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$: Capitolo II : Limiti di funzioniweb.ticino.com/lucarovelli/appunti/4N_Cap2_Limiti.pdf · cosiddette funzioni continue, cio e delle funzioni compatibili con l’operazione di \passaggio$
Liceo Lugano 1, 2012-2013 4N (Luca Rovelli)

Capitolo II : Limiti di funzioni

1. Introduzione

La nozione di limite di una funzione, usata implicitamente nei secoli XVII e XVIII nellosviluppo del calcolo infinitesimale, ha avuto la sua sistemazione definitiva solo a par-tire dai primi decenni dell’800, in particolare grazie ai contributi di Bernhard Bolzano(1781-1848), Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e del “padre della moderna analisi”Karl Weierstraß (1815-1897).

Bernhard BolzanoAugustin-Louis Cauchy Karl Weierstraß

Le tecniche del calcolo dei limiti vengono impiegate principalmente in due ambiti:

� Lo studio del comportamento di y = f(x) quando |x| diventa arbitrariamente grande(cioe quando x tende a +∞ o a −∞); cio permette di trarre delle conclusioni sulcomportamento asintotico di una funzione.

Esempi e illustrazioni:

1) Per la funzione f(x) = x2 vale

limx→−∞

f(x) = +∞ e limx→+∞

f(x) = +∞ ;

al crescere di |x|, il valore di f(x) cresce arbitraria-mente.

Limiti di funzioni, corso scientifico (V0.2) 27 LiLu1, 4N (Luca Rovelli)

2) Per la funzione f(x) =x2 − 1

x2 + 1vale

limx→−∞

f(x) = 1 e limx→+∞

f(x) = 1 ;

il grafico possiede l’asintoto orizzontale y = 1.

� Lo studio del comportamento di y = f(x) per x prossimo a un dato valore x = x0;cio permette di studiare una funzione nelle vicinanze di un “punto critico” (o puntodi discontinuita).

Esempi e illustrazioni:

3) f(x) =1

xnon esiste per x = 0 e

limx→0−

f(x) = −∞ e limx→0+

f(x) = +∞ ;

quando x si avvicina a 0 da sinistra, f(x) decrescearbitrariamente, mentre quando x si avvicina a 0da destra f(x) cresce arbitrariamente. Nota chef(x) non e definito per x = 0.

4) f(x) =x− 1√x− 1

non e definita per x = 1, ma lo e

per x arbitrariamente vicino a 1:

limx→1

f(x) = 2

il grafico possiede un punto di discontinuita eli-minabile per y = 1.Nota che cio e facilmente spiegabile: per x 6= 1 vale

x− 1√x− 1

= ��(√x− 1)(

√x+ 1)

��√x− 1

=√x+ 1 .

I paragrafi che seguono descrivono con un certo grado di dettaglio la teoria dei limiti difunzioni, la cui conoscenza permette di trattare in modo formalmente corretto i concettidel calcolo differenziale e integrale. Vengono inoltre enunciate alcune proprieta dellecosiddette funzioni continue, cioe delle funzioni compatibili con l’operazione di “passaggioal limite”.


2. Limiti finiti e funzioni continue

Come abbiamo gia osservato, la nozione di limite permette di ottenere informazioni sulcomportamente di una funzione nei pressi di un dato valore x0 della variabile indipendenteignorando quanto succede per x = x0. Dobbiamo quindi innanzitutto definire tale nozionein modo formalmente corretto, precisando in modo univoco il significato dell’affermazione

limx→x0

f(x) = y0 (1)

(“il limite della funzione f per x tendente a x0 e pari a x0”, o anche “f(x) tende a y0 perx tendente a x0”).

Potremmo azzardare immediatamente quanto segue: (1) significa che y si avvicina a y0quando x si avvicina a x0; tale definizione, pero, non vincola a sufficienza l’avvicinamentodi ascissa e ordinata. Precisiamo come segue:

Definizione 1.1 (Limite finito, versione qualitativa)Sia f una funzione reale, e siano x0, y0 ∈ R. Allora vale lim

x→x0

f(x) = y0 se f(x) e

arbitrariamente vicino a y0 quando x e sufficientemente vicino a x0.

Detto altrimenti: f(x) puo assumere valori vicini a piacere a y0, a condizione che x vengaavvicinato a sufficienza a x0 (e in uso anche l’abbreviazione “f(x) → y0 per x → x0”,dove la freccia “→” puo essere tradotta in “tendente a”).

In questa forma la definizione e senz’altro piu soddisfacente, ma essa manca ancora diconcretezza: in particolare, essa non permette una verifica algebrica. A tale scopo ven-gono introdotte due variabili ausiliarie (indicate per tradizione con δ e ε) che “misurano”le distanze tra x e x0 e tra y e y0:

Definizione 1.2 (Limite finito, versione quantitativa)Sia f una funzione reale, e sia y0 ∈ R. Allora vale lim

x→x0

f(x) = y0 se per ogni ε > 0

esiste δ > 0 tale che

|f(x)− y0| < ε per ogni x con 0 < |x− x0| < δ .

Cioe: la distanza tra y e y0 e inferiore a ε quando la distanza tra x e x0 e inferiore a δ.Dal momento che ε puo essere scelto piccolo a piacere (“tendente a zero”), esso esprimel’avvicinamento di y a y0.

Osservazione: nella definizione 1.2 la distanza |x−x0| e supposta strettamente positiva,dal momento che x si suppone diverso da x0. In effetti, non si suppone nemmeno che x0appartenga al dominio di f : il concetto di limite si rivela interessante proprio in questocaso, dal momento che esso permette di sondare le proprieta di f nei pressi di un punto“critico”.


Esempi: utilizziamo ora la definizione per verificare la relazione limx→x0

f(x) = y0 dati la

funzione f e il numero reale y0.

1) Mostra che vale limx→4

(12x+ 3) = 5 (quindi, f(x) = 1

2x+ 3, x0 = 4 e y0 = 5).

Poniamo ε > 0, e mostriamo che esiste δ > 0 (dipendente da ε) tale che valga|f(x)− 5| < ε per ogni x con 0 < |x− 4| < δ: dobbiamo risolvere la disequazione

|f(x)− 5| < ε ⇐⇒∣∣∣∣12x+ 3− 5

∣∣∣∣ < ε

⇐⇒∣∣∣∣12x− 2

∣∣∣∣ < ε

⇐⇒ |x− 4| < 2ε ;

possiamo quindi porre δ = 2ε (oppure anchescegliere δ < 2ε). Ad esempio, affinche ladistanza tra f(x) e 5 sia inferiore a ε = 1

10

unita, la distanza tra x e 4 dev’essere al mas-simo di 2ε = 1

5unita.

y = 12x+ 3

4

5ε

2ε


x2+x−2x−1 = 3 (nota che 1 6∈ Df !).

Poniamo nuovamente ε > 0, e risolviamo la disequazione

|f(x)− 3| < ε ⇐⇒∣∣∣∣x2 + x− 2

x− 1− 3

∣∣∣∣ < ε

⇐⇒∣∣∣∣(x+ 2)(x− 1)

x− 1− 3

∣∣∣∣ < ε ;

dal momento che siamo interessati al valore di f(x) per x tendente a 1 (e non perx = 1), possiamo semplificare la frazione algebrica:∣∣∣∣(x+ 2)��(x− 1)

��x− 1− 3

∣∣∣∣ < ε ⇐⇒ |x+ 2− 3| < ε ⇐⇒ |x− 1| < ε .

Quindi, basta scegliere δ = ε.


Osservazione: il risultato del primo dei due esempi appare ovvio; se in prossimita di x0il grafico della funzione y = f(x) puo essere tracciato senza staccare la penna dal foglio,y sara costretto ad approssimarsi al valore f(x0) quando x si approssima ad x0, e quindivarra lim

x→x0

f(x) = f(x0). Questa proprieta, apparentemente banale, e indispensabile per

la dimostrazione di gran parte dei risultati che seguiranno.

Prima di procedere con la prossima definizione, ricordiamo che un intervallo della forma]a, b[ (con a < b) e detto aperto, e che un intorno I(x) e semplicemente un intervalloaperto comprendente x.

Definizione 2 (Continuita)Sia y = f(x) una funzione reale.

(i) Sia f definita in un intorno di x0; allora f e continua nel punto x0 se vale

limx→x0

f(x) = f(x0) .

(ii) Sia S ⊆ Df ; la funzione f e continua nell’insieme S se e continua in x0 perogni x0 ∈ S.

(iii) La funzione f e una funzione continua, se essa e continua in tutto il suodominio Df .

Esempio: come abbiamo visto sopra, per la funzione f(x) = 12x + 3 vale lim

x→4f(x) =

5 = f(4); la funzione e quindi continua per x = 2; lo stesso vale per qualsiasi x0 ∈ Df .Pertanto, la funzione e continua (cosı come lo e qualsiasi funzione affine).

A volte puo rivelarsi utile considerare separatamente il comportamento di una funzione adestra e a sinistra di un dato punto x0. A tale scopo si introducono due nuovi concetti:

Definizione 3 (Limite destro e sinistro)Sia f una funzione reale, e sia y0 ∈ R.

(i) y0 e il limite destro f per x tendente a x0, denotato y0 = limx→x+

0

f(x), se per

ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

|f(x)− y0| < ε per ogni x con 0 < x− x0 < δ .

(ii) y0 e il limite sinistro di f per x tendente a x0, denotato y0 = limx→x−0

f(x), se

per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

|f(x)− y0| < ε per ogni x con 0 < x0 − x < δ .

Nota che vale 0 < x − x0 ⇐⇒ x > x0, cioe se x si trova a destra di x0, e quindi0 < x0 − x se x si trova a sinistra di x0.


Osservazione: dal confronto tra le definizioni 1 e 3 risulta immediatamente che l’esistenzadel limite di una funzione per x → x0 e equivalente al fatto che i limiti destro e sinistrocoincidono:

limx→x0

f(x) = y0 ⇐⇒ limx→x−0

f(x) = limx→x+

0

f(x) = y0 .

E per quanto riguarda la continuita vale che

f e continua per x = x0 ⇐⇒ limx→x−0

f(x) = limx→x+

0

f(x) = f(x0) .

Illustrazione:

y0

y1

x0

y = f(x)

Per la funzione rappresentata vale

limx→x+

0

f(x) = y0

(= f(x0)

)limx→x−0

f(x) = y1 ;

La funzione e quindi discontinua (ma e con-tinua a destra, v. sotto, per x = x0).

Esempi:

1) Per la funzione segno y = sgn(x) vale

limx→x−0

sgn(x) = −1 , limx→x+

0

sgn(x) = +1

e inoltre sgn(0) = 0. La funzione segno e quindi discontinua1 per x = 0.

2) Considera la funzione f(x) = 2−1x . Anticipando una no-

tazione che verra formalizzata piu tardi, possiamo scri-vere

limx→0−

2−1x = +∞ risp. lim

x→0+2−

1x = 0 .

Nota inoltre che 0 6∈ Df .

A volte, puo valere soltanto

limx→x−0

f(x) = f(x0) oppure limx→x+

0

f(x) = f(x0) .

In tal caso (l’abbiamo gia menzionato) si dice che f e continua a sinistra risp. continua adestra per x = x0.

1nel caso di limiti destro e sinistro non coincidenti ma finiti parleremo di discontinuita di prima specie


3) Considera la funzione

f(x) = sgn(x)+(sgn(x))2 =

{0 , x ≤ 0

2 , x > 0;

Evidentemente vale limx→0−

f(x) = 0 = f(0) e limx→0+

f(x) = 2 6= f(0) .

La funzione e continua a sinistra ma non a destra per x = 0.

Consideriamo ora il caso di un limite finito per x che tende ad un infinito:

Definizione 4 (Limite finito per x→ ±∞)Sia f : Df → R una funzione reale, e sia y0 ∈ R.

(i) y0 e il limite di f per x tendente a piu infinito, denotato y0 = limx→+∞

f(x), se

per ogni ε > 0 esiste N > 0 tale che

|f(x)− y0| < ε per ogni x con x > N

(“f(x) e arbitrariamente vicino a y0 quando x e sufficientemente grande”).

(ii) y0 e il limite di f per x tendente a meno infinito, denotato y0 = limx→−∞

f(x),

se per ogni ε > 0 esiste N > 0 tale che

|f(x)− y0| < ε per ogni x con x < −N

(“f(x) e arbitrariamente vicino a y0 quando x e sufficientemente negativo”).

Illustrazione:

y0 + ε

y0 − ε

y0

N

y = f(x) limx→+∞

f(x) = y0 : fissato ε > 0, e sempre

possibile ricavare N > 0 tale che per x > Nla distanza tra y0 e f(x) sia minore di ε.


Esempi:

1) Mostra che vale limx→+∞

1x

= 0.

Poniamo ε > 0, e mostriamo che esiste N > 0 (dipendente da ε) tale che valga|f(x)| = |f(x)− 0| < ε per ogni x > N : dobbiamo risolvere la disequazione

|f(x)| < ε ⇐⇒∣∣∣∣1x∣∣∣∣ < ε

⇐⇒ |x| > 1

ε

cioe x > 1ε

oppure x < −1ε. Dal momento che siamo interessati al comportamento

della funzione per x→ +∞, possiamo porre N = 1ε.

Nota che la relazione “|f(x)| < ε per x < −1ε” implica che lim

x→−∞1x

= 0.

2) Mostra che vale limx→−∞

(1− ex) = 1.

Poniamo ε > 0, e mostriamo che esiste N > 0 (dipendente da ε) tale che valga|f(x)− 1| < ε per ogni x < −N : dobbiamo risolvere la disequazione

|f(x)− 1| < ε ⇐⇒ |1− ex − 1| < ε

⇐⇒ |−ex| < ε ⇐⇒ ex < ε

⇐⇒ x < ln ε .

Possiamo quindi porre N = − ln ε = ln 1ε

(nota che per 0 < ε < 1 vale ln ε < 0 equindi anche N > 0).

Grafici delle funzioni considerate:

y =1

x

y = 1− ex


3. Limiti infiniti

Ci occupiamo ora di quelle situazioni ove il valore di una funzione cresce indefinitamentein un intorno di un dato valore di x0, oppure per x tendente ad un infinito.

Definizione 5 (Limiti infiniti per x→ x0)Sia f : Df → R una funzione reale, e sia x0 ∈ R.

(i) Si scrive limx→x0

f(x) = +∞ se per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che

f(x) > M per ogni x con 0 < |x− x0| < δ

(“f(x) e arbitrariamente grande quando x e sufficientemente vicino a x0”).

(ii) Si scrive limx→x0

f(x) = −∞ se per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che

f(x) < −M per ogni x con 0 < |x− x0| < δ

(“f(x) e arbitrariamente negativo quando x e sufficientemente vicino a x0”).

Analogamente (cfr. con la Def. 3 a pag. 31), si definiscono per i limiti destro e sinistro

limx→x−0

f(x) = ±∞ e limx→x−0

f(x) = ±∞ .

Illustrazioni:

limx→x−0

f(x) = limx→x+0

f(x)

= limx→x0

f(x) = +∞

x0

limx→x−0

f(x) = −∞

limx→x+0

f(x) = +∞

x0

limx→x−0

f(x) = f(x0) = y0

limx→x+0

f(x) = +∞

x0

y0

Esempi:


1x2 = +∞ .

Poniamo M > 0, e mostriamo che esiste δ > 0 (dipendente da M) tale che valga1x2 > M per ogni x con |x| = |x− 0| < δ: dobbiamo risolvere la disequazione

1

x2> M ⇐⇒ x2 <

1

M⇐⇒ x ∈

]− 1√

M,

1√M

[.

Possiamo porre δ = 1√M

.


2) Mostra, per esercizio, che vale limx→0−

1

x3= −∞ e lim

x→0+

1

x3= +∞.


y =1

x2

y =1

x3

Per quanto riguarda il comportamento per x→ ±∞, si definisce quanto segue:

Definizione 6 (Limiti infiniti per x→ ±∞)Sia f : Df → R una funzione reale.

(i) Si scrive limx→+∞

f(x) = +∞ risp. limx→+∞

f(x) = −∞ se per ogni M > 0 esiste

N > 0 tale che

f(x) > M risp. f(x) < −M per ogni x con x > N

(“f(x) e arbitrariamente grande (risp. negativo) quando x e sufficientementegrande”).

(ii) Si scrive limx→−∞

f(x) = +∞ risp. limx→−∞

f(x) = −∞ se per ogni M > 0 esiste

N > 0 tale che

f(x) > M risp. f(x) < −M per ogni x con x < −N

(“f(x) e arbitrariamente grande (risp. negativo) quando x e sufficientementenegativo”).

Esempi:

1) Mostra che vale limx→+∞

lnx = +∞.

Poniamo M > 0, e mostriamo che esiste N > 0 (dipendente da M) tale che valgalnx > M per ogni x > N : dobbiamo risolvere la disequazione

lnx > M ⇐⇒ x > eM .

Possiamo quindi porre N = eM .


2) Mostra che vale limx→−∞

x3 = −∞.

Poniamo M > 0, e mostriamo che esiste N > 0 (dipendente da M) tale che valgax3 < −M per ogni x < −N : dobbiamo risolvere la disequazione

x3 < −M ⇐⇒ x < 3√−M = − 3

√M (ricorda che vale M > 0) .

Possiamo quindi porre N = 3√M .


y = lnx

y = x3

4. Limiti e continuita di alcune funzioni elementari

Come vedremo piu tardi, il calcolo dei limiti presuppone la conoscenza dei limiti di alcunesemplici funzioni. Ne elenchiamo alcuni, tralasciando le dimostrazioni. Per il disegno deigrafici, si faccia riferimento alle pagine 21-25.

Notiamo innanzitutto che, fatta eccezione per la funzione segno, le funzioni elencate sonotutte continue, vale cioe

limx→x0

f(x) = f(x0) ∀ x0 ∈ Df ;

ci occupiamo quindi soltanto dei limiti ai margini del dominio.

1) La funzione affine f : x 7→ y = mx+ k.

• se m = 0 (funzione costante): limx→−∞

(k) = limx→+∞

(k) = k;

• se m > 0: limx→−∞

(mx+ k) = −∞, limx→+∞

(mx+ k) = +∞;

• se m < 0: limx→−∞

(mx+ k) = +∞, limx→+∞

(mx+ k) = −∞.


2) La funzione potenza f : x 7→ y = xα (α 6= 1).

• se α ∈ N e α e pari: limx→−∞

xα = limx→+∞

xα = +∞;

• se α ∈ N e α e dispari: limx→−∞

xα = −∞, limx→+∞

xα = +∞;

• se α ∈ Z− e α e pari: limx→−∞

xα = limx→+∞

xα = 0, limx→0

xα = +∞;

• se α ∈ Z− e α e dispari: limx→−∞

xα = limx→+∞

xα = 0, limx→0−

xα = −∞,

limx→0+

xα = +∞;

• se α = 1n

con n ∈ N, cioe f : x 7→ y = n√x: lim

x→+∞n√x = +∞.

3) La funzione esponenziale f : x 7→ y = ax (a ∈ R∗+, a 6= 1).

• se a > 1 : limx→−∞

ax = 0, limx→+∞

ax = +∞;

• se a ∈ ]0, 1[ : limx→−∞

ax = +∞, limx→+∞

ax = 0.

4) La funzione logaritmica f : x 7→ y = loga(x) (a ∈ R∗+, a 6= 1).

• se a > 1 : limx→0+

loga(x) = −∞, limx→+∞

loga(x) = +∞;

• se a ∈ ]0, 1[ : limx→0+

loga(x) = +∞, limx→+∞

loga(x) = −∞.

5) Le funzioni seno e coseno sin : x 7→ y = sinx e cos : x 7→ y = cosx.

• i limiti limx→±∞

sinx e limx→±∞

cosx non esistono.

6) La funzione tangente tan : x 7→ y = tanx.

• se x0 ∈{π2

+ kπ|k ∈ Z}

: limx→x−0

tanx = +∞, limx→x+

0

tanx = −∞.

• il limite limx→±∞

tanx non esiste.

7) La funzione arcotangente arctan : x 7→ y = arctanx.

• limx→+∞

arctanx = +π

2, limx→−∞

arctanx = −π2

.

8) La funzione valore assoluto abs : x 7→ y = |x|.

• limx→+∞

|x| = limx→−∞

|x| = +∞.

9) La funzione segno sgn : x 7→ y = sgn(x).

• limx→−∞

sgn(x) = limx→0−

sgn(x) = −1 , limx→0+

sgn(x) = limx→+∞

sgn(x) = +1.

(La funzione segno e discontinua per x = 0).


5. Il principio di trasposizione

Iniziamo rammentando la definizione di limite di successione, a cui faremo riferimento inseguito:

Definizione 7 (Limite di successione)Sia (an)n∈N una successione reale.

(i) ` ∈ R e il limite di (an), denotato ` = limn→+∞

an, se per ogni ε > 0 esiste N > 0

tale che|an − `| < ε per ogni n > N .

(ii) Si scrive limn→+∞

an = +∞ risp. limn→+∞

an = −∞ se per ogni M > 0 esiste N > 0

tale chean > M risp. an < −M

per ogni n > N .

Per mezzo di essa, e possibile dare una definizione alternativa di limite di funzione:

Definizione 1.3 (Limite di funzione)Siano f : R→ R una funzione reale, x0 ∈ R∪{±∞} e y0 ∈ R∪{±∞}. Allora valelimx→x0

f(x) = y0 se per ogni successione (xn)n∈N con limn→∞

xn = x0 vale limn→∞

f(xn) = y0.

Illustrazione:

x1 x2 x3 · · · x0

f(x1)f(x2)

f(x3)

y0...

y0 = limx→x0

f(x) : scelta una successione

xnn→∞−→ x0, vale f(xn)

n→∞−→ y0.

Non si tratta di una “nuova” definizione; in effetti vale il seguente risultato:

Teorema 1 (Il principio di trasposizione)Le definizioni 1.2 (risp. 4, 5 e 6 per i rispettivi casi) e 1.3 sono equivalenti.

Esempio: a pagina 30 abbiamo mostrato che vale limx→1

x2+x−2x−1 = 3. Cio significa che per

ogni successione (xn) con limn→∞

xn = 1 vale limn→∞

x2n+xn−2xn−1 = 3.


Dimostrazione di un caso particolare (1.2 ⇐⇒ 1.3): siano x0 ∈ R e y0 ∈ R; mostriamoche l’affermazione lim

x→x0

f(x) = y0 ha lo stesso significato per entrambe le definizioni.

• 1.2 ⇒ 1.3 : mostriamo che la prima definizione implica la seconda.

Ipotesi: ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : |f(x)− y0| < ε ∀ x con |x− x0| < δ, e inoltre (xn) e unasuccessione con lim

n→∞xn = x0.

Tesi: limn→∞

f(xn) = y0.

Dimostrazione: siano ε > 0 e δ come nell’ipotesi; dal momento che limn→∞

xn = x0,

esiste N > 0 tale che |xn − x0| < δ per n > N . Per questa scelta di N vale quindi|f(xn)− y0| < ε per n > N : cio significa lim

n→∞f(xn) = y0.

• 1.3 ⇒ 1.2 : mostriamo che la seconda definizione implica la prima.

Ipotesi: limn→∞

f(xn) = y0 per ogni successione con limn→∞

xn = x0.

Tesi: ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : |f(x)− y0| < ε ∀ x con |x− x0| < δ.

Dimostrazione (per contrapposizione2): supponiamo falsa la tesi, cioe che esistaε > 0 tale che per ogni δ > 0 valga |f(x) − y0| > ε ∀ x con |x − x0| < δ. Ciopermette di costruire una successione (xn) che contraddice l’ipotesi: scegliendo3 xnin modo tale che |xn − x0| < 1

n, varra |f(xn) − y0| > ε, cioe lim

n→∞xn = x0 ma

limn→∞

f(xn) 6= y0 �

Osservazione: la definizione 1.3 e utile soprattutto a fini teorici: essa permette ditrasporre molti dei risultati sui limiti di successione nell’ambito delle funzioni. Ad esempio,dall’unicita del limite di una successione segue direttamente il

Teorema 2 (Unicita del limite)Siano f : R→ R una funzione reale e x0 ∈ R∪{±∞}. Se il limite lim

x→x0

f(x) esiste,

esso e unico.

Applicazione: i Teoremi 1 e 2 permettono, a volte, di dimostrare che un dato limitenon esiste.

Esempio: considera il limite limx→0

sin1

x;

• per la successione (xn) con xn =1

nπvale lim

n→∞xn = 0 e

limn→∞

sin1

xn= lim

n→∞sin(nπ) = 0 ;

2il principio di contrapposizione afferma che l’enunciato “da A segue B” e equivalente all’enunciato“dalla negazione di B segue la negazione di A”

3Non e immediatamente chiaro che si possa “scegliere” una tale successione di numeri reali: per essererigorosi, occorrerebbe precisare nell’Ipotesi che si suppone valido il cosiddetto Assioma della scelta: “seF e una famiglia di insiemi non vuoti, allora e possibile scegliere un elemento da ciascuno di essi”.


• per la successione (x′n) con x′n =1

π2

+ 2nπvale nuovamente lim

n→∞xn = 0 e

limn→∞

sin1

x′n= lim

n→∞sin(π

2+ 2nπ

)= 1 .

Se il limite esistesse, per i Teoremi citati esso dovrebbe coincidere con i limiti delle suc-cessioni (f(xn)) e (f(x′n)); dal momento che vale lim

n→∞f(xn) 6= lim

n→∞f(x′n), dobbiamo

concludere che il limite limx→0

sin1

xnon esiste.

y = sin 1x

Il grafico della funzione y = sin 1x

compieun’infinita di oscillazioni in ogni intorno delpunto x = 0; per questo motivo, la fun-zione non e rappresentabile graficamente inmaniera convincente.

Nella prossima sezione vedremo come anche le regole per il calcolo di limiti di funzionipossono essere ricavate direttamente dalle regole corrispondenti per i limiti di successionicon l’ausilio del principio di trasposizione.

6. Algebra dei limiti finiti

Ci occupiamo ora del calcolo dei limiti. Il principio e molto semplice: conoscendo i limitidi alcune funzioni importanti e le regole per le operazioni fondamentali, e possibile svilup-pare una sorta di calcolo algebrico per i limiti di funzioni.

Inizieremo con i limiti finiti, per poi proseguire con le cosiddette “forme simboliche” peril calcolo dei limiti infiniti.

Teorema 3 (Operazioni fondamentali)Siano f e g due funzioni reali, con

limx→x0

f(x) = a e limx→x0

g(x) = b

(x0 ∈ R ∪ { ±∞}, a, b ∈ R). Allora vale

(i) limx→x0

(k · f(x)) = k · limx→x0

f(x) = k a (k ∈ R) ;

(ii) limx→x0

(f(x)± g(x)) = limx→x0

f(x)± limx→x0

g(x) = a± b ;


(iii) limx→x0

(f(x) · g(x)) = limx→x0

f(x) · limx→x0

g(x) = a · b ;

(iv) se b 6= 0: limx→x0

f(x)

g(x)=

limx→x0

f(x)

limx→x0

g(x)=a

b;

(v) se non vale a = b = 0 : limx→x0

f(x)g(x) = ab .

Dimostrazione: tutte le affermazioni seguono dalle corrispondenti affermazioni perle successioni in virtu del principio di trasposizione; dimostriamo ad esempio che valelimx→x0

(f(x) + g(x)) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x) (supposto che i limiti esistano e siano finiti):

• limx→x0

f(x) = A significa che limn→∞

f(xn) = A per ogni successione reale (xn) con

limn→∞

xn = x0;

• limx→x0

g(x) = B significa che limn→∞

g(xn) = B per ogni successione reale (xn) con

limn→∞

xn = x0;

di conseguenza, per ogni (xn) con xn → x0 vale, per quanto conosciamo sui limiti disuccessioni,

limn→∞

(f + g)(xn) = limn→∞

(f(xn) + g(xn)) = limn→∞

f(xn) + limn→∞

g(xn) = A+B .

Cio implica immediatamente limx→x0

(f(x) + g(x)) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x) �

Esempi:

1) limx→e

x2 lnx = limx→e

x2 · limx→e

lnx = e2 · ln e = e2;

2) limx→1

x2 − 2x

log(x+ 9)=

limx→1

x2 − limx→1

2x

limx→1

log(x+ 9)=

12 − 21

log(1 + 9)= −1 ;

3) limx→0

sinx

x− 1=

sin 0

0− 1= 0 ;

(nel caso di funzioni continue in x0, il Teorema 3 implica che il calcolo del limite si riducealla sostituzione x = x0)

4) limx→2

x2 − 4

x2 − x− 2= lim

x→2

(x+ 2)��(x− 2)

(x+ 1)��(x− 2)= lim

x→2

x+ 2

x+ 1=

4

3;

5) limx→2

x8 − 256

x− 2= lim

x→2

(x4 + 16)(x2 + 4)(x+ 2)��(x− 2)

��x− 2= 32 · 8 · 4 = 1024

6) limx→1

x− 1√x− 1

= limx→1

��(√x− 1)(

√x+ 1)

��√x− 1

= limx→1

(√x+ 1) = 2 ;


(nel caso di quozienti f(x)g(x)

con f(x0) = g(x0) = 0, si puo a volte procedere ad una

semplificazione, dal momento che per x→ x0 vale x 6= x0)

7) limx→+∞

x+ 1

x= lim

x→+∞

(1 +

1

x

)= 1 + 0 = 1 ;

8) limx→−∞

3x2 + 4x+ 1

5x2 + 3= lim

x→−∞

��x2(3 + 4

x+ 1

x2

)��x2(5 + 3

x2

) =3 + 0 + 0

5 + 0=

3

5

9) limx→+∞

5x5 − 4x4 + 3x3

(7x2 + x)(2x3 + 1)= lim

x→∞

��x5(5− 4

x+ 3

x2

)��x2(7 + 1

x

)��x3(2 + 1

x3

) =5− 0 + 0

(7 + 0)(2 + 0)=

5

14

(nel caso di quozienti di polinomi aventi lo stesso grado il limite per x → ±∞ dipendesoltanto dai “coefficienti principali”).

Dalla definizione stessa di funzione continua in un punto segue il

Teorema 4 (Limite di una funzione composta)Siano f e g due funzioni reali. Se vale lim

x→x0

f(x) = y0 e inoltre g e continua in y0,

allora

limx→x0

g(f(x)) = g

(limx→x0

f(x)

)= g(y0) .

In altre parole: le funzioni continue sono compatibili con l’operazione di passaggio allimite. Questa proprieta viene usata (spesso tacitamente) in parecchie dimostrazioninell’ambito del calcolo infinitesimale.

Esempi:

10) limx→+∞

√2 +

1

x=

√2 + lim

x→+∞

1

x=√

2 + 0 =√

2 ;

11) limx→−∞

(2ex + 2)2 = (2 limx→−∞

ex + 2)2 = (2 · 0 + 2)2 = 4 ;

12) limx→0+

log

(100 +

1

lnx

)= log(100− 0) = 2 .

Corollario 5 (Alcuni limiti di funzioni composte)Sia f una funzione reale e lim

x→x0

f(x) = a ∈ R (x0 ∈ R ∪ {±∞}).

(i) se α ∈ R: limx→x0

f(x)α = aα, in particolare:

• con α = −1: limx→x0

1

f(x)=

1

limx→x0

f(x)=

1

a(se a 6= 0) ;

• con α = 1n, n ∈ N: lim

x→x0

n√f(x) = n

√limx→x0

f(x) = n√a (se a > 0) ;


(ii) se α > 0 : limx→x0

αf(x) = αlimx→x0

f(x)= αa ;

(ii) se α > 0 : limx→x0

logα f(x) = logα

(limx→x0

f(x)

)= logα a (se a > 0) ;

eccetera...

7. Forme simboliche e forme di indecisione

Ci occupiamo ora delle regole di calcolo per i limiti infiniti.

Teorema 6 (Somma e sottrazione)

(i) Sia limx→x0

f(x) = y0 ∈ R e limx→x0

g(x) = ±∞ (x0 ∈ R ∪ {±∞}); allora vale

limx→x0

(f(x) + g(x)) = ±∞.

In breve: “y0 ±∞ = ±∞”.

(ii) Sia limx→x0

f(x) = ±∞ e limx→x0

g(x) = ±∞; allora vale

limx→x0

(f(x) + g(x)) = ±∞.

In breve: “(+∞) + (+∞) = +∞” , “(−∞) + (−∞) = −∞” .

Nota che le forme simboliche utilizzate sono semplicemente delle abbreviazioni, e nonrappresentano delle vere e proprie operazioni algebriche!

Esempi:

1) limx→+∞

(lnx+ x2) = “∞+∞” = +∞ ;

2) limx→0

(cosx− lnx) = “1− (−∞)” = +∞.

3) limx→0−

x3 − x+ 1

x= lim

x→0−

(x2 − 1 +

1

x

)= “0− 1 + (−∞)” = −∞.

4) limx→0+

x3 − x+ 1

x= lim

x→0+

(x2 − 1 +

1

x

)= “0− 1 + (+∞)” = +∞.


Osservazione: il caso della differenza di due funzioni tendenti entrambi allo stesso infinito(indicato con “(+∞)− (+∞)” risp. “(−∞)− (−∞)”) e generalmente piu problematico,dal momento non e possibile stabilire a priori quanto valga il limite. Si parla di forme diindecisione; per il calcolo occorre utilizzare metodi ad hoc . Sono ad esempio di questotipo i limiti

limx→+∞

(x3 − x2) e limx→+∞

(√x+ 1−

√x)

(v. sotto).

Teorema 7 (Prodotto)

(i) Sia limx→x0

f(x) = y0 ∈ R∗ e limx→x0

g(x) = ±∞ (x0 ∈ R ∪ {±∞}); allora vale

• se y0 > 0: limx→x0

(f(x) · g(x)) = ±∞, in breve: “y0 · ±∞ = ±∞”;

• se y0 < 0: limx→x0

(f(x) · g(x)) = ∓∞, in breve: “y0 · ±∞ = ∓∞”.

(ii) • Sia limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = ±∞ (x0 ∈ R ∪ {±∞}); allora vale

limx→x0

(f(x) · g(x)) = +∞

In breve: “(+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞” .

• Sia limx→x0

f(x) = ±∞ e limx→x0

g(x) = ∓∞ (x0 ∈ R ∪ {±∞}); allora vale

limx→x0

(f(x) · g(x)) = −∞

In breve: “(+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞” .

Esempi:

5) limx→0+

(x+ 2) lnx = “2 · (−∞)” = −∞ ;

6) limx→−∞

(x3e−x) = “(−∞) · (+∞)” = −∞.

Osservazione: sono invece di indecisione le forme “0 · (+∞)” e “0 · (−∞)”.

Teorema 8 (Quoziente)

(i) Sia limx→x0

f(x) = y0 ∈ R∗∪{±∞} e limx→x0

g(x) = 0 (x0 ∈ R∪{±∞}); allora vale

limx→x0

∣∣∣∣f(x)

g(x)

∣∣∣∣ = +∞.

In breve: “∣∣y0

0

∣∣ = +∞”, “∣∣±∞

0

∣∣ = +∞”.


(ii) Sia limx→x0

f(x) = y0 ∈ R e limx→x0

g(x) = ±∞; allora vale

limx→x0

f(x)

g(x)= 0.

In breve: “ y0

±∞ = 0” .

Osservazioni:

a) Il caso “±∞y0

” (y0 6= 0) puo essere ricondotto al caso y′0 · (±∞) ponendo y′0 = 1y0

;

b) per quanto riguarda il segno del limite limx→x0

f(x)g(x)

nella parte (i) del teorema, esso

dev’essere determinato tenendo conto dei segni di f e di g (ammesso che il limitedel quoziente esista!);

c) le forme “±∞±∞” e “00” sono di indecisione.

Esempi:

7) limx→+∞

1 + x−1

ex= “

1

+∞” = 0 ;

8) limx→+∞

log x

e−x= “

+∞0

” = +∞ ;

9) limx→1+

1

x− 1= “

1

0+” = +∞ ; lim

x→1−

1

x− 1= “

1

0−” = −∞.

Come mostra l’esempio 9), a volte e comodo distinguere, indicando per una funzione conlimx→x0

f(x) = y0,

• limx→x0

f(x) = y+0 , se in un intorno di x0 vale f(x) > y0;

• limx→x0

f(x) = y−0 , se in un intorno di x0 vale f(x) < y0.

Esempi: limx→+∞

1

x= 0+ , lim

x→−∞

1

x= 0− , lim

x→1+(x+ 1) = 2+ , lim

x→1−(x+ 1) = 2−.

Riassumiamo ora le forme simboliche determinate (abbreviandole senza tener conto deisegni)

y0 +∞ =∞ ∞+∞ =∞ y0 · ∞ =∞ (y0 6= 0) ∞ ·∞ =∞

y0∞

= 0∣∣∣y0

0

∣∣∣ =∞ (y0 6= 0)∞y0

=∞ (y0 6= 0)∣∣∣∞

0

∣∣∣ =∞

e le forme di indecisione incontrate finora:

∞−∞ 0 · ∞ ∞∞

0

0


Terminiamo il paragrafo occupandoci ancora di queste ultime mostrando con l’ausilio dialcuni esempi come esse possano essere trattate; per ulteriori esempi si faccia riferimentoagli esercizi.

10) limx→+∞

(x3 − x2)︸︷︷︸∞−∞

= limx→+∞

x2(x− 1) = “(+∞) · (+∞)” = +∞;

una semplice scomposizione ci riconduce ad una forma calcolabile.

11) limx→+∞

(√x+ 1−

√x)

︸︷︷︸∞−∞

= limx→+∞

(√x+ 1−

√x)·√x+1+

√x√

x+1+√x

= limx→+∞

x+ 1− x√x+ 1 +

√x

=

= limx→+∞

1√x+ 1 +

√x

= “1

∞” = 0;

per sbarazzarsi di una differenza di radicali puo essere utile “amplificare” l’espressionecon l’aiuto del prodotto notevole (a+ b)(a− b) = a2 − b2 (si veda anche l’es. 16)).

12) limx→1

x2 − 3x+ 2

x2 + 3x− 4︸︷︷︸00

= limx→1

(x− 2)��(x− 1)

(x+ 4)��(x− 1)=

1− 2

1 + 4= −1

5;

fattorizzando e semplificando numeratore e denominatore, e possibile trattare quo-zienti di polinomi.

13) limx→+∞

4x3 + x2

5x3 + 1︸︷︷︸∞∞

= limx→+∞

��x3

→4︷︸︸︷(4 + 1

x

)��x3(5 + 1

x3

)︸︷︷︸→5

=4

5;

per calcolare il limite di un quoziente di funzioni polinomiali e conveniente metterein evidenza al numeratore e al denominatore la potenza piu alta della variabile.

14) limx→+∞

x+ 2√x2 + 7︸︷︷︸∞∞

= limx→+∞

x

→1︷︸︸︷(1 + 2

x)

|x|︸︷︷︸x

√1 + 7

x2︸︷︷︸→1

= 1;

analogamente ad un quoziente di polinomi, anche un quoziente di radicali puo esseretrattato mettendo in evidenza una potenza della variabile. Occorre pero prestareattenzione al fatto che, se n e pari, vale n

√xn = |x| (in particolare, per x → −∞

vale |x| = −x e quindi limx→−∞

|x|x

= −1):

15) limx→−∞

√x2 − 2x

x+ 1︸︷︷︸∞∞

= limx→−∞

−x︷︸︸︷|x|

→1︷︸︸︷√1− 2

x

x (1 +1

x)︸︷︷︸

→1

= −1.


16) limx→+∞

(√x2 + x−

√x2 − 2

)︸︷︷︸

∞−∞

= limx→+∞

(√x2 + x−

√x2 − 2

)·√x2+x+

√x2−2√

x2+1+√x2−2 =

= limx→+∞

x+ 2√x2 + 1 +

√x2 − 2︸︷︷︸

∞∞

= limx→+∞

�x

→1︷︸︸︷(1 + 2

x

)��|x|

√1 + 1x2︸︷︷︸

→1

+√

1− 2x2︸︷︷︸

→1

=

1

2.

Osservazioni:

a) Elenchiamo brevemente altre forme simboliche, relative all’elevazione a potenza:

0+∞ = 0 y+∞0 = +∞ (y0 > 0) (+∞)+∞ = +∞ ∞y0 =∞ (y0 > 0)

Le corrispondenti forme di indecisione sono:

1∞ 00 ∞0

b) Il calcolo differenziale (Cap. III) fornira ulteriori metodi per trattare le forme diindecisione, in particolare grazie alla regola di Bernoulli-De L’Hopital.

8. Alcuni limiti notevoli

Iniziamo con un risultato “tecnico” (noto anche come squeezing principle o Teorema deidue carabinieri):

Lemma 9 (Un criterio di confronto)Siano f, g, h tre funzioni reali e x0 ∈ R∪ {±∞} tali che lim

x→x0

f(x) = limx→x0

h(x) = y0.

Allora, se in un intorno I(x0) vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), vale anche limx→x0

g(x) = y0.

Dimostrazione: l’affermazione e evidente. Forniamo comunque una dimostrazione peril caso in cui x0 ∈ R e y0 ∈ R. Sia ε > 0; allora esistono δ1, δ2 ∈ R+ tali che

|f(x)−y0|<ε︷︸︸︷y0 − ε < f(x) < y0 + ε se |x− x0| < δ1

y0 − ε < h(x) < y0 + ε se |x− x0| < δ2 ;

scegliendo δ = min(δ1, δ2) otterremo

y0 − ε < f(x) < g(x) < h(x) < y0 + ε se |x− x0| < δ

e quindi |g(x)− y0| < ε per |x− x0| < δ. Cio garantisce che limx→x0

g(x) = y0 �


Utilizziamo il Lemma per calcolare il limite per x→ 0 della funzione x 7→ y = sinxx

, che apriori rappresenta una forma “0

0” (ricorda: x dev’essere espresso in radianti):

Teorema 10

limx→0

sinx

x= 1 .

Dimostrazione: supponiamo dapprima che valga x ∈]0, π

2

[, e consideriamo il disegno

nel I quadrante:

E immediatamente chiaro che vale

|

)

AB| = x (arco AB)

|BH| = sin x

|B′A| = tan x

|OA| = |OB| = 1

Confrontiamo ora le aree AAOB del triangolo AOB, A )AOB

del settore circolare AOB e

AAOB′ del triangolo AOB′: calcoliamo innanzitutto

AAOB =1 · sinx

2=

1

2sinx , A )

AOB=

1 · x2

=1

2x , AAOB′ =

1 · tanx

2=

1

2tanx .

Dal momento che vale AAOB ≤ A )

AOB≤ AAOB′ , otteniamo

1

2sinx ≤ 1

2x ≤ 1

2tanx ⇐⇒ sinx ≤ x ≤ tanx ;

dividendo per sinx (> 0) e passando ai reciproci:

1 ≤ x

sinx≤ 1

cosx⇐⇒ 1 ≥ sinx

x≥ cosx .

Supponendo invece che valga x ∈]−π

2, 0[, il disegno nel IV quadrante conduce alla di-

suguaglianza

−1

2sinx ≤ −1

2x ≤ −1

2tanx ⇐⇒ sinx ≥ x ≥ tanx

e la divisione per sin x (< 0) a

1 ≤ x

sinx≤ 1

cosx⇐⇒ 1 ≥ sinx

x≥ cosx .

In ogni caso, dato che limx→0

cosx = 1, il Lemma 9 implica immediatamente limx→0

sinx

x= 1.

Cio conclude la dimostrazione �


Applicazioni: utilizziamo il limite notevole per calcolare alcuni esempi (forme “00”).

1) limx→0

sin 7x

x;

sostituendo y = 7x, e chiaro che con x→ 0 vale anche y → 0; quindi,

limx→0

sin 7x

x= lim

y→0

sin y17y

= 7 · limy→0

sin y

y= 7.

2) limx→0

tan 7x

x= lim

x→0

sin 7xcos 7x

x= lim

x→0

( sin 7x

x︸︷︷︸→7

· 1

cos 7x︸︷︷︸→1

)= 7 .

Piu in generale, si dimostra analogamente che, se α ∈ R∗,

limx→0

sinαx

x= α e lim

x→0

tanαx

x= α .

3) limx→0

sin 2x

sin 3x= lim

x→0

( sin 2x

x︸︷︷︸→2

· x

sin 3x︸︷︷︸→ 1

3

)=

2

3.

Piu in generale, se α, β ∈ R∗, limx→0

sinαx

sin βx=α

β.

4) limx→0

x− sinx

x= 1− lim

x→0

sinx

x= 0;

5) limx→π

sinx

x− π; sostituiamo y = x− π; allora vale y → 0 ⇐⇒ x→ π e quindi

limx→π

sinx

x− π= lim

y→0

sin(y + π)

y= lim

y→0

− sin y

y= −1;

6) limx→0

1− cosx

x2= lim

x→0

1− cosx

x2· 1 + cosx

1 + cosx= lim

x→0

sin2 x︷︸︸︷1− cos2 x

x2(1 + cos x)=

= limx→0

(sinx

x

)2

︸︷︷︸→1

· 1

1 + cos x︸︷︷︸→ 1

2

=1

2.

Passiamo ora ad un altro limite notevole di importanza fondamentale.

Teorema 11

limx→+∞

(1 +

1

x

)x= lim

x→−∞

(1 +

1

x

)x= e .


La dimostrazione, tutt’altro che banale, consisterebbe nel verificare che i limiti di funzione

limx→+∞

(1 +

1

x

)xe lim

x→−∞

(1 +

1

x

)xcoincidono con il limite di successione

e = limn→+∞

(1 +

1

n

)n.

Nota che si tratta di una forma di indecisione del tipo “1∞”. Tracciamo il grafico dellafunzione in questione:

y =(1 + 1

x

)xe

Applicazioni: ricaviamo altri limiti notevoli (si tratta di forme “1∞” e “00”).

1) Sia α ∈ R; limx→±∞

(1 +

1

x

)αx= lim

x→±∞

((1 +

1

x

)x)α=

(lim

x→±∞

(1 +

1

x

)x)α= eα;

quindi, limx→±∞

(1 +

1

x

)αx= eα .

2) Sia α ∈ R; limx→±∞

(1 +

α

x

)x= lim

x→±∞

(1 +

1xα

) xα·α

; sostituiamo y = xα

:

dal momento che |x| → ∞ ⇐⇒ |y| → ∞ otteniamo

limx→±∞

(1 +

1xα

) xα·α

= limy→±∞

(1 +

1

y

)αy= eα ; quindi, lim

x→±∞

(1 +

α

x

)x= eα .

3) Calcoliamo limx→0

(1 + x)1x : con x = 1

y, osservando che vale x → 0 ⇐⇒ y → ±∞,

otteniamo limx→0

(1 + x)1x = lim

y→±∞

(1 +

1

y

)y= e. Quindi, lim

x→0(1 + x)

1x = e .


y = (1 + x)1x

e

4) limx→0

loga(1 + x)

x= lim

x→0

1

xloga(1 + x) = lim

x→0loga(1 + x)

1x = loga e =

ln e

ln a=

1

ln a;

quindi, limx→0

loga(1 + x)

x=

1

ln a; in particolare, con a = e: lim

x→0

ln(1 + x)

x= 1 .

y =ln(1 + x)

x1

5) Sia a > 0; calcoliamo limx→0

ax − 1

x; sostituendo ax = 1 + y, e notando che vale

y → 0 ⇐⇒ x = loga(1 + y)→ 0 otteniamo

limx→0

ax − 1

x= lim

y→0

y

loga(1 + y)=

1

limy→0

loga(1 + y)

y

= ln a.

Quindi, limx→0

ax − 1

x= ln a ; in particolare, con a = e : lim

x→0

ex − 1

x= 1 .


y =ex − 1

x

1

9. Asintoti

9.1 Asintoti verticali

Definizione 8 (Asintoti verticali)Sia f una funzione reale, e sia A ∈ R. Se vale

limx→A−

f(x) = ±∞ e/o limx→A+

f(x) = ±∞ ,

la retta di equazione x = A e un asintoto verticale per il grafico della funzione f .

Nota: a volte occorre precisare se si tratta di un asintoto per x→ A− oppure per x→ A+.

Illustrazioni:

limx→A−

f(x) = +∞, limx→A+

f(x) = −∞

Asintoto verticale x = A

y = f(x)

y = A

A

limx→A−

f(x) = y0, limx→A+

f(x) = +∞

Asintoto verticale x = A per x→ A+

y = f(x)

y = A

A

y0

Osservazione: gli asintoti verticali vanno cercati nei cosiddetti punti di discontinuitadella funzione.


Esempi: ricaviamo gli asintoti verticali di alcuni grafici.

1) f : x 7→ y =1

x + 3;

limx→−3−

1

x + 3= “ 1

0− ” = −∞

limx→−3+

1

x + 3= “ 1

0+ ” = +∞

⇒ asintoto verticale x = −3 .

2) f : x 7→ y =1

(x− 1)2;

limx→1−

1

(x− 1)2=

= limx→1+

1

(x− 1)2= “ 1

0+ ” = +∞

⇒ asintoto verticale x = 1 .

3) f : x 7→ y = 2−1x ;

limx→0−

2−1x = “2+∞” = +∞

limx→0+

2−1x = “2−∞” = 0+

⇒ asintoto verticale x = 0 per x→ 0− .


4) f : x 7→ y =1

x2 − 4;

limx→−2−

1

x2 − 4= +∞ , lim

x→−2+1

x2 − 4= −∞

limx→2−

1

x2 − 4= −∞ , lim

x→2+

1

x2 − 4= +∞

⇒ asintoti verticali x = −2 e x = +2 .

9.2 Asintoti orizzontali

Definizione 9 (Asintoti orizzontali)Sia f una funzione reale, e sia A ∈ R. Se vale

limx→−∞

f(x) = A oppure limx→+∞

f(x) = A ,

la retta y = A e un asintoto orizzontale per il grafico della funzione f .

Nota: a volte occorre precisare se si tratta di un asintoto per x → −∞ oppure perx→ +∞.

Esempi: ricaviamo gli asintoti orizzontali di alcuni grafici.

1) f : x 7→ y =3x + 1

x + 2;

limx→±∞

3x + 1

x + 2= lim

x→±∞

x(3 + 1

x

)x(1 + 2

x

) = 3

⇒ asintoto orizzontale y = 3 .


2) f : x 7→ y = 2x;

limx→−∞

2x = 0

⇒ asintoto orizzontale y = 0 per x→ −∞ .

3) f : x 7→ y = 2−1x (grafico: v. pag. 54); dal momento che vale

limx→−∞

2−1x = 1+ e lim

x→+∞2−

1x = 1− ,

la retta y = 1 e asintoto orizzontale.

9.3 Asintoti obliqui

Definizione 10 (Asintoti obliqui)Sia f una funzione reale, e sia A ∈ R. Se vale

limx→−∞

(f(x)− (Ax+B)) = 0 oppure limx→+∞

(f(x)− (Ax+B)) = 0 ,

la retta y = Ax+B e un asintoto obliquo per il grafico della funzione f .

Osservazioni:

a) Occorre distinguere tra limite per x tendente a +∞ e −∞ (non e detto che essidebbano coincidere, e nemmeno che entrambi esistano);

b) un asintoto orizzontale e un caso particolare, con A = 0.

Esempio: considera la funzione

f : x 7→ y =1

x+

1

2x + 1; chiaramente

vale

limx→±∞

(f(x)−

(1

2x+ 1

))= lim

x→±∞

1

x= 0 ;

quindi, la retta y = 12x + 1 e asintoto

per il grafico di f .


Teorema 12 (Asintoti obliqui)Sia f una funzione reale. Allora la retta y = Ax+B e un suo asintoto

⇐⇒ A = limx→±∞

f(x)

xe B = lim

x→±∞(f(x)− Ax) .

Dimostrazione: per ricavare A dividiamo per x l’uguaglianza limx→±∞

(f(x)− (Ax + b)) = 0:

limx→±∞

(f(x)− (Ax+ b)) = 0 ⇐⇒ limx→±∞

(f(x)x−A−

B

x︸︷︷︸→0

)= 0 ⇐⇒ lim

x→±∞

(f(x)

x−A

)= 0 ⇐⇒ lim

x→±∞

f(x)

x= A;

isolando B nella stessa uguaglianza, otteniamo poi

limx→±∞

(f(x)− Ax−B) = 0 ⇐⇒ limx→±∞

(f(x)− Ax)) = B .

Cio conclude la dimostrazione �

Esempi: ricaviamo gli asintoti obliqui di alcuni grafici.

1) f : x 7→ y =x2 + 3x

1− 3x;

• calcoliamo A (se esiste):

limx→±∞

f(x)

x= lim

x→±∞

x2 + 3x

x(1− 3x)= lim

x→±∞

x2 + 3x

x− 3x2= −1

3= A ;

• calcoliamo B:

limx→±∞

(f(x)−Ax) = limx→±∞

(x2 + 3x

1− 3x−(−1

3x

))= . . . = lim

x→±∞

(10x

3− 9x

)= −10

9= B

C’e il solo asintoto obliquo

y = −1

3x− 10

9

(per x→ −∞ e x→ +∞).


2) f : x 7→ y =√x2 + 4;

• calcoliamo A (se esiste):

limx→+∞

f(x)

x= lim

x→+∞

√x2 + 4

x= lim

x→+∞

1︷︸︸︷|x|x

√1 +

4

x2= 1 = A1

limx→−∞

f(x)

x= lim

x→−∞

√x2 + 4

x= lim

x→−∞

−1︷︸︸︷|x|x

√1 +

4

x2= −1 = A2

• calcoliamo B per ognuno dei valori di A:

limx→+∞

(f(x)−A1x) = limx→+∞

(√x2 + 4− x

)= limx→+∞

(√x2 + 4− x

)·√x2 + 4 + x√x2 + 4 + x

= limx→+∞

4√x2 + 4 + x

= “4

+∞” = 0

limx→−∞

(f(x)−A2x) = limx→−∞

(√x2 + 4 + x

)= limx→−∞

(√x2 + 4 + x

)·√x2 + 4− x√x2 + 4− x

= limx→−∞

4√x2 + 4− x

= “4

+∞” = 0

Ci sono due asintoti obliqui:

y = −x (per x→ −∞)

y = x (per x→ +∞) .


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