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Analisi matematica I Primitive e integrali indefiniti

© 2006 Politecnico di Torino 1

Analisi matematica I

2

Calcolo integrale

Primitive e integrali indefiniti

Regole di integrazione

Integrali definiti secondo Riemann

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Integrali impropri



Calcolo integrale

4


Definizione di primitiva

Caratterizzazione delle primitive

Integrale indefinito

Definizione di primitiva generalizzata




6

Definizione di primitiva

Sia definita su un intervallo

Si dice primitiva di in (o su ) ogni funzione derivabile in e tale che

Chiameremo integrabili (in senso indefinito)sull’intervallo le funzioni che ammettono una primitiva su

f

f I IF I

F 0(x) = f(x), ∀x ∈ I

I,I

I ⊆ R



7

Esempio 1

Sia su

La funzione

è una primitiva di

Ogni funzione della forma

è una primitiva di in quanto la derivata di una costante è nulla

f(x) = x I = R

F (x) =1

2x2

G(x) =1

2x2 + c , c ∈ Rf ,

f

8

Esempio 2

Sia su

Le funzioni

sono primitive di su

f(x) =1

xI = (−∞, 0)

f I

F (x) = log |x|+ c , c ∈ R




10

Proposizione

Siano e due primitive di sull’intervallo

esiste una costante tale che

IF G f

⇒ c

G(x) = F (x) + c, ∀x ∈ I



11

Dimostrazione

Introduciamo la funzione ausiliaria

Derivandola, si ha

Ricordando la Proprietà

si ottiene la tesi

H(x) = G(x)− F (x)

H 0(x) = G0(x)− F 0(x) = f (x) − f(x) = 0, ∀x ∈ I

costante,H 0(x) = 0, ∀x ∈ I H(x) = ∀x ∈ I⇔

12

Teorema

Sia una funzione integrabile (in senso

indefinito) su e sia una sua primitiva

le primitive di sono tutte e sole le funzioni

f

I F

F (x) + c , c ∈ R

⇒ f




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Definizione

L’insieme di tutte le primitive di in un intervallo

viene indicato con il simbolo

Si legge integrale indefinito di oppure

“integrale di in ”.

Se è una primitiva di avremo

f

I ⊆ R Zf(x) dx

f(x)

f ,

dx

Zf(x) dx =

©F (x) + c : c ∈ R

ª= F (x) + c

f ,F



15

Esempio 1

Sia

Ricordando che una primitiva di

è data dalla funzione

Dunque

f(x) = x3

Dx4 = 4x3,

F (x) =1

4x4

Zx3 dx =

1

4x4 + c , c ∈ R

f

16

Esempio 2

Sia

Ricordando che si ha

Dunque

f(x) = e5x

De5x = 5e5x,

F (x) =1

5e5x

c ∈ RZe5x dx =

1

5e5x + c ,



17

Esempio 3

Sia

Ricordando che si ha

Dunque

f(x) = sin 4x

D cos 4x = −4 sin 4x,

F (x) = −14cos 4x

Zsin 4x dx = −1

4cos 4x+ c , c ∈ R

18

Interpretazione geometrica

Il Teorema di caratterizzazione delle primitive

afferma che

I grafici di tutte le primitive di una funzione

integrabile si ottengono l’uno dall’altro per

traslazione verticale f



19


Le primitive di una stessa funzione differiscono

per una costante additiva

20


Per selezionare una particolare primitiva di

si assegna il suo valore in un punto

Conoscendo una particolare primitiva di

in si vuole determinare la primitiva

di che vale in

Scriviamo

da cui ricaviamo e dunque

abbiamo

y0 x0 ∈ IF (x)

f(x) I

f(x)G(x) = F (x) + c0 y0 x0

G(x0) = F (x0) + c0 = y0c0 = y0 − F (x0)

G(x) = F (x)− F (x0) + y0

f



21


22

Tabella

per oppure( x > 0 x < 0)

(α 6= −1)

Zex dx = ex + c

Z1

xdx = log |x|+ c

Zxα dx =

xα+1

α + 1+ c



23

Tabella

Z1

1 + x2dx = arctanx+ c

Zcosx dx = sinx+ c

Zsinx dx = − cosx+ c

Z1√1− x2

dx = arcsinx+ c

24

Esempio 1

Cerchiamo la primitiva di G(x) f(x) = cosx



25

Esempio 1

Cerchiamo la primitiva di

tale che

Una primitiva di è

G(x0) = G(π

2) = 5 = y0

F (x) = sinxf(x)

G(x) f(x) = cosx

26

Esempio 1

Cerchiamo nella forma

Dalla condizione otteniamo

La primitiva cercata è

G(x) G(x) = sinx+ c0

G(π

2) = 5

5 = sinπ

2+ c0 da cui c0 = 4

G(x) = sinx+ 4



27

Esempio 2

Cerchiamo il valore in della primitiva di

che si annulla in

Una primitiva di è

x1 = 3 G

f(x) = 6x2 + 5x x0 = 1

F (x) = 2x3 +5

2x2

f(x)

28

Esempio 2

Imponendo la condizione otteniamo


G(1) = 0,

0 = 2 +5

2+ c0 da cui c0 = −

9

2

G(x) = F (x) + c0 = 2x3 +

5

2x2 − 9

2



29

Esempio 2


Il suo valore in è

G(x) = F (x) + c0 = 2x3 +

5

2x2 − 9

2

x1 = 3 G(3) = 72

30

Esempio 3

Sia

Vogliamo determinare tutte le primitive di

su

Ragioniamo dapprima sugli intervalli

e separatamente

f(x) = sin |x|− sinx x < 0

x ≥ 0sinx

se

se=

f(x)R

I1 = (−∞, 0)I2 = (0,+∞)



31

Esempio 3

Nell’intervallo tutte le primitive di sono

della forma

Nell’intervallo tutte le primitive di sono

della forma

f(x)I1,

F1(x) = cosx+ c1 con c1 ∈ R

I2, f(x)

F2(x) = − cosx+ c2 c2 ∈ Rcon

sef(x) = sinx x ∈ I2

f(x) = − sinx se x ∈ I1

32

Esempio 3

La generica primitiva di su si scrive

comef(x) R

x < 0se

se

F1(x)

F2(x)F (x) =

x > 0

F (x)

x < 0se

se x > 0=

cosx+ c1

− cosx+ c2



33

Esempio 3

deve essere continua in

Dobbiamo raccordare le primitive trovate,

imponendo la condizione

Ciò equivale a ossia

F x = 0

limx→0−

F (x) = limx→0+

F (x)

F1(0) = F2(0),

1 + c1 = −1 + c2

34

Esempio 3

Ad esempio, sia otteniamo

In conclusione la generica primitiva di su

è

c1 = c, c2 = 2 + c

f(x) R

F (x) =

cosx+ c x < 0,

x ≥ 0

se

se− cosx+ 2 + c



35

Esempio 4

Si consideri la funzione continua definita a tratti

Procedendo come nell’Esempio precedente

otteniamo

f(x) =x ≤ 1,

(x− 2)2se

se

F (x) =

1

2x2 + c1

1

3(x− 2)3 + c2

x < 1,se

se

x

x > 1

x > 1

36

Esempio 4

Imponendo la continuità in si ha x = 1,

1

2+ c1 = −

1

3+ c2



37

Esempio 4

Da tale relazione, ponendo si ha c1 = c

c2 =5

6+ c

1

2+ c1 = −

1

3+ c2

38

Da tale relazione, ponendo si ha

Dunque

Esempio 4

F (x) =

1

2x2 + c

1

3(x− 2)3 + 5

6+ c

se

se

x ≤ 1,

x > 1

c2 =5

6+ cc1 = c



Esempio 4

Vogliamo determinare la primitiva di che si

annulla in

Poiché usiamo la seconda espressione di

e imponiamo la condizione

x0 = 3f(x)

x0 > 1,

F (x) F (3) = 0

F (3) =1

3(3− 2)3 + 5

6+ c = 0 c = −7

6da cui

40

Esempio 4

Ne segue che la primitiva cercata è

F (x) =

1

2x2 − 7

61

3(x− 2)3 − 1

3

se

se

x ≤ 1,

x > 1

F (3) = 0 c = −76

⇒



41

Esempio 4

Se vogliamo determinare la primitiva di che

si annulla in possiamo imporre

l’annullamento dell’una o dell’altra espressione

di in quanto esse coincidono in tale punto

f(x)

F (x),

x0 = 1,

42

Esempio 4


limx→1−

F (x) = limx→1+

F (x) = 0

se

se

1

2x2 − 1

2

1

3(x− 2)3 + 1

3

F (x) =

x ≤ 1,

x > 1




44

Definizione

Sia definita su un intervallo

Si dice primitiva generalizzata di in (o su )

ogni funzione

Continua in

Derivabile in tranne al più un numero finito di

punti e tale che

f I

f I I

F

I

I

x1, . . . , xn

F 0(x) = f(x), ∀x ∈ I \ {x1, . . . , xn}



45

Esempio

Si consideri la funzione definita a tratti

f(x) =

x < 0,

√x+ 1 x ≥ 0

se

se

1

x2 + 1+ 1

46

Esempio

Procedendo come in precedenza otteniamo

se

se

F (x) =

x < 0,

2

3(x+ 1)3/2 + c2 x > 0

arctanx+ x+ c1



47

Esempio

Imponendo la continuità in si ha

Da tale relazione, ponendo si ha

x = 0,

c1 =2

3+ c2

c2 = c,

c1 =2

3+ c

48

Esempio

Risulta

c2 = c,

se

se

c1 =2

3+ c

2

3(x+ 1)3/2 + c x ≥ 0

x < 0,F (x) =

arctanx+ x+2

3+ c

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