L’opinione comune etichetta la matematica come “difficile”; e frasi come “La matematica è difficile” o “Non sono portato per la matematica” vengono pronunciate spesso dagli alunni; ma non è così. Infatti qualsiasi persona può dedicarsi allo studio della matematica in quanto essa è frutto dell’intelletto umano. Per studiarla la nostra mente deve essere, però, abituata ad “una ginnastica mentale” in quanto occorre trovare relazioni tra oggetti astratti, che non si toccano e che non si vedono, ma che esistono perché scaturiscono da un ragionamento.

Uno degli argomenti in cui gli alunni trovano più difficoltà è proprio lo studio dei

RADICALI

PREMESSA

La scoperta dei numeri irrazionali avvenne ad opera dei pitagorici, studiosi greci della famosa scuola pitagorica fondata da Pitagora.

La scuola pitagorica poneva al centro del suo pensiero il numero, che non rappresentava solo l’espressione della quantità, ma costituiva “l’elemento dell’Universo”. Tutta la realtà fisica si fondava, infatti sui numeri naturali e sul loro rapporto, numeri che erano considerati i soli in grado di legare grandezze geometriche e misure. Per i pitagorici, quindi, ogni misura si doveva esprimere con un numero naturale o con un rapporto fra due numeri naturali, cioè un numero razionale.

Questa teoria crollò quando gli stessi studiosi si accorsero che in un quadrato di lato 1 la misura della diagonale non poteva essere espressa con un numero razionale. L’applicazione del famoso teorema del loro maestro, il teorema di Pitagora, stabiliva che tale misura era uguale a e i pitagorici stessi furono costretti ad ammettere che non esiste nessun numero naturale il cui quadrato sia due. Essi svilupparono allora una teoria che potesse stabilire delle proporzioni fra queste grandezze che però si rifiutarono di definire numeri.

Bisognerà aspettare quasi duemila anni perché queste entità entrino a far parte dell’uso comune e perché il fatidico numero il cui quadrato è 2 diventi il numero irrazionale . È molto recente, infatti l’introduzione del calcolo con i numeri irrazionali e si deve principalmente ai matematici Richard Dedekind e Georg Cantor, mentre Rudolff ha introdotto il simbolo odierno di .

2

2

Con l’introduzione quindi, dei numeri irrazionali si allarga la possibilità di fare delle

misurazioni e dei calcoli, che prima si ritenevano non possibili, come calcolare le

diagonali dei quadrati e dei rettangoli o trovare le altezze dei triangoli equilateri,

ecc…

Per sviluppare la nostra unità didattica ci serviremo delle seguenti

Risorse

• Libri

• Fotocopie

• Computer

• Internet

• Software didattici

• Lim

I Prerequisiti richiesti sono

• Saper operare in N, Z, Q

• Conoscere le proprietà delle potenze

• Conoscenza delle regole fondamentali del calcolo algebrico

• Risolvere equazioni e disequazioni di primo grado

• Conoscere le formule per il calcolo di area e volume

Obiettivi da raggiungere

• Capire la necessità di utilizzare i radicali

• Eseguire operazioni con essi applicando le relative proprietà

• Utilizzare il calcolo con i radicali per la risoluzione di equazioni e disequazioni di grado qualunque e problemi.

• Estendere il concetto di potenza al caso di potenza con esponente razionale

Tenuto conto che si lavora in un istituto tecnico per geometri e che i ragazzi lavorano con aree, lati e volumi, per introdurre il concetto di radicale e di numero irrazionale si può partire proprio dal problema di trovare il lato di un quadrato di cui si conosce l’area. La risoluzione di questo problema necessita quindi dell’introduzione di una operazione, detta estrazione di radice, che si definirà come operazione inversa dell’elevamento a potenza 2. Analogamente dato il volume di un cubo si può ricavare la misura dello spigolo estraendo la radice cubica, che pertanto sarà l’ operazione inversa dell’elevamento a potenza 3. Generalizzando chiameremo radice n-esima (algebrica) del

numero reale a quel numero reale b tale che

con

n a abn n

ban

RADICANDO

INDICE

RADICE

Lavorando in maniera empirica, partendo dalla definizione di radicale si fa notare quanto segue:

39

3273

3273

• (3)2=9• (-3)2=9

• (3)3=27

• (-3)3=-27

Da ciò gli alunni possono capire che

Se l’indice della radice è pari il radicando deve essere positivo

Se invece, l’indice della radice è dispari il radicando può essere sia positivo e sia negativo

Gli alunni tramite l’utilizzo di software matematici potranno giungere alla seguente conclusione:

yx

yx

yx

n

n

n

12

12

2

In base a quanto dedotto dagli esempi,

possiamo dunque affermare che

PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Due radicali si dicono equivalenti

se ammettono la stessa radice

216

244

RADICALI EQUIVALENTI

319683

3279

3

RADICALI EQUIVALENTI

Faremo notare che le radici godono delle stesse proprieta’ delle potenze perché la può essere scritta per convenzione

anche quindi un radicale può essere espresso come una potenza con esponente frazionario.Utilizzando allora le proprieta’ delle potenze, che verranno brevemente riprese, si ricaveranno per analogia quelle dei radicali.

4 6

4

1

6

Potenze Radicali

1

2 213: 73=(21 : 7)3

3

00 n

11 n

aa 1

00 n

11 n

0n

aa 1

0n

333 7575 333 7575

124334 888

333 7:217:21 3

3

3

7

21

7

21

3 4 8 1243 88 =

Invogliando i ragazzi a tradurre il linguaggio dei numeri in frasi

italiane ed a dedurre da soli le regole ed i teoremi relativi al

prodotto, quoziente e potenza di un radicale potremo dire che,

per il primo caso:

Il prodotto di due radicali aventi lo stesso indice è uguale a un radicale avente lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi;per il secondo caso

Per il secondo caso:Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è uguale a un radicale avente lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi;

Per il terzo caso:

La radice di una radice è una radice che ha per indice il prodotto dei due indici e per radicando lo stesso radicando.

Dai primi due casi nasce la necessità di dover ridurre i radicali allo stesso indice per poter effettuare il prodotto ed il quoziente tra radicali. Si troverà allora il m.c.m. tra gli indici(analogamente al procedimento per la riduzione di frazioni allo stesso denominatore) e lo si assumerà come nuovo indice per tutti i radicali poi si moltiplicherà l’esponente di tutti i radicandi per il quoziente tra il m.c.m.e l’indice primitivo.

8 37 3 2 2 3

242,3,8... mcm24 97 938:24

24 82 813:24

24 123 1212:24

Ricordando che un radicale può essere scritto come una potenza con esponente frazionario e che per le frazioni vale la proprietà invariantiva la applicheremo anche all’esponente

frazionario per cui

8 32:16 2:62:16

2:6

16

616 6 77777

Con 2=M.C.D.(6;16)

ed anche

12 2043 4512

20

43

45

3

53 5 777777

cioè dividendo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per il loro M.C.D. (si parla sempre di numeri interi, positivi) o anche moltiplicandoli per uno stesso

numero naturale diverso da zero, il valore del radicale non cambia.

Utilizzeremo questa proprietà per semplificare i radicali (così come si semplificavano le frazioni) riducendo però indice ed

esponente ed introducendo: il concetto di radicale irriducibile.

Poi si potrà spiegare il trasporto fuori dal segno di radice se l’esponente del radicando è maggiore dell’indice di radice:

5 800

scomponendo il radicando si ha

5 25 25 55 25 525252

ATTENZIONE: Se l’indice del radicale è pari e non conosciamo il segno del radicando per poter effettuare la semplificazione dobbiamo considerare il valore assoluto

22 2 baba

Per trasportare invece sotto il segno di radice un fattore che moltiplica un radicale, si moltiplica l’esponente del fattore per l’indice di radice :

abab 233

ATTENZIONE: se tale fattore è negativo e l’indice di radice è pari il segno meno si lascia fuori dal

simbolo di radice:

2 233 aa

ATTENZIONE: E’ facile commettere questo errore

6 24 )53( 3 2 )53(

e ancora

2 225 ba non è = 55 a

in presenza di un radicando che sia una somma o una sottrazione non si può effettuare la semplificazione tra indice ed esponente cioè

3 26 24 53)53(

IL RADICALE non è semplificabile. Infatti il radicando non è una potenza con esponente 3 perché (a3 +b3)=(a+b)3

3 33 )( ba

Nel teorema di Pitagora ad esempio (AC)2= (BC)2+(AB)2

Non è AC = BC+AB come succederebbe se si semplificasse la radice con i due quadrati

2)(AC 22 ABBC =