Equazione di Dirac 2 Descrizione relativistica dello...

prof. Francesco RagusaUniversità di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2017-2018

Lezione n. 310.10.2017

Equazione di Dirac 2Descrizione relativistica dello spin

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 68

Operatore di spinL’operatore di spin che abbiamo introdotto precedentemente è valido solo nella rappresentazione di Pauli-Dirac

In una rappresentazione arbitraria l’operatore di spin si trova a partire dai generatori delle rotazioni per gli spinori ( j,k = 1,2,3 )

In particolare si ha ( S = ½ Σ e j,k,l una permutazione pari di 123)

Un modo equivalente per scrivere l’operatore di spin è

Non confondere il simbolo di somma con l’operatore Σ


Operatore di spinUn’altra espressione per Σ, che sarà molto utile in seguito, parte dall’espressione

Infatti utilizzando le regole di commutazione delle matrici γ e ricordando che (γj)2 = 1 per j = 1,2,3 si ritrova la definizione precedente

Elaborando ulteriormente

Introduciamo la matrice γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3

Arriviamo alla definizione

La matrice γ5 è molto importante nella teoria degli spinoriNella rappresentazione di Pauli-Dirac


Proprietà dei commutatoriPrima proprietà

Analogamente

Pertanto

Seconda proprietà

Analogamente


Momento angolareAbbiamo adesso tutti gli ingredienti per calcolare il commutatore [H,Σ]indipendentemente dalla rappresentazione

Riscriviamo l’Hamiltoniana utilizzando le matrici γ

Calcoliamo

Inoltre

A B C

[A,C]

{{[X,mI] = 0

= 0


Momento angolareRiepiloghiamo i risultati fino a questo punto

Sostituendo otteniamo

Concludendo

Pertanto neppure lo spin (S = ½ Σ) si conservaTuttavia l’operatore momento angolare totale J = L + ½ Σ commuta con l’Hamiltoniana (come deve essere)

per n,k = 1,2,3 gnk = −δnk


Momento angolareDal momento che l’operatore di spin ½Σ non commuta con H non è possibile utilizzare i suoi autovalori per classificare gli statiSi utilizzano due alternative

Proiezione dello spin lungo la direzione di moto: ElicitàPer particelle con massa non nulla: Direzione dello spin nel sistema di riposo

Nel sistema di riposo vale la trattazione non relativistica

Ricordiamo che

Evidentemente, dato che [H,p] = 0

Abbiamo inoltre

Pertanto commuta con l’Hamiltoniana anche l’operatore elicità

Descrizione relativistica dello spin: Elicità


Descrizione relativistica dello spin: ElicitàRicordiamo alcuni risultati ottenuti utilizzando la rappresentazione di Dirac

Ricordiamo che le funzioni φr sono due arbitrari spinori bidimensionaliL’operatore ha due autovettori φ±

Utilizzando questi spinori

Applicando l’operatore h(p) agli spinori u(p,±)


Descrizione relativistica dello spin: ElicitàIl vantaggio di questa classificazione risiede nel fatto che [H,h(p)] = 0

L’autovalore dell’elicità λ = ±1 si conservaPuò essere utilizzata anche per particelle di massa nulla

Ovviamente l’espressione esplicita di h(p) che abbiamo trovato vale solamenteper la rappresentazione di Dirac

In altre rappresentazioni l'espressione di h(p) e di u(p) sarà differenteOccorre trovare la soluzione dell’equazione agli autovalori

Quanto detto fin qui vale anche per gli spinori v

Nel caso della rappresentazione di Dirac osserviamoGli spinori φ± sono spinori bidimensionali non relativisticiRappresentano gli autostati dell’operatore di spin non relativistico quantizzato lungo l’asse nLa loro espressione esplicita può essere trovata

Ruotando gli autostati φr (r = 1,2) che sono gli autostati di σz

Risolvendo esplicitamente l’equazione matriciale


Descrizione relativistica dello spin: rest frameUn altro metodo per descrivere lo spin fa riferimento al sistemainerziale in cui la particella è a riposo

Rest Frame: possibile solo per particelle con massa ≠ 0Nel sistema di riposo della particella l’Hamiltoniana H commuta con l’operatore di spin Σ

Gli spinori possono essere anche autostati di ΣLa trattazione coincide con quella non relativisticaÈ possibile preparare uno stato φξ polarizzato in una direzione arbitraria

Ad esempio, nella rappresentazione di Pauli-Dirac

A questo punto si può applicare una trasformazione di Lorentzche trasforma lo spinore w(0, ξ)

Dal sistema in cui la particella è a riposo p'ν = (m, 0)Al sistema in cui la particella ha un 4-momento pν = (E, p)


Descrizione relativistica dello spin: rest frameOvviamente, in questo modo, abbiamo una complicazione

Il 4-momento p della particella è definito nel sistema di laboratorio KLo spin è definito nel sistema di riposo della particella K'

Si introduce pertanto un 4-vettore s per la descrizione dello spinNel sistema di riposo della particella

Notiamo che si tratta di un 4-vettore a modulo negativo (space-like)Inoltre nel sistema di riposo abbiamo

La relazione s'⋅p'= 0 è invariante e vale in tutti i sistemi di riferimentoSi passa al sistema K mediante una trasformazione Lorentz

Attenzione: nel sistema di laboratorio K la parte spaziale di s

NON È IL VALORE DI ASPETTAZIONE DELLO SPIN


Descrizione relativistica dello spin: rest frameIn forma esplicita, le componenti di s nel sistema K in cui la particella di massa m ha energia E e momento p sono†§

Evidentemente ξ|| e ξ⊥ sono rispettivamente la componente parallela e perpendicolare alla direzione della quantità di moto

In forma vettoriale le relazioni precedenti si possono esprimere come

Notiamo che se la polarizzazione della particella nel suo sistema di riposo è−ξ nel sistema di laboratorio le 4 componenti di sμ cambiano tutte di segnorispetto a quelle corrispondenti a +ξ

Quando si utilizza il 4-vettore sμ gli spinori u e v si scrivono

In queste formule s non è un indice ma un 4-vettoreI due stati di polarizzazione sono ±s = ±sμ

†Landau L,Lifshitz E,Pitaevskii L – Quantum Electrodynamics – Pergamon 1982 - cap III, § 29 pag. 106§Questo formalismo si applica anche a particelle di spin intero


Relazioni di completezzaAbbiamo visto che nel sistema di riposo l’equazione di Dirac si riduce a

Abbiamo anche determinato 4 soluzioni w(0,r) r = 1,4

Ricordiamo (diapositiva ) la normalizzazione scelta per garantire il corretto comportamento della corrente nelle trasformazioni di Lorentz

Analogamente, per r = 3,4

Gli spinori w(0,r) sono i 4 autovettori di γ0: γ0w = ±w

Sono ortogonali e costituiscono un sistema completoLa completezza si esprime tramite la relazione

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Relazioni di completezzaGli aggiunti spinoriali giocano un ruolo fondamentale nella teoria

Siamo pertanto interessati ad una relazione di completezza che usi questi ultimi e non gli aggiunti hermitiani

Osserviamo che nella base dei w la matrice γ0 è diagonale

A questo punto è immediato verificare che

Infatti


Relazioni di completezzaPossiamo a questo punto introdurre la relazione di completezza per gli spinori u e v in un sistema di riferimento in cui la particella ha quantità di moto p

Ricordiamo che u e v sono ottenuti dagli spinori a riposo w(0,r) come

Verifichiamo che

Infatti, posto ur = u(p,r) , vr = v(p, r) e infine wr = w(0,r)

Ricordando che

Concludiamo


Interazione elettromagneticaNell’elettrodinamica classica la forza che agisce su una particella carica in moto è data dalla Forza di Lorentz

Può essere ricavata (equazioni di Hamilton) dall’Hamiltoniana classica

Nella Meccanica Quantistica non relativistica l’interazione elettromagneticaviene introdotta utilizzando l’Hamiltoniana appena introdotta ( = 1)

È conveniente riscrivere questa equazione nel modo seguente

Notiamo che si può arrivare all’equazione precedente partendo dall’equazione di Schrödinger per una particella libera e fare le sostituzioni


Interazione elettromagneticaSviluppando il quadrato nell’Hamiltoniana

Scegliendo il gauge ∇⋅A = 0 e trascurando i termini in q2 otteniamo

Applichiamo questa formula al caso di un campo magnetico costante e campo elettrico nullo V = 0 (i∇ = p)

Per un campo magnetico costante B il potenziale vettore èIntroduciamo A nell’Hamiltoniana

Il termine con il campo magnetico può essere trasformato in


Interazione elettromagneticaL’ultimo termine dell’equazione rappresenta una energia potenziale magnetica

Classicamente è dovuta all’interazione di un momento magneticogenerato dal moto associato ad un momento angolare L

Anche a livello quantistico definiamo pertanto il momento magnetico di una particella dotata di momento angolare L e la sua energia potenziale

L’esistenza di questo termine di interazione è verificata nella spettroscopia atomica

In presenza di un campo magnetico le energie associate agli orbitali atomici di momento angolare l si separano in (2l+1) livelli equidistanti (effetto Zeeman)

È noto che esiste un ulteriore effetto di questo tipoL’elettrone ha un momento angolare intrinseco S = σ/2a cui sarebbe associato un momento magnetico μ= qS/2m che suddivide ulteriormente i livelli

Tuttavia, nel caso dello spin, per riprodurre i dati sperimentali occorre introdurre un fattore empirico g

10

−1l = 1

210

−1−2

m

l = 2


Interazione elettromagneticaPrima di introdurre l’interazione elettromagnetica nell’equazione di Dirac facciamo alcune precisazioni sulle notazioni

Richiamiamo le definizioni dell’operatore derivazione

Inoltre il potenziale vettore è

L’introduzione dell’interazione elettromagnetica viene fatta modificandol’operatore di derivazione ( per l’elettrone q = −|e| )

Attenzione: per l’operatore derivazione e il potenziale vettore i segni negativi delle componenti spaziali delle componenti covarianti e contravarianti sono scambiati


Interazione elettromagneticaA questo punto passiamo all’equazione di Dirac

Con la sostituzione minimale diventa

Utilizzeremo questa formula per lo studio dello scattering da potenzialeVale la pena isolare il potenziale di interazione


Limite di bassa energiaÈ molto istruttivo studiare il limite di bassa energia dell’equazione trovata

Verifichiamo se ci conduce all’equazione di Schrödinger con l’interazione elettromagneticaPer poter confrontare con l’equazione non relativistica occorre tenere conto che l’energia relativistica include la massa a riposo della particella

Se H è l’Hamiltoniana dobbiamo isolare la massa scrivendo H = H1 + m

Inoltre isoliamo la massa a riposo anche nella dipendenza temporale ponendo

Inseriamo nell’equazione di Dirac per trovare l'equazione per Ψ0

Ψo lentamente variabile


Limite di bassa energiaRiepilogando

A questo utilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac e la rappresentazione a blocchi dello spinore

Arriviamo al sistema di equazioni


Limite di bassa energia

Consideriamo la seconda equazioneRicordiamo che Ψo varia lentamente, vale a direQuindi anche le due componenti ψ e φ variano lentamente

Abbiamo pertanto

Introduciamo nella prima equazione

approssimazione nonrelativistica


Limite di bassa energiaSi può verificare che (vedi esercizio 4.14)

Pertanto l’equazione diventa

Questa equazione coincide con l’equazione ottenuta partendo dall’equazione di Schrödinger con la sostituzione minimale (diapositiva ) a meno di un termine

Il termine in più descrive l’accoppiamento del momento magnetico intrinseco dell’elettrone con il campo magneticoInoltre riproduce perfettamente il fattore giromagnetico g = 2 che nella teoria non relativistica era stato introdotto empiricamente

In conclusioneIl limite E << m dell’equazione di Dirac riproduce l’equazione di PauliIl fattore giromagnetico g = 2 è predetto dalla teoria di Dirac

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Scattering Coulombiano: spin 0Come prima applicazione della teoria relativistica consideriamo lo scattering Coulombiano per una particella di spin 0

La funzione d’onda della particella obbedisce all’equazione di Klein-Gordon

Come nel caso dell’equazione di Dirac l’interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando la sostituzione minimale

Vediamo come si modifica l’operatore ∂μ∂μ

Inserendo nell’equazione di Klein-Gordon otteniamo

prima si moltiplica a destra per φdopo si applica ∂μ al prodotto Aμφ


Scattering Coulombiano: spin 0A questo punto il problema può essere risolto utilizzando la teoria perturbativa dipendente dal tempo

L’ampiezza di transizione da uno stato iniziale i ad uno stato finale fdovuta ad un potenziale V è data dall’approssimazione (primo ordine)

Utilizziamo il potenziale di Klein-Gordon

Al primo ordine possiamo trascurare il termine in q2

Otteniamo in definitiva


Scattering Coulombiano: spin 0

Possiamo elaborare il primo termine integrando per parti

Assumiamo che il potenziale Aμ all’infinito si comporti in modo tale da far tendere a zero il primo termineL’ampiezza di transizione diventa

L’espressione dentro parentesi quadra ricorda la corrente di probabilitàSi definisce la corrente di transizione elettromagnetica fra gli stati i e f

Utilizzando questa corrente l’ampiezza di transizione diventa



10809

A questo punto utilizziamo due soluzioni con energia positivadell’equazione di KG: ad esempio un elettrone con carica q = −e e > 0

Un’onda piana per lo stato inizialeUn’onda piana per lo stato finale

Abbiamo scelto la costante di normalizzazione N = 1 (v. diapositiva )Inserendo nella corrente di transizione

Otteniamo pertanto

Consideriamo infine un potenziale Coulombiano



L’ampiezza di transizione diventa pertanto

I due integrali sono indipendentiL’integrale rispetto al tempo conduce ad una funzione δ

Il secondo integrale è la trasformata di Fourier del potenziale di CoulombSi calcola facilmente come limite per m → 0 del potenziale di Yukawa

Inserendo nell’ampiezza di transizioneδ(Ei−Ef) → Ei = Ef

notare il segno e lo scambio i ↔ f


Scattering Coulombiano: spin 0Nella teoria perturbativa dipendente dal tempo la sezione d’urto è data dalla regola d’oro di Fermi

La quantità Φ è il flusso di particelleLa quantità è la probabilità di transizione per unità di tempo e si calcola a partire dall’elemento di matrice Mfi

La quantità ρ(Ef) è la densità degli statiL’elemento di matrice ridotto Vfi viene introdotto per isolare la funzione δ

Il modulo quadrato della funzione δ non è definitoViene calcolato con un opportuno processo di limite

Ricordando il risultato della diapositiva precedente

Isoliamo l’elemento di matrice ridotto

Ei = Ef


Scattering Coulombiano: spin 0Veniamo adesso alla densità degli stati

Ad una energia Ef corrispondono tutti gli stati con momento pfIl numero di stati nell’elemento d3pf dello spazio delle fasi è

Il fattore 2Ef nel denominatore è stato introdotto in modo da rendere dN invariante per trasformazioni di Lorentz

Uguagliando al numero di stati nell’intervallo dEf

Calcoliamo esplicitamente dN in funzione di dEf

Utilizzando le coordinate sferiche

In conclusione


Scattering Coulombiano: spin 0Per finire il flusso Φ

Fin qui le probabilità calcolate sono relative al un flusso di particelle incidenti corrispondenti alle funzioni d’onda usate

Occorre tenere conto della normalizzazione degli statiAbbiamo visto che per le soluzioni dell’equazione di KG utilizzate (N = 1) si ha

Abbiamo pertanto

In conclusione otteniamo la sezione d’urto differenziale per lo scattering di una particella a spin 0 da un potenziale Coulombiano

dSJ

scattering elastico|pi| = |pf|


Scattering Coulombiano: spin 0Un ultima elaborazione per sostituire l’angolo di difffusione al momento trasferito

Otteniamo pertanto

La sezione d’urto diventa pertanto

Da confrontare con la formula non relativistica

pi

θq

pf

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