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LIMITI

1 DEFINIZIONI DI LIMITE 1

Limiti

Indice

1 Definizioni di limite 11.1 Limite finito al finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Limite per x a+ (limite destro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Limite per x b (limite sinistro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Limite per x c (limite bilatero) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limite finito allinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Limite infinito al finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Limite infinito allinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Confronto dei limiti 10

3 Limiti di funzioni elementari 11

4 Algebra dei limiti 12

5 Confronto locale 165.1 Simboli di Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Principi di eliminazione/sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Un limite fondamentale 23

7 Soluzioni degli esercizi 23

Il concetto di limite e fondamentale. Importanti concetti matematici che seguono sono definiti attraverso il concettodi limite. In questa lezione vediamo anzitutto una definizione rigorosa di tale concetto. Rinuncio ad una definizionegenerale, peraltro non molto piu difficile, per presentare varie definizioni per i vari casi possibili, ritenendo che questoapproccio faciliti lo studente, permettendogli di fissare lattenzione su situazioni di volta in volta specifiche.

Vediamo in seguito alcuni limiti di funzioni elementari e successivamente presento alcune tecniche di calcolo deilimiti, valide piu in generale. Finisco con limportante questione del confronto tra funzioni e con un limite fondamentale.

1 Definizioni di limite

Prima di entrare nelle definizioni rigorose, cerchiamo di capire il significato concreto di quello che vogliamo definire.Se abbiamo una funzione, puo succedere che non possiamo calcolare il valore che essa assume in corrispondenza ditutti i numeri reali, per il semplice fatto che, come abbiamo visto, ci sono funzioni che non sono definite in tutto R.

Supponiamo ad esempio che la funzione f sia definita in un intervallo e che non sia definita in un punto, chiamiamoloc, di tale intervallo. Quindi non possiamo calcolare f(c). Pero possiamo chiederci: se la variabile x della nostra funzionesi avvicina infinitamente al punto c (e questo lo puo fare perche f e definita attorno a c), a quale valore, se ce, siavvicina il valore di f(x)? Questo valore e appunto il limite per x che tende a c della funzione f .

Ecco la definizione rigorosa, nei diversi casi che si possono presentare. Considereremo soltanto funzioni definite suintervalli, che potranno essere limitati o illimitati.

1.1 Limite finito al finito

Si parla di limite finito al finito quando il valore a cui tende la variabile x e un numero reale ed il limite e pure unnumero reale (non abbiamo quindi a che fare con infiniti).

A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

LIMITI

1 DEFINIZIONI DI LIMITE 2

1.1.1 Limite per x a+ (limite destro)

Sia f : (a, b) R, con (a, b) intervallo limitato di R.Definizione Si scrive

limxa+

f(x) = , con R

se, per ogni intorno ( , + ) del limite , esiste un intorno destro [a, a + ) di atale che

per ogni x (a, a+ ) si ha che f(x) ( , + ).a b

+

()

a+)bc

bc

bc

bc

x

y

Qui occorre qualche commento, trattandosi di una delle definizioni piu difficili del corso.

Osservazione Si osservi subito che nella scrittura per ogni x (a, a+), la parentesi su a e tonda: significa che ladefinizione non chiede nulla circa il valore f(a), che potrebbe anche non esistere, dato che si parla di funzione definitain (a, b). Se la funzione f e definita anche in a, la definizione comunque non chiede nulla su f(a).

La definizione quindi chiede che, qualunque sia > 0, ci sia un intorno destro di a per cui i valori degli x chestanno in questo intorno, eccettuato il punto a, abbiano un corrispondente f(x) che appartiene allintorno di raggio del limite. Vuol dire in pratica che possiamo ottenere valori della funzione arbitrariamente vicini al limite purchescegliamo valori x sufficientemente vicini (a destra) al punto a.

Osservazione Sulle notazioni utilizzabili: la condizione x (a, a+) si puo anche esprimere scrivendo a < x < a+,e la condizione f(x) (, +) si puo indifferentemente esprimere scrivendo < f(x) < + oppure |f(x)| < .Quindi la definizione si puo anche formulare piu sinteticamente scrivendo che

> 0 > 0 : a < x < a+ = < f(x) < + (oppure |f(x) | < ).

Osservazione Nota di carattere operativo: se dobbiamo provare che e vera una certa scrittura di limite bastaprovare che per ogni > 0 linsieme delle soluzioni della disequazione |f(x) | < contiene un insieme del tipo(a, a+ ) per qualche > 0, cioe contiene un intorno destro di a (a escluso). Vedremo piu avanti alcuni esempi.

Adesso vediamo gli altri casi.

1.1.2 Limite per x b (limite sinistro)Sia sempre f : (a, b) R, con (a, b) intervallo limitato di R.Definizione Si scrive

limxb

f(x) = , con R

se, per ogni intorno ( , + ) del limite , esiste un intorno sinistro (b , b] di btale che

per ogni x (b , b) si ha che f(x) ( , + ).

Osservazione Anche in questo caso non si chiede nulla su f(b). Analogamente aquanto fatto prima, la cosa si puo esprimere scrivendo che

a b

+

()

b(bc

bc

bc

bc

x

y

> 0 > 0 : b < x < b = < f(x) < + .

Osservazione (di carattere operativo). Per provare che e vera una certa scrittura di limite da sinistra basta provareche per ogni > 0 linsieme delle soluzioni della disequazione |f(x) | < contiene un insieme del tipo (b , b) perqualche > 0, cioe un intorno sinistro di b (b escluso).

1.1.3 Limite per x c (limite bilatero)Sia (a, b) un intervallo e sia c (a, b). Sia poi f : (a, b) \ {c} R. 1

1La scrittura (a, b) \ {c}, come lo studente dovrebbe ricordare, indica lintervallo (a, b) privato del punto c. Quindi si considera unafunzione che e definita in (a, c) (c, b), e cioe puo non essere definita nel punto c.

A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

LIMITI

1 DEFINIZIONI DI LIMITE 3

Definizione Si scrive

limxc

f(x) = , con R

se, per ogni intorno ( , + ) del limite , esiste un intorno (c , c+ ) dic tale che

per ogni x (c , c+ ) \ {c} si ha che f(x) ( , + ). 2 a b

c

+

()

c c+( )bc

bc

bc

bc

bc

bc

x

y

Osservazione Si osservi che qui, analogamente a quanto fatto prima con i limiti da destra e da sinistra, non sichiede nulla su f(c), e quindi si considera lintorno (c , c+ ) privato del punto c. La definizione in questo caso sipuo dare in forma compatta scrivendo che

> 0 > 0 : c < x < c+ , x 6= c, = < f(x) < + .

Di solito il limite bilatero si chiama semplicemente limite. Quindi, dicendo limite, si allude al limite bilatero.

Osservazione Anche in questo caso la nota di carattere operativo. Per provare che e vera una certa scrittura dilimite bilatero basta provare che per ogni > 0 linsieme delle soluzioni della disequazione |f(x) | < contiene uninsieme del tipo (c , c) (c, c+ ) per qualche > 0, cioe un intorno di c (con c escluso).Osservazione Per provare invece la falsita di una certa scrittura di limite basta trovare un particolare valore di per cui la condizione della definizione risulta falsa.

Esempio La seguente scrittura e vera:limx1

(x 1) = 0.

Infatti, fissato un qualunque intorno (, ) del limite 0, osserviamo che il valore della funzione (x 1) appartiene atale intorno se e solo se |x 1| < , cioe se e solo se 1 < x < 1 + . Le soluzioni costituiscono proprio un intornodel punto 1, lintorno (1 , 1 + ).Esempio Proviamo ora con la definizione che invece non e vera la scrittura

limx1

(x+ 1) = 1.

Fissato un intorno (1 , 1 + ) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza |x+ 1 1| < , cioe |x| < . Le soluzionidella disequazione sono date dallintervallo (, ). Evidentemente tale insieme non contiene sempre un intorno di 1:ad esempio, per = 1/2, esso e fatto di punti esterni ad un intorno di 1. La scrittura di limite quindi e falsa.

Esempio Proviamo chelimxe

lnx = 1.

Fissato un qualunque > 0 che definisce un intorno (1 , 1 + ) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza| lnx 1| < , che equivale a 1 < lnx < 1+ , che equivale a sua volta a e1 < x < e1+. Si tratta di un intervalloche contiene certamente un intorno di e, dato che e1 < e, mentre e1+ > e.

Esempio Proviamo chelim

x0+e1/x = 0.

Fissato un qualunque intorno (, ) del limite 0, il valore della funzione e1/x appartiene a tale intorno se e solo see1/x < , cioe se e solo se 1x < ln . Se x > 0 (ricordare che il limite e per x 0+), questa equivale a 1x > ln .

Ora, se > 1 (e quindi ln > 0), si ottiene x > 1ln , che e un numero negativo. Pertanto tutte le x positivesoddisfano la disequazione ed e determinato un intorno destro di 0.

Se invece &l