MATEMATICA FINANZIARIA A-L

A.A. 2006-2007

OBIETTIVI• Il corso si propone di fornire gli strumenti e le nozioni di base della

matematica finanziaria tradizionale per affrontare problemi di valutazione e scelta in ambito economico, finanziario ed aziendale.

• Testi- Stefani S., Torriero A., Zambruno G. (2003), Elementi di matematica finanziaria e cenni di programmazione lineare, II Edizione, Giappichelli Editore, Torino (STZ)

Materiale didattico integrativo:Eserciziari: - Angoli A., Colli Frantone Bonzanini A., De Dionigi L., Matematica finanziaria: Esercizi svolti, Giappichelli, Torino 2000. -Bolamperti G., Ceccarossi G., Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di programmazione lineare, Esercizi, Giappichelli Editore, Torino.

PROGRAMMAStruttura del corso

Argomenti Concetti chiave Studi di casi e applicazioni (alcuni esempi)

Testi Ore di didattica

Ore di studio

Operazioni finanziarie Grandezze fondamentali,capitalizzazione e

attualizzazione, regimi a interesse semplice, anticipato, composto. Equivalenza tra tassi.

Forza di interesse.Scindibilità.

Valutazione di importi monetari. STZ, cap.1STZ, par. 4.5.1

12 26

Rendite e costituzione di un capitale

Generalità sulle rendite, montante e valore attuale dei vari tipi di rendita. Indici temporali.

Esempi di rendite e di problemi di costituzione di un capitale.

STZ, cap.2 (par. 1,2,3,4,5,6) , cap.3 (par.1,2)

8 16

Problemi di valutazione

Criteri di scelta: il pay-back, il risultato economico attualizzato (REA), il tasso interno di rendimento (TIR).

Applicazioni dei criteri di scelta a investimenti reali e finanziari.

STZ, cap.4 4 10

Titoli obbligazionari Struttura per scadenza dei tassi di interesse, pricing di obbligazioni.

Zero-coupon bond. Tassi spot e forward

STZ , cap.5 (par.1,2)

2 4

Ammortamenti Generalità sugli ammortamenti, Ammortamento italiano, francese, americano. Nuda proprietà e usufrutto. 

Applicazioni del concetto di ammortamento. Il leasing

STZ, cap.3(par.3,4,5,6,7,8)

6 12

ORARIO

• LEZIONI:

• Mart 10:15-11:50Merc14:00-15:35Ven 10:15-11:50

• RICEVIMENTO: ufficio 71 martedì 15,30-17:30

GENERALITA’ LEGGI FINANZIARIE

• Operazione finanziaria• semplice

• Complessa

• Capitalizzazione e attualizzazione– Legge finanziaria di capitalizzazione e attualizzazione– Fattore di montante e di sconto

• Grandezze fondamentaliInteresse, sconto, tasso di interesse, tasso di sconto, intensità e intensità istantanea di interesse e sconto

OPERAZIONE FINANZIARIA

• Qualsiasi operazione che dia origine allo scambio tra somme di denaro riferite ad epoche diverse.

Esempi di operazioni finanziarie :° Acquisto di BOT e successiva vendita alla scadenza° Accensione di mutui° Acquisti a pagamento rateale

t=0 t=T

C0 CT

C0 e CT sono equivalenti finanziariamente, ovvero l’operazione è equa.

Operazione finanziaria

COMPLESSAScambio tra più importi a scadenze diverse.Esempio: rimborso graduale di un prestito (BTP)

SEMPLICEScambio tra due importi a due epoche diverse.Esempio: rimborso di un prestito in un'unica scadenza

t=0 t=T

C0 CT

t=1

C1

t=0 t=T

C0 CT

Capitalizzazione e Attualizzazione

• La capitalizzazione, cioè il differimento di una disponibilità, consente di determinare il valore futuro di un capitale,

• l'attualizzazione o anticipazione, consente di stabilire oggi il valore attuale di un capitale con scadenza futura, cioè di anticiparne la disponibilità.

ESEMPIO CAPITALIZZAZIONE

• 0 = 1/1/2006, T= 30/6/2006• C0 = Capitale iniziale • M = CT = Capitale finale = Montante

All'epoca iniziale 1° gennaio 2006, si impiega un capitale di 15 000 euro per il periodo di tempo che termina in T (epoca di disinvestimento), quando si renderà disponibile il montante M.

0 T |-------------------------------------------------------|----C0 =15000,00 Euro CT= M = ?

ESEMPIO ATTUALIZZAZIONE

• 0 = 1/1/2006, T = 30/6/2006• C0 = V= Valore attuale • CT = Capitale finale

Trovare il valore attuale di una cambiale di Euro 15000 in scadenza tra 6 mesi

0 T |-------------------------------------------------------|----C0= V= ? CT=15000

LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE

Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una qualsiasi funzione

M = F(C, t)che esprima il montante M, noti il capitale C e l’epoca finale

t, e che soddisfi i seguenti postulati:

1) F(C, t) definita per C 0, t 0E' possibile calcolare il montante M per qualsiasi ammontare di capitale non negativo e per qualsiasi durata di impiego

2) F (0, t) = 0 Il montante di un capitale nullo è nullo.

3) F(C, 0) = CSe la durata di impiego è nulla, il montante coincide con il capitale. Il contemporaneo investimento - disinvestimento non produce alcun vantaggio finanziario

4) 0 < C1 C2 ==> F(C1, t) F(C2, t)A parità di durata d'impiego, a capitale maggiore corrisponde montante maggiore

5) t1 t2 => F(C, t1) F(C, t2)A parità di capitale investito, il montante ad un'epoca successiva risulta non inferiore al montante di un'epoca precedente. Il capitale impiegato non perde valore nel tempo

6) F(C,t) = C F(1, t)A parità di durata d'impiego, il montante è proporzionale al capitale impiegato.

LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE

FATTORE DI MONTANTE

• Definiamo fattore di montante la funzione f(t) = F(1, t)

• Il fattore di montante è qualsiasi funzione f(t):- definita per t [0, T]- non decrescente (se derivabile, f'(t)0)- tale che f(0) = 1

Ct = C0 f(t)

Il fattore di montante esprime anche il montante al tempo t di un capitale C unitario.

Leggi e regimi di capitalizzazione

Ogni funzione f(t) che soddisfi le tre proprietà può essere assunta come fattore di montante e definisce una legge di capitalizzazione.

Si definisce regime di capitalizzazione una famiglia di funzioni fattore di montante che dipendano da uno o più parametri

• Esempio: regime f(t) = 1+t >0, t [0, T]

legge f(t) = 1+0,1t

Fattore di scontoo di attualizzazione

• Il valore attuale V di un capitale C disponibile in un'epoca futura è proporzionale al capitale e dipende dalla durata dell'operazione di anticipazione. Sotto questa ipotesi si può scrivere

V= C0 = Ct g(t)• Dalla relazione di capitalizzazione

C0 f(t) = Ct

)(0 tf

CCV t

)(

1)(

tftg

Le due leggi di attualizzazione e sconto si dicono coniugate

g(t)f(t)=1

Proprietà del fattore di sconto

• le proprietà del fattore di sconto si deducono immediatamente dalle proprietà di f(t).

• Pertanto il fattore di sconto è qualsiasi funzione g(t):

• definita per t [0, T)

• tale che g(0) = 1

• non crescente (se derivabile, g'(t) 0).

INTERESSE E SCONTO

INTERESSEChi rinuncia oggi ad una disponibilità finanziaria, differendola nel

tempo, richiede che gli venga corrisposto un adeguato compenso, detto Interesse.

Interesse: I = Ct C0

SCONTOChi richiede oggi la disponibilità di una somma che gli sarebbe dovuta ad una data futura, deve corrispondere un adeguato compenso, detto

Sconto.

Sconto: S = Ct C0

TASSO D’INTERESSE

Indicando con i(t) il tasso di interesse sul capitale iniziale per la durata t

1)(1)(000

0

tfC

C

C

I

C

CCti tt

Se la durata è unitaria (t = 1) i = i(1) = f(1) - 1è il tasso unitario di interesse.

Da cui f(1)=1+i (qualunque sia la funzione fattore di montante)

PERIODICITÀ DEL TASSO

A seconda del periodo di riferimento si ha: ° Tasso mensile => unità di tempo: 1 mese ° Tasso trimestrale => unità di tempo: 3 mesi° Tasso semestrale => unità di tempo: 6 mesi° Tasso annuale => unità di tempo: 1 anno ° Tasso biennale => unità di tempo: 2 anni° ...

• Il tasso di interesse può quindi essere riferito all'anno o ad una sua frazione o ad un suo multiplo.

TASSO DI SCONTO• Indichiamo con d(t) il tasso di sconto sul capitale finale per la durata t

if 1)1(

)1(

11)1(

fd

i

id

1.

1 d

di

è il tasso unitario di sconto.

)(1)(

111)( 00 tg

tfC

C

C

S

C

CCtd

ttt

t

Pertanto la relazione tra d unitario e i unitario è la seguente:

Se la durata è unitaria (t = 1)

)1(

1)1()1(

f

fd

Grandezze Fondamentali

• Interesse: C t+t-Ct

• Sconto: C t+t-Ct

• Fattore di montante: C t+t / Ct

• Fattore di sconto: C t / Ct+t

• Tasso di interesse: (Ct+t-Ct)/Ct

• Tasso di sconto: (Ct+t-Ct)/Ct+t

t t+t |-------------------------------------------------------|----Ct C t+t

Grandezze Fondamentali

• Intensità di Interesse: (Ct+t-Ct)/(tCt)

• Intensità di Sconto: (Ct+t-Ct)/(tCt+t)

• Intensità istantanea di interesse:

'))(ln()(

)('

)(

)()(lim

0

00

0tf

tf

tf

tftC

tfCttfC

tC

CC

t

ttt

t

• Intensità istantanea di sconto:

t t+t |-------------------------------------------------------|----Ct C t+t

'))(ln()(

)('

)(

)()(lim

0

00

0tf

tf

tf

ttftC

tfCttfC

tC

CC

tt

ttt

t

Esercizio 1

• Si stabilisca se la seguente funzione corrisponde ad una legge finanziaria di attualizzazione:

01

2)(

t

etf

t

12

2

1

2)0(

0

e

f

0)1(

2)('

2

t

t

e

etf

Non corrisponde ad una legge finanziaria di attualizzazione, ma di capitalizzazione

Esercizio 2

• Calcolare il tasso unitario di interesse:

462,01

1

1

11

2

)0(

)0()1(1

11

e

eef

ffi

• Calcolare l’intensità istantanea di interesse:

t

t

t

e

ee

tf

tf

12

)1()(

)(' 2

Esercizi per casa

• Eserciziario Angoli, Colli Franzone Bolzanini, Dionigi (ACD):

- Es. 2.1 punto a- Es. 2.2 punto b, c- Es. 2.7 punto a• Eserciziario Bolamperti-Ceccarossi (B-C):- Es. 4, - Es.12 punto a- Es. 13 punto a- Es 14- Es. 15 punti a,b,d