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Analisi matematica I Regole di integrazione

© 2006 Politecnico di Torino 1

Calcolo integrale

2

Regole di integrazione

Linearità dell’integrale

Integrazione per parti

Integrazione per sostituzione

Integrazione di funzioni razionali




4

Proprietà

Siano e funzioni integrabili su un

intervallo

la funzione è integrabile su

per ogni e si ha

f(x) g(x)I

⇒ αf(x) + βg(x)

= α

Zf(x) dx + β

Zg(x) dx

Z ³αf (x) + βg(x)

´dx

α,β ∈ RI



5

Dimostrazione

Sia una qualunque primitiva di e

una qualunque primitiva di

Ricordando la proprietà di linearità della derivata,

si ha

f(x)F (x)

∀x ∈ I

³αF (x) + βG(x)

´0= αF 0(x) + βG0(x)

= αf (x) + βg(x),

g(x)G(x)

6

Dimostrazione

la funzione è una primitiva di su ovvero,

ricordando la definizione di integrale indefinito,

vale la tesi

αf(x) + βg(x) I⇒ αF (x) + βG(x)



7

Esempio 1

Si voglia integrare il polinomio

Si ha

5x2 + 4x− 3

Z ³5x2 + 4x − 3

´dx = 5

Zx2 dx+ 4

Zx dx− 3

Zdx

= 5

µ1

3x3 + c1

¶+4

µ1

2x2 + c2

¶−3(x+ c3)

=5

3x3 + 2x2 − 3x+ c

8

Esempio 2

Si consideri la funzione

Si noti che

e che dunque,

Analogamente, si trova

f(x) = cos2 x

cos2 x =1

2(1 + cos 2x)

D sin 2x = 2cos 2x;

+1

4sin 2x + c=

1

2x=

1

2

Zdx +

1

2

Zcos 2x dx

Zcos2 x dx

Zsin2 x dx =

1

2x− 1

4sin 2x+ c




10

Proprietà

Siano e due funzioni derivabili su un

intervallo

Se la funzione è integrabile su

lo è anche la funzione e si ha

f(x) g(x)I

f 0(x)g(x) I⇒ f(x)g0(x)

Zf(x)g0(x) dx = f(x)g(x)−

Zf 0(x)g(x) dx



11

Dimostrazione

Sia una qualunque primitiva della funzione

su

Ricordando la formula di derivazione di un prodotto, abbiamo

H(x)If 0(x)g(x)

[f(x)g(x)−H(x)]0= (f(x)g(x))0 −H 0(x)

= f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)− f 0(x)g(x)= f(x)g0(x)

12

Dimostrazione

Pertanto, la funzione è una

primitiva della funzione il che è

esattamente la tesi

f(x)g(x)−H(x)f(x)g0(x),



13

Esempio 1

Si voglia calcolare

Si ponga e

Abbiamo e

Usando la formula di integrazione per parti, si ha

Zxexdx

f(x) = x g0(x) = ex

f 0(x) = 1 g(x) = ex

Zxexdx = xex −

Zexdx = xex − (ex + c)

= (x− 1)ex + c

14

Esempio 1

Con la scelta e cioèf(x) = ex g0(x) = x

f 0(x) = ex g(x) =1

2x2,e avremmo ottenutoZ

xexdx =1

2x2ex − 1

2

Zx2exdx

che non ci avrebbe permesso di calcolare

l’integrale cercato



15

Esempio 2

Si voglia calcolare

Conviene porre e

In tale modo si ha e

Zlog x dx

f(x) = log x g0(x) = 1

f 0(x) =1

xg(x) = x

16

Esempio 2

Pertanto, si ottiene Zlog x dx= x log x−

Z1

xxdx

= x log x−Zdx = x log x− (x+ c)

= x(log x− 1) + c



17

Esempio 3

Si voglia calcolare

Poniamo e

Abbiamo e

Pertanto

S =

Zex sinx dx

f(x) = ex g0(x) = sinx

f 0(x) = ex g(x) = − cosx

S = −ex cosx+Zex cosx dx

18

Esempio 3

Integriamo nuovamente per parti con

e

Si ha e da cui

f(x) = ex

f 0(x) = ex g(x) = sinx,

S = −ex cosx+ ex sinx−Zex sinxdx

= ex(sinx− cosx)− S

g0(x) = cosx



19

Esempio 3

Dunque, otteniamo

ovvero

2S = ex(sinx− cosx) + c

S =1

2ex(sinx− cosx) + c




21

Proprietà

Sia una funzione integrabile su un intervallo

e sia una sua primitiva

Sia una funzione derivabile, definita su un

intervallo a valori nell’intervallo

la funzione è integrabile

sull’intervallo e si ha

f(y)

J F (y)

ϕ(x)

I J⇒ f(ϕ(x))ϕ0(x)

IZf(ϕ(x))ϕ0(x) dx = F (ϕ(x)) + c

22

Proprietà

Zf(ϕ(x))ϕ0(x) dx = F (ϕ(x)) + c

Tale formula viene sovente scritta, in modo meno

preciso ma più sintetico, come

Zf(ϕ(x))ϕ0(x) dx =

Zf(y) dy



23

Dimostrazione

È sufficiente ricordare la formula di derivazione di una funzione composta, ossia

Dunque, è una primitiva della funzione

il che equivale alla tesi

= f (ϕ(x))ϕ0(x)=dF

dy(ϕ(x))

dϕ

dx(x)

d

dxF (ϕ(x))

F (ϕ(x))

f(ϕ(x))ϕ0(x),

24

Dimostrazione

A livello mnemonico, la formula

può essere ottenuta formalmente nel seguente modo:

posto derivando si ha

da cui si ottiene effettuando le sostituzioni in uno dei due integrali,

si ottiene l’altro


Zf(y) dy

y = ϕ(x),dy

dx= ϕ0(x)

dy = ϕ0(x)dx ;



25

Esempio 1

Si voglia calcolare

Poniamo da cui

Allora

Ritornando alla variabile si ottiene

Zxex

2

dx

y = ϕ(x) = x2, ϕ0(x) = 2x

=1

2ey + c=

1

2

Zeydy=

1

2

Zex

2

2x dx

Zxex

2

dx

x,Zxe x

2

dx =1

2ex

2

+ c

26

Esempio 2

Si voglia calcolare

Ricordiamo che e che tanx =sinx

cosx

(cosx)0 = − sinx

Ztanx dx



27

Esempio 2

Ponendo si ha y = ϕ(x) = cosx,Ztanx dx = −

Z1

cosx(cosx)0 dx = −

Z1

ydy

= − log |y|+ c = − log | cosx|+ c

28

Esempio 3

Si voglia calcolare

Poniamo ovvero

da cui si ha e

y = arcsinx x = sin y,√1− x2 = cos y

S =

Z p1− x2 dx

dx = cos y dy



29

Esempio 3

Si ottiene

=1

2

Z(cos 2y + 1) dy

=1

4sin 2y +

1

2y + c

S =

Zcos2 y dy

=1

2sin y cos y +

1

2y + c

=1

2xp1− x2 + 1

2arcsinx+ c

30

Esempio 4

Si consideri

Poniamo da cui

cioè

y = ex dy = exdx

dx =1

ydy

Z1

ex + e−xdx



31

Esempio 4

Dunque

=

Z1

y + 1y

1

ydy

=

Z1

1 + y2dy = arctan y + c

= arctan ex + c

Z1

ex + e−xdx

32

Osservazione


Zf(y) dy

f(y) =1

yZϕ0(x)ϕ(x)

dx = log |ϕ(x)|+ c

L’esempio 2 è un caso particolare della seguente formula, che si ottiene dalla

con la scelta




34


Consideriamo la generica funzione razionale

con e polinomi di grado

rispettivamente ed

f(x) =P (x)

Q(x)

P (x) Q(x)

n m (m ≥ 1)



35


Facciamo vedere che essa ammette primitive esprimibili in termini di funzioni razionali, logaritmi

e arcotangenti

36


Notiamo innanzitutto che se si ha

con polinomio di grado e

polinomio di grado

n ≥ m,P (x) = Q(x)D(x) +R(x)

D(x) n−m R(x)≤ m− 1



37


Possiamo scrivere ZP (x)

Q(x)dx =

ZD(x) dx+

ZR(x)

Q(x)dx

P (x) = Q(x)D(x) +R(x)

38


Possiamo scrivere

Il problema è ridotto al calcolo dell’integrale di una

funzione razionale

in cui il grado del polinomio a numeratore è minore

del grado del polinomio a denominatore

ZP (x)

Q(x)dx =

ZD(x) dx+

ZR(x)

Q(x)dx

g(x) =R(x)

Q(x)



39

Esempio 1

Sia con otteniamo

Ad esempio, si ha

g(x) =1

x− α , α ∈ R;Z

1

x− α dx = log |x− α|+ c

Z1

2x− 4 dx =1

2log |x− 2|+ c

40

Esempio 2

Sia con otteniamo

Ad esempio, si ha

g(x) =1

(x− α)r , r > 1;

Z1

(x− α)r dx =1

1− r1

(x− α)r−1 + c

Z1

(3x+ 5)2dx = − 1

3(3x+ 5)+ c



41

Esempio 3

Sia con

notiamo che il polinomio a denominatore non ha

radici reali ed è sempre

g(x) =1

x2 + 2px+ q, p2 − q < 0

> 0

42

Esempio 3

Con semplici passaggi algebrici, ponendo

s =pq − p2 > 0



43

Esempio 3

abbiamo

= x2 + 2px+ p2 + (q − p2)

= s2

"1 +

µx+ p

s

¶2#= (x+ p)2 + s2

x2 + 2px+ q

44

Esempio 3

Eseguendo la sostituzione

otteniamo e

y = ϕ(x) =x+ p

s,

Z1

x2 + 2px+ qdx =

1

s2

Z1

1 + y2s dy

dy =1

sdx



45

Esempio 3

Eseguendo la sostituzione

otteniamo e

e dunque, concludiamo che

y = ϕ(x) =x+ p

s,

Z1

x2 + 2px+ qdx =

1

s2

Z1

1 + y2s dy

Z1

x2 + 2px+ qdx =

1

sarctan

x+ p

s+ c

dy =1

sdx

46

Esempio 4

Sia ancora con

Grazie all’identità

abbiamo

g(x) =ax+ b

x2 + 2px+ q, p2 − q < 0

=a

2(2x+ 2p) + (b− ap)ax+ b = ax+ ap+ b− ap

=a

2

Z2x+ 2p

x2 + 2px+ qdx+ (b− ap)

Z1

x2 + 2px+ qdx

Zax+ b

x2 + 2px+ qdx =



47

Esempio 4

Pertanto, otteniamo

=a

2log(x2 + 2px+ q) +

b− aps

arctanx+ p

s+ c

Zax+ b

x2 + 2px+ qdx =

48

Esempio 4

Ad esempio, si ha Z4x− 5

x2 − 2x+ 10 dx

= 2

Z2x− 2

x2 − 2x+ 10 dx−Z

1

(x− 1)2 + 9 dx

= 2 log(x2 − 2x+ 10)− 13arctan

x− 13

+ c

=



49

Esempio 5

Sia con

ed

g(x) =ax+ b

(x2 + 2px+ q)r, p2 − q < 0

r > 1

50

Esempio 5

Usando la regola di integrazione per parti nel

calcolo dell’integrale

e la regola di integrazione per sostituzione con

si giunge ad esprimere

l’integrale di come somma di funzioni note e

dell’integrale di una funzione analoga alla in

cui è sostituito da

Z1

(x2 + 2px+ q)r−1dx

ϕ(x) = x2 + 2px+ q,g

g,

r r − 1



51

Esempio 5

In questo modo, partendo dal caso già

trattato nell’Esempio 4 si calcola l’integrale di nel

caso poi e così via

r = 1

r = 2,f

r = 3,

52

Osservazione

Ritorniamo al problema dell’integrazione della

generica funzionale razionale

Per ricondurci ai casi particolari sopra considerati,

è necessario decomporre il denominatore nel

prodotto di fattori elementari del tipo

oppure

con

g(x) =R(x)

Q(x)

(x− α)r (x2 + 2px+ q)s

p2 − q < 0



53

Osservazione

L’esistenza di una tale decomposizione è garantita dal seguente teorema, che è una forma del

cosiddetto Teorema fondamentale dell’Algebra

54

Teorema

Ogni polinomio di grado a coefficienti

reali si scrive in modo unico come

con numeri reali, e con

interi tali che

Q(x) m

Q(x) = d(x− α1)r1 · · · (x− αh)rh(x2 + 2p1x+ q1)s1 · · ·

· · · (x2 + 2pkx+ qk)sk ,

pj , qjαi,d, ri, sj

r1 + · · ·+ rh + 2s1 + · · ·+ 2sk = m



55

Teorema

I numeri distinti tra loro, sono le radici reali del

polinomio, ciascuna con molteplicità

Ogni fattore è distinto dagli altri

ed irriducibile in cioè tale che

ad esso corrispondono due radici complesse

(coniugate) che hanno molteplicità

αi,

ri

x2 + 2pjx+ qjR, p2j − qj < 0;

βj,±, sj

56

Osservazione

È possibile dimostrare che la decomposizione del

polinomio permette di scrivere il quoziente

nella forma

in cui ogni è del tipo

Q(x)

g(x)

R(x)

Q(x)=1

d

£F1(x) + · · ·+ Fh(x) + F̄1(x) + · · ·+ F̄k(x)

¤Fi(x)

Fi(x) =Ai1x− αi

+Ai2

(x− αi)2+ · · ·+ Airi

(x− αi)riper opportune costanti Ai`



57

Osservazione

Mentre ogni è del tipo F̄j(x)

· · ·+ Bjr̄jx+ Cjr̄j(x2 + 2pjx+ qj)sj

F̄j(x) =Bj1x+ Cj1x2 + 2pjx+ qj

+Bj2x+ Cj2

(x2 + 2pjx+ qj)2+ · · ·

per opportune costanti Bjµ, Cjµ

58

Osservazione

Notiamo che il numero di tali costanti è

r1 + · · · rh + 2s1 + · · ·+ 2sk = m



59

Osservazione

Per determinare il valore delle costanti, scriviamo

l’espressione a secondo membro della

in forma di unica frazione, il cui denominatore

comune è ovviamente

R(x)

Q(x)=1

d

£F1(x) + · · ·+ Fh(x) + F̄1(x) + · · ·+ F̄k(x)

¤

Q(x)

60

Osservazione

Il numeratore è un polinomio di grado

che deve coincidere con

i suoi coefficienti sono combinazioni delle costanti

incognite

R(x)≤ m− 1, R(x);



61

Teorema

Due polinomi di grado coincidono

Se e solo se hanno ordinatamente uguali i

coefficienti di ciascuna potenza della variabile

indipendente

Se e solo se assumono valori uguali in punti

distinti

m− 1

m

oppure

62

Osservazione

Per determinare le incognite

possiamo quindi

Uguagliare i coefficienti di ciascuna potenza di

nei polinomi e

Scegliere in modo oculato valori di in cui far

coincidere i due polinomi

m Ai`, Bjµ, Cjµ

xR(x) R(x)

oppure

m x



63

Osservazione

Nel secondo caso, conviene sempre considerare

gli zeri reali di e/o il punto Q(x) x = 0

64

Osservazione

Una volta determinati i valori di tali costanti,

possiamo integrare termine a termine

l’espressione che compare a secondo membro e

siamo ricondotti agli Esempi 1-5



65

Esempio 1

Vogliamo integrare la funzione

Eseguiamo la divisione, ottenendo

Il polinomio a denominazione si fattorizza come

f(x) =2x3 + x2 − 4x+ 7

x2 + x− 2

f(x) = 2x− 1 + x+ 5

x2 + x− 2

Q(x) = (x− 1)(x+ 2)

66

Esempio 1

Dunque cerchiamo costanti e

tali che

vale a dire

A1 = A11A2 = A21

x+ 5

x2 + x− 2 =A1x− 1 +

A2x+ 2

x+ 5 = A1(x+ 2) +A2(x− 1)



Esempio 1

x+ 5 = A1(x+ 2) +A2(x− 1)è equivalente a

METODO 1

da cui, uguagliando i coefficienti di otteniamo

il sistema

x,

che ammette come soluzione A1 = 2 A2 = −1e

A1 +A2 = 1

2A1 − A2 = 5

x+ 5 = (A1 +A2)x+ (2A1 −A2)

68

Esempio 1

METODO 2x+ 5 = A1(x+ 2) +A2(x− 1)

Calcoliamo tale espressione nei due zeri

e di

otteniamo le relazioni

dalle quali si ricava

6 = 3A1 3 = −3A2e

A1 = 2 A2 = −1e

x = 1 x = −2 Q(x)



69

Esempio 1

In conclusione, abbiamo

= 2x− 1 + 2

x − 1 −1

x + 2

= 2x− 1 + x + 5

x2 + x − 2f(x) =2x3 + x2 − 4x + 7

x2 + x− 2

e dunqueZ(2x− 1) dx+ 2

Z1

x− 1 dx−Z

1

x+ 2dx

Zf(x) dx =

= x2 − x+2 log |x− 1| − log |x+ 2|+ c

70

Esempio 2


Il denominatore si fattorizza come

f(x) =x2 − 3x+ 3x3 − 2x2 + x

Q(x) = x(x− 1)2



71

Esempio 2

Dunque cerchiamo costanti

e tali che

vale a dire

A1 = A11, A21A22

x2 − 3x+ 3x3 − 2x2 + x =

A1x+A21x− 1 +

A22

(x− 1)2

x2 − 3x + 3 = A1(x − 1)2 + A21x(x− 1) + A22x

72

Esempio 2

x2 − 3x + 3 = A1(x − 1)2 + A21x(x− 1) + A22xper si ricava x = 0 A1 = 3

per si ricava x = 1 A22 = 1

per determinare si può scegliere un valore di A21x 6= 0, 1:per si ha

da cui x = −1

7 = 12 + 2A21 − 1 A21 = −2



73

Esempio 2

In conclusione abbiamo

Zf(x) dx = 3

Z1

xdx− 2

Z1

x− 1 dx+Z

1

(x− 1)2 dx

−2 log |x− 1|= 3 log |x| − 1

x− 1 + c

74

Esempio 3


Il denominatore si annulla in e si

fattorizza come

f(x) =3x2 + x− 4

x3 + 5x2 + 9x+ 5

x = −1

Q(x) = (x+ 1)(x2 + 4x+ 5)



75

Esempio 3

Dunque cerchiamo costanti

e tali che

vale a dire

A = A11, B = B11C = C11

3x2 + x− 4x3 + 5x2 + 9x+ 5

=A

x+ 1+

Bx+ C

x2 + 4x+ 5

3x2 + x − 4 = A(x2 + 4x + 5) + (Bx+ C)(x + 1)

76

Esempio 3

3x2 + x − 4 = A(x2 + 4x + 5) + (Bx+ C)(x + 1)per si ricava x = −1 A = −1per si ricava x = 0 C = 1

per si ricava x = 1 B = 4



Esempio 3

In conclusione, abbiamo

= −Z

1

x+ 1dx+ 2

Z2x+ 4

x2 + 4x+ 5dx

Zf(x) dx = −

Z1

x+ 1dx+

Z4x+ 1

x2 + 4x+ 5dx

−7 arctan(x+ 2) + c+2 log(x2 + 4x + 5)= − log |x+ 1|

−7Z

1

1 + (x+ 2)2dx

78

Osservazione

Osserviamo che molte funzioni che non

sono razionali nella variabile possono essere

integrate mediante una opportuna sostituzione

che conduce all’integrale di una

funzione razionale nella nuova variabile

f(x),

x

t = ϕ(x)

t



79

Caso 1

è una funzione razionale di per

un certo intero e reale

In tal caso si pone

f p√x− a

p a

t = p√x− a x = a+ tp dx = ptp−1dtda cui e

80

Esempio 1

Consideriamo l’integrale

S =

Zx

1 +√x− 1 dx



81

Esempio 1

Poniamo da cui

e

Sostituendo, otteniamo

t =√x− 1,

x = 1 + t2 dx = 2tdt

S = 2

Z(1 + t2)t

1 + tdt

82

Caso 2

è funzione razionale di per un certo

In tal caso si pone

f eax a 6= 0

t = eax x =1

alog tda cui e dx =

1

atdt



83

Esempio 2


S =

Ze−x

e2x − 2ex + 2 dx

84

Esempio 2

Poniamo da cui

Sostituendo, otteniamo

t = ex dx =1

tdt

S =

Z1

t2(t2 − 2t+ 2) dt



85

Caso 3

è funzione razionale di e/o di

In tal caso si pone

e si ricorre alle identità trigonometriche

f sinx cosx

t = tanx

2

sinx =2t

1 + t2cosx =

1− t21 + t2

e

86

Esempio 3

Inoltre si ha

x = 2arctan t, dx =2

1 + t2dtda cui



87

Esempio 3


Otteniamo

S = 4

Zt

(1 + t)2(1 + t2)dt

S =

Zsinx

1 + sinxdx

88

Caso 4

è funzione razionale degli argomenti

è più conveniente porre

e usare le identità trigonometriche

inoltre da cui

f

sin2 x, cos2 x,t = tanx

sin2 x =t2

1 + t2cos2 x =

1

1 + t2e

x = arctan t,

dx =1

1 + t2dt

tanx;



89

Esempio 4


Abbiamo

S =

Z1

1 + sin2 xdx

S =

Z1

1 + 2t2dt

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