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IL CALCOLO DEI LIMITI

• Le operazioni sui limiti

• Le forme indeterminate

• le funzioni continue

• Gli asintoti

• Il grafico probabile di una funzione

Prof. Giovanni Ianne

1/19Prof Giovanni Ianne

LE OPERAZIONI SUI LIMITI

Teorema sul limite della somma, differenza, prodotto e quozienteSiano date due funzioni: . Sia

Sia .

RXf 1: RXg 2: 21 XXX

Xper oneaccumulazi d' puntoun 0x

0

2

210

1

lim

,con lim

esistono Se :Ipotesi

xxlxg

Rllxxlxf

0

2

2

1

0

21

0

21

0lcon )(

)( lim

)()(lim

)()(lim

esistono :Tesi

xxl

l

xg

xf

xxllxgxf

xxllxgxf


Secondo teorema sul limite di un quoziente

Supponiamo che il si presenti sotto la forma

allora si hanno tre casi:

1.

2.

3.

0

)(

)(lim

xxxg

xf

0-Rlcon 0

l

0)(:)(/)( 000 xgxxIxxI

0x xg(x)

f(x)lim il l

0)(:)(/)( 000 xgxxIxxI

0x xg(x)

f(x)lim il l

0)(,0)(/)(,)( 2100210 xgxgxxIxxxI

0xx g(x)

f(x)lim il esisteNon


Teorema sul limite del prodotto di una funzione per una costante

Sia e sia 0RK RXf :

0

)(lim

:

xxRlxf

esisteseIpotesi

0xxKllimKf(x)

esiste :Tesi


Teorema sul limite della radice di una funzione

Sia

Osservazione: se < 0 il teorema vale solo se n è dispari.

RXf :

0

0)(lim

:

xxlxf

esisteseIpotesi

0

0

n

xx

)(limf(x)lim

esiste :

nn lxx

xf

Tesi

l


Teorema sul limite della potenza di una funzione

Sia RXf :

0

)(lim

:

xxRlxf

esisteseIpotesi

0

n

0

n

xx

positivo interon con l)(lim

f(x)lim

esiste :

n

xxxf

Tesi


Teorema sul limite di una funzione esponenziale con esponente una funzione

Sia e sia 1Kcon RK RXf :

0

)(lim

:

xxRlxf

esisteseIpotesi

0

)(limf(x)

xxlimK

esiste :

0 lxxxf

KK

Tesi


Teorema sul limite del logaritmo di una funzione

Sia RXf :

0

0)(lim

:

xxlxf

esisteseIpotesi

0

0

xx

log)(lim

log)(limlog

esiste :

lxx

xfxf

Tesi


LE FORME INDETERMINATE

• Le forme indeterminate o di indecisione che si possono incontrare nel

calcolo dei limiti sono sette:

• Le forme indeterminate che studieremo sono del tipo:

00 ,0 ,1 , ,0

0 0, ,

e

0

0


FUNZIONI CONTINUESTESSO LIMITE, VALORI DIVERSI

Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x0 = 1.

Il valore del limite è l = 2.

Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x0 : f(x0) = l.

Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite.

La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.


LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUADEFINIZIONE

Funzione continua in un punto

Siano f(x) una funzione definita in un

intervallo [a; b] e x0 un punto interno

all’intervallo. La funzione f(x) si dice

continua nel punto x0 quando esiste il

limite di f(x) per e tale limite è

uguale al valore f(x0) della funzione

calcolata in x0 :

.

La funzione è continua nel punto quando:

• esiste il valore della funzione nel punto

• esiste ed è finito il limite della funzione per

• il limite coincide con il valore della funzione nel punto

)()()f(x )()(:)(/)( 0

00

000

xfxfossiaxfxfxIxxI

0x0x

0xx 0x 0(xfl


LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA

Una funzione può essere definita

continua anche negli estremi

dell’intervallo di definizione [a; b].

DEFINIZIONE

f(x) è continua a destra in x0, se f(x0)

coincide con il limite destro di f(x)

per x che tende a x0 :

.

DEFINIZIONE

f(x) è continua a sinistra in x0, se f(x0)

coincide con il limite sinistro di f(x)

per x che tende a x0 :

.

DEFINIZIONE

Funzione continua in un

intervallo

Una funzione definita in [a; b] si

dice continua nell’intervallo [a; b]

se è continua in ogni punto

dell’intervallo.

ESEMPIO

La funzione

non è continua in x0 = 1,

non è continua nell’intervallo [0;1],ma è continua nell’intervallo [1;2].


GLI ASINTOTI

Un asintoto di una funzione è una retta la cui distanza dal grafico dellafunzione tende a zero man mano che un generico punto P sul grafico siallontana all’ infinito.

y y y

0 x 0 x 0 x

Asintoto verticale Asintoto orizzontale Asintoto obliquo


ASINTOTI VERTICALI

Definizione

Sia

Sia

RRXf : Xper destra a oneaccumulazi d' x0Sia

funzione della grafico ilper sinistra a verticaleasintoto

x xequazione di retta 0

èLa

0x x

limf(x) il e sisteSe

RRXf : Xper sinistra a oneaccumulazi d' x0Sia

funzione della grafico ilper destra a verticaleasintoto

x xequazione di retta 0

èLa

0x x

limf(x) il e sisteSe


ASINTOTI ORIZZONTALI

Definizione

Sia

Sia

RXf : ntesuperiorme limitatonon X

funzione della grafico ilper destra a eorizzontal asintoto

qy equazione di retta èLa

x

limf(x) il e RqsisteSe

RXf : nteinferiorme limitatonon X

funzione della grafico ilper sinistra a eorizzontal asintoto

qy equazione di retta èLa

x

limf(x) il e RqsisteSe


ASINTOTI OBLIQUI

Definizione

Sia

Sia


funzione della grafico ilper destra a obliquo asintoto 0m q,mxy equazione di retta

èLa

x

0)(limf(x) il e qmxxfsisteSe


funzione della grafico ilper sinistra a obliquo asintoto 0m

q,mxy equazione di retta è

La

x

0)(limf(x) il e qmxxfsisteSe


LA RICERCA DEGLI ASINTOTI OBLIQUI

TEOREMA

Sia

Sia


funzione della grafico ilper destra a obliquo asintoto 0m q,mxy equazione di retta

èLa

xmx-f(x) lim .2

x

0x

f(x) lim 1.

: e

q

m

finitisistonoSe


funzione della grafico ilper sinistra a obliquo asintoto 0m

q,mxy equazione di retta è

La

xmx-f(x) lim .2

x

0x

f(x) lim 1.

:finiti e

q

m

sistonoSe


CONSIDERAZIONI FINALI SUGLI ASINTOTI

Poiché gli asintoti si ottengono dalle soluzioni di limiti, si puòaffermare che:

• le funzioni razionali intere non hanno asintoti

• le funzioni razionali fratte hanno tanti asintoti verticali quanti sono gli

zeri del denominatore

• le funzioni irrazionali possono avere solo asintoti verticali

• le funzioni trigonometriche possono avere solo asintoti verticali

• l’ esistenza di un asintoto orizzontale a destra esclude l’ esistenza di

quello obliquo a destra

• l’ esistenza di un asintoto orizzontale a sinistra esclude l’ esistenza di

quello obliquo a sinistra


IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE

Per rappresentare il grafico probabile di una funzione occorre:

• determinare il dominio

• studiare eventuali simmetrie

• determinare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani

• studiare il segno

• calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare i punti di

discontinuità

• determinare gli asintoti


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