L’insegnamento/apprendimento della Matematica nella scuola...

“Quaderni di Ricerca in Didattica (Mathematics)”, n. 25, 2015

G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy)

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L’insegnamento/apprendimento della Matematica nella scuola secondaria di secondo grado: analisi di un’esperienza didattica

Laura Casella, Isabella Crapisi, Floriana Sutera e Faustina Tirnetta1

Abstract

The process of teaching – learning is certainly one the most studied since research in didactics of mathematics exists and is probably one of the most obvious failures of schools in all the world. It results difficult to handle the didactics of one of the subjects considered the most difficult to teach and understand like mathematics; even more so if it is taken into account that teachers have to deal with profoundly different types of children according to the kind of institute, age, cognitive and /or personal problems. We have therefore wanted to research the student's preparation in the subject by comparing the same study year, secondary school and by using the second grade as a sample but diversified according to the type of school. The aim is to detect important results in the didactics in course, through the realisation of a questionnaire, with an analysis beforehand which consented to understand the possible motivations of the replies given in the questionnaire by students and successively the compilation and correction of the test proposed. A very critical and articulated analysis of the effectuated work researched, reveals that the solution to the problem concerning evident gaps cannot be easily resolved by just modifying teaching in mathematical terms, but by facing the problem through the detailed examination of the typical errors made by students in terms of the didactic of mathematics. Where the hoped for results, have not been shown, we have proposed a different approach in the teaching method, combining the traditional montessorian method applied to other age ranges with given differences and with new technologies.

Riassunto Il processo di insegnamento-apprendimento è certamente uno dei più studiati da quando esiste la ricerca in Didattica della Matematica, forse costituisce uno dei più evidenti insuccessi della scuola, in tutti i Paesi del mondo. Molto spesso risulta difficile gestire la didattica in una delle materie considerate tra le più difficili da insegnare e da comprendere come la matematica; ancora di più se si pensa che gli insegnanti hanno a che fare con ragazzi profondamente diversi a seconda del tipo d’istituto, della fascia d’età e dei problemi cognitivi e/o personali. Abbiamo così voluto indagare sulla preparazione nella disciplina di studenti, dello stesso anno di studio, di scuole secondarie di secondo grado prese come campione e diversificate per indirizzo di studio. L’obiettivo è quello di rilevare risultati notevoli nella didattica in corso, mediante la realizzazione di un questionario, un’analisi a priori che ha consentito di analizzare le possibili motivazioni alle risposte date dagli alunni e successivamente la compilazione e correzione del test proposto. Un’analisi molto critica ed articolata del lavoro di ricerca effettuato sui processi di insegnamento-apprendimento rivela che il rimedio alle evidenti lacune non si risolve banalmente modificando il loro insegnamento in termini matematici, ma affrontando la questione attraverso una minuziosa verifica degli errori tipici degli

1Studentesse del 1° anno di Laurea Magistrale in Matematica (classe LM-40), Università degli Studi di Palermo.



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studenti in termini di didattica della matematica. Laddove essa non abbia sortito gli effetti sperati, abbiamo proposto consigli per un approccio diverso del metodo di insegnamento coniugando il metodo montessoriano tradizionale, applicato ad altre fasce d’età con le dovute differenze, con le nuove tecnologie. 1.Introduzione Le difficoltà che gli alunni incontrano nell’apprendimento della matematica possono essere rintracciate in una serie di questioni legate sia all’epistemologia della disciplina sia alla trasposizione didattica, intendendo con essa il passaggio che va dal “sapere matematico” al “sapere da insegnare” al “sapere insegnato”. Nell’eseguire esercizi e nel risolvere problemi, gli studenti hanno sempre avuto numerose problematiche. Ecco cosa succede nella mente dell’allievo quando cerca di comprendere una determinata nozione: “Lo studente nel tempo costruisce un concetto e se ne fa un’immagine; questa immagine può essere stata valicata e rinforzata nel corso del suo curricolo scolastico da prove, esperienze ripetute, figure, esercizi risolti ed accettati dall’insegnante come corretti. Ma può capitare che tale immagine si riveli inadeguata, prima o poi, rispetto ad un’altra dello stesso concetto, per esempio proposta dall’insegnante stesso o da altri, e non attesa, in contrasto cioè con la precedente che lo studente credeva definitiva. Ciò crea un conflitto tra la precedente immagine, che lo studente credeva definitiva, relativamente a quel concetto, e la nuova”2 . Le immagini che uno studente si fa dei concetti in alcuni casi possono essere delle vere e proprie misconcezioni, cioè interpretazioni errate delle informazioni ricevute; tali immagini-misconcezioni, essendo in continua evoluzione nella complessa scalata verso la costruzione di un concetto, non sempre risultano di ostacolo all’apprendimento futuro degli allievi, a meno che esse non diventino forti e stabili modelli erronei di un concetto. Dal punto di vista didattico, quando un insegnante propone un’immagine forte, convincente, persistente e in alcuni casi addirittura univoca di un concetto, tale immagine si trasforma in un modello intuitivo3. Quest’ultimo risponde pienamente alle sollecitazioni spontanee e ha dunque un’accettazione immediata forte; si crea così una sorta di rispondenza diretta tra la situazione proposta ed il concetto matematico che si sta utilizzando. Lo stesso, tuttavia, potrebbe non rispecchiare il sapere matematico chiamato in gioco, generando così un modello erroneo che vincola l’apprendimento futuro. Più “forte” è il modello intuitivo, più difficile è infrangerlo per accomodarlo ad una nuova immagine più comprensiva del concetto. In questi casi, le misconcezioni, che potrebbero non essere considerate in senso negativo, se viste e proposte come momento di passaggio, diventano ostacoli per i successivi apprendimenti, difficili da essere superati. Si tratta allora di non favorire anticipatamente l’insorgere di schemi precostituiti, in quanto accomodare un modello erroneo trasformandolo in un nuovo comprensivo di una diversa situazione non è affatto facile, dato che è per sua stessa natura forte e stabile. Didatticamente conviene quindi

2 Cfr. D’Amore B., 2001. 3 Ibidem.



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lasciare immagini ancora instabili, in attesa di poter creare modelli adatti e significativi, vicini al sapere matematico che si vuole raggiungere.4 2. Metodologia della ricerca

Un lavoro così articolato dev’essere ben strutturato e organizzato in fasi distinte: • Scelta del campione; • Primo contatto con le scuole; • Stesura del compito di verifica; • Analisi a priori; • Consegna del test; • Correzione della prova; • Spiegazione della modalità corretta d’esecuzione; • Osservazioni statistiche e didattiche venute fuori dai risultati.

In un primo momento, ponendo attenzione a quali istituti potessero soddisfare gli obiettivi che volevamo raggiungere, si è pensato che certamente interessante poteva essere il confronto tra coetanei iscritti in scuole distinte e, pur essendo consapevoli che le rispettive preparazioni nella disciplina fossero sicuramente diversificate, sono emersi risultati sorprendenti. In questa direzione, sono state considerate le classi terze di cinque scuole:

ü Istituto tecnico commerciale, Menfi (AG).

ü Scuola Paritaria secondaria di II grado Liceo delle Scienze Sociali, Menfi (AG).

ü Liceo delle Scienze Umane , Castelvetrano(TP).

ü Liceo Scientifico, Palermo (PA).

ü Liceo Classico, Palermo (PA). La scelta degli istituti non è casuale, visto che si confrontano scuole paritarie con istituti statali di secondo grado professionali e Licei, senza però tener conto dell’appartenenza territoriale dal momento che non si sono prese in esame scuole con lo stesso indirizzo su aree geografiche differenti. I risultati di un compito di verifica da proporre agli studenti, inoltre, non avrebbero rappresentato la reale situazione cognitiva degli alunni se non si fossero affrontati argomenti che già erano stati svolti; quindi di fondamentale importanza è stato un primo contatto con i professori delle classi. In questa circostanza, dopo aver recuperato i programmi di Matematica svolti, da una parte si sono conosciuti gli insegnanti dal punto di vista dell’esperienza in campo, dall’altra si è valutata la preparazione degli allievi grazie al giudizio e alle opinioni dei docenti stessi. Gli strumenti utilizzati per la sperimentazione sono stati:

• Un questionario composto da 7 item dove ogni item prevedeva vari esercizi a risposta multipla da motivare, ad eccezione di un esercizio di cui si richiede lo svolgimento per intero.

4 Cfr. http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/sbaragli/articolo%20Rimini.pdf, Articolo pubblicato in, Sbaragli S.(2006). Le misconcezioni in aula. In: G. Boselli, M. Seganti (eds.), Dal pensare delle scuole: riforme. Roma, Armando Editore. 130-139.



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• l’analisi a priori che ci ha permesso di analizzare le motivazioni possibili che avrebbero spinto gli alunni a rispondere in modo corretto e non. Tale analisi a priori ha tenuto conto sia delle questioni epistemologiche sia delle misconcezioni.

Il questionario è stato realizzato in modo tale che ogni item avesse una difficoltà differente nell’apprendimento della Matematica in generale a seconda dell’argomento proposto negli ambiti di ricerca di algebra, aritmetica e geometria, fissando le seguenti regole per la compilazione:

Ø può essere anonimo o firmato se l'insegnante vuole conoscere la situazione per effettuare interventi di recupero. Questa non è una scheda di verifica, quindi non verrà valutata ai fini del profitto;

Ø il tempo massimo per la compilazione è di 60 minuti; Ø non sono ammesse cancellature, in caso contrario la risposta verrà considerata nulla; Ø le risposte errate potranno essere opportunamente marcate; Ø non è ammessa la calcolatrice.

Inoltre, consultati i docenti, si è resa necessaria la sostituzione di due esercizi in quanto alcuni istituti non avevano ancora svolto il programma previsto per quel periodo dell’anno scolastico in corso; si è così sostituito il compito di verifica (A)5 con il compito di verifica (B)6. Il test è stato strutturato in maniera tale da presentare per primi esercizi algebrico-aritmetici svolti da programma nel primo e secondo anno per agevolare lo studente nella risoluzione meccanica degli item e, per ultimi, esercizi di tipo geometrico facilmente eseguibili ricordando formule e/o semplici ragionamenti. Nello specifico, l’esercizio numero 1) sull’ambito aritmetico, concerne la percentuale che dovrebbe essere già nota da studi precedenti; analogamente, per gli esercizi algebrici numero 2) sull’insiemistica e numero 5) sui numeri primi, per i quali lo studente dovrebbe aver note le definizioni. L’item numero 3) prevede la conoscenza dei prodotti notevoli, in quanto si tratta di una somma di cubi scomponibile aritmeticamente nel prodotto di due polinomi. Non si poteva fare a meno di inserire una disequazione razionale fratta, argomento svolto da poco in programma come si evince nell’esercizio numero 4) e infine negli esercizi numero 6) sulla parabola e numero 7) sulla retta di ambito geometrico. Riguardo l’analisi a priori del Compito di Verifica (B), si esaminano i possibili atteggiamenti che un alunno può presentare durante la risoluzione del test:

1. Procede per tentativi; 2. Non esegue la consegna; 3. Esegue correttamente la consegna; 4. Risolve l’esercizio motivando i passaggi; 5. Non riesce a capire la consegna; 6. Non riesce (o ha difficoltà) a risolvere la consegna; 7. Risolve gli esercizi non motivando i passaggi eseguiti; 8. Non svolge l’esercizio; 9. Sbaglia ad inserire un dato; 10. Ha difficoltà nelle operazioni; 11. Abbandona l’esercizio perché non sa risolvere le operazioni; 12. Non sa interpretare simboli matematici come quello di percentuale

5Vedi allegato 1 6 Vedi allegato 2



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13. Non legge la consegna e non esegue il compito; 14. Legge la consegna ma non esegue il compito; 15. Chiede aiuto; 16. Svolge la consegna, solo negli esercizi in cui riceve l’aiuto; 17. Totale disinteresse nei confronti del questionario proposto.

Il compito prevede diversi gradi di difficoltà a seconda dell’esercizio proposto. Analizzando la consegna, si reputa che l’esercizio più semplice da poter eseguire correttamente sia il terzo, in quanto è possibile risolverlo senza conoscere necessariamente la formula del prodotto notevole ma effettuando i prodotti in ciascuna delle risposte presenti. Aumentando il grado di difficoltà, seguono gli esercizi n.5, n.2, n.1 perché richiedono la sola conoscenza di definizioni, di enumerazioni e di semplici calcoli algebrici; l’esercizio n.7 poiché dando valori arbitrari all’incognita si può trovare il valore dell’incognita e dunque un insieme di punti che soddisfano l’equazione data, cosicché risulti possibile rappresentarla nel piano cartesiano; l’esercizio n.4 che richiede la conoscenza della formula risolutiva dell’equazione di secondo grado, nonché della regola dei segni per individuare gli intervalli dell’incognita in cui la disequazione è positiva e infine l’esercizio n.6 che prevede l’acquisizione della nozione e delle formule sul vertice, fuoco, asse e direttrice della parabola. Si riportano di seguito ogni esercizio del compito indicando con i possibili ragionamenti che uno studente fa nel segnare la risposta j-esima dell’ i-esimo item:

Item 1

Il 5% del 10% di un numero n vale 100. Quanto vale n? Motiva la risposta. a) 1000 b) 5000 c) 10000 d) 20000 e) 100000

: l’alunno interpreta 10% come e moltiplica il denominatore per 100, ottenendo 1000 e

trascurando il dato 5%.

: non sapendo il significato di percentuale, moltiplica e poi il risultato per 100, ottenendo

5000.

: interpreta il 10% come 100 e lo moltiplica per 100, ottenendo 10000 e ignorando 5% perché

già ha trovato 10000 tra le opzioni proposte.

: risponde correttamente o perché la risposta è stata messa a caso o copiata o ragionata.

: interpreta 10% come e moltiplica questo risultato per 100, ignorando il dato

5%. Item 2

è un numero:



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a) Intero b) Razionale c) Reale d) Nessuna delle risposte

proposte Motiva la risposta.

: l’alunno confonde con il numero intero 3.

: confonde il termine “razionale” con “radice” oppure, non vedendo l’opzione “irrazionale”, per

assonanza segnano la b).

: risponde correttamente perchè ha ragionato sulla risposta ed è consapevole che i numeri

irrazionali sono nei reali oppure la segna per sbaglio o a caso o copiando senza motivare.

: non trova “irrazionale” tra le opzioni e non sa che gli irrazionali sono contenuti nell’insieme

dei numeri reali.

Item 3

……. a) b) c) d) e) Non si può scomporre

Motiva la risposta.

: trattandosi di una somma di cubi, lo studente pensa sia sufficiente fare il cubo del binomio

, visto che e .

: non ricorda bene la regola di questo prodotto notevole secondo cui la somma delle basi va

moltiplicata al “falso quadrato” e non al quadrato del binomio in questione.

: effettua la moltiplicazione del primo termine del binomio con il primo del secondo binomio e

del secondo termine del primo binomio con il secondo termine del secondo binomio.

: risponde correttamente perché si ricorda la regola del prodotto notevole o moltiplica i due

polinomi o scompone il polinomio con la regola di Ruffini, giungendo così al risultato oppure

messa a caso o copiata senza motivare la risposta.

: svolge tutti i prodotti delle precedenti opzioni sbagliando i conti e segnano questa risposta

pensando che nessuna sia corretta oppure, vedendo solo l’indeterminata x e il termine noto ma non i

termini intermedi, pensa si possa trattare di un polinomio irriducibile.

Item 4



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Risolvere la disequazione: Item 5 Indicare quanti sono i numeri primi da 2 a 11:

a) 3 b) 5 c) 4 d) 9 e) quesito senza soluzione univoca o corretta f) nessuna delle precedenti risposte è corretta

Motiva la risposta.

: l’alunno pensa che 2 e 11 siano esclusi, pur avendolo avvisato di doverli considerare, e

conteggia solo 3 numeri primi oppure risponde a caso o sbaglia nel conto.

: risponde correttamente considerando 2 e 11 inclusi.

: sbaglia il conteggio perché considera, al posto dei numeri primi, i dispari compresi tra 2 e 11

esclusi, senza sapere che 9 non è primo.

: non sapendo cosa sia un numero primo, segna questa risposta perché considera .

: considerando l’intervallo [2,11], pensa che ci possano essere infiniti numeri primi tra 2 e 11.

: non conoscendo la definizione di numero primo, conta da 2 a 11 ottenendo 10 numeri e non

trova questa risposta tra quelle proposte. Item 6 Qual è il vertice nella parabola ?

a) (2,2) b) (2,1) c) (1,2) d) (0,0) e) quesito senza soluzione univoca o corretta f) nessuna delle precedenti risposte è corretta

Calcolare anche Fuoco, asse e direttrice.

Motiva la risposta.

: lo studente vede l’esponente dell’indeterminata e, non sapendo le formule di ascissa e

ordinata del vertice, considera la coordinata del vertice

: vede 2, esponente della , come la coordinata del vertice e 1, esponente della y, come

coordinata y del vertice, non conoscendo la formula.

: lo stesso ragionamento di prima, ma guardando nell’ordine in cui compaiono gli esponenti

nell’equazione della parabola.



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: risponde correttamente perché conosce la formula oppure, sostituendo a lo 0, vede che y è 0

e individua come punto della parabola senza sapere di preciso se è un vertice o no.

: pensa che una parabola possa avere più di un vertice.

: non conosce la formula oppure sbaglia i calcoli e non individua nessuna delle soluzioni da lui

trovate tra le opzioni. Item 7 In un piano cartesiano l'equazione rappresenta

a) una retta parallela all'asse y b) una retta parallela all'asse x c) un punto del piano d) la bisettrice del I e III quadrante e) quesito senza soluzione univoca o corretta f) nessuna delle precedenti risposte è corretta

Motiva la risposta.

: l’alunno confonde il segno di uguaglianza con quello di parallelismo, leggendo da

destra.

: confonde il segno di uguaglianza con quello di parallelismo, leggendo da sinistra.

: osserva e, sapendo che un punto del piano ha coordinate , scambia una retta per

un punto.

: risponde correttamente perché è consapevole della risposta oppure perché sostituisce valori a

e a e, facendoli variare, trovano una retta passante per il I e III quadrante anche se non sa cosa

sia una “bisettrice”.

: individua in una retta, ma non sa di preciso se è la a), la b), la c), la d) oppure tutte e

tre.

: vede come una retta passante per l’origine, ma non come bisettrice.

Dopo la consegna del test, si sono osservati da una parte gli atteggiamenti degli studenti durante la

compilazione, dall’altra la personale preparazione. Nello specifico maggiore serietà nel sottoporsi a

questa attività, sia da parte degli alunni che dei docenti, è stata mostrata dal Liceo delle Scienze

Sociali di Castelvetrano (TP) e dal Liceo Scientifico di Palermo; infatti se nel primo istituto

l’insegnante ha saputo motivare opportunamente la classe considerando la prova come occasione di

valutazione, nel secondo lo svolgimento è stato condotto in maniera disinvolta e serena vista la loro

preparazione e disponibilità del professore.



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3. Risultati

L’analisi condotta nelle varie tipologie di istituti, non vuole attribuire un’etichetta a ciascuna scuola né si vuole fare un confronto degli stessi per raggruppamenti territoriali (visto che non si mettono a paragone scuole dello stesso tipo per diverse aree geografiche), ma si vogliono analizzare le cause di questa disaffezione per la Matematica e cercare di dare possibili soluzioni visto che l’Italia non è collocata bene a livello mondiale per preparazione in questa disciplina. I ragazzi con cui è stata condotta la sperimentazione rappresentano uno spaccato della società giovane di oggi tra cui ragazzi particolarmente dotati, normo-dotati, con ritmi lenti d’apprendimento, con un ambiente socio-culturale non adeguatamente stimolante e ragazzi con handicap intellettivi. I primi istituti confrontati sono stati i licei di Menfi (AG) e di Castelvetrano (TP) che hanno lo stesso indirizzo di studi, ma che sono rispettivamente un istituto paritario e un istituto statale. In accordo con le aspettative, i ragazzi della prima scuola hanno mostrato maggiori difficoltà. Esse sono tali da impedire di seguire un programma in scuole statali dove il confronto con numerosi ragazzi e magari più preparati e/o veloci nell’apprendimento porta spesso alla rinuncia al sapere. Si tratta inoltre di ragazzi difficili da scolarizzare e chiedere loro un po’ di attenzione su argomenti scientifici è davvero difficile perché, non avendo basi specifiche, provano insofferenza in materia. Così l’insegnante può solo cercare di riprendere lacune accumulate su tematiche di anni passati e andare avanti col programma è molto complicato. Il docente inoltre, poco esperiente, ha difficoltà nel gestire la situazione in classe concedendo loro troppo e dando suggerimenti durante la verifica che i ragazzi non capiscono inducendoli a dare motivazioni sbagliate nel test. Oltre a vedere una certa insicurezza sul campo, si è persa con questi ragazzi l’opportunità di veder valutata la loro prova, cosa che li avrebbe più motivati nella compilazione del questionario. Situazione differente si è presentata nel liceo statale di Castelvetrano, dove i ragazzi erano più preparati perché più volenterosi, seguiti dalle famiglie e stimolati adeguatamente dal professore che non solo ha utilizzato tale test come strumento di valutazione, ma si è mostrato disposto ad altri interventi di questo tipo e/o di approfondimento, insomma una didattica matematica che ha sortito i suoi effetti positivi sull’intera classe. Se in tale scuola l’insegnante con la sua lunga esperienza ha ottenuto buoni risultati su un materiale umano di per sé predisposto, nell’ Istituto Tecnico Commerciale di Menfi (AG), l’insegnante ha avuto risultati discreti ma non eccellenti e si è visto chiaramente perché, pur essendo state le stesse tematiche trattate più volte, i ragazzi tendono a dimenticare facilmente le cose apprese sia perché portati ad altri tipi di capacità (tecnico-pratiche) sia perché le poche ore di matematica non consentono loro di seguire gli argomenti con continuità come la materia richiede. Di particolare interesse in classe è stata la presenza di un portatore di handicap intellettivo. In questi casi, lo sviluppo culturale dovrà partire dalle effettive capacità, tralasciando il perseguimento di obiettivi più complessi e non proponibili perché non adeguati alle reali possibilità. Se l’handicap poi è tale da comportare oggettivi impedimenti (e non è questo il caso), l’intervento formativo va spinto in tutte le direzioni realisticamente possibili per la sua crescita. Certo non è facile nel lavoro scolastico studiare come sia possibile sviluppare le capacità logiche di allievi in situazioni di handicap intellettivo, specialmente se gli argomenti da trattare non sono legati al concreto e all’esperienza diretta. L’importanza tuttavia di questo sforzo è enorme se si pensa che la maturazione di certe abilità logico-matematiche può consentire a tali alunni di condurre una vita più normale e serena.



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Gli studenti del Liceo Scientifico di Palermo sono riusciti ad ottenere buoni risultati con conoscenze anche pregresse; una minima parte particolarmente dotata, in quanto abili a svolgere l’intero compito con intuizioni e conoscenze acquisite; pochissimi, con ritmi lenti di apprendimento, evidenti dalla continua ricerca di suggerimenti da parte dei compagni, per nascondere le proprie lacune o per completo disinteresse. Differente, invece, è stata la situazione riscontrata nella classe del Liceo Classico di Palermo, dove è stata rilevata una difficoltà diffusa in tutti gli alunni, riscontrabile dall’evidente poco interesse nei confronti della materia considerata superflua per il loro percorso di studi e dall’atteggiamento di arresa ancor prima di leggere la consegna. La situazione non omogenea analizzata nei vari Istituti si riscontra dai risultati dei compiti. La media dei voti del test in ogni classe esaminata è stata riportata nel grafico sottostante.

Si è osservato che in generale il 42% della scolaresca supera a pieni voti il compito, ma il resto presenta gravi lacune tali da richiedere tempestivi interventi didattici (ragazzi i cui voti sono compresi tra 0/7 e 4/7); gran parte privi di motivazioni. Di particolare rilevanza risultano essere due compiti il cui punteggio è 0/7 (segnando le risposte senza alcuna motivazione), uno del Liceo delle Scienze Umane di Castelvetrano e l’altro del Liceo Scientifico di Palermo, pur essendo alunni degli istituti nei quali sono stati riscontrati i risultati migliori. Si riportano di seguito i compiti più significativi nella rappresentanza della scolaresca. La Figura1 mostra uno dei compiti migliori in assoluto, poiché è stato svolto e correttamente motivato, dimostrando pertanto che lo studente conosceva formule e tecniche risolutive.



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Figura 17

In particolare, si noti lo svolgimento dell’esercizio n. 4 perfettamente eseguito in via del tutto

eccezionale rispetto alla media.

7Liceo delle Scienze Sociali di Castelvetrano (TP).



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In figura 2 è stato inserito un compito che ci ha particolarmente colpito, perché di un ragazzo che,

prendendo alla lettera e non senza polemiche il nostro invito a compilare il test mettendo con cura e

sincerità la motivazione di ogni risposta, ecco come e cosa ha scritto:

Figura 28

La peculiarità di tale compito, vien messa in risalto dalla risposta n.4, nel quale esprime palesemente il suo disinteresse verso la matematica. Per ultimo, in figura n.3 e figura n.4 sono stati inseriti due dei compiti peggiori perché, pur avendo risposto correttamente a tre esercizi su sette, non sono stati argomentati, i restanti non sono stati eseguiti o motivati correttamente.

8Liceo Delle Scienze sociali di Menfi (AG).



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Figura 39

Si nota, la risoluzione fantasiosa dello studente riguardo l’esercizio n.7 nel quale l’equazione è stata interpretata e disegnata come due assi cartesiani della stessa misura ( quadratini).

9Liceo Classico di Palermo.



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Figura 410

10Liceo Classico di Palermo.



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Come da precedente osservazione, si ravvisa un’altra fantasiosa risposta in merito allo svolgimento

dell’esercizio n.7; infatti il discente disegna gli assi cartesiani, attribuisce il valore a e a ,

identifica il punto e a partire da esso traccia una retta parallela all’asse delle .

Inoltre, si nota che non è stato svolto l’esercizio n.4, mentre l’esercizio n.2 è stato svolto e motivato

erroneamente non solo dallo scolaro in questione, ma anche dal resto della classe.

Tra i compiti analizzati vi è quello di uno studente portatore di handicap intellettivo, di cui non si

riporta il protocollo poiché privo di risposte e dunque poco significativo ai fini dell’indagine svolta.

In generale, si è notato che gli esercizi in cui i ragazzi hanno avuto più difficoltà sono stati il n.4 e il

n.6, in quanto l’esercizio riguardante la disequazione fratta richiedeva uno svolgimento completo;

quello sulla parabola invece richiedeva la conoscenza della formula del vertice, asse, direttrice e

fuoco (competenza non ancora del tutto acquisita). Gli esercizi n.1, n.3 e n.5 sono stati affrontati in

modo corretto da una netta maggioranza di studenti, poiché era sufficiente conoscere la definizione

delle nozioni richieste (percentuale, prodotto notevole e numero primo), acquisite in precedenza.

I rimanenti quesiti hanno prodotto una misconcezione, in particolare il non conoscere

all’interno dei numeri reali e nel non saper caratterizzare le differenti rette presentate tra le risposte

elencate. Ponendo l’attenzione all’ordine di esecuzione, ogni scuola ha reagito differentemente alla

compilazione del test a seconda della propria preparazione in materia; la maggior parte degli

studenti ha seguito l’ordine proposto, eseguendo con maggiore velocità e sicurezza quello sulla

scomposizione in fattori del polinomio, forse perché la conoscenza della regola comporta un

automatismo di calcolo oppure perché le risposte date di per sé sono di aiuto per la risoluzione del

quesito.

4. Conclusioni e problemi aperti

La stesura e correzione del compito hanno messo in luce problematiche su cui si possono fare

eventuali tentativi di miglioramento dello stesso, al fine di rilevare maggiormente la preparazione di

ogni singolo alunno, nonché della sua capacità di ragionamento.

Nello specifico si propongono i seguenti cambiamenti:

ü nell’esercizio n. 5 sarebbe opportuno specificare nella consegna l’eventuale inclusione dei

numeri primi 2 e 11, poiché il testo così presentato poteva causare, come è stato, problemi di

interpretazione;

ü nell’esercizio n.6, si potrebbe inserire anche il punto per creare ambiguità con il punto

che appartiene anch’esso alla parabola, ma rispetto al precedente è anche vertice;

ü dare come tempo massimo di esecuzione del compito 90 minuti, per potere ricontrollare

eventuali errori e/o riflettere maggiormente sulle motivazioni.



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Alla luce di tale esperienza, insegnare, non è un’azione comunicativa fine a se stessa, in quanto ha

lo scopo di far raggiungere un apprendimento che non può essere ridotto al possesso di conoscenze

concettuali (principi, concetti e teorie) e procedurali (abilità pratiche e intellettuali) ma deve

comprendere l’apprendimento di atteggiamenti e di comportamenti (disponibilità positive o

negative verso cose, persone, situazioni ecc.). Insegnare inoltre deve sempre fare i conti con la

libertà di pensiero dell’allievo: egli può quindi accettare la proposta didattica, ma può anche

rifiutarla.

Quando un docente attua una strategia didattica, è bene che si sappia che ogni sforzo sarà vanificato

se l’alunno ha già deciso di non predisporsi mentalmente. Ogni intervento, tuttavia, non si deve

ritenere inutile specialmente per gli alunni più ricettivi e comunque deve tenere conto dello stato

d’animo di coloro a cui viene proposto. Bisogna allora, oltre che essere persuasivi, essere anche

tempestivi cogliendo situazioni e momenti opportuni per intervenire, ad esempio si possono usare

eventi storici o fatti quotidiani spesso riportati dai mass-media per soddisfare attese cognitive e

provocare riflessioni che possono portare a cambiamenti valutativi e decisionali oppure si possono

preparare percorsi ad hoc per generare forme di attenzione. Ad esempio per meglio capire

l’esercizio sulla retta oppure quello sulla parabola, sarebbe stato opportuno mostrarli al computer

attraverso programmi specifici (cabrì o geogebra). In tal senso di grande attualità è l’affermazione

di Comenio che diceva: “Didactica artificium docendi sonat” cioè l’insegnamento viene visto come

un artificio nel senso costruttivo del termine. La parola d’ordine quindi è quella di individualizzare

l’insegnamento, rispettando la situazione di tutti gli studenti senza far mai sentire lo scolaro

emarginato o estraneo alla classe di appartenenza.

In tal senso, sono stati riportati quattro consigli che possono risultare utili quando si deve attuare

una buona didattica per allievi portatori di handicap:

1. programmare attività didattiche specifiche in aula compatibili con la lezione da

svolgere. L’allievo, pertanto, potrà sentirsi parte integrante della classe e parte

importante del gruppo classe stesso;

2. l’insegnante dovrà sottolineare l’importanza del lavoro fatto sia in fase di

realizzazione sia in fase di utilizzo perché molto spesso l’alunno rifiuta tutto ciò che

non ha attinenza con quello che fanno gli altri, ribellandosi e non eseguendo le

esercitazioni predisposte per lui;

3. coinvolgere direttamente l’alunno nella lezione facendogli esporre il lavoro fatto,

concetti imparati e calcoli eseguiti per giungere ad una soluzione;



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4. fargli fare un percorso graduale affrontando compiti a difficoltà crescente senza mai

forzare i tempi e i ritmi dello studente, motivando il lavoro ed evitando quelle attività

che possano dare la sensazione di isolamento ed emarginazione.

Indipendentemente da quali siano le problematiche della scolaresca, bisogna sempre tenere conto di

avere a che fare con ragazzi che vivono in un’età difficile così piena di veloci e profonde

trasformazioni. In molti casi lo sviluppo fisico è più rapido dell’evoluzione e maturazione della

personalità, allora è fondamentale da insegnante aiutare gli studenti a vivere positivamente la loro

crescita:

ü conoscendo se stessi biologicamente, psicologicamente e affettivamente;

ü conoscendo i fattori della propria personalità come il carattere e la mentalità;

ü riconsiderando i rapporti interpersonali con coetanei ed adulti (genitori, fratelli,

amici, compagni) alla luce dei cambiamenti in atto;

ü centrando il concetto di libertà attraverso l’analisi di esperienze e situazioni in cui si

individua l’osservanza o la negazione di questo principio;

ü riconoscendo i valori parlati e agiti;

ü distinguendo i ruoli, maschile e femminile, senza pregiudizi e condizionamenti

separandone l’evoluzione nella nostra società.

Tutto ciò si potrà raggiungere solo se esiste una buona cooperazione tra scuola – famiglia, cosa oggi

molto spesso difficile.

Per quanto riguarda il rapporto dei ragazzi con la Matematica, la questione è problematica perché

gli studenti vedono la materia troppo ostica e a volte incomprensibile tanto da provare timore o

addirittura ansia e paura. In accordo col periodo di crescita che stanno affrontando, la paura è

un’emozione strettamente connessa alle esperienze basilari dello sviluppo perché è un modo

fisiologico di rispondere e adattarsi alle novità o comunque a tutto ciò che turba l’equilibrio. Nel

caso specifico della materia può essere causata dall’angoscia di essere oggetto di biasimo, ridicolo,

pettegolezzi, paura connessa alla sicurezza personale e di dimostrare la propria incapacità dinanzi ai

compagni. Inoltre tutto questo può far nascere insoddisfazione personale tale da portare al rifiuto

completo nei confronti della materia e, per quello che compete all’azione del docente, tale da

richiedere e comportare un vero e proprio “programma terapeutico”. Esso deve consistere di

un’opera d’incoraggiamento volta a sostenere le capacità dell’alunno nel lavoro svolto e allo stesso

tempo d’interessamento perché il ragazzo non deve mai sentire il peso della noia nel processo

formativo.



32

L’apprendimento della Matematica infine dovrebbe essere articolato in fasi diverse, che si alternano

e interagiscono per avviare l’alunno ad un’autonomia di gestione delle proprie conoscenze con un

metodo di studio-lavoro del tutto personale. Esse sono due e sono il momento induttivo e quello

deduttivo. Per il primo l’apprendimento è fatto “per scoperta” cioè dalla semplice osservazione di

esempi ed esperienze laboratoriali che coinvolgono attivamente l’alunno, si giunge all’acquisizione

di formule e teorie logico-matematiche mediante astrazione, invece nella seconda fase lo studente

ha appreso procedimenti, regole, schemi che devono essere calati in seguito nei vari contesti

specifici e di conseguenza consolidati.

Riferimenti bibliografici [1] D’Amore B., (2001), Didattica della Matematica, Bologna: Ed. Pitagora. [2] D’Amore B., (2001), Scritti di Epistemologia Matematica, Bologna: Ed. Pitagora. [3] Spagnolo F., (1998), Insegnare le matematiche nella scuola secondaria, Firenze: La Nuova Italia Editrice. [4] Boselli G., Seganti M., (2006), (eds.), Dal pensare delle scuole: riforme, Roma: Armando Editore. [6] Laneve Cosimo, Scuola e Didattica(la rivista per la scuola secondaria di II grado), volume 5 e 8, anno XLI, Brescia: Editrice La Scuola. [7] Lezzi Fiorentino Maria Teresa, Scuola e Didattica (la rivista per la scuola secondaria di II grado), volume 13, anno XLI, Brescia: Editrice La Scuola. [8] Sbaragli S., (2013), Il ruolo delle misconcezione nella didattica della matematica, Napoli: Edises. [9] Sbaragli S., (2012), La didattica della matematica: insegnamento e apprendimento a confronto, Bologna: Pitagora Editrice. [10] Tortello Mario, Scuola e Didattica(la rivista per la scuola secondaria di II grado), volume 8, anno XLI,Brescia: Editrice La Scuola.



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Allegato 1. COMPITO DI VERIFICA (A)

SCUOLA: ………………………………………………….. CLASSE: ……………………… DATA: …………………………….

1) Il 5% del 10% di un numero n vale 100. Quanto vale n? Motiva la risposta. a) 1000 b) 5000 c) 10000 d) 20000 e) 100000

2) è un numero: a) Intero b) Razionale c) Reale d) Nessuna delle risposte proposte Motiva la risposta.

3) ……. a) b) c) d) e) Non si può scomporre

Motiva la risposta.

4) Eseguire la razionalizzazione di .

5) Risolvere la disequazione:

6) La relazione rappresentata dal seguente diagramma:

a. Non è una funzione b. È una funzione iniettiva c. È una funzione biunivoca



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d. Nessuna delle altre risposte è corretta e. È una funzione suriettiva Motiva la risposta.

7) La tangente ad una circonferenza in un punto P: a) È parallela al raggio passante per P b) È ortogonale al raggio passante per P c) Forma un angolo qualunque col raggio passante per P d) Taglia la circonferenza secondo una corda e) Nessuna delle precedenti

Motiva la risposta



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Allegato 2. COMPITO DI VERIFICA (B)

SCUOLA: ………………………………………………….. CLASSE: ……………………… DATA: ………………………….

1) Il 5% del 10% di un numero n vale 100. Quanto vale n? Motiva la risposta. a) 1000 a) 5000 b) 10000 c) 20000 d) 100000

2) è un numero:

a) Intero a) Razionale b) Reale c) Nessuna delle risposte

proposte Motiva la risposta.

3) ……. a) b) c) d) e) Non si può scomporre

Motiva la risposta.

4) Risolvere la disequazione:

5) Indicare quanti sono i numeri primi da 2 a 11:

a) 3 b) 5 c) 4 d) 9 e) quesito senza soluzione univoca o corretta

Motiva la risposta.

6) Qual è il vertice nella parabola ?



36

a) (2,2) b) (2,1) c) (1,2) d) (0,0) e) quesito senza soluzione univoca o corretta

Calcolare anche Fuoco, asse e direttrice.

Motiva la risposta.

7) In un piano cartesiano l'equazione rappresenta

a) una retta parallela all'asse y b) una retta parallela all'asse x c) un punto del piano d) la bisettrice del I e III quadrante e) quesito senza soluzione univoca o corretta

Motiva la risposta.

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