Calcolo Infinitesimale

Laboratorio di tecnologie dell’istruzione e dell’apprendimentoLaboratorio di tecnologie dell’istruzione e dell’apprendimento

IL CALCOLO IL CALCOLO INFINITESIMALEINFINITESIMALE

1IL CALCOLO INFINITESIMALE

Studentesse: Ciotola Antonella

De Biase Giuliana

Tomasso Francesca

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INDICE

1. Cenni storici

2. Il Calcolo differenziale

• Derivata

• Teoremi fondamentali sul calcolo differenziale

• Applicazioni

3. Il calcolo integrale

• Integrale Indefinito e Integrale definito

• Teoremi fondamentali sugli integrali

• Applicazioni

IL CALCOLO INFINITESIMALE

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INTRODUZIONE

Ramo della matematica che ha per oggetto lo studio delle proprietà delle funzioni di una o più variabili.

Per convenzione, si usa suddividere il calcolo infinitesimale in:

• calcolo differenziale, che approfondisce il comportamento delle funzioni nell’operazione di derivazione,

• calcolo integrale, che studia le proprietà delle funzioni nell’operazione di integrazione.

Il calcolo infinitesimale è essenziale per la formalizzazione matematica dei fenomeni naturali e viene utilizzato come strumento di lavoro in tutte le discipline di scienze fisiche.


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QUADRO STORICO

Antica Grecia

Democrito

Eudosso e Archimede

XVII Secolo

Cavalieri e Torricelli

Cartesio e Pierre de Fermat

Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz

XVIII Secolo

XIX Secolo

XX Secolo

Bolzano e Cauchy

Cauchy e Riemann

Dedekind e Weierstrass

volume della piramide e del cono

area del cerchio

sviluppo degli infinitesimi

aree sottese da curve assegnate e tangenti ad esse

Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale

Limiti

Derivate


Derivata di una funzione reale a variabile reale


La derivata di una funzione è uno

dei cardini dell’analisi matematica

e del calcolo infinitesimale


Derivata destra e derivata sinistra

Si chiama derivata destra di f in x0 il:

Si chiama derivata sinistra di f in x0 il:


Significato geometricoIl valore della derivata di f(x)calcolata in x0 ha un significatogeometrico: è il coefficiente

angolaredella retta tangente alla curvarappresentata nel grafico nel puntodi coordinate (x0 , f(x0)). L’equazionedella retta tangente è

Se f(x) è derivabile nel punto x0 allora

esiste una funzione o(|x-x0|) definitain un intorno di x0 tale che:

con


Teorema di continuità Il teorema asserisce che se f(x) è derivabile in

x0 allora f(x) è anche continua in x0.Notiamo che l'opposto non è sempre vero: ad

esempio, la funzione f(x) = | x | è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0,

perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra.

Dimostrazione La dimostrazione si effettua con l'uguaglianza f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0) da cui:

Quindi la funzione è continua in x0

IL CALCOLO INFINITESIMALE 9

Punti di massimo eminimo di una funzione

Teorema di Fermat

• sia f(x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x0

• sia x0 un punto interno al dominio della funzione f

• sia x0 un punto di massimo o di minimo della funzione f

• allora la derivata della funzione in x0 è nulla, cioè f'(x0) = 0.

• Questo teorema è molto usato nello studio della funzione dato che definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.


Osservazioni E’ indispensabile che x0 sia interno al dominio

la funzione deve essere derivabile nel punto x0, altrimenti il

teorema non ha senso.

Ogni punto in cui la f'(x) si annulla (cioè è uguale a zero) è

chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono

chiamati punti stazionari di f'(x).


Teorema di Rolle• Sia f(x) una funzione continua

nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b). Se f(a) = f(b) allora esiste un punto x0 appartenente all'intervallo aperto (a,b) di f'(x) dove la derivata prima si annulla.


Teorema di Lagrange• Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b),

allora esiste almeno un punto x0 appartenente ad (a,b) per cui:

• Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione (x0,f(x0)) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)).

• Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f(a) è diverso da f(b), se invece f(a) è uguale a f(b) si ricade nel Teorema di Rolle.


Teorema di Cauchy• Siano f(x) e g(x) funzioni continue in [a,b] e

derivabili in (a,b) con g'(x) diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo, allora esiste almeno un punto x0 appartenente ad (a,b) per cui:

• Considerando in particolare la funzione g(t) = t, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.


Teorema di crescenza e decrescenza

• Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora :

• Se e solo se la funzione è crescente in (a,b)

• Se se e solo se la funzione è decrescente in (a,b) • La funzione può non essere strettamente crescente (o

decrescente). Il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange.


Derivata di una serie di potenze

• Una funzione espressa • come serie di potenze con raggio di

convergenza r è continua e derivabile su tutto l'intervallo (-r, r). La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:

• Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo della serie di Taylor e Mc-Laurin.


Regole di derivazione

Derivate semplici Derivate di funzioni


E’ possibile rappresentare degli esempi attraverso programmi di programmazione che permettono di vedere, attraverso degli algoritmi, il grafico delle derivate. Vediamo come, attraverso il programma MATLAB, si

sviluppa la funzione:

y = 3 sen5x+2 cos5x



ESERCIZI

1.y=x3 sen 2x

2.y = x2 ex + x e

3.y = 4x2 cos(4x3+6x+2)

4.y = 2 arctag e2x

5.y = sen3 x4

La teoria degli integrali


Si dice integrale indefinito di una data funzione f(x) la totalità della primitive della funzione f(x), in simboli:


Si dice che F(x) è una primitiva della funzione f(x) se si verifica che:

F'(X) = f(x)

Integrale indefinito

Metodi di integrazione Integrazione per scomposizione:

Integrazione per parti:

Integrazione per sostituzione:


Integrale definitoSia f una funzione definita sull'intervallo I = [a, b], f : [a, b] R, limitata su tale intervallo. Si scelgono n + 1 punti nell'intervallo [a, b] dei quali il primo coincidente con a e l'ultimo con b: a = x0 < x1 < ... < xn = b. Si indica tale

suddivisione dell'intervallo [a, b] con D. Si pone: mi = inf {f (x) : xi1 < x < xi} e Mi = sup {f (x) : xi1 < x < xi}

somma inferiore

somma superiore

La funzione f si dice integrabile in [a, b] secondo Riemann se: ed il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di f in [a, b] e si indica

,

[a, b] si dice dominio di integrazione, f funzione integranda.

Significato geometrico

Se per ogni x Î [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabileallora

rappresenta l'area dell'insieme:{(x, y) : a £ x £ b, 0 £ y £ f(x)}

Proprietà dell’integrale

1.

2.

3.

4.

5.

Teorema del valor medio

Sia f una funzione continua sull'intervallo [a, b],allora

esiste almeno un punto c є Î [a, b]tale che

Funzione integrale

Fissato x0 є [a, b],per funzione integrale si intende

la funzione F definita sull'intervallo [a, b]:

Teorema di Torricelli- Barrow o Teorema

fondamentale del calcolo integrale

Sia f una funzione continua sull'intervallo [a, b],allora

la funzione integrale F(x) è derivabile in (a, b)e si ha:

F'(x) = f (x)

Corollario delTeorema di Torricelli- Barrow

Sia f una funzione continua sull'intervallo [a, b],sia G una primitiva di f

allora si ha:

Calcolo delle Aree (1)Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b],

dopo aver diviso l’intervallo in n parti, indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x)

nell’intervallino i-esimo di ampiezza h

Bx

y

C

A

ba

D

mi

Mi

ih

sn =AreaPluriRettinscr. = mih

Sn =AreaPluriRettcirco. = Mih

ARettcirco. = Mih

ARettinscr. = mih

Bx

y

C

A

ba

D

Def. Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite

ShfhMhm in

in

in

)(limlimlim

b

a

dxxf )(e si indica con

Allora, possiamo dare la seguente definizione:

Calcolo delle Aree (2)

Integrali Immediati


Il Puzzle degli Integrali

Integrali

Il calcolo infinitesimale trova applicazioni anche nella fisica:

Introduciamo il concetto di Campo

Applicazioni nella Fisica

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Bibliografia e Fonti

• http://it.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Calcolo_infinitesimale.html

• Lamberto Lamberti, Laura Mereu, Augusta Nanni, Nuovo MATEMATICA TRE - Analisi, Etas Libri.

• http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale

• http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/index.html

FINEFINE


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Education

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