Limiti deriv

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    13-Jun-2015
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  • 1. Dott.ssa Donatella Cocca

2. Definizione di IntervalloPrima di definire cosa il Limite di una funzione, dobbiamo capirecosa un punto di accumulazione.Def (Intervallo): Si definisce intervallo chiuso di centro x0 e raggiod un insieme del tipo:I={xR: x[x0-d, x0+d]}Si definisce intervallo aperto di centro x0 e raggio d un insieme deltipo: I={xR: x ] x0-d, x0+d[ }Dunque un intervallo detto chiuso se contiene gli estremi, aperto senon li contiene. Un intervallo pu contenere buchi, ad esempio essendodefinito privo del proprio punto centrale. 3. Punto di accumulazioneDef (Punto di accumulazione): Si dice che x0 punto diaccumulazione se ogni intervallo I di centro x0 contiene infiniti punti.Il concetto di punto di accumulazione uno strumento per studiare ilcomportamento delle funzioni in un intorno infinitamente piccolo di unpunto. Affermare che un punto di accumulazione significa assicurarsilesistenza di tutti i punti infinitamente vicini a quel punto e, quindi, dipoter operare su di essi.Nozione di limite finito di una funzione in un puntoData una funzione reale y = f(x) definita in un insieme XR, detto c unpunto daccumulazione per X, appartenente o no a X, vogliamo studiareil comportamento della funzione in un intorno di c, cio in prossimit dic. 4. Limite finito di una funzioneCi proponiamo, quindi, di esaminare linsieme dei valori che assume lafunzione f(x), quando la x si avvicina indefinitamente a c.Precisamente, se avviene che il corrispondente valore di f(x) siavvicina indefinitamente ad una costante L, allavvicinarsiindefinitamente di x a c, si dice che L il limite della funzione y = f(x),per x tendente a c nellintorno di c, e si scrive: lim f ( x ) = LxcLa precedente definizione ci d una cognizione intuitiva del concetto dilimite.Volendo precisare tale concetto in modo rigoroso, dobbiamo valutare diquanto la x dovr avvicinarci a c affinch il valore della funzione siavvicini a L di quel tanto stabilito. 5. Limite finito di una funzioneUna definizione rigorosa del concetto di limite la seguente.Def.(Limite finito di una funzione) Sia y = f(x) una funzionedefinita in un insieme X e sia c un punto daccumulazione per X. Si diceche la funzione f(x) tende a L (o ha per limite L ), per x che tende a c,se la f(x) assume valori che differiscono da L, in valore assoluto, pernon pi di , ossia:lim f ( x ) = L > 0 c > 0 : x (c c , c + c ) {c} xc si haf(x) - L < Per verificare se un dato numero L il limite di f(x) per xc si deverisolvere la disequazione |f(x)-L|< : se le soluzioni di questacostituiscono, qualunque sia >0, un intorno completo di c, escluso alpi c, allora L il limite di f(x) per xc; mentre se la disequazione non verificata in un intorno di c, oppure non mai verificata, L non limite di f(x) per xc. 6. Limite di una funzioneEsempio1: Verificare che: lim( x + 2 ) = 8 x6Bisogna verificare che in un intorno di c = 6 la disequazione:|(x+2)-8|< soddisfatta per ogni scelta di >0. Si ha: (x + 2 ) 8 < x + 2 8 < x 6 < cio- < x -6 < 6 - < x < 6 +Essendo lintervallo 6- E soddisfatta in un intorno di 0.2Def.(Limite infinito di una funzione) Siano y = f(x) unafunzione definita nellinsieme e c un punto daccumulazione per X. Sidice che la f(x) tende a + ( - ), o ha per limite + (- ), per x c,e si scrive lim f ( x ) = + (- ) se: x cE > 0 (grande a piacere) I c : x I c {c},risulta f(x) > E (f(x) < E) 8. Limite destro/sinistro di una funzioneDef.(Limite destro/sinistro di una funzione) Diremo che L limite sinistro della funzione y = f(x) per x tendente da sinistra a c e siscrive lim f ( x ) = L , se: x c > 0 c > 0 : x (c c ,c ) si ha f(x) - L < Analogamente, si dice che L limite destro e si scrive lim+ f ( x ) = L, se:x c > 0 c > 0 : x (c , c + c ) si ha f(x) - L < Propriet: Se una funzione annette limite per xx0 tale limite unico (Teorema dellunicit del limite). 9. Propriet sui Limiti Siano f, g ed h tre funzioni definite in un intorno I di x0 , e tale che per ogni xI risulti f(x)g(x)h(x) . Se: lim f ( x ) = lim h ( x ) = l allorax x0 x x0risulterlim g ( x ) = l x x0 (Teorema del confronto) Se lim f ( x ) = l 0 esiste un intorno I di x0 , privato al pi del x x0 punto x0 , in cui la funzione assume lo stesso segno di l. Viceversa, se esiste un intorno I di x0 , privato al pi del punto x0 , in cui risulta f(x)>0 (f(x)