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Analisi matematica I Integrali impropri

© 2006 Politecnico di Torino 1

Calcolo integrale

2

Integrali impropri

Integrali su intervalli illimitati

Criteri di convergenza 1

Integrali di funzioni non limitate

Criteri di convergenza 2

Altri integrali impropri



Integrali impropri

4

Definizione 1

Consideriamo la semiretta

Indichiamo con l’insieme delle

funzioni definite su e integrabili su ogni

sottointervallo chiuso e limitato della

semiretta

Se risulta definita su

la funzione integrale

[a,+∞)Rloc([a,+∞))[a,+∞)

[a, c]

f ∈ Rloc([a,+∞))[a,+∞)

F (c) =

Z ca

f(x) dx



5

Definizione 2

Sia

Poniamo

il simbolo a primo membro viene detto integrale

improprio di su [a,+∞)

f ∈ Rloc([a,+∞))

Z +∞a

f(x) dx = limc→+∞

Z ca

f(x) dx

f

6

Definizione 2

Se il limite esiste ed è finito, si dice che la

funzione è integrabile su oppure

che il suo integrale improprio è convergente

Z +∞a


Z ca

f(x) dx

[a,+∞)f



7

Definizione 2

Se il limite esiste ed è infinito, si dice che

l’integrale improprio di è divergente

Z +∞a


Z ca

f(x) dx

f

8

Definizione 2

Se il limite non esiste, si dice che l’integrale

improprio di è oscillante

Z +∞a


Z ca

f(x) dx

f



9

Definizione 2

L’insieme delle funzioni integrabili su

viene indicato con il simbolo

Z +∞a


Z ca

f(x) dx

[a,+∞)R([a,+∞))

10

Proprietà

Sia tale che

la funzione integrale è monotona crescente

su

f ∈ Rloc([a,+∞))

F (c)

[a,+∞)

⇒

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,+∞)



11

Dimostrazione

Siano due punti tali che

Grazie all’additività dell’integrale rispetto al

dominio di integrazione, si ha

c1, c2 ∈ [a,+∞)

F (c2) =

Z c2a

f(x) dx

=

Z c1a

f(x) dx+

Z c2c1

f(x) dx

= F (c1) +

Z c2c1

f(x) dx

c1 < c2

12

Dimostrazione

L’ultimo integrale è per la proprietà di

positività dell’integrale

Si conclude che

≥ 0

F (c2) ≥ F (c1)



13

Dimostrazione

Dalla proposizione precedente, segue che la

funzione integrale è monotona crescente e

dunque esiste

Se il limite è finito, l’integrale è convergente

Se è infinito, l’integrale è divergente

limc→+∞

F (c)

F (c)

14

Interpretazione geometrica

L’integrale improprio di una funzione positiva

rappresenta l’area del trapezoide di su

Il trapezoide di su ha area finita se

l’integrale improprio di è convergente; ha area

infinita quando l’integrale improprio diverge

f [a,+∞)f [a,+∞)

f



15

Interpretazione geometrica

16

Esempio 1

Consideriamo la funzione con

Studiamo l’integrale improprio di su

f(x) =1

xαα > 0

f [1,+∞)



17

Esempio 1

Si ha

x1−α

1− α

¯̄̄̄c1

α 6= 1,

log x|c1 α = 1

c1−α − 11− α

α 6= 1,

log c α = 1

se

se

se

se

=

Z c1

1

xαdx =

18

Esempio 1

Se α 6= 1Z +∞1

1

xαdx = lim

c→+∞c1−α − 11− α

=

1

α− 1 α > 1,

+∞ α < 1

se

se



19

Esempio 1

Se

Il comportamento dell’integrale improprio non

cambia se l’estremo inferiore di integrazione è

un qualunque punto

Z +∞1

1

xdx = lim

c→+∞log c = +∞

a > 0

α = 1

20

Esempio 1

In conclusione, abbiamo Z +∞a

1

xαdx

α ≤ 1converge

diverge

se

se

α > 1



21

Esempio 2

Sia

La funzione integrale

non ha limite per

Ne segue che

è oscillante

f(x) = sinx

F (c) =

Z c0

sinx dx = − cos cc→ +∞

Z +∞0

sinxdx

22

Proprietà

Siano

per ogni α,β ∈ RZ +∞a

³αf(x) + βg(x)

´dx =

= α

Z +∞a

f(x) dx+ β

Z +∞a

g(x) dx

⇒

f, g ∈ R([a,+∞))



23

con in

Proprietà

f ≥ 0 [a,+∞)

Z +∞a

f(x) dx ≥ 0

Sia f ∈ R([a,+∞))⇒

Integrali impropri



25

Criterio del confronto

Siano tali che

per ogni

In particolare,

se l’integrale improprio di converge

converge l’integrale improprio di

se l’integrale improprio di diverge

diverge l’integrale improprio di

f, g ∈ Rloc([a,+∞))0 ≤ f(x) ≤ g(x) x ∈ [a,+∞)

0 ≤Z +∞a

f(x) dx ≤Z +∞a

g(x) dx⇒

gf

fg

⇒

⇒

26

Dimostrazione

Per la proprietà di monotonia dell’integrale

definito su0 ≤ f(x) ≤ g(x) [a,+∞)

F (c) =

Z ca

f(x) dx ≤Z ca

g(x) dx = G(c)

⇒



27

Dimostrazione

I limiti per delle funzioni integrali

e esistono, applicando il primo

Teorema del confronto per i limiti otteniamo

ossia

c→ +∞F (c) G(c)

0 ≤ limc→+∞

F (c) ≤ limc→+∞

G(c)

0 ≤Z +∞a

f(x) dx ≤Z +∞a

g(x) dx

28

Esempio

Studiamo la convergenza degli integrali impropri

Poiché, per ogni si ha

ne segue che

Z +∞1

arctanx

x2dx

Z +∞1

arctanx

xdx

x ∈ [1,+∞),π

4≤ arctanx < π

2

e

arctanx

x2<

π

2x2π

4x≤ arctanx

xe



29

Esempio

Dunque

Ma convergeZ +∞1

π

2x2dx

Z +∞1

arctanx

x2dx <

Z +∞1

π

2x2dx

Per il Criterio del confronto, concludiamo che Z +∞1

arctanx

x2dx converge

30

Dunque

Ma diverge

Per il Criterio del confronto, concludiamo che

Esempio

Z +∞1

π

4xdx ≤

Z +∞1

arctanx

xdx

Z +∞1

arctanx

xdx diverge

Z +∞1

π

4xdx



31

Criterio di convergenza assoluta

Sia tale che f ∈ Rloc([a,+∞))|f | ∈ R([a,+∞))

f ∈ R([a,+∞))¯̄̄̄Z +∞a

f(x) dx

¯̄̄̄≤Z +∞a

|f(x)| dx

⇒

e

32

Esempio

Consideriamo l’integrale

Poiché

la funzione è integrabile su

per il Criterio del confronto

Z +∞1

cosx

x2dx¯̄̄cosx

x2

¯̄̄≤ 1x2

|f(x)| =¯̄̄cosxx2

¯̄̄[1,+∞)



33

Esempio

Dunque l’integrale è convergente per il Criterio di

convergenza assoluta e si ha ¯̄̄̄Z +∞1

cosx

x2dx

¯̄̄̄≤Z +∞1

¯̄̄cosxx2

¯̄̄dx

≤Z +∞1

1

x2dx = 1

34

Osservazione

Il Criterio di convergenza assoluta fornisce una

condizione sufficiente ma non necessaria per la

convergenza di un integrale improprio

Ad esempio Z +∞1

sinx

xdx converge, ma

diverge

Z +∞1

¯̄̄̄sinx

x

¯̄̄̄dx



35

Osservazione

Le funzioni tali che sono

dette assolutamente integrabili su f |f | ∈ R([a,+∞))

[a,+∞)

36

Criterio del confronto asintotico

Sia

Supponiamo che abbia ordine di infinitesimo

per rispetto all’infinitesimo campione

Se allora

Se allora diverge

f ∈ Rloc([a,+∞))

x→ +∞

α > 1, f ∈ R([a,+∞))

α ≤ 1,Z +∞a

f(x) dx

αf

ϕ(x) =1

x



37

Esempio 1


La funzione è

infinitesima di ordine per infatti,

applicando il Teorema di de l’Hôpital, si ha

Pertanto l’integrale considerato è divergente

f(x) = π − 2 arctanx1

Z +∞1

(π − 2 arctanx) dx

limx→+∞

π − 2 arctanx1/x

= limx→+∞

2x2

1 + x2= 2

x→ +∞;

38

Esempio 2

Studiamo la convergenza dell’integrale

Poiché e per

si ha

Dunque l’integrale converge

Z +∞1

x+ cosx

x3 + sinxdx

cosx = o(x) sinx = o(x3)x→ +∞,

x+ cosx

x3 + sinx∼ 1x2

x→ +∞



39

Esempio 3

Esaminiamo la famiglia di integraliZ +∞2

1

xα(log x)βdx , α, β > 0

40

Esempio 3 / Caso α = 1

Calcoliamo l’integrale con il cambiamento di

variabile da cui

si ha

L’integrale converge se e diverge se

t = log x, dt =1

xdx ,

Z +∞2

1

x(log x)βdx =

Z +∞log 2

1

tβdt

β > 1 β ≤ 1



41

Esempio 3 / Caso α > 1

È sufficiente osservare che

se e dunque

Per il Criterio del confronto, l’integrale converge

per ogni valore di

1

xα(log x)β≤ 1xα(log 2)β

∀x ≥ 2

β

log x ≥ log 2 x ≥ 2

42

Esempio 3 / Caso α < 1

Dunque esiste una costante tale che

pertanto, applicando ancora il Criterio del

confronto, l’integrale diverge

M > 0

1

xα(log x)β≥ Mx, ∀x ≥ 2



43

Osservazione

Osserviamo che il concetto di integrale improprio

può essere definito sulla semiretta

ponendo

Le proprietà e i criteri di convergenza presentati

sopra si adattano facilmente a questa situazione

(−∞, b],

Z b−∞

f(x) dx = limc→−∞

Z bc

f(x) dx

Integrali impropri



45

Definizione 1

Consideriamo un intervallo limitato

Indichiamo con l’insieme delle

funzioni definite su e integrabili su ogni

sottointervallo chiuso e limitato con

Se risulta definita su la

funzione integrale

[a, b)

Rloc([a, b))

[a, c]a < c < b

f ∈ Rloc([a, b))

[a, b)

[a, b)

F (c) =

Z ca

f(x) dx

46

Definizione 2

Sia

Poniamo

il simbolo a primo membro viene detto integrale

improprio di su

f ∈ Rloc([a, b))

Z ba

f(x) dx = limc→b−

Z ca

f(x) dx

f [a, b)



47

Definizione 2

Se il limite esiste ed è finito, si dice che la

funzione è integrabile su oppure che il

suo integrale improprio è convergente

Z ba


Z ca

f(x) dx

f [a, b)

48

Definizione 2

Se il limite esiste ed è infinito, si dice che

l’integrale improprio di è divergente

Z ba


Z ca

f(x) dx

f



49

Definizione 2

Se il limite non esiste, si dice che l’integrale

improprio di è oscillante

Z ba


Z ca

f(x) dx

f

50

Definizione 2

L’insieme delle funzioni integrabili su viene

indicato con il simbolo

Z ba


Z ca

f(x) dx

[a, b)

R([a, b))



51

Osservazione

Osserviamo che se una funzione definita in

è limitata e integrabile su (nel senso di

Riemann)

essa è pure integrabile in senso improprio su

ed il suo integrale improprio coincide con quello

definito

[a, b]

[a, b)

⇒

[a, b)

52

Osservazione

Infatti, posto si ha

passando al limite per si ottiene

proprio la definizione

M = supx∈[a,b]

|f(x)|,

≤Z bc

|f(x)| dx

=

¯̄̄̄¯Z bc

f(x) dx

¯̄̄̄¯

¯̄̄̄¯Z ba

f(x) dx−Z ca

f(x) dx

¯̄̄̄¯

c→ b−,

≤M(b− c)



53

Esempio

Consideriamo la famiglia di integrali

α > 0

Z ba

1

(b− x)α dx,

54

Esempio

Si ha

Z ca

1

(b− x)α dx =

(b− x)1−αα− 1

¯̄̄̄ca

− log(b− x)|ca α = 1

se

se

α 6= 1



55

Esempio

Si ha

=

se

se

(b− c)1−α − (b− a)1−αα− 1

logb− ab− c

Z ca

1

(b − x)α dx

α = 1

α 6= 1

56

Esempio

Se α 6= 1,Z ba

1

(b− x)α dx = limc→b−(b− c)1−α − (b− a)1−α

α− 1

=

(b− a)1−α1− α α < 1

+∞ α > 1

se

se



57

Esempio

Se

In conclusione abbiamo

α = 1,Z ba

1

b− x dx = limc→b− logb− ab− c = +∞

Z ba

1

(b− x)α dx α ≥ 1

converge

diverge

se

se

α < 1

58

Osservazione

Analogamente a quanto fatto per gli integrali

impropri su intervalli non limitati, è possibile

dimostrare che

se la funzione è positiva su

l’integrale improprio di su è

convergente oppure divergente a

f [a, b)

= +∞

⇒f [a, b)



Integrali impropri

60

Criterio del confronto

Siano tali che

per ogni

In particolare

Se l’integrale improprio di converge

converge l’integrale improprio di

Se l’integrale improprio di diverge

diverge l’integrale improprio di

f, g ∈ Rloc([a, b))0 ≤ f(x) ≤ g(x) x ∈ [a, b)

⇒ 0 ≤Z ba

f(x) dx ≤Z ba

g(x) dx

g ⇒

f ⇒g

f



61

Criterio di convergenza assoluta

Sia tale chef ∈ Rloc([a, b)) |f | ∈ R([a, b))

f ∈ R([a, b))

¯̄̄̄¯Z ba

f(x) dx

¯̄̄̄¯ ≤

Z ba

|f(x)| dx

e

⇒

62

Criterio del confronto asintotico

Sia

Supponiamo che abbia ordine di infinito per

rispetto all’infinito campione

Se allora

Se allora diverge

f ∈ Rloc([a, b))αf

x→ b−

α < 1, f ∈ R([a, b))

α ≥ 1,Z ba

f(x) dx

ϕ(x) =1

b− x



63

Osservazione

In modo analogo possiamo considerare l’integrale

improprio su ponendo

Tutte le proprietà viste precedentemente valgono

con le ovvie modifiche

(a, b],Z ba

f(x) dx = limc→a+

Z bc

f(x) dx

64

Esempio 1

Studiamo l’integrale

La funzione è definita e

continua in ed è infinita per

Z 31

r7− x3− x dx

f(x) =

r7− x3− x

[1, 3) x→ 3−



65

Esempio 1


Poiché, per ogni si ha

Dunque, applicando il Criterio del confronto,

l’integrale considerato converge

Z 31

r7− x3− x dx

7− x ≤ 4 x ∈ [1, 3)Z 31

r7− x3− x dx ≤ 2

Z 31

1√3− x dx < +∞

66

Esempio 2


Poiché, per

per il Criterio del confronto si deduce che

l’integrale assegnato diverge a

x ∈ (1, 2],

Z 21

ex + 1

(x− 1)2 dx

e + 1

(x− 1)2 <ex + 1

(x− 1)2

+∞



67

Esempio 3

Studiamo

Per

dunque, per il Criterio del confronto asintotico,

l’integrale converge

Z π/20

√x

sinxdx

x→ 0+, f(x) =√x

sinx∼ 1√

x

68

Esempio 4

Sia

La funzione è definita

in e tende a per

Z 4π

log(x− 3)x3 − 8x2 + 16x dx

f(x) =log(x− 3)

x3 − 8x2 + 16x[π, 4) +∞ x→ 4−



69

Esempio 4

Sia

Inoltre

per il Criterio del confronto asintotico,

l’integrale diverge a

Si osservi che la funzione è

negativa in un intorno sinistro di

Z 4π

log(x− 3)x3 − 8x2 + 16x dx

f(x) =log(1 + (x− 4))x(x− 4)2 ∼

1

4(x− 4) , x→ 4−

−∞f(x) =

1

x− 4x = 4

Integrali impropri



71

Osservazione

Supponiamo di voler studiare l’integrabilità di una

funzione definita su un intervallo la quale

eventualmente presenti un numero finito di punti

in cui non sia limitata

È allora possibile suddividere l’intervallo

nell’unione di un numero finito di sottointervalli

su ognuno dei quali si verifichi

soltanto una delle situazioni esaminate in

precedenza

I

I

j = 1, . . . , n,

Ij

72

Osservazione



73

Definizione

Scelta la suddivisione, poniamo formalmente

Si dice che l’integrale improprio di su converge

se convergono tutti gli integrali a secondo membro

ZI

f(x) dx =nXj=1

ZIj

f(x) dx

f I

74

Definizione

Scelta la suddivisione, poniamo formalmente

Inoltre, non è difficile verificare che il

comportamento dell’integrale e il suo valore

in caso di convergenza sono indipendenti dalla

suddivisione prescelta dell’intervallo

ZI

f(x) dx =nXj=1

ZIj

f(x) dx

I



75

Esempio 1


Scegliendo ad esempio l’origine come punto di

suddivisione della retta reale, scriviamo

entrambi gli integrali convergono e valgono

dunque

S =

Z +∞−∞

1

1 + x2dx

S =

Z 0−∞

1

1 + x2dx+

Z +∞0

1

1 + x2dx

π/2,

S = π

76

Esempio 2


La funzione integranda è infinita nell’origine,

pertanto suddividiamo la semiretta

ad esempio nei due sottointervalli e

e scriviamo

S1 =

Z +∞0

sinx

x2dx

(0,+∞)(0, 1] [1,+∞)

S1 =

Z 10

sinx

x2dx+

Z +∞1

sinx

x2dx



77

Esempio 2

Poiché

il primo integrale diverge per il Criterio del confronto

asintotico, mentre il secondo converge per il Criterio

di convergenza assoluta

In definitiva diverge a

sinx

x2∼ 1x

x→ 0+¯̄̄̄sinx

x2

¯̄̄̄≤ 1x2

S1 +∞

per e

78

Esempio 3

Sia

La funzione integranda è infinita in (che

però è fuori dell’integrale di integrazione),

in e in

Dunque possiamo scrivere

S =

µZ 21

+

Z 32

+

Z 43

+

Z 64

¶x− 5

(x+ 1) 3p(x− 2)(x− 4)

dx

S =

Z 61

x− 5(x+ 1) 3

√x2 − 6x+ 8

dx

−1

2 4



79

Esempio 3

Sia

Dunque possiamo scrivere

Poiché la funzione ha ordine di infinito sia per

sia per l’integrale converge

S =

µZ 21

+

Z 32

+

Z 43

+

Z 64

¶x− 5

(x+ 1) 3p(x− 2)(x− 4)

dx

S =

Z 61

x− 5(x+ 1) 3

√x2 − 6x+ 8

dx

1/3x→ 2± x→ 4±,

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