ITG A. POZZO

NOZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA

Prof. Romano Oss

Reddito e prezzo d’uso

I beni economici, quando sono capitali a logorio parziale, durevoli, e destinati alla produzione, forniscono reddito.

I giudizi di stima, relativi a beni capaci di fornire reddito devono essere formulati tenendo conto che deve esistere una relazione tra valore dei beni e valore dei redditi che tali beni sono capaci di fornire.

Per numerose valutazioni è necessario conoscere il capitale attuale equivalente ai redditi futuri che un capitale è capace di fornire: valore di capitalizzazione.

Ciò serve per valutare il diritto di usufruire di una serie di redditi futuri, il danno conseguente alla distruzione di una piantagione arborea, l’indennizzo per l’occupazione temporanea per ragioni di pubblica utilità o per stabilire quanto depositare per godere in futuro di una serie di redditi (vitalizio)

I redditi di capitale sono quelli che si percepiscono per l’uso di capitali siano essi indifferenziati o tecnicamente differenziati.

Se si considerano i soli compensi si ha il reddito lordo; se a questo togliamo tutte le spese che sono occorse per sostenerlo abbiamo il reddito netto.

Il Prezzo d’uso è un caso particolare di reddito lordo, si riscontra ogni volta che l’attività dell’imprenditore consiste nel fornire a terzi l’uso di un determinato bene.

Il compenso lordo per l’uso dei beni immobili si chiama locazione o affitto a seconda dei casi.

Poiché i beni immobili hanno una durata praticamente illimitata anche i redditi che forniscono hanno durata illimitata.

L’interesse come compenso del capitale per investimento finanziario o tecnico

(analogia con noleggio e affitto)

In economia si definisce capitale qualsiasi bene prodotto e reimpiegato nella produzione o nell’uso, può presentarsi sotto forma indifferenziata (moneta) o differenziata (mezzo tecnico).

I proprietari dei capitali quando li mettono a disposizione di qualcuno hanno diritto a ricevere un compenso o remunerazione, il prezzo d’uso, che a seconda dei casi assume denominazioni diverse, anche se il concetto non cambia.

Dal punto di vista finanziario un capitale è una quantità di ricchezza, misurabile in moneta corrente, che viene concessa in uso per un certo tempo, dietro un compenso che si chiama interesse.

La forma più comune dell’interesse è quella bancaria: si depositano i soldi in banca, questa li usa e paga un interesse per il suo uso.

L’uso del denaro in modo produttivo si chiama investimentoE si distinguono:

Investimenti finanziari, fornire denaro in uso a terze persone anche mediante l’acquisto di obbligazioni o titoliChi compera un’azione presta il denaro a un’azienda e ne riceve in cambio un interesse chiamato dividendo.

Investimenti tecnici,assumono l’aspetto di investimenti di impresa come l’acquisto di capitali tecnici o la partecipazione alla gestione. Questi investimenti producono i redditi.Sono commerciali, industriali, edili, fondiari…

Chi cede in locazione un appartamento riceve in cambio un canone che altro non è che un interesse.

Il proprietario terriero che affitta il terreno a un agricoltore riceve in cambio un affitto che rappresenta l’interesse sul terreno.

L’agricoltore che compera un trattore per la sua campagna deve considerare l’interesse che gli spetta come capitalista.

Ne deriva che l’uso del danaro, in qualsiasi forma, deve essere compensato e questo compenso si chiama interesse.

Elementi dell’interesse:

capitale, tempo, saggio, domanda/offerta, sicurezza, continuità

Il capitale, quale che sia la sua forma, si esprime sempre in moneta corrente; il suo simbolo è “C”; C0 se all’inizio, Cn se alla fine di un periodo;

il tempo di utilizzo si esprime in giorni, mesi, anni, con riferimento all’anno solare di 365 giorni; in alcuni casi per semplicità di calcolo si può esprimere secondo un anno convenzionale detto “commerciale” in cui i mesi sono tutti di 30 giorni e l’anno dura 360 giorni, in questo caso l’anno rispetto ai mesi può essere suddiviso in 12mi ;Il suo simbolo è “n”

Il saggio, tasso o ragione, il suo simbolo è “r”; è la misura dell’interesse e rappresenta l’interesse prodotto dall’unità di capitale 1€ nell’unità di tempo 1 anno.

Nel linguaggio corrente il saggio si esprime in percentuale, mentre nei calcoli si esprime sempre come una frazione o un numero decimale:

Ad esempio un saggio dell’1,75% viene scritto 1,75/100 o 0,0175 questo significa che 100 € producono in un anno 1€ e 75 centesimi o anche che 1€ produce in un anno 1 centesimo e 75 millesimi.

Il saggio è una variabile che dipende da moltissimi fattori:

•Domanda e offerta di capitali

•Sicurezza e rischio

•Continuità dell’investimento

Domanda e offerta di capitali

Questa è molto legata all’economia reale, in un periodo di sviluppo, quando le aziende ricorrono al credito per nuovi investimenti i saggi tendono a crescere, mentre in periodi di recessione i saggi diminuiscono.

Sicurezza e rischio

Gli investimenti a basso rischio comportano saggi generalmente bassi come quelli dei depositi bancari, dei titoli di stato o legati a terreni e beni immobili, mentre in operazioni che comportano un certo rischio i tassi tendono ad aumentare.

Continuità e durata

La durata dell’investimento e il tempo di immobilizzo del capitale sono collegati alla sicurezza dell’investimento e l’interesse a sua volta è più basso quanto più lungo è l’investimento.

Tassi approssimati del mercato per l’anno 2011

Operazioni bancarieTasso medio per depositi 1,5%Tasso medio per prestiti 3,8%

Tasso di riferimento 1%BCE ( ex uff. di sconto)

Tasso legale 1,5%

Tassi di riferimentoEURIBOR 1,5%EURIRS 3,8%

Mutui casa (variabile circa 3,8%; fisso circa 5,8%)

Tasso variabile: EURIBOR + 2% definito spread varia dall’1 al 2% contrattareTasso fisso: EURIRS + 2%

EURIBOR Euro Interbank Offered RateEURIRS Euro Interest Rate Swap

Tasso di capitalizzazione 0,01 – 0,04 in relazione a diverse condizioni e netto o lordo

Matematica finanziaria

è uno strumento di calcolo basato sulla teoria dell’interesse, necessario per le valutazioni di fatti economici, come ad esempio la scelta degli investimenti, il riferimento di valori nel tempo, il valore attuale dei beni immobili.

Il principio fondamentale consiste nel fatto che per potere sommare, sottrarre o comunque confrontare valori disponibili in epoche diverse occorre prima trasferirli allo stesso momento (epoca di riferimento) e ciò può essere ottenuto solamente con le formule finanziarie basate sui principi dell’interesse.

Elementi dell’Interesse e simboli

I = interesse espresso in €

C = capitale espresso in €

r = saggio, tasso o ragione espresso in % o in formula es: 1%; 0,01; 0,12 …

PRINCIPALI FORME DI INTERESSE

Semplice: viene utilizzato per periodi di tempo inferiori all’anno, anche in associazione con l’interesse composto.

Principali applicazioni pratiche

Composto: suddiviso in

Anticipazione e posticipazioneSconto bancario di cambialicalcolo del Reddito Netto di fabbricati

Discontinuo annuoConvertibile

Applicazioni diverse

INTERESSE SEMPLICE

I = C0 r n

Si indica C0 per intendere che il capitale si trova all’inizio di un certo periodo

Poiché “n” è espresso in anni per periodi inferiori di tempo si utilizzeranno le frazioni x/365 o x/360 relativamente all’anno solare o all’anno commerciale per i giorni e x/12 per i mesi.

Esempio: dal 25 aprile al 7 maggio 12/365;

generico per 20 giorni 20/360

generico per 5 mesi 5/12

APPLICAZIONI

Calcolo dell’interesse

Calcolo del montante o valore futuro di un capitale

Calcolo del valore attuale di un capitale futuro

Calcolo dello sconto

Calcolo del Reddito netto di immobili locati o affittati

Interesse I = C0 r n

I I Ir = n = C0 =

C0 n C0 r r n

MONTANTE

Per montante si intende la somma di capitale e interesse alla fine del periodo considerato.

M = C0 + I Il simbolo M viene sostituito dal simbolo Cn

Cn = C0 + I ovvero valore di un capitale al tempo n

sostituendo a I il suo valore C0 r n

Cn = C0 (1+ r n) formula di posticipazione dei capitali a interesse semplice

VALORE ATTUALE

Il valore attuale rappresenta il valore del capitale iniziale che impiegato per un certo tempo ha prodotto un determinato capitale.

1C0 = Cn formula di anticipazione dei capitali a interesse semplice

1+ r n

SCONTO

Si può intendere lo sconto come l’inverso dell’interesse e cioè il compenso spettante a chi anticipa un pagamento prima della scadenza. L’interesse si aggiunge al capitale mentre lo sconto si toglie al capitale. Il creditore che viene a disporre in anticipo della somma dovuta dal debitore concede a quest’ultimo una riduzione: lo sconto.

Ci sono due tipi di sconto:

SCONTO RAZIONALE O MATEMATICO: coincide con la anticipazione dei capitali

SCONTO BANCARIO: applicato dalle banche per lo sconto delle cambiali

1

Somma scontata con lo sconto razionale:C0 = Cn 1+ r n

Somma scontata con sconto bancario C0 = Cn (1 - r n)

Esercizi da svolgere per familiarizzare con l’uso delle formule

Sul conto del sig. Rossi vengono versati i seguenti importi:€ 4000 il 13 gennaio; € 3700 il 25 marzo; € 3900 il 20 luglio; € 5500 il 26 ottobrevengono prelevati i seguenti importi:€ 700 a il 23 marzo; € 1400 il 23 aprile; € 2600 il 10 dicembreA quanto ammonta, a fine anno, il saldo sul suo conto considerando che la banca ha fornito un saggio del 1,2 % per i versamenti e uno al 3,5% per i prelievi?

Uso dell’anno commercialeUn capitale di € 700, depositato il 13 gennaio 2007 a un certo saggio, ha fornito il 15 ottobre 2007 un certo interesse, che, investito lo stesso giorno in un’altra banca al 9% ha prodotto fino al 15 aprile 2008 un montante di €26,166.Calcolare il saggio del primo investimento.

Un capitale di € 6500 è stato depositato in banca per 8 mesi, dopo di che il montante ottenuto è stato depositato al saggio del 9 % per 10 mesi. Se il capitale finale che si ottiene è pari a € 7546,5, a quale saggio è stato depositato il primo capitale?Anno commerciale

Alla data odierna, 25 ottobre, si dispone delle seguenti somme:Interesse di un investimento di € 5000 fatto il 6 marzo al saggio del 5%Montante di un investimento fatto il 14 gennaio dell’importo di € 1300 al saggio del 6%Debito di € 950 presso un amico che scade 10 ottobre al saggio del 7%Montante di un investimento di € 6000 fatto il 3 maggio al saggio del 6%Le somme vengono ritirate e investite fino al 21 dicembre al 6 %. Di quale capitale si dispone a quella data?

Il 15 di giugno il signor Paolo per acquistare un’automobile del valore di € 22.000 dispone delle seguenti cambiali di un suo cliente da scontarsi in banca al saggio del 9%:€ 7000 con scadenza 20 settembre€ 9000 con scadenza 11 ottobreInoltre paga subito € 3000Concorda di pagare la somma mancante al saggio del 5% alla fine dell’anno.Quanto dovrà pagare?

Alla data odierna, 3 ottobre, si dispone delle seguenti somme:Cambiali da scontare in bancaImporto scadenza saggio€ 1000 11 novembre. 7,5%€ 300 15 dicembre 8,5%Montante di un investimento fatto il 20 gennaio dell’importo di € 1000 al saggio del 6%Interesse di un investimento di € 4000 fatto il 5 marzo al saggio del 6%Le somme vengono ritirate e investite fino alla fine dell’anno al 7%. Di quale capitale si dispone alla fine dell’anno?

Somme economiche annuali

Quando i versamenti o i prelievi avvengono a scadenze regolari durante l’anno, mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali o semestrali, utilizzando la matematica si possono trovare formule che semplifichino le somme a fine anno.

Quando i versamenti sono costanti si possono sommare secondo una semplice formula:

∑ ∑ valori a fine anno = versamento (n° versamenti + r x )

12

Il numero delle rate è rispettivamente:

1 Quando sono mensili

2 Quando sono bimestrali

3 Quando sono trimestrali

4 Quando sono quadrimestrali

5 Quando sono semestrali

Questi grafici servono per il calcolo della somma dei mesi

I versamenti possono essere effettuati all’inizio o alla fine di ogni periodo e rispetto a ciò cambia il periodo di posticipazione ovvero la somma dei mesi.

Anticipati

Mensili 78

Bimestrali 42

Trimestrali 30

Quadrimestrali 24

Semestrali 18

Posticipati

Mensili 66

Bimestrali 30

Trimestrali 18

Quadrimestrali 12

Semestrali 6

Questo tipo di calcolo si utilizza sempre quando si debbano valutare somme annuali di redditi, debiti o versamenti vari.

Sarà necessario per valutare il reddito netto o lordo di immobili affittati e per impostare la stima analitica.

Il Reddito lordo derivante da un appartamento affittato è dato dalla somma a fine anno delle rate, mensili o altro, depositate su un conto corrente a un saggio bancario di mercato.

Il canone annuo contrattuale viene diviso per il numero di rate e si imposta la formula della somma.

Ad esempio nel caso più comune di una rateazione mensile anticipata:Canone annuo 78

(12 + 0,01 x )12 12

Sul conto del sig. Rossi vengono versati i seguenti importi:€ 4000 il 13 gennaio€ 3700 il 25 marzo€ 3900 il 20 luglio€ 5500 il 26 ottobrevengono prelevati i seguenti importi:€ 700 a il 23 marzo€ 1400 il 23 aprile€ 2600 il 10 dicembreA quanto ammonta, a fine anno, il saldo sul suo conto considerando che la banca ha fornito un saggio del 2% per i versamenti e uno al 3,5% per i prelievi?A quanto ammonta la rata mensile posticipata che potrebbe sostituire versamenti e prelievi fornendo lo stesso saldo finale al saggio del 3%?

CALCOLO DEL REDDITO NETTO DI IMMOBILI locati o affittatiIl Reddito Netto rappresenta il compenso netto per il proprietario di un immobile a fine anno ed è dato dalla differenza tra il reddito lordo costituito dalle rate di affitto più gli interessi meno tutte le spese necessarie alla conservazione del capitale.

RN = Rpl - Spese

Reddito padronale lordo: si calcola portando le rate a fine anno al saggio di interesse commerciale.

Le rate possono essere:

mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali, semestrali anticipate o posticipate

somma mesiil calcolo si ottiene con la formula: Rpl = rata (n° rate + r )

12

la rata si ottiene dividendo il canone annuo per il tipo di rateazione.

Esempi e origine della formula. n°1

Formula semplificata: Rpl = rata (n° rate + r ) ( + anticipate, - posticipate) 2

SPESE:

Le spese che gravano sulla proprietà e le percentuali rispetto al Canone Annuo sono relative a:

tipo di spesa % sul canone annuo

Q (reint. Ass. man.str.) 6 - 8%Tributi 23 - 26%Amm e Svz. 4%Sf e In 2%Interessi calcolati mediamente anticipati

sulle spese precedenti

TOTALE 35 - 40%

La formula del Reddito Netto rispetto al canone annuo può esprimersi anche come:

RN = canone/n° rate x (n° rate + r x mesi/12) - canone x 0,35 (1 + r x 6/12)

INTERESSE COMPOSTO

Discontinuo annuo: gli interessi maturano una volta all’anno e per periodi di tempo esatti di un anno o multipli di anno

Cn = C0 (1 + r)n formula di posticipazione

C0 = Cn / (1+ r)n formula di anticipazione

Nella realtà per calcolare i depositi si incontrano periodi di tempo variabile e quindi quando ci sono tempi misti di anni e frazioni di anno si utilizza in contemporana sia l’interesse semplice sia l’interesse composto.

Convertibile: gli interessi maturano più volte all’anno convertendosi in capitale fruttifero.

Si deve tenere conto del numero di convertibilità che può variare da: 12 (mensile), 4 (trimestrale), 3 (quadrimestrale), 2 (semestrale)

Le formule dell’interesse composto vengono modificate dividendo il saggio e moltiplicando n per il numero di convertibilità.

Cn = C0 (1+r/c)nxc

Oltre all’interesse sui conti bancari la sua principale applicazione è nei mutui bancari.

I periodi fruttiferi sono precisi e determinati dal contratto, se il periodo preso in considerazione è maggiore o minore di una somma esatta di periodi si utilizza l’interesse semplice assieme all’interesse convertibile.

Esercizio:

Nel periodo tra il 2003 e oggi su un conto corrente vengono depositati a un saggio convertibile semestrale del 3,5% i seguenti importi:

15.000 € il giorno 6 marzo 2003; 12.000 il 10 ottobre 2004; 8000 il 6 giugno 2005. A quanto ammonta alla data odierna il deposito?

ANNUALITA’

Sono valori periodici che si ripetono a distanza di un anno. Possono essere:

posticipate o anticipate

limitate o illimitate

Formula principale: accumulazione finale di n annualità posticipate limitate

(1+ r)n -1An = a x

r

Formula di capitalizzazione: accumulazione iniziale di annualità illimitate posticipate a

A0 = r

Altre formule delle annualità

Le richieste principali che possono interessare le annualità sono:

la accumulazione finale An

la accumulazione iniziale A0

la accumulazione intermedia Am

graficamente si rappresentano:A0 Am An

0 1 2 m n

Rispetto alla scadenza possono essere:

posticipate: il loro valore si realizza alla fine dell’anno

anticipate: il loro valore si realizza all’inizio dell’anno

mediamente anticipate: il loro valore si realizza a metà anno

Variamente intermedie: il loro valore si realizza in un momento qualsiasi dell’anno

Ognuna di queste può a sua volta essere:

limitata nel tempo per un certo numero di anni

illimitata nel tempo (durata superiore agli 80 - 100 anni)

ESEMPI

posticipate limitate

A0 1 An

anticipate limitate

A0 1 n-1 An

posticipate illimitate

A0 1

anticipate illimitate

A0 1

PRINCIPALI APPLICAZIONI DELLE ANNUALITA’

Accumulazione finale, iniziale, intermedia di valori costanti.

Valore di beni che forniscono rendite illimitate (case, terreni).

Valutazione dei miglioramenti immobiliari (trattati in apposito capitolo)

Rate dei mutui, debito residuo, piano di ammortamento.

Accumulazioni: grafici e riferimenti

Valore attuale di beni per capitalizzazione del Reddito Netto

V0 = RN/ r cap. Se si considera il Reddito Netto costante e continuativo

(1+ r)n -1V0 = RNt x + RNp/ r cap. * 1/(1+r)n Quando ci siano dei redditi transitori

r

Calcolo della quota di ammortamento di un mutuo e relativo debito residuo

Il mutuo fondiario (bancario) è un prestito che viene concesso dietro garanzia su immobile e sul quale viene accesa un’ipoteca a favore dell’ente erogante. (stima cauzionale)

Gli elementi del mutuo sono:

Importo mutuato;

saggio di interesse;

anni di durata;

rateazione.

La rateazione può essere: annuale; semestrale; quadrimestrale; trimestrale; bimestrale; mensile.

Per necessità di sintesi si vedranno gli esempi di rateazione annuale e mensile.

r (1+r)n

Quota di ammortamento annua = Importo x (1+r)n-1

Debito residuo: rappresenta l’importo che si deve pagare qualora si voglia estinguere anticipatamente il mutuo.

(1+r)n-1

D.R. = quota di ammortamento x r (1+r)n

r/c (1+ r/c)nc

Quota di ammortamento mensile: Importo x n= anni di mutuo (1+ r/c)nc-1

(1+ r/c)nc-1Debito residuo con rata mensile: rata mensile xn= anni restanti r/c (1+ r/c)nc

Sul conto del sig. Rossi negli anni tra il 2001 e il 2007 compresi sono stati registrati i seguenti movimenti:saldo attivo alla fine di gennaio del 2001 (anno commerciale) € 190.500versamento di una annualità mediamente anticipata di € 1700 dal 2002 al 2004 compresiversamento di una annualità posticipata di € 3400 dal 2005 al 2007 compresiprelievo di una annualità pari a € 1200 annui per gli anni dal 2002 al 2007 compresila banca ha fornito un saggio pari al 1,5% fino al 2005 compreso, poi ha aumentato il saggio al 2% Il signor Rossi vuole comperare un appartamento che al momento attuale, inizio del 2008 è locato a un canone di € 6000 annui con spese di parte padronale pari al 35% mediamente anticipate; il contratto scadrà alla fine del 2010; dopo l’appartamento potrà essere locato al canone annuo di € 9500 con spese pari al 40% del canone annuo mediamente anticipate.Il signor Rossi chiede al geometra di valutare l’appartamento con riferimento all’inizio del 2008 e di calcolare la differenza con il denaro che ha in banca allo stesso momento per poter chiedere un mutuo per l’acquisto dell’immobile.Il saggio di capitalizzazione sia pari allo 0,009; il mutuo venga chiesto per 15 anni a estinzione mensile al saggio del 5,8%.Calcolare la quota di ammortamento e il debito residuo a fine giugno del 2013.Svolgimento:Calcolare l’ammontare dei depositi alla fine del 2007Calcolare il valore dell’appartamento all’inizio del 2008Trovare l’ammontare da chiedere con il mutuoCalcolare la quota mensile di ammortamentoCalcolare il debito residuo

Calcolo del Valore del diritto di usufrutto da detrarre al valore dell’immobile.

Si tratta di un caso pratico abbastanza comune. Un immobile è gravato da usufrutto a favore di una persona diversa dal proprietario che intende vendere l’immobile. Al valore dell’immobile stimato si dovrà detrarre la capitalizzazione dei redditi percepibili dall’usufruttuario per la durata probabile della sua vita.

Procedimento:

Calcolo del Reddito dell’usufruttuario “Ru” che corrisponde al reddito netto ritraibile dalla locazione meno le spese relative a quote di manutenzione straordinaria, assicurazione, reintegrazione, che gravano sul nudo proprietario.

Calcolo di “n” dalle tavole ISTAT di mortalità della vita probabile dell’usufruttuario

Il saggio da usare è il saggio commerciale relativo a investimenti di breve/medio periodo

Valore del diritto di Usufrutto: Ru x qn - 1

r x qn

Per riferire l’ammontare di un asse ereditario al giorno 20 maggio 2008 (momento di apertura della successione) il Geometra deve eseguire i seguenti calcoli:

Restituzione del prelievo di € 2750 fatto dall’erede A sul conto del defunto in data 6 febbraio 2008 al saggio del 2,5%

Calcolo del valore di un deposito vincolato al saggio del 3,5% semestrale dell’ammontare di € 7900 effettuato in data 8 marzo 2001

Calcolo del valore scontato di un prestito del valore di € 6000 sottofirmato da cambiale scadente il 20 novembre 2008 al saggio del 5,5%.

Calcolo del reddito lordo a fine anno di un posto macchina affittato a rate mensili anticipate di € 70 per la durata di tutto l’anno. Il valore dovrà essere riferito al momento di stima. r=0,025

Calcolo del debito residuo del mutuo acceso all’inizio del 1995 di durata ventennale per un ammontare di € 78.000 al saggio del 3,75% con scadenza mensile.

Calcolo del valore del diritto di usufrutto a favore della moglie del defunto che al momento della stima ha 65 anni. Il reddito netto dell’usufruttuaria è stimato in € 8000 annui e il saggio commerciale è del 2,5%. Dalle tavole di mortalità si ricava che la vita probabile è pari a 19 anni.