Limiti e continuità - Corsi di Laurea a Distanza...

Analisi matematica I Teoremi sui limiti

© 2006 Politecnico di Torino 1

Limiti e continuità

2

Teoremi sui limiti

Teorema di unicità del limite

Teorema di permanenza del segno

Teoremi del confronto

Algebra dei limiti



Teoremi sui limiti

4

Dimostrazione

Se è unico

Per assurdo, siano con

Consideriamo solo il caso in cui

`∃ limx→c

f(x) = ` ⇒

` 6= `0

limx→c

f(x) = `0limx→c

f(x) = ` e

`0 ∈ R`,



5

Dimostrazione

Se è unico

Osserviamo che esistono e tali che I(`) I(`0)

I(`) ∩ I(`0) = ∅.

Gli intorni di e di raggio sono disgiuntiε ≤ 12|`− `0|`0`

`∃ limx→c

f(x) = ` ⇒

6

Dimostrazione

Se è unico

Considerato dall’ipotesi

segue che esiste tale che

Considerato dall’ipotesi

segue che esiste tale che

I(`), limx→c

f(x) = `

I(c)

∀x ∈ dom f, x ∈ I(c) \ {c} f(x) ∈ I(`)

`∃ limx→c

f(x) = ` ⇒

I 0(c)

limx→c

f(x) = `0

∀x ∈ dom f, x ∈ I 0(c) \ {c} f(x) ∈ I(`0)

I(`0),

⇒

⇒



7

Dimostrazione

Se

Ma è ancora un intorno di che

contiene infiniti elementi del dominio di

Pertanto, se

e si avrà

cioè i due intorni e non sono disgiunti

xI(c) ∩ I 0(c)f

`∃ limx→c

f(x) = ` ⇒

x̄ ∈ I(c) ∩ I 0(c)x̄ 6= c

x̄ ∈ dom f ,

f(x̄) ∈ I(`) ∩ I(`0)

I(`) I(`0)

Teoremi sui limiti



9


Supponiamo che ammetta limite

(finito o infinito) per tendente a

Se oppure

esiste un intorno di tale che è

strettamente positiva in f

` > 0 ` = +∞I(c)

I(c) \ {c}c

∃I(c) ∀x ∈ I(c) \ {c} f(x) > 0

Se esiste allora

tale che ⇒

limx→c

f(x) = ` > 0

f `

x c

⇒

10




Se oppure

esiste un intorno di tale che è

strettamente negativa in fI(c)

I(c) \ {c}c

` < 0 ` = −∞

f `

x c

∃I(c) ∀x ∈ I(c) \ {c}

Se esiste allora

tale che ⇒

limx→c

f(x) = ` < 0

f(x) < 0

⇒



11


12

Dimostrazione

Consideriamo solo il caso in cui e

Sia di l’intorno di raggio

Esiste un intorno di tale che

`Iε(`)

` > 0

ε = `/2 > 0

cI(c)

∀x ∈ dom f, x ∈ I(c) \ {c} f(x) ∈ Iε(`)⇒

` ∈ R



13

Dimostrazione

Poiché

concludiamo che

Iε(`) =¡`2 ,

3`2

¢⊂ (0,+∞)

0 <`

2< f(x) <

3`

2

14

Corollario



Se esiste un intorno di tale che

in

oppure

f `

x

I(c) c

I(c) \ {c}f(x) ≥ 0` ≥ 0 ` = +∞

Se esiste tale che

oppure

I(c) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ I(c) \ {c}

` ≥ 0 ` = +∞

c

⇒

⇒



15

Corollario




in

oppure

Se esiste tale che

oppure

I(c)

∀x ∈ I(c) \ {c}

f(x) ≤ 0

` = −∞

` ≤ 0

f(x) ≤ 0

` ≤ 0

c

f `

x c

I(c)

⇒

⇒

I(c) \ {c}` = −∞

16

Dimostrazione

Consideriamo il caso in

Per assurdo, se fosse oppure

per il Teorema di permanenza del segno si

avrebbe

Allora si avrebbe

` < 0` = −∞

∀x ∈ I 0(c) \ {c}∃I 0(c) tale che f(x) < 0,

f(x) ≥ 0 I(c) \ {c}

∀x ∈ I(c) ∩ I 0(c) \ {c}f(x) ≥ 0 e f(x) < 0



17

Osservazione

Notiamo che anche facendo l’ipotesi più forte

in non potremmo

escludere che sia nullo.

Infatti, se ad esempio consideriamo la funzione

`

I(c) \ {c}f(x) > 0

f(x) =x2

1

x 6= 0,

x = 0,

se

se

abbiamo in ogni intorno dell’origine,

eppure

f(x) > 0

limx→0

f(x) = 0

Teoremi sui limiti



19

Primo teorema del confronto

Supponiamo che

limx→c

f(x) = ` limx→c

g(x) = me


in

cI(c)

f(x) ≤ g(x) I(c) \ {c}

` ≤ mSe esiste tale che

allora

I(c) f(x) ≤ g(x)∀x ∈ I(c) \ {c}

` ≤ m⇒

20

Dimostrazione

Se oppure non c’è niente

da dimostrare

Negli altri casi, consideriamo la funzione ausiliaria

Per ipotesi, si ha

Inoltre, vedremo che

limx→c

h(x) = limx→c

g(x)− limx→c

f(x) = m− `

` = −∞ m = +∞

h(x) = g(x)− f(x)

h(x) ≥ 0 ∀x ∈ I(c) \ {c}



21

Dimostrazione

Applicando il Corollario precedente alla

funzione otteniamo h,

m− ` ≥ 0 m ≥ `⇒

22

Siano ed tali che


Secondo teorema del confronto - caso finito

limx→c

f(x) = limx→c

h(x) = ` ∈ R

cI(c)

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ I(c) \ {c}

limx→c

g(x) = `⇒

gf, h



23

Secondo teorema del confronto - caso finito

Il secondo Teorema del confronto

24

Dimostrazione

Fissiamo un intorno di

Dall’ipotesi si ha limx→c

f(x) = `

∃I 0(c) ∀x ∈ dom f,

x ∈ I 0(c) \ {c} f(x) ∈ Iε(`)tale che

ovvero

f(x) ∈ Iε(`) |f(x)− `| < ε⇔

⇔ `− ε < f(x) < `+ ε

Iε(`) `

⇒



25

Dimostrazione

Dall’ipotesi si halimx→c

h(x) = `

x ∈ I 00(c) \ {c}∀x ∈ dom h,

`− ε < h(x) < `+ ε

∃I 00(c) tale che

⇒

26

Dimostrazione

Sia Allora I 000(c) = I(c) ∩ I 0(c) ∩ I 00(c)x ∈ I 000(c) \ {c}

`− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < `+ ε,

cioè g(x) ∈ Iε(`)



27

Corollario

Sia una funzione limitata in un intorno di

cioè

Sia una funzione tale che

f c

∃I(c) , ∃C > 0 tali che

g limx→c

g(x) = 0

limx→c

f(x)g(x) = 0

|f(x)| ≤ C, ∀x ∈ I(c) \ {c}

⇒

28

Dalla definizione di limite, si ha

Quindi

Dimostrazione

e concludiamo per il Secondo teorema del

confronto

limx→c

g(x) = 0 limx→c

|g(x)| = 0⇔

∀x ∈ I(c) \ {c}0 ≤ |f(x)g(x)| = |f(x)| |g(x)| ≤ C|g(x)|



29

Secondo teorema del confronto - caso infinito

Siano e tali che di per cui

Se

f g

f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ I(c) \ {c}

∃ limx→c

f(x) = +∞ ∃ limx→c

g(x) = +∞⇒

c∃I(c)

30

Secondo teorema del confronto – caso infinito

∃ limx→c

g(x) = −∞

Siano e tali che di per cui

Analogamente, se

f g

f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ I(c) \ {c}

⇒ ∃ limx→c

f(x) = −∞

c∃I(c)



31

Esempio 1

Dimostriamo il limite fondamentale

La funzione è pari, dunque

limx→0

sinx

x= 1

y =sinx

x

limx→0+

sinx

x= limx→0−

sinx

x= limx→0

sinx

x

32

Esempio 1

Dimostriamo il limite fondamentale

Calcoliamo il limite destro

Per ogni si ha cioè

limx→0

sinx

x= 1

x > 0 sinx < x,

sinx

x< 1



33

Esempio 1

Sia consideriamo i punti

A = (1, 0),

P = (cosx, sinx)

Q = (1, tanx).

x < π2 ,

34

Esempio 1

Si ha

area OAQ =OA ·AQ

2=tanx

2

area OAP =OA·

_

AP

2=x

2

area OAP < area OAQ



35

Esempio 1

Dunque, per ogni si ha

cioè da cui

0 < x < π2

x

2

x <sinx

cosxcosx <

sinx

x

<tanx

2

36

Esempio 1

Riassumendo, per ogni abbiamo

cosx <sinx

x< 1

Poiché dal secondo

teorema del confronto otteniamo la tesi

limx→0+

cosx = limx→0+

1 = 1

0 < x < π2 ,



37

Esempio 2

Vogliamo calcolare

limx→+∞

sinx

x

38

Esempio 2

Posto

si ha

Dal corollario del secondo teorema del confronto,

abbiamo

f(x) = sinx g(x) =1

xe

|f(x)| ≤ 1 e

limx→+∞

sinx

x= 0

limx→+∞

g(x) = limx→+∞

1

x= 0



39

Esempio 3

Calcoliamo il

Usando la disuguaglianza si ha

limx→+∞

(x+ sinx)

x− 1 ≤ x+ sinx, ∀x ∈ R−1 ≤ sinx

40

Esempio 3

Posto risulta

Dal secondo teorema del confronto

- caso infinito - con si ha

f(x) = x− 1,lim

x→+∞f(x) = +∞

limx→+∞

(x+ sinx) = +∞g(x) = x+ sinx



Teoremi sui limiti

42

Algebra dei limiti

Estendiamo le operazioni aritmetiche

considerando anche i simboli e

Poniamo per definizione:

+∞ −∞



43

Algebra dei limiti

se oppure

se oppure

se oppure

se oppure

se

se

+∞+ s = +∞ s ∈ R s = +∞s ∈ R−∞+ s = −∞ s = −∞s > 0 s = +∞±∞ · s = ±∞

±∞ · s = ∓∞ s = −∞s < 0

±∞s

= ±∞ s > 0

±∞s

= ∓∞ s < 0

44

Algebra dei limiti

se oppure

se

Non sono definite le espressioni

s

0=∞ s ∈ R \ {0} s = ±∞s

±∞ = 0 s ∈ R

0

0

±∞±∞±∞ · 0

±∞− (±∞)±∞+ (∓∞)



45

Teorema

Supponiamo che esistano, finiti o infiniti

limx→c

f(x) = ` limx→c

g(x) = me

46

Teorema

Allora, ogniqualvolta l’espressione a secondo

membro è definita, si ha

limx→c

f(x)

g(x)=`

m

limx→c

[f(x)± g(x)] = `±m

in questo ultimo caso supponiamo inoltre che

g(x) 6= 0 in I(c) \ {c}

limx→c

[f(x) g(x)] = `m,



47

Corollario

Siano e due funzioni continue in un

punto

Allora le funzioni

(quest’ultima nel caso in cui

sono continue in )

f g

x0 ∈ R

f(x)± g(x), f(x) g(x)f(x)

g(x)

g(x0) 6= 0x0

e

48

Dimostrazione

La continuità di e in equivale al fatto

che

È sufficiente applicare il teorema precedente

f g x0

limx→x0

f(x) = f(x0) limx→x0

g(x) = g(x0)e



49

Corollario

Ogni funzione razionale è continua in tutto il suo

dominio

In particolare, ogni funzione polinomiale è

continua in tutto R

50

Dimostrazione

Abbiamo verificato che le funzioni e

sono continue su tutto

dunque, ogni funzione del tipo

(con ) è continua su

Conseguentemente, i polinomi sono continui

su le funzioni razionali, essendo quozienti

di polinomi, sono continue dove il loro

denominatore non si annulla.

y = a

y = x

R;y = axn

n ∈ N R.

R;



51

Esempio 1

Calcoliamo il

Numeratore e denominatore sono ottenuti

attraverso operazioni algebriche su funzioni

continue.

Inoltre, il denominatore non si annulla in

Pertanto, sostituendo ad il valore ,

otteniamo

limx→0

2x− 3 cosx5 + x sinx

= `

x = 0

x 0

` = −3/5

52

Esempio 2

Calcoliamo il

Poiché

otteniamo dal teorema precedente

limx→π

2

tanx

elimx→ π

2

sinx = sinπ

2= 1 lim

x→ π2

cosx = cosπ

2= 0,

limx→π

2

tanx = limx→π

2

sinx

cosx=1

0=∞



53

Esempio 2

Più precisamente, studiamo il segno della

funzione in un intorno di

Si ha in tutto un intorno di

mentre (rispettivamente ) in

un intorno sinistro (rispettivamente destro) di

Pertanto, concludiamo che

sinx > 0

cosx > 0 < 0

limx→π

2+tanx = −∞ lim

x→π2−tanx = +∞e

π2

π2

π2

54

Osservazione

Sia

una funzione razionale ridotta ai minimi termini

Sia uno zero di cioè

si ha certamente

R(x) =P (x)

Q(x)

Qx0 ∈ R Q(x0) = 0;

P (x0) 6= 0



55

Osservazione

Dunque

Lo studio del segno di in un intorno di

permette di essere più precisi.

limx→x0

R(x) =∞

R(x) x0

56

Esempio 1

Ad esempio, la funzione

è positiva in un intorno sinistro di e

negativa in un intorno destro, dunque

y =x2 − 3x+ 1x2 − x

x0 = 1

limx→1±

x2 − 3x+ 1x2 − x = ∓∞



57

Esempio 2

La funzione

è negativa in tutto un intorno di

y =x− 2

x2 − 2x+ 1

x0 = 1

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