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Analisi matematica I Integrali definiti secondo Riemann

© 2006 Politecnico di Torino 1

Calcolo integrale

2

Integrali definiti secondo Riemann

Trapezoide di una funzione

Funzione a scala

Integrale definito




4


Consideriamo una funzione

Definita su un intervallo chiuso e limitato

Limitata su

f

I = [a, b] ⊂ R[a, b]



5


Il trapezoide di sull’intervallo indicato

con è la regione piana delimitata

f

f : [a, b]→ R limitata

T (f ; a, b),[a, b],


Il trapezoide di sull’intervallo indicato

con è la regione piana delimitata

dall’intervallo

dalle parallele all’asse delle ordinate passanti per

gli estremi dell’intervallo

dal grafico di

f

[a, b]

f

T (f ; a, b) = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)f(x) ≤ y ≤ 0}

[a, b],

T (f ; a, b),

oppure



7


8


Sotto opportune ipotesi su è possibile

associare al trapezoide di su un numero

detto integrale definito di su

Nel caso in cui sia positiva tale numero

rappresenta l’area del trapezoide

In particolare, qualora il trapezoide di sia una

figura elementare ad esempio un rettangolo, un

triangolo, un trapezio, etc. esso fornisce la

classica espressione dell’area di tale figura

f ,f

f[a, b]

[a, b]

f

f




10

Osservazione

Definiamo dapprima l’integrale per funzioni

elementari, costanti a tratti

Successivamente, l’integrale di una funzione più

generale sarà costruito a partire da quello delle

funzioni elementari utilizzando i concetti di

estremo inferiore e superiore



11

Definizione 1

Consideriamo punti di non

necessariamente equispaziati e tali che

Essi inducono una partizione o suddivisione

dell’intervallo in sottointervalli

[a, b]n+ 1

a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b

[a, b]

Ik = [xk−1, xk], k = 1, . . . , n

12

Definizione 1

Se almeno uno degli intervalli viene

ulteriormente suddiviso, la nuova partizione

viene detta suddivisione più fine oppure

raffinamento della partizione iniziale

Ik



13

Definizione 2

Una funzione si dice

funzione a scala se esistono

una suddivisione dell’intervallo indotta da

punti e

costanti tali che

[a, b]

f : [a, b]→ R

{x0, x1, . . . , xn}

∀x ∈ (xk−1, xk), k = 1, . . . , n

c1, c2, . . . , cn ∈ R

f(x) = ck ,

14

Definizione 2

Una suddivisione è adattata ad se è

costante in ogni intervallo della

suddivisione

Indicheremo con l’insieme delle

funzioni a scala su

f f

[a, b]

(xk−1, xk)

S([a, b])

f(x) = ck , ∀x ∈ (xk−1, xk), k = 1, . . . , n



15

Definizione 2

16

Osservazione

Se una suddivisione è adattata ad ogni suo

raffinamento lo è ancora

Se e sono due funzioni a scala su è

sempre possibile costruire una suddivisione

adattata ad entrambe

f

f g [a, b]



17

Osservazione

Infatti, se sono i punti di

una suddivisione adattata a e

sono quelli di una suddivisione adattata a

la suddivisione associata all’insieme unione è

adattata sia alla funzione sia alla funzione f

f

g

{x0, x1, . . . , xn}{z0, z1, . . . , zm}

g

18

Definizione

Sia e siano

i punti di una suddivisione ad essa adattata

Sia il valore costante di sull’intervallo

Si dice integrale definito di su il

numero

f ∈ S([a, b]) {x0, x1, . . . , xn}

ck(xk−1, xk)

f

I = [a, b]

ZI

f =nXk=1

ck(xk − xk−1)

f



19

Osservazione 1

La definizione dell’integrale è indipendente dalla

partizione adattata ad

In particolare, se assume il valore costante

su si ha

f

[a, b], ZI

f = c(b− a)

f c

20

Osservazione 2

Se modifichiamo il valore della funzione in un

numero finito di punti, l’integrale non cambia

In particolare l’integrale non dipende dai valori

assunti dalla funzione nei suoi eventuali punti di

discontinuità

f



21

Osservazione 3

Nel caso in cui sia positiva su il numero

rappresenta l’area del trapezoide di

infatti esso è la somma delle aree dei rettangoli

di base e altezza

in cui si suddivide il trapezoide

f [a, b]ZI

f f

xk − xk−1 ck

22

Osservazione 3



23

Proprietà

Siano tali che g, h ∈ S([a, b])

ZI

g ≤ZI

h⇒

g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ [a, b]




25

Definizione

Consideriamo una generica funzione limitata

poniamo

sf = supx∈[a,b]

f(x) ∈ R

if = infx∈[a,b]

f(x) ∈ R

e

f : [a, b]→ R;

26

Definizione

Definiamo l’insieme

S+f = {h ∈ S([a, b]) : f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ [a, b]}

S−f = {g ∈ S([a, b]) : g(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b]}

f

f : [a, b]→ R limitata

f

delle funzioni a scala che maggiorano e l’insieme

delle funzioni a scala che minorano



27

Osservazione

Gli insiemi e non sono vuoti, in quanto

contengono le funzioni costanti S+f S−f

h(x) = sf g(x) = ife

S+f = {h ∈ S([a, b]) : f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ [a, b]}

S−f = {g ∈ S([a, b]) : g(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b]}

28

ZI

f = sup

½ZI

g : g ∈ S−f¾

Definizione

Si dice integrale superiore di su

il numero

Si dice integrale inferiore di su

il numero

I = [a, b]f

ZI

f = inf

½ZI

h : h ∈ S+f¾

f I = [a, b]



29

Osservazione

Poiché non è vuoto, è ovvio che

analogamente

S+fZI

f = inf

½ZI

h : h ∈ S+f¾< +∞

ZI

f = sup

½ZI

g : g ∈ S−f¾> −∞

30

Osservazione

Per ogni funzione limitata su vale la

disuguaglianza [a, b],f

ZI

f ≤ZI

f



31

Esempio

Sia la funzione di Dirichletf

f(x) =1 x ∈ Q ,

0 x ∈ R \Q

se

se

32

Esempio

Poiché ogni intervallo di una

suddivisione di contiene sia punti razionali

sia punti irrazionali, si ha

(tranne al più in un numero finito di punti)

Dunque

(xk−1, xk)[0, 1]

g ≤ 0 ,h ≥ 1 , ∀h ∈ S+f

ZI

f = 1

ZI

f = 0

e

e

∀g ∈ S−f



33

Una funzione limitata su dicesi

integrabile (nel senso di Riemann) su se

Tale valore comune viene detto integrale definito

di su e indicato con

Definizione

I = [a, b]f

I

f

ZI

f =

ZI

f

[a, b]ZI

f

Z b

a

f(x) dxoppure

34

Indichiamo con il simbolo l’insieme

delle funzioni integrabili su

Il simbolo rappresenta un numero,

che dipende dalla funzione e dall’intervallo

La lettera è una “variabile muta”, che può

essere sostituita da una qualunque altra lettera

nel simbolo dell’integrale definito

Osservazione 1

R([a, b])[a, b]Z b

a

f(x) dx

x

[a, b]f



35

Le espressioni

rappresentano tutte lo stesso numero

Osservazione 1

Z b

a

f(x) dx ,

Z b

a

f(s) ds ,

Z b

a

f(y) dy

36

Il significato geometrico dell’integrale definito è

chiaro nel caso in cui sia una funzione positiva

sull’intervallo

In tale situazione, il trapezoide di è contenuto

nel trapezoide di ogni funzione e

contiene il trapezoide di ogni funzione

Osservazione 2

f

[a, b]

fh ∈ S+f

g ∈ S−f



37

L’integrale superiore rappresenta una misura

“esterna” (o per eccesso) del trapezoide di

similmente l’integrale inferiore rappresenta una

misura “interna” (o per difetto)

Dunque è integrabile se le due misure

coincidono, cioè se al trapezoide di è

associabile un numero che ne rappresenta l’area

Osservazione 2

f

f

f

38

Le funzioni a scala sono integrabili su

Infatti, se è a scala, si ha

contemporaneamente ed

Indicata con la quantità che definisce

l’integrale di una funzione a scala, si ha

Osservazione 3

f ∈ S−f f ∈ S+f

ZI

f ≤ZI

ff ∈ S+fZI

f ≤ZI

ff ∈ S−f ⇒ ⇒e

f

ZI

f

I



39

Pertanto

e dunque necessariamente tali quantità

coincidono

Osservazione 3

ZI

f ≤ZI

f ≤ZI

f ≤ZI

f

40

Sono integrabili sull’intervallo

Le funzioni continue su

Le funzioni continue a tratti su

Le funzioni continue su e limitate su

Le funzioni monotone su

Teorema

[a, b]

(a, b)

[a, b]

[a, b]

[a, b]

[a, b]



41

Il teorema ci assicura l’integrabilità della funzione

che è continua su e soddisfa

su

Esempio 1

f(x) =1 + sin

1

x0 < x ≤ 1,

x = 00

se

se

(0, 1]0 ≤ f(x) ≤ 2 [0, 1]

42

Esempio 1



43

Il teorema ci assicura anche l’integrabilità della

funzione

che è monotona crescente (non strettamente)

sull’intervallo

Esempio 2

f(x) =se

se

[0, 1]

1

n

1

n+ 1< x ≤ 1

n, n = 1, 2, . . . ,

x = 0,0

44

Esempio 2



45

Sia una funzione integrabile su

è integrabile su ogni sottointervallo

La funzione è integrabile su

Proprietà

f

|f | [a, b]

f [c, d] ⊂ [a, b]⇒

[a, b]

46

Sia

Se è positiva su l’integrale definito

rappresenta l’area del trapezoide di su

Se è negativa, l’integrale definito rappresenta

l’area del trapezoide cambiata di segno

Se ha segno variabile sull’intervallo, l’integrale

definito rappresenta la differenza tra l’area della

parte di trapezoide che si trova sopra l’asse

dell’ascisse e l’area della parte che si trova sotto

Area di un trapezoide

f ∈ R([a, b])

[a, b]

f

f[a, b]

f

f



47

L’area del trapezoide di su è data da

Area di un trapezoide

[a, b]f

Area di T (f ; a, b) =Z b

a

|f(x)| dx

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