Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e Moderna)

8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e Moderna)

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Compendio di

I volumi di base

43/4

EDIZIONI

EIMONS

MatematicaFinanziaria

G r u p p o E d i t o r i a l e E s s e l i b r i - S i m o n e

Carla Iodice

IV Edizione

(classica e moderna)

i COMPENDIpiù venduti

in Italia

Rappresentazioni grafiche esplicative

Dimostrazioni delle espressioni analitiche

Esempi su fogli di lavoro in Excel


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TUTTI I DIRITTI RISERVATI

Vietata la riproduzione anche parziale

Di particolare interesse per i lettori di questo volume segnaliamo:

43/1 - Compendio di Statistica

43/2 - Esercizi svolti per la prova di Statistica

43/3 - Prepararsi per l’esame di Statistica

43/6 - Compendio di Statistica Economica

43/10 - Compendio di Econometria

44/6 - Compendio di Matematica per l’Economia

201 - Nozioni elementari di Statistica

201/1 - Elementi di Matematica per l’Economia

Microsoft Excel è un marchio registrato dalla Microsoft Corporation

La casa editrice desidera ringraziare il dott. Stefano Lanna per la preziosa consulenza sugli strumenti

finanziari derivatiI fogli Excel riportati nel volume possono essere scaricati al seguente indirizzo internethttp://www.simone.it/catalogo/v43_4.htm

Finito di stampare nel mese di gennaio 2011

dalla Litografia Enzo Celebrano - Via Campana, 234 - Pozzuoli (NA)per conto della Esselibri S.p.A. - Via F. Russo 33/D - 80123 - Napoli

Grafica di copertina a cura di Giuseppe Ragno


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PREMESSA

Il testo offre una trattazione sistematica dei principali argomenti che normalmente costitui-scono i contenuti di un corso universitario di Matematica finanziaria.

Il volume si divide, sostanzialmente, in due parti:

— la prima fornisce i fondamenti della matematica finanziaria classica, volta allo studio e allavalutazione delle operazioni finanziarie effettuate in condizioni di certezza;

— la seconda fornisce gli strumenti fondamentali per la comprensione della realtà dei mercatifinanziari e dei modelli per la valutazione di scelte operate in condizioni di incertezza elabo-rati dalla matematica finanziaria moderna.

Un ultimo capitolo è dedicato alla teoria della probabilità e delle variabili casuali, volta adare un significato numerico al concetto di incertezza. A tale capitolo si deve ricorrere ognivolta che nel testo è stato fatto un richiamo ai concetti e alle definizioni proprie della disciplina.

Si è ritenuto utile corredare ciascun capitolo di esempi svolti in Excel, in quanto diversiproblemi di interesse finanziario possono essere risolti tramite l’uso di fogli elettronici, nonsolo grazie alle numerose funzioni finanziarie predefinite, ma anche avvalendosi direttamentedelle espressioni analitiche risolutive di tali problemi.


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ALFABETO GRECO

Α α alfaΒ β beta

Γ γ gamma∆ δ deltaΕ ε epsilonΖ ζ zetaΗ η etaΘ θ ϑ theta

INDICE DEI SIMBOLI

> maggiore< minore≥ maggiore o uguale≤ minore o uguale≠ diverso da∞ infinito→ tende a∀ per ogni

∼ distribuito come≅ circa uguale a± più o meno

ABBREVIAZIONI

Ι ι iotaΚ κ kappa

Λ λ lambdaΜ µ miΝ ν niΞ ξ xiΟ ο òmicronΠ π pi

Ρ ρ rhoΣ σ sigma

Τ τ tau Υ υ ypsilonΦ ϕ φ phi

Χ χ chiΨ ψ psiΩ ω òmega

log(.) logaritmo in base 10ln(.) logaritmo neperianoe numero di Nepero

exp -1( )

1

e

lim limite∂ derivata parziale

∫ integrale∑ sommatoria∏ produttoria

an i

valore attuale di una rendita nel

regime finanziario dell’interesse

compostos

n imontante di una rendita nel regi-

me finanziario dell’interesse com-

posto

Cov(.,.) covarianza D(.) devianza E (.) valore medio

v.c. variabile casualeVar (.) varianza

TAN tasso annuo nominaleTAEG tasso annuo effettivo globale

TIR tasso interno di rendimento

TRES tasso di rendimento effettivo a sca-

denza

TRI tasso di rendimento immediato


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CAPITOLO PRIMO

LEGGI E REGIMI FINANZIARI

SOMMARIO: 1. Introduzione alle operazioni finanziarie. - 2. Regime finanziario dell’interesse semplice edello sconto razionale. - 3. Regime finanziario dell’interesse e dello sconto composto. - 4. Tassi equivalenti.- 5. Tassi nominali e tassi istantanei. - 6. Convenzione lineare e convenzione esponenziale. - 7. Regimefinanziario degli interessi anticipati e dello sconto commerciale. - 8. Confronto tra i regimi finanziari. - 9. Forzad’interesse. - 10. Scindibilità delle leggi finanziarie. - 11. Principio dell’equivalenza finanziaria. - 12. Scadenzamedia e tasso medio. - Questionario.

1. INTRODUZIONE ALLE OPERAZIONI FINANZIARIE

La risoluzione di diversi problemi di natura economico-finanziaria richiede l’utilizzo distrumenti di analisi mediante i quali sia possibile mettere a confronto, in uno stesso momento,parametri economici non omogenei dal punto di vista temporale.

La matematica finanziaria è quella branca della matematica che si occupa di tali problemi,fornendo gli elementi teorici necessari per la loro formalizzazione e relativa risoluzione.

L’evoluzione dell’economia ha decisamente ampliato il suo campo d’azione che, allo stato

attuale, non solo comprende la soluzione di problemi relativi alla valutazione di operazionieconomiche strettamente legate al credito, come nella sua accezione tradizionale, ma rappresen-ta un valido supporto per la risoluzione di problemi di natura decisionale laddove bisognaeffettuare una valutazione economica tra più alternative possibili.

In questo testo si rispetterà l’accezione corrente della matematica finanziaria che la vede articolatain matematica finanziaria classica, i cui elementi fondamentali sono le leggi e i regimi finanziari,le rendite, i piani di ammortamento e la valutazione di numerose altre operazioni finanziarie certe, ein matematica finanziaria moderna che fornisce gli strumenti per la comprensione della realtà deimercati finanziari e dei modelli elaborati per la valutazione di scelte operate in condizioni di incertezza.

La disciplina ha per oggetto di studio le operazioni finanziarie, ossia operazioni cheimpiegano capitali monetari, cioè operazioni di scambio di moneta contro moneta in tempidiversi. Essa stabilisce i criteri in base ai quali valutare i capitali utilizzati nelle operazionifinanziarie e le funzioni che consentono la determinazione del capitale in qualunque momento.Il suo scopo principale è trasferire valori monetari nel tempo consentendo la loro compara-bilità, prescindendo da qualsiasi considerazione circa il potere di acquisto di tali valori che varianel tempo a causa di situazioni d’inflazione o di deflazione.

In base a tale obiettivo, le operazioni finanziarie si distinguono in operazioni di:

— capitalizzazione se i valori monetari sono trasferiti avanti nel tempo;

— attualizzazione se i valori monetari sono trasferiti indietro nel tempo.Un’operazione finanziaria si estrinseca in una sequenza temporale, finita o infinita, di somme

di denaro in entrata e in uscita, cioè di segni non tutti concordi, disponibili in epoche diverse.


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Capitolo Primo6

Gli elementi fondamentali di un’operazione finanziaria sono: importi e scadenze.

Sulla base di questi due elementi si effettua una prima distinzione tra:

— operazioni finanziarie certe che sono quelle i cui importi si rendono disponibili a determi-

nate scadenze con certezza;— operazioni finanziarie aleatorie che sono quelle i cui importi si rendono disponibili solo sesi verificano eventi aleatori.

Gli importi e le scadenze di un’operazione finanziaria possono essere rappresentati attraversovettori del tipo x | t, dove x = { x 0, x 1, x 2, …, x n} sono i flussi di cassa (di diverso segno, anchenulli) relativi agli n tempi sintetizzati dal vettore t = {0, 1, 2, …, n}. Poiché tale notazioneappesantisce la trattazione, in questo testo preferiamo evitarla.

Si consideri un’operazione finanziaria semplice consistente nello scambio, tra due individui,

A e B, di due capitali, rispettivamente C e M (con M > C ), in due successivi istanti di tempo, x e y, con 0


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Leggi e regimi finanziari 7

Se nell’operazione finanziaria, invece, l’elemento fondamentale è il capitale M dovuto allascadenza, allora C si dice valore attuale al tempo x del capitale M dovuto al tempo y. Si dicesconto sul capitale M per l’anticipo dal tempo y al tempo x , la quantità:

D = M – C (1.3)

da cui:C = M – D (1.4)

Dalle relazioni (1.1) e (1.3) si evince che I = D.

Per generalizzare i calcoli si assume C = 1, e si usano le seguenti notazioni:

— i è il tasso effettivo d’interesse prodotto da un capitale unitario, relativo al periodoconsiderato:

i

I

C = (1.5)

— r è il montante di un capitale unitario, al termine del periodo considerato:

r M

C = (1.6)

che, date le relazioni (1.2) e (1.5), è uguale a:

r M

C

C I

C

C Ci

C

i= = +

= +

= +1 (1.7)

ed è detto fattore di montante o fattore di capitalizzazione;

— d è il tasso effettivo di sconto relativo al periodo considerato, ossia lo sconto su ogni unitàdi capitale dovuta alla scadenza:

d D

M = (1.8)

— v è il valore attuale, all’inizio del periodo per ogni unità di capitale dovuta al termine delperiodo:

vC

M = (1.9)

che, date le relazioni (1.4) e (1.8), è uguale a:

vC

M

M D

M

M Md

M d = =

−=

−= −1 (1.10)

ed è detto fattore di sconto o fattore di anticipazione o fattore di attualizzazione.


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Capitolo Primo8

Dalle relazioni (1.6) e (1.9), poiché le grandezze date fanno riferimento alla medesimaoperazione finanziaria, si ha che:

r i

v d

= + = =

−

11 1

1

(1.11)

e, risolvendo rispetto a i, v e d :

i r v

v

d

d = − =

−=

−1

1

1(1.12)

vr i

d = =+

= −1 1

11 (1.13)

d

r

r

i

i v= −

= + = −1

1 1 (1.14)

Le relazioni tra i, r , d e v sono indicate nel prospetto seguente, la cui lettura è immediata (tuttele grandezze i, r , d ev indicate nella prima colonna sono espresse in funzione delle corrispondentigrandezze indicate nella prima riga):

i r d v

i — r – 1d

d 1−

1− v

v

r 1 + i — 1

1− d 1

v

d i

i1+r

r

−1 — 1 – v

v1

1+ i

1

r 1 – d —

Se si esprime r in funzione delle due variabili x e y che rappresentano, rispettivamente, la datainiziale e la data finale del periodo di investimento [ x , y], si ha che r ( x , y) è la funzione o leggedi capitalizzazione a due variabili ed esprime il montante alla data y del capitale unitarioinvestito alla data x .

Dalle (1.12), (1.13) e (1.14) si ottengono le corrispondenti leggi finanziarie:

— i( x , y) è la legge dell’interesse;

— v( x , y) è la legge del valore attuale;— d ( x , y) è la legge dello sconto.

che sono dette leggi finanziarie a due variabili.


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Se si tiene fisso x e, in corrispondenza, si fa variare y, si può porre t = y – x , che rappresentala durata dell’investimento, e si ottiene una legge finanziaria a una variabile; ad esempio:

r ( x , y) = r (t )

Nella pratica, i fattori di montante e di sconto sono specificati da espressioni matematiche cheli denotano come funzioni del tempo e di un altro parametro che generalmente è rappresentatodal tasso di interesse o di sconto.

Guardandole come funzioni del solo tempo (fissando, quindi, il valore del parametro tasso)le caratteristiche di tali funzioni sono espresse di seguito.

CARATTERISTICHE DEL FATTORE DI MONTANTE

1. r (t ) = 1 per t = 0;2. r (t ) ≥ 1 per t ≥ 0;

3. r t r t 2 1( ) ≥ ( ) per t 2 ≥ t 1, secondo cui la funzione è crescente per il cosiddetto postulato delrendimento del denaro.

CARATTERISTICHE DEL FATTORE DI SCONTO

1. v(t ) = 1 per t = 0;2. 0 ≤ v(t ) ≤ 1 per t ≥ 0;

3. v t v t 2 1( ) ≤ ( ) per t 2 ≤ t 1, ossia la funzione è decrescente.

Una volta specificata la funzione matematica del fattore di montante o del fattore di scontoespressi in funzione del tempo e del tasso di interesse si dice che si è dato un regime finanziario.

Se si fissa il valore del tasso, le funzioni che esprimono il fattore di montante o il fattore disconto, espresse unicamente in funzione del tempo, si dicono leggi finanziarie del regimeconsiderato.

Due regimi r (t , i) e v(t , i), rispettivamente di capitalizzazione e di attualizzazione, si diconoconiugati se:

r (t , i) ⋅ v(t , i) = 1

Il prospetto seguente indica i regimi finanziari di capitalizzazione e i corrispondenti regimidi attualizzazione a essi coniugati che andremo a illustrare:

Interesse semplice → Sconto razionale

Regimi coniugati Interesse composto → Sconto composto

Interesse anticipato → Sconto commerciale{


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Capitolo Primo10

2. REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE SEMPLICE E DELLO SCONTORAZIONALE

2.1 Interesse semplice

Nel regime finanziario dell’interesse semplice l’interesse si calcola sul capitale, proporzio-nalmente al tempo. Assumendo come unità di misura del tempo l’anno, sia i il tasso effettivoannuo d’interesse, ossia l’interesse prodotto da un capitale unitario in un anno, allora, l’interesseprodotto dopo il tempo t per ogni unità di capitale impiegato è:

i(t ) = it (2.1)

Dalle (1.11), (1.13) e (1.14) si ottengono le seguenti leggi:

r (t ) = 1 + it (2.2)

v t it

( ) =+1

1(2.3)

d t it

it ( ) =

+1(2.4)

Sia C il capitale impiegato, dalla (2.1) si ha che l’interesse prodotto da C nel tempo t è:

I (t ) = Cit (2.5)

da cui le formule inverse:

C t I

it i t

I

Ct t

I

Ci( ) = ( ) = =; ;

Analogamente, dalla (2.2), si ha che il montante M prodotto dal capitale C è:

M (t ) = C (t )r (t ) = C (t )(1 + it ) (2.6)


C t M it

i t M C Ct

t M C Ci

( ) = + ( ) = − = −1

Interessante è il calcolo del tempo occorrente perché un dato capitale C , impiegato in regimedi capitalizzazione semplice, diventi M = mC , con m numero reale positivo, diverso da 1.

La terza delle formule inverse appena viste, sostituendo a M il valore mC , diviene:

t mC C

Ci

m C

Ci

m

i=

−=

−( )=

−1 1


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da cui, se si vuole ottenere un montante M pari a 2 volte il capitale iniziale C , ossia M = 2C , siha:

t

i i

= −

=2 1 1

Praticamente, il tempo occorrente a un capitaleperraddoppiarsi è pari al reciproco del tassod’interesse.

APPLICAZIONI

Operazioni finanziarie con scadenza non superiore all’anno.

Se si esprime il tempo in giorni (g), anziché in anni, si ha che t g

=

360

, dove 360 è l’anno

commerciale.

ESEMPIO 1

Un capitale di 900,43 € è impiegato in regime semplice al tasso annuo effettivo d’interesse del 6%. Calcolare gli interessi e il montante prodotti dopo 1 anno e 3 mesi in regime di interesse semplice.

Dalla (2.5) si ha che l’interesse prodotto da 900,43 € al tasso i = 0,06 e per un tempo t =15

12ammonta a:

I = ⋅ ⋅ =900 43 0 061512

67 53, , ,

Il montante è uguale a:

M = 900,43 + 67,53 = 967,96

ESEMPIO 2

Si impiegano per 7 mesi a interesse semplice i 2/3 di un capitale al tasso annuo i = 0,06 e il rimanente 1/3 al tasso annuo i ' = 0,07, ottenendo dal primo impiego 850,19 € in più rispetto al secondo. Qual è il capitale complessivamente impiegato?

Sia C il capitale impiegato, l’interesse prodotto dal primo impiego di C è:

I C C 123

0 067

120 8436

= ⋅ ⋅ =,,


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Capitolo Primo12

L’interesse prodotto dal secondo impiego è:

I C C 213

0 077

120 4936

= ⋅ ⋅ =,,

Segue che, essendo I I 1 2 850 19= + , , si ha:

I C C 10 8436

0 4936

850 19= = +, ,

,

Risolvendo rispetto a C :

C = ⋅−( )

=850 1936

0 84 0 4987 448 11,

, ,. ,

2.2 Sconto razionale

Nel regime finanziario considerato, il fattore di sconto è espresso dalla (2.3). La formula deltasso di sconto per un’operazione di durata t è la (2.4); volendolo esprimere in funzione del tassoeffettivo di sconto annuo d , tenendo presente la (1.12), esso diviene:

d t it

it

d

d t

d

d

t

( ) =+

= −

+

−

11

1

1da cui:

d t dt

d t ( ) =

+ −( )1 1 (2.7)

che, riferito a un capitale dovuto M , è:

D t Mdt

d t

( ) =+ −( )1 1


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RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

1. Funzione: r t it ( ) = +1Supposta definita la funzione per un tempo t continuo, la sua rappresentazione grafica è la

seguente:

t O

r (t )

r (t ) = 1 + it

1

-1i

Fig. 1

La funzione è rappresentata da una retta di coefficiente angolare pari a i e che interseca l’asse

delle ascisse nel punto – ,1

0i

e l’asse delle ordinate nel punto (0,1) e per questo è detta legge

lineare. Finanziariamente è valida solo per t ≥ 0.Essendo il coefficiente angolare di tale retta positivo e pari a i, la funzione è crescente (ilmontante è infatti funzione crescente del tempo e del tasso di interesse).

2. Funzione: i(t ) = it

t O 1

i(t )

i

i(t ) = it

Fig. 2

È una retta passante per l’origine degli assi con coefficiente angolare positivo pari a i, per cuila funzione è crescente.

Per t = 0 è i(t ) = 0, quindi il grafico della funzione passa per l’origine degli assi.Ovviamente, anche tale funzione è finanziariamente valida solo per t ≥ 0.


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Capitolo Primo14

3. Funzione: v t it

( ) =+1

1

Supposta definita la funzione per un tempo t continuo, la sua rappresentazione grafica è la

seguente:

t O

v(t )

-1i

v(t ) =1 + it

1

Fig. 3

La v(t ) rappresenta un’iperbole che ha per asintoti la retta t i

= –1

e l’asse delle ascisse,

ovviamente la funzione è finanziariamente valida solo per t ≥ 0.

Per t = 0 la funzione assume valore 1, mentre per v(t ) = 0 si ha: t i= –1

.

Inoltre, se calcoliamo la derivata prima della funzione v(t ):

v t i

i t '( ) =

−+ ⋅( )1 2

si ha che v'(t )


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Supponendo che la durata complessiva di impiego del capitale sia divisa in 1, 2, 3, … periodi di ugualedurata, a un tasso periodale i, il montante prodotto da un capitale unitario è:

— alla fine del primo periodo: 1 + i;— alla fine del secondo periodo: (1 + i) + (1 + i)i = (1 + i)(1 + i) = (1 + i)2

— alla fine del terzo periodo: (1 + i)2 + (1 + i)2i = (1 + i)2 (1 + i) = (1 + i)3— …

Pertanto, con formula sintetica, si può scrivere che il montante composto di un capitaleunitario alla fine del t -esimo periodo è:

r (t ) = (1+ i)t (3.1)

Dalle (1.12), (1.13) e (1.14) si ottengono le seguenti leggi:

i(t ) = (1+ i)t – 1 (3.2)

v t i

i vt

t t ( ) =+( )

= +( ) =−11

1 (3.3)

d t i

v d t

t t ( ) = −+( )

= − = − −( )11

11 1 1 (3.4)

Sia C il capitale impiegato, dalla (3.2) si ha che l’interesse prodotto da C nel tempo t è:

I (t ) = Ci(t ) = C [(1+ i)t – 1] (3.5)

Analogamente, dalla (3.1), si ha che il montante M prodotto dal capitale C è: M (t ) = C (1 + i)t (3.6)


C t M

ii t

M

C t

M C t

t

( ) =+( )

( ) =

− = −

11

1

; ;log log

loog 1+( )i

Dalla terza delle formule inverse appena viste (in cui log( ) sta a indicare il logaritmodecimale, anche se è possibile usare logaritmi di qualunque base) si può ottenere il tempooccorrente perché un dato capitale C , impiegato in regime di capitalizzazione composta, diventim · C , con m numero reale positivo, diverso da 1; infatti, se si vuole un montante M pari a 2 volteil capitale iniziale C , ossia M = 2C , si ha:

t M C

i

C C

i=

−+( )

= −

+( ) =

log log log

log

log

log

log

1

2

1

2C C C

i ilog

log

log1

2

1+( ) =

+( )

In generale, per un montante M = mC , si ha:

t M C

i

mC C

i

m= −

+( ) = −

+( ) =log log log log log

log log1 1 llog 1+( )i


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Capitolo Primo16

APPLICAZIONI

Operazioni finanziarie con scadenza superiore all’anno.

ESEMPIO 1Calcolare il montante del capitale di 130,48€ investito in regime di capitalizzazione composta

al tasso del 4,75% per 9 anni.

Applicando la (3.6) si ottiene il montante:

M = 130,48 (1 + 0,0475)9 = 198,12

Il valore (1 + 0,0475)9 è tabulato sui prontuari finanziari.

ESEMPIO 2

Un capitale di 170 € impiegato per un tempo di 15 anni produce interessi per 137 €, qual è il tasso d’interesse applicato?

Il montante alla fine del periodo è pari alla somma iniziale C più gli interessi prodotti I :

M = 170 + 137 = 307

Dalla seconda delle formule inverse della (3.6) si ottiene il tasso d’interesse applicato:

i =

− =307

170

1 0 04019

115

,

Pertanto, il tasso d’interesse applicato è 4,02% circa.

ESEMPIO 3

Calcolare il valore attuale di un capitale di 104,93€ disponibile tra 4 anni, in regime composto al tasso annuo effettivo d’interesse del 3%.

Il valore attuale si ottiene applicando la prima delle formule inverse della (3.6):

C = +( ) =104 93

1 0 03 93 234

,

, ,

ESEMPIO 4

Calcolare in quanto tempo un capitale di 541,7€ dà come montante 2.708,5 se è stato impiegato in regime composto al tasso del 6,5% annuo.

Noti M , C e i , dalla terza delle formule inverse della (3.6), mediante i logaritmi si trova il valore di t :

t =+( )

= =log

loglog

log

2 708 5

54171 0 065

51065

. ,

,, ,

225 557,

ossia t = 25 anni 6 mesi e 20 giorni.


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3.2 Sconto scomposto

Nel regime finanziario considerato il fattore di attualizzazione è:

v t

i

it

t ( ) =+( )

= +( )−1

11

La formula dello scompo composto su un capitale unitario dovuto dopo t periodi, noto il tassoeffettivo di sconto d relativo al periodo considerato, è espressa dalla (3.4).

Se il capitale dovuto alla scadenza è M , la formula appena citata diviene:

D t M d t ( ) = − −( )[ ]1 1


1. Funzione: r t it ( ) = +( )1

r (t )

t O

r (t ) = (1 + i)t

1

Fig. 4

È una curva crescente e tendente a infinito per valori di t tendenti all’infinito; volge inoltrela concavità verso l’alto e ha per asintoto l’asse delle ascisse.Per t = 0 la funzione assume valore pari a uno quindi passa per il punto (0,1).Finanziariamente è valida per t ≥ 0.

Il lim-t

t i→ ∞ +( ) =1 0 , mentre il limt

t i→+∞ +( ) = ∞1 , quindi al crescere di t la funzione tende a infinito.

La derivata prima della funzione è:

r t i it

' ln( ) = +( ) +( )1 1

(dove ln( ) rappresenta il logaritmo neperiano). È sempre maggiore di 0; ne segue che lafunzione è crescente.


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Capitolo Primo18

2. Funzione: i t it ( ) = +( ) −1 1

t O

i(t ) = (1 + i)t – 1

i(t )

Fig. 5

È una curva crescente e tendente ad infinito per t tendente ad infinito; presenta inoltre la

concavità verso l’alto e passa per l’origine degli assi.Per t = 0 la i(t ) = 0 quindi passa per il punto O (0,0).La derivata prima è sempre maggiore di zero.La funzione ha un andamento analogo a quello della r (t ) = (1 + i)t . Infatti si ottiene sottraendoa (1 + i)t l’unità.Essa esprime gli interessi prodotti da un capitale unitario che sono pari al montante meno ilcapitale stesso.

3. Funzione: v t i

t ( ) =

+( )

1

1

t O

v(t )

1

v(t ) = 1(1 + i)t

Fig. 6

È una curva avente come asintoto l’asse delle ascisse, finanziariamente significativa per valoridel tempo t ≥ 0 ed è simmetrica rispetto alla curva rappresentativa della funzione r (t ) = (1 + i)t .Per t = 0 la v(t ) = 1, quindi la funzione passa per il punto (0,1).

Il limt

t i→∞ +( )

=1

10 , quindi la funzione ha per asintoto l’asse delle ascisse.

Il limt

t i

+→−∞ +( )

= ∞11

, quindi per t che tende a – ∞ la funzione tende a infinito.


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La derivata prima v'(t ) è sempre negativa per ogni t appartenente a R; quindi la funzione èdecrescente.

CENNI SULL’INTERPOLAZIONE LINEARE

L’interpolazione lineare è il procedimento mediante il quale, noti i valori y1 e y

2 di una

funzione in corrispondenza di due punti x 1 e x

2, si calcola il valore della funzione in corrispon-

denza di un punto x 0 intermedio, ipotizzando che nell’intervallo considerato la funzione abbia

un andamento lineare. Il risultato che si ottiene è del tutto approssimativo.L’interpolazione è strumento utile per la risoluzione di non pochi esercizi di matematica

finanziaria.Soprattutto in passato, frequente era l'uso delle tavole finanziarie e attuariali per la ricerca di

determinati valori di funzioni in corrispondenza di dati tassi d’interesse i (generalmente da 0%

a 40%) e tempi d’impiego t (da 1 a 100). Chiaramente le tavole non possono contenere gli infinitivalori delle funzioni al variare di i e di t , ma contengono solo i più noti. Se, ad esempio, è notoil valore e sulle tavole finanziarie tale valore non corrisponde ad alcun tasso, allora si procedemediante interpolazione alla ricerca del tasso incognito. Si cerca cioè un valore approssimato deltasso d’interesse calcolando il valore della funzione in corrispondenza del punto in cui è notal’ordinata e considerando la funzione come se avesse un andamento lineare.

Oggi, grazie alle calcolatrici scientifiche disponibili in commercio, è quasi superflual’esposizione dell’esempio seguente.

ESEMPIO

Calcolare il montante, in regime composto, di 100 € dopo 13 anni al tasso annuo effettivo d’interesse del 6,25% mediante interpolazione.

L’interpolazione sarà fatta tra i montanti calcolati con lo stesso capitale al tasso del 6% e altasso del 6,5%.

Facendo uso delle tavole finanziarie si calcola, innanzi tutto, il montante prodotto al tasso del6% in 13 anni da 100 €:

M 1 = 100 (1 + 0,06)13

= 100 ⋅ 2,13292826 = 213,292826e il montante prodotto al tasso del 6,5% in 13 anni da 100 €:

M 2 = 100 (1 + 0,065)13 = 100 ⋅ 2,26748750 = 226,748750


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Capitolo Primo20

Si rappresenta graficamente la funzione (1 + i )t ponendo sull’asse delle ascisse i tassi esull’asse delle ordinate i corrispondenti valori di r (t ):

0,06

M 1 =

2 1 3 , 2

9 2 8 2 6

0,0625 0,065

M =

2 2 6 , 7

4 8 7 5 0 – x

M 2 =

2 2 6 , 7 4 8 7 5 0

A

E

C D

B

r (t )

i

Fig. 7

I due triangoli ABE e ECD sono simili, per cui si può scrivere la proporzione:

AB : CD = EB : ED

ossia:

(0,065 – 0,06) : (0,065 – 0,0625) = (226,748750 – 213,292826) : (226,748750 – (226,748750 – x ))

da cui:

0,005 : 0,0025 = 13,455924 : x

e svolgendo:

x = 6,727962

È ora possibile calcolare il montante ricercato:

M = 226,748750 – 6,727962 = 220,020788

La funzione r (t ) è concava verso l’alto per cui il valore del montante ottenuto tramite l’interpola-zione è approssimato per eccesso; infatti il montante ricercato, facendo uso di una calcolatrice, è:

M = 100 ⋅ (1 + 0,0625)13 = 100 ⋅ 2,19925812 = 219,925812

4. TASSI EQUIVALENTI

Il tasso di interesse i è relativo a un periodo di tempo prescelto come unità di misura (ingenere l’anno). In questo paragrafo otterremo una formula per il calcolo del montanteutilizzando tassi di interesse relativi a periodi diversi da quelli presi come unità di misura;individueremo tassi d'interessiequivalenti, ossia tassi che, in un dato regime di capitalizzazione,sono tali se i corrispondenti fattori di capitalizzazione per un'operazione della stessa durata t risultano uguali.


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REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

Si suddivida un anno in k periodi e si supponga di impiegare un capitale unitario per un anno, a

un tasso ik 1 relativo a

1

k di anno, ilmontante prodotto alla fine dell’anno, in regime di capitalizzazionecomposta, è:

1 1+( )ik

k

Il tasso ik

1 , relativo a1

k di anno, si dice equivalente al tasso annuo i quando, applicato a un

capitale impiegato per k periodi (ossia per un anno), a interesse composto, produce un montanteuguale a quello che si ottiene impiegando lo stesso capitale per un anno al tasso di interesse

composto annuo i, ossia, quando vale la seguente relazione:

1 11+( ) = +i ik

k (4.1)

da cui, elevando ambo i membri a1

k e risolvendo rispetto a i

k

1 , si ha:

i ik

k

1 1 1= + − (4.2)

che è la formula che consente di calcolare ik

1 , noti i e k .

Dalla (4.1), noti ik

1 e k , si ottiene i dalla seguente relazione:

i ik

k = +( ) −1 11 (4.3)Volendo generalizzare la definizione data di tassi equivalenti, si ha che: due tassi di interesse sidicono equivalenti se, riferiti a periodi di capitalizzazione diversi ma applicati allo stesso

capitale, producono in tempi uguali lo stesso montante.

Volendo generalizzare la (4.1) riferendola t periodi:

1 11+( ) = +i ik

kt t ( )

Un tasso triennale i3 è equivalente al tasso annuo i, se:

1 133+( ) = +( )i i

t t

Analogamente, nel regime finanziario dello sconto composto, il tasso effettivo di sconto d k

1

relativo a

1

k di anno, è equivalente al tasso effettivo annuo di sconto d se:1 11−( ) = −d d

k

k

(4.4)


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Capitolo Primo22

da cui:

d d k

k

1 1 11

= − −( ) (4.5)

relazione che consente di ottenere il tasso di sconto relativo a

1

k di anno, noto il tasso di sconto

annuo d .

Viceversa, noto d

k

1 si può ottenere d dalla seguente relazione:

d d k

k = − −( )1 1 1 (4.6)

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

In regime di capitalizzazione semplice la relazione di equivalenza tra montante di un capitaleunitario impiegato per un anno al tasso di interesse semplice annuo i e montante dello stesso

capitale impiegato per k periodi al tasso di interesse ik

1 relativo a1

k di anno è:

1 1 1+ = +i i k k

(4.7)

da cui, la formula per la determinazione del tasso di interesse annuo i, noti ik

1 e k , è:

i i k k

= 1 (4.8)

Analogamente, la formula per la determinazione del tasso di interesse ik

1 , noti i e k è:

i ik

k

1 = (4.9)

ESEMPIO 1

Dato un tasso annuo di interesse i = 0,06, determinare il tasso di interesse quadrimestrale equivalente a i .

Avendo suddiviso l’anno in quadrimestri, ossia in k = 3 periodi, il tasso di interesse quadrime-

strale equivalente a i è:

i 13

3 1,06 1 0,0196= − =


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ESEMPIO 2

Determinare il tasso semestrale equivalente al tasso trimestrale i 1

4

0 0275= , .

Dalla relazione di equivalenza tra due tassi è possibile affermare che, detti k e s i periodi incui si suddivide l’anno, si ha:

1 11 1+( ) = +( )i i k

k

s

s

pertanto, ponendo k = 4 (numero di trimestri in un anno) e s = 2 (numero di semestri in un anno),si ha:

1 0,0275 14

12

2+( ) = +( )i

Mediante i logaritmi decimali:

4log 1 0,0275 2log 1 12

+( ) = +( )i

da cui, dividendo ambo i membri per 2 e ricordando la proprietà dei logaritmi n a a n log log= , si ha:

10 10,023563661 12

= + i

per cui:

i 12

0,05575625=

ESEMPIO 3

Determinare, in regime di capitalizzazione composta, il tasso annuo equivalente al tasso quadrimestrale del 3%. Calcolare, poi, per verifica, il montante prodotto da un capitale di 304,78€ in2 anni con entrambi i tassi.

Essendo 3 i quadrimestri in un anno, dalla relazione (4.3) si ha che:

i = (1 + 0,03)3 – 1 = 0,092727

Calcoliamo il montante prodotto prima al tasso quadrimestrale del 3%:

M 1 = 304,78 ⋅ (1 + 0,03)6 = 363,92

quindi, il montante al tasso annuo del 9,2727%:

M 2 = 304,78 ⋅ (1 + 0,092727)2 = 363,92


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Capitolo Primo24

ESEMPIO 4

Determinare, in regime di capitalizzazione semplice, il tasso d’interesse semestrale equivalente al tasso annuo d’interesse del 7,5%.

In regime di capitalizzazione semplice la formula del tasso d’interesse i k

1 è la (4.9), da cui:

i 14

0,0754

0,01875= =

5. TASSI NOMINALI E TASSI ISTANTANEI

I tassi d’interesse analizzati nel paragrafo precedente sono tassi effettivi; in questo paragrafoandremo ad analizzare tassi nominali d’interesse.

Si supponga che un capitale unitario sia investito in regime di interesse composto al tasso annuoi, e che all’investitore l’interesse sul capitale sia corrisposto k volte l’anno ed esattamente alla finedi ogni k -esimo di anno.

In tale circostanza, a ogni k -esimo di anno, l’interesse non produce a sua volta interessi, ossia

non è capitalizzato, ma è pari a ik

1 . L’investitore, quindi, per la fine dell’anno avrà riscosso k rate

di ammontarei

k 1 ciascuna. La somma aritmetica di tali grandezze, indicata con j(k ), è detta tasso

nominale annuo d’interesse convertibile k volte l’anno ed è numericamente minore di i cheè detto tasso effettivo o reale in quanto rappresenta l’interesse prodotto da un capitale unitarioin un anno.

Il significato finanziario di tale tasso d’interesse è che esso non tiene conto degli interessimaturati nei periodi intermedi. Se, ad esempio, si divide l’anno in tre parti (k = 3) e quindi inquadrimestri, calcolando gli interessi prodotti da un capitale C in un anno con j(k ) si consideranogli interessi prodotti nei primi 4 mesi cui si aggiungono quelli prodotti nei successivi 4 mesi dallostesso capitale, non incrementato degli interessi prodotti sino a tale istante, e così via.

Il tasso nominale j(k ) è espresso dalla seguente relazione:

j k ki k ik

k ( ) = = +( ) − 11

1 1 (5.1)

che consente di determinare j(k ) noto il tasso effettivo annuo d’interesse i.

Reciprocamente, noto il tasso nominale j(k ), il tasso effettivo d’interesse annuo i è pari a:

i j k

k

k

= + ( )

−1 1

Si consideri la successione di tassi nominali convertibili 1, 2, …, k …, volte l’anno:

j(1) = i, j(2), j(3), …, j(k ), …


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tutti corrispondenti al medesimo tasso annuo effettivo d’interesse i; essa è strettamente decrescentee convergente.

Ricordando il limite notevole, per a > 0:

lim ln x

x

a x

a→ − =0 1

si ottiene il limite della successione data:

lim lim limk k

k

j k k ii

k

→∞ →∞ →

( ) = +( ) − = +(

1 111

10

)) −= +( )

1

11

1k

k

iln (5.2)

Il limite (5.2) si indica con δ ed è il tasso istantaneo d’interesse o tasso nominale annuod’interesse convertibile infinite volte l’anno corrispondente all’assegnato tasso annuo effet-tivo d’interesse i; esso si riferisce ad un regime finanziario in cui gli interessi sono disponibiliistante per istante ad intervalli infinitesimi di tempo:

δ = +( ) = + ( )

ln ln1 1i j k

k

k

(5.3)

da cui:

1 + i = eδ

ossia la formula inversa:

i = eδ

– 1 (5.4)Pertanto, il montante di un capitale C in regime di capitalizzazione composta è esprimibile

in funzione di i, ik

1 , j(k ) e δ :

M C i C i C j k

k Ce

t

k

kt

kt

t = +( ) = +( ) = + ( )

=1 1 11δ

Analogamente, si definisce tasso nominale annuo di sconto convertibile k volte l’anno, il tasso:

ρ k kd k

( ) = 1 ovvero ρ k k d k ( ) = − −( ) 1 1

1

(5.5)

dalla prima delle (5.5) si ha:

d k

k k

1 = ( )ρ

La successione di tassi nominali convertibili 1, 2, …, k …, volte l’anno:

ρ (1) =δ , ρ (2), ρ (3), …, ρ (k ), …tutti corrispondenti al medesimo tasso annuo effettivo di sconto d , è strettamente crescente econvergente.


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UTILIZZO DEI FOGLI ELETTRONICI IN MATEMATICA FINANZIARIA

Diversi problemi di interesse finanziario possono essere risolti tramite l’uso di fogli elettronici,come Microsoft Excel, grazie alle numerose funzioni definite nella categoria «Finanziarie».

In questo volume ci riferiremo più volte a esse nello svolgere gli esempi. Talvolta, anche se ilproblema da risolvere non appartiene a tale categoria, imposteremo un foglio elettronico perrendere meccanici i calcoli più laboriosi.

A fini puramente didattici, nel foglio, invece dei risultati figureranno le funzioni. Talevisualizzazione si ottiene aprendo il menu «Strumenti» scegliendo «Opzioni», quindi, in «Visua-lizza» selezionando l’opzione «Formule».

Relativamente all’ESEMPIO 1, mostriamo le funzioni: EFFETTIVO e NOMINALE.

La sintassi della prima è EFFETTIVO(tasso_nominale;periodi). Essa consente di calcolareil tasso di interesse annuo effettivo in base al tasso di interesse nominale annuo e al numero

dei periodi di capitalizzazione per anno.La sintassi della seconda è NOMINALE(tasso_effettivo;periodi). Essa consente di calco-lare il tasso di interesse nominale annuo in base al tasso di interesse effettivo e al numerodi periodi di capitalizzazione per anno.Per ottenere il tasso d’interesse effettivo annuo i equivalente al tasso nominale d’interesseconvertibile due volte l’anno, ossia j (2) = 0,1218, in una qualsiasi cella di un foglio elettronico,ad esempio la cella B2, inseriamo la funzione EFFETTIVO che dipende dal tasso j (k ) e dalnumero k di periodi. Reciprocamente, noto il tasso di interesse effettivo, ossia i = 0,12550881,calcoliamo l’equivalente tasso d’interesse nominale convertibile 2 volte l’anno attraverso lafunzione NOMINALE che dipende dal tasso effettivo i e dal numero di periodi k .

Il foglio elettronico con le funzioni da digitare è illustrato di seguito.


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Capitolo Primo28

ESEMPIO 2

Dato un capitale di 155,33 :

a) determinare il montante prodotto in 13 mesi al tasso annuo istantaneo d’interesse del 5%;

b) calcolare quale tasso d’interesse effettivo annuo produrrebbe nello stesso tempo lo stesso montante.

a) Essendo δ = ln(1 + i ), il montante M di un capitale di 155,33 si ottiene nel seguente modo:

M e e = ⋅ = ⋅ =155 33 155 33 163 980 05

1312 0 05417, , ,

, ,

b) Per trovare il tasso annuo effettivo d’interesse equivalente al tasso istantaneo si consideri cheessendo δ = ln(1 + i ) segue che eδ = 1 + i , da cui i = eδ – 1. Nell’esempio dato è:

i = e0,05 – 1 = 0,051271096

da cui il montante:

M = +( ) =155 33 1 0 051271096 163 981312, , ,

che coincide con il valore trovato con il corrispondente tasso istantaneo d’interesse.In regime di capitalizzazione semplice, essendo per la relazione (4.8), i i

k

= 1 k , si ha:i = j (k ) per ogni k > 0

6. CONVENZIONE LINEARE E CONVENZIONE ESPONENZIALE

Nei prontuari finanziari sono tabulati i valori delle funzioni del montante e del valore attuale,per valori interi di t , con 1 ≤ t ≤ 100, e per diversi valori del tasso d’interesse i.

Quando il tempo t di impiego di un capitale è costituito da un numero intero n0 di periodi e

da una frazione propria f , ossia è del tipo t = n0 + f , per il calcolo del montante si adottano due

convenzioni: convenzione lineare e convenzione esponenziale.

CONVENZIONE MISTA O LINEARE

Con la convenzione mista o lineare, si applica la capitalizzazione composta per il numeron0 intero di periodi, ottenendo il montante:

M C in

' = +( )1 0

e al capitale M ' la capitalizzazione semplice per la restante frazione f di periodo ottenendo:

M M if = +( )' 1cioè:

M C i if

n

= +( ) +( )1 10

(6.1)


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CONVENZIONE ESPONENZIALE

Secondo questa convenzione il montante M prodotto da un capitale C per un numero nonintero di periodi del tipo t = n

0 + f , si ottiene applicando la relazione del montante composto:

M C i i C in f n f = +( ) +( ) = +( ) +1 1 10 0 (6.2)

ESEMPIO 1

Calcolare il montante di 235,49 € in capitalizzazione mista per il periodo dal 20-11-2010 al 15-07-2013, se il tasso annuo effettivo di interesse è pari all’ 8,5%.

20-11-2010 31-12-2012 15-7-2013

41 giorni 2 anni 196 giorni

31-12-2010

Si calcola anzitutto il montante prodotto da un capitale per i primi 41 giorni applicando laformula del regime semplice:

r 1 1 0,08541

3651,0095= + ⋅

=

Il montante per i due anni che vanno dal 31-12-2010 al 31-12-2013 in regime composto è:

r 2 = (1 + 0,085)2 = 1,177225

Si calcola, infine, il montante per gli ultimi 196 giorni in regime semplice:

r 3 1 0,085196365

1,0456= + ⋅

=

A questo punto si applica la formula della capitalizzazione mista:

M = 235,49 ⋅ (1,0095) ⋅ (1,177225) ⋅ (1,0456) = 292,62

ESEMPIO 2

Trovare il valore attuale di 1 euro disponibile tra 4 anni e 5 mesi, in regime di capitalizzazione composta al tasso effettivo annuo d’interesse del 4%, mediante interpolazione lineare.

Applicando la convenzione esponenziale si esprime il tempo in termini di mesi per cui scrivere

4 anni e 5 mesi equivale a scrivere5312

.

Si ha, inoltre, che:

(1 + 0,04)–4 = 0,85480419 e (1 + 0,04)–5 = 0,82192711


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Capitolo Primo30

Rappresentando graficamente la funzione v (t ) si segnano sulle ascisse i valori del tempo

t = 4, t =5312

, t = 5, e sulle ordinate i corrispondenti valori di v (t ), ponendo in corrispondenza

di t = 5312 ,v (t ) = 0,85480419 – x .

4

0,82192711

5

0,85480419 – x

0,85480419

A

E

C D

B

t

1

v (t )

53

12

Fig. 8

I due triangoli AEB e CED sono simili, quindi si può stabilire la proporzione:

AB : CD = AE : CE

ossia:

5 4 :5312

4 0,85480419 0,82192711 :−( ) −

= −( ) 00,85480419 0,85480419− −( )x

da cui:

x = 0,01369878

Quindi:

v x 5312

0 85480419 0 84110541

= =, – ,

che, data la forma della curva, è sicuramente maggiore del valore trovato con una calcolatrice:

v 5312

1

1 0 040 8409485353

12

=

+( )=

,,


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7. REGIME FINANZIARIO DEGLI INTERESSI ANTICIPATI E DELLO SCONTOCOMMERCIALE

Grazie al regime finanziario dello sconto commerciale si definisce una legge di capitaliz-

zazione a partire dallo sconto anziché dall’interesse. Lo sconto si calcola sul capitale dovutoproporzionalmente alla durata; se si conosce il tasso effettivo annuo di sconto d , lo sconto su uncapitale unitario dovuto dopo t anni è:

d (t ) = dt (7.1)

Se il capitale dovuto alla scadenza è M , la (7.1) diviene:

D(t ) = Mdt

da cui la legge di attualizzazione commerciale:

v(t ) = 1 – dt (7.2)che rappresenta il valore attuale di un capitale unitario dovuto al tempo t in funzione del tassoannuo di sconto d .

Dalla (7.1) e dalle definizioni esposte, la legge di capitalizzazione a interessi anticipati è:

r t dt

( ) =−1

1(7.3)

Infine, la legge dell’interesse:

i t dt

dt ( ) =

−1(7.4)

Volendo esprimere la legge di capitalizzazione (7.3) in funzione del tasso effettivo annuod’interesse i, che corrisponde al tasso di sconto d , si ottiene:

r t i

t i( ) =

+− −( )

1

1 1(7.5)

APPLICAZIONI

Dalla (7.2) si evince che per t d

>1

è v(t )


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Capitolo Primo32


1. Funzione: r t dt

( ) =−1

1Graficamente, la funzione è rappresentata da un’iperbole (da cui la denominazione di capita-

lizzazione iperbolica) con asintoto t d

=1

.

r (t )

t O

1

1/ d

Fig. 9

Man mano che l’epoca si avvicina a t d =

1

, il fattore di capitalizzazione cresce e, al limite, per

t d

→1

si ha che r (t ) → ∞.

2. Funzione: d (t ) = d t

t O

d (t )d (t ) = d t

Fig. 10

È una retta passante per l’origine degli assi. Per t = 0 la funzione assume valore zero, quindi

passa per il punto O (0,0).


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ESEMPIO

Il possessore di una cambiale di 750€, scadente tra 14 mesi, la presenta allo sconto al tasso effettivo annuo d = 0,07.

a) Quanto riceverà? b) Quanto tempo avrebbe dovuto aspettare ancora per ricevere 700 €?

a) La legge dello sconto commerciale, con un capitale dovuto alla scadenza pari a M , è:

D (t ) = Mdt

Si calcola lo sconto commerciale sulla cambiale al tasso d = 0,07:

D = ⋅ ⋅ =750 0,071412

61,25

Il creditore riceverà l’importo della cambiale diminuito dello sconto dovuto per l’anticipatariscossione:

C = 750 – 61,25 = 688,75

b) Se il creditore vuole ricevere almeno 700€ dallo sconto della cambiale vuol dire che D deveessere pari a M meno 700 €:

D = 750 – 700 = 50

Ponendo poi D pari a Mdt con M , d e D noti si trova:

750 ⋅ 0,07 ⋅ t = 50da cui:

t = 0,952380952 = 343 giorni

Sottraendo ai 14 mesi (cioè il tempo fino alla scadenza della cambiale) 343 giorni (cioè iltempo necessario per recuperare almeno 700€) si ottiene 77 giorni, ovvero il tempo che deveancora attendere il possessore della cambiale.

8. CONFRONTO TRA I REGIMI FINANZIARI

Consideriamo le tre leggi di capitalizzazione: r t it 1 1( ) = + ; r t i t 2 1( ) = +( ) e r t i

i t 3

1

1 1( ) = +

( )– –,

che esprimono, rispettivamente, la capitalizzazione semplice, quella composta e quella commer-ciale.

Confrontando il montante prodotto nei diversi regimi si può vedere, graficamente, comequello prodotto da un capitale per un periodo di tempo inferiore all’anno in capitalizzazionesemplice è maggiore di quello prodotto in regime composto, che a sua volta è maggiore delmontante che si sarebbe ottenuto con la capitalizzazione commerciale.


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Capitolo Primo34

In altri termini, per 0

+( )

it ii

t i

t

Se invece t > 1 vale il contrario.Infine per t = 0 le tre leggi danno luogo allo stesso risultato.

t 0 1

1 + i

3r t ( )

r t ( )

r t ( )

r t ( )

2

1

Fig. 11

ESEMPIO

Dato un capitale di 700,45 € verificare a quale regime conviene investire se:

a) si investe per 6 mesi al tasso annuo del 5%; b) si investe per 9 mesi al tasso bimestrale del 2,2%; c) si investe per 4 mesi al tasso quadrimestrale del 3%.

Calcoliamo il montante nel regime semplice (M 1), composto (M 2) e commerciale (M 3) applican-do al capitale C = 700,45 , rispettivamente la (2.2), la (3.1) e la (7.5).

a)

— M 1 700,45 1 0,056

12717,96= + ⋅

= ;

— M 2612700,45 1 0,05 717,75= +( ) = ;

— M 3700,45 1 0,05

1 0,056

121

717,534= +( )

− −

= .

Si riscontra, dai risultati che, per 0


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b)

— M 1 700,45 1 0,022 412

769,79= + +

= ;

— M 24 12700 45 1 0 022 772 51= +( ) =+, , , ;

— M 3700,45 1 0,022

1 0,022 412

1

= +( )

− +

−

== 775,58 .

In questo caso la situazione si è capovolta rispetto al caso precedente; infatti, per t > 1 (inquanto il periodo di capitalizzazione è il bimestre) conviene investire prima in capitalizzazionecommerciale poi in composta ed infine in semplice.

c)— M 1 700,45 1 0,03 1 721,46= + ⋅( ) = ;

— M 21

700,45 1 0,03 721,46= +( ) = ;

— M 3700,45 1 0,03

1721,46= +

( )= .

In questo caso, essendo t = 1, i tre regimi portano a uguali risultati.

9. FORZA D’INTERESSE

I regimi finanziari esposti possono essere descritti a partire dal processo di formazionedell’interesse.

Consideriamo una generica legge di formazione del montante:

M (t ) = Cr (t )

e un intervallo infinitesimo di tempo compreso tra gli istanti t e t + ∆t , la quantità, data dalla

differenza tra i montanti relativi ai due istanti temporali:

I t t t M t t M t , +( ) = +( ) − ( )∆ ∆

rappresenta la variazione nell’interesse dovuta al passaggio temporale da t a t + ∆t.

In questo stesso intervallo consideriamo il tasso effettivo d’interesse:

i t t t M t t M t

M t

r t t r t

r t , +( ) =

+( ) − ( )( )

= +( ) − ( )

( )∆

∆ ∆


37/226

Capitolo Primo36

Si definisce intensità d’interesse da t a t + ∆t il rapporto tra tasso d’interesse e duratadell’operazione finanziaria:

i t t t

t

r t t r t

t r t

, +( )=

+( ) − ( )⋅

( )

∆

∆

∆

∆

1

ossia il tasso di interesse per unità di tempo.

Se r (t ) è differenziabile, il suo limite per ∆t → 0 si chiama forza d’interesse al tempo t , ointensità istantanea d’interesse, δ (t ):

δ t i t t t

t

r t t r t

t t

( ) = +( )

= +( ) − ( )

→ →lim

,lim

∆ ∆

∆∆

∆0 0 ∆∆t r t

r t

r t ⋅

( ) =

′( )( )

1

Praticamente, δ (t ) è la derivata logaritmica della legge di capitalizzazione r (t ):

δ t r t

r t

d

dt r t ( ) =

( )

( ) = ( )( )

'ln

Nota la forza d’interesse è possibile individuare, per relazione inversa, in modo univoco lacorrispondente legge di capitalizzazione.

Per ciascuno dei regimi finanziari studiati è possibile definire la forza d’interesse.

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

δ t r t

r t

d

dt it

i

it ( ) =

( )

( ) = +( ) =

+'

ln 11

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

δ t r t

r t

d

dt i

i i

i

t

t

( ) = ( )

( ) = +( ) =

+( ) +( )

+

'ln

ln1

1 1

1(( ) = +( )

t

iln 1

In tale regime, la forza d’interesse coincide con il tasso istantaneo d’interesse.

REGIME DI SCONTO COMMERCIALE

δ t d

dt dt

d

dt ( ) =

−

= −

ln1

1 1


38/226


ESEMPIO

Calcolare il montante prodotto da un capitale di 1.000 investito per 2 anni e 3 mesi,supposto che la forza d’interesse sia data da δ (t) = 0,04 + 0,01t.

Praticamente si chiede di trovare la legge di capitalizzazione r (t ) a partire dalla forza d’interesseche rappresenta proprio la derivata logaritmica di r (t ). Pertanto, occorre applicare la formulainversa:

r t e s ds

t

( ) = ( )∫ δ 0

da cui:

M e e s ds

t

= ⋅ = ⋅+( ) +∫

1 000 1 0000 04 0 01 0 04 0 01

0. ., , , , s s ds s ds

e ( ) +( )

+

∫

= ⋅02

312

0

2

1 0000 04 0 01

., ,

,, , ,

., ,

25

0

2 25

0

2 25

1 0000 04 0 01∫ ∫

= ⋅

∫ +e

ds sds

Volendo analizzare l’esponente di e si ha:

0 04 0 01 0 04 0 010

2 25

0

2 25

0

2

, , , ,, ,

ds sds ds sds ∫ ∫ + = +,,,

,,

, ,25

0

2 25

02 25

2

0

2 2

0 04 0 012∫ ∫ = ⋅[ ] +

s s

55

2

0 04 2 25 0 0 012 25

202

0

=

= ⋅ −( ) + ⋅ ( )

−

=, , ,

,,009 0 025 0 115+ =, ,

da cui:

M = 1.000 ⋅ e 0,115 = 1.121,87

10. SCINDIBILITÀ DELLE LEGGI FINANZIARIE

Si è visto che mentre una legge finanzaria a una variabile considera solo il tempo (t ) intercorrentetra l’inizio ( x ) e la fine ( y) di una operazione (cioè t = y – x ), una legge a due variabili rappresentasia la data di inizio che quella finale dell’operazione. Una funzione di capitalizzazione in duevariabili r ( x,y) rappresenta il montante al tempo y di un capitale unitario investito al tempo x


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Capitolo Primo38

LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

r x y i y x r x z i z x r z y i y, ; , ; ,( ) = + −( ) ( ) = + −( ) ( ) = +1 1 1 −−( ) z

ma:1 1 1+ −( )[ ]⋅ + −( ) ≠ + −( ) i z x i y z i y x

per cui la legge non è scindibile.

LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

r x y i r x z i r z y i y x z x

, , ; ,-

( ) = +( ) ( ) = +( ) ( ) = +(−

1 1 1; )) − y z

ed è:1 1 1 1+( )[ ] +( )[ ] = +( ) = +( )− − − + − −i i i i z x y z z x y z y x

per cui la legge è scindibile.

Esiste un legame tra forza d’interesse e scindibilità reso esplicito da un teorema secondo cui:condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria sia scindibile è che la forza

d’interesse sia costante (non dipenda cioè dalla data d’inizio dell’operazione).

ESEMPIO 1

Si investe un capitale di 1.000 € al tasso annuo d’interesse del 6% per un tempo di 3 anni; tenendo conto che dopo il primo anno si disinveste e si reinveste il montante sino a quel punto accumulato secondo la stessa legge di capitalizzazione r (t ) = i ⋅ t 2 + i ⋅ t +1, determinare il montante dopo 3 anni.

Si calcola il fattore di capitalizzazione relativo al primo anno, sostituendo i valori di i e di t nell’equazione data:

r 1 = 0,06 + 0,06 + 1 = 1,12

Si capitalizzano, quindi, 1.000 € per il primo anno:

M 1 = 1.000 ⋅ 1,12 = 1.120

Il fattore di capitalizzazione relativo ai rimanenti 2 anni è:

r 2 = 0,06 ⋅ (2)2 + 0,06 ⋅ 2 + 1 = 1,36

Si capitalizzano 1.120 € per 2 anni:

M 3 = 1.120 ⋅ 1,36 = 1.523,2

Se avessimo calcolato il montante dopo 3 anni senza disinvestire e poi reinvestire alla finedel primo anno, avremmo avuto:

r 3 = 0,06 ⋅ (3)2 + 0,06 ⋅ 3 + 1 = 1,72


40/226


capitalizzando 1.000 €:

M '3 = 1.000 ⋅ 1,72 = 1.720 ≠ 1.523,2 = M

3

è quindi verificato che la legge non è scindibile.

ESEMPIO 2

Calcolare il tasso annuo d’interesse al quale si investe un capitale di 1.200 € in regime di capitalizzazione composta, nell’ipotesi in cui all’inizio del secondo anno il tasso incognito è diminuito dell’ 1% e che l’interesse prodotto tra la fine del primo e la fine del secondo anno sia stato pari a 52€.

Essendo la legge di capitalizzazione composta scindibile, si può considerare una primascadenza alla fine del primo anno, una seconda alla fine del secondo anno:

M 1 = 1.200 (1 + i )

M 2 = M 1 [1 + (i – 0,01)]L’interesse prodotto dalla fine del primo alla fine del secondo anno è pari a 52 € ed è anche

pari alla differenza tra M 1 e M

2:

I = 1.200 (1 + i ) [1 + (i – 0,01)] – 1.200 (1 + i ) = 52

da cui:

1.200 (1 + i ) [1 + (i – 0,01)] – 1.200 (1 + i ) – 52 = 0

svolgendo ne deriva l’equazione di secondo grado:

1.200i 2 + 1.188i – 64 = 0

da cui:

i = − ± +1 188 1 411 344 307 200

2 400. . . .

.

che dà luogo a due soluzioni di cui si accetta solo quella positiva in quanto quella negativa èfinanziariamente insignificante; l’unica soluzione accettabile è:

i = 0,05122

Volendo verificare, si sostituisce il valore trovato nella relazione dell’interesse, ottenendo,con i dovuti arrotondamenti:

I = 1.200 (1 + 0,05122) [1 + (0,05122 – 0,01)] – 1.200 (1 + 0,05122) = 52

LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE COMMERCIALE

r x yd y x

r x zd z x

r z y, ; , ; ,( ) =− −( )

( ) =− −( )

( ) =1

1

1

1

1

1−− −( )d y z

ma:

11

11

11− −

⋅− − − −( ) ( )

≠( )d z x d y z d y x

per cui la legge non è scindibile.


41/226

Capitolo Primo40

11. PRINCIPIO DELL’EQUIVALENZA FINANZIARIA

L’operazione finanziaria consistente nel prestito dal mutuante al mutuatario del capitale C altempo x , e nel rimborso del capitale M al tempo y (con x


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da cui, la scadenza media è:

t C t C t C t

C

n n= + +…+1 1 2 2 (12.1)

REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE COMPOSTO

M C it

1 1 11= +( )

M C it

2 2 12= +( )

… … … … … …

M C in n

t n= +( )1

da cui, essendo M = C (1 + i)t , per il principio di equivalenza finanziaria, il valore attuale al tempot di M , deve essere uguale alla somma dei valori attuali degli n montanti M 1, M 2, …, M n;risolvendo rispetto a C , C 1, C 2, …, C n si ha:

Mv M v M v M vt t t n

t n= + +…+1 21 2

da cui:

v M v M v M v

M

t

t t

n

t n

= + +…+1 1 2 2 (12.2)

t si ricava, quindi, facilmente dalla (12.2).

REGIME FINANZIARIO DELLO SCONTO COMMERCIALE

C 1 = M

1(1 – dt

1) = M

1 – M

1dt

1

C 2 = M

2(1 – dt

2) = M

2 – M

2dt

2

… … … … … … … … … …C

n = M

n(1 – dt

n) = M

n – M

ndt

n

Sommando membro a membro, si ha, in base alla posizione fatta:

C = M – d ( M 1t 1+ M

2t 2+ … + M

nt n)

ed essendo C = M – Mdt , si ha attraverso semplici passaggi:

Mt = M 1t 1 + M

2t

2 + … + M

nt

n

da cui, la scadenza media è:

t M t M t M t

M

n n= + +…+1 1 2 2 (12.3)


43/226

Capitolo Primo42

12.2 Tasso medio

Nella realtà dei mercati finanziari, spesso, la capitalizzazione è regolata, anziché da un solotasso d’interesse costante nel tempo, da una successione di tassi diversi i1, i2 …, in applicabiliciascuno a un dato tempo. È in questa circostanza che nasce l’esigenza di sintetizzare attraversoun unico tasso (il tasso medio) il risultato economico conseguito. Trattasi di quel tassod’interesse i – equivalente alla sequenza di tassi variabili data, nel senso che, per un dato regimedi capitalizzazione, a parità di capitale iniziale investito e di tempo totale di impiego, producelo stesso montante prodotto dai tassi variabili.

Interessante è la trattazione del tasso medio in regime di capitalizzazione composta. Sisupponga che la sequenza i1, i2 …, in rappresenti la sequenza dei tassi d’interesse degli anni 1,2, …, n. Alla fine dell’n-esimo anno, il montante di un capitale C prodotto da tali tassi è:

M = C (1 + i1) · (1 + i2)

· … · (1 + in)

Poiché uguaglia i montanti, il tasso medio è tale che:

C (1 + i) · (1 + i2) · … · (1 + i

n) = C (1 + i

– )n

da cui risolvendo rispetto a i – :

i i i in

n= +( ) ⋅ +( ) ⋅…⋅ +( ) −1 1 1 11 21

o analogamente:

i i i in

n= +( ) ⋅ +( ) ⋅…⋅ +( ) −1 1 1 11 2 (12.4)

Nell’espressione appena ottenuta il primo termine a secondo membro è la media geometricadei fattori di montante.

ESEMPIO

Un capitale unitario è impiegato, in regime di capitalizzazione composta degli interessi, per 5 anni e i tassi d’interesse annui sono, rispettivamente, pari a:

i i i i i 1 2 3 4 50 05 0 45 0 48 0 49 0 52= = = = =, ; , ; , ; , ; , ..

Determinare il tasso d’interesse composto costante che, applicato al medesimo capitale e per

il medesimo periodo, produrrebbe lo stesso montante.

Il montante prodotto dal capitale unitario impiegato per 5 anni ai tassi riportati si ottiene nelmodo seguente:

— alla fine del primo anno il capitale unitario ha prodotto un montante pari a:

1 + i 1 = 1 + 0,05


44/226


— alla fine del secondo anno il capitale di 1,05, reinvestito alla fine del primo anno al tasso i 2 = 0,045,

è pari a:

(1+0,05)(1 + i 2) = (1 + 0,05)(1+0,045)

…

Pertanto, il montante prodotto dal capitale unitario alla fine del quinto anno è pari a:

1 1 1 1 1 1 0 05 1 01 2 3 4 5+( ) +( ) +( ) +( ) +( ) = +( ) +i i i i i , ,445 1 0 48 1 0 49 1 0 52 126899( ) +( ) +( ) +( ) =, , , ,

Il testo richiede la determinazione di quel tasso i – costante che, impiegato per 5 anni,produrrebbe il montante appena ottenuto. Lo stesso si ottiene impostando la seguenteuguaglianza:

1 1 0 05 1 0 45 1 0 48 1 0 49 1 05

+( ) = +( ) +( ) +( ) +( ) +i , , , , ,552( )

da cui, risolvendo rispetto a i –

:i = +( ) +( ) +( ) +( ) +1 0 05 1 0 045 1 0 048 1 0 049 1 0 05, , , , , 22 1

15( ) −

e ricorrendo ai logaritmi naturali:

i = +( ) + ( ) + ( ) +exp ,15

1 0 05In In 1+ 0,045 In 1+ 0,048 Inn 1+ 0,049 In 1+ 0,052( ) + ( )

− =1 0 04879, 77

che, applicato al montante unitario, dopo 5 anni produrrebbe un montante pari a:

1 1 0 48797 126899

5 5

+( ) = +( ) =i , ,che coincide, appunto, con il valore ottenuto con i singoli tassi.

Questionario

1. Dato il tasso d’interesse annuale i = 0,048, calcolare, in regime di interessi composti, iltasso d’interesse quadrimestrale a esso equivalente.(par. 4)

2. Sapendo che il tasso d’interesse nominale annuo convertibile 6 volte l’anno è j(k ) = 0,015,calcolare il tasso d’interesse semestrale effettivo.(par. 5)

3. Data la legge di attualizzazione commerciale v(t ) = 1 – dt , dire per quali valori di t è definita.(par. 7)

4. Data la legge di capitalizzazione r (t ) = (1,088)t , calcolare la forza d’interesse.(par. 9)

5. Verificare se è scindibile la legge di capitalizzazione r x y i y x , ln( ) = + −( )1 2 .(par. 10)


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CAPITOLO SECONDO

RENDITE CERTE

SOMMARIO: 1. Definizioni. - 2. Rendite costanti nel regime finanziario dell’interesse semplice. - 3. Renditecostanti nel regime finanziario dello sconto commerciale. - 4. Rendite costanti nel regime finanziariodell’interesse composto. - 5. Rendite perpetue. - 6. Rendite variabili nel regime finanziario dell’interessecomposto. - Questionario.

1. DEFINIZIONI

Le operazioni finanziarie di cui ci siamo occupati nel capitolo precedente contemplano, afronte del versamento di una somma unica di capitale, la corresponsione periodica di interessia un tasso fisso o variabile. In questo capitolo introdurremo operazioni più complesse che sirealizzano, quotidianamente, nella realtà dei mercati finanziari, e che sono identificate tutte conla denominazione di rendita.

È una rendita quella che percepisce il proprietario di un podere agricolo, oppure colui checede, attraverso un contratto di leasing, l’uso di un bene, o, ancora, il creditore che, stipulato uncontratto di mutuo o sottoscritte le obbligazioni di un prestito diviso in titoli, riceve pagamentiperiodici.

In termini rigorosi, una rendita si può definire come una successione di capitali (rate)disponibili, in conformità a un contratto finanziario, a determinate scadenze.Le rendite di cui si occupa la matematica finanziaria sono le rendite certe, ossia quelle per

cui la riscossione delle rate avviene con certezza, mentre la matematica attuariale fa riferimentoa rendite per cui la riscossione delle rate è legata alla probabilità di eventi aleatori.

Di seguito è riportata una prima classificazione delle rendite certe.

RENDITA PERIODICA L’intervallo di tempo tra due rate consecutive è costanteRENDITA NON PERIODICA L’intervallo di tempo tra due rate consecutive non è costante

RENDITA ANNUALE Il periodo è l’anno (le rate sono dette annualità)RENDITA FRAZIONATA Il periodo è una frazione di anno (semestre, trimestre etc.)

RENDITA COSTANTE L’importo delle rate è costanteRENDITA VARIABILE L’importo delle rate è variabile (in progressione aritmetica, in pro-

gressione geometrica etc.)

RENDITA ANTICIPATA La scadenza di ciascuna rata avviene all’inizio di ogni periodoRENDITA POSTICIPATA La scadenza di ciascuna rata avviene alla fine di ogni periodo

RENDITA IMMEDIATA La prima rata scade nel primo periodo (all’inizio o alla fine)RENDITA DIFFERITA La prima rata scade in un periodo successivo al primo


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Capitolo Secondo46

RENDITA TEMPORANEA Il numero delle rate è finitoRENDITA PERPETUA Il numero delle rate è infinito

Ciò che interessa conoscere di una rendita è un unico valore della stessa; infatti, l’omogeneità

dei dati consente di calcolare espressioni compatte funzioni del numero delle rate e del tassod’interesse: il valore attuale e il montante.

VALORE ATTUALE

Il valore attuale di una rendita è la somma dei valori attuali di tutte le rate della rendita,ottenuti all’inizio del primo periodo della rendita, in altri termini, è l’importo che si è dispostia cedere all’istante iniziale di decorrenza della rendita in cambio delle rate della renditadisponibili in epoche successive.

MONTANTE

Il montante (o valore finale) di una rendita è la somma dei montanti di tutte le rate dellarendita, ottenuti all’istante finale di decorrenza della rendita, capitalizzando ciascun terminedalla sua scadenza alla fine dell’operazione, in altri termini, è il capitale accumulato con larendita. Ovviamente, essendo la durata delle rendite perpetue teoricamente infinita, non ha sensoparlare di montante di tali rendite.

Valore attuale e montante di una rendita rappresentano l’importo che è equo scambiare (per

il principio di equivalenza finanziaria), rispettivamente, all’inizio del primo periodo dellarendita, e alla fine dell’ultimo periodo della rendita, con la successione delle rate della renditastessa.

Per calcolare il valore attuale o il montante di una rendita è necessario precisare il regime incui sono capitalizzate le rate della rendita, la scadenza e l’importo di ognuna di esse. Persemplicità di trattazione faremo riferimento a rate di importo unitario, da cui la denominazionedi rendite unitarie.

2. RENDITE COSTANTI NEL REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE SEM-PLICE

Tali rendite fanno riferimento a operazioni di breve durata, per cui si tratta, in genere, di

rendite frazionate in cui il periodo è1

k di anno e i è il tasso effettivo annuo d’interesse.

2.1 Rendita unitaria posticipata

La rendita sia costituita da n rate di importo unitario scadenti alla fine di ogni k -esimo di anno.


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Rendite certe 47

VALORE ATTUALE

La prima rata di questa rendita scade dopo1

k di anno, la seconda dopo

2

k di anno, …, l’n-

esima dopon

k di anno. Pertanto, il valore attuale di tale rendita è:

a

ik

ik

in

k

=+

++

+…++

1

11

1

12

1

1(2.1)

Sia R l’importo costante di ciascuna delle n rate, il valore attuale di tale rendita si indica con:

A = Ra

MONTANTE

Considerando il ragionamento fatto per calcolare il valore attuale, il tempo in cui resta

investita la prima rata èn

k

– 1 di anno, quello della seconda rata è

n

k

– 2 di anno, …, quello

dell’ultima, invece, è nullo, in quanto essa è corrisposta nel momento della valutazione, per cuiil suo montante è 1. Pertanto, il montante di tale rendita è:

s in

k in

k ik

= + −

+ + −

+ + +

1

11

21

1... +1

Trattasi della somma di n termini di una progressione aritmetica, che può essere scritta sottola forma:

s n in

k = +

−

11

2(2.2)

Se R è l’importo costante di ciascuna rata, allora il montante è:

S = Rs

ESEMPIO

Un individuo si impegna a costituire ogni anno un capitale di 1.150,48 €, versando, presso un Istituto di credito, rate costanti mensili posticipate al tasso del 7%, in regime di capitalizzazione semplice. Determinare l’importo di ciascuna rata.

L’importo di 1.150,48€ rappresenta il montante di una rendita mensile posticipata in regime

di interesse semplice, la cui rata costante R si deduce dalla relazione:

R S

s =


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Capitolo Secondo48

dove S = 1.150,48, s è il montante di una rendita unitaria in regime di interesse semplice ed èfornito dalla formula (2.2); pertanto la rata R è:

R =

⋅ + ⋅ −⋅

=1.150,48

12 1 0,0712 12 12

92,89

2.2 Rendita unitaria anticipata

La rendita sia costituita da n rate di importo unitario, scadenti all’inizio di ogni k -esimo dianno.

VALORE ATTUALE

La prima rata è corrisposta nell’istante stesso della valutazione, la seconda dopo 1k

di anno,

…, l’n-esima dopon

k

–1 di anno. Pertanto, il valore attuale di tale rendita è:

a

ik

in

k

= ++

+…++

−11

11

1

11

(2.3)

Sia R l’importo costante di ciascuna rata, il valore attuale di tale rendita è: A Ra=

MONTANTE

Il tempo in cui resta investita la prima rata èn

k di anno, quello della seconda rata è n

k

– 1 di

anno, …, quello dell’n-esima

è

1

k di anno. Pertanto, il montante di tale rendita è:

s in

k in

k ik

= +

+ +

−

+ + +

1 11

11

...


s n in

k = +

+

11

2(2.4)

Se R è l’importo costante di ciascuna rata, allora il montante è:

S Rs=


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Rendite certe 49

3. RENDITE COSTANTI NEL REGIME FINANZIARIO DELLO SCONTO COM-MERCIALE

Sono rendite frazionate in cui il periodo è

1

k di anno e d è il tasso effettivo annuo di sconto.

3.1 Rendita unitaria posticipata

La rendita sia costituita da n rate di importo unitario, scadenti alla fine di ogni k -esimo di anno.

VALORE ATTUALE

La prima rata scade dopo1

k di anno, la seconda dopo

2

k di anno, …, l’n-esima dopo

n

k di

anno. Pertanto, in base alla legge di attualizzazione commerciale, il valore attuale di tale rendita,è:

a d k

d k

d n

k = −

+ −

+…+ −

1

11

21


a n d n

k = − +

1

12

(3.1)

MONTANTE


k

–1 di anno, quello della seconda rata è

n

k

– 2

di anno, …, quello dell’ultima, invece, è nullo, in quanto essa è corrisposta nel momento della

valutazione, per cui il suo montante è 1. Pertanto, in base alla legge di capitalizzazione a interessianticipati, il montante di tale rendita, è:

s

d n

k d

n

k d

k

=−

− +−

− +…+−

+1

11

1

12

1

11

1 (3.2)

Ovviamente, se la rendita costante è R, allora valore attuale e montante della renditaconsiderata sono, rispettivamente:

A = Ra e S = Rs


51/226

Capitolo Secondo50

3.2 Rendita unitaria anticipata

La rendita sia costituita da n rate di importo unitario, scadenti all’inizio di ogni k -esimo dianno.

VALORE ATTUALE

La prima rata è corrisposta nell’istante stesso della valutazione, la seconda dopo1

k di anno,

…, l’n-esima dopon

k

–1 di anno. Pertanto, il valore attuale di tale rendita è:

a d

k

d

k

d n

k

= + −

+ −

+…+ −

−

1 1

11

21

1


a n d n

k = −

−

1

1

2(3.3)

MONTANTE


k di anno, quello della seconda è

n

k

–1 di anno,

…, quello dell’n-esima è1

k di anno. Pertanto, il montante di tale rendita è:

s

d n

k d

n

k d

k

=−

+−

− +…+−

1

1

1

11

1

11 (3.4)

Se R è l’importo costante di ciascuna rata, allora il valore attuale e il montante sono,rispettivamente:

A Ra= e S Rs=

ESEMPIO

Determinare la somma realizzata scontando 15 cambiali da 150 € l’una, con scadenze fra 1, 2, …, 15 mesi, presso una banca che pratica lo sconto commerciale al tasso del 12%.

Trattasi di una rendita posticipata immediata in regime di sconto commerciale, il cui valoreattuale si calcola applicando la (3.1) alla rata costante R = 150; gli altri dati del problema sono:n = 15; d = 0,12; k = 12.


52/226

Rendite certe 51

Pertanto, il valore attuale è:

A = ⋅ ⋅ − ⋅ +⋅

=150 15 1 0,12

15 12 12

2.070

4. RENDITE COSTANTI NEL REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE COM-POSTO

La rendita sia costituita da n annualità di importo unitario. Sia i il tasso effettivo annuod’interesse.

4.1 Rendita unitaria immediata posticipata

La prima rata scade alla fine del primo periodo (cfr. rendita immediata), la scadenza delle ratesuccessive alla prima coincide con la fine di ciascun periodo (cfr. rendita posticipata).

VALORE ATTUALE

La prima rata scade alla fine del primo anno, per cui il suo valore attuale è:

vi

=+1

1La seconda rata scade alla fine del secondo anno, per cui il suo valore attuale è:

vi

22

1

1=

+( )

………………

L’n-esima rata scade, infine, alla fine dell’n-esimo anno, per cui il suo valore attuale è:

vi

nn

=+( )1

1

L’operazione finanziaria può essere rappresentata su un asse dei tempi, come indicato nellafigura seguente.

0 1 2 3 n – 1 nScadenze

V a l o r i a t t u a l i

v1v2v3

vn

vn – 1

Rata 1 1 1 1 1

Fig. 1


53/226

Capitolo Secondo52

Pertanto, il valore attuale della rendita è:

a v v v vn i

n m

m

n

= + +…+ = ∑=

2

1

(4.1)

I valori di an i

, che si legge a figurato n al tasso i, sono tabulati sui prontuari per calcoli

finanziari e attuariali per valori di n generalmente compresi tra 1 e 50, o tra 1 e 100, e di i compresitra 0 e 40.

La (4.1) è la somma di n termini in progressione geometrica di ragione v, minore di 1, per cuipuò essere scritta nella forma:

a vv

vn i

n

= −

−1

1(4.2)

Essendo vi

i=+

= +( )−1

11

1 e v

iin

n

n=+( )

= +( )−1

11 , la (4.2) è scritta equivalentemente nella

forma:

ai

i

i

i

in i

n n

=+

⋅ − +( )

− +( ) =

− +( )+ −

−

−

−1

1

1 1

1 1

1 1

1 11

ossia:

a iin i

n

= − +( )−

1 1 (4.3)

Sia R l’importo costante di ciascuna delle n rate, il valore attuale di tale rendita si indica con:

A Ran i

=

MONTANTE

La prima rata di questa rendita frutta interessi per n – 1 anni, pertanto il suo montante,

calcolato alla fine dell’n-esimo anno è:r n – 1 = (1 + i)n – 1

La seconda rata frutta interessi per n – 2 anni, per cui il suo montante è:

r n – 2 = (1 + i)n – 2

L’ultima rata scade nell’istante della valutazione, per cui non frutta interessi, ossia il suomontante è 1.


54/226

Rendite certe 53

L’operazione finanziaria può essere rappresentata su un asse dei tempi, come indicato in fig. 2.

0 1 2 3 n – 1 nScadenze

M on t a n t i

r n–1

r n–2

r 1

Rate 1 1 1 1

Fig. 2

Il montante di tale rendita è, dunque:

s i in i

n n= +( ) + +( ) +…+− −1 1 11 2 (4.4)

Anche i valori di sn i

, che si legge s figurato n al tasso i, sono tabulati sui prontuari per calcoli

finanziari e attuariali.

La (4.4) è la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine 1 e di ragione1 + i, maggiore di 1, per cui può essere scritta nella forma:

si

in i

n

= +( ) −

+( ) −1 1

1 1

ossia:

si

in i

n

= +( ) −1 1

(4.5)

Se l’importo della rata costante è R, allora il montante della rendita è:

S Rsn i

=

RELAZIONE TRA a n i E s n i

Dal confronto tra la (4.2) con la (4.5) (essendo1

vr

n

n= ) si evince che:

si

i

v

v

v

vv

v

n i

nn

n

n

= +( ) −

+( ) − =

−

−=

−

− = −1 1

1 1

11

11

Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e Moderna)

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