Limiti e continuità - Corsi di Laurea a Distanza...

Analisi matematica I Limiti e successioni

© 2006 Politecnico di Torino 1

Limiti e continuità

2

Limiti e successioni

Definizione di intorni

Limite finito di una successione

Limite infinito di una successione

Successioni monotòne

Numero di Nepero




4

Intorni

Sia un punto della retta reale, e sia

un numero reale

Si dice intorno di di raggio l’intervallo

aperto e limitato

x0 ∈ Rr > 0

x0 r

Ir(x0) = (x0 − r, x0 + r)

= {x ∈ R : |x− x0| < r}



5

Intorni

6

Intorni

Ia(+∞) = (a,+∞)Si dice l’intorno di di estremo superiore

l’intervallo aperto

a−∞

Ia(−∞) = (−∞,−a)

Sia un numero reale

Si dice intorno di di estremo inferiore

l’intervallo aperto

a ≥ 0+∞ a



7

Intorni

Intorno di (a sinistra) e di (a destra)−∞ +∞

Intorno di

Intorno di

Ia(+∞) = (a,+∞)Ia(−∞) = (−∞,−a)

+∞:−∞:

8

Intorni


un numero reale

Si dice intorno destro di di raggio

l’intervallo semiaperto e limitato

r > 0x0

I+r (x0) = [x0, x0 + r)

= {x ∈ R : 0 ≤ x− x0 < r}

x0 ∈ Rr > 0



9

Intorni


un numero reale

Si dice intorno sinistro di di raggio

l’intervallo semiaperto e limitato:

r > 0x0

I−r (x0) = (x0 − r, x0]

x0 ∈ Rr > 0

= {x ∈ R : 0 ≤ x0 − x < r}




11

Esempio 1

Sia

Notiamo che i valori

di si avvicinano a 1

al crescere di

an

an =n

n+ 1

n

12

Esempio 2

Sia

Si può “congettuare”

che i valori di

si avvicinano ad un

certo numero reale

la cui rappresentazione

decimale inizia

con 2.718 . . .

an

an =

µ1 +

1

n

¶n



13


Si dice che la successione

tende al limite (oppure converge a ,

oppure ha limite )

e si scrive

` ∈ R`

`

a : n 7→ an

limn→∞an = `

14


∀ε > 0 ,∀n ≥ n0, n > nε

∃nε tale che

⇒

se

|an − `| < ε



15


Con la terminologia degli intorni, la condizione di

limite può essere espressa come:

tale che

⇒

∀Iε(`) , ∃Inε(+∞)∀n ≥ n0, n ∈ Inε(+∞) an ∈ Iε(`)

16

Esempio

Riprendiamo l’esempio

Vale

an =n

n+ 1

limn→∞

n

n+ 1= 1



17

Esempio

Vale

Infatti, fissato ε > 0,

limn→∞

n

n+ 1= 1

|an − 1| < ε1

n+ 1< ε⇔

¯̄̄̄n

n+ 1− 1¯̄̄̄< ε ⇔

n+ 1 >1

ε⇔

18

Esempio

Definiamo se avremo nε =

∙1

ε

¸, n > nε,

⇔ |an − 1| < εn+ 1 >

∙1

ε

¸+ 1 >

1

ε



19

Esempio

Ossia

∀ε > 0 , ∃nεn > nε

tale che

⇒ |an − 1| < ε

20

Esempio

Convergenza della successione an =n

n+ 1




22

Esempio

Sia

Notiamo che i valori

di crescono al

crescere di nan

an = n2



23


Si dice che la successione

tende a (oppure diverge a oppure ha

limite ) e si scrive

a : n 7→ an+∞

+∞+∞

limn→∞an = +∞

24


se

∀A > 0 , ∃nA∀n ≥ n0, n > nA an > A

tale che

⇒



25


In termini di intorni, possiamo dire che

tale che

⇒

∀IA(+∞) , ∃InA (+∞) ∀n ≥ n0,n ∈ InA (+∞) an ∈ IA(+∞)

26


Analogamente:

se

∀A > 0 , ∃nA ∀n ≥ n0,n > nA an < −A

tale che

⇒

limn→∞an = −∞



27


Analogamente:

oppure se

tale che

⇒

∀n ≥ n0,∀IA(−∞) , ∃InA (+∞)n ∈ InA (+∞)

limn→∞an = −∞

an ∈ IA(−∞)

28

Esempio


Vale

Infatti, fissato poniamo

si ha

A > 0

n > nA n >√A⇒ ⇒

an = n2

limn→∞n

2 = +∞

nA = [√A]

n2 > A



29

Limiti di successioni

Riassumendo

limn→∞an =

` ∈ R {an} si dice successione convergente

±∞ {an} si dice successione divergente

Se

la successione si dice indeterminata

limn→∞an

non esiste

30

Esempi

Sono indeterminate le successioni

an = (−1)nse è pari,

se è dispari

2n

0

n

n=an = (1 + (−1)n)n




32

Una successione è monotona crescente

se

Una successione è monotona decrescente

se

Successioni monotòne

{an}

∀n ≥ n0, an ≤ an+1

{an}

∀n ≥ n0, an ≥ an+1



33

Sia una successione crescente

essa è convergente oppure divergente

Precisamente:

i) Se la successione è superiormente limitata

allora la successione converge verso l’estremo

superiore della sua immagine

Teorema

{an} ⇒

`

limn→∞an = sup {an : n ≥ n0} = ` ∈ R

34

Sia una successione crescente


Precisamente:

ii) Se la successione non è superiormente limitata,

allora essa diverge a

Teorema

{an} ⇒

+∞

limn→∞an = +∞



35

Sia una successione decrescente


Precisamente:

i) Se la successione è inferiormente limitata

allora la successione converge verso l’estremo

inferiore della sua immagine

Teorema

{an}

`

limn→∞an = inf {an : n ≥ n0} = ` ∈ R

⇒

36

Sia una successione decrescente


Precisamente:

ii) Se la successione non è inferiormente limitata,

allora essa diverge a

Teorema

{an}

−∞

limn→∞ an = −∞

⇒



37


La successione è strettamente

crescente

Esempio

an =n

n+ 1

an =n

n+ 1

38

Esempio

Infatti an < an+1n

n+ 1<n+ 1

n+ 2⇔

⇔ n(n+ 2) < (n+ 1)2

n2 + 2n < n2 + 2n+ 1⇔

vero per ogni n



39

Esempio

Inoltre

Pertanto

sup{an : n ∈ N} = 1

limn→∞

n

n+ 1= 1




41

La successione

è strettamente crescente e limitata.

Pertanto esiste il

Tale numero si chiama numero di Nepero

Numero di Nepero

an =

µ1 +

1

n

¶n

limn→∞an ∈ R

limn→∞

µ1 +

1

n

¶n= e

e

42

Numero di Nepero

Si dimostra che è irrazionale

Le sue prime cifre decimali sono

Numero di Nepero

e = 2.71828182845905 · · ·

limn→∞

µ1 +

1

n

¶n= e

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