1

LIMITI DI FUNZIONI

1. CONCETTO DI LIMITEEsula dallo scopo di questo libro la trattazione della teoria sui limiti. Tuttavia, pensando di fare cosagradita allo studente, che deve possedere questa nozione come background, riteniamo più utile presentare,come richiamo, le interpretazioni grafiche di tale concetto.

Sia data, a tal proposito, una funzione reale y f x = ( ) definita su un insieme E ⊆ ¡ e sia x0 ,appartenente o no all’insieme, un punto di accumulazione di E.In generale quando si pensa al concetto di limite si fa riferimento alla scrittura

lim ( )x x

f x→ 0

= lIn realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f x( ) tendere ad un elemento dell’insieme x0 ovvero l , − ∞, + ∞, ∞ , dove con ∞ si indica tutta la retta reale (− ∞, + ∞).Così si potrebbero presentare ben sedici casi con scritture quali:

lim ( )x

f x→+ ∞

= l lim ( )x

f x→∞

= l lim ( )x

f x→− ∞

+ ∞

= lim ( )x x

f x→

∞0

=

che si possono racchiudere nella seguente espressione

lim ( )x

xf x

→ ± ∞∞

± ∞∞

0

= l

A volte, però, il limite non esiste ed allora occorre studiare il comportamento in un sottoinsieme di unintorno completo di x0 avendosi casi come i seguenti:lim ( )x x

f x→ −

0

lim ( )x x

f x→ +

0

lim ( )x xsu E

f x→ 0

essendo E un sottoinsieme di ¡ ed x0 un suo punto di accumulazione; la situazione tende a complicarsimaggiormente in termini di casistica.Siano x0 ed l due numeri reali finiti. Elenchiamo qui di seguito i vari casi possibili:

1) limite finito quando x tende ad un numero finitolim ( )x x

f x→ 0

= ly

l

xx0O

2

Esempiolim ( )x

x→

+1

3 2 3 =

il limite è rappresentato proprio dal punto P

2) limite finito quando x tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi

a) b)

lim ( )x

f x→− ∞

+

= l lim ( )

xf x

→− ∞

−

= l

Notasi che scrivere formalmente l+ ed l− fornisce un’informazione aggiuntiva sulla tendenza dall’alto edal basso della nostra funzione f x( ) verso la retta y = l .

c) d)

lim ( )x

f x→+ ∞

+

= l lim ( )

xf x

→+ ∞

−

= l

Esempi b) + c)La funzione

yx

= 1

è definita su tutta la retta reale tranne che nel punto x = 0 (cfr. capitolo precedente).Segue allora che:

y

xO x0 = 1

l = 3 P(1, 3)

yy

O x

l+

y

O xy

l−

y

O x y

l−

yy

O x

l+

3

limx x→+ ∞

+

=

10 e lim

x x→− ∞

−

=

10

a) + d)

limx x→+ ∞

−−

= 1

0 e limx x→− ∞

+−

= 1

0

3) limite infinito quando x tende ad un numero finito comprendente i seguenti due casi a) limite destro e sinistro coincidenti

lim ( )x x

f x→ ±

+ ∞0

= o lim ( )x x

f x→ ±

− ∞0

=

y

xOy = 0

x

y

Oy = 0

xO

y

x = x0

xO

x = x0

y

4

Esempio

limx x→ ±

+ ∞0

2

1 = o lim

x x→ ±−

− ∞0 2

1 =

b) limite destro e sinistro differenti b1) lim ( )

x xf x

→ ++ ∞

0

= e lim ( )x x

f x→ −

− ∞0

=

Esempio

limx x→ +

+ ∞0

1 = e lim

x x→ −− ∞

0

1 =

x = x0

x

y

y = 00

x = x0

x

y

y = 00

0 x

y

x = x0

0 x

y

x = x0

5

b2 ) lim ( )x x

f x→ +

+ ∞0

= e lim ( )x x

f x→ −

0

= l

Esempio

limx

xa→ +

+ ∞0

1

= e limx

xa→ −0

1

0 = a > 1 x ≠ 0

N.B

limx

xa→ ± ∞

±

=

1

1

4) limite infinito quando x tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi a) lim ( )

xf x

→ + ∞+ ∞

= e lim ( )

xf x

→ − ∞+ ∞

=

0 x

x = x0

y = l

y

x = x0

y = l = 1

y

O x

O x

y(+ ∞, + ∞)(− ∞, + ∞)

6

Esempiolim

xx

→+ ∞+ ∞

= 2 e lim

xx

→− ∞+ ∞

= 2

o più in generalelim

x

nx→+ ∞

+ ∞

= 2 e limx

nx→− ∞

+ ∞

= 2

b) lim ( )x

f x→ + ∞

− ∞

= e lim ( )x

f x→ − ∞

− ∞

=

Esempio

( )limx

x→+ ∞

− − ∞

= 2 e ( )limx

x→− ∞

− − ∞

= 2

o più in generale

( )limx

nx→+ ∞

− − ∞

= 2 e ( )limx

nx→− ∞

− − ∞

= 2

O x

y

O x

y

(+ ∞, − ∞)(− ∞, − ∞)

O x

y

7

c) lim ( )x

f x→ + ∞

+ ∞

= e lim ( )x

f x→ − ∞

− ∞

=

Esempiolim

xx

→+ ∞+ ∞

= 3 e lim

xx

→− ∞− ∞

= 3

o più in generalelim

x

nx→+ ∞

+ + ∞

= 2 1 e limx

nx→− ∞

+ − ∞

= 2 1

d) lim ( )x

f x→ + ∞

− ∞

= e lim ( )x

f x→ − ∞

+ ∞

=

y

xO

y

xO

y

xO

8

Esempio

( )limx

x→+ ∞

− − ∞

3 = e ( )limx

x→− ∞

− + ∞

= 3

EsempioSia

f x sinx

( ) = 1

Si dimostra che limx

sinx→

0

1 non esiste o meglio oscilla tra −1 e +1. Si consideri allora l’insieme

E = x xn

con n∈ = ∈

ℜ :1π

NRisulta pertanto:

( )lim limxsu E

nn

sinx

sin n→ → ∞

∈

0

10

= =

N

π

In ogni intorno di zero la curva compie infinite oscillazioni che vanno via via infittendosi a mano a mano checi si avvicina a zero.

x

y

O

y

xO

y = 1

y = − 1

9

2. TEOREMI SUI LIMITIIn questo paragrafo ci proponiamo di enunciare i più importanti teoremi che regolano le operazioni sui limitidi funzione.Teorema dell’unicità del limite: il limite di una funzione, se esiste, è unico.Teorema della permanenza del segno: se, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende al limitel ≠ 0, esiste un intorno di x0 in cui, escluso tutt’al più x0 , la funzione assume lo stesso segno del suolimite.

3. OPERAZIONI SUI LIMITILimite della somma (o differenza) di due (o più) funzioni.

Primo casoDate due funzioni y f x = ( ) ed y g x = ( ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato con x0

un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F ∩ G, risulta:[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x x x x x xf x g x f x g x

→ → →± ± ±

0 0 01 2 = = l l

postolim ( )x x

f x→ 0

1 = l e lim ( )x x

g x→ 0

2 = lQuindi il limite della somma di due o più funzioni è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni.

EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 6− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +

Si ha:lim ( )x

f x→2

0 = e lim ( )x

g x→2

6 =

da cui[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x x xf x g x f x g x

→ → →± ± ± ±

2 2 20 6 6 = = =

Secondo casoCi si pone adesso il problema se il teorema di cui sopra continui a valere anche quando la x tenda a valoriinfiniti. La risposta a tale quesito è affermativa.

EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 6− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +

Si ha:lim ( )x

f x→ ∞

∞ = e lim ( )x

g x→ ∞

∞ =

da cui[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x x xf x g x f x g x

→ ∞ →∞ →∞± ± ∞ ± ∞ = =

Terzo casoCi si pone ora nel caso generale in cui il valore del limite può essere anche infinito e si afferma che la regola,indipendentemente da dove tende x, vale secondo i risultati riportati nella seguente

10

TABELLA DELLA SOMMA

+ l' + ∞ − ∞ l , l' > 0

l l + l' + ∞ − ∞ + ∞ + ∞ + ∞ ?− ∞ − ∞ ? − ∞

? indica che il teorema generale della somma in questi casi (uno + ∞ e l’altro − ∞ ) non porta aconclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso indeterminato o diindecisione.

EsempioSianof x x x( ) = 3 5 14 3+ + e g x x x( ) = 2 4 33 2− +

Risulta:lim ( )

xf x

→ − ∞+ ∞

= e lim ( )

xg x

→ − ∞− ∞

=

da cui[ ]lim ( ) ( )

xf x g x

→ − ∞+ + ∞ − ∞

=

che, come è evidente dalla tabella, è un caso di indecisione.

Limite del prodotto di due (o più) funzioni.Date due (o più) funzioni y f x = ( ) ed y g x = ( ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato

con x0 un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F ∩ G, risulta:

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x g x f x g x→ → →0 0 0

1 2 = = l lposto

lim ( )x x

f x→ 0

1 = l e lim ( )x x

g x→ 0

2 = lcioè il limite del prodotto di due (o più) funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni.

EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 5− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +

Risulta:lim ( )x

f x→

−2

1 = e lim ( )x

g x→2

6 =

da cui[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( )

x x xf x g x f x g x

→ → →− ⋅ −

2 2 21 6 6 = = =

11

Quanto sopra detto si può riassumere nella seguente

TABELLA DEL PRODOTTO

?

?

+ ? ? +

• + − + ∞ − ∞

+ − + ∞ − ∞− − − ∞ ∞+ ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞− ∞ − ∞ + ∞ − ∞ ∞

0

0 0 0 000

l l

l ll lll ll ll

' '

' '' '

l , l' > 0

? indica che il teorema generale del prodotto in questi casi (uno 0 e l’altro + ∞ o − ∞) non porta aconclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o diindeterminazione.

EsempioSiano

f x x x( ) = 3 − e g xx

x( ) =

+

2 33

3

2

Risulta:lim ( )x

f x→0

0 = e lim ( )x

g x→

+ ∞0 =

Segue che:[ ]lim ( ) ( ) ( )

xf x g x

→⋅ + ∞

00 =

che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.

Limite del quoziente di due funzioniDate due funzioni y f x = ( ) ed y g x = ( ) , con g x( ) ≠ 0, definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed

indicato con x0 un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F ∩ G, risulta:

lim( )( )

lim ( )

lim ( )x x

x x

x x

f xg x

f x

g x→

→

→0

0

0

1

2

=

=

ll

postolim ( )x x

f x→ 0

1 = l e lim ( )x x

g x→

≠0

2 0 = lcioè il limite del quoziente di due funzioni è uguale al rapporto tra i limiti delle singole funzioni considerate.

EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 5− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +

Risulta:lim ( )x

f x→

−2

1 = e lim ( )x

g x→2

6 =

Segue che:

12

lim( )( )x

f xg x→

−

2

16

=

Quanto sopra enunciato si può riassumere nella seguente

TABELLA DEL QUOZIENTE

?

+ '

+ ? ? ?

÷ + − + ∞ − ∞

+ ∞ −

− − ∞ −

+ ∞ ∞ + ∞ − ∞− ∞ − ∞ − ∞ + ∞

0

0 0 0 0 0

0 0

0 0

l l

l ll

ll

l ll

ll

' '

'

' '

?

? indica che il teorema generale del quoziente in questi casi (entrambi 0 oppure entrambi ∞) non porta aconclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o diindeterminazione.

Esempi1) Sianof x x x( ) = 3 2+ − e g x x x x( ) = 3 2 1− − +

Risulta:lim ( )x

f x→1

0 = e lim ( )x

g x→1

0 =

Segue che:

lim( )( )x

f xg x→

1

00

=

che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.2) Sianof x x x( ) = 3 + e g x x x( ) = 4 23 1− +

Risulta:lim ( )

xf x

→ + ∞∞

= + e lim ( )

xg x

→ + ∞+ ∞

=

Segue che:

lim( )( )x

f xg x→ + ∞

+ ∞+ ∞

=

che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.

Limite della potenza di una funzioneSe, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero finito l ≠ 0, indicando con n unintero qualsiasi, risulta:

[ ]lim ( )x x

n nf x→ 0

= l

13

cioè il limite di una potenza è uguale alla potenza del limite.

14

EsempioSiano

( )f x x x( ) = 3 52 − e n = 3

Risulta:lim ( )x

f x→2

2 = e [ ]lim ( )x

f x→2

3 32 8 = =

Quanto detto si può riassumere nella seguente

TABELLA DELL’ELEVAMENTO A POTENZA

[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )

xx

xx

xx

g xf x g x f x→ ± ∞

∞

→ ± ∞∞

→ ± ∞∞

0 0 0

l l' ll'

0 0 ? l + ∞ + ∞ + ∞ l' + ∞ l − ∞ 0

− ∞ l' se ' è pari se ' è dispari

+ ∞

− ∞

ll

± ∞ 0 ? 1 ± ∞ ? + ∞ + ∞ + ∞

? indica che il teorema generale della potenza in questi casi (uno 1 e l’altro ± ∞ oppure entrambi 0 oppureuno ± ∞ e l’altro 0) non porta a conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in uncaso di indecisione o di indeterminazione.

Esempi1) Siano

f xx

( ) = 11

+

e g x x( ) = 2

Risulta:lim ( )

xf x

→ + ∞ = 1 e lim ( )

xg x

→ + ∞∞

= +

da cui si ha

[ ]lim ( ) ( )

x

g xf x→ + ∞

+ ∞

= 1

che è una forma indeterminata.2) Siano

( )f x x x x( ) = 3 23 2+ + e g x x( ) =

Risulta:

15

lim ( )x

f x→0

0 = e lim ( )x

g x→0

0 =

da cui segue

[ ]lim ( ) ( )

x

g xf x→0

00 =

che è un’altra forma di indecisione.3) Siano

( )f x x( ) = 3 22 + e g xx

( ) = 1

Risulta:lim ( )

xf x

→ + ∞+ ∞

= e lim ( )

xg x

→+ ∞ = 0

da cui si ottiene

[ ]lim ( ) ( )( )

x

g xf x→+ ∞

+ ∞

= 0

che è ancora un caso di indecisione.

Limite della radice n-esima di una funzioneSe, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero l (finito o infinito), indicando con nun intero positivo, risulta:

lim ( )x x

n nf x→ 0

= lcon la sola ipotesi restrittiva che x0 , punto di accumulazione dell’insieme di definizione della y, deve essere

anche un punto di accumulazione dell’insieme di definizione della f xn ( ) . Quindi il limite della radice n-esima di una data funzione è uguale alla radice n-esima del limite della funzione stessa.Osservazione: la tabella della radice si può ricavare da quella dell’elevamento a potenza ricordando che

[ ] [ ]f x f xmn

mn( ) ( ) =

con m, n interi positivi.

Esempi1) Siaf x x x( ) = 3 22 − e n = 3

Allora

lim ( ) limx

nx

f x x x→ →

−2 2

23 33 2 8 2 = = =

2) Siaf x x x( ) = 3 22 − e n = 3

Allora

lim ( ) limx

nx

f x x x→ + ∞ →+ ∞

− + ∞

= = 3 223

3) Siaf x x x( ) = 3 23 − e n = 3

Allora

lim ( ) limx

nx

f x x x→ − ∞ →− ∞

− − ∞

= = 3 233

16

Limite di funzioni trascendenti composteA) Se, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero l (finito o infinito), indicandocon a un intero positivo diverso da 1, risulta:

lim ( )

x x

f xa a→ 0

= l

EsempioSiaa = 2 e f x x x( ) = 3 52 −Quindi

( ) ( )lim lim( ) lim

x

f x

x

x x x xa x

→ →

− −→

2 2

3 5 3 5 22 2 2 42

2

2

= = = =

B) Se, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero l > 0, indicando con a un interopositivo diverso da 1, risulta:

lim log ( ) logx x

a af x→ 0

= l

EsempioSiaf x x x( ) = 3 2 − e a = 10

Allora

( ) ( )[ ]lim log ( ) lim log log lim logx

ax x

f x x x x x→ → →

− −2 2

102

102

2103 3 10 1 = = = =

Analizziamo adesso più da vicino quelle che abbiamo già definito comeFORME INDETERMINATE O DI INDECISIONE

1) + ∞ − ∞ e − ∞ + ∞In questo caso è sufficiente calcolare il limite del solo termine di grado massimo.

Esempia) f x x x( ) = − + +3 5 43 ⇒ ( )lim ( ) lim

x xf x x

→ − ∞ →− ∞− ∞

= = + 3 3

b) f x x x( ) = 3 5 43 − + ⇒ ( )lim ( ) limx x

f x x→ − ∞ → − ∞

− ∞

= = 3 3

c) f x x x( ) = 3 5 22 − + ⇒ ( )lim ( ) limx x

f x x→ + ∞ →+ ∞

+ ∞

= = 3 2

d) f x x x( ) = 2 75 − − ⇒ ( )lim ( ) limx x

f x x→ + ∞ →+ ∞

+ ∞

= = 2 5

2) 0 × ∞In tal caso si elimina l’indeterminazione mediante una semplice operazione di scomposizione in fattori.

Esempio

f x x x( ) = 2 4 3− + e g xx

x x( ) =

+−

32 ⇒

17

⇒ [ ] ( )lim ( ) ( ) lim limx x x

f x g x x xx

x x→ → →− +

+−

× ∞1 1

2

1 24 33

0 = =

Scomponendo si ottiene:

( ) ( )f x x x( ) = − −1 3 e ( )g xx

x x( ) =

+−31

⇒

⇒ [ ] ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim limx x x

f x g x x xx

x xx

xx→ → →

− −+−

−

+

−1 1 1

1 331

33

8 =

= =

3) 00

In questo caso si procede utilizzando il solito metodo della scomposizione in fattori oppure, se ciò non èpossibile, la regola di De L’Hopital (cfr. capitolo sulle derivate).

Esempiof x x x( ) = 2 3+ e g x x x( ) = 3 − ⇒

⇒ ( )( )lim

( )( )

lim

limx

x

x

f xg x

x x

x x→

→

→

+

−0

0

0

3

3 00

=

=

2

Scomponendo si ha:( )f x x x( ) = + 3 e ( )g x x x( ) = 2 1− ⇒

⇒ ( )( )lim

( )( )

lim limx x x

f xg x

x xx x

xx→ → →

+−

+−

−0 0 2 0 2

31

31

3 =

= =

4) ∞∞

Per tale forma di indecisione occorre distinguere i seguenti tre casi:α ) il numeratore ed il denominatore hanno lo stesso grado; il limite è finito ed è uguale al rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimoβ ) il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore; il limite è infinito (± ∞ a seconda dei casi)γ) il grado del numeratore è minore di quello del denominatore; il limite è finito e vale sempre zero, indipendentemente dal caso in cui ci si trova

Esempia) f x x x( ) = 4 3 43 2+ − e g x x( ) = 2 53 + ⇒

⇒ lim( )( )

limx x

f xg x

x xx→ + ∞ →+ ∞

+ −+

=

= =

4 3 42 5

42

23 2

3

18

b) f x x x( ) = 3 3 5+ + e g x x( ) = +2 72 ⇒

⇒ lim( )( )

limx x

f xg x

x xx→ + ∞ →+ ∞

+ ++

+ ∞

=

=

3

2

3 52 7

c) f x x( ) = 3 2+ e g x x x( ) = 2 5 7− + ⇒

⇒ lim( )( )

limx x

f xg x

xx x→ + ∞ →+ ∞

+− +

=

=

3 25 7

02

5) 00

Tale forma indeterminata ricorre nel calcolo dei limiti di funzioni del tipo [ ]f x g x( ) ( ) . Per eliminare

l’indeterminazione, quindi, si utilizza l’identità logaritmica a e a = log che ci consente di scrivere:

[ ]f x eg x g x f x( ) ( ) ( ) log ( ) =

Esempiof x x( ) = e g x x( ) = ⇒

⇒ [ ]( )

lim ( ) lim lim( ) log

lim log

x

g x

x

x

x

x xx x

f x x e ex

→ → →+ + +

→ +

0 0 0

0 = = =

Risulta:

( )lim log limlog

x xx x

x

x→ →+ +

=

0 0 1 0 = (cfr. capitolo sulle derivate)

Dunque:

[ ]lim ( ) ( )

x

g xf x e→ +0

0 1 = =

6) 1∞

Anche questa forma di indecisione si presenta nel calcolo dei limiti di funzioni del tipo [ ]f x g x( ) ( ) . Siprocede, pertanto, come al punto 5).

Esempio

f xx

x x( ) =

2

2

32 1+

+ + e g x x( ) = ⇒

⇒ [ ]lim ( ) lim lim( )

log lim log

x

g x

x

x

x

xx

x xx

x

x xf xx

x xe e

x

→ + ∞ → + ∞ →+ ∞

+

+ +

+

+ +

+

+ +

→+ ∞

=

= =

2

2

3

2 1

3

2 132 1

2

2

2

2

Risulta:

lim log limlog

x xx

xx x

xx x

x→ + ∞ →+ ∞

++ +

++ +

=

=

2

2

2

232 1

32 1

1 0 (cfr. capitolo sulle derivate)

Dunque:

[ ]lim ( ) ( )

x

g xf x e→ + ∞

= = 0 1

19

7) ∞0

Come le precedenti anche tale forma di indeterminazione ricorre nel calcolo dei limiti di funzioni del tipo

[ ]f x g x( ) ( ) . Pertanto si procede come ai punti 5) e 6).

Esempio

f x x x( ) = 2 5 3+ + e g xx

( ) = 1

⇒

⇒ [ ] ( ) ( ) ( )lim ( ) lim lim( ) log lim log

x

g x

xx

xx

x xx

x xf x x x e ex

→ + ∞ → + ∞ →+ ∞

+ + + +

+ + →+ ∞

= = = 2

1 15 3

15 3

5 32 2

Risulta:

( ) ( )lim log lim

logx xx

x xx x

x→ + ∞ →+ ∞+ +

+ +

=

= 1

5 35 3

022

Dunque:

[ ]lim ( ) ( )

x

g xf x e→ + ∞

= = 0 1

Osservazione: per le funzioni trascendenti del tipo ax (a > 1), xn (n > 0), loga x (a > 1) vale la seguentegerarchia tra gli infiniti:

esponenziale-elevamento a potenza-logaritmicacioè una funzione esponenziale tende all’infinito più velocemente rispetto ad una potenza che, a sua volta,tende all’infinito più velocemente rispetto ad una funzione logaritmica.

Esempi

a) lim limx

x

x

x

x→ + ∞ →+ ∞≅ + ∞

= 2

22

b) limlog

limx x

xx x→ + ∞ →+ ∞

≅

= 3 3

10

c) limlog

limx x x x

x→+ ∞ →+ ∞

≅

= 4

14

0

Riportiamo ora qui di seguito alcuni

LIMITI NOTEVOLI

1) limx

sinxx→0

1 =

2) limx

x

xe

→ ± ∞+

= 11

dove con e si indica il numero di Neper, compreso tra 2 e 3

3) lim logx

xax

a→

−0

1 =

4) limcos

x

xx→

−0 2

1 12

=

20

ESERCIZI PROPOSTI

Calcolare i seguenti limiti immediati (1-38) dopo aver analizzato gli esempi a)-i):a) ( )lim lim lim lim

x x x xx x x x

→ → → →− + − + − ⋅ +

1

2

1

2

1 1

23 5 3 5 1 3 1 5 3 = = =

b) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x

x x x x x x→ → →

− + − + ⋅2

2

2

2

23 5 1 3 5 1 2 3 6 = = =

c) ( )( )lim

lim

limx

x

x

xx

x

x→

→

→

−+

−

+−

3

23

2

3

43

4

356

=

=

d) limx

x x xx x x→

+ + ++ − −

+ + ++ − −

+ ∞1

3 2

3 2

3 3 12 2

1 3 3 11 2 1 2

= =

e) ( ) ( )limx

x→

− −0

2 4 42 3 3 81 = =

f) ( ) ( )lim limx x

x x x→ ± ∞ →± ∞

− + = + ∞

= 2 22 3

g) ( ) ( )lim limx x

x x x x→ ± ∞ → ± ∞

− + + ± ∞

= = 3 2 31

h) limx

x x

x→∞

− −

−

− −−

−−

= = =

3 12

21

0 0 20 1

21

22

i) limx

sin xtg x

sin

tg tg→π

π

π π6

23

3

2

32

2

0 = = =

1) ( )limx

x x→

− +1

23 2 2 ; ( )limx

x x→−

− +1

3 2 2 [3; 0]

2) ( )limx

x x→

− +2

2 7 10 ; ( )limx a

x ax a→

+ + 2 2 [0; 3 a2 ]

3) ( )limx

x x→

+ −4

2 1 ; ( )limx

x x→

− +2

3 2 5 [9; 9]

4) limx

xx→

−−1

3 12 1

; limx

xx→

−+2

3 62

[2; 0]

5) limx

xx→

+2

2 23

; limx

xx→ −

++1

1 23

112

; −

6) limx

xx→

−−2

2

3

69

; limx

xx→ −

−1

4 15

[2; 1]

7) limx

xx→

−3

2 65

; limx x→ ± ∞ +

1

1 [0; 0]

8) limx

x xx→

− +−0

23 5 22 1

; limx

xx→

+−1

2

22

− −

253

;

9) limx

xx→

−1

3 32

; limx

x xx→

−−1

2

2

41

[0; ∞]

10) limx

xx→ −

+−2

3 43 6

: limx

xx→

+2

2

16

2 24;

21

11) limx

x xx x→

− +−2

2

2

3 25

; limx

x xx→

+ +2

2 0

2 22

; +

12) limx

xx→

−−1 2

3 41

; limx

xx→

+−3

2

2

33

[− ∞; + ∞]

13) limx

xx→

−−3

4 13

; limx

xx→

−+5

55

[+ ∞; 0]

14) limx

x xx x→

− ++2 3

5 63

2

; limx

xx→

+2

2 [0; 2]

15) ( )lim cosx

sinx x→

−π4

; ( )lim cosx

sinx x→

+π4

[ ]0 2;

16) ( )limx

x x→

− + +4

3 5 ; limcos

cosx

xx→

+0

2 [4; 3]

17) ( )limx

x x→ −

− − +1

2 2 10 ; limcosx

sinxx→

−+2

11π

−

112

;

18) limx

xx→

+2

72

; limx

xx→ +5

24

34

103

;

19) limcosx

sin xx→

π2

2 ; lim

cosx

sinxx→

+π

1

[0; −1]

20) limx

tgx→

+π2

; limx

tgx→

−π2

[+ ∞; − ∞]

21) limx

tgxx→

++0

51

; ( )limx

x tgx→

++

π2

[5; + ∞]

22) ( )lim cosx

sin x x→

−π3

2 ; ( )lim cosx

x sinx→

+π6

4 3 12

0−

;

23) limcos

x

sinx xx→

−π3

3 2

; lim

cosx

sinxx→

+π2

3 1

32π

; + ∞

24) lim cosx

sinx x→

−0 ; ( )lim

x

x xe→ − ∞

+

3 2 [i; 0]

25) lim cos

x

sinx xe→

−

π4

; ( )lim logx

xe x→ ∞

+ 2 [1; ∞]

26) ( )lim lnx

sinx→π

; ( )limx

x tgx→

+π2

3 [− ∞; + ∞]

27) ( )limx

x xe→ − ∞

− −+

4 5 ; limx

x

→ ∞−

112

1

[∞; 1]

28) limlogx

x

xe

→ + ∞ +−

32

2 ; lim ln

x

xe→2

[− ∞; 2]

29) lim lnx e

x→

; limcos

x

xtgx→

+π2

3 25

[1; 0]

30) limcos

x

xx→+ ∞ +

32

; lim lncosx

xx→0

[0; − ∞]

22

31) ( )

limlog

logx

xx→

+0

3 54

; ( )lim logx

sinx→

π2

[0; 0]

32) ( )limlog

logx

xx→

++0

3 22 3

; ( )limlog

logx a

xx a→ −

[− ∞; 0]

33) limlog

x

x xx→

− +2

22 3

2

; ( )limlog

x

xx

→

−

2

32

[∞; 1]

34) limlog

xx

xe→ + +0 1

; limlogx

xex→ + ∞

−

[− ∞; 0]

35) lim logx x

x→ +

−

0

1 ;

( )lim

logx x

x→− ∞

−

12

[+ ∞; − ∞]

36) limlogx

sinx→ +

0

1 ; ( )lim log

xsinx

→ +0 [0; − ∞]

37) ( )lim logx

x→

−2 2 3 ; ( )lim log

xx

→ − ++

22 [0; − ∞]

38) limloglogx

xx→

++1

21 2

; ( )lim logx

x x→

+ −1

2 1 [2; 0]

Calcolare i seguenti limiti di funzioni razionali fratte che si presentano sotto la forma indeterminata00

(1-35):

a) ( ) ( )

( ) ( )lim lim limx x x

x xx

x xx x x

xx x→ → →

− +−

− −− + +

−+ +

−3

2

3 3 2 3 2

7 1227

4 33 3 9

43 9

127

=

= =

b) ( ) ( )

( )lim lim limx x x

x xx x

x x

x

xx→ → →

− +− +

− −

−

−−

+ ∞2

2

2 2 2 2

3 24 4

1 2

2

12

=

= =

c) ( ) ( ) ( )lim lim lim

x x x

xx

x x x

xx x

→− →− →−

++

+ − +

+− +

2

3

2

2

2

282

2 2 4

22 4 12 =

= =

d) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim

x x x

xx

x x

x x

x

x x x x→ → →

−−

− +

− +

−

− + + +4 3 4 3 4 2

264

2 2

64 2

4

4 4 16 2 =

=

=

= ( ) ( )

limx x x x→ + + +4 2

1

4 16 2

1192

=

e) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

lim lim limx x x

xx

x x x

x x

x x x

x→− →− →−

−+

− + +

+ +

− + +

+3

2

3 3

93

3 3 3

3 3

3 3 3

3 =

=

=

= ( ) ( )[ ]limx

x x→−

− +3

3 3 0 =

f) lim lim

cos

limcos

lim cosx x x x

sinxtgx

sinxsinx

x

sinx xsinx

x→ → → →0 0 0 0

1 = =

= =

23

g)

( ) ( )

( ) ( )lim lim lim limx a x a x a x a

x ax a

x a x a

x ax a x a

x a

x ax a

x ax a

x ax a→ → → →

−−

− −

−− +

+

−−

−+

+−

∞ =

= = =

1) limx

xx x→

−− +1

2

2

12 1

; limx

x x xx→

− + −−1

3 2

2

11

[+ ∞; 1]

2) limx a

x ax ax a→

−− +

2 2

2 22; lim

x

x xx x→

− +− +1

4 2

3

3 24 3

[+ ∞; 2]

3) limx

x x xx x x x→

− − +− − +2

3 2

4 3 2

4 43 4 12

; limx

xx→

−−3

22 183 9

−

12

4;

4) limx

xx→

−−2

32 162

; limx a

x aa x→

−−

2 2

3 3 − −

242

3;

a

5) limx

x x xx x→

− − +− +1

3 2

4 2

12 1

; limx m

x mx mx m→

−− −

3 3

2 25 4

12 2

; m

6) limm

m mm m→

+ −+ −1

2

2

5 62

; limx

x xx x→−

− ++ +3

3

2

7 68 15

73

10;

7) limx

x xx x→

− −− +3

2

2

2 36 9

; limx

x x xx x→

− + −− +2

3 2

2

6 12 84 4

[+ ∞; 0]

8) ( )

limx

xx→

− −−5

2

2

3 425

; limx

xx→

−−3

2

3

927

25

29

; −

9) limx

x x xx x x→

− + −− + −2

3 2

3 2

5 7 22 2 4

; limx b

b xx bx b x b→

−+ − −

3 2 2 3 − −

16

14 2;

b

10) limx

x xx x→

− −+ −2

2

2

26

; limx

x x x xx x x x→

− − + −− − + −1

4 3 2

4 3 2

2 4 10 53 4 13 7

35

47

;

11) limx

x xx x→ −

+ ++ −1

2

2

5 7 23 2 1

; limx

x x xx x→−

+ − −− −3

3 2

4 2

7 9 636 27

34

13

;

12) limx

x xx x x→

− +− + −1

2

3 2

4 36 9 4

; limx

x xx x x→

+ −+ − −1

2

3 2

22 2

− ∞

;12

13) limx

x xx x→

− +− −3

2

2

3 10 32 3 9

; limx

xx x→

−− −3

2

2

92 3

89

32

;

14) limx

x x

x x→

+ −

− +2

2

2

613

23

; limx

x xx x x→

− ++ − −1

2

3 2

2 5 33 7 4 6

151

19; −

15) limx

xx x→ −0 2 2

; limx

x x xx x→ −

+ − −+ −2

3 2

3 2

2 4 83 4

−

12

43

;

16) limx

x xx x→ −

− −− −1

5

2

2

5 9 210 13 3

; limx

x x

x x x→

− +

− + −2

2

4 22

32

1

7 8 4

1117

124

;

24

17) limx

xx x→

−− +3

2

2

3 24 8 3

; limx

xx x x→−

++ − −2 3 2

23 6 2

−

12

111

;

18) limx

x x xx x→

+ − +− +1

2

4 2

2

8 16 19 52 5 2

; limx

x x xx x→

− + +− +3

3 2

3

4 13 2 310 3

−

13

3217

;

19) limx

x xx x→

− +− +1

2

2

2 16 5

; limx

x xx x→

+ −+ −1

2

2

3 42 3

054

;

20) limx

x xx x→−

− −+ +2

2

2

63 2

; limx

x xx x→ −

+ −+ −3

2

2

62 5 3

557

;

21) limx

xx x x→

−− − +1

2

3 2

13 3

; limx

x xx x→

− +− +1

2

2

5 42 1

12

; − ∞

22) limx

x xx x→

− ++ −2

2

2

3 26

; limx

x x xx→

− + −−1

3 2

2

2 21

15

32

;

23) limx

x xx x→

− +− +1

3

2

3 26 5

; limx

x xx x→

− −− +3

2

2

2 36 9

[0; + ∞]

24) limx

x xx x x→

− +− − +1

3

3 2

3 22 4 3

; limx

x xx x x→

− +− − +2

3 2

3 2

3 42 4 8

35

34

;

25) limx

x xx x x→

− +− − +1

3

3 2

3 21

; limx

x x x xx x x→

− + + −− +2

4 3 2

3 2

5 6 4 84 4

32

0;

26) limx

x xx x→

− +− +3

2

2

8 1510 21

; limx

x xx x→

− +− +1

2

2

6 52 1

12

; − ∞

27) limx

x xx→

+0

2 3 ; lim

x

xx x→

−− +2

2

2

43 2

[3; 4]

28) limx

x xx x x→

+ −− + −1

2

3 2

5 2 74 5 2

; limx

xx→

−−1

3

4

11

+ ∞

;34

29) limx

x xx x→

+ −− −2

2

2

3 2 162

; limx

x x xx x→

− − +− +3

3 2

2

3 2 65 6

143

7;

30) limx

xx→ −

−− −3

291 2

; limx

xx→

+ −+ −1

1 28 3

− ∞

;32

31) limx a

x a

x a→

−

−

2 22 2

; limx

xx→

− + −−2

6 22

014

; −

32) limx

xx→

−−1

3 11

; limx

x xx→

+ + −−4

5 74

13

0;

33) limx

xx→ −

+− −1

11 2

; limx

x

x→

−

−12

22

2 1 [− ∞; 0]

34) limx

xx→

−−2

2 42

3

; limx

x xx→

− +−3

2 5 63

[0; + ∞]

35) lim logx

xx→ +

+ −

0

2 4 2 ; lim

x

x x

x

e ee→

−−0

2

1 [− ∞; 1]

25

Calcolare i limiti delle seguenti funzioni razionali fratte che si presentano sotto la forma

indeterminata ∞∞

(1-15):

a) lim lim limx x x

xx

xx xxx x

x

x→ ∞ →∞ →∞

+−

+

−

+

−

+−

= = = = 3 45 1

3 4

5 1

34

51

3 05 0

35

b) lim lim limx x x

x xx

xx

xx x

xx x

x x

x x→ ∞ →∞ →∞

− +−

− +

−

− +

−

− +−

∞ = = = = 2 5 3

3 2

2 5 3

3 2

25 3

3 22 0 0

0 0

2

2

2 2 2

2 2

2

2

c) lim lim limx x x

xx x

xx x

xx

xx x

x x

x x→ ∞ →∞ →∞

−− +

−

− +

−

− +

−− +

= = = = 2 5

3 2 1

2 5

3 2 1

2 5

32 1

0 03 0 0

02

3

2

3 3

3

3 3 3

3

2 3

d) lim lim lim limx x x x

x xx x

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x→ ∞ →∞ →∞ →∞

−

−

++

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=2

3 22

3 2

2

3 2

1 2

3 2

3

4

12

13

12

14

12

12

13

12

12

12

14

12

16

14

= lim limx x

x

x

x

x→ ∞ →∞

+

+

+

+

++

=

=

=

=

12

3 21

12

3 21

1 03 2 0

13 2

26

16

14

6

4

e) lim lim limx x x

x x

x

x x x

x x x

xx x

x x x

→ → →

−+

−

−

−+

− +

− + +

+ +− +

− + +

2

2

3

2

2

2

2

12

14

1

8

12

12 2

1

2 2 4

2 12 2

1

2 2 4

=

=

=

= ( ) ( )lim limx x

xx x

x x xx

xx x

→ →

+ +− +

− + +

+ ++

+ +

2

2

2

22 12 2

2 2 42 1

22 4

= =

= ( )2 2 12 2

4 4 43 12

26 3

23 3

+ ++

+ + =

=

=

f) ( )lim

cos

lim cos

cos

limcos

cos limx x x x

tgx

x

sinxx

x

sinxx

x sinx→ → → →

=

π π π π2 2 2 2

1 11 = = =

1) limx

xx→∞

−

15

; limx

xx→ ∞

+−

3 15 4

15

35

;

26

2) limx

xx→∞

+−

5

4 3; lim

x

xx x→∞

−−

2

3 5

2

2 14

13

; −

3) limx

x xx→∞

+ −+

5 3 1

4 2

2

; limx

xx x→∞

−−

3 2

3 52 [∞; 0]

4) limx

x xx x→ ∞

− ++ +

4 6 23 5 1

2

2 ; limx

xx→∞

+−

3 66 1

3

43

; ∞

5) limx

xx→∞

−

2 1; lim

x

x xx x→ ∞

− +− +

4 5 62 3 2

2

2 [∞; 2]

6) limx

x xx x→ ∞

− ++ +

3 4 13 7 2

2

2 ; limx

xx x→ ∞

++ +

1 3

3 2 4 2 37

0;

7) limx

x xx x→∞

− ++ +

3 52 4 1

2

2 ; limx

x xx x→∞

+ +− +

2

3 2

2 52 3 9

32

0;

8) limx

x xx x→∞

+ +− +

5 3

3

4 92 5

; limx

x xx x→∞

− ++ −

8 4 94 2

3 2

3 [∞; 2]

9) limx

x

x→

−

−2

2

12

14

; limx

xx x→ ∞

−−

5 1

2

2

2 452

; −

10) limx

x

x→

+0

2

1

25

; limx

x x

x x→

+ −

+ +0

2

2

1 53

4 28

014

;

11) limx

x xx x→∞

+ +− +

2

7 3

52 4

; limx

x x

x x→ + ∞

+ +

+ +

2

33

5

5 4 3 0

253

;

12) limx

x xx x→ ∞

− +− +

5 1 32 3 4

2

2 ; limx

x xx→∞

++

3

2

32

1;

13) limx

xx→ ∞

−+

9 64 3

; limx

xx→ ∞

+−

25 249 1

32

57

;

14) limx

xx→∞

+−

23 1

2

; limx

x

x→ ∞

+

+

2 3

3 2

13

2;

15) limx

x

x→∞

−

+

3 2

2 12; lim

x

x

x→∞

+

+

212

1 2 2

3 22

2

;

Calcolare i limiti delle seguenti funzioni che si presentano sotto la forma indeterminata + ∞ − ∞(1-13):

a) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x

x xx x x x

x x

x x

x x→ ∞ →∞ → ∞+ −

+ − + +

+ +=

+ −

+ + =

=2

2 2

2

2 2

21

1 1

1

1

1

= limx x x→∞ + +

= 1

10

2

27

b) ( ) ( ) ( )lim limx x

x x xx x x x x x

x x x→ ∞ →∞− − − −

− − − − − + − −

− + − − =

=2 2 3

2 2 3 2 2 3

2 2 32

2 2

2

= lim limx x

x x x x

x x x

x

x x x→ ∞ →∞

− + − + +

− + − −

− +

− + − − = =

2 2

2 2

4 4 2 3

2 2 3

2 7

2 2 3

= limx

xx x

xx x

xx

xx x

→ ∞

− +

− + − −

− +− + − −

−+

− = = =

2 7

2 2 3

2 01 0 1 0 0

21 1

12

2 2 2

c) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )

lim limx x

x x xx x x x x x

x x x→ ∞ →∞+ − −

+ − − + + −

+ + − =

= 3 2

3 2 3 2

3 22

2 2

2

= ( ) ( )( )

lim limx x

x x x

x x x

x

x x x→ ∞ →∞

+ − −

+ + −

+

+ + −

= =

3 2

3 2

3 2

3 2

2

2 2 2

= limx

xx x

xx

xx

xx x

→ ∞

+

+ + −

++ + −

= =

3 2

3 2

3 01 0 1 0

322

2 2

2

2 2

d) ( ) ( ) ( ) ( )

lim lim limx x xx

xx x

xx x

x xx x→ → →−

−+−

−

−+

− +

+ − −− +

1 2 1 1

11

21

11

21 1

1 21 1

=

=

=

= limx x→

−−

− ∞1 2

11

=

e) ( ) ( )

limcos

limcos cos

limcos

cos cosx x xsin x x x xx

x x→ → →−

−

−

−−

− −− +

0 2 0 2 0

1 11

11

11

1 11 1

= =

=

= limcoscosx

xx→

−−

− ∞0 21 =

f) ( )

( ) ( )lim

coscos

limcos cos

coslim

cos coscosx x xx

xsinx

sinx x xsinx x

sinx x xsinx x→ → →+

+

+ ++

+ ++π π π

=

=

=

11

11 1

2

= ( )

( ) ( )( )

limcos

coslim

coscosx x

sinx x sin xsinx x

sinx sinx xsinx x→ →

+ + −+

− + ++π π

=

=

11

1 11

2

= ( )( ) ( )

limcos

coscos

limcosx x

sinx sinxsinx x

xsinx x

sinxx sinx→ →

−+

++

+

−+

+

−−

+ ∞π π

= = = 11

11

11

1 1 01 1

10

1) ( )limx

x x→∞

− + 3 ; ( )limx

x x→∞

− + + + 4 2 [− ∞; − ∞]

2) ( )limx

x x x→ ∞

− + 2 5 ; ( )limx

x x→∞

− + 2 4 −

52

0;

3) ( )limx

x x x→∞

− + 2 4 2 ; ( )limx

x x x→∞

− + − 2 6 9 − −

14

3;

28

4) ( )limx

x x x→∞

+ − − − 4 2 8 2 12 ; ( )limx

x x x→ ∞

+ − + − 4 1 16 8 22 −

12

0;

5) ( ) ( )( )limx

x x x→∞

+ − − − 2 3 2 1 2 3 ; ( )limx

x x x→ ∞

− + + 2 2 8 2 12 111

24

; −

6) ( )limx

x x→ ∞

− + − 2 16 2 ; ( )limx

x x x→ ∞

+ − + + 2 3 4 12 12 [1; 0]

7) ( )limx

x x→ ∞

+ − + 4 21 1 ; limx

x x→∞

− +

2 212

2 22

112

; −

8) ( )limx

x x→∞

− + 1 ; ( ) ( )[ ]limx

x x x→∞

− − − − 3 1 2 3 202 03 3

2;

−

9) ( )limx

x x→∞

+ − − 3 4 ; ( )limx

x x x→ ∞

+ − + 2 2 2 012

;

10) ( )limx

x x→ ∞

+ − − 2 21 3 ; ( )limx

x x x x→ ∞

+ + − + + 2 22 2 5 4 032

; −

11) ( )limx

x x x x→∞

+ + − − + 2 23 1 3 7 ; ( )limx

x x→∞

+ − − 3 31 1 [3; 0]

12) ( )limx

x x→ ∞

− − + 4 44 3 ; ( ) ( )[ ]lim log logx

x x→ ∞

+ − + 25 3 5 2 [0; log 5]

13) ( ) ( )[ ]lim log logx

x x x→ ∞

+ − − − 2 25 6 1 ; [ ]lim log logx

x sin x→ +

−0

2 012

; log

Calcolare i limiti delle funzioni che si presentano sotto la forma indeterminata 0 ⋅∞ (1-7):

a) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x

xx

xx

xx x x→ → →

−−

−−

−− + +2 3 2 3 2 2

21

828

22 2 4

= =

=

= limx x x→ + +2 2

12 4

112

=

b) lim lim lim limx x x xx

xx

x

xx

x

xx

x→ ∞ →∞ →∞ →∞+

+ + +

= = = =1

1 1 11

112

= limx

x

x→∞

+ + = =

1

11

01 0

0

c) ( )limcos

limcos

limcos cosx x x

x sinxx x

x sinxx x

xx x

sinxx x→ → →

+

++

0 0 0

12 2 2 2

=

=

=

= limcos cosx x x

sinxx→

+

+ ⋅0

12

12

12

12

1 1

= =

1) ( )limx

xx→

−−

3 231

9 ; lim

xx

x x→ −

0 2

15

012

;

29

2) ( )limx

xx x→ −

++ +

1 211

2 3 1 ; ( )lim

xx

x→−+ +

+

1

1 12

1

22

2;

3) ( )limx

xx→

−−

1

3 11

1 ; lim

x x xx

→∞ ++

12

2

2 [6; 1]

4) ( )[ ]limx

sinx tgx→

−π2

1 ( )lim cosx

xtgx→

−

0

11

[0; 0]

5) limcos

xx

xsin x→

0

2

2 ; limx

tgxx→

0

31

[0; 3]

6) limx

tg xtgx→

02

1 ; lim

xx

sin x→

0

32

1 [2; 0]

7) ( )[ ]limx

tgx tg x→

−π4

1 2 ; limcos

cosx sinx x

x→ −

π

4

12 [ ]1 2; −

Calcolare i seguenti limiti di funzioni trigonometriche ricordando che 0

sinlim = 1x

xx→

:

1) limx

sin nxx→0

; limx

sin xx→0

3 [n; 3]

2) limx

sin xsin x→0

42

; limx

sin kxsin hx→0

2; kh

3) ( )

limx

sin xx→

−−α

αα

2 2 ;

( )limx

sin xx→

−−π

ππ

1

21

α;

4) limx

sinxtgx→0

; limx

sin xtg x→0

54

154

;

5) limx

tgxx→0

; limcos

x

x

x→ +π π2

2

2

[1; 0]

6) limx

tg xx→0

5 ; lim

x

tg xtg x→0

52

552

;

7) limcos

x

xx→

−0 2

1 ; lim

cosx

xx→

−0 2

1

12

12

; −

8) limcosx

xx→ −0

2

1 ; lim

cosx

xx→ −0

2

1 [2; − 2]

9) limx

tg xtg x→0 2

5 ; lim

x

sinx tgxx→

−0 3 ∞ −

; 12

10) limcos

x

xx→

−0

1 ; lim

cosx

xsin x→

−0

3

2

3 32

0

94

;

11) limcosx

sin xx x→0 2

ππ

; limx

sin xx→0

2

3 π2

; ∞

12) limcos

cosx

x x sinxsinx x x→

−+0

5 24 2

; lim

x

sinx x xsinx x→

+ −−0

24 35

12

74

;

30

13) ( )

limcos

x

x

sinx→ −π2

21

; limcosx

xx→ −0 1

[ ]∞; 2

14) limcos

x

xsinx→ −π

21

; limcos cos

x

x xsin x→

−0

2

2 ∞

; 12

15) limcoscosx

sinx x x x xsinx x x x x→

− − −+ + −0

2 3

2 3

3 2 2 54 3

;

( ) ( )lim

cos cosx

x xx sinx→

− −0

3 1

17

1;

Dire a quali forme di indecisione conducono i seguenti limiti e quindi calcolarli:

1) limx

a x ax→

− +0

2 2

2 ; limx b

x b

x x b→−

+

+ −

2 2 2 − −

12

1a

;

2) limx a

x ax a→

−−

; limx

xx→

−−3

33

aa2

36

;

3) limx b

x bx b→ −

++

3 3

; ( )limx

x x x→∞

− + 2 b

b

3 12

; −

4) limx

xx→ − +0 2 4

; ( )limx

x x→∞

− + 2 3 [− 4; 0]

5) ( )limx

x x x→∞

− + 2 3 ; limx

b x bx→

−−1

23 23

1 −

32 3

23

; b

6) ( )[ ]limx

x x x→∞

− + 2 2 2 2 ; limx

x xx→∞

+ −+

4 1

3 2

33

−

12

53

;

7) limx

x

x x x→∞ + − − +

2

3 2 25 42; ( )lim

xx x x

→∞+ + − 2 2 4 [− 1; 1]

8) ( )limx

x x x→∞

− + − 2 1 3 ; ( )limx

x x→ ∞

+ − − 2 21 1 [− ∞; 0]

9) ( )limx

x x x→∞

− − + 2 5 1 ; limx

x xx→

− − +−2 2

2 24

52

1 2 28 2

;

−

10) ( )limx

x x x→∞

+ − + − 9 1 9 3 12 2 ; limx

xx→∞ +

2

−

12

1;

11) ( )limx

x x x x→ ∞

− + − − − 2 27 3 2 1 ; ( )limx

xx→

−−

2 221

4 −

52

0;

12) ( )limx

x x x x→∞

+ + − + + 2 24 2 4 5 ; limx

xx→

−−1 3

11

[0; 0]

13) ( )limx

x x x→∞

+ − + + 3 1 9 6 22 ; limx

xx→

−−3

32 6

[0; 0]

14) ( )limx

x x x→ ∞

+ − − − 16 8 2 4 12 ; limx

xx→ −

−+1

2 11

[0; 0]

15) ( )limx

x x→ + ∞

+ − +

5 2 ; ( )limx

x x x x→ + ∞

− − − − +

2 22 1 7 3 052

;

31

16) limx x x→+ ∞ + −

11

; limx

xx→

− −−2 2

3 5 14

+ ∞

;5

24

17) ( ) ( )[ ]lim log logx

x x x→ ∞

− − − + 2 21 1 ; ( )

limx

xx→

+ −0

32 8

[0; 12]

18) limx

x xx→

+ − −0

1 1 ; lim

x

x x x xx→

+ + − + +0

2 22 2 6 2 [ ]1 2; −

19) limx

xx→

−−1

11

; ( )

limx

x x

x→

+ −

−1 2

1 2

1

12

14

;

20) limx

xx→

+ −0

4 2 ; ( )lim

xx x

→∞+ − − 2 22 1

14

0;

21) ( )limx

x x x→ + ∞

+ −

2 3 ; limx x x x→+ ∞ + − +

1

22 2

32

2;

22) limx

xx→

−−2

22

; limx

xx→

−−1 2

11

2

414

;

23) limx

xx→ −

++1

3 11

; limx

x

x→

−

−1

23

33

1

1

13

23

3;

24) limx

x xx→

+ − +−1

3 3 11

; limx

x x

x x

e ee e→ + ∞

−

−

−+

5 64 3

−

12

54

;

25) limx

x x

x x

e ee e→ − ∞

−

−

+−

3 42 6

; limloglogx

xx→

−+0

4 53 2

−

23

43

;

26) ( )lim log logx

x x→+ ∞

− − +

3 5 4 32 2 ; ( ) ( )[ ]lim log logx

x x→ + ∞

+ − −

3 1 2 1 log ; log3

232

27) limx

sinx xx→

+0

; limx

sin xtgx→0

2 [2; 2]

28) limcosx

tgxx→ −0 1

; limcosx

x sinxx→ −0 1

[∞; 2]

29) limcosx

x sinxx x→

+0 2

; lim

coscosx

xsinx x→ −π

4

2 [ ]1 2; −

30) ( )

limcos cos

x

x xsin x→

−0 2

2 1

; lim

cosx

sinxx→

−π2

1 [1; 0]

31) limcoscosx

sinx x xsinx x x→

++0

3 45 2

; limcosx

sin xx→

−π2

3

2

1 1

32

;

32) limcos

cosx

xx→

+π

1

22

3

2; lim

x

tgxtg x tg x→ −0 3 3

313

; −