrÃ esposto in un altro volume del presente corso1). Ci limiteremo per ora a qualche esempio elementare.

Se tu t t i gli n atomi della molecola s i trovano in un medesimo piano, si possono distinguere le oscillazioni normali che lasciano gli atomi in questo piano da quelle che l i fanno uscire da questo piano. facile stabilire i l numero d e l l e oscillazioni dell'uno e dell'altro tipo poichÃ per un moto piano ci sono in tutto 2r1 gradi d i libertÃ dei quali due d i traslazione e uno di rotazione, il numero delle oscillazioni normali che lasciano gli atomi nel piano Ã uguale a 2n - 3. Gli altri (3n - 6) - (2n - 3) = n - 3 gradi di libertÃ del moto oscillatorio corrispondono alle oscillazioni che fanno uscire gli atomi dal piano.

Nel caso di una molecola lineare, si possono distinguere le oscillazioni longitudinali che ne conservano la forma rettilinea dalle oscillazioni che fanno uscire gli atomi dalla retta. PoichÃ al moto di n particelle su una linea corrispondono n gradi di libertÃ di cui uno traslazio- naie, il numero d i oscillazioni che non fanno uscire gli atomi dalla retta Ã uguale ad n - 1. Essendo 3n - 5 il numero totale di gradi di libertÃ del moto oscillatorio di una molecola lineare, le oscillazioni che portano gli atomi fuori dalla retta sono quindi 2n - 4. A queste oscillazioni corrispondono, perÃ² in tut to n - 2 frequenze distinte, poichÃ ognuna di queste oscillazioni pu6 essere realizzata in due mo- di indipendenti, cioÃ in due piani reciprocamente (passanti per l'asse della molecola); dalle considerazioni di simmetria risulta chiaramente che ciascuna coppia di oscillazioni normali ha un'unica frequenza.

1. Determinare le frequenze delle oscillazioni di una molecola lineare, simmetrica, triatomica A B A (fig. 28). Si suppone che l'energia potenziale della molecola dipenda solo dalle distanze A - B e B - A e dall'angolo A B A .

Soluzione. Gli spostamenti longitudinali degli atomi xi, a-,, xy sono legati, in virtfi della (24,1), dalla relazione

Con l'aiuto di questa formula eliminiamo x, dalla funzione di Lagrange del moto longitudinale della molecola

l) Vedi Meccanica quantistica, 5 100. 2, Per le oscillazioni di molecole pih complesse si veda M. V o 1 k e n -

s t e i n, M . E l j a s C e v i C, B. S t e p a n o v, Kolebania molekul (Oscil- lazioni delle molecole), Gostechizdat, 1949, Mosca; G. H e r z b e r g, Mole- cular Spectra and Molecular Structure, Van Nostrand, 1945, New York.

118 CAPITOLO QUINTO

dopo di che, introducendo le nuove coordinate

(p = 2mA + mn Ã la massa della molecola). Da questa relazione si vede che Qa e Q. sono coordinate normali (a meno della normalizzazione). La coordinata

Fig. 28

Qa corrisponde a una oscillazione antisimmetrica rispetto al centro della molecola (21 = scy; fig. 28, a) con frequenza

La coordinata Qy corrisponde a una oscillazione simmetrica (xl = -3-3; fig. 28,b) con frequenza

Gli spostamenti trasversali degli atomi yl , y,, yg sono legati, in virtfi delle ( 2 4 , l ) e (24,2), dalle relazioni

(oscillazione simmetrica della curvatura; fig. 2 8 , ~ ) . Scriviamo l'energia potenziale di curvatura della molecola nella forma k 2 W / 2 , dove 6 Ã la deviazione dell'angoio ABA da n; questa deviazione si esprime mediante gli spostamenti nel seguente modo:

Esprimendo tutti gli spostamenti yi, yg, ys mediante 6, otteniamo la funzione di Lagrange dell'oscillazione trasversale -nella forma

da cui la frequenza Ã


2. Risolvere problema 1 per una molecola ABA di forma triangolare (fig. 29). Soluzione. Secondo le (24,l) e (24,2),le componenti degli spostamenti

u degli atomi nelle direzioni X ed Y (fig. 29) sono legate dalle relazioni

"A ( ~ 1 + ~ 3 ) + mgXs = 0. IY

A I

"t, (YI + Y3) + m ~ Y i = 0,

sen a (y, - y3) - cos a (xl + x3) = 0. D x

Le variazioni 61, e 6& delle distanze A - B LJ

e B - A si ottengono roiettando i vettori u, - u, ed u3 - u, suyle rette AB e B A :

6 4 = (x, - x2) sen a + (yl - y2) cos a , & = - (x3 - xf} sen a + (y3 - yz) cos a. La variazione dell'angolo ABA si ottiene proiettando gli stessi vettori sulle direzioni perpendicolari ai segmenti A B e B A :

1 i=-[(xi-x2) cosa-(yi-yd seria]+ 2

A

+L [-(x3-x2) cosa- (y3- y2) sen a]. 2 Fig. 29 La funzione di Lagrange della molecola Ã

Introducendo le nuove coordinate

Q a = ~ i + ~ 3 * qst=xi-~3, q s ~ = ~ i + i / 3 , le componenti dei vettori u si possono esprimere con le seguenti relazioni:

Dopo i necessari calcoli, otteniamo per la funzione di Lagrange

-- l ( k ~ e n 2 a + 2k2 cosa a) - qj2 L (kt cosa a +2k2 sen2 a ) + 4 4m-n

(2k2 - kl) sen a cos a. -t ?sl?s2 - Imi Risulta da questa relazione che la coordinata Qa corrisponde ad un'oscillazione normale di frequenza

antisimmetrica rispetto all'asse Y (xl = x3, y, = -v3; fig. 29,a).

120 CAPITOLO QUINTO

Le coordinate q 1 e qs2 corrispondono insieme a due oscillazioni (simmetriche rispetto all'asse Y: xl = -x3, yl = y3; fig. 29,b e e ) le cui frequenze aSl e as2 sono definite come radici dell'equazione caratteristica di secondo grado in a2:

Per 2a = JI queste frequenze coincidono con quelle che sono state trovate nel problema 1.

Fig. 30

3. Risolvere i l problema 1 per una molecola lineare asimmetrica A B C (fig. 30).

Soluzione. Gli spostamenti longitudinali ( x ) e trasversali (y) degli atomi sono legati dalle relazioni

Scri\iamo l'energia potenziale d i allungamento e di curvatura nella forma

(21 = I-, + l ? ) . Calcoli analoghi a quelli del problema 1 ci danno il valore

per la frequenza dell'oscillazione, trasversale e l'equazione di secondo grado (in co2)

per le frequenze col, e a;, delle due oscillazioni longitudinali.

$ 25. Oscillazioni smorzate

Finora abbiamo sempre supposto che i l moto dei corpi avvenga nel vuoto o che s i possa trascurare l'influenza del mezzo sul moto. I n realtÃ quando un corpo si muove in un mezzo, quest'ultimo eserci- ta una resistenza che tende a rallentare il moto. I n questo caso l'energia del corpo si trasforma alla fine in calore o, come si dice, viene dissipata.

In queste condizioni i l moto non Ã pifi un processo puramente meccanico, ed i l suo studio richiede che si tenga conto del movimen- to del mezzo stesso e dello stato termico interno sia del mezzo che del


corpo. I n particolare, non si puÃ in generale considerare che l'accelerazione d i un corpo in moto sia funzione soltanto delle sue coordinate e della velocitÃ in un istante dato; in al t r i termini, non esistono equazioni del moto nel senso comunemente usato in meccanica. In t a l modo, i l problema del moto d i un corpo in un mezzo non Ã pih un problema d i meccanica.

Esiste, perÃ² t u t t a una categoria d i casi in cui i l moto in un mezzo puG essere descritto approssimativamente mediante le equazioni della meccanica, introducendovi alcuni termini supplementari. Tale Ã¨ i l caso, per esempio, delle oscillazioni di frequenze piccole a confronto con le frequenze che caratterizzano i processi interni dissipativi del mezzo. Se questa condizione Ã soddisfatta s i pu6 ritenere che i l corpo sia soggetto all 'azione di una forza di attrito dipendente (per un dato mezzo omogeneo) soltanto dalla sua velocitÃ

Se poi questa velocitÃ Ã sufficientemente piccola, si puÃ sviluppare in potenze Ai essa la forza d i attri to. I l termine di ordine zero dello sviluppo Ã nnllo, poichÃ nessuna (forza d i a t t r i to agisce su un corpo immobile, e i l primo termine non nullo dello sviluppo Ã quindi proporzionale alla velocitÃ In ta l modo la forza generalizzata d 'a t t r i to f n t i r agente su un sistema che compie piccole oscillazioni unidimensionali con coordinata generalizzata x pu6 essere scritta nella forma

dove a Ã un coefficiente positivo e il segno meno sta a significare che la forza agisce nel verso opposto a quello della velocitÃ Aggiungendo questa forza a l secondo membro dell'equazione del moto, otteniamo (cfr. (21,4))

Dividiamo questa espressione per m e poniamo

dove o. Ã la frequenza delle oscillazioni libere del sistema in assenza d i attri to. La grandezza A s i chiama coefficiente di smorzamentol).

La nostra equazione Ã

Seguendo le regole generali d i risoluzione delle equazioni lineari a coefficienti costanti, poniamo x == e r e otteniamo per r l'equazione caratteristica

l) I I prodotto adimensionale \T (dove T = 2n lw Ã i l periodo) Ã detto decremento logaritmico d i smorzamento.

122 CAPITOLO QUINTO

La soluzione generale dell'equazione (25,3) Ã

x = cierit + c2er^t, ri, = -A Â va2 - (o:. Qui occorre distinguere due casi. Se A < (oo, abbiamo per r due valori complessi coniugati. La so-

luzione generale dell'equazione del moto puÃ allora essere scritta nella forma

dove A Ã una costante arbitraria complessa. Questa formula si puÃ scrivere anche come segue:

x = ae->Â¥ cos (@t +a), co = (o: -k2,

dove a ed a sono costanti reali. Queste formule descrivono il moto delle cosiddette oscillazioni smorzate. Un'oscillazione smorzata puÃ essere considerata come oscillazione armonica con ampiezza decrescente esponenzialmente. La velocitÃ con la quale l'ampiezza decresce Ã determinata dal coefficiente A, e la Ã frequenza Ã co delle oscillazioni Ã minore di quella delle oscillazioni libere in assenza d'attrito; per A < (oo la differenza tra co e (oo Ã un infinitesimo del secondo ordine. Una diminuzione della frequenza in presenza d'attrito ci s i doveva aspettare a priori, poichÃ l'attrito in generale rallenta il moto.

Se A < (oo, l'ampiezza dell'oscillazione smorzata quasi non varia nel corso di un periodo 2n/co. In questo caso, ha senso considerare solo i valori medi (nel corso di un periodo) dei quadrati della coordinata e della velocitÃ trascurando la variazione del fattore e-". Questi quadrati medi sono evidentemente proporzionali a e-2". PerciÃ anche l'energia del sistema diminuisce in media secondo la legge -

E= Eoe-2ki P5.5)

dove E. Ã i l valore iniziale dell'energia. Sia ora A > (un. In questo caso entrambi i valori di r sono reali

e negativi. La forma generale della soluzione Ã

Vediamo che in questo caso, che si presenta per un attrito sufficientemente grande, il moto consiste nella diminuzione di 1 x 1, cioÃ nell'approssimarsi asintoticamente (per t Ã‘> m) alla posizione d'e- quilibrio. Questo tipo di moto Ã chiamato smorzamento aperiodico.

Considerando infine il caso particolare in cui Ã = coo, troviamo che l'equazione caratteristica ha una sola radice (doppia) r = -h.


Com'Ã noto, la soluzione generale dell'equazione differenziale Ã

x = (ci +c2t) e-at. (25,7) Questo Ã un caso particolare di smorzamento aperiodico che, come i l precedente, non ha pifi carattere oscillatorio.

Per un sistema con pifi gradi di libertÃ le forze d'attrito generalizzate, corrispondenti alle coordinate xi, sono funzioni lineari delle velocitÃ del tipo

Partendo da considerazioni puramente meccaniche, non si puÃ trarre nessuna conclusione riguardo alla simmetria dei coefficienti aik rispetto agli indici i e k. I metodi della fisica statistica I) permettono perÃ di mostrare che sussiste sempre l'uguaglianza

Di conseguenza, le espressioni (25,s) si possono scrivere come derivate 9F

f i a t t r = -7 ax,

(25; 10)

della forma quadratica

chiamata funzione di dissipazione. Le forze (25'10) debbono essere aggiunte a l secondo membro delle

equazioni di Lagrange

La funzione di dissipazione ha di per sÃ un significato fisico importante: essa determina l'intensitÃ della dissipazione d'energia nel sistema. Di questo Ã facile convincersi calcolando la derivata rispetto al tempo dell'energia meccanica del sistema. Abbiamo:

PoichÃ F Ã una funzione quadratica delle velocitÃ per il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee la somma del secondo membro del- l'uguaglianza vale 2F. Quindi

l) Vedi Fisica statistica, 3 121.

124 CAPITOLO QUINTO

cioÃ la velocitÃ d i variazione dell'energia del sistema Ã data dal doppio della funzione d i dissipazione. PoichÃ i processi dissipativi causano una diminuzione d'energia, deve sempre essere F > O, cioÃ la forma quadratica (25,11) Ã sempre positiva.

Le equazioni delle piccole oscillazioni in presenza d'attrito si ottengono aggiungendo le forze (25,8) al secondo membro delle equazioni (23,5):

Ponendo in queste equazioni Xh = Akert ,

e dividendo poi per ert, otteniamo un sistema di equazioni algebriche lineari per le costanti Ab

Ponendo uguale a zero il determinante di questo sistema, troviamo l'equazione caratteristica che d i i valori di r:

L'equazione ottenuta Ã di grado 2s rispetto ad r. PoichÃ tu t t i i suoi coefficienti sono reali, le sue radici sono o reali o complesse coniugate a coppie. Le radici reali sono sempre negative, mentre le radici complesse hanno solo la parte reale negativa. Se questo non si verificasse, le coordinate, le velocitÃ e con esse l'energia del sistema, crescerebbero esponenzialmente col tempo, mentre la presenza di forze dissipative deve portare ad una diminuzione dell'energia.

$ 26. Oscillazioni forzate in presenza d'attrito

Lo studio delle oscillazioni forzate in presenza d'attrito Ã del tutto analogo a quello delle oscillazioni senza attrito (cfr. $ 22). Ci soffermeremo qui dettagliatamente sul caso di particolare interesse quando la forza che provoca le oscillazioni Ã periodica.

Aggiungendo al secondo membro dell'equazione (25,1) la forza esterna f cos y t e dividendo per m, s i ottiene l'equazione del moto nella forma

PoichÃ Ã comodo risolvere questa equazione in forma complessa, sostituiamo cosy t con e*': . .

i + 2 ~ i + a i . c = ; e ' ~ t .


Cercando un integrale particolare nella forma x = Bew, troviamo per B:

Scrivendo B nella forma &ei6, abbiamo per b e 6:

Separando infine la parte reale dall'espressione Beiyt = beÃ¬(vt+Q otteniamo un integrale particolare dell'equazione (26,i); aggiungendo a questo integrale la soluzione generale dell'equazione senza i l secondo membro (che noi scriviamo per i l caso in cui wo > A), otteniamo:

x = a e - u c o s (tilt+a) -+ bcos (yt+6). (26'4)

PoichÃ i l primo termine decresce esponenzialmente col tempo, dopo un intervallo d i tempo abbastanza lungo resterÃ soltanto i l secondo termine:

x == b cos (yt + 6). (265) Sebbene l'espressione (26,3), che d i l'ampiezza b di una oscilla-

zione forzata, cresca quando la frequenza y tende a uO, essa non assume perÃ valori infiniti, come questo Ã avvenuto nel caso d i risonanza in assenza d'attrito. Per un'ampiezza data della forza f, l'ampiezza delle oscillazioni Ã massima quando l a frequenza y = vtili - 2Ã‹2 se A< uo, il valore differisce da (do solo per un infinitesimo del secondo ordine.

Consideriamo la regione in prossimitÃ della risonanza. Poniamo y = wo + e, dove e Ã una quantitÃ piccola; supponiamo anche che ?L< wo. Si puÃ allora considerare nella (26,2) con buona approssimazione

y2- (02 = (y CO0) (V - "0) W 2 ~ ~ 6 , 2i>.y W 2 i b ,

cosicchÃ

Notiamo i l carattere particolare dell'andamento della variazione della differenza di fase 6 fra l'oscillazione del sistema e la forza esterna al variare della frequenza di quest'ultima. Questa differenza Ã sempre negativa, cioÃ l'oscillazione Ã Ã in ritardo Ã rispetto alla forza esterna. Lontano dalla frequenza d i risonanza, per valori

126 CAPITOLO QUINTO

y <; wO, 6 tende a zero, e per y > (DO tende a -n. La variazione d i 6 da zero a -n s i effettua in una stretta regione d i frequenze (di larghezza - A) vicine a uo; per y = (D,, la differenza d i fase assu-

n me i l valore - . Notiamo a questo proposito che in assenza d'attri- t o la fase dell'oscillazione forzata, per una variazione pari a n, fa un salto per y = tu,, (il secondo termine nella (22,4) cambia d i segno); l 'attrito Ã smussa Ã questo salto.

Stabilizzato il moto, quando i l sistema compie le oscillazioni forzate (26,5), l a sua energia resta costante. I l sistema assorbe conti- nuamente (dalla sorgente di una forza esterna) energia, che viene

Fig. 31

dissipata a causa dell'attrito. Indichiamo con I (y) la quantitÃ di energia assorbita in media nell'unitÃ d i tempo e considerata come funzione della frequenza della forza esterna. Secondo l a (25,13) si ha

I (y) = 2F, dove F Ã i l valore medio (per un periodo d'oscillazione) della funzione di dissipazione. Per un moto unidimensionale l'espressione ( 2 5 , l l ) della funzione d i dissipazione assume l a forma F = ux2/2 = Amx2. Sostituendo qui l a (26,5), s i ottiene:

F = Ã‹mb2y sen2 (yt + O ) .

PoichÃ i l valore medio del quadrato del seno rispetto a l tempo Ã uguale a 112, si h a

I (y) = Ã‹mÃ±2y (26,8)

Vicino alla risonanza, sostituendo l'ampiezza dell'oscillazione ricavata dalla (26,7), abbiamo

Questo tipo d i dipendenza dell'assorbimento d i energia dalla frequenza si chiama dispersivo. I l valore di 1 e 1 per cui I ( E ) diminuisce al valore metÃ del suo valore massimo raggiunto per E = O si chiama semilarghezza della curva d i risonanza (fig. 31).


Dalla formula (26,9) s i vede che, nel caso considerato, questa larghezza coincide con il coefficiente di smorzamento A. L'altezza del valore massimo

Ã inversamente proporzionale a A. Cosi, a l decrescere del coefficiente di smorzamento, la curva di risonanza diventa pifi stretta e pifi alta; in altre parole, i l suo massimo diventa pifi acuto. PerÃ l'area compresa sotto la curva d i risonanza resta immutata.

Questa area Ã data dall'integrale

PoichÃ I(&) decresce rapidamente a l crescere di 1 E l, cosicchÃ la regione dei grandi valori di 1 E 1 non ha un'importanza sostanziale, si puÃ nell'integrazione usare per I (e) la forma (26,9) e prendere come limite inferiore - oo. Allora

P R O B L E M A

Determinare le oscillazioni forzate in cresenza d'attrito sotto l'azione di una forza esterna f = f,,eafcos Â¥\'l

Soluzione. Risolviamo l'equazione del moto in forma complessa

Separiamo poi la parte reale della soluzione. Otteniamo come risultato un'oscil- lazinnc forzata nella forma:

x = beat cos (~ t+6)9 dove

$ 27. Risonanza parametrica

Esistono sistemi oscillanti non isolati in cui l'azione esterna si traduce in variazione dei loro parametri con il tempo l).

Un sistema ad una dimensione ha per parametri i coefficienti m e k nella funzione d i Lagrange (21,3); se essi dipendono dal tempo,

1) U n esempio semplice di questo genere Ã un pendolo il cui punto di sospensione compie un dato moto periodico lungo la verticale (vedi problema 3).

128 CAPITOLO QUINTO

l'eqiiazione del moto si scrive:

Se in luogo d i t introduciamo una nuova variabile indipendente T

ta le che di = &m ( t ) , questa equazione assume la forma

PerciÃ¬ di fatto, senza alcuna perdita d i generalitÃ Ã sufficiente considerare nn'equazione del moto del t ipo

clie si ott iene se nella ( 27 , l ) poniamo m uguale a costante. LA forma della funzione a ( t ) viene da ta dalle condizioni del pro-

blema; supponiamo che questa funzione s ia periodica con una frequen- 7;i y (e (li periodo T - In y ) . Ci6 vuoi dire che

O ) ( t L T ) = OJ ( t )

e, d i conseguenza, t u t t a l 'equazione (27,2) 6 invariante rispetto a l la Irasforniti/iorie t + t +- T . Perci6 se x ( t ) Ã una soluzione clell'equazione, anche la funzione x ( t 2- T ) C una soluzione della stessa eqiiazione. I n a l t r i termini, se xi ( t ) ed X , ( t ) sono due integrali indipen- dent i dell 'equazione (27,2), con la sostituzione t Ã‘ t + T essi si trasformano linearmente l 'uno nell 'al tro. Si pu6 l ) inolire scegliere xi ed x , in modo ta le che sostituendo t con t -+ T la loro variazione s i riduca semplicemente alla moltiplicazione per un fattore costante:

q ( t + T ) = ^ l ( t ) , J- , ( t + T ) = ^,.T.; ( I ) .

La forma piG generale delle funzioni avent i questa proprie t i

xl ( t ) = pt ( t ) , X , ( t ) = #Il2 ( t ) , (27.3)

dove 111 ( t ) e Il, ( t ) sono funzioni semplicemente periodiche del tempo (di periodo T).

Le costanti pl e p2 i n queste funzioni debbono essere legate da una determinata relazione. In fa t t i , moltiplicando le equazioni

. . . . X , + (9 ( t ) X i = 0 , x2 + m2 ( t ) x2 = O

rispettivamente per x , ed x, e sottraendo l 'una dall 'al tra, s i ottiene:

xtxZ - x1x2 -= costante.

l) A condizione che le costanti p, e p, non coincidano.


Ma per due qualsiasi funzioni xl ( t ) e x2 (t) del tipo (27,3) i l primo membro di questa uguaglianza viene moltiplicato per plp2 quando l'argomento t Ã sostituito da t -4- T. PerchÃ l'uguaglianza (27,4) sia soddisfatta, Ã indispensabile quindi che

Altre conclusioni sulle costanti pl e p2 si possono trarre nel caso in cui i coefficienti dell'equazione (27,2) sono reali. Se x ( t ) Ã un integrale di questa equazione, la funzione complessa coniugata x* (t) deve soddisfare la stessa equazione. Quindi la oppia di costanti p,, p2 deve coincidere con la coppia p*, p*, cioÃ o s" eve verificarsi il caso h = p: 0 pl e p2 debbono essere reali. Nel primo caso, tenendo conto della (27,5), si ha p, = 1/pT7 cioÃ 1 j2 = 1 pa l2 = 1; le costanti p1 e p2 hanno modulo uno.

Nel secondo caso, i due integrali indipendenti dell'equazione (27,2) sono della forma

dove p Ã un numero reale positivo o negativo diverso da uno. Una di queste funzioni (la prima se 1 p 1 > 1 o la seconda se 1 p 1 < < 1) cresce esponenzialmente col tempo. CiÃ vuoi dire che lo stato d i quiete del sistema (nella posizione d'equilibrio x = 0) Ã instabile: Ã sufficiente un allontanamento arbitrariamente piccolo da questo stato perchÃ lo spostamento x provocato cominci a crescere rapidamente col tempo. Questo fenomeno si chiama risonanza parametrica.

Occorre sottolineare che, se x e x inizialmente nulli, saranno nulli anche nei momenti successivi, a differenza di quanto avviene nella risonanza ordinaria ( 5 22) in cui un aumento dello spostamento con il t e m p i (proporzionalmente a t ) si verifica anche se il suo valore iniziale Ã zero.

Mettiamo in luce le condizioni per cui si verifica la risonanza parametrica nell'importante caso quando la funzione a (t) differisce poco da una grandezza costante eoo ed Ã una funzione periodica semplice

09 (t) = eo: (l +h cos y t ) , (27,7)

dove la costante h < 1 (considereremo h positiva, ciÃ che si puÃ sempre ottenere facilmente con una scelta adeguata dell'origine dei tempi). Come vedremo piÃ avanti, si ha una risonanza parametrica della massima intensitÃ quando la frequenza della funzione co (t} Ã vicina a l doppio della frequenza ao. Poniamo quindi:

dove e <; ao.

130 CAPITOLO QUINTO

Cercheremo una soluzione dell'equazione del moto l )

dove a (t) e b ( t ) sono funzioni lentamente (a confronto con i fattori coseno e seno) variabili del tempo. fi evidente che una soluzione di questo tipo non Ã esatta. In realtÃ la funzione x (t) contiene anche termini cui frequenze differiscono da + e12 di un multiplo intero (2w0 + e); questi termini sono, perÃ² infinitesimi d'ordine superiore rispetto ad h, e nella prima approssimazione si possono trascurare (vedi problema 1).

Sostituiamo l a (27,9) con la (27,s) e, nei nostri calcoli, conserviamo soltanto i termini del primo ordine rispetto ad E . Supponiamo

inoltre che a - &a, b - e b (la validitÃ d i questa ipotesi in condizioni di risonanza verrÃ confermata dal risultato). I prodotti dei fattori trigonometrici vanno sviluppati in somme

cos (O,,+- t -cos(2cog+e)/== ( Â ¡ i

ecc. e, conformemente a quanto detto sopra, vanno omessi i termini con frequenze 3 (m,, + â‚¬12 Si ottiene cosi

PerchÃ questa uguaglianza sia soddisfatta, occorre che i coefficienti d i ciascuno dei fattori seno e coseno si annullino contemporaneamente. Otteniamo cosi un sistema d i due equazioni differenziali lineari per le funzioni a ( t ) e b ( t ) . Seguendo regole generali, cerchiamo una soluzione proporzionale a d est. Si ha allora

o la condizione d i compatibilit; d i queste due equazioni algebrichp ci dÃ

2 - E 2 ] . s -- 4

(27.10)

l) l J ~ i ' e ~ ~ ~ i i z i o n e di qnesto t i po (coli yril /1 :~rbitr .n ' i t~t si ehiiiin;~. iit'lla f ; ~ : ~ . , : matemat,ica, equazione d i Matliifii.


La condizione perchÃ si abbia la risonanza parametrica Ã che s sia reale (cioÃ sa > O) l). Cosi, la risonanza parametrica ha luogo nel- l'intervallo

intorno alla frequenza 2coo2). La larghezza di questo intervallo Ã proporzionale ad h, e sono dello stesso ordine i valori del coefficiente di amplificazione delle oscillazioni s nell'intervallo.

La risonanza parametrica ha luogo anche per frequenze y di variazione del parametro del sistema vicine a valori del tipo 2u0/n, dove n Ã un numero intero qualsiasi. Tuttavia la larghezza degli intervalli di risonanza (intervalli d'instabilitÃ con l'aumentare di n diminuisce rapidamente, come h" (vedi problema 2). Diminuiscono nella stessa maniera anche i valori del coefficiente di amplificazione delle oscillazioni all'interno di questi intervalli.

I l fenomeno di risonanza parametrica esiste anche in presenza '

d'attrito debole nel sistema, ma l'intervallo d'instabilitÃ in questo caso si restringe alquanto. Come abbiamo visto nel $ 25, l'attrito provoca uno smorzamento dell'ampiezza delle oscillazioni secondo la legge e-". L'amplificazione delle oscillazioni nel caso di risonanza parametrica segue quindi la legge e^-^)' (con s positiva data dalla soluzione del problema senza attrito), e i l limite dell'intervallo d'in- stabilitÃ Ã determinato dall'uguaglianza s - A = 0. Cosi, ricavando s dalla (27,10), otteniamo per l'intervallo di risonanza, in luogo della (27,11), la disuguaglianza

E opportuno a questo proposito sottolineare che la risonanza Ã possibile non per un'ampiezza h arbitrariamente piccola, ma per un'ampiezza superiore ad una determinata Ã soglia Ã h h , che nel caso della (27,12) Ã uguale a:

Si puÃ mostrare che, per risonanze in prossimitÃ delle frequenze 2ao/n, i l valore di soglia hÃ Ã proporzionale a AiP, cioÃ cresce col crescere di n.

l) La costante fi nella (27,6) Ã legata con s dalla relazione p = -e<"/<Ãˆ (sostituendo t con t + 2"li2wo, coseno e seno nella (27,9) cambiano segno).

*) Se ci interessano soltanto i limiti dell'intervallo di risonanza (e non proprio l'espressione per C entro questo), si possono semplificare i calcoli, notando- che su questi limiti C = O, cioÃ i coef icienti a e b nella (27,9) sono costanti; troviamo allora immediatamente i valori e = Â±hd corrispondenti limiti dell'interrallo (27.11).

S.

132 CAPITOLO QUINTO

P R O B L E M I

1. Determinare a meno di termini d'ordine superiore ad h2 i limiti del- l'intervallo d'instabilitÃ per una risonanza i n prossimitÃ di y = 2mn.

Soluzione. Cerchiamo per l'equazione (27,s) una soluzione del tipo

dove si tiene conto [contrariamente alla (27,9)] anche dei termini d'ordine superiore rispetto ad h. PoichÃ ci interessano soltanto i l imiti dell'intervallo d'insta- bilitÃ supponiamo costanti i coefficienti a., bo, al. b, (conformemente alla nota 2 alla pag. 131). Sostituendo nella (27,8), sviluppiamo in somme i prodotti

di funzioni trigonometriche, tralasciando i termini di frequenze 5 m,, + - e ( 2 dei quali si avrebbe bisogno soltanto per una approssimazione superiore. Otteniamo:

Nei termini d i frequenze ma + ei2 vi sono conservati infinitesimi do1 pr imo e

e del secondo ordine. e nei termini di frequenze 3(w, + quelli di?! primo -

ordine. Ciascuna delle espressioni i n parentesi quadre deve annullarsi separatamente. Le ultime due danno:

dopo di che ricaviamo dalle prime due:

Risolvendo questa equazione a meno dei termini d'ordine h2, otteniamo i valori l imiti d i e cercati:

2. Determinare i limiti dell'intervallo d'instabilitÃ per una risonanza in prossimitÃ di y = ma.

Soluzione. Scrivendo y = mn + e, otteniamo l'equazione del moto

PICCOLE OSCIIAAZIONI 133

Tenendo presente che i valori limiti cercati differiscono poco da h2 (e - ha), cerchiamo la soluzione nella forma:

+ai cos 2 ( a o + e) t + bi sen 2 ((oo + e) t 4- CI.

dove si tiene conto dei termini del primo e del secondo ordine. Per determinare i limiti dell'intervallo d'instabilitÃ supponiamo nuovamente costanti i coefficienti ed otteniamo:

D'onde abbiamo: h h h

ai--=-ao, b, =- bo, c i = -- 6 6 2 a09

e quindi troviamo i due limiti dell'intervallo d'instabilitÃ

3. Trovare le condizioni di risonanza parametrica per piccole oscillazioni di un pendolo piano i l cui punto di sospensione oscilla verticalmente.

Soluzione. La funzione di Lagrange, trovata nel problema 3, e) del 5 5, dÃ per piccole oscillazioni (q < 1) l'equazione del moto

(dove m; = gli}. E chiaro che i l rapporto 4aII funge da parametro h introdotto nel testo. La condizione (27,11), per esempio, assume la forma

$ 28. Oscillazioni anarmoniche

Tutta la teoria delle piccole oscillazioni precedentemente esposta Ã basata su uno sviluppo delle energie cinetica e potenziale secondo le' velocitÃ e le coordinate considerando soltanto i termini del secondo ordine; le equazioni del moto risultano allora lineari, ciÃ che permette in questa approssimazione di parlare di oscillazioni lineari. Sebbene questo metodo sia del tutto legittimo quando l'ampiezza delle oscillazioni Ã sufficientemente piccola, il tener conto delle approssimazioni successive (della cosiddetta anarmonÃ¬cÃ¬ o non linea-

134 CAPITOLO QUINTO

ritÃ delle oscillazioni) porta alla comparsa di proprietÃ del molo che, pur essendo deboli, sono qualitativamente nuove.

Sviluppiamo l a funzione d i Lagrange sino a i termini del terzo ordine. Nell'energia potenziale appariranno allora termini di terzo grado i n coordinate xi, mentre nell'energia cinetica appariranno termini contenenti prodotti delle velocitÃ e delle coordinate . . del tipo xixkxi, questa differenza dalla precedente espressione (23,3) Ã dovuta alla conservazione dei termini del primo ordine rispetto ad x nello sviluppo delle funzioni aik (q). I n t a l modo, la funzione di Lagrange assumerÃ la forma

dove nihl, Iikl sono nuovi coefficienti costanti. Se s i passa dalle coordinate arbitrarie xi alle coordinate normali

Qa (dell'approssimazione lineare), in vir t6 della linearitÃ di questa trasformazione, l a terza e la quarta somma nella (28,1) si trasforme-

ranno in somme analoghe dove le coordinate xi e le velocitÃ x i verran-

no sostituite con Qa e Qa. Indicando i coefficienti in queste somme cor Ã‹ 0y e pa O,,, otteniamo la funzione d i Lagrange

Non scriveremo tut te le equazioni del moto che derivano da que- s ta funzione lagrangiana. L'essenziale Ã che esse sono della forma

dove fa sono funzioni omogenee del secondo ordine delle coordinate Q e delle loro derivate rispetto a l tempo.

Applicando i l metodo delle approssimazioni successive, cerchiamo per queste equazioni una soluzione del tipo

Qa = Q2' + QE', (2894)

dove Q:' < Q2' e dove le funzioni Qg' soddisfano le equazioni Ã im- perturbate . .

Q;) + u2 Q'1) - a a -0.

cioÃ rappresentano oscillazioni armoniche ordinarie

PICCOLE OSCILLAZIONI i35

Nell'approssimazione seguente, conservando nel secondo membro delle equazioni (28,3) soltanto termini infinitesimi del secondo ordine, otterremo per le grandezze Q le equazioni

dove, nel secondo membro, si deve sostituire l'espressione (28,5). Come risultato, otterremo equazioni differenziali lineari non omogenee in cui i l secondo membro puÃ essere trasformato in somme d i funzioni periodiche semplici. Per esempio,

In tal modo, i secondi membri delle equazioni (28,6) contengono termini che corrispondono alle oscillazioni di frequenze uguali alle somme e alle differenze delle oscillazioni proprie del sistema. La soluzione delle equazioni va cercata sotto la forma contenente questi stessi fattori periodicc giungiamo quindi alla conclusione che, nella seconda approssimazione, oscillazioni supplementari di frequenze

(comprese le frequenze 2(ua e l a frequenza O corrispondente ad uno spostamento costante) si sovrappongono con le oscillazioni normali del sistema d i frequenze aa. Le frequenze di queste oscillazioni supplementari sono dette combinatorie. Le ampiezze delle oscillazioni combinatorie sono proporzionali a i prodotti aaFp (oppure ai quadrati 6%') delle corrispondenti oscillazioni normali.

Nelle approssimazioni successive, tenendo conto di termini d'ordine pifi elevato nello sviluppo della funzione di Lagrange, appaiono oscillazioni combinatorie le cui frequenze sono somme e differenze d i un numero p i ~ grande di frequenze aa. Inoltre, s i verifica un altro fenomeno nuovo.

GiÃ nell'approssimazione del terzo ordine appaiono, tra le oscillazioni combinatorie, oscillazioni che coincidono con quelle iniziali ma, (cioÃ ma + (up - me). Applicando il metodo descritto sopra al secondo membro, delle equazioni del moto, si avranno quindi termini d i risonanza che daranno nella soluzione termini con ampiezza crescente col tempo. l3 fisicamente evidente, perÃ² che in un sistema isolato, in assenza di sorgenti esterne d'energia, non ci possono essere incrementi spontanei dell'intensitÃ delle oscillazioni.

In realtÃ nelle approssimazioni superiori, le frequenze fondamentali (un subiscono variazioni in confronto ai loro valori Ã imper- turbati Ã tu$' che figurano nell'espressione quadratica dell'energia potenziale. La comparsa dei termini crescenti col tempo nella soluzio-

136 CAPITOLO QUINTO

ne Ã dovuta ad uno sviluppo del tipo

cos (W:) + Aoa) t w cos ~ g ' t - tAoa sen &"t,

che evidentemente non Ã ammissibile per t Ã abbastanza grandi. Quindi, quando si passa all'approssiinazione seguente, i l metodo

delle approssiniii7ioni successive dev'essere modificato in maniera tale che i fattori periodici che figurano nella soluzione contengano sin dall'inizio i valori esatti e non approssimati delle frequenze. Nel- la soluzione delle equazioni le variazioni delle frequenze vengono determinate dalla condizione d i assenza dei termini di risonanza.

Illustriamo questo nu~todo nel caso delle oscillazioni anar- molliche con "in solo grado d i liberth; scriviamo la funzione di La- grange nella forma

La corrispondente equazione del moto Ã

Cerchiamo la soluzione sotto forma d i una serie di approssimazioni successive

=x( l ) + p +x^ i

dove .(/l) a cos mt (28,10)

con un valore esatto per co che cerchiamo in seguito sotto forma di una serie o = con + o(') + o(2) + . . . (si puÃ sempre annullare la fase iniziale nella a"*') con una scelta appropriata dell'origine dei tempi). Nonostante questo, la forma (28,9) dell'equazione del moto non Ã comoda: dopo la sostituzione della (28,10) il primo membro dell'uguaglianza non diventa rigorosamente nullo. Pertanto scriviamo prcl iminarm~nte l'eqiiazione nella forma equivalente

Ponendo qui x = x(') + x^), co = (D,, + cocl) ed omettendo gli infinitesimi superiori a l secondo ordine, otteniamo per a"(*) l'equazione

- - aa2 aa2 2

2 cos 2ot + 2oooa'a cos OJ(.

La condizione di assenza del termine d i risonanza nel secondo membro dellluguaglianza dÃ semplicemente o*') = O, in accordo con


i l metodo di ricerca della seconda approssimazione esposto all'inizio d i questo paragrafo. Risolvendo poi col metodo ordinario questa equazione lineare non omogenea, otteniamo:

aa2 aa2 ' x(2' = - - cos 2cot.

2132 ' 604

In seguito, ponendo nella (28,11) x = x(l) + + x(~), (D = - (M,, -+ d2), otteniamo per l'equazione

oppure, riportando nel secondo membro le espressioni (28,lO) e (28,12) dopo una semplice trasforma"' .ione:

5 a W 3 2 ~ ~ m ' ~ ' + - - - a20 cos mi. 6 4 4 ]

Ponendo uguale a zero i l coefficiente del fattore di risonanza cos ut, troviamo la correzione alla frequenza fondamentale, proporzionale a l quadrato dell'ampiezza dell'oscillazione:

L'oscillazione combinatoria del terzo ordine Ã

$ 29. Risonanza nelle oscillazioni n o n l ineari

Se si tiene conto dei termini anarmonici nelle oscillazioni forzato di un sistema, nei fenomeni di risonanza compaiono proprietÃ qualitativamente nuove.

Aggiungendo a l secondo membro dell'equazione (28,9) una forza esterna periodica (di frequenza y), si 'iti iene:

dove abbiamo scritto anche la forza d 'at t r i to con coefficiente di smorzamento A (che in seguito supporremo piccolo). Volnulo essere rigorosi fino in fondo, se s i tiene conto dei termini no i i lineari nel- l'equazione delle oscillazioni libero, s i dovrebbero pi'eudere in considerazione anche i termini d'ordine superiore ncll'ampiezza della forza esterna, termini che corrispondono ad una eventuale dipendenza di quest'ultima dallo spostamento x. Noi scriveremo questi

138 CAPITOLO QUINTO

termini per rendere pi6 semplici le formule; infatti, essi non modifi- cano l'aspetto qualitativo dei fenomeni.

Sia y = ( O o + e

{con e piccolo), siamo cioÃ in prosqimitÃ di una risonanza ordinaria. Per chiarire i l carattere del moto, s i puÃ anche fare a meno d i uno studio diretto dell'equazione (29,1), se s i tiene conto delle considerazioni seguenti.

Nell'approssimazione lineare, la relazione tra l'ampiezza b del- l'oscillazione forzata da una parte, l'ampiezza / e la frequenza y della forza esterna dall'altra, Ã data in prossimitÃ della risonanza dalla formula (26,7), che scriviamo come segue:

I l carattere non lineare delle oscillazioni implica una relazione tra la loro frequenza propria e l'ampiezza; scriviamo questa dipendenza nella forma

w O + xb2, (29,s)

dove la costante x Ã espressa in un modo ben determinato mediante i coefficienti d i anarmonicitÃ [cfr. (28,13)1. Conformemente a ciÃ² sostituiamo nella (29,2) (o meglio, nella piccola differenza y - wo) W,, con (OO + xb2.

Conservando l a notazione e = y - mo, otteniamo in definitiva l'equazione

ossia

L'equazione (29,4) Ã cubica rispetto a b2, e le sue radici reali determinano l'ampiezza delle oscillazioni forzate. Consideriamo l a dipendenza di questa ampiezza dalla frequenza della forza esterna per una data ampiezza / della forza.

Per valori d i / sufficientemente piccoli anche l'ampiezza b Ã piccola, quindi si possono trascurare nella (29,4) i gradi d i b superiori a l secondo, e la formula ottenuta coincide con la giÃ nota funzione b ( E ) (29,2), che rappresenta una curva simmetrica con un massimo nel punto e = O (fig. 32, a). Con i l crescere di f la curva subisce una deformazione, conservando ancora in un primo tempo i l suo carattere, mantenendo cioÃ un solo massimo (fig. 32,b); i l picco si sposta (per x > 0) nel senso delle e positive. Delle tre radici dell'equazione (29,4) una sola Ã reale.


Tuttavia, a partire da un determinato valore f = f h (che verrÃ definito dopo), i l carattere della curva cambia. Per ciascun valore di / > fk esiste una determinata regione di frequenze nella quale l'equazione (29,4) ha tre radici reali; a questa regione corrisponde la porzione BCDE della curva riplla fig. 32,c.

I limiti di questa reg-ione sono defi- db - f 4

rÃ¬it dalla condizione -

punti D e C. Differenziando l'equazione (29,4) rispetto ad e, abbiamo:

db -- -8b-i- xb3 -

de ~ 2 + ? l , ~ - 4 x ~ b ~ + 3 x ~ b * .

La posizione dei punti D e C si determina dunque, risolvendo contemporaneamente l'equazione

e2-4xb2& + 3x2b4 + A2 = O (29,5) bl

e l'equazione (29,4); i valori corrispon- E denti d i e sono ambedue positivi. I l valore massimo dell'ampiezza si ottie-

db ne nel punto dove -,Ã = 0. Si h a allora

e = % b2, e la (29,4) ci dÃ

' (29,6) 'aax="SrnaoT' auesto valore coincide con i l massi-

"^_ - E "' mo dato dalla relazione (29,2).

S i puÃ dimostrare (non tratte- Fig. 32

remo qui questo argomento l)) che delle tre radici reali dell'equazione (29,4) quella intermedia (la porzione CD della curva, tratteggiata nella fig. 32, C) corrisponde ad o- scillazioni instabili del sistema: ogni forza, per debole che sia, agendo su un sistema che s i trova in questo stato, causerebbe i l passaggio a un regime oscillatorio corrispondente alla radice massima o minima (cioÃ alle porzioni BC o DE). Di conseguenza, soltanto i rami ABC e D E F corrispondono a reali oscillazioni del sistema. La presenza d i una regione di frequenze che ammette due ampiezze differenti delle oscillazioni rappresenta una rimarchevole proprietÃ Al progressivo aumentare della frequenza della forza esterna aumenta l'ampiezza delle oscillazioni forzate secondo la curva ABC. Nel punto C si ha una Ã rottura Ã dell'ampiezza, che cade

l) Si puÃ trovare la dimostrazione, per esempio, nell'opera di N . Bogoliubov e J . Mitropolskij, Asimptoticeskie metody v teorii nelinejnych kolebanij (Metodi asintotici nella teoria delle oscillazioni non lineari), Fizmatghiz, Mosca, 1958.

bruscamente sino a l valore corrispondente a l punto E, por poi variare lungo la curva EF (all'ulteriore aumentare della frequenza). Se ora diminuiamo di nuovo la frequenza, l'ampiezza delle oscillazioni forzate varia lungo l a curva FD, salta d a l punto D a l punto 3 per poi decrescere lungo B A .

Per valutare i l valore f k , notiamo che esso rappresenta quel valore di f per i l quale ambedue le radici della equazione quadratica rispetto a b2 (29,5) coincidono; per f = fh tu t ta la parte CD si riduce ad un punto di flesso. Uguagliando a zero i l discriminante dell'equazione di secondo grado (29,5), si ottiene e2 = 3L2; la radice corrispondente dell'equazione Ã xb2 = 2 ~ ~ 3 . Sostituendo questi valori d i b ed e nella (29,4), otteniamo:

Accanto ad u n cambiamento del carattere dei fenomeni d i risonanza per frequenze w un , la non linearitÃ delle oscillazioni genera anche la comparsa di nuove risonanze nelle quali le oscillazioni di frequenza vicina a con sono eccitate da una forza esterna d i frequenza abbastanza differente da eoo.

Sia y % coo/2 la frequenza della forza esterna, cioÃ

Nella prima approssimazione, lineare, essa eccita nel sistema O-

scillazioni della stessa frequenza e d i ampiezza proporzionale all'ampiezza della forza:

[conformemente a l l a formula (22,4)1. Tenendo conto dei termini non lineari, nella seconda approssimazione, queste oscillazioni faranno apparire nel secondo membro dell'equazione del moto (29,l) un termine di frequenza 2~ w uo. Precisamente, ponendo a-O nell'equazione

introducendo i l coseno dell'angolo doppio e conservando nel secondo membro soltanto il termine d i risonanza, otteniamo:

Questa equazione differisce dalla (29'1) soltanto per il fatto che al posto dell'ampiezza della forza ./, essa contiene un'espressione proporzionale ad f 2 . CiÃ significa che h a luogo una risonanza dello stesso carattere di quella esaminata precedentemente per le frequenze w un,

in;t d i intt~iisith inferiore. La funzione O (e) si olticne sostituendo / con -8af/Qmco~ (ed e con 2e) nell'equazione (29,4):

Sia ora 7 = 2 a o + e

l a frequenza della forza esterna. Nella prima approssimazione abbiamo:

J.(l) = cos (2ao + e) t. 3m io;

Sostituendo x == ~ ' - 1 ' -1- x(') nell'equazioiic (29,1), non otterremo termini aventi i l carattere di una forza esterna di risonanza, ~0111'6 avvenuto nel caso precedente. Nasce, p e r ~ , una risonanza d i t ipo pa- rametrico dal termine del terzo ordine proporzionale a l prodotto . c ( l ) .~ '~ J . Se d i t u t t i i termini non lineari conserviamo soltanto questo, avremo per a:(') l'equazione

cioÃ un'equazione del tipo (27,8) (tenendo conto dell 'attri to) che porta, come abbiamo giÃ visto, ad oscillazioni instabili in un determinato intervallo d i frequenze.

Questa equazione non Ã per6 sufficiente per determinare l'ampiezza risultante delle oscillazioni che dipende dagli effetti della non linearitÃ per tenerne conto Ã necessario conservare nell'equazione del moto anche i termini non lineari rispetto ad xC2):

- -- 2uf cos (2Oo + t) t . a-"). 3mw;

Lo studio d i questo problema si semplifica se si considera la seguente circostanza. Ponendo nel secondo membro clell'equazione (29,11)

(dove b Ã l 'ampiezza delle oscillazioni d i risonanza cercata e 6 uno sfasamento costante con conseguenze poco importanti) e scrivendo i l prodotto dei due fattori periodici sotto forma di una somma di

142 CAPITOLO QUINTO

due coseni, otterremo i l termine di risonanza ordinaria

(rispetto alla frequenza propria e>,-, del sistema.). Di conseguenza, i l problema si riduce nuovamente a quello della risonanza ordinaria in un sistema non lineare, che abbiamo esaminato all'inizio del presente paragrafo, con la sola differenza che ora i l valore dell'ampiezza

Fig. 33

della forza esterna Ã dato dalla grandezza a/b/30$ (ed al posto di E s i ha ~ 1 2 ) . Facendo questa sostituzione nell'equazione (29,4), si ottiene:

Risolvendo questa equazione rispetto a b, troviamo i seguentij'valori possibili per l'ampiezza:

b = O, (29,12)

La relazione cosi ottenuta t ra b ed e Ã rappresentata nella fig. 33 (per % > 0; se x <O, le curve sono dirette in senso opposto). I punti B e C corrispondono a i valori

A sinistra del punto B 6 possibile soltanto i l valore b = O, ci06 la risonanza manca e le oscillazioni di frequenza prossima a con non vengono eccitate. Nell'intervallo tra B e C abbiamo due radici: b = O (segmento BC nella fig. 33) e l'espressione (29,13) (ramo BE). Infine, a destra del punto C esistono tu t te e tre le radici: (29,12), (29,13), (29,14). Tuttavia non tu t t i questi valori corrispondono ad un regime


oscillatorio stabile. I l valore b = O Ã instabile nella parte BC1), e si puÃ dimostrare anche che i l regime corrispondente alla radice (29,14) (intermedia tra le altre due) Ã sempre instabile. Nella fig. 33 i valori instabili d i b sono tratteggiati.

Vediamo, per esempio, come si comporta un sistema, dapprima Ã perseverante in quiete Ã 2), quando gradualmente diminuisce la frequenza della forza esterna. Fino al punto C, resta sempre b = 0; dopo si produce una Ã rottura Ã di questo stato e s i passa sul ramo EB. In seguito, ad un'ulteriore diminuzione d i E, l'ampiezza delle oscillazioni decresce sino a zero nel punto B. Aumentando di nuovo la frequenza, l'ampiezza delle oscillazioni cresce lungo la curva BE3)-

I casi di risonanza considerati sono i casi principali che si verifi- cano in un sistema oscillante non lineare. A piii alte approssimazio- n i compaiono risonanze anche ad altre frequenze. A rigore, s i deve avere risonanza per ogni frequenza y per cui ny + m m n = m. (n, m interi), cioÃ per ogni y == pw0 /q , dove p e q sono pure numeri interi. CiÃ nonostante, a misura che i l grado d i approssimazione si eleva l'in- tensitÃ dei fenomeni d i risonanza (come pure l'ampiezza degli interval- l i di frequenze in cui devono aver luogo) diminuisce con una rapiditÃ tale che, in realtÃ s i possono osservare soltanto le risonanze per l e frequenze y w p(oo/q con p e q piccoli.

P R O B L E M A

Determinare l a funzione b (f) per una risonanza a frequenze y w 3wn. Soluzione. Nella prima approssimazione,

Per la seconda approssimazione, xC2), ricaviamo dalla (29.1) l'equazione

1) Questo intervallo corrisponde esattamente alla regione di risonanza parametrica (27'12); da l confronto della (29,10) con la (27,8) abbiamo 1 h 1 = = 2af/3rno$ La condizione

per la quale l'esistenza del fenomeno considerato Ã possibile, corrisponde alla disuguaglianza h > hi,.

2) Ricordiamo che consideriamo qui soltanto le oscillazioni di risonanza. La loro assenza non significa letteralmente che i l sistema sia i n quiete; vi si possono generare deboli oscillazioni forzate di frequenza v.

3) l3 necessario, perÃ² tener presente che t u t t e queste formule sono valide finchÃ l'ampiezza b (come anche e ) resta sufficientemente piccola. I n realtÃ le curve B E e C F non sono alfatto infinite, ma in un certo punto si congiungono; appena questo punto Ã raggiunto, il regime oscillante si Ã rompe Ã e si ha b = 0.

1 44 CAPITOLO QUINTO

dove il secondo membro contiene soltanto i l termine che dÃ la risonanza consi-

derata. Ponendo x = b cos [ ( a o 4- $) t + q e separando i l termine di

risonanza dal prodotto dei tre coseni, otteniamo nel secondo membro dell'equazione l'espressione

Di qui risulta chiaro che la dipendenza d i b da e si ottiene sostituendo nella (29,4) f con 3fib9/32(og ed e con c13:

Questa equazione ha per radici:

Nella fig. 34 Ã rappresentato graficamente i l carattere della dipendenza

Fig. 34

di b da e (per x > 0). Soltanto il valore b = O (asse delle ascisse) e il ramo A B corrispondono a regimi stabili. A l punto A corrispondono i valori

I l regime oscillatorio esiste soltanto per e > e^, con un'ampiezza 6 > bk. PoichÃ lo s tato b = O Ã sempre stabile, ci vuole una Ã spinta Ã iniziale per eccita- re oscillazioni.

Le formule ottenute sono valide soltanto per e piccoli. Questa condizione si ha automaticamente se anche A, Ã piccolo e se l'ampiezza della forza soddisfa la condizione A2/(oo < A / x <g; (O,,.

5 30. Moto in un campo rapidamente oscillante

Consideriamo i l moto di una particella sollecitata contemporaneamente da un campo costante U e da una forza

f = fi cos (ut + f , sen (ut, (30; 1)


che varia col tempo ad una grande frequenza co (fi ed f v sono funzioni delle sole coordinate). Con Ã grande Ã noi intendiamo una frequenza che soddisfa la condizione co ^> l / T , dove T Ã l'ordine d i grandezza del periodo del moto che la particella effettuerebbe nel solo campo U. La grandezza della forza f non si suppone piccola in confronto alle forze agenti nel campo U. Supporremo perÃ che lo spostamento oscillatorio (indichiamolo con 1) della particella provocato da questa forza sia piccolo.

Per semplificare i calcoli, consideriamo dapprima un moto unidimensionale in un campo dipendente da una sola coordinata spaziale x. L'equazione del moto della particella Ã allora1)

Dal carattere del campo agente sulla particella Ã chiaro che i l moto di essa rappresenterÃ uno spostamento lungo una traiettoria Ã imperturbata Ã accompagnato da piccole oscillazioni (di frequenza W) intorno a questa traiettoria. Scriviamo quindi la funzione x ( t ) sotto forma d i una somma

dove E (t) rappresenta le piccole oscillazioni suindicate. Il valore medio della funzione E ( t ) si annulla in un periodo

2n/ia, mentre la funzione X (t), in questo stesso periodo, varia poco. Indicando i l valore medio con un trat t ino sopra la lettera, abbiamo dunque = X ( t ) , vale a dire che la funzione X ( t ) descrive il moto Ã continuo Ã della particella mediato rispetto alle rapide oscillazio- n i . Deduciamo l 'eq~iazione che determina questa funzione2).

Sostituendo la (30,3) nella (30,2) e sviluppando secondo le potenze d i E con una approssimazione sino a i termini del primo ordine, otteniamo:

In questa equazione conlpaiono termini di carattere diverso: gli oscillanti e i Ã continui Ã i due gruppi evidentemente devono essere compensati separatamente. Per i termini oscillanti Ã sufficiente scrivere . .

rns = f ( X , t ) ,

l) La coordinata x non Ã necessariamente una coordinata cartesiana, e il coefficiente m, corrispondentemente, non Ã necessariamente la massa della particella, nÃ Ã necessariamente costante come Ã stato supposto nella (30,2). Questa ipotesi, perÃ² non influisce sul risultato finale (vedi pifi avanti).

2, L'idea del metodo esposto sotto appartiene a P. L. Kapiza (1951).

146 CAPITOLO QUINTO

gli a l t r i contengono i l fattore piccolo e, d i conseguenza, sono piccoli in confronto a quanto abbiamo scritto (quanto alla derivata i, essa Ã proporzionale a co2 che Ã grande, e non puÃ dunque essere considera- t a piccola). Integrando l'equazione (30,5) e la funzione / ricavata dal- l a (30,l) (considerando la grandezza X come costante), otteniamo:

Calcoliamo ora la media dell'equazione (30.4) rispetto a l tempo (nel senso suindicato). PoichÃ i valori medi delle prime potenze d i / ed E si annullano, otteniamo l'equazione:

che contiene ormai soltanto la funzione X ( t ) . Riscriviamola nella forma . . dVPf f m X = --

d X ' (30,7)

dove l'(( energia potenziale efficace Ã Ã definita da1)

Confrontando questa espressione con la (30,6). Ã facile vedere che il termine supplementare (rispetto a l campo U) non rappresenta altro che l'energia cinetica media del moto oscillante:

- m '

Uett-U+ 7j- g2. (30,9)

In t a l modo, i l moto della particella, mediato rispetto alle oscillazioni, avviene come se, oltre a l campo costante U. agisse anche un l i t ro campo costante, dipendente quadraticamente dall'ampiezza d i

campo variabile. E facile generalizzare il risultato ottenuto al caso d i un siste-

ma, avente un numero qualunque d i gradi di libertÃ che pu6 essere descritto mediante coordinate generalizzate q,. Per l'energia potenziale efficace s i ottiene [in luogo della (30,8)1 l'espressione

1 ~ r , , = ~ + ~ ~ a a / , / Ã ˆ = ~ + ~ ~ i i C ~ (30,lO)

i, k i, k

dove le grandezze a$ (in generale funzioni delle coordinate) sono gli &menti della matrice inversa della matrice dei coefficienti a , ~ del- l'energia cinetica del sistema [vedi l a (5,5)1.

l) Se m dipende da x, Ã facile convincersi con un calcolo un po' lungo, che le formule (30,7) e (30,s) restano valide anche in questo caso. .


P R O B L E M I

1. Determinare la posizione d'equilibrio stabile di un pendolo i l cui punto d i sospensione effettua oscillazioni verticali d i frequenza y elevata (v $> e l l ) .

Soluzione. La funzione di Lagrange ottenuta nel problema 3, e) del 5 5 dÃ i n questo caso per la forza variabile

f == -mlay2 cos yt sen qi

(la grandezza x Ã rappresentata qui dall'angolo q). Quindi l'Ã energia potenziale efficace Ã Ã

Le posizioni d'equilibrio stabile corrispondono a l minimo di questa funzione. La direzione verticale verso i l basso (cp == 0) Ã sempre stabile. Se la condizione

Ã soddisfatta, 6 stabile anche la posizione verticale verso l'alto (q = n). 2. Risolvere i l problema precedente per un pendolo i l cui punto di sospen-

sione oscilla orizzontalmente. Soluzione. Secondo la funzione di Lagrange ottenuta nel problema 3 , b )

del 3 5, troviamo / = mlay2 cos ?t cos cp e quindi

Se a2y2 < 2g1, la posizione q> = O Ã stabile. Se invece a2y2 > 2 g l , i l valore corrispondente a un equilibrio stabile Ã

IO*

Capitolo VI

MOTO DEI CORPI SOLIDI

31. VelocitÃ angolare

I l corpo solido si puÃ definire nella meccanica come un sistema di punti materiali l a cui mutua distanza Ã invariabile. I sistemi real- mente esistenti i n natura possono ovviamente soddisfare questa condizione solo in modo approssimato. Ma la maggior parte dei corpi solidi in condizioni usuali cambia cosi poco di forma e dimensioni, che per studiare le leggi del moto d i un solido, considerato come un tutt'uno, possiamo astrarre completamente da queste variazioni.

Nell'esposizione seguente considereremo spesso un solido come un insieme discreto d i punti materiali, ciÃ che ci permetterÃ di ottenere qualche semplificazione delle deduzioni. Tuttavia, questo non Ã i n alcun modo in contrasto con i l fatto che i solidi si Dossono infatti considerare nella meccanica come continui, a prescindere completamente dalla loro struttura interna. I l passaggio dalle formule contenenti la somma su punti discreti alle formule per un corpo continuo si fa semplicemente sostituendo alle masse delle particelle la massa p dV (p 6 la densitÃ della massa), contenuta nell'elemento di volume dV. e integrando poi su tutto i l volume del corpo.

Per descrivere i l moto di un solido, introduciamo due sistemi di coordinate: un sistema Ã immobile Ã ossia inerziale, X Y Z , e un sistema mobile xl = x, xy = y, q = z, supposto vincolato rigida- mente a l solido e partecipe d i t u t t i i movimenti di quest'ultimo. Per comoditÃ Ã conveniente far coincidere l'origine del sistema mobile con i l baricentro del corpo.

La posizione del corpo solido rispetto a l sistema immobile delle coordinate Ã completamente determinata se Ã data la posizione del sistema mobile. Sia R i l raggio vettore che indica la posizione dei- l'origine O del sistema mobile (fig. 35); l'orientazione degli assi di quest'ultimo rispetto a l sistema immobile Ã determinata da tre angoli indipendenti, cosicchÃ© insieme con le t re componenti d i R, abbiamo in totale sei coordinate. Ogni corpo solido rappresenta quindi un sistema meccanico con sei gradi d i libertÃ

Consideriamo uno spostamento infinitesimale arbitrario del corpo solido. Si puÃ rappresentarlo come somma di due parti. Una di queste arti Ã una traslazione parallela infinitesimale del corpo, per cui i l centro di massa passa dalla posizione iniziale a quella finale

MOTO DEI CORPI SOLIDI 149

senza che cambi l'orientazione degli assi coordinati del sistema mobile; l 'altra parte Ã una rotazione infinitesima intorno al centro di massa, per cui i l solido raggiunge la posizione finale.

Indichiamo con r i l raggio vettore d i un punto P qualunque del corpo nel sistema mobile di coordinate, e con r i l raggio vettore

Fig. 35

dello stesso punto nel sistema immobile. Uno spostamento infinitesimale d r del punto P Ã allora formato da uno spostamento d R insieme con i l centro d i massa e da uno spostamento [dq) 4 rispetto a quest'ultimo per rotazione d i un angolo infinitesimale dq) [vedi (9,I)l:

d r = d R = [ d q . rl.

Dividendo questa uguaglianza per i l tempo dt, impiegato per effettuare lo spostamento considerato, ed introducendo le velocitÃ

otteniamo la relazione che lega quest'ultime

I l vettore V Ã la velocitÃ del centro di massa del corpo solido; Ã chiamata anche velocitÃ del suo moto traslatorio. I l vettore Q Ã chiamato velocitÃ angolare di rotazione del corpo solido; la sua direzione (come la direzione d q ) coincide con quella dell'asse di rotazione. La velo- c i t i v di un punto qualunque del corpo (rispetto al sistema immobile) puÃ essere espressa quindi mediante l a velocitÃ di traslazione del corpo e la velocitÃ angolare d i rotazione.

150 CAPITOLO SESTO

Occorre sottolinealre che nel dedurre l a formula (31,2) non si Ã fat- t o alcun ricorso alle poprietÃ specifiche dell'origine delle coordinate come centro d i massa del corpo. I vantaggi di questa scelta saranno evidenti solo piii avanti nella valutazione dell'energia del corpo solido i n moto.

Supponiamo ora che i l sistema d i coordinate vincolato rigidamen- te a l solido sia scelto in maniera tale che la sua origine si trovi non p i ~ al centro di massa O, ma in un punto O' distante a dal punto O. Indichiamo con V la velocitÃ d i spostamento dell'origine O' di questo sistema e con Q' la sua velocitÃ angolare di rotazione.

Consideriamo d i nuovo un punto qualunque P del corpo solido e indichiamo con r' i l suo raggio vettore rispetto all'origine O'. Si ha allora r = r ' + a , e la sostituzione nella (31,2) ci dÃ

D'altra parte, in vir t6 della definizione d i V' e W, si deve avere v = = V' + [S"'rfl. Concludiamo quindi che

La seconda d i queste uguaglianze Ã assai importante. Da essa risulta che la velocitÃ angolare con cui i l sistema di coordinate solidale con i l corpo ruota in un dato istante Ã assolutamente indipendente da questo sistema. Tut t i i sistemi solidali con i l corpo solido ruotano in un dato istante intorno ad assi mutuamente paralleli con la stessa velocitÃ S" in valore assoluto. Questa circostanza ci permette di chiamare, a ragione, Q velocitÃ angolare di rotazione del corpo solido come tale. La velocitÃ del moto traslatorio non ha invece questo carattere Ã assoluto )).

Dalla prima formula delle (31,3) segue chiaramente che se V e Q (in un dato istante) sono mutuamente perpendicolari per una qualche scelta dell'origine delle coordinate O, essi (cioÃ V' e Q') sono mutuamente perpendicolari anche rispetto a una qualsiasi altra origine O'. Dalla (31,2) s i vede che in questo caso le velocitÃ v d i tu t t i i punti del corpo giacciono nello stesso piano, perpendicolare a Q. E sempre possibile intanto scegliere un'origine O' tale che la sua velocitÃ V' sia nulla1), cosicchÃ i l moto del solido sarÃ rappresentato (in un dato istante) come pura rotazione intorno ad un asse passante per O'. Questo asse Ã detto asse di istantanea rotazione del corpo2).

In seguito, supporremo sempre che l'origine del sistema di coordinate mobile sia posta nel centro di massa del corpo in modo tale

1) E ovvio che O' puÃ anche essere un punto fuori del corpo. 2, Nel caso generale in cui le direzioni di V e Q non sono mutuamente per-

' pendicolari, si puÃ scegliere l'origine delle coordinate in modo tale che V e Q diventino paralleli, cioÃ il moto (nell'istante dato) sarÃ composto di una rotazione intorno ad un asse e di una traslazione lungo questo stesso asse.


che anche l'asse d i rotazione del corpo passi per questo centro. Quan- do i l corpo si muove, variano in generale sia i l valore assoluto di fi che la direzione dell'asse di rotazione.

$ 32. Tensore d'inerzia

Per calcolare l'energia cinetica d i un corpo solido, consideriamo quest'ultimo come un sistema di punti materiali e scriviamo:

dove la sommatoria Ã estesa a tu t t i i punti che compongono i l corpo. Al fine di semplificare la scrittura, ometteremo in questo paragrafo gl i indici che enumerano questi punti.

Sostituendovi l a (31,2), otteniamo:

Le velocitÃ V e ii sono le stesse per t u t t i i punti del corpo solido. Quindi possiamo portare nel primo termine V2/2 fuori dal segno di somma; con l a lettera p indicheremo l a somma 5 m che Ã la massa totale del corpo. Nel secondo termine scriviamo

2 mV [Qrl = 2 mr [Viil = [VQI 2. mr.

Di qui s i vede che, se l'origine del sistema mobile di coordinate s i Ã posto, come giÃ convenuto, nel centro di massa, questo termine si annulla, poichÃ allora 2 mr = 0. Infine, dopo aver sviluppato i l quadrato del prodotto vettoriale che figura nel terzo termine, otteniamo

L'energia cinetica di un corpo solido puÃ essere quindi presentata come somma d i due termini. I l primo termine d i questa somma nella (32,l) rappresenta l'energia cinetica del moto di traslazione del corpo come se tut ta l a sua massa fosse concentrata nel suo centro di massa. I l secondo termine rappresenta l'energia cinetica del moto di rotazione, con velocitÃ angolare Q, intorno ad un asse passante per i l centro d i massa. Sottolineiamo che la possibilitÃ di separare l'energia cinetica in due parti Ã condizionata appunto dalla scelta del centro d i massa del corpo come origine del sistema d i coordinate solidale con il corpo.

152 CAPITOLO SESTO

Riscrivendo l'energia cinetica d i rotazione in simboli tensoriali, cioÃ mediante le componenti x i , Â£2 dei vettori r ed Q l), abbiamo:

1 Trot = T 2 m {Q2ix;- Q ix iQkxk} =

1 = - m {f"iWkxF - QiQhXixk} = 2 - - 1 - QiQk 2 m (xT6ift - xixft).

stata utilizzata qui l 'identitÃ Qi = dove tÃ¬i Ã i l tensore unitÃ (le cui componenti sono uguali all 'unitÃ per i = k, ed a zero per i # k). Introducendo i l tensore

otteniamo l'espressione definitiva dell'energia cinetica del corpo solido nella forma

La funzione d i Lagrange del corpo solido si ottiene sottraendo l'energia potenziale dalla (32,3):

L'energia potenziale Ã in generale funzione di sei variabili che determinano la posizione del corpo solido, per esempio, le tre coordinate X, Y, Z del centro d i massa e i tre angoli che definiscono l'orientazione degli assi coordinati mobili rispetto agli assi fissi.

I l tensore Iik si chiama tensore dei momenti d'inerzia, o semplicemente tensore d' inerzia del corpo. Come risulta chiaro dalla definizione data nella (32,2), i l tensore d'inerzia Ã simmetrico, cioÃ

l i k = Ih i . (3275)

Per maggiore evidenza, scriviamo la tabella delle sue componenti in torma esplicita:

y m ( y 2 + z 2 ) - m x y - 2 m x z

-- v m z x - ' rnzy ' m (x2Jr y2)

l) In questo capitolo con le lettele i, k, I si denotano indici tensoriali che prendono i valori 1, 2, 3. Inoltre, 6 usata dappertutto la nota regola secondo la quale il segno di somma viene omesso e la sommatoria sui valori 1, 2, 3 Ã estesa a tu t t i gli indici ripetuti (i cosiddetti indici Ã muti v ) ; cosi, A& 7 AB, A'j = A& = AZ, ecc. Evidentemente la denotazione degli indici muti puÃ essere cambiata arbitrariamente (purchÃ non coincida con la denotazione d i altri indici tensoriali che compaiono nell'espressione data).


Le componenti IXx, Ivv, Izz sono talvolta dette momenti d'inerzia rispetto agli assi corrispondenti.

I1 tensore d'inerzia Ã evidentemente additivo: i momenti d'inerzia del corpo sono uguali alle somme dei momenti d'inerzia delle sue parti.

Se i l corpo solido puÃ essere considerato come un mezzo continuo, nella definizione (32,2) la somma viene sostituita da un integrale esteso a l volume del corpo:

Come ogni tensore simmetrico d i rango due, i l tensore d'inerzia puÃ essere ridotto ad una forma diagonale mediante una scelta adeguata delle direzioni degli assi x1, x2, x3. Queste direzioni sono chiamate assi principali d'inerzia, ed i valori corrispondenti delle componenti del tensore, momenti principali d'inerzia, che indicheremo con h, 12, 13. Scegliendo in questo modo gli assi xi, x^, x3, l'energia cinetica d i rotazione si esprime in modo particolarmente semplice

Notiamo che ciascuno dei tre momenti principali d'inerzia non puÃ essere superiore al la somma degli al t r i due, cioÃ

I , + I ~ = ~ ~ ~ ( X ~ + X ~ + ~ X ~ ) > ~ m ( ~ + x ~ ) = 1 3 (32'9)

Un corpo, i cui t re momenti principali d'inerzia sono differenti, s i chiama trottola asimrnetrica.

Si chiama trottola simmetrica un corpo solido per i l quale due momenti principali d'inerzia sono uguali: I, = la # 13. In questo caso, la scelta delle direzioni degli assi principali nel piano xlx2 Ã arbitraria.

Se invece i t re momenti principali d'inerzia sono tu t t i uguali, i l corpo si chiama trottola sferica. In questo caso, la scelta dei tre assi principali d'inerzia Ã arbitraria: come tal i si possono prendere tre qualsivogliano assi mutuamente perpendicolari.

La ricerca degli assi principali d'inerzia diventa molto p i ~ semplice, se i l corpo solido possiede una certa simmetria; Ã chiaro che la posizione del centro di massa e la direzione degli assi principali d'inerzia debbono possedere una stessa simmetria.

Per esempio, se un corpo ha un piano di simmetria, il suo centro di massa deve giacere in questo piano. In questo stesso piano giacciono anche due assi principali d'inerzia, mentre il terzo asse Ã ad esso perpendicolare. Un insieme di particelle distribuite in un piano rappresenta un caso evidente di questo genere. Esiste in questo caso una relazione semplice fra i tre momenti principali d'inerzia. Se come piano x ~ " s i prende i l piano dell'insieme d i particelle, ed essendo x3 = O'

154 CAPITOLO SESTO

per t u t t e le particelle, abbiamo:

Se il corpo possiede un asse di simmetria d'ordine qualunque, i l suo centro d i massa Ã situato su questo stesso asse, con i l quale coincide anche uno degli assi principali d'inerzia, mentre gli altri due sono a d esso perpendicolari. Se l'ordine dell'asse di simmetria Ã superiore a 2, il corpo rappresenta una trottola simmetrica. In questo caso, infatti , s i puÃ ruotare ciascuno degli assi principali (perpendicolare all'asse di simmetria) di un angolo differente da 180'. cioÃ la scelta d i questi assi non Ã piii univoca, cosa possibile soltanto nel caso d i una trottola simmetrica.

Un caso particolare Ã quello d i un sistema d i particelle distribuite lungo una ret ta . Se si prende questa retta come asse x3, s i avrÃ per t u t t e le particelle xl = x2 = 0; in questo modo due momenti principali d'inerzia coincideranno, mentre i l terzo risulterÃ nullo:

Un sistema con queste caratteristiche Ã detto rotatore. La caratteristi- ~ c a particolare di un rotatore, a differenza di un corpo qualsiasi, sta nel fat to che esso ha in tut to due (anzichÃ tre) gradi d i libertÃ rotazionali, corrispondenti alle rotazioni intorno agli assi xl ed xg; parlare della rotazione di una retta attorno a se stessa non h a evidentemente alcun senso.

Facciamo finalmente ancora una osservazione riguardo a l calcolo del tensore d'inerzia. Sebbene noi abbiamo definito questo tensore rispetto ad u n sistema d i coordinate avente per origine i l centro di massa (solo con questa definizione la formula fondamentale (32,3) -Ã valida), puÃ talvolta risultare opportuno calcolare preliminarmen- t e i l tensore analogo

I;& = 2 m (xi26ik - x~xL),

definito rispetto ad un'altra origine O'. Se la distanza 00' Ã data da un vettore a, s i h a r = r' + a ed xi = x\ + a i ; tenendo anche presente che, per definizione del punto O, 2 mr = O, troviamo:

I'. -1. i h ~ i f t + P (a26ifc - ai%). (32'12)

Per mezzo d i questa formula e conoscendo l i h Ã facile calcolare il tensore Iib cercato.

P R O B L E M I

1. Determinare i momenti principali d'inerzia per molecole considerate - come un sistema di particelle, situate a distanze reciprocamente fisse, nei seguenti

Â¥casi


a) Molecola i cui atomi sono distribuiti su una retta. Risposta:

1 4 = I2 = - v ma~bl:b, 13= 0, a - f c b

dove ma, mb sono le masse degli atomi. l,zb Ã la distanza tra gli atomi a e b; la somma Ã estesa a tutte le coppie d'atomi nella molecola (ogni coppia dei valori a e b vien presa una volta sola).

Fig. 36 Fig. 37J

Per una molecola biatomica la somma si riduce ad un solo termine, dando un risultato evidente a priori: i l prodotto della massa ridotta dei due atomi per i l quadrato della loro distanza:

I t = I 2 = _ ^ 2 _ 1 2 . mi +m2

D) Molecola triatomica avente la forma di un triangolo isoscele (fig. 36). Risposta: I l centro di massa si trova sull'altezza del triangolo a distanza

X 2 = m A h / ~ dalla sua base. I momenti d'inerzia sono:

C) Molecola tetratomica i cui atomi sono situati nei vertici di una piramide triangolare retta (fig. 37).

Risposta: Il centro di massa si trova sull'altezza della piramide a distanza Xy = m2h./p dalla sua base. I momenti d'inerzia sono:

Per mi = n, h = a m 3 otteniamo una molecola tetraedrica con momenti d'inerzia

Il = 1, = I 3 = mia2. 2. Determinare i momenti principali d'inerzia dei seguenti corpi continui

omoeenei: a) Asta sottile di lunghezza I. A

Risposta: Il = I , = $15 I a = O (si trascura lo spessore dell'asta).

b) Sfera di raggio R. Risposta:

2 r 1 - = r 2 = r 3 ~ - p R 2 5

pik comodo calcolare prima la somma 4 + I2 + I 3 = 2p r2dV) . !

156 CAPITOLO SESTO

C) Cilindro circolare d i raggio R e d'altezza h. Risposta:

r i = r 2 = - h2 (RZ+-)-) , I ~ = ~ R Z 4 2

(x, asse del cilindro). d ) Parallelepipedo rettangolo di spigoli a , h , C . R i s p o s ? ~ :

ri=-^- r2=J^ 12

(a2+ b2) 12

(c2+a2), Z3=- 12

(gli assi x l , x^, ~v sono paralleli agli spigoli a , b, r). e) Cono circolare d'altezza h o di raggio di

x,,x,' base R. Soluzione. Calcoliamo dapprima il tensore

I& rispetto agli assi aventi per origine i l vertice del cono (fig. 38). I l calcolo si esegue facilmente in coordinate cilindriche e d i :

1' - 1' - 3 3 - z - ~ p ( q + h 2 ) ,

I l baricentro si trova, come segue da un semplice calcolo, sull'asse del cono a distanza a = 3A/4 dal vertice. Con la formula (32,12) troviamo infine:

3 h2 ~ ~ = ~ , = / ; - p a ~ = - ~

20 3 r3 -.= I+ - pR2. 10

f ) Ellissoide triassico con semiassi a , b , C . Fig. 38 Soluzione. I l centro d i massa coincide con i l

centro dell'ellissoide, e gli assi principali d'inerzia con i suoi assi. L'integrazione estesa a l volume del-

l'ellissoide puÃ essere ridotta ad una integrazione rispetto a l volume d i una sfera mediante una sostituzione adeguata delle coordinate x = a^, y = &T), i = cc che trasforma l'equazione della superficie dcll'ellissoide

x2 y2 2 2 n 2 + 1 , 2 + p 2 1

in equazione della superficie di una sfera d i raggio unitario

52 + q + Â£ = i.

Si ottiene dunque per i l momento d'inerzia relativo all'asse x:

1, =- p f f { (q2+ sa) d z d y dz == pabc (t2? T- cZc2) dE a l < =

1 =abc - 1 1 ( b 2 + c 2 ) ,

2

dove 1' 6 i l momento d'inerzia della sfera di raggio unitario. Tenendo presente che i l volume dell'ellissoide Ã uguale a 4nabc13, troviamo

i n definitiva i momenti d'inerzia:

P / l - = - - J I - ( b 2 + c 2 ) , 5 1 ~ - ^ - ( a 2 + c 2 ) , 5 13=-(a2+b2). 5


3. Determinare l a frequenza delle piccole oscillazioni di un pendolo fisico (corpo solido oscillante7in un campo d i gravitÃ attorno ad un asse orizzontale fisso).

Soluzione. Sia l la distanza del centro d i massa del pendolo dall'asse di rotazione, siano a, P. y gli angoli formati dalle direzioni dei suoi assi principali

Fig. 39 Fig. 40

d'inerzia con l'asse d i rotazione. Introduciamo come coordinata variabile l'angolo rp formato dalla verticale e la perpendicolare abbassata dal centro

di massa sull'asse di rotazione. La velocitÃ del centro di massa Ã V = lcp, e le

proiezioni della velocitÃ angolare sugli assi principali d'inerzia: (p cos a, cp cos P, q) cos Â¥y Supponendo piccolo l'angolo (p, troviamo l'energia potenziale nella forma

1 U = pgl (l -cos (p) 25 - pglp2.

2

La funzione di Lagrange Ã quindi

Di qui ricaviamo la frequenza delle oscillazioni

4. Trovare l'energia cinetica del sistema rappresentato nella fig. 39; OA ed A B sono sbarre sottili omogenee di lunghezza l , congiunte a cerniera nel punto A . La sbarra OA ruota (nel piano della figura) intorno al punto O , e l'estremitÃ B della sbarra AB scivola lungo l'asse Ox.

Soluzione. La velocitÃ del centro di massa della sbarra OA (situato a metÃ

d i quest'ultima) Ã l d 2 , dove (p Ã l'angolo AOB. Dunque. l'energia cinetica della sbarra OA 6

(p massa di una sbarra). Le coordinate cartesiane del centro d i massa della sbarra AB sono X =

- 31 - - l cos (p, Y = - sen cp; poichÃ anche la velocitÃ angolare di rotazione di

2

questa sbarra Ã uguale a (p, la sua energia cinetica Ã

158 CAPITOLO SESTO

L'energia cinetica totale del sistema Ã

P T = - ( l + 3 senZ(p)(pz 3 (Ã stato posto I = p12/12 come dal problema 2,a).

5 . Trovare l'energia cinetica di un cilindro (di raggio R ) che rotola su un piano. La massa del cilindro Ã distribuita nel suo volume in modo tale che uno degli assi principali d'inerzia Ã parallelo all'asse del cilindro e passa a distanza a da questo asse: i l momento d'inerzia rispetto a questo asse principale Ã I.

So'uzione. Introduciamo l'angolo <p tra la verticale e la perpendicolare abbassata dal baricentro sull'asse del cilindro (fig. 40). Si puÃ considerare i l

Fig. 41

moto del cilindro in ogni istante come una rotazione pura intorno all'asse istantaneo che coincide con la linea di contatto del cilindro con i l piano fisso; la

velocitÃ angolare di questa rotazione Ã rp (la velocitÃ angolare di rotazione

Fig. 42

intorno a tut t i gli assi paralleli Ã uguale). I l centro d'inerzia si trova a distanza V a 2 + R2 - 2aR cos s> dall'asse istantaneo e la sua velocitÃ Ã quindi V =

= 6 v a 2 + R2 - 2aR cos (p. L'energia cinetica totale Ã

6. Trovare l'energia cinetica di un cilindro omogeneo di raggio a che rotola sulla faccia interna di una superficie cilindrica di raggio R (fig. 41). ,

Soluzione. Introduciamo l'angolo tra la retta che congiunge i centri dei due cilindri e la verticale. Il centro !i massa del cilindro rotolante si trova

sull'asse e la sua velocitÃ Ã V = (p (R - a) . Calcoliamo la velocitÃ angolare come velocitÃ di rotazione pura intorno all'asse istantaneo &e coincide con la


linea di contatto dei due cilindri; essa Ã

Se I g Ã il momento d'inerzia rispetto all'asse del cilindro, si ha allora.

1 3 . , ._A ( R - ~ = % ( ~ - - a ) ~ q ~ + ~ 2 a2 ( ~ - - ~ p a)z(pz

( I 3 ricavato dal problema 2 4 ) ) . 7. Trovare l'energia cinetica di un cono omogeneo che rotola su un piano. Soluzione. Denotiamo con 9 l'angolo tra la linea OA di contatto del cono-

col piano e una direzione fissa in questo piano (fig. 42). Il centro d i massa

Fig. 43

si trova sull'asse del cono e la sua velocitÃ Ã V = a cos a -0, dove 2a Ã l'angolo- d'apertura del cono, ed a la distanza del centro di massa dal vertice. Calcoliamo la velocitÃ angolare di rotazione come velocito di rotazione pura intorno all'assfr istantaneo OA :

Q=-- - 9 c t g a . a sen a

Uno degli assi principali d'inerzia (asse x,) coincide con l'asse del cono; scegliamo- l'asse x, perpendicolare all'asse del cono ed alla retta O A . Le proiezioni del vettore Q (diretto parallelamente ad O A ) sugli assi principali d'inerzia saranno allora Q sen a, O, Q cos a. Troviamo dunque per l'energia cinetica cercata:

(h altezza del cono, I,, I,, a ricavati dal problema 2,e)). 8. Trovare l'energia cinetica di un cono omogeneo la cui base rotola su un

piano e il cui vertice si trova costantemente a l di sopra di questo piano, ad un'al- tema uguale a l raggio della base (in modo che l'asse del cono Ã parallelo a l piano).

Soluzione. Introduciamol'angolo 9 t ra una direzione data nel piano e la proiezione su quest 'ultimo dell'asse del cono (fig. 43). La velocitÃ del centro

d i massa Ã allora V = a0 (usiamo le stesse notazioni del problema 7). L'asse istantaneo di rotazione Ã rappresentato qui dalla generatrice OA del cono condotta a l punto di contatto di quest'ultimo con i l piano. Il centro d i massa

160 CAPITOLO SESTO

Ã distante a sen a da questo asse e, d i conseguenza,

L'= v ti -- -

a s e n a sen a

Le proiezioni del vettore Q sugli assi principali d'inerzia (scegliendo l'asse x,

perpendicolare all'asse del cono ed alla ret ta O A ) sono: Q sen a = 6, O, Q cos a == O ctg a. L'energia cinetica Ã quindi

9. Trovare l'energia cinetica di un ellissoide triassico omogeneo, rotante intorno ad uno dei suoi assi (AB, fig. 44), mentre quest'ultimo ruota a sua volta intorho alla perpendicolare CD passante per i l centro dell'ellissoide.

Fig. 44 Fig. 45

Soluzione. Indichiamo con 0 l'angolo d i rotazione intorno all'asse CO e con <p l'angolo di rotazione intorno all'asse A B (angolo formato da C D e dall'asse d'inerzia x-, perpendicolare ad A B } . Le proiezioni di Q sugli assi d'inerzia saranno allora

(l'asse .i-', coincide con AB). PoichÃ i l centro d'inerzia, che coincide con i l centro dell'ellissoide, Ã fisso, l'energia cinetica Ã

10. Lo stesso problema con l'asse A B inclinato e l'ellissoide simmetrico rispetto a questo asse (fig. 45).

Soluzione. Le proiezioni di Q sull'asse A B e sui due altri assi principali d'inerzia perpendicolari ad AB (che si possono scegliere arbitrariamente)sono: . .

O cos a cos y , O cos a sen p, y+B sen a.

D'onde l'energia cinetica Ã


$ 33. Momento del la quantitÃ d i moto di un solido

I l momento della quantitÃ di moto dipende, come Ã noto, dalla scelta del punto rispetto a l quale esso Ã definito. Nella meccanica dei solidi, Ã piÃ razionale scegliere questo punto coincidente con l'origine del sistema d i coordinate mobile, cioÃ con i l baricentro del corpo. In seguito indicheremo con M i l momento definito precisamente in questo modo.

Secondo l a formula (9,6), la scelta del baricentro del corpo come origine delle coordinate fa coincidere i l momento M con i l Ã momento proprio Ã vincolato al moto dei punti del corpo solo rispetto a l baricentro. I n altri termini, nella definizione ] V I = s m [rvl bisogna sostituire v con [Qrl:

ossia, in simboli tensoriali,

Tenendo presente l a definizione (32,2) del tensore d'inerzia, otteniamo:

Mi = (33'1)

Se gli assi x-,, xa, x 3 sono diretti lungo gli assi principali d'inerzia del corpo, questa formula dÃ

In particolare, per una trottola sferica i cui tre momenti principa l i d'inerzia coincidono, si ha semplicemente:

M = I Q (3393)

cioÃ il vettore momento Ã proporzionale a l vettore velocitÃ angolare ed hanno ambedue la medesima direzione.

Nel caso generale di un corpo qualunque la direzione del vettore M non coincide con quella del vettore 9; soltanto per una rotazione del corpo intorno ad uno dei suoi assi principali d'inerzia che M e f" hanno la stessa direzione.

Consideriamo il moto libero di un corpo solido non sottoposto all'azione di forze esterne. Escludendo i l moto traslatorio uniforme che non presenta qui alcun interesse, abbiamo a che fare con una rotazione libera del corpo.

Come in ogni sistema isolato, i l momento angolare di un corpo animato da una rotazione libera Ã costante. Per una trottola sferica dalla condizione M = costante segue che Q = costante. CiÃ significa che il caso generale della rotazione libera d i una trottola sferica si riduce ad una rotazione uniforme intorno ad un asse costante.

162 CAPITOLO SESTO

Altrettanto semplice Ã il caso del rotatore. Anche qu i M = IÂ£" essendo il v e t t o r e Q perpendicolare all'asse del rotatore. Di conseguenza, l a r o t a z ione libera d i un rotatore Ã una rotazione uniforme in un piano i n t o r n o a d una direzione perpendicolare a questo piano.

La legge d i conservazione del momento Ã sufficiente per definire anche una r o t a 2 ione libera piC complessa di una trottola simmetrica.

Approf i t tando della possibiliti d i scegliere arbitrariamente le direzioni degli a s s i principali d'inerzia xi, xg (perpendicolari all'asse

Fig. 46

di simmetria x3 della trottola), scegliamo l'asse x2 perpendicolare a l piano de f in i to dal vettore costante M e dalla posizione istantanea dell'asse xy In questo caso My, = O, e dalla formula (32,2) risulta chiaro che a n c h e f"y, = 0. CiÃ significa che in ogni istante le direzioni d i M, Q e dell'asse della trottola vengono a trovarsi in uno stesso piano (fig. 46). Ne segue inoltre che le velocitÃ v = [Qrl d i tu t t i i punti s i t ua t i sull'asse della trottola sono, in ogni istante, dirette perpendicolarmente a l detto piano; in altri termini, l'asse della trottola ruota uniformemente (vedi piC avanti) intorno alla direzione d i M descrivendo un cono circolare (la cosiddetta precessione regolare della trottola). Contemporaneamente alla precessione la trottola compie un moto rotazionale uniforme intorno al proprio asse.

l3 facile esprimere le velocitÃ angolari d i queste due rotazioni mediante i l valore dato del momento M e l'angolo 9 d'inclinazione dell'asse della trottola rispetto alla direzione d i M. La velocitÃ angolare di rotazione della trottola intorno al proprio asse Ã data


dalla proiezione Q 3 del vettore Q su questo stesso asse:

Â£ --=- M3 M cose, I3 I 3

Per determinare l a velocitÃ di precessione Qpr bisogna scomporre il vettore f" secondo la regola del parallelogrammo nelle sue componenti lungo le direzioni x3 e M. La prima componente non porta ad alcun spostamento dell'asse della trottola, ed Ã quindi la seconda componente a dare la velocitÃ angolare di precessione cercata. Dalla costruzione della fig. 46 risulta che sen GQpr = Qi, e poichÃ Q1 = = L1'll/I1 == M sen â‚¬)/I s i ha

5 34. Equazioni del moto d i un corpo solido

PoichÃ un corpo solido possiede generalmente sei gradi di libertÃ nel sistema generale d'equazioni del moto ci devono essere sei equazioni indipendenti, che possono essere scritte in una forma che definisce le derivate rispetto al tempo d i due vettori: l'impulso ed i l momento angolare del corpo.

La prima d i queste equazioni si ottiene semplicemente, sommando

le equazioni p = f del moto di ciascuna delle particelle componenti del corpo, dove p Ã l'impulso di una particella ed f la forza agente su di essa. Introducendo l'impulso totale del corpo

e la forza totale 2 f = F che agisce su di esso, otteniamo:

Sebbene abbiamo scritto F come l a somma d i tut te le forze f agenti su ciascuna particella, comprese le forze generate dalle altre particelle del corpo, in realtÃ fanno parte d i F soltanto le forze esterne. Tutte le forze d'interazione tra le particelle del corpo stesso1 si annullano reciprocamente; infatti, in assenza di forze esterne, l'impulso del corpo, come per qualsiasi altro sistema isolato, s i conserva, cioÃ deve essere F = 0.

Se U Ã l'energia potenziale del corpo solido in un campo esterno, la forza F puÃ essere determinata derivando U rispetto alle coordinate del centro d i massa del corpo:

164 CAPITOLO SESTO

Infatti, per uno spostamento traslatorio 6R del corpo, di questo stesso valore variano i raggi vettori r di ogni punto del corpo, e l a variazione dell'energia potenziale Ã quindi

Osserviamo a proposito che l'equazione (34,l) puÃ essere ottenuta anche come equazione di Lagrange rispetto alle coordinate del centro di massa

a a~ aL --- d t OV -8R

dalla funzione d i Lagrange (32,4), per la quale

Stabiliamo ora la seconda equazione del moto che determina la derivata rispetto a l tempo del momento d'impulso M. Per semplificare i calcoli, Ã opportuno scegliere un sistema d i riferimento Ã immobile Ã (inerziale) tale che ad un istante dato il centro di massa del corpo sia in quiete. L'equazione del moto cosi ottenuta sarÃ valida, in virt6 del principio d i relativitÃ galileiano, in ogni altro sistema inerziale di riferimento.

Abbiamo:

In seguito alla nostra scelta del sistema di riferimento (nel quale

V = O), i l valore" d i r nell'istante dato coincide con la velocitÃ v == r. PoichÃ i vettori v e p = mv hanno una stessa direzione, [rpl =

= 0. Sostituendo anche p con l a forza f, avremo infine:

dove K = 2 [rfl.

I1 vettore [rf] Ã detto momento della forza f ; K Ã quindi la somma dei momenti d i tut te le forze agenti sul corpo. Come per la forza totale F, anche qui si deve tener conto nella somma (34,4) solo delle forze esterne; conformemente alla legge di conservazione del momento angolare, la somma dei momenti di tut te le forze agenti all'interno del sistema isolato deve annullarsi.

I l momento della forza, come i l momento angolare, dipende generalmente dalla scelta dell'origine delle coordinate rispetto alla qu le

al centro d i massa del corpo 1 esso Ã definito. Nelle (34,3) e (34,4) i momenti sono definiti rispetto

Quando l'origine delle coordinate viene spostata di una distanza a, i nuovi raggi vettori r' dei punti del corpo sono legati a quel- l i vecchi r dalla relazione r =- r' -\- a. Si ha quindi

ossia

Da questa relazione risulta in particolare che i l valore del momento delle forze, se l a forza totale F = U, non dipende dalla scelta del- l'origine delle coordinate (si dice in questo caso che al corpo Ã applicata una coppia di forze).

L'equazione (34,3) si puÃ considerare come equazione di Lagrange

rispetto a Ã coordina& rotazionali Ãˆ Infatti , derivando la funzione di Lagrange (32,4) rispetto alle componenti del vettore Q, s i ottiene

Mentre la var iazione~del l 'er~ergia potenziale C/ per una rotazione del corpo di un angolo infinitesimale 6q) Ã

Supponendo che i vettori F e K siano mutuamente perpendicolari, si puÃ sempre trovare un vettore a tale che K' si annulli nella (34,5) e si abbia

K = [aFl. (34,7)

La scelta di a non Ã per$ univoca: aggiungendo ad a qualsiasi vettore parallelo ad F, resta valida l'uguaglianza (34,7) , cosicchÃ la condizione K' = O definisce non un punto solo nel sistema di coordinate mobile, bensi t u t t a una retta. Cosi, per 'K J_ F l'azione di tut te le forze applicate al corpo puÃ essere ridotta ad una unica forza F agente lungo una determinata retta.

Questo Ã in particolare, il caso d i un campo di forze omogeneo, nel quale la forza agente su un punto materiale Ã della forma f -=

= eE, dove E Ã un vettore costante che caratterizza i l campo, ed e Ã una grandezza che caratterizza le proprietÃ della particella nel

166 CAPITOLO SESTO

campo dato1). Abbiamo in questo caso:

Ponendo V e # O, introduciamo il raggio vettore rn definito dalla relazione:

Otteniamo per i l momento totale delle forze l'espressione molto semplice

K = [roFl. (3479)

Per i l moto di un corpo solido in un campo omogeneo, l'influenza d i quest'ultimo si riduce quindi all'azione di una sola forza F, Ã applicata Ã a l punto col raggio vettore (34,8). La posizione di questo punto Ã completamente definita dalle proprietÃ del corpo stesso; per esempio, in un campo di gravitÃ questo punto coincide con i l centro d i massa del corpo.

$ 35. Angoli d i Eulero

Come abbiamo giÃ visto, per descrivere i l moto di un corpo solido si possono utilizzare le tre coordinate del centro di massa del corpo e tre angoli che-determinino l'orientazione degli assi x1, xv, x3 del sistema d i coordinate mobile rispetto a l sistema immobile X, Y, Z. Spesso risulta pifi comodo usare come terna di angoli i cosiddetti angoli di Eulero.

PoichÃ ci interessano per i l momento soltanto gli angoli tra gli assi coordinati, scegliamo per origine di ambedue i sistemi uno stesso punto (fig. 47). I l piano mobile xlx2 taglia i l piano fisso X Y lungo una retta (ON nella fig. 47) detta linea dei nodi. Questa linea Ã evidentemente perpendicolare sia all'asse Z che all'asse x3; come senso positivo, scegliamo quello che corrisponde al senso del prodotto vettoriale [zx31 (dove z e x, sono i versori degli assi Z e x3).

Per grandezze che definiscono l a posizione degli assi xl, xn, x-, rispetto agli assi X, Y, Z prendiamo i seguenti angoli: l'angolo 0 t ra gli assi Z ed x3, l'angolo (p tra gli assi X ed N, l'angolo i(3 tra gli assi N ed x,. Gli angoli cp e Â¥>t sono contati positivamente nel senso determinato dalla regola della vite, rispettivamente, intorno agli assi

1 ) Cosi, in un campo elettrico uniforme, E Ã l'intensitÃ del campo ed e la carica della particella. In un campo uniforme di gravitÃ E Ã l'accelerazione di gravitÃ g ed e la massa della particella,


Z ed x3. L'angolo Q prende i valori da O a n, e gli angoli (p e ip da O a 2n1).

Esprimiamo ora le componenti del vettore velocitÃ angolare il lungo gli assi mobili x1, x2, x3 mediante gli angoli di Eulero e le loro derivate. A tale fine bisogna proiettare su questi assi le velocitÃ

\ /

' - - l Y

Fig. 47

angolari b, m, 6. La velocitÃ angolare 6 Ã diretta lungo la linea de nodi ON e le sue componenti sugli assi xi, x2, x3 sono

La velocitÃ angolare (p Ã diretta lungo l'asse 2; la sua proiezione

sull'asse x3 Ã uguale a v 3 = cp cos 6, e la proiezione sul piano xlx2 Ã

uguale a (p sen 9. Prendendo le componenti di quest'ultima sugli assi xl ed x2, otteniamo:

(pi = cp sen 6 sen ip, (p2 = (p sen O cos ip.

La velocitÃ angolare ip Ã diretta infine lungo l'asse x,. Riunendo tu t te le componenti per ciascuno degli assi, otteniamo

finalmente

1) Gli angoli 6 e (p - n12 sono, rispettivamente, l'angolo polare e l'azimut della direzione di x, rispetto agli assi X, Y, 2. Nello stesso tempo 6 e n/2 - 9 sono, rispettivamente, l'angolo polare e l'azimut della direzione di Z rispetto agl i assi se,, xv, x,.

168 CAPITOLO SESTO

Scegliendo come assi x1, x2, x, gli assi principali d'inerzia del solido, l'energia cinetica di rotazione espressa mediante gli angoli d i Eulero si ottiene ponendo le (35,1) nella (323).

Per la trottola simmetrica, per la quale Il = In# I,, dopo una semplice riduzione, si ottiene:

I l I . Trot = -,- (q2 sen2 0 + 02) + 2 ((p cos O + $)2.

Notiamo che questa espressione puÃ essere ancora ulteriormente semplificata se s i considera che la scelta delle direzioni per gli assi principali d'inerzia xl, x g della trottola simmetrica Ã arbitraria. Consi- derando che l'asse x-, coincide con l'asse dei nodi ON, cioÃ 9 = O,

Fig. 48

avremo per le componenti della velocitÃ angolare le espressioni pifi semplici:

A titolo d'esempio d i applicazione degli angoli d i Eulero, determiniamo, con l'aiuto d i quest'ultimi, il moto libero della trottola simmetrica, che ci Ã giÃ noto.

Facciamo coincidere l'asse Z del sistema d i coordinate immobile con la direzione del momento costante M della trottola. L'asse x3 del sistema mobile Ã diretto come l'asse della trottola; supponiamo che l'asse x-, coincida in un dato istante con l'asse dei nodi. Le formule (35,3) ci danno allora per le componenti del vettore M:


D'altra parte, poichÃ l'asse x1 (linea dei nodi) Ã perpendicolare all'asse 2, abbiamo:

Ml = O, M, == M sen 9, M 3 = M cos 6.

Uguagliando queste espressioni, otteniamo le seguenti equazioni:

4 = 0 , J i ( p = ~ , J 3 ( < P c o s 6 + ~ ) = ~ c o s 9 . (35'4).

La prima di queste equazioni d Ã 0 = costante, cioÃ l'angolo d'inclinazione dell'asse della trottola rispetto alla direzione di M Ã costante. La seconda definisce [in accordo con la (33,5)1 la velocitÃ angolare di precessione (p = M/& E d infine, la terza equazione determina la velocitÃ angolare d i rotazione della trottola intorno al' proprio asse f"v = M cos 6/13.

P R O B L E M I

1. Ridurre a quadratura i l problema del moto di una trottola simmetrica pesante il cui punto inferiore Ã fisso (fig. 48).

Soluzione. Prendiamo i l punto fisso della trottola O per origine comune dei sistemi di coordinate mobile e immobile e l'asse Z diretto lungo la verticale (fig. 48). La funzione di Lagrange della trottola nel campo di gravitÃ Ã

(p Ã la massa della trottola, I la distanza del punto inferiore dal centro di massa).

Le coordinate il) e n> sono cicliche. Abbiamo quindi due integrali del moto: 9L . .

p* = Ã‘ = 1 3 (9 +q cos 6) =costante s M3, W 9L

p@=?= (1; sen2 6+13 cos2 6) (p+ 13il) cos 6=costante = M ^ , (2) 8 ( ~

dove ItI = 7, + p12 (le grandezze p* e py sono le componenti del momento rotazionale definito relativamente al punto O lungo gli assi x, e Z, rispettivamente). Inoltre, l'energia

si conserva. Dalle equazioni (1) e (2) ricaviamo:

. . Eliminando con queste uguaglianze cp e dall'energia (3)' otteniamo:

170 CAPITOLO SESTO

dove

Da cui, ricavando 0 e separando le variabili, si ottiene:

{Ã un integrale ellittico). Gli angoli e (p si esprimono poi come funzioni di 6 in forma di quadrature mediante le equazioni (4 ) e (5).

La regione di variazione dell'angolo 0 nel corso del moto Ã definita dalla condizione E' >. Ueff (6). La funzione Ueff (0) (per M 3 # M,) tende a +o0

Fig. 49

per i valori 9 = 0 e 9 = n e passa per un minimo nell'intervallo compreso tra questi due valori. L'equazione E' = Uetf ha quindi due radici che danno gli angoli limite e d'inclinazione dell'asse della trottola rispetto alla verticale.

Al variare dell'angolo 9 fra O1 e 02, il segno della derivata (p cambia O no secondo che cambia o no, in questo intervallo, il segno della differenza - - M 3 cos 6. Nel secondo caso l'asse della trottola precede monotonamente intorno alla verticale, effettuando contemporaneamente oscillazioni alto-basso (ossia la cosiddetta nutazione; vedi la fig. 49,a, dove la linea ondulata rappresenta la traccia che l'asse della trottola lascerebbe sulla superficie di una sfera avente per centro i l punto fisso della trottola). Nel primo caso la direzione della pre; cessione Ã opposta sui due cerchi limite, in modo che l'asse della trottola si sposta attorno alla verticale descrivendo nodi (fig. 49,b). Infine, se uno dei valori â‚¬ O2 coincide con lo zero della differenza M , - M i cos 8, sul cerchio . . limite corrispondente (p e 0 si annullano contemporaneamente, cosicchÃ l'asse della trottola descrive una traiettoria della forma rappresentata nella fig. 4 9 , ~ .

2. Trovare la condizione ner cui la rotazione della trottola intorno all'asse verticale Ã stabile.

Soluzione. PoichÃ per 0 = O gli assi x3 e 7. coincidono, abbiamo My = M^, E' = 0. La rotazione intorno a questo asse sarÃ stabile se i l valore 9 = 0 corrisponde a l minimo della funzione U e f f (6). Per valori piccoli di 6 si ha:


d a cui ricaviamo la condizione M i > 4Zipg1, ossia

In seconda approssimazione, appare \ una lenta precessione del momento M intorno alla verticale (fig. 50). Per determinare la velocitÃ di questa precessione lenta, calcoliamo la media dell'equazione esatta del moto (34,3) per un periodo della nutazione

3. Determinare il moto di una trottola nel caso in cui l'energia cinetica edella sua rotazione propria sia grande rispetto all'energia nel campo di gravitÃ (la cosiddetta trottola Ã veloce Ãˆ)

Fig. 50

Soluzione. In prima approssimazione, se si trascura il campo di gravitÃ si produce una precessione libera del-

I l momento delle forze di gravitÃ agenti sulla trottola Ã K = ui [ngg], dove m, Ã un versore diretto come l'asse della trottola. Da considerazioni di simmetria e evidente che i l calcolo della media K su un Ã cono di nutazione Ã si riduce alla sostituzione del vettore n, con la sua roiezione cos a -M/M sulla direzione di M essendo i. l'angolo tra M e l'asse d e l i trottola). Si ottiene quindi l'equazione

)ifiilrer

Essa mostra che il vettore M subisce una precessione intorno alla direzione di g (verticale) con velocith angolare media

p1 cos a f"nr= - M g

l'asse della trottola intorno alla direzione , - .... . .

(piccola in confronto a Qnut). Nell'approssimazione considerata, le grandezze M e cos a facenti parte delle

formule ( I ) e (2) sono costanti (benchÃ non siano, a termine di rigore, integrali del moto). Esse sono legate, con la stessa approssimazione, alle grandezze strettamente conservative E ed M, dalle relazioni

del momento M (corrispondente nel no- ,' -. stro caso alla nutazione della trottola); /

\ \

questa recessione avviene, conforme- I

t e alla (33.51, con velocitÃ angolare Jfinut ----L---,'/

172 CAPITOLO SESTO

<y 36. Equazioni di Euleru

Le equazioni del moto scritte nel $ 3 4 si riferiscono a un sistema di coordinate immobile: le derivate dP/dt e dM/dt nelle equazioni (34,l) e (34,3) rappresentano le variazioni dei vettori P ed M rispetto a questo sistema. Esiste perÃ un sistema mobile, con gli assi coordina- t i diretti lungo gli assi principali d'inerzia, nel quale ha luogo una relazione molto semplide tra le componenti del momento rotazionale M del solido e quelle della velocitÃ angolare. Per poter utilizzare questa relazione Ã necessario scrivere preliminarmente le equazioni del moto in un sistema mobile di coordinate xl, xi, x3.

Sia dA/dt la variazione istantanea d i un vettore A rispetto a l sistema d i coordinate'immobile. Se in un sistema rotante il vettore A non cambia, l a sua variazione rispetto a l sistema immobile Ã gene- rata unicamente dalla rotazione; s i h a dunque

(vedi $ 9 dove abbiamo dimostrato che le formule del tipo (9,l) e (9,2) sono valide per qualsiasi vettore). Nel caso generale, a l secondo membro di questa uguaglianza bisogna aggiungere la variazione istantanea del vettore A rispetto a l sistema mobile; indicando questa variazione con dlA/dt, s i ottiene:

Questa formula ci permette immediatamente di scrivere le equazioni (34,1) e (34,3) nella forma

d'P -+ [QP] = F , - dt l

d'M + [QM] = K. dt

PoichÃ la derivazione rispetto a l tempo Ã fatta qui nel sistema d i coordinate mobile, possiamo proiettare direttamente le equazioni sugli assi d i questo sistema scrivendo

dove gli indici 1, 2, 3 esprimono le componenti rispetto agli assi xl, x2, x3. Sostituendo poi P con pV, otteniamo:


Partendo dall'ipotesi che gli assi scelti x,, xÃˆ x3 coincidano con gli assi principali d'inerzia e ponendo nella seconda delle equazioni (36,2) Mi = IIQi, ecc., otteniamo:

Le equazioni (36,4) s i chiamano equazioni di Eulero. Per la rotazione libera, K = O, cosicchÃ le equazioni d i Eulero

assumono la forma

I3- I2 Q Q -0 --+T d t 2 3 - 7

Applichiamo, a titolo d'esempio, queste equazioni alla rotazione libera, che giÃ abbiamo considerato sopra, d i una trottola simmetrica.

Posto Il = 12, abbiamo dalla terza equazione Q. = O, cioÃ Q, = costante. Scriviamo poi le prime due equazioni nella forma

hi= -wQ2 !i2=(uÂ£2, dove

a=Q371- ^i

(36'6)

Ã una grandezza costante. Moltiplicando la seconda equazione per i e son~mandola alla prima, otteniamo:

d - (Qi + if" = i a (Qi + i&), d t

da cui ai +i Aeiut,

dove A Ã una costante che si puÃ considerare reale (con una scelta adeguata dell'origine dei tempi); abbiamo allora

C& = A cos (ut, Â£2 = A sen cot. (36,7)

Questo risultato mostra che la proiezione della velocitÃ angolare su un piano perpendicolare all'asse della trottola ruota in questo piano con una velocitÃ angolare (A, restando perÃ costante in grandezza (Vf": + f";2 = A ) . PoichÃ anche la proiezione sull'asse della trottola resta costante, concludiamo che tutto i l vettore ti

174 CAPITOLO SESTO

deve ruotare uniformemente intorno all'asse della trottola con una velocitÃ angolare m, mantenendo perÃ costante la sua grandezza. Tenendo presente che le componenti dei vettori Q ed M sono legate dalle relazioni = Il% M, = I&, M3 = AQy, Ã evidente che anche il vettore momento M Ã animato dallo stesso moto (rispetto all'asse della trottola).

I l risultato ottenuto non Ã che un altro aspetto del moto della trottola, giÃ studiato nei $ 8 33 e 35, rispetto ad un sistema di coordinate immobile. In particolare, la velocitÃ angolare di rotazione del vettore M (asse Z nella fig. 48) intorno alla direzione coincide, in termini degli angoli di Eulero, con la velocitÃ angolare -I). Le equazioni (35,4) ci danno:

ossia f a - 11 - $ = Q 3 -

f i ' il che concorde con la (36,6).

5 37. Trottola asimmetrica

Applichiamo le equazioni d i Eulero a l problema piii complesso della rotazione libera d i una trottola asimmetrica i cui tre momenti d'inerzia sono tu t t i differenti. Per fissare le idee supponiamo

1 3 > I2 > 11- (37,l)

Due integrali delle equazioni d i Eulero sono noti a priori. Essi esprimono le leggi d i conservazione del l 'e~ergia e del momento e sono dati dalle uguaglianze

IiQf + W, + 9 2E,

I^ + IiL'i + IiL':,,= M 2 , (37'2)

dove l'energia E e i l valore assoluto M del momento sono costanti date. Queste stesse uguaglianze, espresse mediante le componenti del vettore M, assumono la forma

Mi+ Mi+M;= M'. (37'4)

Da queste relazioni s i puÃ giÃ trarre qualche conclusione sul carattere del moto della trottola. Osserviamo a questo proposito che geometricamente le equazioni (37,3) e (37,4) s i presentano, rispetto agli


assi W , M s , &, rispettivamente, come equazioni della superficie di un ellissoide di semiassi

m,, y 2 E 1 2 , v2E13 e di una superficie sferica di raggio M. Al variare del vettore M (rispetto agli assi d'inerzia della trottola) il suo estremo si muove lungo la linea d'intersczione delle superfici indicate sopra (la figura 51

Fig. 51

rappresenta un certo numero d i linee d i intersezione di un ellissoide con sfere di diverso raggio). L'esistenza stessa dell'intersezione Ã as- sicurata dalle ovvie disuguaglianze

le quali geometricamente significano che i l raggio della sfera (37,4) Ã compreso tra i l minore e i l maggiore dei semiassi dell'ellissoide (3793).

Vediamo ora come variano queste Ã traiettorie Ã descritte dell'estremo del vettore M1) a mano a mano che cambia la grandezza M (per un'energia E data). Quando M"- Ã leggermente maggiore di 2E11, l a sfera interseca l'ellissoide lungo due piccole curve chiuse che abbracciano l'asse xi in prossimitÃ dei due poli corrispondenti dell'ellissoide (quando M2 +- 2E11, queste curve si riducono a pun- t i coincidenti con i poli). Al crescere di M2, le curve si allargano e per M 2 = 2EIt si trasformano in due curve piane (ellissi) che si intersecano nei poli sull'asse xv dell'ellissoide. Crescendo ulteriormente

l) Le curve analoghe descritte dall'estremo del vettore Q si chiamano-polodi~.

1176 CAPITOLO SESTO

M, compaiono nuovamente due traiettorie chiuse distinte, ma che circondano questa volta i poli sull'asse x3; esse s i riducono a questi Â¥du punti quando M 2 -+ 2E13.

Osserviamo innanzitutto che i l fatto che le traiettorie siano chiu- s e significa periodicitÃ della variazione del vettore M rispetto al corpo della trottola; in un periodo i l vettore M descrive una superficie (conica, tornando alla posizione d i partenza.

Osserviamo inoltre i l carattere sostanzialmente diverso delle traiettorie vicine ai diversi poli dell'ellissoide. I n prossimitÃ degli assi x-, ed x3 le traiettorie sono disposte interamente intorno a i poli, mentre quelle, passanti in prossimitÃ dei poli sull'asse x2, s i allontanano a distanze sempre maggiori da questi punti. Questa differenza Ã dovuta alla differente stabilitÃ della rotazione della trottola intorno ai suoi t re assi d'inerzia. La rotazione intorno agli assi xl .ed x3 (corrispondenti a l maggiore e al minore dei tre momenti d'inerzia della trottola) Ã stabile nel senso che, per un piccolo spostamento da questi stati , l a trottola continuerÃ a compiere un moto vicino a quello iniziale. Al contrario, la rotazione intorno all'asse x2 Ã instabile; sarÃ cioÃ sufficiente un piccolo spostamento per provocare un moto che porti l a trottola lontano dalla sua posizione iniziale.

Per determinare la relazione t r a le componenti di f" (o quelle di M che sono ad esse proporzionali) e i l tempo, usiamo le equazioni d'Eulero (36,5). Esprimiamo al e Q 3 in funzione di Q 2 con l'aiuto delle due equazioni (37,2) e (37,3)

,e, sostituendo nella seconda delle equazioni (36,5), troviamo:

Separando le variabili in questa equazione ed integrando, otteniamo una funzione t (Q2) in forma d i u n integrale ellittico. Per ridurre quest'ultimo alla forma tipica, poniamo, per fissare le idee.

M2 > 2 E I ,

(in caso contrario bisogna scambiare gli indici 1 e 3 in tu t te le formule che seguono). Introducendo al posto di t e Q2 le nuove variabili


e i l parametro positivo k2 <l dato da ( I , - I , ) ( ~ E I ~ - M Z ) k== ( I 3 - I$) ( M 2 - 2 E I i ) '

otteniamo:

(Ã opportuno scegliere l'origine dei tempi in modo tale che Q = 0). Invertendo questo integrale, s i ottiene, com'Ã noto, una delle funzioni ellittiche di Jacobi:

s=snT ,

che determina appunto la dipendenza di Q2 dal tempo. Le funzioni Q1(t) ed %(t) si esprimono algebricamente mediante CI2 ( t ) secondo le uguaglianze (37,6). Prendendo in considerazione la definizione delle altre due funzioni ellittiche

otteniamo infine le seguenti formule:

Le funzioni (37,10) sono periodiche; i l loro periodo rispetto alla variabile T Ã uguale, com'Ã noto, alla grandezza 4K, dove K Ã l'integrale ellittico completo di prima specie:

I l periodo rispetto a l tempo viene dunque dato dall'espressione

I11 capo a questo intervallo di tempo i l vettore Q torna alla sua posizione iniziale rispetto all'asse della trottola. (La trottola perÃ non torna affatto alla sua posizione iniziale rispetto al sistema di coordinate immobile; vedi piii avanti).

Per Il = I, le formule (37,10) coincidono evidentemente con le formule ottenute nel paragrafo precedente per la trottola simmetrica. Infatti, per Il -+ I 2 i l parametro k2 -+ O e le funzioni ellittiche dege-

178 CAPITOLO SESTO

nerano in funzioni circolari

sn T-+ sen T, cn T+ cos T, dn T + 1,

e ritrovano le formule (36,7). Per W = 2E13 si ha: Qi = Q2 = O, Q 3 = costante, cioÃ il

vettore Ã Ã costantemente diretto lungo l'asse d'inerzia x3; questo caso corrisponde ad una rotazione uniforme della trottola intorno all'asse x3. Analogamente, per M2 = 2EIi (quando T 0) si ha una rotazione uniforme intorno all'asse xi.

Determiniamo ora il moto assoluto della trottola nello spazio in funzione del tempo (assoluto rispetto al sistema immobile di coordinate X, Y, 2). Introduciamo a questo scopo gli angoli d'Eulero ip, (p, 6 tra gli assi della trottola q , x,, x3 e gli assi X, Y, 2, facendo coincidere l'asse fisso Z con la direzione del vettore costante M. PoichÃ l'angolo polare e l'azimut della direzione di Z rispetto

TI agli assi xi, x,, x, sono uguali a 6 e - - 9, rispettivamente 2 (vedi nota alla pag. 167), proiettando il vettore M sugli assi xl, x2, x3 si ottiene:

M sen 6 sen il; = Mi = Iif"i,

M sen O cos il; = M, = IcQ2, (37,131 M cos 6 = M 3 =

Di qui IsQ3 cose=- AQi M ' Q$=- AQ2 ' (37914)

e, tenendo conto delle formule (37,10), troviamo:

i3 (M'-2EI cos 6 = d n r , M2 (13-fi)

h (Zs--/'2) E (37'15)

1,(Za-zi) S U T ' Queste relazioni determinano la dipendenza dal tempo degli angoli 6 e il; che sono, con le componenti del vettore Q, funzioni periodiche con periodo dato dalla (37,12).

L'angolo cp non entra nelle formule (37,13); per calcolarlo, bisogna ricorrere alle formule (35,l) che esprimono le componenti di Q attraverso le derivate degli angoli euleriani rispetto al tempo. Eli-

minando 8 dalle uguaglianze:

Qg == (psen6cosil;-O seni^, otteniamo: - Qisenil)+Q2cosil)

10 = san 0 Ã


utilizzando inoltre le formule (37,13), troviamo:

In questo modo l a funzione (p (t) viene determinata da una quadratura, ma l'espressione integranda contiene funzioni ellittiche in forma complicata. Con una serie di trasformazioni abbastanza complicata questo integrale puÃ essere espresso mediante le cosiddette Ã funzioni theta P; tralasciando tu t t i i calcoli, diamo qui solo i l risultato finale l ) .

La funzione (C (t) puÃ essere rappresentata (a meno di una costante additiva arbitraria) sotto forma d i una somma di due termini

(C ( 4 = (Ci (O + (Da (09 (37,17)

uno dei quali Ã dato dalla formula 2t

f43i ( p u ) e2i<pi(~) = (37'18)

(+ + ia ) ' dove Ã una funzione theta, ed a una costante reale definita dal- l'uguaglianza

[ K e T sono da t i dalle (37, l l ) e (37,12)1. La funzione nel secondo membro della (37,18) Ã periodica con un periodo uguale a T/2; quindi cpi ( t ) varia d i 2n nell'inrervalo d i tempo T. I l secondo termine della (37'17) Ã dato dalla formula

Questa funzione subisce un incremento di 2n nel tempo T'. Cosi i l moto, per quanto riguarda l'angolo (p, rappresenta un insieme di due variazioni periodiche; uno dei periodi (T) coincide con i l periodo d i variazione degli angoli + e 9, e l 'altro (T') Ã incommensurabile con i l primo. Quest'ultima circostanza fa s i che la trottola durante i l suo moto non torna alla sua posizione iniziale.

P R O B L E M I

1. Determinare la rotazione libera di una trottola intorno ad un asse vicino all'asse d'inerzia xy (oppure x d .

Soluzione. Supponiamo l'asse xy vicino alla direzione di M. Le componenti M-, ed M. sono allora piccole e la componente M , ^s M (a meno di infinitesimi

i) Per questi si puÃ vedere E. T. W h i t t a k e r, A Treatise on the Ana- l i t i c a i Dynarnics (Dover, New York, 1944), cap. IV.

180 CAPITOLO SESTO

del primo ordine). Con la stessa approssimazione, le prime due equazioni di Eulero (36,s) si scrivono nella forma

dove abbiamo introdotto la costante Q,, = m. Seguendo la regola generale, cerchiamo per M, ed M, una soluzione proporzionale ad ei , ed otteniamo per la frequenza (D i l valore

Per le grandezze ed M. otteniamo

dove a Ã una costante arbitraria piccola. Queste formule determinano i l moto del vettore M relativamente alla trottola; nella costruzione della fig. 51 l'estremo del vettore M descrive (con frequenza W) una piccola ellisse intorno al polo giacente sull'asse x3.

Per determinare il moto assoluto della trottola nello spazio, bisogna determinare gli angoli euleriani. Nel nostro caso, l'angolo d'inclinazione 0 dell'asse

sull'asse Z (direzione di M) Ã piccolo, e secondo le formule (37,14) abbiamo

sostituendo la (2), troviamo

Per calcolare l'angolo cp, notiamo che, secondo la terza delle formule (35.1) per 6 <C 1 abbiamo:

(la costante d'integrazione Ã omessa). Per avere un'idea pi6 concreta del moto della trottola, bisogna osservare

direttamente la variazione delle direzioni dei suoi tre assi d'inerzia (indichiamo con nl, nÃ§ n3 i versori relativi a questi tre assi). I versori nl ed n; ruotano uniformemente con la frequenza Q,, nel piano XY, subendo nel frattempo piccole oscillazioni trasversali di frequenza or, queste oscillazioni sono definite dalle componenti su Z dei versori, in questione, per le quali abbiamo:


Per i l versore n3 con la stessa approssimazione abbiamo: nsx = 0 sen (p, nsy : - 0 cos (p, n3; ss; 1

(l'angolo polare e l'azimut della direzione di n3 rispetto agli assi X , Y , Z sono TI

uguali a 0 e (p - -; vedi nota alla pag. 167). Utilizzando le formule (37,13) 2 possiamo scrivere

nsx = 0 sen (Bot - i j?) = 0 sen Qot cos $- 0 cos Oot sen I+ ==

- a /*-l cos Qot cos coi,

ossia

++ ( y^-1-/^-l) cos (Qo-" i.

Analogamente troviamo:

n3,=-^ 2 o/^-I+)/+-I) sen (Qo+@).+

++ (/+-I-^-<) sen (QO-W) te

Dall'ultima formula si vede che i l moto del versore n-, rappresenta una sovrapposizione di due rotazioni di frequenze (Q,, co) intorno all'asse 2.

2. Determinare la rotazione libera di una trottola per M 2 = 2 E I v . Soluzione. Nella costruzione della fig. 51, questo caso corrisponde allo

spostamento dell'estremitÃ del vettore M su una curva passante per un polo sull'asse x2.

L'equazione (37,7) assume la forma

dove abbiamo posto Q, = M / I f = 2 E / M . Integrando questa equazione ed utilizzando poi e formule (37,6), otteniamo:

Per descrivere i l moto assoluto della trottola, introduciamo gli angoli euleriani, definendo 0 come l'angolo formato dall'asse Z (direzione di M) con l'asse d'inerzia x, della trottola (e non x,, come nel testo). Nelle formule (37,14) e (37,16) che stabiliscono la relazione tra le componenti del vettore Q e gli angoli

182 CAPITOLO SESTO

di Eulero, bisogna eseguire la permutazione ciclica degli indici 1 2 3 4 3 1 2 . Sostituendo poi in queste formule le espressioni (l), otteniamo:

Dalle formule ottenute risulta che la direzione del vettore fi tende asintoticamente (per t Ã‘> 00 ) verso l'asse x o , i l quale, a sua volta, tende asintoticamente verso l'asse fisso 7.

,$ 38. Contatto f r a i corpi solidi

Dalle equazioni del moto (34, l) e (34,3) risulta evidente che per determinare le condizioni d'equilibrio di un corpo solido Ã sufficiente annullare la forza totale e i l momento totale delle forze agenti su di esso:

La sommatoria Ã estesa a tu t te le forze esterne applicate a l corpo, ed r rappresenta i raggi vettori dei Ã punti d'applicazione Ã d i queste forze; i l punto (origine delle coordinate), relativamente a l quale sono definiti i momenti, puÃ essere scelto arbitrariamente: per F = O, i l valore d i K non dipende da questa scelta [cfr. (34,5)1.

Considerando un sistema di corpi solidi in contatto gli uni con gli altri, s i h a l'equilibrio quando le condizioni (38,1) sono soddisfat- te per ciascun corpo separatamente. Fra le forze vanno incluse anche quelle agenti sul corpo dato da parte degli al t r i corpi in contatto con esso. I punti d i applicazione d i queste forze coincidono con i punti di contatto dei corpi e s i chiamano forze di reazione. evidente che per ciascuna coppia di corpi, le loro forze reciproche di reazione sono uguali in modulo ed opposte in direzione.

Nel caso generale, i moduli e le direzioni delle reazioni vengono determinati risolvendo i l sistema di equazioni d'equilibrio (38,1), compatibile per t u t t i i corpi. I n alcuni casi, perÃ² l a direzione delle forze d i reazione Ã data dalle condizioni stesse del problema. Per esempio, se due corpi possono strisciare liberamente l'uno sulla superficie dell'altro, le loro forze d i reazione sono dirette secondo l a normale a questa superficie.

Se i corpi a contatto s i muovono l'uno rispetto all'altro, oltre alle forze d i reazione, compaiono anche forze di carattere dissipativo, ossia le forze d'attrito.

Per i corpi a contatto sono ossib bili i due t ipi d i moto: strisciamento e rotolamento. Nello strisciamento le reazioni sono perpendicolari alle superfici di contatto, mentre le forze d'attrito sono dirette secondo le tangenti a queste superfici.


I l puro rotolamento Ã caratterizzato dal fatto che nei punti di contatto manca moto relativo dei corpi; in altri termini, per il corpo rotolante Ã come se, in ogni istante, i l punto di contatto fosse un punto fisso. Le direzioni delle forze di reazione sono i n questo caso arbitrarie, cioÃ non sono necessariamente normali alle superfici di contatto. L'attrito, invece, nel rotolamento appare come una coppia supplementare che si oppone a l rotolamento stesso.

Se nel caso dello strisciamento l 'attrito Ã insignificante da poter essere completamente trascurato, le superfici dei corpi sono dette perfettamente lisce. Viceversa, se le proprietÃ della superficie ammettono solo un rotolamento puro dei corpi senza strisciamento, e nel rotolamento l 'attrito puÃ essere trascurato, le superfici sono dette perfettamente ruvide.

In entrambi i casi le forze d 'at t r i to non figurano esplicitamente nel problema del moto dei corpi, e quindi i l problema Ã puramen- t e meccanico. Se invece le proprietÃ concrete dell'attrito assumono un'importanza sostanziale, i l moto perde i l carattere d i un processo puramente meccanico (cfr. $ 25) .

I l fatto che i corpi siano a contatto diminuisce i l numero dei loro gradi di libertÃ in confronto con quelli che avrebbero nel caso di moto libero. Studiando problemi di questo genere, abbiamo finora tenuto conto di questa circostanza introducendo coordinate direttamente corrispondenti a l numero effettivo d i gradi d i libertÃ Nel rotolamento dei corpi, perÃ² tale scelta delle coordinate puÃ risultare impossibile.

La condizione cui deve soddisfare i l moto dei corpi nel rotolamento consiste nell'uguaglianza delle velocitÃ dei punti d i contatto (cosi, per un corpo rotolante su una superficie fissa, l a velocitÃ del punto di contatto deve essere uguale a zero). Nel caso generale questa condizione si esprime mediante equazioni dei vincoli del tipo

dove cy,i sono funzioni delle sole coordinate (a Ã l'indice che enu- mera le equazioni dei vincoli). Se i primi membri delle uguaglianze non sono derivate totali rispetto a l tempo d i funzioni delle coordinate, queste equazioni non si possono integrare. In altri termini, non Ã possibile trasformarle i n relazioni t ra le sole coordinate, mediante le quali s i potrebbe esprimere l a posizione dei corpi con un minor numero d i coordinate, in corrispondenza con il reale numero di gradi di libertÃ Tali vincoli sono det t i anolonomi (contrariamente a i vincoli det t i olonomi che legano solo le coordinate del sistema).

Consideriamo, ad esempio, i l rotolamento di una sfera su una superficie piana. Come al solito, indichiamo con V la velocitÃ del moto traslatorio (velocitÃ del centro della sfera), e con f" la velocitÃ angolare della sua rotazione. La velocitÃ del punto di contatto della sfera con i l piano si ottiene ponendo r = -an nella formula generale

184 CAPITOLO SESTO

v = V + [Qt] (dove a Ã il raggio della sfera, n i l vettore unitario della normale a l piano di rotolamento nel punto di contatto). I l vincolo cercato Ã espresso dalla condizione d i assenza di strisciamento nel punto d i contatto, cioÃ Ã dato dall'eqnazione

Questa equazione non Ã integrabile: sebbene la velocitÃ V sia la derivata totale rispetto a l tempo del raggio vettore del centro della sfera, la velocitÃ angolare non Ã invece generalmente la derivata totale di una delle coordinate. In ta l modo, i l vincolo (38.3) Ã anolonomol).

PoichÃ non Ã possibile utilizzare le equazioni dei vincoli anolonomi per ridurre i l numero delle coordinate, s i debbono inevitabil- mente introdurre, se tal i vincoli esistono, delle coordinate non tut te indipendenti. Per trovare le corrispondenti equazioni d i Lagrange, ricorriamo a l principio di minima azione.

La presenza d i vincoli del tipo (38,2) impone determinate restrizioni ai possibili valori delle variazioni delle coordinate. Moltipli- cando queste equazioni per 6 t , troviamo che le variazioni 6qi non sono indipendenti, bensi legate dalle relazioni

Di questa circostanza occorre tener conto nel fare la variazione del- l'azione. Secondo i l metodo generale di Lagrange per trovare le condizioni di estremo, all'espressione integranda della variazione del- l'azione

bisogna aggiungere le equazioni (38,4) moltiplicate per i fattori inde- terminati Ã‹ (funzioni delle coordinate), e porre quindi l'integrale uguale a zero. Considerando tu t te le variazioni 60; indipendenti si ottengono le equazioni

Con le equazioni dei vincoli (38,2), esse costituiscono un sistema di equazioni completo rispetto alle incognite qi e La.

Nel metodo esposto le forze di reazione generalmente non intervengono; i l contatto dei corpi Ã interamente descritto dalle equazioni dei vincoli. Tuttavia, per stabilire le equazioni del moto dei corpi a

l) Notiamo che per i l rotolamento di un cilindro un tale vincolo sarebbe olonomo. In questo caso, l'asse di rotazione conserva una direzione costante nello spazio, e di conseguenza, f" = d&t Ã la derivata totale dell'angolo di rotazione cp del cilindro intorno al suo asse. La relazione (38,3) Ã allora integrabile e dÃ la relazione tra la coordinata del centro di massa e l'angolo q>.


contatto, esiste un altro metodo nel quale s i introducono esplicitamente le forze di reazione. Secondo questo metodo (che costituisce i l contenuto del principio di D'Alembert) per ciascuno dei corpi a con- tat to si scrivono le equazioni

dove nell'insieme delle forze f che agiscono sul corpo, sono comprese anche le forze d i reazione; queste forze non sono note a priori e vengono determinate contemporaneamente con i l moto del corpo, a soluzione delle equazioni ottenute. Questo metodo Ã ugualmente applicabile sia nel caso di vincoli olonomi che in quello di vincoli anolonomi.

P R O B L E M I

1. Applicando i l principio di D'Alembert, trovare le equazioni del moto di una sfera omogenea rotolante su un piano sotto l'azione di una forza esterna F e di un momento di forze K.

Soluzione. L'equazione dei vincoli (38,3) Ã data giÃ nel testo. Introducendo- la forza di reazione (che indichiamo con R), applicata nel punto di contatto della sfera con i l piano, scriviamo le equazioni (38,6):

(qui Ã stato preso i n considerazione che P = pV e che per una trottola sferica M = 70). Derivando l'equazione dei vincoli (38,3) rispetto a l tempo, si ottiene:

V = a [fin].

Sostituendo questo valore nell'equazione (1) ed eliminando 6 con l'aiuto della (2), si trova l'equazione

I - (F+R)= [Knl -aR+an (nR), aP

che lega la forza di reazione con F e K. Passando alle componenti e ponen- 2 do I = -pa2 (vedi problema 2,b, 5 32), abbiamo: 5

(dove i l piano x, y Ã stato scelto come piano d i rotolamento). Infine, riportando queste espressioni nella ( i ) , otteniamo le equazioni del moto che giÃ contengono- soltanto la forza esterna e i l momento dati:

Le componenti Qx, Q della velocitÃ angolare si esprimono i n funzione di Vv e Vu con l'aiuto dellYequazione dei vincoli (38,3), e per Q, si ha:

[componente z dell'equazione (2)].

186 CAPITOLO SESTO

2. Un'asta omogenea'BD di peso P e di lunghezza I Ã appoggiata ad una parete (fig. 52); la sua estremitÃ inferiore B Ã tenuta dal filo A B . Determinare

le reazioni degli appoggi e la tensione del filo. Soluzione. Il peso dell'asta puÃ essere

rappresentato come una forza P applicata nel suo punto medio e diretta verticalmente verso i l basso. Le forze di reazione Rs ed Ra sono dirette rispettivamente verso l'alto e per endi- colarmente all'asta: la tensione T def filo Ã diretta da B ad A . La soluzione delle equazioni d'equilibrio dÃ

A

Fig. 52

ed Rn sono perpendicolari equazioni d'equilibrio d i :

D

3. Un'asta A B di peso P poggia le sue estremitÃ su un piano orizzontale e su un piano verticale (fig. 53), ed Ã tenuta in questa posizione da due fili orizzontali A D e BC; il filo BC si trova nel piano verticale passante per l'asta A B . Determinare la reazione degli appoggi e le tensioni dei fili.

Soluzione. Le tensioni TA e T B dei fili sono dirette da A a D e da B a C. Le reazioni R A ai piani corrispondenti. La soluzione delle

r R B = P , Ts =- c t g a , RA=Ta senp, T A Z T ~ cos p. 2

4. Due aste di lunghezza I sono congiunte, in alto, a cerniera e sono collegate, i n basso, da un filo A B (fig. 54) . Nel punto di mezzo di una delle

Fig. 53

aste Ã applicata una forza F (il peso delle sbarre Ã trascurato). Determinare le forze di reazione.

Soluzione. La tensione T del filo agisce nel punto A da A verso B , e nel puntoB da B verso A . Le reazioni RA ed R B nei punti A e B sono


perpendicolari a l piano d'appoggio. Indichiamo con Rc la forza di reazione agente sull'asta AC in corrispondenza della cerniera; sull'asta BC agisce allora una forza di reazione -Rc. Annul- lando la somma dei momenti delle forze Un, T e -RC agenti sull'asta B C trovia-

^ \

mo che il vettore Rc risulta diretto lungo \ BC. Le altre condizioni d'equilibrio (per ciascuna delle aste) ci danno i valori

3 F R A = - F , R --, 4 B - 4

F RC = - 1

T=-ctga , 4 s e n a ' 4

dove a Ã l'angolo CAB.

$ 39. Moto i n un sistema di riferimento non inerziale

A B Finora abbiamo studiato i l moto d i

un sistema meccanico qualunque, Fig. 54 relativamente sempre ad un sistema d i riferimento inerziale. Soltanto in un sistema inerziale infatti la funzione d i Lagrange, per esempio, d i una particella in un campo esterno ha la forma

mvg Lo = T- u, (39'1)

e l'equazione del moto si pu6 scrivere:

(in questo paragrafo indicheremo con l'indice O le grandezze riferite a un sistema inerziale).

Vediamo ora quale forma assumono le equazioni del moto di una particella in u n sistema di riferimento non inerziale. Come punto di partenza per risolvere questo problema ricorreremo ancora a l principio d i minima azione, l a cui applicabilitÃ non Ã l imitata in alcuno modo dalla scelta del sistema d i riferimento; restano valide inoltre anche le equazioni d i Lagrange

Tuttavia, la funzione di Lagrange non ha piti la forma (39,1) e per trovarla Ã necessario eseguire sulla funzione L,, una trasformazione appropriata.

Facciamo questa trasformazione in due tempi. Consideriamo in un primo momento un sistema di riferimento K', animato da un moto traslatorio con una velocitÃ V (t) rispetto ad un sistema inerziale K,,. Le velocitÃ v. e v' di una particella relativamente ai sistemi Ko e

188 CAPITOLO SESTO

K' sono legate dalla relazione

v,, = v + v ( t ) .

Sostituendo questa espressione nella (39,1), otteniamo la funzione di Lagrange nel sistema K':

PoichÃ V2 (t) Ã una data funzione del tempo, che puo essere rappresentata come la derivata totale rispetto a t di un'altra funzione, si puÃ quindi nell'espressione ottenuta omettere il terzo termine. D'altra parte, v' = drt/dt, dove r' Ã i l raggio vettore della particella nel sistema di coordinate K ; si ha dunque

dr' dV mV ( t ) V' = mV - = L (mvr ' ) - mr' T . dt dt

Sostituendo questo valore nella funzione di Lagrange ed omettendo nuovamente la derivata totale rispetto a l tempo, s i ottiene

dove W = d V / d t Ã l'accelerazione del moto traslatorio del sistema K'. Con l a (39,4) otteniamo l'equazione di Lagrange

dir' 9U m----- dt - 9r'

m W (t) .

Si vede dunque che dal punto d i vista della sua influenza sull'e- quazione del moto della ~a r t i ce l l a , i l moto traslatorio accelerato del sistema di riferimento Ã equivalente] ad un campo d i forze uniforme; la forza agente in questo campo Ã uguale a l prodotto della massa della particella per l'accelerazione W e diretta in senso opposto a questa accelerazione.

Introduciamo ora un altro sistema d i riferimento K avente l'origine in comune con K', ma animato, rispetto a quest'ultimo, da un moto rotazionale con una velocitÃ angolare Q ( t ) ; rispetto a l sistema inerziale K,,, i l sistema K compie sia una rotazione che una traslazione.

La velocitÃ v' della particella rispetto a l sistema K' Ã composta della sua velocitÃ v relativa a l sistema K e della velocitÃ [Br ] della sua rotazione con i l sistema K:

v' = v + [ B r ]

(i raggi vettori r ed r' della particella nei sistemi K e K' coincidono). Sostituendo questa espressione nella funzione di Lagrange (39,4), etteniamo:


Questa Ã la forma generale della funzione d i Lagrange della particella in un sistema d i riferimento qualunque, non inerziale. Notia- mo che la rotazione del sistema d i riferimento introduce nella funzione d i Lagrange un termine di tipo del tu t to particolare, lineare rispetto alla velocitÃ della particella.

Per calcolare le derivate facenti parte dell'equazione d i Lagrange, scriviamo i l differenziale totale:

d L = m v d v + m d v [ Q r } + m v [ Q d r ] + m [Qr] [QdrJ-

au + m [[Qr] Ql dr- wW dr dr.

Riunendo i termini contenenti dv e dr, troviamo:

Sostituendo queste espressioni nella (39'2)' troviamo l'equazione del moto cercata:

Dall'equazione trovata s i vede che le Ã forze d'inerzia Ã generate dalla rotazione del sistema di riferimento constano d i tre termini.

La forza m [rQl Ã dovuta alla non uniformitÃ della rotazione, mentre le altre due esistono anche nella rotazione uniforme. Si chiama 2 m [vQl forza di Coriolis; a differenza d i tu t te le forze (non dissipative) che abbiamo esaminato finora, essa dipende dalla velocitÃ della particella. La forza m [Q [r i i l l Ã detta centrifuga. Essa giace nel piano definito da r ed i" ed Ã perpendicolare all'asse d i rotazione (cioÃ alla direzione di i") diretta verso l'esterno; i l valore della forza centrifuga Ã uguale a mpV, dove p Ã l a distanza della particella dall'asse d i rotazione.

Consideriamo a parte i l caso di un sistema d i coordinate animato da una rotazione uniforme, senza moto traslatorio accelerato. Po- nendo nella (39,6) e (39,7) S" = costante, W = O, otteniamo la funzione di Lagrange

e l'equazione del moto dv au m-= -- di 9r + 2m [va1 +m [Q [rQl}. (39,9)

190 CAPITOLO SESTO

Calcoliamo per questo caso anche l'energia della particella. Po- nendo

nell'uguaglianza E = pv - L, otteniamo:

Osserviamo che nell'espressione dell'energia non compare i l termine lineare rispetto alla velocitÃ L'influenza della rotazione del sistema di riferimento si manifesta in un termine supplementare nell'energia, termine che dipende soltanto dalle coordinate della particella e che Ã proporzionale al quadrato della velocitÃ angolare. Questa energia

m potenziale supplementare - [Qrl Ã detta energia centrifuga.

La velocitÃ v della particella rispetto al sistema di riferimento animato da una rotazione uniforme Ã legata alla sua velocitÃ v0 rispetto al sistema inerziale Ko dalla relazione:

da cui Ã evidente che l'impulso p (39,iO) della particella nel sistema K coincide con i l suo impulso p. = mvo nel sistema Ko. Coincidono anche i momenti angolari M. = Irp,,l ed M = Irpl. Le energie della particella nei sistemi K e K,, sono invece differenti. Sostituendo v dalla (39,12) nella (39,11), otteniamo:

I primi due termini rappresentano l'energia E. nel sistema Ko. In- troducendo nell'ultimo termine i l momento angolare, avremo:

E = E. - MQ. (39,131

Questa formula dÃ la legge di trasformazione dell'energia nel passaggio a un sistema di coordinate animato da una rotazione uniforme. Sebbene questa formula sia stata stabilita per una sola particella, Ã perÃ evidente, che i l procedimento, applicato al caso pifi generale di un sistema qualsiasi di particelle, portÃ sempre alla formula (39,13).

P R O B L E M I

1. Trovare la deviazione dalla verticale provocata dalla rotazione della Terra della libera caduta di un grave. (Considerare piccola la velocitÃ angolare di rotazione).

Soluzione. Nel campo di gravitÃ U = -mgr, dove g Ã il vettore accelerazione della forza di gravitÃ trascurando nell'equazione (39,9) la forza centrifuga che contiene i l quadrato di Q, otteniamo l'equazione del moto nella.


forma

Risolviamo questa equazione per approssimazioni successive. Poniamo a tale scopo v = v,+ v,, dove v, Ã la soluzione dell'equazione vi = g, cioÃ v l = gt + v. (vo velocitÃ iniziale). Sostituendo v = v, + v, nella ( 1 ) e la- sciando a destra soltanto v,, otteniamo per v, l'equazione

vg = 2 [v~Q] = 2t [gQ] + 2 [v~Q]. L'integrazione dÃ

dove h Ã il vettore della posizione iniziale della particella. Orientando l'asse z verticalmente verso l'alto e l'asse x lungo il meridiano-

verso il polo, si ha ^ = g y = O , g z = -g; Q x = Q c o s ) i , Q y = 0 , Q z = Q s e n X ,

dove A Ã la latitudine (nord, per fissare le idee). Ponendo nella (2 ) v0 = O , troviamo

Sostituendo qui il tempo di caduta t w troviamo infine

(il valore negativo per y corrisponde ad uno spostamento verso est). 2. Determinare la deviazione dal piano per un corpo lanciato dalla super-

ficie della Terra con una velocitÃ iniziale v0. Soluzione. Scegliamo il piano xz in modo tale che esso conten

da ga "O. L'a1tezza iniziale Ã h = 0. Per la deviazione laterale, l'equazione ( 2 ) de problema 1 ci

ossia, sostituendo i l tempo di ascesa t w 2r&:

3. Determinare l'effetto della rotazione della Terra sulle piccole oscillazioni di un pendolo (pendolo di Foucault).

Soluzione. Trascurando lo spostamento verticale del pendolo come infinitesimo del secondo ordine, si puÃ considerare che i l moto avvenga nel piano orizzontale xy. Omettendo i termini contenenti LP, scriviamo le equazioni del moto nella forma

dove co Ã la frequenza. delle oscillazioni del pendolo senza tener conto della rotazione della Terra. Moltiplicando la seconda equazione per i e sommando alla prima, otteniamo un'unica equazione

192 CAPITOLO SESTO

per la grandezza complessa E = x + iy. Per Q* < (D la soluzione di questa equazione e:

dove le funzioni xo ( t ) ed yo ( t ) danno la traiettoria del pendolo senza tener conto della rotazione della Terra. L'effetto di questa rotazione si riduce quindi a una rotazione della traiettoria intorno alla verticale con velocitÃ angolare Q..

Capitolo VI1

EQUAZIONI CANONICHE

$ 40. Equazioni di Hamilton

La formulazione delle leggi della meccanica mediante la funzione di Lagrange (e delle equazioni di Lagrange che da essa possono essere dedotte) presuppone la descrizione dello stato meccanico di un sistema mediante l'assegnazione delle coordinate e delle velocitÃ generalizzate. Questo metodo non Ã perÃ l'unico possibile. La descrizione dello stato del sistema mediante le sue coordinate e i suoi impulsi generalizzati presenta, soprattutto nello studio di diversi problemi generali della meccanica, una serie d i vantaggi. Sorge allora i l problema della ricerca delle equazioni del moto che corrispondano a questa nuova formulazione della meccanica.

I l passaggio da un insieme di variabili indipendenti ad un altro puÃ essere fatto mediante una trasformazione, nota in matematica sotto i l nome di trasformazione di Legendre. Nel nostro caso questa trasformazione prende la forma seguente.

I l differenziale totale della funzione d i Lagrange come funzione delle coordinate e delle velocitÃ Ã

Questa espressione si puÃ scrivere nella forma

essendo le derivate d ~ / d ~ i , per definizione, g l i impulsi generalizzati,

e le equazioni d i Lagrange danno dL/dqi = p;. Riscrivendo ora i l secondo termine della (40,1) nella forma

2 pi = d (2 p i i i ) 2 (Zi api, portando poi il differenziale totale d ( 2 piii) nel primo membro dell'uguaglianza e cambiando tu t t i i segni, dalla (40, l ) otteniamo:

La grandezza sotto i l segno di differenziale rappresenta l'energia del sistema (vedi Â 6); espressa in funzione delle coordinate e degli

194 CAPITOLO SETTIMO

impulsi, essa s i chiama funzione d i Hamilton o hamiltoniana del sistema

H (p7 97 t ) = S piÃ -L. (4072) 1

Dall'uguaglianza differenziale

si ricavano le equazioni

Queste sono le equazioni del moto cercate: esse hanno per variabi- l i p e q e sono dette equazioni di Hamilton. Esse formano un sistema di 2s equazioni differenziali del primo ordine per 2s funzioni incognite p ( t ) e q ( t ) , che sostituiscono le s equazioni del secondo ordine ottenute con i l metodo di Lagrange. Per la loro semplicitÃ formale e la loro simmetria queste equazioni sono dette anche canoniche.

La derivata totale rispetto a l tempo della funzione di Hamilton Ã

Sostituendovi q, e pi ricavate dalle equazioni (40,4), i due ultimi termini s i elidono, cosicchÃ

Nel caso particolare in cui la funzione di Hamilton non dipende esplicitamente dal tempo, s i ha d H / d t = O, si ottiene cioÃ di nuovo la formulazione delle legge di conservazione dell'energia.

Le funzioni di Lagrange e d i Hamilton, oltre alle variabili

dinamiche q, q oppure q, p , contengono vari parametri, ossia grandezze che caratterizzano le proprietÃ del sistema meccanico come tale o del campo esterno agente su d i esso. Sia A uno d i questi parametri. Se lo consideriamo come una variabile, avremo, in luogo della (40,l):

quindi, in luogo della (40,3) otterremo:

Di qui ricaviamo la relazione

EQUAZIONI CANONICHE 195

che lega fra d i loro le derivate parziali rispetto al parametro A delle funzioni di Lagrange e d i Hamilton; gli indici stanno a significare che la derivazione va fat ta in un caso tenendo costanti p e q,

e nell'altro tenendo costanti q e q. Questo risultato puÃ anche esser presentato sotto un altro aspetto.

Sia L = Lo + L' la funzione di Lagrange, dove L' rappresenta una piccola correzione alla funzione fondamentale Lo. I l termine supplementare corrispondente nella funzione d i Hamilton H =Ho -j- H' Ã legato con L' mediante

W O P . , = - (L');, . (4077)

Notiamo che trasformando la (40,1) nella (40,3) abbiamo sempre omesso il termine in di, i l quale tiene conto di una possibile dipendenza esplicita della funzione d i Lagrange dal tempo; infatti, questo termine avrebbe in quella connessione solo la funzione di un parametro, non avendo alcuna relazione con la trasformazione eseguita. Per analogia con la (40,6), le derivate parziali rispetto al tempo di L e d i H sono legate dalla relazione

P R O B L E M I

1. Trovare la funzione di Hamilton per u n punto materiale in coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche.

Risposta. In coordinate cartesiane x, y, z: 1 H = - nrn ( P ~ + P $ + P ~ ) + ~ ( x , Y, 2).

In coordinate cilindriche r , q, z:

I n coordinate sferiche T , 0, q:

2. Trovare la funzione d i Hamilton di una particella i n un sistema di riferimento animato da un moto rotatorio uniforme.

Soluzione. Dalle (39,11) e (39,10) troviamo:

3. Trovare la funzione d i Hamilton di un sistema costituito da una par- icella di massa M e da n particelieddi massa m , senza tener conto del moto e1 centro di massa (vedi problema del Â 13).

Soluzione. L'energia E si deduce dalla funzione di Lagrange trovata nel lroblema del Â 13, cambiando i l segno davanti ad U . Gli impulsi generalizzati

13*


sono:

Da cui abbiamo:

Sostituendo questi valori nell'espressione di E, troviamo

8 41. Funzione d i Routh

In alcuni casi, passando a nuove variabili, puÃ risultare conveniente sostituire con impulsi non tu t te le velocitÃ generalizzate, ma soltanto alcune d i esse. La trasformazione corrispondente Ã completamente analoga a quella operata nel paragrafo precedente.

Per semplificare la scrittura delle formule, supponiamo anzitutto di avere soltanto due coordinate, q e E, e trasformiamo le variabili

q, E , a, 1 nelle variabili q, E , p, E, dove p Ã l'impulso generalizzato corrispondente alla coordinata q. . .

I l differenziale della funzione d i Lagrange L (q, E, q, E) Ã

da cui:

Introduciamo l a cosiddetta funzione di JRouth

Il (91 P1 E, i) =P;-L, (4171)

nella quale la velocitÃ q Ã espressa mediante l'impulso p utilizzando

l'uguaglianza p = dL /dq . Calcolando i l differenziale, otteniamo:


da cui risulta che

Sostituendo le ultime uguaglianze nell'equazione d i Lagrange per la coordinata E;, otteniamo:

La funzione di Routh Ã quindi funzione hamiltoniana rispetto alla coordinata q [equazione (41,3)1 e lagrangiana rispetto alla coordinata E; [equazione (41,5)1.

Conformemente alla definizione generale, l'energia del sistema Ã

Sostituendovi la (41,l) e la (41,4), possiamo esprimere E mediante la funzione di Routh:

6R E=:R-E-. (41 16)

4 La generalizzazione delle formule ottenute a l caso in cui si hanno

pi6 coordinate q e E; Ã immediata. In particolare, l'uso della funzione d i Routh puÃ essere opportuno

nel caso d i coordinate cicliche. Se le coordinate q sono cicliche, non appaiono esplicitamente nella funzione d i Lagrange e, di conseguenza, neanche nella funzione di Routh, cosicchÃ R Ã funzione solo

di p, E;, g. Gli impulsi generalizzati p corrispondenti alle coordinate cicliche sono inoltre costanti (ciÃ Ã evidente anche dalla seconda delle equazioni (41,3), l a quale in questo senso non dÃ niente di nuovo). Sostituendo g l i impulsi p con i loro valori costanti dati, le equazioni (41,5)

s i riducono a equazioni contenenti soltanto le coordinate e quindi le coordinate cicliche vengono escluse completamente. Risolte queste equazioni e trovate le funzioni E; ( t ) , sostituendole nel secondo membro delle equazioni

troviamo, con una integrazione diretta, le funzioni q (t) .

1 98 CAPITOLO SETTIMO

P R O B L E M A

Trovare la funzione di Routh di una trottola simmetrica in un campo esterno U ((p, O ) , eliminando la coordinata ciclica i ) ) ( i ) ) , (p, 6 sono angoli euleriani).

Soluzione. La funzione di Lagrange in questo caso Ã

L=- I '1 2 ( 6 ~ + ~ 2 ~ e n ~ e ) + + ( $ + ~ ~ 0 ~ e ) ~ - u ( ~ . e)

(cfr. problema 1 del $ 35). La funzione di Routh quindi:

dove il primo termine Ã una costante che puÃ essere omessa.

$42. Parentesi di Poisson

Sia f (p, q, t ) una funzione delle coordinate, degli impulsi e del tempo. Scriviamo la sua derivata totale rispetto a l tempo

. . Sostituendo qui qk e p k con le loro espressioni ricavate dalle equazioni di Hamilton (40,4), otteniamo:

dove Ã stata introdotta la notazione

L'espressione (42,2) Ã detta parentesi di Poisson per le grandezze H ed f .

Quelle funzioni delle variabili dinamiche che restano costanti durante i l moto del sistema sono dette, come sappiamo, integrali del moto. Dalla ( 4 2 , l ) si vede che la condizione perchÃ la grandezza f sia integrale del moto (d f /d t --= o), puÃ esser scritta nella forma:

Se l'integrale del moto non dipende esplicitamente dal tempo, s i h a

{ H f } = O, (42,4)

cioÃ l a sua parentesi di Poisson con l a hamiltoniana deve annullarsi.


Per qualsiasi coppia di grandezze f e g la parentesi di Poisson viene definita in maniera analoga a l caso precedente, cioÃ¨

Le parentesi di Poisson godono delle seguenti proprietÃ facilmente ricavabili dalla loro stessa definizione.

Scambiando le funzioni, la parentesi cambia segno; se una delle funzioni Ã costante (C), la parentesi Ã nulla:

{fg} = = {gf 1, (42,6) {fc} = 0.

Inoltre: (4277)

{/I + f 2 9 g} = {fig} + {f2g}~ (42,8)

{flf2, g } = f l { f 2 d + f 2 { / I d . (4299)

Prendendo la derivata parziale della (42,5) rispetto al tempo, si ottiene:

Se una delle funzioni f o g coincide con un impulso o con una coordinata, la parentesi di Poisson si riduce semplicemente alla derivata parziale:

La formula (42,11), ad esempio, si ottiene ponendo nella (42,5) g = qh; l'intera somma si riduce allora ad un termine, essendo -= ah,, e Â¥"'* = 0. In particolare ponendo nelle (32,ll) e (42,12) Qq1 QP, la funzione f uguale a qi e pi, si ottiene

Fra-le parentesi di Poisson formate da tre funzioni esiste la relazione

{f {gh}} + {g W} + {h{fg}} = 0' (427 14)

che Ã chiamata identitÃ d i Jacobi. Per dimostrarla, notiamo che, secondo la definizione (42,5),

le parentesi d i Poisson {fg} sono funzioni omogenee bilineari delle derivate prime delle grandezze f e g. Quindi, ad esempio, la parentesi {h {fg}} rappresenta una funzione omogenea lineare delle derivate seconde delle grandezze f e g. Tutto i l primo membro dell'uguaglianza (42,14) Ã preso globalmente, una funzione omogenea lineare delle

200 EQUAZIONI CANONICHE

derivate seconde di tutte le tre funzioni f, g, h. Riuniamo i termini contenenti le derivate seconde di f. La prima parentesi non contiene tali termini: essa include soltanto le derivate prime di f . Scriviamo la somma della seconda e della terza parentesi in forma simbolica, introducendo gli operatori differenziali lineari DI e D 2 definiti nel modo seguente:

D1 ((P) = {gv}, D2 ((P) = { h d . Si ha allora

{g {fh}} + {h {fg}} = {g {hf}} - {h {gf}} =

= D1 (D2 V) ) -D2 (D1 (/)) = (DlD2 --D.Dl) f. E facile vedere, tuttavia, che una tale combinazione di operatori differenziali lineari non puÃ contenere le derivate seconde di f. In- fatti , la forma generale degli operatori differenziali lineari Ã

dove Eh, sono funzioni arbitrarie delle variabili xl, xz, . . . Di conseguenza,

e la differenza di questi prodotti 9% % 9 D A - 0.0, = 3 ( E h

i"k -&-) to- h, 1

Ã di nuovo un operatore contenente soltanto derivate prime. In tal modo, nel primo membro dell'uguaglianza (42,14), tu t t i i termini con derivate seconde di f si annullano reciprocamente e poichÃ lo stesso si ha, evidentemente, per le funzioni g ed h, l'intera espressione Ã identicamente nulla.

Una proprietÃ importante delle parentesi di Poisson Ã la seguente: se f e g sono due integrali del moto, anche la loro parentesi Ã integrale del moto

{fg} = costante (42,15) (teorema di Poisson).

La dimostrazione di questo teorema Ã assai semplice se f e g non dipendono esplicitamente dal tempo. Ponendo nella identitÃ di Jacobi h = H, si ottiene:


Da questa relazione risulta che se { H g } = O e {Hf} = O, anche {H {fg}} = O, come volevasi dimostrare.

Se invece gli integrali del moto f e g dipendono esplicitamente dal tempo, partendo dalla (42,l) abbiamo:

Utilizzando la formula (42,lO) e sostituendo la parentesi {H {fg}} con altre mediante l ' identitÃ di Jacobi, otteniamo:

ossia

e la dimostrazione deF teorema di Poisson in questo caso generale- diventa a questo punto evidente.

fi chiaro, che applicando il teorema d i Poisson, non si hanno. sempre nuovi integrali del moto, essendo i l loro numero generalmente limitato (2s - 1, dove s Ã i l numero di gradi d i libertÃ ) I n alcuni casi, possiamo ottenere un risultato banale: le parentesi d i Poisson si riducono ad una costante. I n altri casi ancora, il! nuovo integrale ot tenuto puÃ essere semplicemente una funzione degli integrali iniziali f e g. Se nessuno d i questi casi s i verifica, le parentesi d i Poisson danno un nuovo integrale del moto.

P R O B L E M I

1. Determinare le parentesi di PO~SSOB formate dalle componenti cartesiane dell'impulso p e dal momento an olare M = [rp] di un punto materiale.

o u i o . Con l'aiuto della formuqa (42,121 si trova:

e in modo analogo {Mxpx} = o, { M x p z } = P p .

Le altre parentesi si ottengono da queste per permutazione ciclica degli indici =, Y, 2.

2. Determinare le parentesi di Poisson formate dalle componenti di M- Soluzione. La formula (42,5) con un calcolo diretto dÃ

{M,My) = -Mz , { M y M z ) = - M x , { M z M x ) = - M y .

PoichÃ gli impulsi e le coordinate di arti celle diverse sono variabili. indipendenti l'una dall'altra, Ã facile vedere che le formule ottenute nei problemi 1 e 2 sono ugualmente valide per l'impulso e per il momento angolare- totali di un qualsiasi sistema di particelle.


3. Dimostrare che {OMz) = 0,

dove (p Ã una qualsiasi funzione scalare delle coordinate e dell'impulso di una particella.

Soluzione. Una funzione scalare puÃ dipendere dalle componenti dei vettori r e p soltanto nelle combinazioni rs, p2, rp. Pertanto

e analogamente per d e p . La relazione {qM,} = O si verifica direttamente mediante la formula (42,5), tenendo conto delle regole di derivazione indicate.

4. Dimostrare che

{fM:} = [h],

dove f Ã una funzione vettoriale delle coordinate e dell'impulso di una particella, ed n i l versore dell'asse z.

Soluzione. Ogni vettore f (r, p) puÃ essere scritto nella forma f = = rqi + pq2 + [rp] (pa, dove (pi, (p , qg sono funzioni scalari. La relazione considerata si verifica con un calcolo diretto per mezzo delle formule (42,9). {42,11), (42'12) e della formula data nel problema 3.

$ 43. Azione come funzione delle coordinate

Per formulare i l principio di minima azione abbiamo considera- to l'integrale

t* S= Ldt , \

ti

preso lungo una traiettoria tra due posizioni date q(1' e q(2), in cui il sistema ' s i trova negli istanti dati tl e t2. Variando l'azione s i sono confrontati i valori dell'integrale (43,l) presi per traiettorie vicine ed aventi per tl e t 2 gli stessi valori q (tl) e q (t2). Una sola di queste traiettorie corrisponde a l moto reale, e precisamente quella per la quale l'integrale S Ã minimo.

Esaminiamo ora i l concetto d'azione sotto un altro aspetto. Con- sideriamo S come una grandezza che caratterizza il moto lungo traiettorie reali, e confrontiamo i suoi valori per traiettorie aventi un'origine comune q (tl) = ma passanti nell'istante t2 per punti differenti. In altri termini, consideriamo l'integrale d'azione per le traiettorie effettive come funzione dei valori delle coordinate nell'estremo superiore d'integrazione.

La variazione dell'azione a l passaggio da una traiettoria ad un'altra vicina Ã data (nel caso di un solo grado di libertÃ dall'espressione <2,5):


PoichÃ le traiettorie del moto effettivo soddisfano le equazioni d i Lag- range, l'integrale si annulla. Poniamo nell'estremo inferiore del primo termine 69 (ti) = O ed indichiamo i l valore 6q (tv) semplice-

mente con 60'. Sostituendo inoltre d ~ / d i con p , otteniamo alla fine SS = p6q, oppure, per un numero qualunque di gradi di libertÃ

Da questa relazione risulta che le derivate parziali dell'azione rispetto alle coordinate sono uguali ai corrispondenti impulsi

Analogamente s i puÃ considerare l'azione come funzione esplicita de l tempo; in questo caso, s i considerano le traiettorie che iniziano in un dato istante ti in un dato punto q(') e terminano in un punto dato in istanti diversi t2 = t. La derivata parziale 9S^/9t intesa in questo senso puÃ essere trovata mediante una variazione appropriata dell'integrale. Ã perÃ pifi semplice ricorrere alla funzione giÃ nota (43,3), operando nel seguente modo.

Per definizione, la derivata totale dell'azione rispetto a l tempo lungo la traiettoria Ã uguale a

D'altra parte, considerando S come funzione delle coordinate e del tempo nel senso indicato sopra, e utilizzando la formula (43,3), si ha:

as --- i' - a' +z JI-qi=T+s M i - dt 9t

i i

Confrontando le due espressioni, s i trova:

i

e quindi:

Le formule (43,3) e (43,5) s i possono riunire in un'unica espressione

che dÃ i l differenziale totale dell'azione come funzione delle coordinate e del tempo nell'estremo superiore dell'integrale ( 4 3 , l ) . Suppo- niamo ora che le coordinate (e i l tempo) siano diverse sia per la


posizione iniziale che per quella finale delle traiettorie. E evidente che, in questo caso, la variazione corrispondente d i S sarÃ data dalla differenza delle espressioni (43,6) calcolate negli estremi inferiore e superiore, ovvero

dS = 2 " - H(= dt"' 'i? ^ p<,1) dqil) + (l' dt(l). (43,7)

Questa relazione mostra che, qualunque sia l'azione esercitata dall'esterno sul sistema in moto, lo stato finale non puÃ essere una funzione arbitraria di quello iniziale: sono possibili solo quei moti per i quali l'espressione (43,7) Ã un differenziale totale. I n t a l modo, indipendentemente dalla forma concreta della funzione di Lagrange, i l principio di minima azione impone di per se stesso limiti ben determinati all'insieme dei moti possibili. In particolare, Ã possibile stabilire un complesso di leggi generali (indipendentemente dal tipo d i campi esterni) per fasci di particelle, che s i propagano da punti dat i dello spazio. Lo studio d i queste leggi costituisce l'oggetto dell'ottica geometrica l).

E interessante notare che le equazioni di Hamilton si possono dedurre formalmente dal principio di minima azione se questo Ã rappresentato, tenendo conto della (43,6), sotto forma di integrale:

e se le coordinate e gli impulsi sono considerati come grandezze che variano indipen.dentemente. Supponendo d i nuovo, per brevitÃ che ci sia una sola coordinata (o un solo impulso), scriviamo l a variazione dell'azione

La trasformazione del secondo membro (cioÃ una integrazione per parti) dÃ

Agli estremi d'integrazione dobbiamo porre 6q = O, in modo che i l membro integrato scompare. L'espressione che rimane puÃ essere nulla per valori 6 p e 6q arbitrari ed indipendenti, alla sola condizone che siano nulle le espressioni integrande in ciascuno dei due integrali

Q H dq=-dt, d p = --

QP 89 dt,

dai quali, dividendo per dt, otteniamo le equazioni d i Hamilton

l) Cfr. Teoria dei campi, cap. VII.


9 44. Principio di Maupertuis

Mediante i l principio di minima azione Ã possibile determinare completamente i l moto d i un sistema meccanico: risolvendo le equazioni del moto che si deducono da questo principio, s i possono trovare sia l a forma della traiettoria che la dipendenza della posizione s u questa traiettoria dal tempo. Se i l problema Ã l imitato alla determinazione della sola coordinata (trascurando l'aspetto tempo- rale del problema), Ã possibile allora dare al principio dal minima azione una forma semplificata.

Supponendo che la funzione d i Lagrange, e con essa la funzione d i Hamilton, non contenga in modo esplicito i l tempo, l'energia de l sistema s i conserva

H ( p , q) = E = costante.

Secondo i l principio di minima azione, la variazione dell'a- zione per dat i valori iniziali e finali delle coordinate e del tempo (poniamo tn e t ) Ã nulla. Se invece viene variato anche l'istante finale t , mantenendo fisse le coordinate delle posizioni iniziali e finali, s i ha allora [cfr. (43,7)1:

SS = - H6t. (44,i)

Confrontiamo ora solo quegli spostamenti virtuali del sistema, che soddisfano la legge di conservazione dell'energia. Per queste traiettorie, sostituendo H nella (44,i) con l a costante E abbiamo:

6S + E6t = 0. (44.2)

Scrivendo l'azione nella forma (43,8) e sostituendo nuovamente H con E, abbiamo:

Il primo termine in questa espressione

s i chiama talvolta azione abbreviata. Riportando la (44,3) nella (44,2), troviamo:

6S0 = O. (44,5)

In t a l modo l'azione abbreviata ha un minimo in rapporto a tut te le traiettorie che soddisfano la legge d i conservazione dell'energia e che passano per i l punto finale in un istante arbitrario. Per utilizzare questo principio variazionale, Ã necessario preliminarmente e- sprimere gli imulsi, nonchÃ tut te le espressioni integrande nella


(44,4) in funzione delle coordinate q e dei loro differenziali dq^ A tale scopo ricorriamo all'uguaglianza

che definisce gli impulsi e all'eqnazione

E (q, ^-E

che esprime la legge d i conservazione dell'energia. Rappresentando in quest'ultima equazione i l differenziale dt in funzione delle coordinate q e dei loro differenziilli dq e sostituendo nella (44,6), esprimiamo i momenti cinetici mediante q e dq, mentre l'energia E funge solo da parametro. I l principio variazionale cosi ottenuto determina le traiettorie del sistema; esso 6 chiamato abitualmente principio d i Maupertuis (sebbene la sua definizione esatta sia stata data da Eulero e Lagrange).

Eseguiamo ora in modo esplicito le operazioni indicate partendo dalla forma normale della funzione d i Lagrange (5,5), cioÃ l'espressione data della differenza fra energia cinetica e potenziale:

1 . . L = 2 aik (q) qiq, - u (q).

i , h

Gli impulsi sono allora

e l'energia Ã 1 E = - 2 2 ai k (9) 9 i Ã ˆ + (9)

i, k

Dall'ultirna ziguaglianza ricaviamo l'espressione:

che, riportata nell'espressione

ci dÃ l'azione abbreviata nella la forma

EQUAZIONI CANONICHE

In particolare, l'energia cinetica per un punto materiale Ã

(dove m Ã la massa della particella, e di l'elemento di lunghezza della traiettoria), e i l principio variazionale per determinare la forma della traiettoria Ã

dove l'integrale Ã preso t ra due punti da t i dello spazio (Jacobi). Per i l moto libero d i una particella s i ha U = O, e la (44,lO)

dÃ un risultato banale

cioÃ l a particella si muove seguendo i l percorso piii breve, ossia una retta. Ritorniamo all'espressione (44,3) per l'azione e eseguiamo su d i essa una variazione anche rispetto a l parametro E:

Sostituendo nella (44,2), troviamo:

Per l'azione abbreviata nella forma (44,9), questa uguaglianza condu- ce al la relazione

che non Ã altro che l'integrale dell'equazione (44,8). Insieme con l'equazione della traiettoria essa determina completamente i l moto

P R O B L E M A

Partendo dal principio variazionale (44,10), trovare l'equazione defferen- ziale della traiettoria.

Soluzione. Effettuando la variazione, si ha:

Nel secondo termine si Ã tenuto conto che di2 = dr2 e quindi di d 61 = dr d 6r; integrando per parti questo termine ed eguagliando poi a zero il coefficiente di 6r nell'espressione intemanda. otteniamo l'equazione differenziale della traiettoria

'208 CAPITOLO SETTIMO

Derivando i l primo membro di questa uguaglianza ed introducendo la forza F = -dU/dr, si puÃ scrivere questa equazione nella forma

d2r F-(Ft) t -= dl^ 2 ( E - U ) '

dove t = dr/dl Ã i l vettore unitario della tangente alla traiettoria. La differenza F - (Ft) t Ã la componente F,, normale alla traiettoria della forza. La derivata d2r/d19 = dt/dl Ã uguale, come Ã noto dalla geometria differenziale, a d n/R, dove R Ã il raggio di curvatura della traiettoria, ed n i l vettore unitario della normale principale a quest'ultima. Sostituendo anche E - U con m a 2 , si ottiene:

in accordo con l'espressione lungo una traiettoria curva.

m02 n-- fl -Fn

nota dell'accelerazione normale in un moto

Â 45. Trasformazioni canoniche

La scelta delle coordinate generalizzate q non Ã limitata da condizione alcuna: la loro funzione puÃ essere svolta da s grandezze qualsiasi che definiscano univocamente la posizione del sistema nello spazio. L'aspetto formale delle equazioni di Lagrange (2,6) non dipende da questa scelta; in questo senso s i puÃ dire che le equazioni di Lagrange sono invarianti rispetto alla trasformazione dalle coordinate qi, qa, . . . ad altre grandezze indipendenti Qi, Qs, . . . Le nuove coordinate Q sono funzioni delle vecchie coordinate q, Ã inoltre ammissibile una scelta tale che in queste funzioni -ci sia anche i l tempo in modo esplicito, cioÃ che si tratti d i trasformazioni del tipo:

{dette t a l v d t a trasformazioni puntuali). Oltre alle equazioni di Lagrange, la trasformazione (45,l) lascia

evidentemente invariata la forma (40,4) delle equazioni d i Hamilton, che ammettono perÃ in realtÃ una classe d i trasformazioni molto pih vasta. Questa circostanza Ã dovuta naturalmente a l fatto che nel metodo hamiltoniano gli impulsi p sono variabili indipendenti unitamente alle coordinate q. Per questo i l concetto d i trasformazione puÃ essere ampliato in modo da includere la trasformazione di tutte le 2s variabili indipendenti per mezzo della quale le variabi- l i p, q vengono sostituite con nuove variabili P , Q secondo le formule:

La possibilitÃ di allargare la classe delle trasformazioni ammissibili rappresenta uno dei vantaggi sostanziali della formulazione hamiltoniana della meccanica.


Sarebbe tut tavia errato pensare che per una trasformazione qualsiasi del tipo (45,2) le equazioni del moto conservino la loro forma canonica. Stabiliamo ora le condizioni cui deve soddisfare una trasformazione perchÃ le equazioni del moto nelle nuove variabili P, Q, abbiano la forma

con una nuova funzione di Hamilton H' (P, Q). Trasformazioni del genere sono dette trasformazioni canoniche.

Le formule di trasformazioni canoniche si possono trovare nel seguente modo. Alla fine del Â 43 abbiamo mostrato che le equazioni d i Hamilton possono essere ottenute a partire dal principio d i minima azione presentato nella forma

(sottolineiamo che tutte le coordinate e tu t t i gli impulsi variano indipendentemente). AffinchÃ anche le nuove variabili P e Q soddisfino le equazioni di Hamilton, per esse deve restare valido il prinicipio di minima azione:

Ma i due principi (45,4) e (45,5) sono equivalenti soltanto a condizione che le loro espressioni integrando differiscano fra di loro solo per i l differenziale totale di una funzione arbitraria F delle coordinate, degli impulsi e del tempo; la differenza tra i due integrali (differenza dei valori di F nei limiti d'integrazione) sarh allora una costante inessenziale agli effetti della variazione . Si ha quindi:

2 p i dqi - Hdt = 2: Pi dQi - H' dt + dF.

Ogni trasformazione canonica Ã caratterizzata da una sua funzione F, detta funzione generatrice della trasformazione.

Riscrivendo la relazione ottenuta nella forma

dF = 2 p i d a - 2:pi dQi + (H' - H ) dt, (45,6)

vediamo che

dove s i Ã posto che l a funzione generatrice Ã data come funzione sia delle vecchie che delle nuove coordinate (e del tempo): F = F (q, Q, t ) . Per una funzione F data, le formule (45,7) stabiliscono la relazione tra le vecchie variabili (p, q ) e le nuove (P, Q), nonchÃ la for- m a della nuova funzione di Hamilton.


PuÃ risultare comodo esprimere la funzione generatrice non mediante le variabili q e Q, ma mediante le vecchie coordinate <r e i nuovi impulsi P. Per stabilire le formule delle trasformazioni canoniche in questo caso, Ã necessario effettuare nella relazione (45,6) l 'appropriata trasformazione di Legendre. Scriviamo questa relazione nella forma

d ( F + 2 PiQi) = 2pidq i + 2 Q i dPi + (H' - H ) dt.

L'espressione sotto il segno d i differenziale nel primo membro, e- spressa nelle variabili q e P, rappresenta appunto la nuova funzione generatrice. Indicandola con d) (q, P , t) , abbiamo) l):

Analogamente si possono stabilire le formule delle trasformazioni canoniche espresse mediante funzioni generatrici che dipendano dalle variabili p e Q oppure p e P.

Notiamo che la vecchia e la nuova funzione han~iltoniana sono legate sempre dalla medesima relazione: la differenza H' - H Ã data dalla derivata parziale rispetto al tempo della funzione generatrice. I n particolare, se qnest'ultima non dipende dal tempo, H' = = /i. In altri termini, per ottenere la nuova funzione di Hamilton sarÃ sufficiente in questo caso sostituire in H le grandezze p e q espresse in funzione delle nuove variabili P , Q,

La vastitÃ delle trasformazioni canoniche nel metodo hamiltoniano priva sensibilmente i l concetto d i coordinate e di impulsi generalizzati del loro significato iniziale. PoichÃ le trasformazioni (45,2) collegano ciascuna delle grandezze P e Q sia alle coordinate q che a i momenti cinetici p, le variabili Q non hanno piii i l significato di coordinate puramente spaziali. La differenza tra i due gruppi di variabili diventa, in fondo, una questione di nomenclatura. Questa circostanza s i manifesta palesemente, per esempio, nella trasforma- zione2) Qi = pi, Pi = -qi la quale non cambia esplicitamente la forma canonica delle equazioni e si riduce semplicemente ad uno scambio di denominazioni tra le coordinate e gl i impulsi.

l) Notiamo che prendendo una funzione generatrice nella forma

@ = yfi (9, O Pi z

(dove f i sono funzioni arbitrarie), otterremo una trasformazione per cui l e nuove coordinate sono stabilite dalla relazione Qi = f i (q, t ) , cioÃ si esprimono i n funzione soltanto delle vecchie coordinate (e non degli impulsi)). Queste sono trasformazioni puntuali che costituiscono naturalmente un caso particolare delle trasformazioni canoniche.

2) La funzione generatrice per questa trasformazione Ã F = qiQi.

EQUAZIONI CANONICHE 21 1

Tenendo conto di questa convenzione d i terminologia, le va- riablili p e q, nel metodo hamiltoniano, sono spesso chiamate semplicemente grandezze canonicamente coniugate.

La condizione perchÃ le variabili siano canonicamente coniugate puÃ essere espressa con le parentesi di Poisson. A questo fine dimostre- remo il teorema generale sull'invarianza delle parentesi d i Poisson per le trasformazioni canoniche.

Sia {fg}+,, q la parentesi d i Poisson delle grandezze f e g nella quale la derivazione viene effettuata rispetto alle variabili p e q, e sia { f g } p , o l a parentesi d i Poisson delle stesse grandezze derivabili rispetto alle variabili canoniche P e Q. S i ha allora:

Si puÃ verificare la validitA di questa relazione con un calcolo diretto utilizzando le formule di trasformazione canonica. Si puÃ² perÃ² far a meno del calcolo se s i fa i l seguente ragionamento.

Notiamo innanzitutto che nelle trasformazioni canoniche (45,7) o (45,8) i l tempo ha la funzione di parametro. Quindi il teorema (45,9), se lo dimostriamo per grandezze non dipendenti esplicitamente dal tempo, Ã vero anche nel caso generale. Conside- riamo ora in modo puramente formale la grandezza g come funzione hamiltoniana di un sistema fittizio. Secondo la formula (42,1), si ha allora { f g } p , q = -d f /d t . La derivata d f l d t puÃ perÃ dipendere solamente dalle proprietÃ del moto (del nostro sistema fittizio) come tale, e non dalla scelta delle variabili. Di conseguenza, anche la parentesi d i Poisson { f g } non puÃ cambiare passando da certe variabili canoniche ad altre.

Dalle formule (42,13) e dal teorema (45,9) ricaviamo:

Queste relazioni scritte mediante le parentesi di Poisson rappresentano le condizioni cui debbono soddisfare le nuove variabili perchÃ la trasformazione p, q Ã‘> P, Q sia canonica.

l?! interessante notare che la variazione delle grandezze p, q durante il moto stesso puÃ essere considerata come una trasformazione canonica. I l significato d i questa asserzione Ã il segutnte. Siano qt, pt i valori delle variabili canoniche nell'istante t , i loro valori in un altro istante t -f- T. Questi ultimi sono funzioni dei primi (e dell'intervallo di tempo T come parametro):

L t" queste formule s i considerano come una trasformazione dalle variabili q<, p t alle variabili q/+^, p(+^, questa trasformazione Ã canonica. CiÃ risulta chiaro dall'espressione dS = 2 - - pt dqt) per i l differenziale d'azione S (qt+v qt) preso lungo la

14*


traiettoria reale passante per i punti q, e q;+% negli istanti dat i t e t + T [vedi (43,7)1. Confrontando questa formula con la (45,6)vediamo che -S Ã la funzione generatrice della trasformazione.

$ 46. Teorema di Liouville

Per l'interpretazione geometrica dei fenomeni meccanici si ricorre spesso a l concetto d i spazio delle fasi: uno spazio a 2s dimensioni sui cui assi coordinati s i riportano le s coordinate generalizzate e i s impulsi del sistema meccanico dato. Ciascun punto di questo spazio corrisponde a un determinato stato del sistema. Quando i l sistema si muove, i l punto fase che rappresenta i l suo stato descrive nello spazio delle fasi una curva, detta traiettoria di fase. I l prodotto dei differenziali

di' = dql . . . dqsdpl . . . dps

puÃ essere considerato come un Ã elemento di volume Ã dello spazio

delle fasi. Consideriamo ora l'integrale dT preso in una parte I qualsiasi dello spazio delle fasi e rappresentante i l volume di questa. Mostriamo che questa grandezza possiede la proprietÃ di essere invariante rispetto alle trasformazioni canoniche: se si trasformano canonicamente le variabili p , q nelle variabili P , Q, i volumi dei domini corrispondenti degli spazi p, q e P , Q sono uguali:

Come Ã noto, l a trasformazione delle variabili in un integrale multiplo s i esegue secondo l a formula

dove

Ã lo jacobiano della trasformazione. Per questo la dimostrazione del teorema (46,l) s i riduce alla dimostrazione che lo jacobiano di qualsiasi trasformazione canonica Ã uguale all'unitÃ

D = 9. (463)

Serviamoci d i una nota proprietÃ degli jacobiani che permette in un certo senso di trattarli come frazioni. Dividendo i l Ã nume- rai'ire Ã e i l Ã denominatore )) per 9 (q,, . . ., qs7 P17 . . ., Ps),

EQUAZIONI CANONICHE

otteniamo:

Secondo un'altra nota regola, uno jacobiano a l cui Ã numeratore e Ã denominatore Ã sono presenti variabili uguali s i puÃ ridurre a uno jacobianb con un numero inferiore d i variabili; per tutte le derivazioni, le variabili uguali sono da considerarsi costanti. PerciÃ

Consideriamo lo jacobiano che si trova al numeratore di questa espressione. Per definizione, Ã un determinante d i rango s, composto d i elementi dQi/dqk (l'elemento s t a all'intersezione della i-esima riga e della k-esima colonna). Rappresentando la trasformazione canonica con l 'aiuto della funzione generatrice cD (q, P) nella forma (45,8), - . ,.otteniamo:

90, -= a3m

9gh 9% 9pi

Nello stesso modo si trova che l'elemento della i-esima riga e della k-esima colonna del determinante denominatore della (46,4)

Ã uguale a - Abbiamo trovato quindi che le righe d i uno dei QqiQPk

determinanti sono identiche alle colonne dell'altro e viceversa. I due determinanti sono pertanto uguali poichÃ i l rapporto (46,4) Ã uguale all'unitÃ come si doveva dimostrare.

Supponiamo ora che ciascun punto d i un dato elemento dello spazio delle fasi s i sposti nel tempo secondo le equazioni del moto del sistema meccanico considerato. Si sposterÃ dunque globalmente tutto l'elemento, ma resta inalterato i l s u o volume:

d~ = costante. (46,5)

Questa asserzione (detta teorema d i Liouuille) segue immediatamente da'l 'invarianza d i un volume d i fase rispetto alle trasformazioni canoniche, e dal fatto che l a variazione d i p e q nel corso del moto puÃ essere considerata d i per se stessa (come abbiamo mostrato alla fine del paragrafo precedente) come una trasformazione canonica.

In modo assolutamente analogo si puÃ dimostrare l'invarianza de '1 i integrali


nei quali l'integrazione Ã estesa a varietÃ bidimensionali, quadridi- mensionali, ecc., dello spazio delle fasi.

47. Equazione di Hamilton-Jacobi -

Nel 5 43 abbiamo introdotto il concetto di azione come funzione delle coordinate e del tempo. Abbiamo mostrato che la derivata parziale rispetto al tempo di questa funzione S (q, t) Ã legata alla funzione di Hamilton dalla relazione

e che le sue derivate parziali rispetto alle coordinate coincidono con gli impulsi. Sostituendo gli impulsi p nella funzione di Hamilton con le derivate dS/dq, otteniamo l'equazione

cui deve soddisfare la funzione S (q, t). Questa Ã un'equazione a derivate parziali del primo ordine, detta equazione di Haffiilton- Jacobi. Alla pari delle equazioni di Lagrange e delle equazioni canoniche, anche l'equazione di Hamilton-Jacobi rappresenta i l punto di partenza di un metodo generale d'integrazione delle equazioni del moto.

Prima di esporre questo metodo, ricordiamo che ogni equazione a derivate parziali del primo ordine possiede una soluzione dipendente da una funzione arbitraria; tale soluzione Ã detta integrale generale dell'equazione. Nelle applicazioni meccaniche, perÃ² non Ã l'integrale generale dell'equazione d i Hamilton-Jacobi, ad avere importanza, bensi i l cosiddetto integrale completo, che rappresenta la soluzione di un'equazione differenziale a derivate parziali contenente tante costanti arbitrarie quante sono le variabili indipendenti.

Nell'equazione d i Hamilton-Jacobi queste variabili indipendenti sono il tempo e le coordinate. Di conseguenza, per un sistema a s gradi di libertÃ l'integrale completo d i questa equazione deve contenere s + 1 costanti arbitrarie. Essendo perÃ la funzione S presente nell'equazione soltanto attraverso le sue derivate, una delle costanti arbitrarie appare nell'integrale completo come una grandezza additiva, cioÃ l'integrale completo dell'equazione di Hamilton-Jacobi prende la forma

S = f ( t , 91, . . ., q#; ai, . . ., a,) + A , (47,2) dove a,, . . ., a, ed A sono costanti arbitrarie1).

l) Anche se non avremo bisogno dell'integrale generale dell'equazione di Hamilton-Jacobi, mostriamo perÃ che esso puÃ essere trovato conoscendo i l suo integrale completo. Consideriamo a tale scopo la grandezza A come funzio-


Esplicitiamo ora la relazione tra l'integrale completo dell'equazione di Hamilton-Jacobi e la soluzione delle equazioni del moto che Â¥c interessa. A tale scopo eseguiamo, mediante una trasformazione canonica, una sostituzione delle grandezze q, p con nuove variabili, scegliendo per funzione generatrice la funzione f (t , q, a ) e per nuovi impulsi le grandezze a,, a,, . . ., as. Indichiamo con Pi, p2, . ., 'Ps le nuove coordinate. Siccome la funzione generatrice dipende dalle vecchie coordinate e dai nuovi impulsi, dobbiamo servirci delle formule (45,s):

Dato che la funzione f soddisfa l'equazione di Hamilton-Jacobi, segue che la nuova funzione d i Hamilton Ã identicamente nulla:

Le equazioni canoniche hanno quindi per le nuove variabili la

forma a i = 0, f i i = 0, da cui segue che

a i = costante, f i i = costante. (47,3)

D'altra parte, le s equazioni

Â¥ - p i - .- da.,

danno la possibilitÃ d i esprimere le s coordinate q in funzione del tempo e delle 2s costanti a e 6. In ta l modo si arriva a trovare l'integrale generale delle equazioni del moto.

La soluzione del problema del moto d i un sistema nleccanico con il metodo di Hamilton-Jacobi s i riduce quindi alle seguenti operazioni.

ne arbitraria di altre costanti:

Sostituendo qui le grandezze ai con le funzioni delle coordinate e del tempo ricavate dalle s condizioni

.otteniamo un integrale generale che dipende dalla forma della funzione arbitraria A (Ã§i ..., a )). In effetti, per la funzione 5 cosi ottenuta abbiamo:

Ma le grandezze (^S/Qqijy, soddisfano l'equazione di Hamilton-Jacobi perchÃ la funzione S (t, q; a) Ã¨ secondo la nostra ipotesi, un integrale completo di questa equazione. Quindi anche le derivate QSIQqi soddisfano l'equazione in questione.


Partendo dalla funzione d i Hamilton, s i scrive l'equazione d i Ha- milton-Jacobi e s i ottiene l'integrale completo (47,2) d i questa equazione. Derivandolo rispetto alle costanti arbitrarie a ed eguagliando queste derivate alle nuove costanti p, otteniamo un sistema d i s equazioni algebriche

9s -- i ? ~ i

- p,. (47,4)

Risolvendo questo sistema, troviamo le coordinate q in funzione del tempo e delle 2s costanti arbitrarie. Successivamente, s i puÃ determinare la dipendenza degli impulsi dal tempo per mezzo delle equazioni p , = d S / d q i .

Nel caso in cui s i abbia un integrale incompleto uell'equazione di Hamilton-Jacobi dipendente da un numero di costanti arbitrarie inferiore ad s, non Ã possibile mediante questo integrale trovare- l'integrale generale delle equazioni del moto; si puÃ tuttavia semplificare un po' i l problema. Se l a funzione S Ã nota e contiene una costante arbitraria a , la relazione

9s - = costante da.

ci dÃ un'equazione che lega q ; , . . ., qs e t. - L'equazione d i Hamilton-Jacobi assume una forma un po' piG semplice nel caso in cui la funzione H non dipende esplicitamente dal tempo, cioÃ quando i l sistema Ã conservativo. La dipendenza dell'azione dal tempo si riduce allora a l termine -Et:

5 = S o (q) - Et (47,5) (cfr. $ 44), e, sostituendo nella (47,1), otteniamo per l'azione abbreviata S o (q) l'equazione di Hamilton-Jacobi nella forma

$ 48. Separazione delle variabili

In molti casi importanti s i puÃ trovare un integrale comple- to dell'equazione d i Hamilton-Jacobi mediante la cosiddetta separazione delle variabili che consiste in quanto segue.

Supponiamo che una coordinata, che indicheremo con q1, e la derivata corrispondente dS/dqi entrino nell'equazione d i Hamilton-

Jacobi soltanto in una certa combinazione del tipo <p ( q

che non contiene nÃ altre coordinate (o tempo), nÃ altre derivate; m altri termini, supponiamo che l'equazione abbia la forma


dove qi rappresenta l'insieme d i tu t te le coordinate, ad eccezione di q^*

Cercheremo in questo caso una soluzione sotto forma di somma

Sostit,uendo questa espressione nell'equazione (48,1), otteniamo

Supponiamo di aver trovato la soluzione (48,2); sostituiamola nell'equazione (48,3), che si deve allora trasformare in un'identitÃ verificata, in particolare, per qualsiasi valore della coordinata q^. Al variare di qi puÃ cambiare perÃ solo la funzione (E; affinchÃ l'espressione (48,3) sia un'identitÃ Ã necessario che anche la funzione cp sia essa stessa costante. In tal modo, l'equazione (48,3) si scinde in'due equazioni:

dove a , Ã una costante arbitraria. La prima di queste equazioni Ã un'equazione differenziale ordinaria dalla quale s i puÃ ricavare la funzione Si (q,) con una semplice integrazione. La (48,5) Ã un'equazione a derivate parziali contenente perÃ un numero minore di variabili indinendenti.

Se in questo modo si possono separare successivamente tut te le s coordinate e i l tempo, i l calcolo dell'integrale completo dell'equazione di Hamilton-Jacobi si riduce interamente a quadrature. Per un sistema conservativo si tratta soltanto di separare s variabili {le coordinate) nell'equazione (47,6), e per una separazione completa l'integrale cercato assume la forma

dove ciascuna delle funzioni Sk dipende solo da una delle coordinate, mentre l'energia E come funzione d i costanti arbitrarie a,, . . ., a, s i ottiene sostituendo So = SSk nell'equazione (47,6).

Un caso particolare di separazione delle variabili Ã quello in cui una delle variabili Ã ciclica. La coordinata ciclica q, non entra esplicitamente nella funzione di Hamilton e, d i conseguenza, nell'equazio-

ne di Hamilton-Jacobi. La funzione (p ( q s) si scrive allora l7

semplicemente dS/dq17 e dall'equazione (48,4) si ricava Sl = %ql, in modo che

S = S' (qi, t ) 4- (48,7)


La costante a, rappresenta qui nient'altro che i l valore costante pl = = dS /dq l dell'impulso corrispondente alla coordinata ciclica. Notiamo che la separazione del tempo in forma del termine -Et per un sistema conservativo corrisponde al metodo di separazione delle variabili, se si prende t come Ã variabile ciclica Ã

In ta l modo, i l metodo d i separazione delle variabili nell'equazione di Hamilton-Jacobi comprende tu t t i i casi esaminati sopra di semplificazione dell'integrazione delle equazioni del moto, basati sul- l'impiego delle variabili cicliche. Ad essi si aggiungono numerosi casi in cui la separazione delle variabili Ã possibile, anche se le coordinate non sono cicliche. Tutto questo portaallaconclusione che i l metodo di Hamilton-Jacobi per la ricerca dell'integrale generale delle equazioni del moto Ã i l p i ~ efficace.

Per separare le variabili nell'equazione di Hamilton-Jacobi, Ã essenziale scegliere in modo appropriato le coordinate. Facciamo degli esempi di separazione delle variabili in diversi sistemi di coordinate che possono presentare un interesse fisico nei problemi del moto di un punto materiale in differenti campi esterni.

1. Coordinate sferiche. In queste coordinate (r : O, v) la funzione d i Hamiltoii si scrive:

e la separazione delle variabili Ã possibile se

dove a (r) , b ( O ) , C (q) sono funzioni arbitrarie. Ã difficile che l 'ultimo termine d i questa espressione possa presentare interesse dal punto d i vista fisico; per questo considereremo un campo del tipo

L'equazione d i Hamilton-Jacobi per la funzione S o Ã in questo caso

Prendendo in considerazione che l a coordinata q 6 ciclica, cerchiamo una soluzione del tipo


e per le funzioni Si ( r ) ed S2 (O) otteniamo le equazioni

Integrando abbiamo infine:

In questo caso le costanti arbitrarie sono p,, (3, E; derivando rispetto a quest'ultime ed eguagliando i l risultato della derivazione a nuove costanti, s i trova la soluzione generale delle equazioni del moto.

2. Coordinate paraboliche. Si passa alle coordinate paraboliche il, (p dalle coordinate cilindriche (le indicheremo in questo parag-

rafo con p, (p, z ) secondo le formule

Le coordinate E e T) variano da O a oo; le superfici E = costante e q = costante rappresentano, come Ã facile verificare, due fami- glie d i paraboloidi d i rivoluzione (con l'asse z come asse d i simmetria). La relazione (48,10) si puÃ esprimere in un'altra forma introducendo i l raggio

1 r = / ~ ~ + p ~ = ~ ( E + i ) ) . (48,11)

S i ha allora: r + z , q = r Ã ‘ z (48,12)

Esprimiamo l a funzione di Lagrange d i un punto materiale in coordinate E, q, (p. Derivando l'espressione (48,10) rispetto a l tempo e sostituendo i l risultato in

(funzione d i Lagrange in coordinate cilindriche), si ottiene:

Gli impulsi sono


e la funzione d i Hamilton Ã

I casi fisicamente interessanti d i separazione delle variabili in queste coordinate sono quelli in cui l'energia potenziale ha la forma

Si h a allora l'equazione

La coordinata ciclica (P si separa in un termine del tipo pmq. Molti- plicando quindi l'equazione per m (^ + T)) e raggruppando i termini, otteniamo:

otteniamo le due equazioni

l a cui integrazione ci dÃ in-definitiva:

con py, fS, E come costanti arbitrarie. 3. Coordinate ellittiche. Queste coordinate E , T), (p vengono intro-

dotte secondo le formule

La costante o Ã il parametro della trasformazione. La coordinata prende t u t t i i valori fra 1 e oo, e l a coordinate T] fra -1 e +l. Si possono ottenere relazioni geometricamente piii concrete, se si introducono le distanze rl ed r , rispettivamente dai punti Al ed A , sul-

EQUAZIONI CANONICHE

l'asse z avente come coordinate z = o e z = - ol): rl = v ( z - a)2 + p2, r2 = v ( z + + p2.

Sostituendovi le espressioni (48,17), otteniamo:

Trasformando la funzione di Lagrange dalle coordinate cilindriche a quelle ellittiche, troviamo:

Per la funzione d i Hamilton otteniamo

1 1 -t- (- +W) p'v] + f (E, 1' V). (4820)

I casi fisicamente interessanti d i separazione delle variabili corrispondono all'energia potenziale della forma:

dove a (E) e b (q) sono funzioni arbitrarie. I l risultato della separazione delle variabili nell'equazione d i Hamilton-Jacobi ci dÃ

l) Le linee = constante rappresentano una famiglia di ellissoidi

i cui fuochi sono A i ed A,, e le linee q = constante sono una famiglia di iperboloidi

aventi gli stessi fuochi degli ellissoidi.

CAPITOLO SETTIMO

P R O B L E M I

1. Trovare l'integrale completo dell'equazione di Hamilton-Jacobi per una particella i n moto in un campo

a U = - - F z r

(sovrapposizione di un campo coulombiano e di un campo uniforme); trovare la funzione conservativa delle coordinate e degli impulsi, specifica per tale moto.

Soluz ione . I l campo dato 6 del tipo (48,15) dove

L'integrale completo della equazione di Hamilton-Jacobi 6 dato dalla formula (48,16) con le funzioni a (E) e b (q) definite sopra.

Fig. 55

Per determinare il significato della costante p, scriviamo le equazioni

Sottraendo queste equazioni l'una dall'altra ed esprimendo gli impulsi p ; = d S / a g e p,, = 3 S / q mediante p p ,= W a p e p z = 3 5 1 3 ~ i n coordinate cilindriche, otterremo dopo una semplice riduzione:

L'espressione compresa tra parentesi quadre rappresenta l'integrale del moto, specifico per un campo puramente coulombiano [componente z del vettore (15,17)].

2. Risolvere i l problema precedente per i l caso di un campo:

(campo coulombiano con due centri fissi distanti 20 l'uno dall'altro). Soluz ione . Il campo dato Ã del tipo (48,22) dove

La sostituzione di queste espressioni nella (48,22) ci dÃ l'azione S ( 5 , q , cp, t ) . I l significato della costante (3 viene determinato come nel problema 1; questa costante esprime, nel caso considerato, la conservazione della seguente


grandezza: .$,

= o 2 ( p + ) - ~ 2 + 2 m o (q c 0 s 0 ~ + a ~ cos â‚¬l2 P

dove r

Af == [rpp = p P z + p J p 9 - 2zppzpp

e O , e 0, sono gli angoli indicati nella fig. 55.

$ 49. Invarianti adiabatici

Consideriamo un sistema meccanico animato da un moto unidimensionale finito e caratterizzato da un parametro A che determina le proprietÃ del sistema stesso o del campo esterno nel quale esso si t ro va1).

Supponiamo che sotto l'influsso d i certe cause esterne, i l parametro A vari lentamente (ossia adiabaticamente) con i l tempo. Per variazione Ã lenta Ã intendiamo una variazione per cui ?L cambia poco in un periodo T del moto del sistema:

Se A fosse costante, i l sistema sarebbe isolato e compirebbe un moto strettamente periodico con energia E costante e con periodo T (E) ben determinato. Per A variabile, i l sistema non Ã isolato e l a sua energia non si conserva. Nell'ipotesi che A vari lentamente, anche

l a velocitÃ h di variazione dell'energia deve essere piccola. Prenden- do la media di questa velocitÃ rispetto a l periodo T ed at tenuando - quindi le sue oscillazioni Ã veloci Ã otterremo un valore E che deter- minerÃ la velocitÃ della sistematica e lenta variazione delllenergia del sistema; si puÃ affermare che questa velocitÃ Ã proporzionale alla

velocitÃ A di variazione del parametro A. I n altri termini, la grandezza E , che varia lentamente nel senso indicato sopra, si comporterÃ come una funzione d i A. La dipendenza d i E da A puÃ essere rappresenta ta sotto forma d i una combinazione d i E e A. Questa quant i tÃ che resta costante durante i l moto d i un sistema con parametri lentamente varianti, Ã detta invariante adiabatico.

Sia H (q, p; A) la funzione hamiltoniana del sistema, dipendente dal parametro A. Secondo la (40,5), la velocitÃ di variazione del sistema Ã

l) Per brevitÃ supponiamo che ci sia un solo parametro di questo tipo; tut t i i risultati perÃ restano validi anche per un numero qualsiasi di parametri.


L'espressione al secondo membro della formula dipende non soltan- to dalla variabile A che varia lentamente, ma anche dalle variabili q e p che variano rapidamente. Per rendere evidente la variazione sistematica dell'energia che ci interessa, Ã necessario, come Ã stato indicato sopra, prendere l a media dell'uguaglianza (49,2) rispetto a un periodo del moto. Tenendo conto della lentezza di variazione

d i ?L (e anche di A), si puÃ portare A fuori dal segno d i media:

e, mediando la funzione 9H/9'k, si puÃ consider~re come grandezze variabili solo q e p, e non A. In altri termini, la media Ã fatta per quel moto del sistema che avrebbe luogo se A fosse costante.

Scriviamo la media in forma esplicita "7

ali---L OH - - - dt .

ci}. T ^?L

o

Secondo l'equazione di Hamilton q == aH/dp, si ha:

Con l'aiuto di questa uguaglianza sostituiamo l'integrazione rispetto al tempo con una integrazione rispetto alla coordinata, riscrivendo inoltre il periodo T nella forma

dove i l simbolo &indica l'integrazione rispetto alla variazione com-

pleta (Ã andata Ã e << ritorno Ãˆ della coordinata in un periodo1). In tal modo la (49,3) assume la forma:

Come Ã giÃ stato indicato, le integrazioni in questa formula vanno eseguite lungo l a traiettoria del moto, per la quale ?L resta costante. Lungo questa traiettoria l a funzione di Hamilton man- tiene un valore costante E, e l'impulso Ã una determinata funzione della coordinata variabile q e dei due parametri indipendenti costanti E e A. Considerando proprio l'impulso come

l) Se i l moto del sistema rappresenta una rotazione e se la coordinata q Ã l'angolo di rotazione q , l'integrazione rispetto a dcp deve essere eseguita su un Ã giro completo Ã cioÃ da O a 2%)

una tale funzione p (q; E, A) e derivando l'uguaglianza H (p, q; A)= E rispetto al parametro A, otteniamo:

ossia

Portando questo risultato nell'integrale a numeratore nella (49,5) e scrivendo in quello a denominatore l a funzione integranda nella forma 9p/9E, abbiamo:

La forma definitiva d i questa uguaglianza puÃ essere scritta come segue:

dove I Ã l'integrale

preso lungo la traiettoria, per la quale E e A sono fissi. Questo risulta- to mostra che nell'approssimazione considerata la grandezza I, restando costante a l variare del parametro A, Ã un'invariante adiabatico.

La grandezza I Ã funzione dell'energia del sistema (e del parametro K}. La sua derivata parziale rispetto all'energia determina il periodo del moto: secondo la (49,4) abbiamo

o anche

dove co = 2n/T Ã l a frequenza delle oscillazioni del sistema. All'integrale (49,7) s i puÃ dare un significato geometrico concreto

utilizzando la nozione d i traiettoria di fase del sistema. Nel caso dato (un solo grado di libertÃ ) lo spazio delle fasi s i riduce ad un sistema bidimensionale d i coordinate p, q, e la traiettoria di fase di un sistema, i l cui moto Ã periodico, Ã rappresentata da una curva chiusa in questo

piano. L'integrale (49,7), preso lungo questa curva, dÃ i l valore del- l'area della superficie da essa limitata. Esso puÃ essere anche scritto come un integrale bidimensionale d i superficie:

1 I=- dpdq. 2n (49910)

A titolo d'esempio, determiniamo l'invariante adiabatico per un oscillatore unidimensionale. La sua hamiltoniana Ã

p2 mcÃ´2q H = - 2m +T' (49'11)

dove co Ã la frequenza propria dell'oscillatore. L'equazione della traiettoria d i fase, data dalla legge d i conservazione dell'energia

H (P, q) = E,

rappresenta un'ellisse d i semiassi e v2~/mwl'tÂ¥ la sua superficie (divisa per 2n) Ã

L'invarianza adiabatica di questa grandezza significa che per una lenta variazione dei parametri dell'oscillatore la sua energia varia proporzionalmente alla frequenza.

j 50. Variabili canoniche

Supponiamo ora costante i l parametro ?L, consideriamo cioÃ un sistema isolato.

Facciamo le trasformazioni canoniche delle variabili q, p, scegliendo la grandezza I come nuovo Ã impulso Ãˆ In queste trasformazioni i l ruolo della funzione generatrice deve essere assunto dall'Ã azione abbreviata Ã So espressa in funzione d i q e I. Infatti, So Ã definita come integrale

So (q, E; 1) = f p (q, E; 1) dq, (50,l)

preso per u n valore dato dell'energia E (e del parametro K}. Per un sistema isolato, perÃ² I Ã funzione solo dell'energia; So puÃ essere quindi espressa come funzione d i So (q, I ; A), mentre la derivata parziale (b'SJ9q)E = p coincide con la derivata (b'So/9q)i, presa per 1 costante. S i ha quindi

aso (q, 1; A) P = aq 9 (502)

i l che corrisponde alla prima delle formule della trasformazione canonica (45,8). La seconda formula invece determinerÃ una nuova Ã coor-


dinata Ã che indicheremo con W:

Le variabili I e W sono dette variabili canoniche; I si chiama variabile d'azione, e W, variabile angolare. Non dipendendo la funzione generatrice So (q, I ; A) dal tempo in modo esplicito, la nuova funzione d i Hamilton H' coincide con la vecchia H espressa in nuove coordinate. I n altre parole, H' Ã l'energia E (I) espressa in funzione della variabile d'azione. Conformemente a ciÃ le equazioni d i Hamilton per le variabili canoniche possono essere scritte nella forma:

Dalla prima equazione, come c'era da aspettarsi, risulta che I=costante: alla pari dell'energia Ã costante anche l a I. Dalla seconda equazione si vede che la variabile angolare Ã una funzione lineare del tempo:

W = - i! + costante = o) (I) t + costante d t (50'5)

che rappresenta la fase delle oscillazioni. L'azione So (q, I) Ã una funzione non monodroma delle coordina-

te. A ogni periodo questa funzione non riprende i l valore iniziale, ma subisce un incremento

A S o = 2 d , (50,6)

cosa evidente dalla (50,l) e dalla definizione (49,7) di I. I n questa stesso intervallo la variabile angolare subisce l'incermento

Procedendo inversamente, se esprimiamo q e p [oppure qualsiasi loro funzione monodroma F (q, p)] mediante le variabili canoniche, queste funzioni non cambieranno i loro valori quando 2 varierÃ d i 2ii (per un valore I dato). I n altri termini, ogni funzione monodroma F (q, p), espressa mediante le variabili canoniche, rappresenta u n a funzione periodica d i W con periodo uguale a 2n.

Le equazioni del moto possono essere scritte in variabili canoniche anche per un sistema non isolato con un parametro A dipendente dal tempo. I l passaggio a queste variabili viene fatto sempre con l e formule (50,2) e (50,3), avendo per funzione generatrice So , definita dall'integrale (50,l) ed espressa in funzione della variabile I, definita dall'integrale (49'7). L'integrale indefinito (50'1) e l'integrale definito (49,7) vengono calcolati come se il parametro A (t) avesse un valore costante dato; in altre parole, So (q, I; A (t)) Ã l a funzione

15 *


del caso precedente, calcolata per A costante che viene sostituita poi dalla funzione data A ( t ) l).

PoichÃ l a funzione generatrice s i presenta ora (con i l parametro A) come funzione esplicita del tempo, la nuova funzione d i Hamilton H' non coinciderÃ pi6 con l a vecchia, cioÃ con l'energia E (I). Secon- do le formule generali della trasformazione canonica (45,8), si ha

dove Ã stata introdotta l a notazione

A deve essere espressa (dopo aver fatto la derivazione rispetto a A) con l'aiuto della (50,3) i n funzione di I e W.

Le equazioni d i Hamilton assumono ora l a forma

dove' a = (9E/9I)\ Ã l a frequenza delle oscillazioni (calcolata di nuovo come se A fosse costante).

P R O B L E M A

Scrivere le equazioni del moto in variabili canoniche per un oscillatore armonico [funzione di Hamilton (49,11)] con una frequenza dipendente dal tempo.

Soluzione. PoichÃ nelle (50,l) - (50,s) tut te le azioni vengono eseguite per l. constante (qui il suo ruolo Ã assunto dalla stessa frequenza co), la relazione tra q, p e W ha la stessa forma che per la frequenza costante (quando W = cot): -

sen W = / $

Da cui

SO-\ @d!?=\p[^piw=2~ i cos2wdw

e in seguito

Le equazioni (50,10), ( 5 0 , l l ) assumono ora la forma

(0 co I= -I-cos 2w, w=a+-sen2w. co 2a

1) Sottolineiamo tuttavia che la funzione So cosi determinata non coincide con la reale azione abbreviata per un sistema con la funzione hamiltoniana dipendente dal tempo!

EQUAZIONI CANONICHE

$ 51. Conservazione di un'invariante adiabatico i)

L'equazione del moto nella forma (50,lO) permette d i verificare nuovamente l'invarianza adiabatica della variabile d'azione.

So (q, I ; A) Ã una funzione non monodroma di q; quando la coordinata prende i l valore iniziale, ad S o s i aggiunge un valore intero multiplo d i 2nI. La derivata (50,9) Ã invece una funzione monodroma perchÃ l a derivazione si fa per I costante ed, inoltre, gli incrementi che si aggiungono ad So scompaiono. Come ogni funzione monodroma, la funzione A, espressa mediante l a variabile angolare W, Ã funzione periodica di questa variabile. I l valore medio (per un periodo) della derivata dA/dw di una tale funzione si annulla. Per que-

sto, prendendo l a media dell'equazione (50,lO) e portando i (per una variazione lenta d i A) fuori del segno di media, si ottiene il risultato richiesto:

come volevasi dimostrare. Le equazioni del moto (50,lO) e (50,11) permettono di affrontare

i l problema della precisione con la quale s i conserva l'invariante adiabatico. Poniamo la questione nel modo seguente: supponiamo che il parametro A (t) tenda per t --P - m e t -+ +m a i limiti costanti L_ e A+; sia dato (per t = -m) i l valore iniziale I - dell'invariante adiabatico; s i chiede di trovare l'incremento AI = I+ - I - nel momento t = +m.

Dalla (50,10) si ricava

Come abbiamo giÃ indicato, la grandezza A Ã una funzione periodica (con periodo 2n) della variabile W; sviluppando in serie di Fourier questa funzione, abbiamo:

m

A = e^At (=-m

(51,3)

(essendo A reale, i coefficienti di sviluppo sono legati dalla relazione A-i = A?). D a l l a ~ 5 1 , S ) per la derivata dwdw otteniamo:

rm W

Per i sufficientemente piccolo, la derivata Ã positiva [il suo segno coincide con quello di W; vedi la (50,11)1, cioÃ W Ã una funzione

1) Questo paragrafo Ã stato scritto da E. M. Lifgic e L. P. Pitaievskij.


monotona del tempo t. Se nella (51,2) si passa dall'integrazione rispetto a dt all'integrazione rispetto a dw, i limiti restano gli stessi:

Sostituendo con l'espressione (51,4), trasformiamo l'integrale, considerando formalmente in esso W come variabile complessa. Sup- ponendo che l'espressione integranda non abbia punti singolari per

valori reali di W, spostiamo i l cammino

T d'integrazione dall'asse reale W al semipiano superiore di questa variabile. Fatto

w) questo, s i vede che il contorno Ã si attac- ca Ã ai punti singolari dell'espressione integranda e, aggirandoli, assume la forma rappresentata schematicamente nella fig. 56. Sia w0 i l punto singolare pifi vicino all'asse reale, cioÃ il punto

Fig/56 con la coordinata immaginaria (positiva) minore. L'integrale (51,5) assume i l suo valore principale nell'intorno di questo

punto; notiamo che ciascun termine della serie (51,4) apporta un contributo contenente i l fattore exp ( - I Im wn). Conservando ora soltanto i l termine con l'esponente negativo minore in valore assoluto (cioÃ il termine con I = l), troviamo1)

AI oo exp (-Im w0). (51,6)

Sia tn i l Ã momento di tempo Ã (numero complesso!) che corrisponde al punto singolare W,,: W (to) = W,,. Per ordine di grandezza 1 t. 1 coincide generalmente con i l tempo caratteristico della variazione dei parametri del sistema che indicheremo con r2). L'ordine di grandezza dell'esponente di potenza nella (51,6) sarÃ

PoichÃ© per ipotesi, T '$> T, questo esponente Ã grande. Quindi, la differenza I+ - I _ decresce esponenzialmente con la diminuzione della rapiditÃ della variazione dei parametri del sistema3)

- 1) In casi speciali puÃ risultare che lo sviluppo (51'4) non contenga i l termine con l = 1 (vedi, ad esempio, i l problema di questo paragrafo); in tutt i i casi bisogna prendere il termine con il valore minore di I della serie.

2) Se la lentezza della variazione del parametro si esprime nel fatto che questi dipende da t soltanto nella forma E = t l ~ , dove T 6 grande, allora t - tEo, dove En Ã il punto singolare della funzione X (E), non dipendente da T).

3 , Notiamo che se i valori iniziale e finale della funzione X (t) coincidono <Ã‹ = A_), non solamente la differenza AI, ma anche la differenza AE = = E+ - E- dell'energia finale ed iniziale sarÃ esponenzialmente piccola; secondo la (49'9)' avremo AE = co A I .


Per determinare w0 i n prima approssimazione rispetto a T/% (cioÃ conservando nell'esponente solamente i l termine (T/%)'), s i puÃ omettere nell'equazione (50,11) i l termine piccolo contenente L, cioÃ scrivere

dw - = t) (1, (t)), d t (51'8)

considerando costante, ponendolo per esempio uguale a I_, l'argomento I della funzione (o (I, A). Allora abbiamo:

t n

l " = f t) (I, A (t)) dt

(per limite inferiore si puÃ prendere qualsiasi valore reale d i t; la parte immaginaria d i w0 che ci interessa non dipende da questa scelta).

L'integrale (51,5) con determinato dalla (51,8) (e con un termine della serie (51,4) per 9 W w ) assume la forma

Da questa espressione si vede che in qualitÃ di punti singolari con- correnti (quando si sceglie i l piti vicino all'asse reale) figurano le

singolaritÃ (poli, punti d i ramificazione) delle funzioni ( t ) e l/t) (t). Ricordiamo a questo proposito che i l valore esponenzialmente piccolo d i A I Ã una conseguenza dell'ipotesi che le funzioni indicate non abbiano punti singolari reali.

P R O B L E M A Valutare AZ per un oscillatore armonico con frequenza che varia lentamente

secondo la legge

dal valore W- = per t = -m al valore m+ = G m o per t = m (a > O , a < ~ 0 ) ~ ) .

Soluzione. Prendendo come parametro A, la stessa frequenza a, abbiamo

i -=E( a CI 2 e-"'+a e-Â¡"+

Questa funzione ha poli per e-"' = -1 ed e-"' = -a . Calcolando l'integrale

\ a d t , troviamo che i l valore minimo Im wo Ã dato da uno dei poli ato = J - - -In (-a) ed Ã uguale a

w0n/a per a > 1 , Im W, =

ion~ala. per a < I . l) L'armonicitÃ dell'oscillatore si rivela nell'indipendenza della frequenza

delle oscillazioni dall'energia.

Per un oscillatore armonico A sen 2 w (vedi problema del f 50), per cui la serie (51,3) si riduce a due termini (con l = Â±2) Per l'oscillatore armonico si ha quindi

AI exp (-2 Im wa).

5 52. Moto condizionatamete periodico

Consideriamo u n sistema isolato con molti gradi d i libertÃ animato da un moto finito (rispetto a tu t te le coordinate). Supponiamo inoltre che i l problema ammetta una completa separazione delle variabili nel metodo d i Hamilton-Jacobi. CiÃ vuoi dire che con una scelta appropriata delle coordinate l'azione abbreviata puÃ essere rappresentata come somma:

d i funzioni, ognuna delle quali dipende da una sola coordinata. PoichÃ g l i impulsi generalizzati sono

ognuna delle funzioni S i puÃ essere rappresentata nella forma

S i = pi dqi. I (5292) Queste funzioni non sono monodrome. PoichÃ i l moto Ã finito,

ciascuna delle coordinate puÃ prendere valori compresi in un determinato intervallo finito. Quando a, varia in questo intervallo Ã andata Ã e Ã ritorno Ã l'azione subisce un incremento

ASo = AS; = 2 d i , dove 7 , Ã l'integrale

1 li = - n 8 Pi

esteso alla variazione indicata d i qi l ) . Facciamo ora una trasformazione canonica analoga a quella fatta

nel paragrafo precedente per i l caso d i un solo grado d i libertÃ Le variabili nuove saranno qui le Ã variabili d'azione Ã 7 , e le Ã variabili angolari Ã

-- l) Sottolineiamo perÃ che si tratta qui di una variazione formale della

coordinata qi in tut to l'intervallo dei suoi valori possibili, e non della variazione nel corso di un periodo del moto reale (come nel caso del moto unidimen- stonale). I l moto reale finito di un sistema con pi6 gradi di libertÃ non Ã in generale periodico nel suo insieme; non Ã periodica nemmeno la variazione col tempo di ciascuna delle sue coordinate prese separatamente (vedi pifi avanti).

dove la funzione generatrice Ã ancora l'azione espressa in funzione delle coordinate e delle grandezze I ; : le equazioni del moto espresse in queste variabili

danno:

9E (I) W, =-

91,

I ; = costante.

wi = p ( I ) t + costante. ari Analogamente alla (52,7), s i puÃ trovare che alla variazione com-

pleta della coordinata qi (Ã andata Ã e Ã ritorno Ãˆ corrisponde una variazione di 2n della variabile wi:

Awi = 2n. (523) In altri termini, le grandezze wi (q, I ) sono funzioni non monodrome delle coordinate; quando le coordinate variano riprendendo i valori iniziali, queste funzioni possono variare d i un qualsiasi multiplo intero di 2n. Questa proprietÃ puÃ essere formulata per l a funzione wi (q, p) (espressa mediante le coordinate e gli impulsi) anche nello spazio delle fasi del sistema. PoichÃ le grandezze stesse I;, se espresse mediante p e q, sono funzioni monodrome di queste variabili, con l a sostituzione d i I; (p, q) in w i (q, I ) otteniamo una funzione wi (p, q} che percorrendo una curva chiusa qualsiasi nello spazio delle fasi, puÃ variare di un multiplo intero d i 2n (o d i zero).

Da quanto detto segue che ogni funzione monodroma dello s tato del sistema F (p, q)l), espressa mediante le variabili canoniche, Ã una funzione periodica delle variabili angolari con periodo 2n per ciascuna di queste variabili. Essa puÃ quindi essere sviluppata in una serie multipla d i Fourier del tipo

m m

F = ... 2 Alil 2.. . 13e^(~iwi+...+~*ws) l i = - m lo=-m

(l,, 12 , . . ., Zs sono numeri interi). Sostituendovi le variabili angolari come funzioni del tempo, vediamo che la dipendenza tempo- rale di F Ã data da una somma del tipo

(5279) l) Le Ã coordinate rotazionali n, ossia gli angoli <p (vedi nota alla pag. 224),

non sono legate univocamente allo stato del sistema, perchÃ i valori di (p, che differiscono per un multiplo intero di 2n, corrispondono ad uno stesso stato del sistema. Se tra le coordinate q ci sono di questi angoli, essi possono quindi entrare nella funzione F (q, p) soltanto come espressioni del tipo cos <p o sen q, legate univocamente allo stato del sistema.


Ciascun termine d i questa somma rappresenta una funzione periodica del tempo con frequenza

z l @ i + . + Z ~ W S , (52,101

che Ã una somma di multipli interi delle frequenze fondamentali

PoichÃ tu t te le frequenze (52,lO) non sono generalmente multipli interi (o frazioni razionali) d i alcuna di esse, la somma in totale non

. Ã una vera e propria funzione periodica. In particolare, questo vale per le coordinate q e gl i impulsi p del sistema.

Quindi i l moto del sistema non Ã in generale strettamente periodico nÃ in blocco nÃ rispetto a una sua coordinata. CiÃ significa che se il sistema Ã passato per un certo stato, non ripassa p i ~ per quello stato in capo a nessun intervallo di tempo finito. Si puÃ² perÃ² affermare che in capo a un intervallo d i tempo sufficientemente grande passa tanto vicino quanto si vuole a quello stato. $ rifacendosi a que- s t a proprietÃ che un tale moto Ã chiamato condizionatamente periodico.

In certi casi particolari, due o piii frequenze fondamentali (i);

possono risultare commensurabili (per valori arbitrari delle grandezze l i ) . S i parla allora della presenza di una degenerazione; se invece tut te le s frequenze sono commensurabili, i l moto del sistema Ã chiamato completamente degenere. Nell'ultimo caso Ã evidente che il moto Ã strettamente periodico e, d i conseguenza, le traiettorie di tut te le particelle sono chiuse.

La presenza d i una degenerazione fa diminuire soprattutto il numero d i variabili indipendenti ( I i ) dalle quali dipende l'energia del sistema. Supponiamo che due frequenze col e ma siano legate dalla relazione

dove n-, ed n, sono numeri interi. Da questa uguaglianza segue che le grandezze Il edIn entrano nell'energia solo sotto forma d i somma n211 Ã nl12.

L aumento del numero degli integrali del moto uniformi in confronto al loro numero nel caso generale d i un sistema non degenere (con uno stesso numero d i gradi d i libertÃ rappresenta una proprietÃ molto importante dei moti degeneri. Nell'ultimo caso, d i t u t t i gli (2s - 1) integrali del moto risultano monodrome solo s funzioni dello stato del sistema; i l numero completo di tal i funzioni puÃ essere costituito ad esempio dalle s grandezze Ir I restanti s - l integrali si possono rappresentare sotto forma delle differenze


Queste grandezze, come segue direttamente dalla formula (52,7), sono costanti, ma non sono funzioni monodrome dello stato del sistema perchÃ non sono monodrome le variabili angolari.

Con la degenerazione subentrano dei mutamenti. I n forza della (52,12), l'integrale

~ 1 % - w2n1 (52,141 non Ã uniforme, potendovi aggiungere un qualsiasi multiplo intero d i 2n. sufficiente quindi prendere una funzione trigonometrica di questa grandezza per ottenere un nuovo integrale uniforme del moto.

I l moto in un campo U = -a/r (vedi i l problema di questo paragrafo) puÃ servire d'esempio d i un moto degenere. Ed Ã appunto que- s ta circostanza a far comparire i l nuovo caratteristico integrale uniforme del moto (15,17), oltre a i due giÃ esistenti integrali uniformi ordinari (il moto si suppone piano): del momento M e dell'energia E, propri del moto in un qualsiasi campo centrale.

Notiamo anche che la comparsa d i ulteriori integrali uniformi determina, a sua volta, un'altra proprietÃ dei moti degeneri: essi ammettono completa separazione delle variabili, qualunque sia la scelta delle coordinate1). Infatti, le grandezze Ii, espresse in coor- pinate che permettono la separazione delle variabili, sono integrali uniformi del moto. Se s i ha degenerazione, perÃ² i l numero degli integrali uniformi Ã maggiore d i s e, di conseguenza, la scelta degli integrali che vogliamo prendere come Ii non Ã pifi univoca.

A titolo d'esempio, consideriamo i l moto kepleriano che ammette la separazione delle variabili in coordinate sia sferiche che in quelle paraboliche.

Nel paragrafo precedente abbiamo dimostrato che per un moto uniforme finito l a variabile d'azione Ã un invariante adiabatico. CiÃ vale anche per sistemi con molti gradi d i libertÃ e ne diamo qui la dimostrazione generalizzando direttamente i l metodo esposto all'inizio del $ 51.

Per un sistema a pifi dimensioni con i l parametro variabile K(t), le equazioni del moto in coordinate canoniche danno per velocitÃ d i variazione d i ciascuna delle variabili d'azione li un'espressione analoga alla (50,lO):

dove, come prima, A = (9So/9K),. Mediamo questa uguaglianza su un intervallo d i tempo, grande in confronto ai periodi principali del sistema, ma piccolo in confronto a l tempo necessario per una va-

riazione sensibile del parametro K (t). Anche in questo caso K si porta fuori del segno d i media mentre la media delle derivate 9A/9wi si

1) Non ci si riferisce naturalmente a trasformazioni banali delle coordinate tipo q; = q; (?l) , q2 = 9; (9,)'


prende come se i l moto avvenisse per A costante e fosse quindi un moto condizionatamente periodico. A si presenta allora come funzione monodroma periodica delle variabili angolari wi, e le medie delle sue derivate 9A/8wi si annullano.

Per concludere, facciamo qualche osservazione relativa alle pro- prietÃ del moto finito dei sistemi isolati a piÃ (s) gradi d i libertÃ per i l caso piii generico in cui non Ã prevista l a separazione delle variabili nella corrispondente equazione d i Hamilton-Jacobi.

La proprietÃ fondamentale dei sistemi a variabili separabili Ã co- stituita dall'uniformitÃ degli integrali del moto I ; il cui numero Ã uguale a l numero dei gradi d i libertÃ Nel caso generale, invece, di sistemi a variabili non separabili, la scelta degli integrali del moto uniformi Ã l imitata a quelli per cui i l fatto d i essere costanti Ã un'e- spressione delle proprietÃ di omogeneitÃ e di isotropia dello spazio e del tempo, cioÃ delle leggi d i conservazione dell'energia, dell'impulso, e del momento angolare.

La traiettoria di fase del sistema passa per quelle regioni dello spazio delle fasi che sono determinate da valori costanti dati degli integrali del moto uniformi. Per un sistema a variabili separabili avente s integrali uniformi, queste condizioni determinano una va- rietÃ a s dimensioni (ipersuperficie) dello spazio delle fasi. I n un tempo sufficientemente lungo l a traiettoria del sistema passa vicino tanto quanto si vuole a ogni punto d i questa superficie.

Nei sistemi, invece, a variabili non separabili, aventi un numero minore d i integrali uniformi (pur a paritÃ d i s), la traiettoria d i fase riempie (completamente o parzialmente) regioni dello spazio delle fasi (varietÃ con numero d i dimensioni maggiore.

Osserviamo infine che se la hamiltoniana di un sistema differisce soltanto per termini piccoli da una funzione che ammette separazione delle variabili, anche le proprietÃ del moto sono vicine alle proprietÃ dei moti condizionatamente periodici, la differenza anzi Ã piccola in grado ben piii elevato d i quanto non lo siano i termini addizionali nella funzione d i Hamilton

Calcolare le variabili d'azione per i l moto ellittico in un campo U = -a/r. Soluzione. In coordinate polari r , (p nel piano del moto abbiamo:

2n ',=a P,'>v=M, o

EQUAZIONI CANONICHE

Da cui l'energia espressa in funzione delle variabili d'azione Ã

E = - ma' 2 (^ + l2

Essa dipende solo dalla somma 1,. + I*, i l che significa che i l moto 6 degenere: le due frequenze fondamentali (rispetto a (p ed r) coincidono.

I parametri p ed e dell'orbita [vedi (15,4)] si esprimono in funzione di Zr ed I m secondo le formule

In v i r t ~ dell'invarianza adiabatica delle grandezze Ir ed IW, l'eccentricitÃ dell'orbita resta invariata quando i l coefficiente a o la massa m variano lentamente, mentre le sue dimensioni variano in modo inversamente proporzionale ad m ed a.

Indice analitico ')

AdditivitÃ de li integrali del moto, 42 defla massa, 47

Ampiezza delle oscillazioni, 100 Asse di istantanea rotazione, 150 Azione abbreviata, 205

Battimenti, 105, 114 Buca di potenziale, 58 Caduta di una particella nel centro,

67, 90

Campo omogeneo, 38 Condizione d'equilibrio' d i u n solido, Coordinate, cicliche, 64,

ellittiche, 220 generalizzate, 27 paraboliche, 219

Coppia di forze, 165

Decremento di smorzamento, 121 Degenerazione, 234

EccentricitÃ 71 Energia, cinetica, 36

interna, 48 potenziale, 36

Equazioni, canoniche, 194 di Newton, 37

Fase, 100 Forza, 37

centrifuga, 189

di attrito, 121, 182 di Coriolis, 189 di reazione, 182 generalizzata, 46

Frequenza propria 110 Frequenze combinatorie, 135 Funzione, di dissipazione, 123

generatrice, 209

Gradi di libertÃ 27, 116, 148 Grandezze canonicamente coniugate,

211

IdentitÃ di Jacobi, 199 Impulso generalizzato, 46 Integrale delle aree, 65 Integrali del moto, 42 Isotropia dello spazio, 32, 49

Legge dell9hguaglianza dell'azioneie della reazione, 46

d'inerzia, 32 Leggi di Keplero, 55, 65 Linea dei nodi. 166

Massa di una particella, 34 Momento di una forza, 164 Momenti principali, d'inerzia, 153

dell'asse d'inerzia, 153 Moto finito e infinito, 58

traslatorio, 149

Nutazione, 170

1) Questo indice analitico completa l'indice generale del libro, senza perÃ ripeterlo. Esso include concetti e termini che non entrano nell'indice generale.

INDICE ANALITICO 239

OmogeneitÃ dello spazio, 44 Smorzamento aperiodico, 122 del tempo, 43 Spazio delle fasi, 212

Oscillatore spaziale, 115 Strisciamento, 182 Oscillazioni normali, 112 Superficie assolutamente liscia, 183 Ottica geometrica, 204 ruvida, 183

Pendolo, di Foucault. 191 doppio, 39,' 114 fisico, 157 piano, 39, 59, 69, 147 sferico, 68

Perielio, 75 Polodia, 175 Precessione regolare, 162 Principio d i D'Alembert, 185 Problema dei due corpi, 62 Punto d'arresto, 58

Risonanza, 104 Rotatore, 154, 162 Rotolamento, 182

Sezione d'urto 88 Sistema conservativo, 43

inerziale di riferimento, 32 isolato, 36

Teorema, del viriale. 55 d i ~oisson; 200

Traiettoria d i fase, 212 Traiettorie chiuse, 66 Trasformazioni,

d i Galilei, 33 d i Legendre, 193 ~un tua l e . 208

rotto la, asimmetrica, 153, 174 sferica, 153 simmetrica, 153, 162, 169 veloce, 171

Variabile, angolare, 227 d'azione, 227

Variazione, 29 VelocitÃ 65, Vincoli,

inolonomi, 183 olonomi, 183 .

Landau Lifshitz - Fisica Teorica Vol 01 Meccanica - Ita

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