Analisi matematica I -...

Analisi matematica I Simboli di Landau

© 2006 Politecnico di Torino 1

Analisi matematica I

2

Confronto locale di funzioni

Simboli di Landau

Infinitesimi ed infiniti



Confronto locale di funzioni

4

Simboli di Landau

Definizioni dei simboli di Landau

Proprietà dei simboli di Landau

Confronto di monomi

Algebra degli ‘o’ piccolo

Simboli di Landau e limiti fondamentali

Principio di sostituzione



Simboli di Landau

6

uno dei simboli

funzioni definite in

c = x ,x ,x , ,+ − +∞ −∞0 0 0

f ,g I c c}( ) \ {

g x , x I c \ c( ) ≠ ∀ ∈ ( ) { }0

limx c

f xg x→

( )∃ =

( )l

Simboli di Landau



7

Definizione

Se si dice che,∈l R

è controllata da per

e si scrive

f g x c→

f O g , x c= ( ) →

8

Se si dice che

Definizione

\ ,∈ { }0l R

è dello stesso ordine di grandezza di per

e si scrive

f g x c→

f g, x c→



9

Definizione

Se si dice che,= 1l

è equivalente a per

e si scrive

f g x c→

f g, x c→∼

10

Definizione

Se si dice che,= 0l

è trascurabile rispetto a per

e si scrive

f g x c→

= ( ) →f o g , x c



11

Osservazione 1

Se si considera,= ∞l

lim x c

g xg o f , x c

f x→

( )= ⇒ = ( ) →

( )0

12

Osservazione 2

I simboli sono detti O, , ,o∼

simboli di Landau



13

equivale a

equivale a

infatti

Esempi

sinlimx

xx→

=0

1

sinlimx

xx→+∞

= 0

sin tan x o x , xπ

= ( ) →2

sin x x, x → 0∼

sin x o x , x= ( ) → +∞

= 0lim cos→

=x /

xπ 2

sinlimtan→x /

xxπ 2

14

infatti

Esempi

cos x x , xπ

π− →22

coslim→ −x /

xxπ π2 2

= −12

sinlim→

= −t

tt0 2

coslim→

( + )=t

t /tπ

0

22



Simboli di Landau

16

Per si ha

Proprietà

→x c

f g = ( )f O g⇒f g∼ ⇒ = ( )f O g= ( )f o g ⇒ = ( )f O g

f g∼ f g⇒

f g ⇒ lf g∼

lim→

( )= ≠

( )x c

f xg x

0

infatti

lim→

( )⇒ =

( )x c

f xg x

1⇒ ∼f g



17

Per si ha

Proprietà

→x c

= + ( )f g o g⇔f g∼

18

Risulta

Dimostrazione

f g∼ lim→

( )⇔ =

( )x c

f xg x

1 lim→

( )⇔ − =

( )x c

f xg x

1 0

lim→

( )− ( )⇔ =

( )x c

f x g xg x

0 ⇔ − = ( )f g o g

⇔ = + ( )f g o g



19

Sia Per si ha

Proprietà

→x c.∈ R \λ 0{ }( ) = ( ),o f o fλ ( ) = ( )O f O fλ

( ) = ( ),o f o fλ ( ) = ( )O f O fλ

20

Dimostrazione prima uguaglianza

Poniamo Allora= ( ) →g o f , x c.λ

= ( )g o fλ lim→

( )⇔ =

( )x c

g xf xλ

0

lim→

( )⇔ =

( )x c

g xf x

0

⇔ = ( ) →g o f , x c



21

Osservazione 1

= ( ) →f o , x c1 lim lim→ →

( )⇔ = ( ) =

x c x c

f xf x 0

1

= ( ) →f O , x c1 lim→

⇔ ( ) ∈ Rx cf x

è limitata in⇒ ( ) { }f I c \ c

22

Osservazione 2

continua in f x 0 lim→

⇔ ( ) = ( )x xf x f x

00

lim→

⇔ ( )− ( ) = 0x xf x f x

00

⇔ ( )− ( ) = ( ) →f x f x , x xο0 01

⇔ ( ) = ( )+ ( ) →f x f x , x xο0 01



Simboli di Landau

24

Confronto monomi per e

i)

ii)

Confronto monomi

→x 0 → ±∞x n mx o x , x n m= ( ) → ⇔ >0

n mx o x , x n m= ( ) → ±∞ ⇔ <



25

Dimostrazione

= ( ) →n mx o x , x 0 lim→

⇔ =n

mx

xx0

0

lim −

→⇔ =n m

xx0

0 ⇔ − >n m 0

= ( ) → ±∞n mx o x , x lim→±∞

⇔ =n

mx

xx

0

m n⇔ − > 0limm nx x −→±∞

⇔ =1

0

i)

ii)

Simboli di Landau



27

Algebra degli ‘o’

n n no x o x o x( )± ( ) = ( )

mincon n m po x o x o x , p n,m( )± ( ) = ( ) = ( )

m n m nx o x o x +( ) = ( )m n m no x o x o x +( ) ( ) = ( )

se è limitata in un intorno di

n nx o x o x ,x

ϕ ϕ( ) ( ) = ( )= 0

per ogni ( ) = ( ) ∈ {0}Rn no x o x , \λ λ

Consideriamo ; si ha →x 0

Simboli di Landau



29

Limiti fondamentali

Si ricordi che, per

f ∼ g ⇐⇒ f = g + o(g)

x→ c ,

30

Limiti fondamentali

limx→0

sinx

x= 1 sinx ∼ x , x→ 0⇐⇒

⇐⇒ x→ 0sinx = x+ o(x) ,



31

Limiti fondamentali

cosx = 1− 12x2 + o(x2) , x→ 0

limx→0

1− cosxx2

=1

2

x→ 01− cosx = 1

2x2 + o(

1

2x2) ,

⇐⇒

⇐⇒

32

Limiti fondamentali

log(1 + x) ∼ x ,⇐⇒ x→ 0

log(1 + x) = x+ o(x) , x→ 0⇐⇒

limx→0

log(1 + x)

x= 1



33

Limiti fondamentali

⇐⇒

⇐⇒

limx→1

log x

x− 1 = 1

⇐⇒ log x ∼ x− 1 , x→ 1

x→ 1log x = x− 1 + o(x− 1) ,⇐⇒

34

Limiti fondamentali

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

x→ 0

x→ 0ex = 1 + x+ o(x) ,

ex − 1 ∼ x ,

limx→0

ex − 1x

= 1



35

Limiti fondamentali

limx→0

(1 + x)α − 1x

= α

\α ∈ {0}R

⇐⇒ x→ 0(1 + x)α − 1 ∼ αx ,

(1 + x)α = 1 + αx+ o(x) ,⇐⇒ x→ 0

Sia , allora

36

Esempio 1

Consideriamo la funzione

Dallo sviluppo

con la sostituzione si ha

t→ 0 ,

t = 3x2

x→ 0

et = 1 + t+ o(t) ,

= 1 + 3x2 + o(x2)

f(x) =e3x2

e3x2

= 1 + 3x2 + o(3x2)



37


Dallo sviluppo

con la sostituzione e ponendo

si ha

Esempio 2

t→ 0 ,

t = −5x(1 + t)α = 1 + αt+ o(t) ,

α =1

2

= 1− 52x+ o(x) , x→ 0

√1− 5x = (1− 5x)1/2 = 1 +

1

2(−5x) + o(−5x)

f(x) =√1− 5x

38


Dallo sviluppo


Esempio 3

t→ 0 ,log(1 + t) = t+ o(t) ,

t = −2x3

x→ 0= −2x3 + o(x3) ,

log(1− 2x3) = −2x3 + o(−2x3)

f(x) = log(1− 2x3)



39


Dallo sviluppo


Esempio 4

sin t = t+ o(t) , t→ 0 ,

t = 4x

= 4x2 + o(x2) , x→ 0

x sin 4x = x¡4x+ o(4x)

¢

f(x) = x sin 4x

= x¡4x+ o(x)

¢

Simboli di Landau



41

Se e per

e

Principio di sostituzione

f1 ∼ f g1 ∼ g x→ c ⇒

limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f1(x)

g1(x)

limx→c

f(x) g(x) = limx→c

f1(x) g1(x)

42

Dimostrazione prima uguaglianza

limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f(x)

f1(x)· f1(x)g1(x)

· g1(x)g(x)

= limx→c

f(x)

f1(x)limx→c

f1(x)

g1(x)limx→c

g1(x)

g(x)

= limx→c

f1(x)

g1(x)



43

Calcoliamo

Esempio 1

L = limx→0

sin2 2x

1− cos 3x

44

Esempio 1

sin2 2x ∼ (2x)2 , x→ 0

ossia sin2 2x ∼ 4x2 , x→ 0



45

Esempio 1

1− cos 3x ∼ 12(3x)2 , x→ 0

ossia 1− cos 3x ∼ 92x2 , x→ 0

46

Esempio 1

1− cos 3x ∼ 92x2 , x→ 0

quindi

sin2 2x ∼ 4x2 , x→ 0Riassumendo:

=8

9L = lim

x→04x2

92x

2



47

Calcoliamo

Esempio 2

L = limx→0

3 log(1 + x2)√1 + 2x− 1

3 log(1 + x2) ∼ 3x2 , x→ 0

quindi

x→ 0= x ,

√1 + 2x− 1 = (1 + 2x)1/2 − 1

∼ 12· 2x

L = limx→0

3x2

x= 0= lim

x→03x

48

Calcoliamo

Esempio 3

x→ 0e5x − 1 ∼ 5x ,

quindi

e5x − 1L = lim

x→0 tanx3

x→ 0tanx3 =sinx3

cosx3∼ sinx3 ∼ x3 ,

L = limx→0

5x

x3= +∞= lim

x→05

x2



49

Calcoliamo

Esempio 4

L = limx→+∞

x

Ã3

r1 +

1

x2− 1!

quindi

x→ +∞=1

3x2,

3

r1 +

1

x2− 1 =

µ1 +

1

x2

¶1/3− 1

∼ 13· 1x2

L = limx→+∞

x · 1

3x2= limx→+∞

1

3x= 0

50

Se e per

Proprietà

f1 = o(f) g1 = o(g) x→ c ⇒

limx→c

f(x) + f1(x)

g(x) + g1(x)= limx→c

f(x)

g(x)

limx→c

¡f(x) + f1(x)

¢¡g(x) + g1(x)

¢=

= limx→c

f(x) g(x)



51

Poiché

la proprietà segue dal Principio di sostituzione

Dimostrazione

x→ c

f + f1 = f + o(f)

∼ g ,e g + g1 = g + o(g)

x→ c∼ f,

52

Calcoliamo

Esempio 1

L = limx→0

2x2 − 5 log(1 + 3x3)x2 + 2 sinx



53

Esempio 1

−5 log(1 + 3x3) = o(2x2) , x→ 0

infatti

limx→0

−5 log(1 + 3x3)2x2

= limx→0

−5 · 3x32x2

= 0= limx→0

¡− 152x¢

54

Esempio 1

x2 = o(2 sinx) , x→ 0

infatti

limx→0

x2

2 sinx= limx→0

x2

2x= limx→0

x

2= 0



55

Esempio 1

quindi

Riassumendo:

x2 = o(2 sinx) , x→ 0

−5 log(1 + 3x3) = o(2x2) , x→ 0

L = limx→0

2x2

2 sinx= limx→0

x2

x= limx→0

x = 0

56

Si noti che se in generale non è vero

che

Ad esempio, siano

allora

Osservazione

f ∼ f1limx→c

(f(x)± g(x)) = limx→c

(f1(x)± g(x))

g(x) =√x2 − 1f(x) =

√x2 + 2x,



57

Osservazione

limx→+∞

¡px2 + 2x−

px2 − 1

¢= lim

x→+∞(x2 + 2x)− (x2 − 1)√x2 + 2x+

√x2 − 1

= limx→+∞

2x+ 1

x³q

1 + 2x +

q1− 1

x2

´ = 1

58

Osservazione

Posto si haf1(x) = x ,

x→ +∞f(x) =√x2 + 2x ∼ x = f1(x) ,



59

Osservazione

limx→+∞

¡f1(x)− g(x)

¢= lim

x→+∞

¡x−

px2 − 1

¢= lim

x→+∞x2 − (x2 − 1)x+√x2 − 1

= limx→+∞

1

x³1 +

q1− 1

x2

´= 0

60

Osservazione

Riassumendo

e

limx→+∞

¡f(x)− g(x)

¢= 1

limx→+∞

¡f1(x)− g(x)

¢= 0

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