Analisi Matematica T1 A.A. 2014-2015 Docente: Annalisa Baldi

Ingegneria dellAutomazione e Ingegneria dellEnergia Elettrica

Esercizi sui limiti di funzione e continuita

1. Calcolare i seguenti limiti (esercizio del prof. Cupini)(NB: x4 x2 {+,} indica cheva calcolato il limite per x + e x )

x4 x2 {+,}, x3 x2 {,+}, x5 + 3x2 + x

x6 1{+, 0,},

|x+ 2|x2 4

{2}, (x+ 2)2

|x2 4|{2}, (x+ 1)

2

x2 + 1{+},

x2 4x+ 2

{2}, 11 x

31 x3

{1}, 2x2

|x|+ 1+ x {},

x 3x+ x2

x4 x{0+}, x+ cosx

x sinx{+}, x2 + sinx {+},

x

(sin

1

x+ cos

1

x

){0}, |x|

x2 + x{0}, x

3 + x 2x3 x2 x+ 1

{1}.

2. Calcolare i seguenti limiti (tenere conto anche dei domini delle funzioni: ad esempiotalvolta x 0 potrebbe significare x 0+):

1) limx3

(x2 x+ 2) 2) limx7

x2 5x+ 1 3) limx4

x log |4 x|3 x

4) limx+

log( + 2x)

1x 4

5) limx3

e3x + 4

x2 5x+ 16) lim

x1(3x+

4x 5)

7) limx1

3x2 4x+ 3 8) lim

x9

1

3x

9) limx

10x+ 2

e8x + 4

10) limx+

x2

x4 + x211) lim

x

x3 3x2 x+ 8x 8

12) limx0

x2 + 5x

x

13) limx3

x3 + 27

x2 914) lim

x+(3x2 2x+ 1) 15) lim

x+

5x2 + x

x3 + 4x2 7

16) limx

4x3 + 7x+ 5

9x3 + x 217) lim

x

x2 + 4

x18) lim

x+

x2 + 4

x2 + 8

19) limx+

x2 x2 1 20) lim

x4

2x

4 x21) lim

x0

x4 + 3x2 + 5x

x5 + 4x3 x,

22) limx0

5x4 + 2x2

x7 x23) lim

x0

x4 + 3x3 + 4x

3x5 + 4x224) lim

x+log2(

1

x)

25) limx+

31x 26) lim

x+3x 27) lim

x0

13x3 + x

28) limx0

(x (sinx)2) 29) lim

x+sin(

2+

1

x) 30) lim

x

3x 2

ex + 3

31) limx+

1

cos(x2 x)32) lim

x3+e

x+2x3 33) lim

x+3

x+log x

x2+3x

34) limx0+

10x (log(x))15 35) lim

x

2x2 1

2x2 |x| 36) lim

x+

x3 1

x2 x

37) limx0+

1 + x 1

x+ x3 x2

38) limx

5 2x3x 7

39) limx+

x6 4x6/5 + 5

40) limx1

5 + 6x+ x2

x2 2x 341) lim

x3e|2x+5| x

2+2x3x2+8x+15 42) lim

xe

3x2+2x3x2+8x+15

43) limx1+

1 2x+ x2

x2 3x+ 2e

x2+12x 44) lim

x1sin(2x+ 1)

x2 8x+ 7x2 + 5x 6

45) limx+

(3x+ 1)25x + x34x

5x(x2 + 3x)

46) limx0

1 + x 1

3

1 + x 1, 47) lim

x0

1 + x 4

1 x

6x+ 8x2 + x3, 48) lim

x0

1

xlog

1 + x

1 x,

49) limx0

e2x 1x

50) limxc

log(x) log(c)x c

, c R + 51) limxc

ex ec

x c, c R .

Sol 2): Nellesercizio 34) utilizzare il teorema del limite di funzione composta, cambiando variabile. Porre y = 1x; se x 0+ allora y +.

1) 8 2) 15 3) + 4) 14

5) 1 6) 0 7) 0

8) + 9) 10) 0 11) 12) 5 13) 92

14) +

15) 0 16) 49

17) 1 18) 0 19) + 20) 14

21) 5

22) 0 23) @ 24) 25) 1 26) 0 27) 28) 0

29) 1 30) 31) @ 32) + 33) 1 34) 0 35) 12

2

36) + 37) 12

38) 23

39) + 40) 1 41) e2 42) e3

43) 0 44) 67sin(3) 45) 9 46) 3/2 47) 1/8 48) 2 49) 2

50) 1/c 51) ec

3. Determinare il dominio della funzione

f(x) = logx2 + 2x 3x+ 15

.

2

stabilire in quali punti del dominio f e continua e calcolare i limiti agli estremi deldominio.

Determinare il dominio delle funzioni

f(x) = sgn (x2 5) g(x) = sgn (x3 5)

stabilire in quali punti del dominio f, g sono continue e calcolare i limiti agli estremidel dominio.

Determinare il dominio della funzione

f(x) = (1 1x

)32x

stabilire in quali punti del dominio f e continua e calcolare i limiti agli estremi deldominio (N.B. Ricordare la definizione di h(x)g(x)).

3