INTEGRALI INDEFINITI

Se F(x) è una primitiva di f(x), allora le funzioni F(x) + c , con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f(x). Precisamente:

! se F(x) è una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo è; ! se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di F(x), allora

G(x) - F(x) = c . Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.

La funzione integranda è 𝑓(𝑥) mentre la variabile di integrazione è la variabile x. La funzione primitiva 𝐹(𝑥) che si ottiene per 𝑐 = 0 si chiama primitiva fondamentale. Significato del simbolo: la “ ” ricorda una S allungata, mentre “dx” indica la variabile rispetto alla quale si fa l’operazione di integrale indefinito. Una funzione che ammette una primitiva, ne ammette infinite e si dice integrabile. TEOREMA di CONTINUITÀ/INTEGRABILITÀ HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b

TH) Allora f è integrabile in [ ];a b Quindi: f è derivabile ⇒ f è continua ⇒ f è integrabile La continuità è una Condizione Sufficiente per l’integrabilità (mentre non tutte le funzioni continue sono derivabili; basta pensare alle funzioni con i punti angolosi…)

Le proprietà di linearità si possono sintetizzare come: 𝑐!𝑓 𝑥 + 𝑐!𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐! 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 , ∀𝑐!, 𝑐! ∈ ℝ. In sintesi, l’integrale è un operatore lineare.

INTEGRALI DEFINITI

<=Il Trapezoide Area trapezoide compresa tra il plurirettangolo inscritto e il plurirettangolo circoscritto.

TEOREMA introduttivo all’integrale definito HP) Se una funzione f è continua in [ ];a b

TH) Allora i limiti per n→ +∞ delle successioni e n ns S (successione delle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti rispettivamente) esistono finiti e sono uguali fra loro: lim limn nn n

s S→+∞ →+∞

=

Il valore comune di tale limite viene indicato con la scrittura ( )b

af x dx∫

a si chiama estremo inferiore; b si chiama estremo superiore. L’integrale definito è sempre un numero reale (positivo, negativo o nullo), diversamente dall’integrale indefinito che è un insieme di funzioni. Per convenzione si pone:

Proprietà dell’integrale definito:

Es. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 in 0,1; 𝑒

TEOREMI DEL CALCOLO INTEGRALE (1)

Dim. pag. 2008 (usa il T di Weierstrass e il T. dei valori intermedi) Interpretazione geometrica: se la funzione è positiva in 𝑎; 𝑏 , il Teorema della Media Integrale esprime l’uguaglianza fra l’area del trapezoide (indicata da 𝑓(𝑥)!

! 𝑑𝑥) e l’area del rettangolo di base 𝑏 − 𝑎 e altezza 𝑓(𝑧) dove z è un particolare valore in 𝑎; 𝑏 .

Il valore 𝑓(𝑧) si chiama appunto valor medio della funzione 𝑓 𝑥 in 𝑎; 𝑏 : f z( ) = f x( )dx

a

b

∫b− a

Definizione Sia 𝑓 𝑥 una funzione continua in 𝑎; 𝑏 e sia 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 un generico valore. Si chiama Funzione Integrale di f in

𝑎; 𝑏 , la funzione: F x( ) = f t( )dta

x

∫ che associa ad ogni 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 il numero reale f t( )dta

x

∫

Se la funzione f è positiva in 𝑎; 𝑏 , la funzione integrale F(x) rappresenta l’area del trapezoide ABCD e dipende da x. (2) N.B. Questo teorema collega il concetto di integrale definito con quello di integrale indefinito (*)

Dim. pag. 2011 (usa il T della media integrale) (*) La derivata di F(x) coincide con il valore che la funzione integranda f assume nell’estremo variabile x di integrazione, ossa

D f t( )dta

x

∫ = f x( ) . Pertanto l’integrale indefinito della funzione f, inteso come totalità delle sue primitive, si esprime come

f x( )dx =∫ f t( )dta

x

∫ + c , con 𝑐 ∈ ℝ.

(3) FORMULA DI NEWTON LEIBNIZ (riduce il calcolo di integrali definiti a quello di integrali indefiniti) L’integrale definito di una funzione continua f(x) è uguale alla differenza tra i valori assunti da una qualunque primitiva 𝜑(𝑥) di f(x) rispettivamente nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore:

f x( )dx

a

b

∫ =ϕ b( )−ϕ a( ) = ϕ x( )⎡⎣ ⎤⎦x=a

x=b Dim. pag. 2012 (usa il T fondamentale del calcolo integrale)

CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE Per calcolare le aree, è opportuno avere il grafico della funzione Se f(x)>0: Se f(x)<0: Se f(x) ha segno variabile:

N.B. Tale formula non cambia se entrambe le funzioni sono traslate in verticale.

CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI (di rotazione e non)

“Metodo delle fette” per il calcolo di volumi di solidi

V = S x( )dxa

b

∫ dove S (x) è il valore dell’area di una generica sezione piana

ottenuta tagliando il solido in questione con un piano perpendicolare all’asse x in suo punto generico.