Funzione esponenziale

Il Logaritmo. Proprietà

Dato un numero reale a positivo (a > 0 e a ≠ 1), si

definisce funzione esponenziale

la funzione che ad x R associa ax :

f: x-> ax (a > 0, a ≠ 1).

In base alla definizione, la funzione esponenziale ha

come dominio R e come codominio R+:

Dom: x (-∞; +∞ ); coDom: x (0; +∞ );

(a > 0, b > 0; ,a b

R )

1. aa • ab = a +a b .

2. aa :ab = a -a b .

3. (aa)b = aab .

4. (a • b)a = aa • ba

5. a a = aa . b ba

(a > 0, b > 0; ,a b

R )

1. a +a b = aa • ab

2. a -a b = aa :ab

3. aab = (aa)b = (ab)a

4. aa • b a = (a•b)a 5. aa = a a

ba b

Proprietà delle potenze:

Proprietà inverse:

Casi particolari:.a0 = 1; .a-n = 1/an -> a -n - b

n

b a

RIPASSO

Bisogna distinguere i due casi:

1) 0 < a < 1; 2) a > 1.

1° caso: y = ax 0 < a < 1

la funzione y = ax risulta sempre

positiva:

ax > 0 , per Vx R.

e decrescente

per V x1, x2 con x1 < x2

ne segue ax1 > ax2 .

x1 x2

ax2

ax1

2° caso: y = ax a > 1

x1 x2

ax1

ax2

e crescente:

per V x1 , x2, con x1 < x2

ne segue ax1 < ax2 .

la funzione y = ax risulta sempre

positiva:

ax > 0 , per Vx R

In base alla definizione, la funzione esponenziale ha come dominio R e come codominio R+:

Dom: x (-∞; +∞ ); coDom: x (0; +∞ );

1 1

y = ax 0 < a < 1

y = ax a > 1

Equazioni esponenziali

Si definisce equazione esponenziale un’equazione in cui

l’incognita figura all’esponente, cioè un’equazione del tipo:

aP(x) = aQ(x)

Es.: 43x – 1 = 83 + x

Procedura risolutiva: si devono scrivere i due membri

dell’equazione sotto forma di potenze della stessa base.

22(3x – 1)= 23(3 +x) ; 26x – 2= 29 +3x ; da cui 6x – 2= 9 +3x .

Es.: 3x(3x-2) = 1

3x(3x-2) = 30 ; x(3x-2) = 0

3x+2 = 4•2x; 3x • 32 = 4•2x; 3x/2x= 32/22; (3/2)x = (2/3)-2; x = -2

Definizione di Logaritmo

Data l’equazione ax = b

si dimostra che, per a > 0, a ≠ 1 e b > 0, ammette una ed

una sola soluzione x R.

Dimostrazione grafica: l’equazione data si associa al

sistema:y = ax

y = b.

Graficamente la soluzione del sistema è rappresentata

dall’intersezione del grafico della funzione esponenziale y

= ax con la retta y = b. Tali grafici si intersecano in uno ed

un solo punto.

La soluzione dell’equazione si definisce: logaritmo in base a di b e si scrive

x = logab.

Quindi, si definisce logaritmo in base a (con a > 0, a ≠1)

del numero reale b (con b>0), l’esponente che si deve

dare ad a per ottenere b.

y = b

x

y y=ax

y=ax

logablogab

b b y = b

x

y0 < a < 1

a > 0

Le basi dei logaritmi notevoli sono: la base 10, in questo

caso, convenzionalmente si scrive Log e si parla di

logaritmi decimali; la base e; in questo caso si scrive log

oppure ln in questo caso si parla di logaritmo neperiano o

naturale.

Casi particolari:

loga a = 1; loga 1 = 0;

Esempi:

calcolare log2 8;

si indica log2 8 = x, da cui 2x=8, 2x = 23, quindi x=3.

calcolare log½ 8;

si indica log½ 8 = x, da cui (½)x=8, (½ )x = 23, (2)-x =23

quindi x=-3.

Dalla definizione di logaritmo si hanno le due seguenti

identità:

Per definizione di logaritmo logab = x (1)

si ha ax = b, (2)

1. ora, se si sostituisce b, dato dalla (2) nella (1), si

ha:

loga ax= x

Questa identità si utilizza per scrivere un numero reale

x in forma logaritmica.

2. Se si sostituisce x, dato dalla (1) nella (2), si ha:

a logab = b,Questa identità si utilizza per scrivere un numero reale

b, positivo, in forma esponenziale.

Proprietà dei logaritmi.

Prima proprietà:

Il logaritmo del prodotto di due numeri reali è uguale alla

somma dei logaritmi dei moduli dei due fattori.

loga(p•q) = loga|p| + loga|q|.

Osservazione: al 1° membro deve valere la condizione: p•q

> 0;

il fatto che sia p•q > 0, implica la doppia

conseguenza:

o (p>0 e q>0) opp. (p<0 e q<0).

quindi, al secondo membro è necessario considerare il

valore assoluto di p e di q.

Seconda proprietà:

Il logaritmo del quoziente di due numeri reali è uguale alla

differenza dei logaritmi dei moduli dei due numeri.loga( p ) = loga|p| - loga|q|.

q

Osservazione:al 1° membro deve essere p/q > 0;

il fatto che sia p/q > 0, implica la doppia

conseguenza:

o (p>0 e q>0) opp. (p<0 e q<0).

quindi al secondo membro è necessario considerare il

valore assoluto di p e di q.

Terza proprietà:

Il logaritmo della potenza di un numero reale positivo è

uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della

base della potenza:

loga pk = klogap con p>0; k R

Es.:

loga n√pm = (m/n)logap .

Dimostrazione della 1A proprietà: supponendo p>0; q>0,

loga(p•q) = logap + logaq.

si sostituisce

loga p = x e loga q = y, (*)

Per la definizione di logaritmo risulta:

ax = p e ay = q , si moltiplicano membro a membro le

due uguaglianze: ax•ay = p•q, per la 1A proprietà delle

potenze si ha:

ax + y = p•q.

In questa uguaglianza x + y rappresenta l’esponente che

bisogna dare ad a per ottenere p•q. Quindi per definizione di

logaritmo, risulta: x + y = loga (p•q).

Per le sostituzioni (*), si ha: loga p + loga q = loga (p•q).

Dimostrazione della 2A proprietà: supponendo p > 0; q >

0,

loga(p/q) = loga p - loga q.

si sostituisce

loga p = x e loga q = y, (*)

Per la definizione di logaritmo risulta:

ax = p e ay = q, si dividono membro a membro le due

uguaglianze: ax /ay = (p/q), per la 2A proprietà delle potenze

si ha:

ax - y = p/q.

In questa uguaglianza x - y rappresenta l’esponente che

bisogna dare ad a per ottenere (p/q). Quindi per definizione

di logaritmo, risulta: x - y = loga (p/q).

Per le sostituzioni (*), si ha: loga p – loga q = loga (p/q).

Dimostrazione della 3A proprietà:

loga pk = klogap con p>0 e con k R

si sostituisce

logap = x (*)

Per la definizione di logaritmo risulta:

ax = p; si elevano entrambi i membri a potenza k :

(ax) k = pk,

per la 3A proprietà delle potenze si ha:

akx = pk.

In questa uguaglianza kx rappresenta l’esponente che, dato

ad a, dà come risultato pk. Quindi per definizione di

logaritmo, risulta: kx = loga pk

Per la sostituzione (*), si ha: kloga p = loga pk.

SCHEMA PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

loga(p•q) = loga|p| + loga|q|.

loga( p/q ) = loga|p| - loga|q|.

loga pk = kloga |p|.

a>0; a≠1; k R

o (p>0 e q>0) opp. (p<0 e

q<0).

Proprietà dirette: Proprietà inverse:

logap + logaq = loga(p•q)

loga p - loga q = loga( p/q )

kloga p = loga pk .

a>0; a≠1; p>0; q>0; k

R

Passaggio dal logaritmo in base a di un numero b

al logaritmo in base k di b.

Il logaritmo in una nuova base k del numero b è uguale

al rapporto tra il logaritmo nella base a, di partenza, di

b e il logaritmo nella base di partenza a della nuova

base k: logablogkb= logak

Teorema del cambiamento della base.

a>0, a≠1; b>0, b≠1; k>0, k≠1;

Dimostrazione del teorema.

Si pone logkb = x (*)

per definizione di logaritmo, risulta: kx = b;

ora si calcola il logaritmo in base a di entrambi i membri:

loga kx = loga b,

per la proprietà del logaritmo di una potenza, risulta:

x• loga k = loga b

per la sostituzione (*):

logkb • loga k = loga b

da cui, ricavando logkb, il teorema: logablogkb= logak

Caso particolare. Se si pone: b = a

logablogkb= logak

La relazione diventa:

1logka= logak

Da cui:

logaalogka= logak

Cioè, scambiando la base k del logaritmo con il suo argomento a, si ottiene il reciproco del logaritmo in base a di k.

La Funzione Logaritmo

Dato un numero reale a positivo (a > 0 e a ≠ 1), si

definisce funzione logaritmica

la funzione che ad x R+ associa logax :

f: x -> logax (a > 0, a ≠ 1; x > 0).

y = logax

In base alla definizione, la funzione logaritmica ha

come dominio R+ e come codominio R:

Dom: x (0; +∞ ); coDom: x (-∞ ; +∞ );

Nella definizione di funzione esponenziale:

y = ax , x rappresenta l’esponente che bisogna dare ad

a per ottenere y; questa è la definizione di logaritmo in

base a di y:

x = logay.

La funzione esponenziale risulta invertibile.

Ora il grafico di x = loga y coincide con quello di y = ax.

Ma se si opera lo scambio di variabili x <=> y, allora si

ottiene

y = logax.

Quindi il grafico della funzione logaritmica risulta

simmetrico del grafico di y = ax, rispetto alla bisettrice

del 1° e 3° quadrante.

y = logax

y = ax

y = x

In base alla definizione di logaritmo, si deduce che si tratta

dell’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

y = logax, a > 1

y = ax, a > 1

y = ax, 0 < x < 1

y = logax, 0 <a< 1

y = x

y = logax, a > 1

y = logax, 0 <a< 1

Esercizio.

Le funzioni:

f(x) = log(x-1)2 e g(x) = 2log(x-1)

Sono la stessa funzione? Spiegare.

Non sono la stessa funzione.

Infatti, le due funzioni hanno domini diversi:

Domf(x): (x-1)2 > 0 -> V x ≠ 1. x {(-∞; 1) v (1;

+∞)}

Domg(x): x – 1 > 0 -> x > 1. x (1; +∞).

Per rendere le due funzioni identiche si deve scrivere:

g(x) = 2log|x-1|

tenendo presente la terza proprietà.

Calcolare il dominio della funzione:

f(x) = log(x2

-1) (2x2 – 3x)

Si tratta di una funzione logaritmica di base (x2-1)

e argomento (2x2 -3x).

Primo modo:Per la definizione di logaritmo, occorre porre le condizioni sulla base :

(x2 – 1) > 0 e x2 – 1 ≠ 1e sull’argomento del logaritmo:

(2x2 – 3x) > 0

Quindi si tratta di risolvere il sistema:

x2 – 1 > 0x2 – 1 ≠ 1.2x2 – 3x > 0

Secondo modo:Si applica il teorema del cambiamento di base per scrivere la funzione nel seguente modo:

f(x) = log (2x2 – 3x) log (x2- 1)

Si hanno le condizioni sugli argomenti dei due logaritmi:

(2x2 – 3x) > 0; x2 – 1 > 0

E la condizione sul denominatore:

log (x2- 1) ≠ 0 cioè (x2- 1) ≠ 1

Quindi si ritrova il sistema precedente:

x2 – 1 > 0x2 – 1 ≠ 1.2x2 – 3x > 0