Limiti, guida

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ALTRI VOLUMI DELLA COLLANA ESAMI 1 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. Esercizi Guida pratica alla risoluzione dei sistemi comprendente: 13 sistemi non omogenei fondamentali. S sistemi omogenei fondamentali. IO sistemi parametrici completamente risolti e discussi. 2 INTRO0UZIONE ALLO STUOIO DELLE FUNZIONI Guida alla conoscenze degli argomenti basilari per lo studio sistematico delle funzioni: disequazioni, valori assoluti, estrazione di radice, (unzioni Inverse, calcolo di periodi, limiti, derivate, ecc. Gli argomenti sono corredati di esercizi esplicativi nei quali alle considerazioni algebriche 4 abbinata l’Interpreta zione grafica. 3 FUNZIONI DA ESAME 57 funzioni scelte per dare un'opportuna preparazione all'esame scritto di ANALISI I. Ognuna di esse è svolta integral mente nel modo più comprensibile ed ogni operazione difficile (li miti. derivate ....) t eseguita. Tutti i diagrammi sono stati dise gnati con l'ausilio di un calcolatore. 5 DERIVATE. Esercizi 230 esercizi di derivazione di (unzioni In coordinate car tesiane ortogonali, in coordinate parametrlche e polari. L'applica zione della derivata a problemi tecnici fondamentali ha lo scopo di rendere meno difficoltoso lo studio delle scienze applicale. 6 INTEGRALI. Esercizi 274 integrali completamente svolti, preceduti da una parto.iplrodutliva comprendente richiami di algebra e di trigono metria circolare e iperbolica. 7 AL6ESRA DELLE MATRICI. Volume primo 176 esercizi per spiegare organicamente l'algebra delle matrici, le proprietà dei determinami e le loro applicazioni. 8 ALGEBRA DELLE MATRICI. Volume secondo 134 esercizi per illustrare in modo efficace gli spazi vet toriali. le trasformazioni lineari, la ricerca degli autovalori e degli autovetlori di una matrice. I processi di diagonalizzazione di una matrice. * 9 1'ALBEORA delle matrici e la risoluzione dei SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 60 sistemi omogenei, non omogenei, parametrici, trigonometrici affrontati con il metodo di Gauss-Jordan. Il più efficace nella riso luzione dei problemi tecnici | f i NUMERI COMPLESSI I U 100 esercizi sufficienti per acquisire la pratica necessa ria sui numeri complessi nelle loro quattro forme e per meglio fis sare i concetti teorici espressi nel modo più elementare possibile. 11 CORSO PROPEDEUTICO 01 MATEMATICA PER GLI STUDENTI OEL PRIMO ANNO 01 UNIVERSITÀ 294 esempi ed esercizi: dai polinomi alle disequazioni, dai loga ritmi alle funzioni trigonometriche: I fondamenti della matema tica necessari per affrontare In moda sicuro gli studi universitari. I o LO STUDIO DELLA FUNZIONE I m* 36 funzioni di vario tipo, precedute da una parte intro duttiva avente la funzione di traccia per lo studio di qualsiasi fun zione. Corredati di numerosi esempi ed esercizi, sono trattati: di sequazioni. valori assoluti, estrazione di radice, funzioni Inverse, calcolo di periodi, limiti, derivate, ecc. | Q IL UNITE I O 337 esercizi scelti per condurre lo studente ad un'age vole ricerca di limili di funzioni di qualunque tipo e comunque complicale. | A LA DERIVATA I " ♦ 215 esercizi di derivazione di (unzioni di vario tipo, esplicite ed implicite, ad una e a due variabili. Ditfeienziali. deri vate successive. Applicazione della derivata. f E L'INTEGRALE I W 251 esercizi di integrazione di funzioni di vario tipo: hanno lo scopo di condurre gradualmente lo studente ad una ra pida famlllarizzazione cdn l'operatore Integrale. I C DISEQUAZIONI. Volume primo I O 69 esercizi sulle disequazioni ed i sistemi di disequa zioni razionali, illustrati da schemi grafici. n DISEQUAZIONE Volume secondo 104 esercizi sulle disequazioni irrazionali, trascendenti, a due variabili Disequazioni risolubili per via grafica Gli esercizi sono corredati di schemi grafici. I O EQUAZIONI OIFFERENZIAU I O 269 esercizi per acquisire la tecnica necessaria ad af frontare le equazioni differenziali nelle loro più svariate forme O f INTEGRALI CURVIUHEI E MULTIPLI £ I 129 esercizi per acquisire la capacità di impostare e ri solvere gli integrali di linea, di campo, di superficie e di volume. Illustrati da 189 figure esplicative. 4 4 METODI NUMERICI £ £ 24 problemi di FISICA e CHIMICA FISICA con applica zioni di algebra matriciale, minimi quadrati, ottimizzazione di funzioni di più variabili, integrazione, risoluzione di equazioni qualsiasi. Interpolazione, cenni sul linguaggi FORTRAN e HPL. cenni sul linguaggio BASIC con esempi por ZX SPECTRUM 4 4 VETTORI. Esercizi £ O 100 esercizi corredati di ligure per acquisire la necessa ria padronanza sul vettori. Le applicazioni alia geometria ed alla meccanica hanno lo scopo di rendere lo studio dell'argomento meno astratto e più intuitivo 4 A GEOMETRIA DIFFERENZIALE. E sercizi 69 esercizi per capire e calcolare: lunghezza di un arco, flessione, evoluta, torsione, triedro fondamentale, plani oscula tore. normale e retlìlicante in un punto di una curva piana o sghemba assegnala in qualsiasi forma 4 4 LE REAZIONI CHIMICHE. Esercizi h O 92 esercizi svolti che mettono in grado di calcolare age volmente: formule minime, formule brute, coefficienti stechiome trici In reazioni acido-base e di ossidoriduzione, e di svolgere cal coli sulle reazioni ponderali.

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Guida sui limiti matematici, il loro calcolo, dai limiti elementari a quelli più complessi utilizzando le pricipali tecniche insegnate in un corso di analisi universitario: limiti per calcolo diretto, per confronto, infinitesi e infiniti, con sviluppo in serie di Taylor, con la regola di de l'Hopital, et altri...

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ALTRI VOLUMI DELLA COLLANA ESAMI

1 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. E serciz iGuida pratica alla risoluzione dei sistemi comprendente:

13 sistemi non omogenei fondamentali. S sistemi omogenei fondamentali. IO sistemi parametrici completamente risolti e discussi.

2 INTRO0UZIONE ALLO STUOIO DELLE FUNZIONIGuida alla conoscenze degli argomenti basilari per lo

studio sistematico delle funzioni: disequazioni, valori assoluti, estrazione di radice, (unzioni Inverse, calcolo di periodi, limiti, derivate, ecc. Gli argomenti sono corredati di esercizi esplicativi nei quali alle considerazioni algebriche 4 abbinata l’Interpreta­zione grafica.

3 FUNZIONI DA ESAME57 funzioni scelte per dare un'opportuna preparazione

all'esame scritto di ANALISI I. Ognuna di esse è svolta integral­mente nel modo più comprensibile ed ogni operazione difficile (li­miti. derivate....) t eseguita. Tutti i diagrammi sono stati dise­gnati con l'ausilio di un calcolatore.

5 DERIVATE. E sercizi230 esercizi d i derivazione di (unzioni In coordinate car­

tesiane ortogonali, in coordinate parametrlche e polari. L'applica­zione della derivata a problemi tecnici fondamentali ha lo scopo di rendere meno difficoltoso lo studio delle scienze applicale.

6 INTEGRALI. Esercizi274 integrali completamente svolti, preceduti da una

parto.iplrodutliva comprendente richiami di algebra e di trigono­metria circolare e iperbolica.

7 AL6ESRA DELLE MATRICI. Volume prim o176 esercizi per spiegare organicamente l'algebra delle

matrici, le proprietà dei determinami e le loro applicazioni.

8 ALGEBRA DELLE MATRICI. Volume secondo134 esercizi per illustrare in modo efficace gli spazi vet­

toriali. le trasformazioni lineari, la ricerca degli autovalori e degli autovetlori di una matrice. I processi di diagonalizzazione di una matrice. *

9 1'ALBEORA delle m a t r ic i e la r is o lu z io n e dei SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

60 sistemi omogenei, non omogenei, parametrici, trigonometrici affrontati con il metodo di Gauss-Jordan. Il più efficace nella riso­luzione dei problemi tecnici

| f i NUMERI COMPLESSII U 100 esercizi sufficienti per acquisire la pratica necessa­

ria sui numeri complessi nelle loro quattro forme e per meglio fis­sare i concetti teorici espressi nel modo più elementare possibile.

11 CORSO PROPEDEUTICO 01 MATEMATICA PER GLI STUDENTI OEL PRIMO ANNO 01 UNIVERSITÀ

294 esempi ed esercizi: dai polinomi alle disequazioni, dai loga­ritmi alle funzioni trigonometriche: I fondamenti della matema­tica necessari per affrontare In moda sicuro gli studi universitari.

I o LO STUDIO DELLA FUNZIONEI m* 36 funzioni di vario tipo, precedute da una parte intro­

duttiva avente la funzione di traccia per lo studio di qualsiasi fun­zione. Corredati di numerosi esempi ed esercizi, sono trattati: di­sequazioni. valori assoluti, estrazione di radice, funzioni Inverse, calcolo di periodi, limiti, derivate, ecc.| Q IL UNITEI O 337 esercizi scelti per condurre lo studente ad un'age­

vole ricerca di lim ili di funzioni di qualunque tipo e comunque complicale.| A LA DERIVATAI " ♦ 215 esercizi di derivazione di (unzioni di vario tipo,

esplicite ed implicite, ad una e a due variabili. Ditfeienziali. deri­vate successive. Applicazione della derivata.f E L'INTEGRALEI W 251 esercizi di integrazione di funzioni di vario tipo:

hanno lo scopo di condurre gradualmente lo studente ad una ra­pida famlllarizzazione cdn l'operatore Integrale.I C DISEQUAZIONI. Volume prim oI O 69 esercizi sulle disequazioni ed i sistemi di disequa­

zioni razionali, illustrati da schemi grafici.

n DISEQUAZIONE Volume secondo104 esercizi sulle disequazioni irrazionali, trascendenti,

a due variabili Disequazioni risolubili per via grafica Gli esercizi sono corredati di schemi grafici.I O EQUAZIONI OIFFERENZIAUI O 269 esercizi per acquisire la tecnica necessaria ad af­

frontare le equazioni differenziali nelle loro più svariate formeO f INTEGRALI CURVIUHEI E MULTIPLI£ I 129 esercizi per acquisire la capacità di impostare e ri­solvere gli integrali di linea, di campo, di superficie e di volume. Illustrati da 189 figure esplicative.4 4 METODI NUMERICI£ £ 24 problemi di FISICA e CHIMICA FISICA con applica­zioni di algebra matriciale, minimi quadrati, ottimizzazione di funzioni di più variabili, integrazione, risoluzione di equazioni qualsiasi. Interpolazione, cenni sul linguaggi FORTRAN e HPL. cenni sul linguaggio BASIC con esempi por ZX SPECTRUM4 4 VETTORI. Esercizi£ O 100 esercizi corredati di ligure per acquisire la necessa­ria padronanza sul vettori. Le applicazioni alia geometria ed alla meccanica hanno lo scopo di rendere lo studio dell'argomento meno astratto e più intuitivo4 A GEOMETRIA DIFFERENZIALE. E sercizi

69 esercizi per capire e calcolare: lunghezza di un arco, flessione, evoluta, torsione, triedro fondamentale, plani oscula­tore. normale e retlìlicante in un punto di una curva piana o sghemba assegnala in qualsiasi forma4 4 LE REAZIONI CHIMICHE. E sercizih O 92 esercizi svolti che mettono in grado di calcolare age­volmente: formule minime, formule brute, coefficienti stechiome­trici In reazioni acido-base e di ossidoriduzione, e di svolgere cal­coli sulle reazioni ponderali.

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Gioacchino ORECCHIA Salvatore SPAT ARO

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ESERCIZI

400 esercizi scelti in modo da condurre lo studentead un agevole calcolo di lim iti di funzioni

comunque complicate e di qualsiasi tipo.

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ALTRI VOLUMI DELLA COLLANA ESAMI

1 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. E serciz iGuida pratica alla risoluzione dei sistemi comprendente:

13 sistemi non omogenei fondamentali. S sistemi omogenei fondamentali. IO sistemi parametrici completamente risolti e discussi.

2 INTRO0UZIONE ALLO STUOIO DELLE FUNZIONIGuida alla conoscenze degli argomenti basilari per lo

studio sistematico delle funzioni: disequazioni, valori assoluti, estrazione di radice, (unzioni Inverse, calcolo di periodi, limiti, derivate, ecc. Gli argomenti sono corredati di esercizi esplicativi nei quali alle considerazioni algebriche 4 abbinata l’Interpreta­zione grafica.

3 FUNZIONI DA ESAME57 funzioni scelte per dare un'opportuna preparazione

all'esame scritto di ANALISI I. Ognuna di esse è svolta integral­mente nel modo più comprensibile ed ogni operazione difficile (li­miti. derivate....) t eseguita. Tutti i diagrammi sono stati dise­gnati con l'ausilio di un calcolatore.

5 DERIVATE. E sercizi230 esercizi d i derivazione di (unzioni In coordinate car­

tesiane ortogonali, in coordinate parametrlche e polari. L'applica­zione della derivata a problemi tecnici fondamentali ha lo scopo di rendere meno difficoltoso lo studio delle scienze applicale.

6 INTEGRALI. Esercizi274 integrali completamente svolti, preceduti da una

parto.iplrodutliva comprendente richiami di algebra e di trigono­metria circolare e iperbolica.

7 AL6ESRA DELLE MATRICI. Volume prim o176 esercizi per spiegare organicamente l'algebra delle

matrici, le proprietà dei determinami e le loro applicazioni.

8 ALGEBRA DELLE MATRICI. Volume secondo134 esercizi per illustrare in modo efficace gli spazi vet­

toriali. le trasformazioni lineari, la ricerca degli autovalori e degli autovetlori di una matrice. I processi di diagonalizzazione di una matrice. *

9 1'ALBEORA delle m a t r ic i e la r is o lu z io n e dei SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

60 sistemi omogenei, non omogenei, parametrici, trigonometrici affrontati con il metodo di Gauss-Jordan. Il più efficace nella riso­luzione dei problemi tecnici

| f i NUMERI COMPLESSII U 100 esercizi sufficienti per acquisire la pratica necessa­

ria sui numeri complessi nelle loro quattro forme e per meglio fis­sare i concetti teorici espressi nel modo più elementare possibile.

1 1CORSO PROPEDEUTICO 01 MATEMATICA PER GLI STUDENTI OEL PRIMO ANNO 01 UNIVERSITÀ

294 esempi ed esercizi: dai polinomi alle disequazioni, dai loga­ritmi alle funzioni trigonometriche: I fondamenti della matema­tica necessari per affrontare In moda sicuro gli studi universitari.

I o LO STUDIO DELLA FUNZIONEI m* 36 funzioni di vario tipo, precedute da una parte intro­

duttiva avente la funzione di traccia per lo studio di qualsiasi fun­zione. Corredati di numerosi esempi ed esercizi, sono trattati: di­sequazioni. valori assoluti, estrazione di radice, funzioni Inverse, calcolo di periodi, limiti, derivate, ecc.| Q IL UNITEI O 337 esercizi scelti per condurre lo studente ad un'age­

vole ricerca di lim ili di funzioni di qualunque tipo e comunque complicale.| A LA DERIVATAI " ♦ 215 esercizi di derivazione di (unzioni di vario tipo,

esplicite ed implicite, ad una e a due variabili. Ditfeienziali. deri­vate successive. Applicazione della derivata.f E L'INTEGRALEI W 251 esercizi di integrazione di funzioni di vario tipo:

hanno lo scopo di condurre gradualmente lo studente ad una ra­pida famlllarizzazione cdn l'operatore Integrale.I C DISEQUAZIONI. Volume prim oI O 69 esercizi sulle disequazioni ed i sistemi di disequa­

zioni razionali, illustrati da schemi grafici.

n DISEQUAZIONE Volume secondo104 esercizi sulle disequazioni irrazionali, trascendenti,

a due variabili Disequazioni risolubili per via grafica Gli esercizi sono corredati di schemi grafici.I O EQUAZIONI OIFFERENZIAUI O 269 esercizi per acquisire la tecnica necessaria ad af­

frontare le equazioni differenziali nelle loro più svariate formeO f INTEGRALI CURVIUHEI E MULTIPLI£ I 129 esercizi per acquisire la capacità di impostare e ri­solvere gli integrali di linea, di campo, di superficie e di volume. Illustrati da 189 figure esplicative.4 4 METODI NUMERICI£ £ 24 problemi di FISICA e CHIMICA FISICA con applica­zioni di algebra matriciale, minimi quadrati, ottimizzazione di funzioni di più variabili, integrazione, risoluzione di equazioni qualsiasi. Interpolazione, cenni sul linguaggi FORTRAN e HPL. cenni sul linguaggio BASIC con esempi por ZX SPECTRUM4 4 VETTORI. Esercizi£ O 100 esercizi corredati di ligure per acquisire la necessa­ria padronanza sul vettori. Le applicazioni alia geometria ed alla meccanica hanno lo scopo di rendere lo studio dell'argomento meno astratto e più intuitivo4 A GEOMETRIA DIFFERENZIALE. E sercizi

69 esercizi per capire e calcolare: lunghezza di un arco, flessione, evoluta, torsione, triedro fondamentale, plani oscula­tore. normale e retlìlicante in un punto di una curva piana o sghemba assegnala in qualsiasi forma4 4 LE REAZIONI CHIMICHE. E sercizih O 92 esercizi svolti che mettono in grado di calcolare age­volmente: formule minime, formule brute, coefficienti stechiome­trici In reazioni acido-base e di ossidoriduzione, e di svolgere cal­coli sulle reazioni ponderali.

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Gioacchino ORECCHIA Salvatore SPAT ARO

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ESERCIZI

400 esercizi scelti in modo da condurre lo studentead un agevole calcolo di lim iti di funzioni

comunque complicate e di qualsiasi tipo.

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SIMBOLOGIA

SOVRASCRITTE:

an esponente di una potenza ey' derivata prima di una funzione.y" n seconda „ „ 1ty" ■i terza „ „ IIb+ si tende a b per valori maggio-

b"ri di b.si tende a b per valori minori

SIMBOLI:di b.

a circa uguale a.IJ valore assoluto o modulo

coincidente con.< minore di.> maggiore di.< minore o uguale a.> maggiore o uguale a.

diverso.->

/

itendence a (come limite), * segue, discende, divisione (es.: 3/7 S y).

/ radice.+ piO o meno.! fattoriale.

a passaggio al limite con la regola

codell'Hospital. infinito.

A (delta) discriminante dell'equa­zione di 2* grado.

e infinitesimo.X (lambda) parametro.K (pi-greco) = 3,14159.l (sigma) somma.are (in "arcsen" etc.) inverso.Ch coseno iperbolico.cos coseno.cosec cosecante.Cosech cosecante iperbolica.ctg cotangente.Cth cotangente iperbolica.e base dei logaritmi naturali o Nepe

riani > 2,71828.f funzione.g funzione.k costante.i limite finito.lim limite.log logaritmo naturale o in base e.lo8a logaritmo in base a.P.l Riferimento alla pubblicazione 1.see secante.Sech secante iperbolica.sen seno.Sh seno iperbolico.tg tangenteTh tangente iperbolica.X variabile indipendente.y variabile dipendente.

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INDICE

1 . 1 .-1.2.-1.3. -1.4. -

1.5. -1 . 6 . -1 . 7 . -1 . 8 . - 1.9.- 1 . 10- 1 . 11-

2.1.-

2.2.-

2.3. -

2.4. -

2.5. -

2.6. -

2.7. -

2.8. -

2.9.-2.10-

2.ll-

5.1. -3.2. -3.3. -3.4. -3.5. -

INTR0DUZI0NE pag. 1

1. RICHIAMI DI ALGEBRA, TRIGONOMETRIA CIRCOLARE E IPERBOLICA.Divisione tra polinomi interi. Regola di Ruffini e del resto. . „ 3Scomposizione di polinomi in fattori.......................... „ 7Potenze. Radicali. Razionalizzazione di espressioni irrazionali.. „ 8Formule di risoluzione dell'equazione di 2° grado. Scomposizionedel trinomio di 2° grado....................................... „ 10Logaritmi e loro proprietà..................................... „ 10Funzioni trigonometriche e relazioni tra esse........................ 11Relazioni tra archi associati e identità fondamentali................ 12Inverse delle funzioni trigonometriche........................ „ 15Funzioni iperboliche e relazioni tra esse..................... „ 17Relazioni di simmetria. Formule principali.................... „ 18Funzioni iperboliche inverse......................................... . 20

2. SIGNIFICATO DEL LIMITE.lim f(x) » l, con c ed i finiti.............................x-+- cInterpretazione geometrica di lim f(x) = i. con c ed t finiti.

x-*- cVerifica del lim f(x) - t con c ed l finiti..............

x-»- clim f(x) • « con c finito.............................. . . .x-*- cVerifica del lim f(x) - «° con c finito.....................

x-*- clim f(x) - t con t finito. Interpretazione geometrica. . . x-*- »lim f(x) ” «> . Interpretazione geometrica......................X-+ «>Verifica del lim f(x) ■ E con t finito o infinito..........

x-*- <“Esercizi proposti.................................................Calcolo del lim f(x) con c finito o infinito...............

x+ cEsercizi proposti.................................................

21

25

28

29

33

35

38

40

4652

56

3. FORME INDETERMINATE.Limiti di funzioni razionali fratte..............................Infinitesimi qd infiniti. Ordini.................................Limiti di funzioni irrazionali...................................

M Q QOCome ricondurre le forme indeterminate alla - o alla -. . . .u •Esercizi proposti.................................................

IlII

II

11

6164667174

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6. LIMITI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE.6.1. - Considerazioni generali.........................................6.2. - Due metodi di risoluzione delle forme indeterminate...........6.3. - Calcolo del limite per confronto tra infinitesimi o infiniti.6.6. - Esercizi proposti...............................................

5. REGOLA DI DE L'HOSPITAL.5.1. - Condizioni di applicabilità....................................5.2. - Interpretazione geometrica della regola di De L'Hospital. . . .5.3. - Considerazioni sulla regola di De L'Hospital..................5.6. - Esercizi proposti. . . .......................................

6. LIMITI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE.6.1. - Considerazioni generali......................................6.2. - Calcolo di limiti...............................................6.3. - Esercizi proposti...............................................

7. CALCOLO DI LIMITI MEDIANTE SVILUPPI IN SERIE.7.1. - Considerazioni generali.........................................7.2. - Esercizi proposti...............................................

8. LIMITI DI FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE.8.1. - Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche elementari. . .8.2. - Limiti delle funzioni (l+j)x c (l+x)^X ....................8.3. - Esercizi proposti............. ..................................

9. LIMITI DELLE FUNZIONI IPERBOLICHE.9.1. - Funzioni iperboliche dirette...................................9.2. - Funzioni iperboliche inverse...................................

10. ESERCIZI DI RIEPILOGO.......................................

APPENDICE.A.I.- Nozioni su intervalli e intorni..................................A.2.- Sviluppi in serie più ricorrenti.................................

pag. 80II 81M 85It 86

M 91It 92II 96II 95

II 98II 98II 101

II 106II 105

II 108II 110II 116

II 118II 120

II 122

11 131II 131

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INTRODUZIONE.

Si voglia calcolare l'area del cerchio di raggio r e centro 0 , partendodall’area del poligono regolare, ad esso circo* scritto, avente n lati.

Se si assumesse come area del cerchio quella del poligono di fig. 1 (esagono regolare), si commetterebbe un errore, per eccesso, costituito dall'area della zona punteggiata.

Certamente tale errore diminuisce tanto più, quanto più alimenta il numero dei lati del poligo no che si considera (vedi fig. 2).

Tale errore diventa praticamente nullo quando si considera un poligono avente un numero di la= ti infinitamente grande.

Vediamo allora come si può esprimere 1' area di un poligono avente n lati. Si consideri, ad esempio, il poligono di fig. I. La sua area è da

Fig. 1

Fig. 2ta da n volte l'area del triangolo isoscele Ac

Area(AOB) AB«OH con

. Si ha: OH = r , AB = 2HB

Dalla trigonometria, per definizione, I:

tg(HÓB) =-g|- HB = ÒH-tg(HCB).

Dato che la misura dell'angolo giro, in radianti, è 2tr, è anche:

HOB = J(^) TTn

. Tfr-tg-Pertanto: HB

e quindi: Area(AOB) - 2

L'area del poligono di n lati è allora:

é_. 2*HB*0H _ 2r*t65 ‘r 9 . ir— s -------- = rz*ta-*«5

Ap = nr2-tg* ( 1)

L'area Ac del cerchio cercata è il valore assunto dall'espressione (1) quando n diventa indefinitamente grande (si suol dire: quando n tende all'infinito). Simbolicamente si scrive:

A „ lim nr2*tg^ n-*- +®

Tutto sta, quindi, nel saper risolvere questa espressione.1

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Quando saremo in grado di farlo, si vedrà che:

lim nr2«tg^ = nr2. n->- +■

Cioè l'area del cerchio di raggio r è irr2 , come è noto dalla geometria elemen tare.

Si è voluto far vedere un esempio di applicazione del concetto di limite alla geometria. Si potrebbero fare vedere applicazioni in altri campi della scienza, ma pensiamo che l'esempio scelto renda l'idea dell'importanza che ha l’operatore limite, il quale è alla base del calcolo infinitesimale.

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1. RICHIAMI DI ALGEBRA, TRIGONOMETRIA CIRCOLARE ED IPERBOLICA.

1.1.- DIVISIONE TRA POLINOMI INTERI. REGOLA DI RUFFINI E DEL RESTO.Dividendo il numero 20 (dividendo) per 6 (divisore), si ottiene il quoziente

3 ed il resto 2. Si sa ohe questi quattro numeri sono legati dalla relazione:dividendo = divisore x quoziente + resto , infatti: 20 = 6«3+2.

Un'analoga relazione sussiste nel caso dei polinomi. Infatti I corretta la re, lazione (uguaglianza) seguente:

x3-2x2+5x-3 = (x2-x+l)(x-l)+3x-2 (1) ‘(lo studente provi a sviluppare il 2° membro, troverà così il 1° membro).

Nel caso della divisione 25:5 = 5 , il resto é zero e si può scrivere I due numeri sono divisibili l'uno per l'altro. Così per la divisione:

x 3_2x 2+1+x-3 2 -,--- ^ --- = x2-x+3

25 = 5-5

( 2)

il resto e zero, i due polinomi sono divisibili e si può scrivere: x 3_2x2+1ìx-3 = (x-l) (x2-x+3 ). (3)

Capiterà spesso allo studente di dovere effettuare divisioni tra due polinomi e di dovere scrivere relazioni del tipo l), 2), 3). Ciò avverrà principalmente quando dovrà integrare funzioni razionali fratte, oppure calcolare il limite di funzioni razionali fratte, oppure scomporre polinomi in prodotto di fattori. Per_ tanto è necessario sapere dividere due polinomi. Tale divisione verrà eseguita tutte le volte che il grado del dividendo é maggiore o uguale a quello del divi= sore, così come, per ottenere un quoziente intero, la divisione tra due numeri si effettua quando il dividendo è maggiore o uguale al divisore.

Esempi :27Tv- : si esegue: quoziente intero 2, resto 3;i l .33 '

x2-5x+6 x-2

x2-5x+6x3-l

non si esegue;

: si esegue: quoziente

: non si esegue.

x-3, resto zero;

Come si effettua la divisione tra due polinomi? Consideriamo l'esempio checonduce alla (l). Lo studente curi che il dividendo ed il divisore siano ordi=

x3 -2x2 +5x -31 x2-x+l nati secondo le potenze decrescenti di x.3 2 ------- Indi si dividano i due monomi di grado mag=

— z— +lix -3 X giore, ottenendo x3/x2 = x. Si sottragga,J quindi, dal dividendo-il divisore moltipli=

cato per x. Si assuma adesso come dividendo la differenza, e si ripeta la stes= sa operazione. Cioè:

-x2 +itx -3 I x2-x+l +x2 - x +1 I -I = 3x -2

do inferiore a quello del divisore, In definitiva il quoziente è x-l Adesso che il meccanismo è chiaro

più divisioni:

La divisione tra i monomi di grado massimo dà -x2/x2 = -1. La differenza tra il divi= dendo ed il divisore moltiplicato per -1 dà resto 3x-2. Poiché questo resto ha gra=

l'operazione finisce qui., il resto è 3x-2., eseguiamo 1'operazione senza spezzarla in

3

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x3 -2x2 +5x -3 x2-x+l-x3 + X2 - X X-l""= - x2 +lfx -3

+ x2 - X +1= 3x -2

Si puS quindi scrivere: -x3-2x2+5x-3 = (x2-x+l)(x-l)+3x-2.Dividendo 1° e 2° membro di.questa uguaglianza per x2-x+l si ottiene un mo

do di esprimere il rapporto tra due polinomi di fondamentale importanza per il calcolo di integrali di funzioni razionali fratte:

x3-2x2+5x~3 x2—x+1 = x-l + 3x-2

>c2-x+l w

Così, eseguendo una certa operazione (ad es. l'integrazione) sul 2° membro, si ottiene lo stesso risultato che si otterrebbe eseguendo l'operazione sul bro. Ciò faciliterà molto i calcoli nel seguito.

mem

Altro esempio. Come si può scrivere il rapporto Eseguiamo la divisione:

x3 -2x2 +Ux -3 I x-l

x3-2x2+tix-3x-l

+ x *= - x2 +Ux -3

+ Tf2 - K

,2.•x+3

3x -3 -3x +3

Quoziente: hesto: ,

x2-x+3zero

Si può scrivere: ì2-x+3 (5)x3-2x2+bx-3 x-l

Questo allora è il modo di eseguire la divisione tra due polinomi qualsiasi, purché il grado del numeratore sia maggiore 0 uguale a quello del denominatore.

A(x) R(x )In generale: = Q(x)+' -gygy . Ciò« il rapporto tra due polinomi é ugualeal quoziente più il resto fratto il divisore, come nella (U).

Un caso capiterà molto spesso: il caso in cui il denominatore (divisore) sia di 1° grado, cioè un polinomio del tipo:

TIPO a b dc dPOLINOMIO x-p x+p qx-p qx+pESEMPIO x-2 x+3 2x-l 3x+2

La divisione può essere eseguita esattamente come prima. Ma in ognuno di que= sti quattro casi, è preferibile applicare una regola pratica che conduce veloce= mente al quoziente. E' questa la regola di Ruffini. Tale regola si basa sulle se_ guenti considerazioni: se nell'espressione

A(x) _ -, v , R x)B(x) " bIxT .

è n il grado del numeratore A(x) ed m quello del denominatore B(x) , n-m è il grado del quoziente Q(x), mentre il grado del resto è sicuramente inferio= re ad m, altrimenti la divisione sarebbe andata avanti.

Cosicché, se il grado del denominatore è m = 1 (tipi a, b, c, d), quello del quoziente è n-1, e quello del resto è zero (cioè il resto è un numero o una espressione indipendente da x).

x3+2x2-5x-U _ ? . . s----^ 2 ---- = PX2+qx+r+ 1F 2- •Consideriamo un esempio relativo al caso a):

4

Page 12: Limiti, guida

La regola di Ruffini fornisce i coefficienti p, q, r ed il resto s, quindi ci fornisce il secondo membro per intero. Lo schema da seguire è questo:

l) Si allineano i coefficienti del numeratore mettendo uno zero al posto del. le potenze di x eventualmente mancanti, e si isola l'ultimo:

-5 -li

2) Si determina il valore che annulla il divisore (x=2) e si pone alla sini= stra dello schema. Quindi si riscrive il primo coefficiente (l) in basso:

-5 -li Si ha p = 1 (sempre uguale al 1° coe£ficiente).

3) Si moltiplica il valore che annulla il divisore (x=2) per p (l° coeffi= ciente)e si somma il risultato al 2° coefficiente (2):

-it2 -51*2 Si ha q = U

U) Si moltiplica il valore che annulla il divisore (x=2) per q=h e si som= ma il risultato al 3° coefficiente (-5):

Si ha r = 321 2 - 5

1-2 2 'h-li

~ 1 7U 35) Si moltiplica il valore che annulla il divisore (x=2) per r=3 e si som=

ma il risultato al U° coefficiente (-U):2 -5

1*2 2 ‘ h- k2-3 Si ha s = 2 (resto)

Pertanto: x +^x_g X ** = x 2+1ìx+3 + xfg •Per applicare la regola di Ruffini è sufficiente, in definitiva, costruire il

seguente quadro che fornisce immediatamente i valori di p, q, r, s:

21 2 - 5

2 8-li6

1 1* 3 2Vediamo degli esempi relativi ai quattro tipi a, b, c, d, con:

resto = zero I resto # zero(i due polinomi sono divisibili) | (i due polinomi non sono divisibili)

Tipo a2x3-x2+3x-l _-x3+x2+l8

x-3

3- 1 1 0

-3 -618-18 1

2 - 1 3 2 1

H -tf 1

-1 -2 -6 0 2 1 li 3Quindi :

-x3+x2+l8x-3 = -x2-2x-6

x-1

2x3+x2-3x-2x+1

Quindi :aclzi!±3xil = 2 x 2 + x + i , + _ X

x-1 X-lTipo b

-3x‘*-2xz+x x+2

5

Page 13: Limiti, guida

Quindi :

x+1Per i tipi c, d

denominatore per q.

2 1 - 3 •*2 - 3 0 - 2 1 0-1 -2 1 2 -2 6 -12 28 -58

2 -1 - 2 1 0Quindi :

-3 6 -Il 29 -58

-2 = 2x2-x-2 -3x1,-2x2+x = -3x3+6x2-llx+29 58x+2

si procede allo stesso modo dopo aver diviso numeratore Anche l'eventuale resto risulta diviso per q.

8x3-272x-3

Quindi :8x 3-272x-3

Tipo cW - 2L x 2 3x2+2x -3 x2 + fx-1

3 • . • • 3x-2 2X 2 X 31 0 0 -27/2 1 2/3 -1

3/2 6 9 27/2 2/3 2/3 8/9\t t t 9 0 1 1/3 -1/9

= lx2+6x+9Resto effettivo: - ^ ‘3 = - j

3x2+2x-3 = 1 _ 1/3 _ k ,3x-2 x 3 3x-2 ' 3.

Tipo dx3+2x2-sx-1 2x3+1x2 - x - 2 1x2+1x+2 2xz+2x+l

5 X+l x+2 .... 2x+l X+52 1 -1 -2 2 2 1

-2 -1 0 2 1 -1 1”22 0-1 0 2 1 5

Quindi : Resto effettivo: 2 ' ! = 1x 3+2x2-sx-1 lx2+lx+2 1

jx+1 - ¿X i 2x+l 2x+l

__3x-2

Gli esempi relativi alla prima colonna ci dicono che quando un polinomio è di_ visibile per un binomio di 1° grado, il quoziente è un polinomio intero. Cioè, in ognuno dei quattro casi, l'espressione generale

a mB(x) Q(x) oppure A(x) B(x)*Q(x )

A(x) = (x-p)-Q(x) a) A(x) = (x+p)*Q(x) b)A(x) = (qx-p)*Q(x) c) A(x) = (qx+p)*Q(x) d) ( é )

Le (6), così come sono scritte, sono delle identità, cioè uguaglianze verificate per qualunque valore di x. Valori particolari che sono utili al fine di scomporr re in fattori un polinomio A{x) sono:

x—p per cui la 6a diventa: A(p) = (p-p)*Q(p) = 0x=-p 6b A(-p) = (-p+p)‘Q(-p) = 0x= £<1 IT 6c „ A(-J) = (q-J -p)‘Q(|) = 0x - £q m 6d „ A(--f) = (-*■£ +p) •*<--£) = 0SL 4.

Quindi, se un polinomio si annulla per :

x = p x = -p x = p/q x = -p/q

esso è divisibile per:'x-p x+p

' 4X"P qx+p6

Page 14: Limiti, guida

1.2.- SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI IN FATTORI.Riportiamo nella seguente tabella la scomposizione di alcuni particolari tipi

di polinomi, TAB..2.1TIPO SCOMPOSIZIONE ESEMPIO

x2-a2 (x+a)(x-a) Ux2-1 = (2x+l)(2x-l)

a2x2±2abx+b2 (ax±b)2 x2±x+ jj- = (x±£)2

x3+3ax2+3a2x±a3 (x±a)3 8x3±12x2+6x±l = (2x+l)3

x3+a3 (x+a)(x2-ax+a2) 27x 3+8 = (3x+2)(9x 2-6x+U)x3-a3 (x-a)(x2+ax+a2) 8x 3-l = (2x-l) ( ltx2+2x+l)

fn pari ( x K a 2n)(xén-a2n) xu-l6 = (x2+U)(x2-U) =n n l x -a iIn dispari (x-a)(xn "+axn ^+a2xn ^+...)

= (x2+U)(x+2)(x-2) x5-l = (x-1)(x4+x3+x2+x+l)

n n in pari x +a <In dispari

non é divisibile per x±a

(x+a)(xn '*'-axn ^+a2xn ^-...) x5+l = (x+l) (x1(-x3+x2-x+l)

Quando il polinomio non si presenta in alcuna di queste forme è necessario ri_ correre ad altri metodi:

a) Raccoglimento a fattor comune totale.Esempio: 5x3-10x2+20x = 5x(x2-2x+Mb) Raccoglimento a fattor comune parziale.Esempio: 2x‘*-*tx3+x-2 = 2x3 (x-2) +(x-2) = (2x3+l)(x-2)c) Scomposizione mediante applicazione del criterio di divisibilità per un bi.

nomio di 1° grado. Si applicano, cioè, le (6) del paragrafo precedente. Per questo però occorre trovare dei valori di x che annullino A(x). Ebbene:

dato il polinomio A(x) = x**-x3-x2-x-2 , se ammette valori di x razionali che l'annullano, questi sono da ricercare tra i divisori del termine noto: ±1, ±2.

A(l) = 1-1-1-1-2 = -li / 0A(-l) = 1+1-1+1-2 = 0 : si annulla per x=-l , è quindi divisibile per A{2) = l6-8-lt-2-2 = 0 : si annulla per x=2 , è quindi divisibile per A(-2) = l6+8-li+2-2 = 20 ^ 0

A ( x )Con Ruffini si trovano i coefficienti del quoziente di . :

x+1x-2

-1-1-1-22

-1210

-1-1-22

-22

Il primo quoziente si annulla per Si applica allora ancora Ruffini.

x=2.1 quoz.

2° quoz.Infine :Poiché xz+l nel campo reale non è scomponibile, il risultato è quello trovato.

x'*-x 3-x2-x-2 = (x+1)(x-2)(x2+l) .

Tutto ciò vale quando il 1° coefficiente del polinomio A(x) è uno. Se così non fosse bisognerebbe procedere nel seguente modo:

A(x) = 2x 3+3x2-11x-6Si scrivono i divisori del termine noto (-6) e quelli del 1° coefficiente (2).

7

Page 15: Limiti, guida

Divisori del termine noto : ±1, ±2, +3 » ±6Divisori del 1° coefficiente: ±1» ±2

Se esistono valori razionali che annullano A(x), essi sono da ricercare fra i rapporti di ogni divisore del termine noto con ogni divisore del 1° coefficien= te, cioè: +1, ± ì , +2, ±3, ± f, ±6.Per individuare i valori di x che annullano A(x) si calcola:

A(l) = 2+3-11-6 = -12 / 0 A(-l) = -2+3+11-6 = 6 / 0A(—5 ) = 2(-3)3+3(-s)2-llH)-6 = - ^ + ^ + i|-6

A(x) è divisibile quindi per x+j. Si trova il quoziente:

-ì2 3

-1-11 - 1

-66

2 2 -12 = Q(x) = 2x2+2x-12

0

2(x2+x-6)Allora: 2x3+3x2-llx-6 = 2(x+J)(x2+x-6) = (2x+l)(x2+x-6).Si cerca infine di scomporre x2+x-6, applicando la formula di scomposizione del trinomio di 2° grado (Cfr. § l.L): ax2+bx+c = a(x-Xj ) (x-x2) ove Xj e x2sono gli zeri del trinomio. Nel nostro caso si ha: Xj = -3 e x2 = 2. Pertanto

2x 3+3x2-11x-6 = (2x+l)(x-2)(x+3)•I valori di Xj e x2 si possono trovare proseguendo col calcolo di A(2) e di A(-3), oppure, meglio ancora, risolvendo l'equazione di 2° grado x2+x-6 = 0.

1.3.- POTENZE. RADICALI. RAZIONALIZZAZIONE DI ESPRESSIONI IRRAZIONALI.Scrivendo an si intende una potenza con base (a) positiva ed esponente (n)

reale. Tali potenze godono delle seguenti proprietà:

PROPRIETÀ' ESEMPIn m n+m a *a = a 23»25 = 28n ra n-m J ì J z J ì - f ia :a = a 2 :2 - 2-n /1,n a = (X ) , 1 ) W 3 , ,-T-l

an*bn = (a*b)n 2^*5* = IO5a11: li1 = (a:b)n 23:53 = (f)3/ rum n»m (a ) = a ( 3 ^ , ^ . ^

Inoltre, per definizione, è: n/a = a"^n con n > 0 intero. Ne segue che:= am^n con n > 0 , m è 0 interi.

Poiché un radicale (°) non è altro che una potenza con base positiva ed esponen, te razionale, valgono ancora le proprietà delle potenze della TAB. 3-1. Esempio:

t i f a * 2J-23 A = 25 A = 2>2

(°) Per maggiori dettagli sui radicali cfr. P.U, § 1.6.

1 i

Page 16: Limiti, guida

Capita spesso di dover razionalizzare un'espressione irrazionale. Si conside=. . . / x - ì +2ri ad esempio l'espressione irrazionale: . Quando si parla di raziona=

lizzazione si intende razionalizzarne o il numeratore o il denominatore, poiché, se l'espressione è irrazionale, essa non può, in alcun modo, essere resa raziona le. Così se dell'espressione data si vuol rendere razionale il denominatore, ba= sta moltiplicare numeratore e denominatore per /x-1 +1 :

/x-1+2 _ /x-1+2 /x-1+1 _ x-1+3/x-1+2 _ x+3/x-1+1 /x-1-1 /x-1-1 /x-1+1 ( /x-l)2-l x-2

Se si volesse razionalizzare il numeratore basterebbe moltiplicare numeratore e denominatore per /x-1-2 :

/x-1+2 _ /x-1+2 /x-1-2 _ (/x-l)2-U _ x-5/x=I-l ” JiPL-2 " x-l-3/x-l+2 = x-3/jFI+l

L'espressione per cui si deve moltiplicare numeratore e denominatore si chia= ma fattore razionalizzante. Nella seguente tabella viene indicato, per ogni e= spressione da razionalizzare, il corrispondente fattore razionalizzante.

TAB. 3.2ESPRESSIONEIRRAZIONALE

FATTORERAZIONALIZZANTE ESEMPI DI RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE

/x

a/x

n/gn

a-n/x®’

/x+c

/x±/c

a/x+b/c

3r - %r~ /xii'a

/x±a

/x+/a+/b

/x+/a+/b+/c

/x

&

n/xfFm

n/ x ^

/x*c

/x^/c

a/x+b/c

/x^* /ax+ /a?”

____ /x^a/x+a2 /x"+a3

/x+/a-/b

( /x+/a)-( /b+/c")

-A-_ J, K . /3 /3 " /3’/3 ' T_2_____3 /f , =-2/3 " 273’/3 2-3 “ 21/3

3_ 3_1 1 / 3 / 3/$* " ^ 31 __ 1 fe5 _

2/Ì” 2>2*!^ ' 142 2 /3+1

/3 -1 " /T -l’/3+l " /3+1

/5+/2 ' T f v T / i6 6 3/2-2/T r- ^

3V2+2V3 ‘ 3/2+2/3 ‘3 ^ 2 7 ^ “ 3/§-2/3& 8 /36+/12+/C" _ 3-_ 3—

3_ 3_ 3 3_-SL 3.__ 3_ = 2/U(/9+/3+l)/S-/2 /S-/2 /5S+/Ì2+/IT11 . 11 /l25-2/5+ii)s-8 - . ir_ — 1r — = 8-11/5+2/5-/125/5+2 /5+2 /I25-2 /5+l* 1/5-8

La razionalizzazione delle ultime due espressioni va fatta in due tempi, in= fatti i fattori razionalizzanti indicati riconducono l'espressione ad una delle forme precedenti. Ad esempio:

/g+rft+rfr /2+/g+/3~ (2-/2)-/J 2/2+2/g+2/3-2-2/3-/ -/?-?/p-? -/2-2-Z2+/3 " (2-/2)+/3 ( 2- / 2 ) - / l “ ( 2- / 2 ) 2-3 = 3-U/2 =

9

Page 17: Limiti, guida

-✓2-5 3+U¿2 -(3»/2+15+8+2(y2) _ 23/2+23 _ /*•.,9-32 23

1.4.- FORMULE DI RISOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DI 2° GRADO.SCOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO DI 2° GRADO.

Data l'equazione di 2° grado ax2+bx+c = 0, dette Xj e Xj le sue radici, si possono verificare i seguenti tre casi:

a) 4 - b2-kac >0 ■+ xj e xj reali e distinteb) 4 = b2-4ac = 0 -* xj e X2 reali coincidentic) 4 = b2-iiac <0 ■* xj e X2 complesse coniugate.

Le radici dell'equazione sono date da:-b±/b2-4ac

X = 2a ;a,b,o qualsiasi

L'espressione '(Jb)2-ac

x _ -gb+/(gb)^-aca ;

per b parisi indica con perchè

($b)2-ac = -j-(b2-Uac) = .

x = -Jb±/(jb)2-c per b pari e a=l

in effetti è:

4

Nel caso in cui a=l con b pari, si ha: jj- = (Jb)2-c.Dovendo scomporre in fattori il trinomio di 2° grado ax2+bx+c, si calcola il dell'equazione che si ottiene uguagliandolo a zero. Si ha:a) 4 > 0b) 4 = 0

c) 4 < 0

•* ax2+bx+c = a(x-xj Mx-xj)■* ax2+bx+c = a(x-xj)'» con xj- - '¿2 ~ e Quindi:

h 1ax2+bx+c = a(x+ ^ )2 = ¡^(2ax+b)2-*• Poiché l'equazione non ammette radici reali, il trinomio non

è scomponibile nel campo reale.

1.5.- LOGARITMI E LORO PROPRIETÀ'. (°)Per definizione le due scritture ax = b (l) , x = logab (2), sono equivalen

ti. Come visto al § 1.3, nella (1) deve essere a > 0 , quindi, per qualsiasi x, ne segue b > 0. Dovendo essere la (1) e la (2) equivalenti, anche per la (2) deve essere a > 0 e b > 0. Se ne deduce che:

il logaritmo in base a (positiva) è l'esponente x (qualsiasi) da dare ad a per ottenere l’argomento b (positivo).

Scrivere, ad esempio, y = log5(x-l) comporta la limitazione x-1 > O ■* x>l. Se poi si vuole che ad x si diano valori qualsiasi, è necessario scrivere:

y = log5|x-l| con x / 1.In generale la scrittura y = log|f(x)| comporta l'unica limitazione che la

x non assuma valori che rendano nulla la f(x), infatti il modulo (00) di f(x) ci assicura della positività dell'argomento per qualsiasi x per cui f(x) è de finita e non nulla.

Se poi si volesse togliere il modulo, basterebbe imporre le dovute limitazio=ni :

y = log|f(x) __■logf(x) per f(x) > 0' log(—f(x)} per f(x) < 0

(°) Pei maggiori dettagli sui logaritmi cfr. P .ll, §§ 1.14, 5.4. <°°) Per maggiori dettagli sul modulo cfr. P.l I . § 1.6.

10

É

Page 18: Limiti, guida

Esempio:log|x2-L| log(x2-lt) per x < -2 e x > 2

log(L-x2) per -2 < x < 2I logaritmi più frequentemente adoperati sono quelli in base 10 che si dico

no volgari o di Briggs e si indicano con Log, e quelli in base e che si dico“ no naturali o neperiani e si indicano con log.

Nella seguente tabella si riportano alcune fondamentali proprietà dei logarit. mi. Si ponga l'attenzione sul fatto che tali proprietà valgono qualunque sia la base ed in entrambi i sensi.

TAB. 5.1loga+logb = log(a*b) log|f(x)|+log|g(x)I = log|f(x)»g(x)Iloga-logb * log ^ !og|f(x) |-l0g|g(x) I = log lg x "lnloga = Ioga11

*•.» - i U rnlog|f(x)| = < ^ ° gi ^ X H n Per n ^ Ì ■ 1 1 log|f(x)|n per n dispari

1.6.- FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E RELAZIONI TRA ESSE.Sia a un qualsiasi -angolo. Si stabilisce che esso

è positivo se descritto dalla rotazione in senso anti= orario della retta t. Questa forma l'angolo di ampiez^ za nulla quando è sovrapposta all'asse x. Sia P un punto di t e si indichi con r (positivo) la sua di= stanza da 0. Per definizione è:

sena = ^ ; r *Xcosa = - ; t6a = X

r rseca = — ;Xx Xcoseca = — ;

yctga = —

yNell'ipotesi in cui r sia unitario, le

sena - y ; cosa = x ; tga =

coseca II«;

it-* seca = — -, x ’ ctga =

sei relazioni precedenti diventano:J£xxy

Tra le sei funzioni sussistono quindi le relazioni:sena 1 1— — — ; coseca = ---- ; seca = ----cosa sena cosatga sena

sen2a+cos2a

ctga tga

Le sei in cui si

funzioni goniometriche assumono segni diversi a seconda del quadrante trova il punto P (cioè a seconda dell'ampiezza dell'angolo a):

QUADRANTE sena cosa tga coseca seca ctgaprimo + + + + + +

secondo + - - + - -terzo - - + - - +

quarto - + - - + -

TAB. 6.1

Nella tabella di pagina seguente sono indicati i valori entro cui possono va“ riare le sei funzioni in relazione alla posizione del punto P nei singoli qua= drenti.

11

Page 19: Limiti, guida

1

TAB. 6.2QUADRANTE sena cosa tga coseca seca ctga

primo o - i 1 - 0 o -+ +« +°° -*• 1 1 -► +® ■Ho — 0

secondo 1 - 0 0 - -1 •O» •+ 0 1 -* +« —oc 0 - —®

terzo 0 - -1 - 1 - 0 o ■* +« —OD •+ —1 -ì -► —» +OD -¥ 0

quarto - 1 - 0 0 - 1 -OD -► 0 -l —00 +00 -+• 1 81tO

In definitiva si ha: -1 < sena < 1 -od < tga < +“

-0« < ctga < +°°-1 <_ cosa f_ 1

ì-od < coseca <_ -1 < seca 1 “1\ 1 <_ coseca < +* ’ 1 1 < seca < +®

Tra le funzioni trigonometriche esistono delle relazioni mediante le quali si puè esprimerne una in funzione delle altre:

TAB « 6 * 3

sena cosa .tga coseca seca ctga

sena sena tea i ±/sec:-a-l . \ ___+/l-cos/a ±/l+tg2a coseca seca ±/etg‘;a+l

cosa cosa 1 + /cosec-a-l i ctgaivl-sen'-a •iA+tg'-a coseca seca i>ctg2a+l

tga ±/l-sen;;a.^A-go^g

cosa * Sì > A.i/cosec^a-l ±/secza-l ctga

coseca 1sena i/l-cos^'a

±/l+tg2atga coseca ^eca _

±/sec2a-l ±/ctg-:a+l

seca i ±/l+tg-a ccseca seca t/etg^a+l±/l-ser.''a cosa ±>'eosec-:a-l ctga

ctga ±/l-sen2ai/l-cos'a

1 ±/cosec’a-l i ctgasena tga ±/secza-l

Il segno (+) o (-) dipende dalla posizione del puntò P (1°, 2 ° , 3°. k° quadrai»“ te), cioè dall'ampiezza dell'angolo a.

1.7.- RELAZIONI TRA ARCHI ASSOCIATI E IDENTITÀ' FONDAMENTALI.Conoscendo le funzioni trigonometriche di un angolo (o arco) a, è possibile

conoscere le funzioni TAB. 7.1trigonometriche degli angoli associati ad a:-a, jn+a, irta, 3n/2±a,2ir±a.

Nella tabella qui a fianco sono raccolte tutte le formule con le quali è possibile ricondurre le funzioni trigonometriche di eia scuno di questi archi associati a quelle del, l ’arco a.

ARCHI sen cos tg cosec sec ctg-a -sena cosa -tga -coseca seca -ctga

Jir-a cosa sena ctga seca coseca tgaJir+a cosa -sena -ctga seca -coseca -tgaiT-a sena -cosa -tga coseca -seca -ctgajr+a -sena -cosa tga -coseca -seca ctga

3rr/2-a -cosa -sena ctga -seca -coseca tga3v/2+a -cosa sena -Ctga -seca coseca -tga2n-a -sena cosa -tga -coseca seca -ctga2rr+a sena cosa tga coseca seca ctga

12b

Page 20: Limiti, guida

Vediamo l'uso della tabella mediante un esempio. Si verifichi che la funzionex --- senx--- g invariante rispetto alla trasformazione di x in ir+x.' senx+cosx

sentir+x)_____ -senx -senx senxsen(tt+x)+cos(tr+x) * -senx-cosx ~ -(senx+cosx) * senx+cosx ” y

Si è pervenuti al risultato riconducendo mediante la quinta riga della TAB. 7 -li le funzioni di ir+x a quelle di x.

Il risultato ci mostra che la funzione y non varia sostituendo ir+x ad x.Trattiamo adesso le identità fondamentali. Il primo problema che ci si póne è

quello di esprimere le funzioni trigonometriche dell'angolo a±B conoscendo le •funzioni di a e di 8. Il problema è risolto mediante le:

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE.sen(a+6) = senacosB+cosasenB cos(a+8) = cosacosB-senasenB

««<■*«> - i S i r

sen(a-B)cos(a-B)tg(o-B)

ctg(a-B)

senacosB-cosasenB cosacosB+senasenB tga-tgB1+tgatgBctgactgB+1ctgB-ctga

Si possono pòi esprimere le funzioni trigonometriche di un angolo mediante le funzioni della sua metà con le:

FORMULE DI DUPLICAZIONE E PARAMETRICHE.

sen2a = ■'2senacosa2tga quindi : sexia - -

'2senio*cosia 2tgja • 2t con = tgia[ i n ? 5 l+tg*ja l+t2

cos2a - •

■cos2a-sen2a2cos2a-ll-2sen2al-tg2a

quindi : coso = -

’cos25a-sen23a 2cos2ia-l l-2sen2Jn l-tg2sa _ 1-t2 con t = tgia,l+tgza l+tgzJa 1+t2

tg2a = 2tga quindi : tga = 2tgìa 2t con = tgjal-tg2a 1-t? eoi 1-t2

ctg2a = ctg2a-l2ctga quindi : ctga = Ct(Z25U-l 1-t2

2ctgja 2t con t = tgia

I prodotti tra le funzioni trigonometriche di angoli a e B si possono espri_ mere in somme algebriche mediante le:

FORMULE DI WERNER.senasenB * i{cos(a -B )-cos(a+ 6)} cosacosB * J{cos(a+B)+cos(a-B)) senacosB x i{sen(o+B )+sen(a-B)) cosasene ■ J{sen(a+B )-sen(a-6)}

Mentre le somme algebriche tra funzioni trigonometriche di angoli a e 6 si possono esprimere in prodotti mediante le:

FORMULE DI PROSTAFERESI._ a+6 a-6 « « a+6 a-Bsena+senB ■ 2sen-^— cos-^- sena-senB ■ 2cos-g- sen-g-

a+6 a—6 A ~ a+6 a-6cosa+cosB * 2cos-g— cos-g- cosa-cosB *-2sen-g- sen-^—

Page 21: Limiti, guida

X

y » arecosecx

y ■ *eex y ■ eosecx

Page 22: Limiti, guida

tga +tgB -

ctga+ctgB =

sen(a+B)cosacosB3en(a+B)senasenB

tga -tgB. =

ctga-ctgB =

sen(a-B) cosacosB sen(B-a) senasenB

Mediante le funzioni trigonometriche di funzioni di È® con le:

FORMULE DI BISEZIONE.. /1-cosa s e n --- ----I -*/3

a . / c°3 j * V '

« ! ■ * / i

ctg

1+cosa

1+cosa1+cosa

cosa

a possono anche essere espresse le

20 1-cosa = -- ?---

* 22 .

2

1+cosa

tg

ctg

2a _ 1-cosa 1+cosa

2a _ 1+cosa 1-cosa

Queste identità sussistono .ugualmente raddoppiando, triplicando, ete., gli ar gomenti delle funzioni trigonometriche in ambo i membri. Così, ad esempio, si ha

sen2a coserà ottenuta quadruplicando gli argomenti.

1.8.- INVERSE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. (°)Dai grafici delle funzioni trigonometriche inverse, riprodotti nella pagina

precedente, si possono rilevare le variazioni delle sei funzioni e del loro argc> mento :

y = arcsenx con -i < X < 1 e -jit 1 y < h

y = arccosx con -i < X < 1 e 0 £ y < .ITy = arctgx con —co < X < +00 e -JlT < y < Ìtì

r-» < X < -1 e — 5 IT £ y < 0y arccosecx con { i < X < +00 e 0 < y < h

f-“ < x < -1 e Jtr < y < ITy — arcsecx con 0 11 1 < X < +00 e £ y < 5TTy = arcctgx con —00 < X < + C O e 0 < y < ir

Entro questi intervalli sussistono delle relazioni tra le funzioni trigonome“ triche inverse, che possono essere utili sia per il calcolo di integrali che per l'eventuale studio di una funzione di questo tipo. Tali relazioni sono elencate nella TAB. 8.1, ove si è posto:

x = a ; /l-x2 = b ; /1+x2 = c ; /xz-l = d

(°) Per ulteriori dettagli tulle funzioni inverse in generale e sulle trigonometriche inverse in particolare, cfr. P2 , §§ 1.17,1.18.

15

Page 23: Limiti, guida

TAB

i= t=i= »= r-KM t= roteo+ e-ICM I + + t= £ + +ri rltM + f_ _ "x. X—X x~x X—X x-x + r-x X-X xX*Xri x-x ri ri ri ri t= X—X ri ri ri_ . . —.. r-KM ri o "-X 'X. \ rl(M X-X ri XwX \ XX

ri ri ri + t—i ri p ri + ri ri o ri pa> V P rico ri ri M bO tí tí co ri XX x-x CO ü *X-X bù05 o o t£) t£. o <U tfi P P ri ri ri o bù bù bù o ri bO PP P ri co P ri ri co co ri P p P ri co P rio ri ri ri ri ri ri ri ri ri o o ri ri ü ri rig G G G G G G il G G G G G G G G G Gri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri 3 ri ri ri ri

(0 ri 1 1bO bùpt= ü i= t=t= * ü r-KM r-KM+ *-IOJ X—» «-KV G + t= ++ ri ri r-KM i=\ + +ri ri ü t= ri ri o ü t= x-x ri ri rir—KM \ o ■N \ r-KM x-X ri X_X •"x XX \ri ri ri ri ri + rH ri rH ri + ri "x* ri ri ri PA -wx XwX a> -w* SK x_x A Xw* r-r Xw" p ri XwX 1 •x-x

G co co ri ri tß bO c tí (0 ri XwX x co ri ■XwX bù<D O o bù bO O cu P p ri ri ri ri bo td bù o ri bù pCO ri ri P p ri co P ri ri co co ri P P p ri co p riri ri ri ri ri ri « ri ri ri ri ri ri ü ri ri ri ri ri riG G G G G G G G G G G G h h G G G G hri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri1 ri 3 ri ri ri ri ri riI riii= t=+ e-lfM +t= + i=r-ICVi É= r-KM t= .—.. + t= ---X 1= ++ + + + P i—KMX—X 'd +t= + rio t= , -x r-KM s ri P o ri ri ri X—■X •d+ + + p ri \ ■'■— *= ri xx xx riV ■x. o p ri V TÍ H + ri ri o pri •xw- p Xw» P ri P ri XwX X x x_x <u ri ri x_x XwXri G G G (0 (0 X_x co ü bO ri tí co 'd co co co o bùri ri ri ri o bù bù o ri P ri <> bO 0 O O ri pCO CO co ri ri p p ri co ri co ri P ri ri ri co riri ri ri ri ri ri ri ri ü ri ri ri ri ri ri ri o riH G g g G G G G G G G II G G G G G G G Gri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri 3 ri ri0] 1 ri 1CO riO a»o co 1=o ri r-KMu t= t= G +3 e—*<M É= r-KM ri t= --—X

+ + + P KM X—X 'd +é t= + riO r-l(M .x-x 1-KM ,-x. ri P o ri ri ri X—X 'Ù+ ri + P ri XwX •x. s, ri XX XX ri "X.A x ri ri A TJ P ri ri ri pP P ri P ri •V_X •w x_x <D ri ri •X—x XwXri c G G CO CO x_x* co ri bO ri tí co 'd CO co co ri bù<3 J ri ri ri Ü bù bù ü ri P ri o o o O ri Pco co co ri ri P P ri co ri co ri p ri o ri co riri ri ri ri ri ri ü ü ri ri ri ri o o o ri riG G G G G G G G G G G G G G G G G Grii ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri 3 ri

t=1-KM t= £ l= t=«-KM + 1 r-KMri X—Xé -x X—x x-x X—X X—X ■X—X ri t= X—Xr-KM x-x r*M p p ri ri ri X—X r—ICO «•—X 'dO ri ri + P \ O x •d x_x + ri1 c> ri P *d ri riV ■xwx P Xw» ri P ri ri Xwx _x V ■Xw* d) ri XwX XwXG G co co CO co ri bO bO c co V_■• co ü ri ri bùri ri ri o o o bù o ri P P ■ ri ri ri bù <> ri ri ri Pco CO o ri ri P ü co ri ri co ri P ri co co co riri ri o ri ri ri ri ri ri ri II ri ri ri ri ü ri ü rih G g G G G G G G G G G G G G G G G Gri ri ri ri ri 3 ri ri ri ri ri ri 3 ri ri 3 ri ri 3d I rití riV cod fc= o0 t= r-KM o t=G r-KM .x—x o r-KM3 ri G x - xfc= t= X —* 3 X—X x ^ x ri p x - x

r-KM x^x. r-KM x—x rH P P ri ri X—X r-KM X“—X TJO ri + ri + P NwO \ o -X x , x ^ x + ri ~ ^ x1 ri ri P ri riA P XwX ri P ri ri XwX XT' A x _ x ri rití G co co co co ri bù bù tí CO X —X co o ri ri bùri ri ri 0 o o bO o ri P P ri • ri o bù o ri ri ri pco co ri ri ri P ri co ri ri co ri p ri co co co riri ri ri a ri ri ri o ri o ri ri ri ri u o ri riu G G G G G G G G G G G G G G G G Gri1 ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri 3 3

J

Page 24: Limiti, guida

1.9.- FUNZIONI IPERBOLICHE E RELAZIONI TRA ESSE.Definizione geometrica.Sia data l'iperbole equilatera di equazione x2-y2 = a2 avente per asintoti

le rette y = x ed y = e semiasse reale a. Su uno dei due rami (ad esem= pio quello destro) si consideri un punto P di coor_ dinate x, y. Si ha, quindi:

OA = a , OQ = x , PQ = y .Detto r il rapporto tra l'area del triangolo misti lineo OPAP' (area punteggiata) ed il quadrato co=struito su OA > per definizione si !ha:

Shr = x r -, XChr = — Thr = £a a X

Cosechr = — Sechr = — Cthr = Xy X y

Nel caso in cui a sia unitario le sei relazioniprecedenti diventano:

Shr = y > Chr = x i Thr = £XCosechr = - Sechr = — Cthr = X

y X yDefinizione esponenziale.Per poter conoscere i valori che le funzioni iperboliche assumono al variare

di r è utile esprimerle in forma esponenziale. Si hanno le seguenti relazioni:

Shr =

Cosechr =

r -re -e Chrr -r e +e

2e.r -r e -e 2r -, e -1

Sechr = r , -r e +e2e2r , e +1

lo stesso significato di r:

y = Shx =x -xe -e y = Chx =

r -x 6 +e

y = Cosechx = X -Xe -ey = Sechx = x^ -x e +e

Thr =

; Cthr =

ipo y = i

y = Thx =

y = Cthx

r -re -e .r -r e +er , -r e +er -re -e

'(x) ove

X -xe -eX . “X

e +eX ~x

e +e

2ra 4~2r~

ha

X -x e -eLe sei funzioni iperboliche assumono segni diversi a seconda della posizione

del punto P (l° o U° quadrante):TAB. 9.1

QUADRANTE Shx Chx Thx Cosechx Sechx Cthxprimo + + + + + +quarto - + - - + -

I valori che possono assumere la x (variabile indipendente) e la y (variabi_ le dipendente) relativamente a ciascuna delle sei funzioni iperboliche sono i s£ guenti:

17

y = Shx con —00 < X < +00 e —«0 < y < +ooy = Chx con —CO < X < +00 e 1 < y < +00y = Thx con —00 < X < +00 e -1 < y < 1

Page 25: Limiti, guida

y = Cosechx f “00 < x < 0 e —oo < OV>

con { 0 < X < 4 « e o A y < +»

y = Sechx con —co < x < +°o e 0 < y £ i

y = Cthx con

I► 8 A X A O e “OO <

A A

t H

0 < x < +«> e 1 <

variazioni possono essere rilevate dai diagrammi di pagina seguenteTra le funzioni iperboliche esistono cinque relazioni fondamentali:

Ch2x-Sh2x = 1 ; Thx = |g- ; Cosechx = ; Sechx = ; Cthx = ,

in base alle quali è possibile esprimere l'una in funzione delle altre, ottenen= •do la seguente tabella:

TAB. 9.2Shx Chx Thx Cosechx Sechx Cthx

Shx Shx +/Ch2x-1 Thx 1 ±/l-Sech2x 1/1-Th2x Cosechx Sechx ±/Cth2x-l

Chx /l+Sh2x Chx 1 ±/Cosech2x+l 1 ---Cihx—/1-Th2x Cosechx Sechx ±/Cth2x-l

Thx Shx ±/Ch2x-l Thx 1 ±/l-Sech2x 1/1+Sh2x Chx /Cosechzx+l Cthx

Cosechx 1Shx j l /1-Th7x Cosechx Sechx ±/Cth2x-l±/Ch2x-l Thx ±/l-Sech2x

Sechx 1 1 /1-Th2x Cosechx Sechx ±/Cth2x-l/1+Sh2x Chx ±/Cosech2x+l Cthx

Cthx /1+Sh2x Chx 1Thx /Cosech2x+l 1 . CthxShx ±/Ch2x-l ±/l-Sech2x

N.B.: Prendere il segno (+) oppure (-) a seconda che sia rispettivamente x>0 oppure x<0.

1.10.-RELAZIONI DI SIMMETRIA. FORMULE PRINCIPALI.In base ai diagrammi, o in base alle definizioni esponenziali, si possono de=

durre le seguenti formule di simmetria:Sh(-x) = -Shx ; Ch(-x) = Chx ; Th(-x) = -Thx

Còsech(-x) = -Cosechx ; Sech(-x) = Sechx ; Cth(-x) = -CthxInoltre, come per le funzioni trigonometriche circolari, anche per le funzio=

ni iperboliche è possibile ottenere formule di addizione e sottrazione, duplica3 zione, bisezione, prostaferesi, etc. Fra queste le più comunemente adoperate so no le seguenti:

Sh2x = 2Shx ChxCh2x = Ch2x+Sh2x = 2Ch2x'-l = l+2Sh2x

18

Page 26: Limiti, guida

U

y ■ arcThx

y » arcShxy = CosecKx

eiMÍÜtfÉL

Page 27: Limiti, guida

I.H.- FUNZIONI IPERBOLICHE INVERSE.Delle sei funzioni iperboliche del § 1.9» si possono definire le corrispon=

denti funzioni inverse. Queste sono:y S arcShx con —oc < X < +» e —co < y < +oo

y = arcChx con i < X < +00 e 0 < y < +00

y - arcThx con -i < X < 1 e —00 < y < +00

y _ arcCosechx con < X < 0 e —00 < y < 0

1 o < X < +00 e 0 < y < +00

y arcSechx con 0 < X < 1 e 0 < y < +00

y _ arcCthx con < X < - 1 e —co < y < 0

1 1 < X < +oo e 0 < y < +00

Poiché per definire le inverse si è partiti dalle sei funzioni iperboliche dirette, i diagrammi delle inverse riprodotti a pag. 19 sono stati disegnati en= tro gli intervalli di variabilità della x in cui tale inversione è possibile.

DEFINIZIONE LOGARITMICA.Per poter conoscere i valori che le funzioni iperboliche inverse assumono al

variare di x, I utile esprimerle in forma logaritmica. Si hanno le seguenti re= lazioni:

arcShx = log(x+/x2+l) per qualunque XarcChx = log(x+/x2-l) con X ^ 1arcThx = 1, l+x

5logi^r con -1 < x < 1f, 1+/1+X2 .log per X V O

arcCosechx = 1, 1-/1+X2u°g x per x < 01+Zl-x2arcSechx = log X con 0 < x £ 1

arcCthx = 1, x+1 5log x-1 con X < -1 e

i

20

Page 28: Limiti, guida

CAPITOLO 2. SIGNIFICATO DEL LIMITE.

L'importanza del concetto di limite risiede nel fatto che esso è alla base del calcolo differenziale ed integrale.

Indipendentemente quindi dal calcolo vero e proprio, cerchiamo di esprimere, con una certa gradualità, il significato dell'espressione:

lim f(x) = l (1)x-*- c

(si legge: limite per Nella (1) può essere:

x tendente a c di f(x)__ c finito o infinito,

i finito o infinito.

uguale ad 1 ) .

2.1.- Lim x-i- c

f(x) = l , CON c ED l FINITI.

Si supponga di avere una funzione ( ° )

le x. Per esempio, y3_2 x ¿-x + 2

y = f(x) ' reale della variabile rea= è una funzione di questo tipo, perchè adx-2 ,»o,

ogni valore reale della x (eccettuato x = 2 '), corrisponde un determinatovalore reale della y. Si supponga, inoltre, di avere un numero reale, ad esempio i = 3, e di fissare arbitrariamente un numero piccolissimo positivo e (epsi=lon), ad esempio e = 10 9 (un miliardesimo). Ci proponiamo di risolvere e interpretare la disuguaglianza:

|f(x)-t| < e (2)che nel caso particolare della funzione data sarà:

ix 3-2x2-x+2 1 x-2 < 10" (3)

di

E' chiaro che, risolvere una diseguaglianza, vuol dire trovare, se esiste, un in sieme di valori da dare ad x, che sostituiti nella (2) (o nella (3)) rendono il primo membro minore del secondo membro. Supponiamo che la (2) abbia soluzioni. Allora risolvendola può capitare che sia soddisfatta per:1) I valori di x appartenenti ad un intorno sinistro di un certo x = c:

c-6 < x < c.2) I valori di x appartenenti ad un intorno destro di un certo x = c :

c < x < c+6.3) I valori di x appartenenti ad un intorno completo di un certo x = c:

c-6 < x < c+ò.1) Ebbene, non tenendo conto di ciò che avviene alla f(x) in x = c , nel pri=

mo caso scriviamo:lim f(x) = i x-*- c"

intendendo con ciò che, prefissato un e > 0 piccolo a piacere, la disegua= glianza |f(x)-2.| < e è verificata per i valori di x compresi fra c-6 e c, escluso x = c.

2) Nel secondo caso scriviamo:lim f(x) = i

(°) Far la funzioni e loro campo di esistenza si veda: F.2, l i 1.1, 1.2, 1.3, 1.7. (*°) Par * * 2 diventa y - g , rapporto che in algebra elementare è indeterminato.

21

Page 29: Limiti, guida

intendendo con ciò che, prefissato un e > 0 piccolo a piacere, la disugua*glianza |f(x)-i| < e è verificata per i valori di x compresi fra c e1c+5 , escluso x = c.

3) Nel terzo caso scriviamo:lim f(x) = 4 x-> c

intendendo con ciò che, prefissato un e > 0 piccolo a piacere, la disugua*glianza |f(x)-4| < e è verificata per i valori di x compresi fra c-6 ec+6 , escluso x = c.

Esempi°- x 3-2x2-x+21) Sia data la funzione y = ---------- ed il numero 4 = 3. Fissiamo une > 0 molto piccolo. Risolviamo la disequazione:

x 3-2x2~x+2x - 2 -3 < e (4)

Poiché x3i(x-2)(x2- 1 x-2

-2x2-x+2 = x2(x-2)-(x-2)1 ) -3 < e o k2-1-3 I

(x-2)(x2-1) , la (4) si può scrivere:

< e -*• | x 2—U | < e -<■

-*•-£< x2-4 < c -* h - z < x2 < Ji+e -» |— ■ |■*' (supposto X > 0) + /(¡4-e ) < X < /(1+e) •(/«■*) 2

La diseguaglianza (4) è verificata per tutti i valori di z in un intorno completo di x * 2 (3° caso), escluso x = 2 , per il quale valore la fun* zione non è stata considerata (cfr. nota). Allora si può scrivere:

lim x-» 2

x3-2x2-x+2x-2

In altre parole, data una funzione f(x) ed un numero 4, la scrittura:lim f(x) = 4 sintetizza la seguente proposizione: x-»- c

prefissato un numero e > 0 piccolo a piacere, è possibile determinare un intor no (sinistro, destro o completo) di x = c e dipendente da e , tale che, per tut. ti i valori di x compresi in questo intorno, al più escluso x = c , la funzio ne f(x) differisca da 4, in valore assoluto, ancor meno di e . Cioè:

| f ( x ) - i | < EEsempio.2) Sia data la funzione y = /(x+l) ed il numero 4 * 0 . Fissiamo e > 0 mol

to piccolo. Risolviamo la disequazione:|/(x+l)-0| < e + |/(x+l) | < e (5)

Per x >_ -1 il radicale è reale e positivo, quindi si sopprime il modulo:I /(x+l) | < E + /(x+l) < E + X+l < E2 + X < —1+E2 --(■ -)---

-I -l+«2

(*) Si è diviso numeratore e denominatore della funzione per x-2. Tale semplificatione ai pud esegui re per tueti gli x + 2 ; per x ■ 2 non è lecita. Quandog infatti, ai «amplifica una frazione «Tvuole aoatituire l'unitl al rapporto dei due valori semplificati, e«,: ^ • 1 *| » |ooatro caao invece, cioè quando x • 2 , con tale semplificazione ai attribuiace il valore 1 al

0rapporto g , il che non è lecito. Per evitare cid, si atabiliace di conaiderare la funzione y da t é , per ogni valore di x eccettuato x - 2 . Stabilito ciò, la samplificazione I possibile.

22

Page 30: Limiti, guida

La diseguaglianza (5) è verificata per tutti i valori di x in un intorno destro di x = -1 , (caso 2°). Quanto detto si può sintetizzare con la serittura: lim /(x+l) = 0 . (Il + apposto sul -1 , sta ad indicare, ap=

x-» -1+ punto, che x può assumere valori superioria -1. )

Si presti attenzione al fatto che nell'esempio 1) si è escluso x = 2 , meta tre nell'esempio 2) non è stato necessario escludere x * -1 . Ciò non comporta alcuna variazione nei discorsi fatti, poiché, anche ad escludere x = -1 , l'e= sempio 2) conduce alle stesse conclusioni. Ciò perchè la scrittura:

lim f(x) = 1 è un modo sintetico per dire che la disequazio®x-* c

ne |f(x)-i.| < e è verificata in un intorno (sinistro, destro o completo) di x = c , eventualmente escluso oc = c . Escluso come nell'esempio 1), non esclu® so come nell'esempio 2).

Al fine di vedere, numericamente, come si arriva all'intorno di 2 e al limi= te 3, e per visualizzare meglio il concetto sintetizzato nell'espressione:

lim x * 2

2x2-x+2 x-2 = 3

riprendiamo la funzione dell'esempio 1):x ^-2x 2-x+2 . . . ■ .y = - — 2 — (6). Scomponendo e semplificando si ottiene la funzione:

yj = x2-l (7).Per ogni x ^ 2 le due funzioni hanno lo stesso valore, cioè, le ordinate corri, spondenti ad ogni x 4 2 sono uguali. Esse hanno perciò diagrammi che differì® seono solo nel punto P d'ascissa x = 2 , perchè mentre in tale punto la y èindeterminata (y = g), la (7) dà: yj(2) = U-l = 3.

Senza perdere d'occhio la fig. I, si calcoli l'ordinata corrispondente ai valori di x molto prossimi a 2 (per difetto), per esempio x = 1,9 ; x = 1,99 ; x ■ 1,999 ... , e molto prossimi a 2 (per eccesso), per esempio x = 2,1 ; x * 2,01 ; x = 2,001 ... . Si riuniscano nelle seguenti due tabelle i valori di x ed i corrispondenti di y.

23

Page 31: Limiti, guida

TAB. I TAB. IIx - 2~ y

1,9 2,6l1,99 2,96011,999 2,9960011,9999 2,999600011,99999 2,99996000011,999999 2,999996000001

x -* 2+ y

2,1 3 ,1*12,01 3 ,0L012,001 3 ,001*0012,0001 3 ,0001*00012,00001 3 ,00001*000012,000001 3 ,000001*000001

Si notino tre fatti importanti:a) Ad x non viene mai dato il valore 2, perchè la funzione y , per x = 2 è

indeterminata, ma ci si approssima sempre più a 2, sia per difetto (2~) che per eccesso (2+).

b) L'ordinata y (cfr. TAB. I e II) non raggiunge mai il valore y = 3 , ma si approssima tanto più a 3, quanto più la x si approssima a 2, tanto per di fetto quanto per eccesso.

c) Sia attraverso i numeri della TAB. I che attraverso i numeri della TAB. II, la differenza |y—3 | (°) va sempre più diminuendo, avvicinandosi a zero, ma senza mai diventare zero (ciò perchè y non diventa mai 3).

L'espressione |y—3( , inoltre, si può far diventare più piccola di qualunque nu= mero piccolo positivo (e) si scelga. Per esempio, se e = 0,5-10"s , basta prende re dalla TAB. I : x = 1,999999- Infatti, per tale x è y = 2,999996000001 e|y-3| = |2,999996000001 - 3| = 0,000003999999 = 0,3999999-IO"5 < 0,5*10"5 = E .

Si conclude che per ogni 1,999999 <. x < 2 (2-$e <. x < 2) la differenza |y—3 iè, a maggior ragione, minore di e - 0,5’IO-5. Partendo dalla TAB. II perx = 2,000001 , si può concludere, con lo stesso ragionamento, che per ogni 2 < x <_ 2,000001 (2 < x <_ 2+óe) , la differenza |y—3 1 è minore, a maggior

ragione, di e = 0,5>10-5.Riunendo le conclusioni dedotte per mezzo della TAB. I e della TAB. II, si ot

tiene che, per tutti i valori di x tali che 1,999999 £ x <_ 2,000001 esclu=so x = 2 , la differenza |y—3 | è minore di e = 0,5"IO-5.Tutto ciò conduce a dire che, per la funzione in esame, quando si fissa un £ > 0 piccolo a piacere, si possono determinare infiniti valori di x tedi da rendere la differenza |y —3 | minore di e . Questi vedori di x , prossimi a 2, costituii scono un intorno completo di 2. Quindi, se fissato e si risolvesse la disequazio ne | y - 3 | < e , essa risulterebbe verificata per tutti i valori di x apparte= nenti all'intorno completo di 2 , escluso x = 2 . Tale intorno risulta diverso per ogni diverso valore fissato per e .

Verificandosi le condizioni dette all’inizio del paragrafo, si può scrivere:x 3- 2 x 2- x +2 lim ---— s---- = 3

x-»- 2 x-2Riepilogando :1) Quando la disequazione |y—3 | < e è verificata per tutti i valori di x ap=

O

24

Occorre considerare y-3 in nodulo perché: ei può confrontare con un numero positivo.

con le y della TAB. I è con le y della TAB. II é

7-3y-3 cosicché |y3|

“If** ‘ (^-l) &OA M0M o 0®^•b ) >¿0■< v * ) r -

Page 32: Limiti, guida

partenenti ad un conveniente intorno di 2, escluso al più x = 2, si può scri_vere che lim y = 3.

x-*- 22) Quando per una funzione è esatta la scrittura: lim y = 3 (qualunque sarà

x-*- 2il procedimento per determinare il limite 3) , implicitamente risulta soddi= sfatta la condizione che la disequazione |y—3| < e sia verificata per tutti gli x appartenenti ad un intorno di 2, escluso al più x = 2.

Esempio.v ^ + ì v —I O3. Consideriamo il lim --— -— = 7-_ x-2X-*- 2

A parte il metodo per calcolare il limite (7), possono capitare due cose:

a) se il limite non è 7, la disequazione |x — 7 1 < c non è verifi.cata per i valori di x costituenti un intorno di x = 2;

b) se il limite è 7, la disequazione è verificata per tutti gli x in un in torno (sinistro, destro o completo) di 2, escluso al più x ■ 2.

Risolviamo la disequazione:

|x-2| < e

| ( x ^ l i x ± 5 ) _ 7 , < e |x+5-7| < e

-e < x-2 < e 2-e < x < 2+e 2 .2-e 2+e

La soluzione è un intorno completo di x = 2 (caso 3°). Quindi la scrittura dell'esempio è corretta.

2.2.- INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI lim f(x)x-* c

i CON c ED t FINITI.

y£ + e

Diamo ima interpretazione geometrica all'espressione lim f(x) = i .^i *• t c«»c-v. «A**x x-*- c /) rCi

Ce« ^ devia a «dj. VA * Tale scrittura presuppone che la disequazione:

|f(x)-S.| < e e verificata per i valori di xet -

Ì-e

A

i1 c

D iiii

111

in un intorno di c. escluso al più' munaue • icco y, sia scelto

ir tali tche per valori di x

c » C 2 r Basta- dire

restitutta dentro il rettangolo a BCD di t ig■ 3 . In fatti, per i punti del diagramma che stanno den

t tro il rettangolo, la differenza |y-n| , comec - $ 3 { i c +8, * si Pu^ verificare, è minore di e. In fig. 3 si

vede pure che l'intorno h«. dipende, da e. S.e infatti si rimpirr1'"1 e.-l'hc djvent.H più piccolo— ed-il

rettangolo è Quello delimitato dai segmenti tratteggiati. * ^ 6Osservando inoltre le tabelle I e II di pag. 24, si può scrivere

dalla TAB. I

Fi». 3

lim x+ 2'

sinistra (2_), la y

x3-2x2-x+2 x-2 = 3”. Cioè per x tendente a 2 da

tende a 3 per difetto (3-)• La qual cosa si può rappresentare geometricamente come in fig. 4. Limiti di questo tipo sono detti: limite sinistro di una finizione.Dalla TAB. II: lim x3~2x ~x+2 = 3+. cioè per x tendente a 2

x- 2 x-2

25

Page 33: Limiti, guida

da destra (2+), la y tende a 3 per eccesso (3+). La qual cosa si può rappresentare geometricamente come in fig. 5. Limiti di questo y tipo sono detti: limite destro di una funzione.Da entrambe le tabelle I e II : lim ----— ---- = 3. Cioè per x 3

x->- 2 x 2tendente a 2, sia da sinistra che da destra, la y tende a 3. Da sinistra la y tende a 3 come in fig. 4; da destra la y tende a 3 come in fig. 5. Il punto di coordinate (2,3) può appartenere alla funzione o non appartenervi come nel caso del limite considerato. — Per sapere in che modo la funzione si approssima al punto (2,3) I quindi necessario l'esame dei limiti destro e sinistro della funzi£ -1 ne stessa. Flf s

In generale i limiti sottoelencati possono essere interpretati graficamente con i seguenti diagrammi :

lim f (x )x+

lim fix )X* f 4

lim fix )x * e

Fig. 6

c)

d ì

f )

Si può riepilogare quanto è stato detto..nei §1 2.1 e 2.2 nel modo seguente: l'espressione lim f(x) = 2 è un modo, formalmente diverso, per dire che la.

x-*- cdisequazione |f(x)—A| < e è verificata in un intorno (sinistro, destro o com= pleto) di x * c, tutt'al piò escluso x * c. Se si risolve la disequazione, ci possiamo trovare di fronte a vari casi, ognuno dei quali è suscettibile di inter pretazione geometrica. Cioè:

la disequazione

si scinde in:

che può avere soluzioni per:

|f(x)-2| < e|------- ® ----- 1------- ® ------ 1

f(x)-2 < e f(x)-2 > -e

c-6 < x < c+6 c-6 < x < c+6Schema A.

a.l." Se pertanto dalla |f(x)-2| < e , troviamo come uni= y ca soluzione la a.l , si scrive: 8+ e

lim f(x) = 2+ (limite sinistro)x-*- c

cioè la funzione f(x), per x -*• e", tende ad 2 (da sopra) e si interpreta graficamente come in fig. 7. $ c - f l

1.2.- Se troviamo come unica soluzione la a.2, si scrive:lim f(x) = 2+ x-+ c+

cioè la funzione f(x), per x

(limite destro)

-*■ c+ , tende ad 2 (da

Fit- 7

C ~ 6 CC

f(*■)/

1 • 1I ; i

Fig. 8

> c c+6 X

a. 3.“ Se troviamo come unica soluzione la a.3, si scrive:lim f(x) = 2+X"* c

cioè la funzione f(x) , per x -+ c sia da sinistra che da destra, tende ad 2 (da sopra) e si interpreta graficamente come in fig.9.

b. l.- Se troviamo come unica soluzione la b.l, si scrive:lim f(x) = 2" (limite sinistro) x-+ c-

cioè la funzione f(x), per x -*■ c” tende ad 2 (da sotto) e si interpreta graficamente come in fig. 10.

b.2.- Se troviamo come unica soluzione la b.2, si scrive: lim f(x) = 2” (limite destro)

C - 6 C C+6 X

a) c-if»

x-*- ccioè la funzione f(x), per x tende ad 2 (dasotto) e si interpreta graficamente come in fig. 11.

b.3.- Se troviamo come unica soluzione la b.3, si scrive:lim f(x) = 2" x-*- c

cioè la funzione f(x) , per x •+• c sia da sinistra ohe da destra, tende ad 2 (da sotto) e si interpreta graficamente come in fig. 12. c-6 c c+6

s*- «r«. x». Può, inoltre, capitare che risolvendo la disequazione |f(x)-2| < e , si tro=

y m o soluzioni tanto della f(x)-2 < e {schema Aa) , quanto della f(x)-2>-s

Nel

che

nei casi a.l b.2 o b.l , a.2.y*

lim f(x) = 2+ B + eb.2) si ha: *x-*- c" 6

lim f(x) = 2” 8-ex-+ c+

Fig. ¡3

basicamente si interpretano come in fig. 13.

26 27

Page 34: Limiti, guida

Nel secondo caso (b.l , a.2) si ha

lim x-»- c"lim f(x)

< ■. , / 3 | « [per x / 3]

che graficamente si interpretano come in fig. 14.

Soluzioni della Aa e della Ab del tipo a.l , b.l (fig. 15a) o (fig. 15b) , non possono coesistere yi per funzioni del tipo y = f(x). Qu£ ^ ste funzioni infatti 3ono ad un solo valore di y (cioè assegnato un va= ® lore ad x , s e ne trova uno ed uno i-e- solo di yT~e nel caso di fig. 15 ad _ x = x0_ corrisponderefehssecL-due jralo=_. 0 ri di y.

| (/x+/3)-2/3| < e ->■ | « x—/31 < £ -*• -c < /x-/3 < e -*■ ^3-e < /x < /3+e.Poiché per x > 0 tutti e tre i membri della disequazione 3ono positivi, si può quadrare: (/3- O 2 < x < (/3+e)2 -» 3 - 2 ^ 3 + z 2 < x < 3+2e/3+e2 -*■

a.2

f-6 x c

3-(2s/3-e2) < x < 3+(2e/3+e2)3_

3-(2eV3-f2> 3 3*l2*y/3 f*)

Z - e

Fig. 15

Dato che la disequazione è verificata per i valori di x in un intorno com= Dleto di x = 3 , la scrittura dell’esercizio 5 è esatta. L'interpretazio= ne grafica è quella relativa al caso b.l , a.2 dello schema A.

~ X "*l6. Verificare l'esattezza della scrittura: lim x 2+x+i ~ **

x-*- 1Come nell'esercizio 5, basta risolvere la disequazione:

-y— i-- 4| < e ■+ | -U | < e -*• [x2+x+l # 0 sempre] •*2.3.- VERIFICA DEL lim f(x) ■ l CON c ED l FINITI,

x-* cL'esercizio di cui può essere chiesta la soluzione è del tipo:

1) Verificare che risulta: lim f(x) = l .x-*- c

2) Verificare l'esattezza della scrittura: lim f(x) = Jt.x-i- c

Formalmente il primo ed il secondo tipo di esercizio coincidono. Sostanzialmente sono diversi. Per meglio comprenderne la differenza consideriamo degli esempi.

x2-l

'x2+x+l '' 1 X2 +X+1| (x-l)-U I < e -» | X-51 < e - -e < x-5 < e 5-e < x < 5+e X,t

La soluzione non è un intorno compì et o.-diX.X = 1 , quindi la scrittura è er=3.rata.

• . x J“X7. Verificare che risulta lim — — — = 0. Infatti:

I x3-l,I X2 +X+11

X-* 1

lx-1I < e

x2+x+l

-e < x-1 < e -*• 1-e < x < 1+e. 1 !*e

4. Verificare che risulta: lim = 2 - oOfìLi.'vE. ■» '-/x~X- 1 X **'*■ • j ^

L'esercizio proposto implica l'esattezza del limite, quindi esso viene risol.1 to verificando che le soluzioni della disequazione:

,x2-l 1-2 < 0'x-1Infatti:1 (x-lHx+l)

si hanno in un intorno completo sia il numero e > 0 piccolo. ^

x-1x-l| < E

< e -*• [per -c < x-1 < 0

x / 1] -» |(x+l)-2|l-E < X < 1+E

di x = 1 , qualunque\ KT f\ o *!x- *.Uv

5 -1< t

1-* l+<La soluzione della disequazione è un intorno completo di x = 1. L'interpre= tazione grafica è quella relativa al caso b.l » a.2 dello schema A.

5. Verificare l'esattezza della scrittura: lim • = 2/3.x-+ 3 x

L ’esercizio proposto non implica l'esattezza del limite, ma tale esattezza deve essere provata (ecco la sostanziale differenza con l'esercizio tipo l).Ciò significa che se la disequazione: | / x l f y —2/3| < e è verificata per ivalori di x in un intorno completo di x = 3, la scrittura è esatta; se iti vece la disequazione e verificata per i valori di x che non costituiscono un intorno completo di x = 3, la scrittura è errata.

La disequazione è verificata per i valori di x in un intorno completo di x = 1. La scrittura è esatta.

A parte le difficoltà di ordine algebrico, gli esercizi del tipo l) e 2) vanno risolti in tale modo.

2.4.- lim f(x) = » CON c FINITO, x-»- c

Ci chiediamo qual è la proposizione, o meglio, il concetto sintetizzato nella espressione:

lim f(x) = “ con c reale finito.x+ c

A tale scopo, si supponga di avere una funzione reale y = f(x) ed un numero j^^0__grande a piacere. Ci proponiamo di risolvere ed interpretare la seguenteIti s equazione: ¡f(x)|>M (°) CDRisolvere tale disequazione vuol dire trovare, se esiste, un insieme di valori da dare ad x, che sostituiti nella (1) rendano il primo membro maggiore del se= condo membro. Supponiamo che la (1) abbia soluzioni e che tali soluzioni costi=tuiscano un intorno di un numero c finito. Allora, risolvendola, può capitare

(*> Poiché ( f (x> I - = r [<x> p,r ![x> * ° , 1« disequazione |f(x)|>M è equivalente ai' -f(x) per £(x) < 0

due sistemi M e [[[*] < I* . quindi le eolutioni dei due sistemi sono aolurioni del(x) > 0 (f(x) < 01» disequazione |f(x)| > M.

28 29

Page 35: Limiti, guida

che'es6a sia soddisfatta per:1) I valori di X appartenenti ad un intorno

c --ó < X < c

2) I valori di X appartenenti ad un intornoc < x < c + ó

3) I valori di X appartenenti ad un intorno

x = c :

c+6x = c :

c-ó < x < c+Ó c-Ó c+5Ebbene, se questa disequazione ammette sempre soluzioni in un intorno di

x 2 c , qualunque sia il numero M > 0 grande quanto si vuole, nel1° caso scriviamo: lim f(x) = 00 (limite sinistro)

x-+ c-2° caso scriviamo: lim f(x) = 00 (limite destro)

x-+ c+3° caso scriviamo: lim f(x) = oo

x+ cEsempio: C8. Sia data la funzione y _ 2,

X e sia fissato ad arbitrio un numerogrande. Risolviamo la disequazione:

\ l I > M n

Essa equivale ai due sistemi:Ì5/x > M (x > 5/M

( 2)

a)

b)

5/x > 0 5/x < -M 5/x < 0

0 •+ 0 < x < 5/M

Cosicché la (2)

5/x +M < 0 x < 0 •5/M < x < 0. è verificata per:

[(5+Mx)/x < 0 [x < 0

5M

[ 5+Mx > 0 iX[ x < 0 l*

, escluso oII per ilquale valore la funzione data non è definita. La soluzione trovata costituì2 sce un intorno completo di x 2 0 , e rimarrà tale qualunque sia la scelta del numero M. Quindi, per la funzione data, esiste sempre un intorno di x = 0 (che sarà diverso per ogni M diverso), tale che in valore assoluto la funzione superi qualunque M positivo scelto ad arbitrio.Per M = IO9 , basta prendere -5*IO-9 < x < 5*IO9 affinchè E più grande si sceglie M, più piccolo viene l'intorno.Tutto ciò si può sintetizzare con la scrittura:

|f(x)| > IO9

lim - = X+ 0 X

Più in generale, per una funzione f(x), la scrittura tizza la seguente proposizione:

lim f(x) = » x-+ c

Prefissatiy-an numero M > 0 , grande a piacere, è possibile determinare un intorno ( sinistro, dèstro o completo ) di x =_c ..e dipendente da M , tale che, per tutti i valori di x compresi in questo intorno, escluso x = cA la funzione f(x) supera, in valore assoluto, il numero- M Scelto .Cioè : “

|f(x)I > M.

Esempi0, x+1 , definita per x # 3 . Fissiamo un numero M9. Sia data la funzione y x_3positivo, grande a piacere, e risolviamo la disequazione:

I— I'x-3 > M.Essa equivale ai due sistemi:

'x+1l)

> M

> 0

x+1 x-3 x+1 x-3(M-l)x-(l+3M) < 0

x-3x < -1 , X > 3

-M > 0 !x+l-Mx+3Mx-3x < -1 , x > 3

'(1-M)x+1+3M > 0

3 < x < 1 1 | M = 3 + m1M-l M-lx < -1 , x > 3

3 < x < 3+ (intorno destro di x = 3).

La cui soluzione e 43+M-l

I I

b)'ili < _M fx+l+MxjJM < 0 x-3

[x-3f3M=i = 3_ JL_ < x < 3I M+l ^ M+l 1-1 < x < 3

rx(M+l)-(3M-l) < 0 I x-3[-1 < x < 3

La cui soluzione è : -l 3 - ■M+l

3- TT— < x < 3 (intorno sinistro di x = 3).M+lPertanto, la disequazione di partenza è verificata in un intorno completo dix = 3: 1* U

3' mìì < x " 3+ TTTPoiché tale soluzione si ha sempre comunque si fissi il numero M > 0 gran2 de, grandissimo, a piacere (tutt'al più, al cambiare di M, cambia l'ampiez2 za dell'intorno), quanto detto si può sintetizzare con la scrittura:

. x+1lim — =• 2 “-, x-3 x-+ 3Si ponga attenzione sul fatto che per risolvere la disequazione |f(x)| > M , oc_ corre considerarne due: f(x) > M ed f(x) < -M (vedi nota a pag. 29). Una diesse (o entrambe) può avere soluzione in un intorno (sinistro, destro o completo di x 2 c. In generale, quindi, possono capitare svariati casi che sintetizzia2 mo così:

f(x)| > M_Lsinte2 D

. f

La disequazione

si scinde in:-<*>

f(x) > M f(x) < -M

che può avere soluzioni per : c-Ó < X < C T C < X < C+Ó C-Ó

C-Ó < X < C+Ó

< x < c j C < X < c-ó < X < c+ó

c+ó

Schema B.

i30 31

Page 36: Limiti, guida

F

\£jÌ £ ____________ ]a.1 Se partendo dalla |f(x)| > M , troviamo come

unica soluzione la a.l , si scrive:lim f(x) = +» (limite sinistro) x-*- c”

cioè la funzione f(x), per x -+. c" , tende a +• e si interpreta graficamente come in fig. 16.

a.2.- Se troviamo come unica soluzione la a.2 ,scrive:

lim f(x) (limite destro)

si

cioè la funzione f(x), per x -*• c+ , tende a +°> e si interpreta graficamente come in fig. 17.

E H H 5 S

a.3.- Se troviamo come unica soluzione la a.3 , si scrive:

lim f(x) = +»X -* c

cioè la funzione f(x), per x ■+ c , tanto da destra quanto da sinistra, tende a +~ e si interpreta graficamente come in fig. 18.

b.l.- Se troviamo come unica soluzione la b.l , si scrive:

lim f(x) = (limite sinistro)x-*- c-

cioè la funzione f(x), per x c" , tende a -<» e si interpreta graficamente come in fig. 19.

t

li

b.2.- Se troviamo come unica soluzione la b.2 , si scrive:

lim f(x) = (limite destro)x-*- c+

cioè la funzione f (x), per x ■* c+ , tende a ~m e si interpreta graficamente come in fig. 20.

b.3.- Se troviamo come unica soluzione la b.3 , si scrive:

lim f (x) = -<= x-» c

cioè la funzione f(x), per x -<■ c , tanto da destra quanto da sinistra, tende a -«> e si interpreta graficamente come in fig. 21.

32

Page 37: Limiti, guida

Può inoltre capitare che risolvendo la disequazione |f(x)| > M si trovino solu zioni tanto della f(x) > M (schema Ba), quanto della f(x) < -M (schema Bb),

lim x-*- c”lim x-» c+

lim x-* c~

lim x-*- c4

Soluzioni della Ba e della (fig. 24b) non possono coesi, stere per funzioni del tipo y = f(x) , poiché in tali ca si, assegnato un valore xQ

Bb del tipo a.l , b.l (fig. 24a)

' l ^

ad x , si troverebbero valori di y.

dueFig. 24

a.2 , b.2

V ”O e i *r

2.5.- VERIFICA DEL lim f(x) x-*- c

» CON c FINITO.

Come detto nel § 2.3 , l'esercizio di cui può essere chiesta la soluzione è del tipo:1) Verificare che risulta lim f(x) = ».

x-» c2) Verificare l'esattezza della scrittura lim f(x) = ».

x-*- cFra gli esercizi dei tipi 1) e 2) c'è la stessa differenza vista al S 2.3 (ve_ di esercizi 4 e 5). Consideriamo qualche esempio:10. Verificare che risulta lim — * ».ix-*- 1

L'esercizio proposto implica l'esattezza del limite, quindi viene risolto verificando che le soluzioni della disequazióne

x-1 > M si hanno in un intorno completo di x = 1 , qualunque sia il numero M > 0 grande.

( — r > M *> ;

| ^ > 0 f-Mx+(M+l) > 0 , M+l |X * M = 1+ M

i à * °1 x > 1 r—1AX jx > 1

la cui soluzione è 1 < x < 1+ - (intorno destro diM X ■ l).

33

Page 38: Limiti, guida

luzioni della disequazione ix-l-x-1I

I—x+1

-2-e(x+l)

_1I < s con £ > 0 piccolo a piacere.I — I x+1 < £ Questa equivale ai due siste

< 0 -2-ex-e

x < -1

> 0 ex > 2+e

x < -1

Posto - = N, > 0 e 1 tanto più grande quanto più'il sistema a) ammette soluzioni per: -1-N.

x < -1-Nj » -(Nj+l)

b) Ì 3 i > -•1 -2/(x+1) < 0

„ { ' « r 11 > » . p » * * >[x+1 >0 (x > -1

-► fx > Nj-1 1 x > -1

-1 N -1, 'r-i--- + X > Nr l

Pertanto la 1 —'x+1 —1| < e è soddisfatta per: x < —(Nj+l) , x > Nj-1

2-ee-1

-(N,+ l) N,-l

Detto cioè N un numero positivo tale che N > Ni+1 (quindi è N > 1^-1), a maggior ragione la disequazione data è verificata per |x| > N.Giù è vero qualunque sia la scelta di e > 0 , cioè la differenza -l|può rendersi piccola quanto si vuole. Inoltre, più piccolo è e , più gran= de viene N. Tutto quanto detto in questo esercizio può sintetizzarsi con

» X—1l'espressione lira = 1.x+ »

In generale, la scrittura

sizione: fissato un re e > 0lim f(x) = T) (finito) sintetizza la seguente propc

t - c . V l x l > lV •- Qq> \ C t_ piccolo a piacere, e possibile trovare un numero N>0

grande, dipendente dalla scelta di e_j tale che, per tutti gli |x| > N si ab= bia: 1 iTxì-tl < e. Si" ponga'attenzione al fatto che, per risolvere la disequa=zione |f(x)-itf < e , occorre considerarne due: f(x)-t < e , f(x)-t > -e (cfr.es. 14), delle quali può avere soluzioni una delle due (in un intorno sinistro, destro o completo dell'infinito (cfr. pag. 131)), oppure entrambe (in un intorno sinistro, destro o completo dell'infinito).

In generale possono presentarsi svariati casi che sintetizziamo così:

La disequazione:

si scinde in:

che può avere soluzioni per:

Schema C .

|f(x)-*| < e

<=>■f(x)-t < e f(x)-H > -E

o < x < -N (x < -N)

N < x < +« (x > N)

« < x < -N (x < -N)

N < x < +oo (x > N)

-00 < X < +«o

( ! XI > N)-°o < x < +°°( |x| > N)

■36

I

Page 39: Limiti, guida

j£v 4

l.- Se partendo dalla |f(x)-i.| < e troviamo come unica soluzione la a.l , si scrive:

lim f(x) = i.+ x-+

Cioè la funzione f(x), per x -*■ -® , tende ad Z (da sopra) e si interpreta graficamente come in fig. 25.

Fig. 25

i . 2 • ' si scrive

t O ò >-fcFig. 28

-N

Se troviamo come unica soluzione la a.2f lim f(x) = Z+

xr* +®cioè la funzione f(x), per x +» , tende ad Z (da sopra) e si interpreta graficamente come in fig. 26.

a>3,- Se troviamo come unica soluzione la a.3, siscrive: ... , „+lim f(x) = Z

x-*- »

cioè la funzione f (x), per x ■+ « (tanto a +•» , quanto a -®) tende ad Z (da sopra) e si interpreta graficamente come nella fig. 27.

b.l.- Se troviamo come unica soluzione la b.l, si scrive:lim f(x) = 8” x-* -*

cioè la funzione f (x) , per x -*• -» , tende ad Z (da sotto) e si interpreta graficamente come in fig. 28.

b.2._ Se troviamo come unica soluzione la b.2, si scrive:* lim f(x) = Z~

x-+ +"cioè la funzione f(x) , per x -*• +“ , tende ad Z (da sotto) e si interpreta graficamente come in fig. 29.

b.3._ Se troviamo come unica soluzione la b.3, siscrive: lim f(x) = Z~

x-* ®cioè la funzione f (x) , per x -*• «° (tanto a +® , quanto a -®) tende ad Z (da sotto) e si interpreta graficamente come nella fig. 30.

Può inoltre succedere che, risolvendo la disequazione |f(x)-ll| < e , soluzioni tanto della f(x)-t < e (schema Ca), quanto della f{x)-8 ma Cb, ma solo nei casi a.l , b.2 o b.l , a.2.Nel primo caso (a.l , b.2) si ha:

'lim f(x) = Z+ x-+

lim f(x) = Z~,x-» +“

che si interpretano graficamente come in fig. 31.

88-e

y8

8-eFig. 29

si trovino ► -e (sche

37

Page 40: Limiti, guida

T

Nel secondo caso

Soluzioni della Ca e della (fig. 33b) non possono coesi^ stere per funzioni del tipo y = f(x) , poiché in tali ca si, assegnato un valore x0 ad x , si troverebbero due valori di y.

b.l (fig. 33a) b . 2

fig. SJ

f(x) = => INTERPRETAZIONE GEOMETRICA.2.7.- limx-> °°

Si abbia una funzione f(x) reale ed un numero reale positivo M grande a piacere. Consideriamo l'espressione: |f(x)|. Può questa espressione essere re=sa grande quanto si vuole? Può cioè essere: |f(x)| > M con M grande a piacere?Certo che si può. Infatti, come visto al § 2.4, quando la disequazione |f(x)|> M ammette soluzioni in un intorno (sinistre, destro o'completo) di x = c (fini= to), al più escluso x = c, si può scrivere lim f(x) = » e ne abbiamo forni®

x-*- cto l'interpretazione geometrica (casi corrispondenti allo schema B).

Ma ammettiamo, adesso, che la disequazione |f(x)| > M abbia soluzioni in un ^intorno dell ' infinito_(cfr ■ pag. 131), cioè che per tutti gli |x"| maggiori di un certo N(numero positivo grande dipendente da M) essa sia soddisfatta. C£ sa se ne conclude? Che in un caso del genere si può scrivere:

lim f(x) =X-i- «

Esempio:15. Si abbia la funzione y = x-1 ed un numero reale

chiamo le soluzioni della disequazione |x—1 | > M sistemi di disequazioni:

M > 0 grandissimo. Cer= . Questa equivale ai due

a)

b)

fx-1 > lx-1 >(x-1 < \x-l <

M0-M0

> M+l> 1

/x < 1 \x < 1

1-M

La cui soluzione si ha per x > M+l

La cui soluzione si ha per: X < 1-M = -(M-l)

M + l

1-M

Pertanto la Detto cioè

-1| > M è soddisfatta per x < -(M-l)N un numero positivo tale che: N > M+l

e x > quindi9

maggior ragione la disequazione data è verificata per |x| > N

M+l.N > M-l , a . Ciò è vero

qualunque sia la scelta di M > 0 , cioè l'espressione |f(x)| può essere resa grande quanto si vuole. Inoltre, più grande è M, più grande viene N. Tutto quanto detto in questo esercizio si può sintetizzare con l'espressio® ne: lim

x-+ «°(x-1)

In generale, la scrittura lim f(x) = «° sintetizza la seguente proposizione:x-*- “

Fissato un numero M > 0 grande a piacere, è possibile trovare un numero N > 038

Page 41: Limiti, guida

grande, dipendente dalla scelta di M, tale che, per tutti gli |x| > N la fun= zione f(x) supera in valore assoluto M. Cioè |f(x)| > M.Si ponga attenzione al fatto che, per risolvere la disequazione |f(x)| > M , oc_ corre considerarne due: f(x) > M ed f(x) < -M (cfr. esempio 15), delle quali può avere soluzione una delle due (in un intorno sinistro, destro o completo dell'infinito (cfr. pag. 131 )) oppure entrambe (ih un intorno sinistro, destro o completo dell'infinito).

In generale possono quindi presentarsi svariati casi che sintetizziamo così:

La disequazione:

si scinde in:

che può avere soluzioni per:

|f(x)| > M____L _

f(x) > M f ( x ) < -M

-co < X < -N (x < -N)

N < x < +" (x > N)

r ° ^ i-oo < X < -N

(x < -N)N < x < +<= (x > N)

Schema D —oo < x < + °°

(|x| > N)-oo < x < +00 ( |x| > N)

a.l.- Se, partendo dalla |f(x)| > M , troviamo peonie unica soluzione la a.l , si scrive:

lira f(x) = +» x-+ -®

e si interpreta graficamente come in fig. 34.

a.2.~ Se troviamo come unica soluzione la a.2, si scrive:lim f(x) = +® x-*- +»

e si interpreta graficamente come in fig. 35.

a.3.~ Se troviamo come unica soluzione la a.3, si scrive: 1ÌB f(x) = ^

x-+ «e si interpreta graficamente come nella fig. 36.

b.l.- Se troviamo come unica soluzione la b.l, si scrive:lim f(x) = x-*- -*

e si interpreta graficamente come in fig. 37.

b.2.~ ge troviamo come unica soluzione la b.2, si scrive:lim f(x) = x-*- +°°

e si interpreta graficamente come in fig. 38. Fig. 38

39

Page 42: Limiti, guida

b.3.- Se troviamo come unica soluzione lascrive: .lim f (x ) = -<»

Xr* «

b.3, si

e si interpreta graficamente come nella fig. 39.

yk

Fig. 39

Può inoltre succedere che risolvendo la disequazione |f(x)| > M si trovino so= luzioni tanto della f(x) > M (schema Da), quanto della f(x) < -M (schema Db), ma solo nei casi a.l , b.2 o b.l , a.2.Nel primo caso (a.l , b.2) si ha:

lim f(x) = +»X-> -oo

lim f(x) = -o»X-» +00

che graficamente si interpretano come in fig. 40.

Nel secondo caso (b.l , a.2) si ha:'lim f(x) = -»X-*- -o o

lim f(x) = +o»x-*- +“

che graficamente si interpretano come in fig. 41.

Soluzioni della Da e della Db (fig. 42b) non possono coesi, stere per funzioni del tipo ( y = f(x), poiché in tali ca= si, assegnato un valore xG ad x, si troverebbero due valori di y.

2.8.- VERIFICA DEL lim f(x) » iX-*- oo

Come al solito, l'esercizio da risolvere può essere del tipo:1) Verificare che risulta: lim f(x) = C * finito

x«+ «2) Verificare l'esattezza della scrittura: lim f(x) = finito

X-O 00Tra gli esercizi di tipo 1) e 2) c'è la'stessa differenza vista ai Si 2.3 e 2.5, cioè, per quelli di tipo 1) la disequazione relativa (ad E finito o infinito) è sicuramente verificata nell'intorno (sinistro, destro o completo) dell'infinitoi per quelli di tipo 2) la disequazione relativa può non essere verificata in un 40

Page 43: Limiti, guida

intorno dell'infinito* il che corrisponderebbe all'inesattezza del limite. Consideriamo alcuni esempi.

16. Verificare che risulta: lim xx-*- «

-2 (definizione di 5 2.6)

La disequazione |x~2-0| < e (con e > 0 piccolo a piacere) ha sicuramen-1 " ............... e) • InfattTT poiché

che per x = 0 , la dite soluzioni per tutti gli lx| > N . (fi dipendente da----- ---- V-----T---■ v -Jur-r -«'3'-- i— *■»** *•*|x-2 | = |— | = 2 , dato che x2 > 0 sempre, tranne i■x“- ' x sequazione è equivalente a: < E 1 < ex

ficata per valori esterni a - e

cata per |x| > N , che costituisce "un intorno'completo~3’i <».

1

/e'. Cioè,

che è veri. JcO- 90: ,

= N /, è verifi=

= 0 (n positivo).In generale: limX* • x“

V f>* 3 l l > o t •* V x e .17. Verificare l'esattezza della scrittura: lim

A l>4> n 2x+l _ 2 x-1x- “

A tale scopo risolviamo la disequazione:12x+l-2x+2

x-1 “ 1 x-1Essa è equivalente ai due sistemi:

(definizione di§ 2 .6 )

ri dil'infinito. La scrittura proposta è esatta.

18. Verificare l'esattezza della scrittura: lim x->- »

2-xx

) i vaio,

completo del=

(definizione diS 2.6)

A tale scopo risolviamo la disequazione:12-x < e 12-x-xi < E' X ' ' X

Essa equivale ai due sistemi :

i2-2x i1 — 1 < £ 1 ^1

41

Page 44: Limiti, guida

01-x e x 21-x > 0

[2-2x < ex (°)

[0 < x < 1 iche ha soluzioni per < x < 1

’2-2x+exb)

rl-x ex 2

11-x < 0. — ■ > 0 2x

!,x < 0 , x > 1

2 < (e+2)x

0 < x < 10u

2e+2

rx > 7+2 ,0 < x < 1

1

r ( e ~2 )x+2 > o oI 2x ^ J 2x[x < 0 , x > 1 l x < 0 , x > l

(2-e)x-2

j 0 < X < 2=-C

[x < 0 , x > 10

_ r 2 - € che ha soluzioni per 1 < x < —— .2 - e

p _ y ______

Pertanto, la disequazione | — ---l| < e ha soluzioni per 2|c2

= ± -i valori di x che costituiscono un intorno completo di x = 1 e non un in= torno dell'infinito. La scrittura è errata.

19. Verificare che risulta: lim -— = =x-+ +oo x

Poiché questo è il caso a.2 dello schema D basta risolvere la x2+l ‘

(definizione di § 2.7)

> M ed ottenere per soluzione x > N.

x2+l -M > 0 x2+l-Mx > 0 x 2-Mx +1 > 0. m- / ( m2-L)

numeratore > 0 per x2-Mx+l > 0 (d = M2-L) x = M*1 2-1») a \ m +/(M2-L)

quindi x2-Mx+l > 0 per x < M-/(M2-1») ed x > M+/(M2-L)

denominatore > 0 per x > 0

x2+l

M -x /(M a- 4 ) M W (M » -4 )2_____

La > M è verificata per 0 < x < M-/(M2-U) _ _ _ M+/(M2-L) _ „C X 2 " “ H ex ' ’ ” 2Il primo intervallo costituisce un intorno destro dello zero e tale soluzio^ ne da sola non ci assicurerebbe l'esattezza della scrittura 19.Il secondo intervallo costituisce un intorno di , quindi tale soluzione conferma l'esattezza della scrittura 19.

20. Verificare l'esattezza della scrittura: lim - hX, = -®.x +1x-f +»Si tratta del caso b.2 dello schema D, quindi, se la scrittura è esatta ,

• • Xla disequazione x2+1 < -M deve essere soddisfatta per i valori di x co= stituenti un intorno di +• , cioè per x > N . Si ha:

(*) B ' etneo possibile eliminare il denominatore parchi dalla seconda dieequatione rieulta che x I po eitivo.

4 2

Page 45: Limiti, guida

Mx2+x+M— & T * 0 •~y^: +M < 0 xz+l

x+Mx2+M . „ 0

Essendo il denominatore sempre positivo è sufficiente che sia:Mx2+x+M < 0 . Dato che A = 1-LM2 , se si prende M > l (come è lecito

fare dato che M si sceglie grande) allora A < 0 . Cosicché Mx2+x+M > 0per qualunque x, ed il rapporto ‘— è sempre positivo. La < -Mnon ha soluzioni. La scrittura è errata.

x^-l21. Verificare l'esattezza della scrittura: lira ---- =x - —

Si tratta del caso b.l dello schema D, quindi, se la^scrittura è esatta, x2-lla disequazione — — < -M deve essere soddisfatta per ì valori di x < -N

(intorno di -00).Si ha: x2-l +M < 0 ► xi^xil < o

X X

numeratore > 0 per x2+t-lx-l > 0 (A = M2+l») x = pertanto

, „ . _ -M-/(M2+L)xz+Mx-l > 0 per x < --- g----- ed x > -m +/(m 2+U)

denominatore > 0 per x > 0 .

- M->/(M2 + 4)i

M+V(M2 + 4) 2

La disequazione v . „. -M-V(M2+b)e verificata per x < --- 1----- = -N e per

0 < x < -M+/(M2+L)

Il primo intervallo, costituendo un intorno'di -« , conferma 1' esattezza della scrittura.Il secondo intervallo, costituendo un intorno destro dello zero, da solo non assicurerebbe tale esattezza.

Nella pagina seguente riepiloghiamo, con la TAB. Ili, quanto è stato detto ai SS 2.3, 2.5, 2.8. Nella tabella è indicato ciò che si deve fare per verificare un limite in base alla definizione relativa.

Page 46: Limiti, guida

TAB. IliSCHEMA LIMITE

DA VERIFICAREDISEQUAZIONE DA RISOLVERE SOLUZIONE DA TROVARE INTERPRETAZIONE

GRAFICAi lim f(x) = l +

X* c~f(x)-£ < E c-Se < x < c a.l

2 lim f(x) = 4+ x-*- c+

f(x)-E < E c < x < c+6£ a.2

A3 lim f(x) = l *

x*> cf(x)-4 < e c-6e < x < c+6e a.3

pag. 26 4 lim f (x) = ST x*> c"

f(x)-4 > -e c-5e < x < c b.l

5 lim f(x) = i~ X -* c+

f(x)-4 > -E c < x < c+6e b .2

6 lim f(x) = Z~ x-> c

f(x)~i > -E c-6£ < x < c+6e b.3

7 lim f(x) = iX-*- c

|f(x)-t| < E c-6e < x < c+6e a.l, b .2 o b.l, a.2

8 lim f(x) = +» x-*- c“

f(x) > M c-6m < x < o a.l

9 lim f(x) = +» x->- c+

f(x) > M c < x < c+SM a.2

B10 lim f (x) = +oo

X-* cf(x) > M c-6m < x < c+5m a.3

page 31 11 lim f (x) = -« x-*- c“

f(x) < -M c— < x < c b.l

12 lim f(x) = -» X-+ c+

f(x) < -M c < x < 0+6 b .2

13 lim f(x) = x-+ c

f(x) < -M c-6 < x < c+6| b.3

14 lim f(x) « » x-** c

|f(x)| > M c-6m < x < c+óM a.l , b .2 b.l , a.2

C

pag. 36

15

16

17

18

19

20

21

lim f(x) = 4+ x-*- -<»lim f(x) = t + x->- +lim f(x) = 4+x-*- «lim f{x) = l~ x-*-lim f(x) = t~X-r- +°°lim f(x) = i.” x-*- «°lim f(x) = 4 x-*- “

f(x)-4 < e

f(x)-4 < E

f(x)-i < e

f(x)-4 > -E

f(x)-4 > -e

f(x)-4 > -E

|f(x)-4| < G

x < -N

x > N

x < - N , x > N ( |x| > N)

x < -N

x > N

x < -N , x > N (|x|>N)

x < - N , x > N ( | x | > N )

a. 1

a. 2

a. 3

b. l

b.2

b.3

a.l , b .2 o b.l , a .2

22 lim f(x) = +“> f(x) > M x < -N a.l

23 lim f(x) = +» f(x) > M x > N a.2x-*- +»

24 lim f(x) = +<” f(x) > M x < -N , x > N (|x| > N) a.3D x-*- »

25 lim f(x) = -® f(x) < -M x < -N b.lpag. 39 X“»" -«

26 lim f(x) = f(x) < -M x > N b.2X-*- -H”

27 lim f(x) = -® f(x) < -M x < -N , x > N ( | x | > II ) b.3x-* »

28 lim f(x) = » |f(x)| > M x < -N , x > N (|x| > N) a.l , b.2 o b.l , a.2x~> 00

Page 47: Limiti, guida

2.9.- ESERCIZI PROPOSTI.

x3-2x2+5x-10x-2

Le soluzioni sono subito dopo.zior9

(2x 2-5x ) = -2

x-1----------- = 002-xx+1

Applicando le22. lim

x- 223. lim

x+ 224. lim

x+ 225. lim

x+ 026. lim

x+ 0+logbJ - {

—00+CO

(b>l)(0<b<l)

27. lim log(x2-l) = +08 x+ +»

28. lim A l ~ x ) = +® x-*-

29. limX-t- oo

30. lim x-»- 0

31. lim x+ c

senx = 0

cosx = cose per qualunque c.

Applicando le relative definizioni, verificare l'esattezza delle scritture:

32. lim = -1x+ 1 x ~1

33. lim tgx = -t x+ Jrr+

34. lim ax = i+”L — COx-> +»

(a>l)(0<a<l)

35. limX-»“ -H»

logax = t (a>l)(0<a<l)

Soluzione degli esercizi proposti.

22. lim —— 23C+5x_i2. = (TAB. III-7) In base alla definizione2 ^ 3 2

(§ 2.3) la disequazione: |-— ^x-2^* 10 ~9| < e (1) ha per soluzionitutti i valori di x in un intorno completo di x = 2 , escluso x = 2 , qua lunque sia e > 0 prefissato. Si ha che: x3-2x2+5x-10 = (x-2)(x2+5).

Quindi la (1) puè essere scritta: | x ~9| < e -*• |(x2+5)-9| < e.E' possibile semplificare perchè, come si è detto, x ¥ 2.

| x2—U j < e -*• -e < x2-!* < e -*• l*-e < x2 < !*+? Estraendo la radice qua drata di tutti i membri: /(lt-e) < |x| < /(L+e) ^ /(U-e) < x < /(4+e),

cioè: -------V ■■ H------ che è un intorno completo di x = 2.\/(4-e) 2 \/(4+e)

Si osservi che il punto di ascissa x = 2 non appartiene alla~ t . . \ _ x 3-2x 2+5x -10 ..... 0flx)-------------- , infatti: f(2) = g .

23. lim (2x 2-5x ) = -2. (TAB. III-7) La disequazione |2x2-5x+2| < e è x+ 2equivalente ai due sistemi :\ Ì2x 2-5x +2 < e /2x2-5x+2-e < 0 (1)' (2x 2-5x +2 > 0 ]2x 2-5x +2 > 0 (2)

C) Si ricordi eh. /x2 - |x|. Per l'eetrezione di radice cfr. P.2, S 1.6. Poichi eiaiuo intereeeeti a valori di x > 0 (ci intercisa un intorno di 2), è |x| - x.

46

Page 48: Limiti, guida

(1) A = 25-8(2-e) = 9+8c 5±/(9+8e) .•+ x = —— ^ --- - , verificata per:5-/(9+8e) 5+A9+8e)

k < x < 1*(2) A = 25“lé = 9 -+ x = , verificata per x < J , x > 2.

Il sistema a) ammette soluzioni per ,5 /(9+8e_) < x < ’ ed anche per

2 < x < 5+/(9+8e) 5 - V (9+ 8e ) 4 1 2 ?

5* %/ (9* 8e) 4

y.\ f2x2-5x+2 > -e f2x2-5x+2+e > 0 (3)' \2x2-5x+2 < 0 | i < x <2(3) A = 25-8(2+6)" = 9-8c -+ x = 8e) verificata per:

„ 5-A 9-8e) 5+/(9-8e)X < ^ > x > jj

Il sistema b) ammette soluzioni per j < x <

5+/(9~8e) < x < 2 5-V(9-8e)

5-/(9-8e)----5----

5+ V(9 - 8e ) 4

ed anche per

r tLa disequazione |2x2~5x+2| < e ammette, quindi, soluzioni per i valori di x compresi in due intervalli:

5 -V(9 + 8e) J_ 5-V(9-8e) 5rV(9-8e) , 5*V(9*86)4 2 4 4 “ 4

-----1 ' i— ----------- 1 ~~ = n ------Il primo intervallo costituisce un intorno completo di x = § e tale solu= zione da sola non ci assicurerebbe l'esattezza della scrittura 23. Il se= condo intervallo costituisce un intorno completo di x = 2 , quindi tale s£ luzione conferma l'esattezza della scrittura. Da osservare che in questo so non è stato necessario scartare x = 2 . Ciò vuol dire che il punto d' scissa 2 appartiene alla funzione y = 2x2-5x. Infatti y(2) = -2.

24. lim = « (TAB. 111-14). Deve essere: -| > M qualunque siax+ 2 ^ xM > 0 grande a piacere. I due sistemi da considerare sono:

f| ^ > M fx-1 > 2M-Mx f(M+l)x > 2M+1

| ^ > 0 \l < x < 2 11 < x < 2

Il sistema a) ammette soluzioni per 2- < x < 2.

x > 2M+1 _ 2 _1_ M+l " " M+l

1 < x < 21 2

t

b)x-12-xx-12-x

< -M

< 0

x-l+2M-Mx 2-x " 0

x < 1 , x > 2

(M-l)x-(2M-l) > 0 2-x

x < 1 , x > 2i

(*) Si ) potuto eliminare il denominatore in quanto nell’intervallo 1 < x < 2 * 2-x > 0.47

Il |P>

Page 49: Limiti, guida

2M-1 _ _. 1 .2 < x < i n - 2+ m =t ;x < 1 , x > 2Il sistema b) ammette soluzioni per 2 < x < 2+ M-l

i x-11

2+ M-l

— < x < 2+ —La disequazione M ® quindi verificata per 2- ^

2-77-r 2 2+tt -t che essendo un intorno completo di x = 2 veri■----1 — i--- fica il limite proposto.

25. lim ^ = +» (TAB. III-10). Deve essere > M per qualunque M>0x-+ 0 xscelto a piacere. Essendo x2 > 0 sempre, tranne che per x = 0 , si ha:

Mx2-x-l < 0 (A = 1+ltM -*• x = lì l!tM+l)2Mlt/( liM+l )

2M ' ~ ' 2M1 _ . / / A t J ^ t \ ^

x+l-Mx2 > 0 l-/( Lm +i ) < x < . Dal confronto delle due radici con lo ze=

l->/(4M + 1) ro, segue: --------______ I----

l»\/(4M + l) , . X + l v ,— *----- che la —2 > M e verificata per x2M— I

compreso in un intorno completo di x = 0 . Il che conferma il limite propo sto.

26. ,. , /-» per b > 1 a)lim logbx = \+„ per o < b < 1 b)x-»- 0a) lim logbx = -» (TAB. III-12) . La disequazione logbx < -M

x-* 0+zioni in un intorno destro dello zero. Infatti:

logbx < -M - blog*X < b"M (0) - x < b-M

ha solu=

La potenza b-^ è maggiore di zero ed è piccola se b > 1 . Ad esempio,_M T_ 1

per b = 2 ed M = 1000, è b 1 = " m = ¿1 000 • Cosicché, se b > 1 , la

disequazione logbx < —M è soddisfatta per 0 < x < b ^ (intorno de=stro dello zero). Ciò verifica che lim logbx = -<■> se b > 1.

x-*- 0+b) lim logbx = +» (TAB. III-9). La disequazione logbx > M ha soluzio . x-*- 0+ne in un intorno destro dello zero. Infatti:

logbx > M bl0gbX < bM -*• x < bM .Si noti l'inversione del senso della disequazione passando da logbx ad x dovuta al fatto che 0 < b < 1 • Posto ad esempio b = j , logbx = Mj con Mj > M , segue che (j)Ml < (f)M • Infatti essendo

O Si ricordi che pur dimostrare l'uguaglianza: b ^ “ x , è sufficiente considerare il logaritmoin base b di ambo i membri: log^(b^°**>X) - logore • Per la proprietà della potenza (cfr. i 1.5) si ha: log^log^b - log^x . Essendo log^b - 1 , »i verifica l'asserto.

48

Page 50: Limiti, guida

V> 2^ . La potenza b^ è maggiore di zero ed è piccola se 0 < b < 1

Per esempio b = 5 ed M = 1000 ; b^ = (J)1®®® = 000 • Cosicché, se0 < b < 1 la disequazione log^x > M I soddisfatta per 0 < x < bM (in torno destro dello zero). Ciò verifica che:

lim log.x = +<“ se 0 < b < 1 . x-* 0+

27. lim log{x2-l) = +" (TAB. III-23). La disequazione log(x2-l) > M ha so x-* +<»luzioni in un intorno di +», cioè, per x > N con N > 0 e per qualunque M > 0. Si ha: log(x2-l) > M el°g(x + x2-l > M ■*

x2 > l+eM . Estraendo la radice quadrata di ambo i membri: |x| > /(1+e^).Poiché siamo interessati a valori positivi di x (x-> +“), è |x| = x . Per tanto la disequazione log(x2-l) > M è soddisfatta per x > /(l+e^) = H il che verifica il limite proposto.

28. lim /(l-x) = +» (TAB. III-22). La disequazione /(l-x) > M ha solu=x-r- -<»zioni in un intorno di , cioè, per x < -N con N > C e per qualunque M > 0.

/(l-x) > M ■+ l-x > M2 ■* x .< 1-M2 . Posto N = M2-l > 0 , la dise= quazione è verificata per x < -(M2-l) = -H . Ciò copferma il limite.

29. lim = 0 (TAB. III-21). La disequazione -0| < e ha soluziox-»- »ni in un intorno completo dell'infinito, cioè, per |x| > N con N > 0 ed e > 0 piccolo a piacere.La disequazione | | < c può essere risolta con. le considerazioni se=guenti: poiché è sempre |senx| <_ 1 , è sicuramente 1 | <_ | | = -jjj ..Quindi, per i valori di x per i quali -p-r < e a maggior ragione èI x IISr I < e‘ Essendo y-y < e verificata per |x| > ^ = N , la disequazio=

ne |S^nX| < e è a maggior ragione verificata per |x| > N . Ciò conferma il limite proposto.

30. lim xsenjj = 0 . Questa verifica si riconduce a quella del limite precedenx-*- 0 te. Basta infatti 1porre: - = y . Poiché lim - =

x-t- 0 xlim x-*- 0

y = (g) = « , si

ha: lim xsen- = 0 « x x-t 0lim -seny y-* “ y

= lim = 0y-* » y

che è il 29.

31. lim cosx = cose per qualunque c, (TAB. III-7) La disequazionex-*- c|cosx-cosc| < e è verificata per i valori di x in un intorno completo

di x = c . Applicando le formule di prostaferesi (cfr. pag. 13) la disequa zione diventa:

49

Page 51: Limiti, guida

(X)_ X+C x-c| _ I X+C| I x-cI-2sen— sen— | = 2|sen— | • |sen^-|

Dalla fig. A3 si rileva che per ogni x le ordinate sulla curva y = |senx| so no minori (o uguali, quando x = 0 T delle corrispondenti ordinate sulla curva y = |x| . Tali considerazioni permettono di affermare che:

— I < 1-2-1 e |sen— | < J — |.sen-

Pertanto la (1) si può scrivere:x+c | I x-c| |X+CI Ix-c||sen— | < |— |-|— | ( 2 )

- | < X < | + -2e < x2-c2 < 2e ■+ cz-2e < x2 <Estraendo la radice quadrata di tutti i membri:

/(c 2-2e ) < |x| < /(c2+2e )Questo è un intorno completo di x = c (qualunque sia c).per x = c > 0 la (3) diventa: /(c2-2e) < c < /(c2+2e )

0 \AcJ-2e)

c 2+2e

(3)Infatti :

c \AcJ + 2e)per x = c < 0 la (3) diventa:

do per -1 :I

Il limite 31 è verificato.

32. lim ili = _! (tAB. III-7). x+ 1 x 1

/(c 2-2e ) < -c < /(c2+2e ) e moltiplican= -/(c2+2e) < c < -/(c2-2e )

c -y /{ e i -2 e ) 0

Se la scrittura è esatta, la disequazione

i/x-1 1 x-1cere, in un intorno completo di i /x-1 .. i i /x-1 _ i\ — l +1I < e ■*’ l(/x-l)(/x+l) +1l " £

+l| < g deve essere verificata, per qualunque e > 0 piccolo a pia=x = 1 , escluso x = 1 .

- " e -

Poiché per x ^ 0 è :il+/x+li 1 /x+1 I

| /x+2, 1 /x+11 < e

{/x+2 reale e positivo/x+1 reale e positivo

i/x +2i /x+2 ' /x+1 • ” /x+1 < e

•i + /x+2 ,il rapporto yx+1 e

Il primo membro è maggiore di 1,

positivo, quindi :

essendo /x+2 > /x+1,

quindi la disequazione è verificata solo per e > 1 . Il che vuol dire che e non può essere preso piccolo a piacere. Per e < 1 la disequazione è as. surda. Ciò prova che la scrittura 32 è errata.

33. lim tgx = -« (TAB. III-12). Se la scrittura è esatta, la disequazioneX-+ £ir+tgx < -M è verificata per i valori di x in un intorno destro di } ir , qua lunque sia M > 0 grande a piacere. Posto M = tga la disequazione diventa tgx < -tga -+ tgx+tga < 0 . Applicando le formule di prostafere=

50

Page 52: Limiti, guida

si (cfr. pag. 13) si ottiene: S.?J^X a < o . Essendo M > 0 , è tga > 0cosxcosacioè 0 < a < gir , quindi cosa > 0 . Moltiplipéndo ambo i membri della♦ • sònix^ù)disequazione per cosa si ottiene: ---1---- < 0 .cosx

sen(x+a) > 0 per 0 < x+a < ir -*■ -a < x < ir-acosx > 0 per -Jir < x < gir .1 '-o - n-a

Il rapporto è negativo per -gir < x < -a e gir < x < ir-a .Il primo è un intorno destro di -gir e, da solo, non assicura 1 ’ esattezza del limite proposto. Il secondo è un intorno destro di Jn , tanto più pic= colo quanto maggiore è a (a tende a gir), cioè quanto maggiore è M. Ciò assicura l'esattezza del limite proposto.

34 lim x-* +°°

se a > 1 a)se O < a < 1 b)

a) (TAB. III-23). La disequazione ax > M , deve essere verificata per i valori di x > N (intorno di +»>), qualunque sia M > 0 scelto a piace

N • • ♦ y Mre. Posto allora M = a la disequazione diventa: a > a -*• x > N .Ciò conferma l'esattezza della scrittura a).

b) (TAB. III-26). La disequazione ax < -M , deve essere verificata per i valori di x > N (intorno di +=»), qualunque sia M > 0 scelto a piacere. Poiché ax > 0 sempre, la disequazione ax < -M è assurda dato che un numero positivo non può essere minore di un numero negativo. Si con= elude che la scrittura b) è errata. Dimostriamo che la scrittura esat.ta è: lim ax = 0+ per 0 < a < 1 (TAB. III-16).

x-*- ■*»La disequazione ax-0 < e -»■ ax < e è verificata per x.> N ((intorno di +»). Infatti, posto e = a^ , la disequazione diventa: j

ax < a^ -*■ (-) X < (-) H -»■ (essendo - > l) -*• -x < -N -*■ x > Na a a(intorno di +«").

35. lim logax = ( ^ x-* +®°

se a > 1se 0 < a < 1

a)b)

a) (TAB. III-23). La disequazione logax > M deve essere verificata per i valori di x > N (intorno di +«) , qualunque sia M > 0 scelto a pia cere. Posto infatti M = log N , si ha:log&x > M -*■ log&x > •+ x > N . Ciò verifica l'esattezza dellascrittura a).

b) (TAB. III-26). La disequazione logax < -M deve essere verificata peri .valori di x > N ( intorno di +*), qualunqie sia M > 0 scelto a pia cere. Posto infatti -M = logaN (si ricorda che per 0 < a < 1 ed B > 1è log&N < 0), la disequazione diventa:

log x < log N . Cambiando base (cfr. pag. 11):° f i l 9*

A

51

Page 53: Limiti, guida

Moltiplicando 1° e 2° membro per Ioga, che è negativo:logx < logN Ioga Iogalogx > logN -»■ x > N . Ciò conferma l'esattezza della scrittura b).

2.10.- CALCOLO DEL lim f(x) CON c FINITO 0 INFINITO, x* c

Le funzioni delle quali può essere richiesto il limite per x tendente a c possono essere catalogate così :

a) Funzioni razionali intere. e) Funzioni esponenziali.b) fi „ fratte. f) 1« circolari inverse.c) II irrazionali. g) If logaritmiche.d) t* circolari. h) II iperboliche.

i) Funzioni composte.Tutte queste funzioni si considerano reali a variabile reale, ed in questo pa

ragrafo le indicheremo tutte con jr = f(x) . Quindi con l ’espressionelim f(x) (1 )x-*- c

indicheremo il calcolo del limite di una qualsiasi delle funzioni sopraelencate. Quando viene chiesto di calcolare il limite (1), o quando il problema che si sta risolvendo richiede un tale calcolo, si deve, per prima cosa, sostituire il valo^ re x = c nella f(x) e calcolare f(c).

Il calcolo di f(c) può condurre ai seguenti tre casi:1 °) f(e) è uguale ad un numero reale definito;2 °) f(c) dà luogo a forme indefinite di immediata interpretazione;3°) f(c) dà luogo a forme indeterminate, cioè forme sulle quali nulla può dir=

si a priori.1 ° caso: f(c) dà un numero reale definito.

36. Calcolare il limx-» |tt

senx-cosx _ sen|ir-cos;rt _ 1 - 0 2gir

Cioè, sostituendo x = Jrr al posto di x nella funzione- 2 funzione ha assunto un valore ben definito (-).IT

senx-cosxx la

Ciò avverrà non poche volte, perchè è una prerogativa di tutte le funzioni y = f(x) che in x = c sono continue . Evidentemente è il caso più semplice. Quando allora una funzione è continua in un suo punto P d'ascissa x = c ? Quan=do il lim f(x) = l = f(c) (2)

x- cLa funzione dell'esempio 36 è continua nel suo punto P = ( 5 , -) , proprio

perchè è soddisfatta la condizione (2). Cioè il limite è finito e coincide con il valore che la funzione assume in x = jir. Il concetto di continuità di una funzione f(x) in x = c è da intendere in base al significato stesso della pa rola continuità, cioè senza alcun salto o interruzione in corrispondenza del pun to P d'ascissa x = cvo r a ascissa x — c» 2Consideriamo ad esempio la funzione y = ^ il cui limite per x tendente ad1 è stato verificato nell'esempio 4. Poiché in 1 la funzione non esiste[y(l) = z] , essa è equivalente alla y = x+1 per ogni x + 1 (cfr. 9 2.2).52

Page 54: Limiti, guida

Il suo diagramma è quindi quello di fig. 44 da cui si può vedere che la funzione presenta una interruzione in' x = 1. Ciò si verifica ogni qualvolta

lim f(x) = lim f(x) = 4 e f(c) non x+ c" x- c+

Consideriamo adesso una funzione così definita

esiste.

y(l) = 1-Essa è sempre equivalente alla y = x+1 tranne per x = 1, ove la funzione data vale 1 e la sua equivalente vale 2. Quindi il diagramma della funzione data è quello di fig. 45 nella quale si vede che la funzione presenta un salto in P. Ciò si verificherà, in generale, quando, pur essendo

lim f(x) = lim f(x) = t è f(c) # i. x-> c' x* c+

Consideriamo adesso la funzione y = x+1 . Per essa èlim (x+l) = lim (x+l) = 2 . x+ 1“ x-» 1+

Dato che y(l) = 1+1 = 2 , il suo diagramma e quello di fig. 46 che non presenta, quinci, nè salti nè interruzioni.

Conclusione: la condizione (2): Ii~. ’’(x) = i = f{c) è;<-*• e

una condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione y = f{x) sia continua in un suo punto d ’ascissa x = c.

Fig. 46

Calcoliamo i seguenti limiti di funzioni continue in x = c.

37. lim x+ 1

x2+lx 2 -5 x + é

1+1 _ 2 1-5+6 " 2

38.

39.

40.

41.

lim A * --3). . •'(3*-3) . 0.x-* 3+lim logx = Ioga con ax-* a

lim e1“* = e1"! = e° = 1x+ 1lim (1+ X -jlogChx-Thx) =x-*- 0+

> 0

1+O-slogChO-ThO = Ì+O-Ìlogl-O * 1

2° caso: f(c)Consideriamo

di luogo a forme indefinite di immediata interpretazione, il rapporto di due funzioni qualsiasi A(x) e B(x) ed ancora ii

2a) Selim A(x) xu clim B(x)

A(x)lua i u T con c 'finito o infinito.X+ c

oAllv

ili (+»)

lim x-> c

è nullo (0, 0+ , 0“).

c

Page 55: Limiti, guida

Esempi.lo i • x+g _ 0+.2 _ 2 _ _

xr 0 " cts° ~ ~

44. iim sen(l/x) _ sen(l/«>) = senO _ 0 _X » oo coX** 00

Sono allora da considerare immediati i limiti che per sostituzione danno luo= go ad una delle forme elencate nella nrima e seconda colonna della TAB. IV.

2b) Se il lim è infinito (“ , +<», -»)lim A(x) = m # 0 finito x-»- clim B(x) = 0 (0±).x-*- c

Esempi.

” ■ A ' o - -x-*- 2,, .. CO S X C O S O 146. lln — = — = 5 * -

x-> 0LO 1+ 2/x _ 1+ 2/« , 1+0 _ 1 _

sen(l/x) sen(l/») senO 0x-+ »

Sono allora da considerare immediati i limiti che per sostituzione danno luo* go ad una delle forme elencate nella terza colonna della TAB. IV.

2c) Se .lim A(x) = »X-*- c

lim B(x) = m | 0 finito x->- c

il lim g W ì infinito (»,+«, -<»)X-*- c

Esempi.48. iim . iffiL = 1&LZL - m m

1 X 5 7T 5 7TX+ ¿7T * *

x-» 0

50. lim x-*- li­

si. lim x * r

•fccCOS (l/x) COS (l/l") cosO - 1'

log(l-x) _ log(l-l~) _ logO+ _ -°° . x-1 1" -1 0 “ 0" ■

Sono allora da considerare immediati i limiti che per sostituzione danno luo* go ad una delle forme elencate nella quarta e quinta colonna della TAB. IV.

54

Page 56: Limiti, guida

TAB. IV1 2 3 4 5

8(3 II O 1 O«Ot 1 6 m

6 = * li 0»« S. «0m 16 00— S to0 21

TT= 0++OJ 2

+oII+oU 7 m

ó ^ “ ^ 12 +00 = +oom 17 +oo0+ = 22

— = 0“ —co 3 £ - 0--»00 8 m0“ 13 —001 — —com 18 —CO

ó+ = 23

2* = o“+oo 4 £ - - 0 - 9 % il A 14 +CC-m 19 +CO

0- = 24

38-. 0+ 5

+oII1 I 8 o| 1 IO “IT.

0“ = +0° 15 —0037 = +co 20 —00

r = +°° 25

a è un numero positivo finito.

2d) Sono da considerare immediati i limiti di funzioni che per sostituzione, dan no luogo ad una delle forme elencate nella TAB. V.

TAB. V

— (•Ho) = -ao

+ ( -00 ) SS, -00

1

2

—co— ( +oo ) s —oo

ra(+°°) = +®

10

11

(+oo)E = +OC

( +00 ) 1*1 = 0+19

20(+®)-00 = 0+

+0C _m = +■» m > 128

29

m+(+«) — +°° 3 -m(+°°) = -=» 12 ( —oo) = +co 21 m = 0 * m < 1 30

m-(—«) = +« 4 I 8 II 1 8 13 «*I 3 II 1 8 22 —CO J.m =0 m > 1 31

m+(-®) = -» 5 -m( ~®°) - +«• 14 (-»rn2 = 0+ 23 m = +oo m < 1 32

m- ( +® ) = -<» 6 +{30 ( +00 ) = +CO 15 0n£T»81 24 logm(+°°) = +<» m > 1 33

+oc+(+oo) a +<o 7 +03 ( —00 ) S —OS 16 (o+) ^ = ,o+ 25 log^(+») = -» m < 1 34

+00— (— oo) = + 0 0 8 —00 ( +CO ) = —00 17 (0+ )~~ = +® 26 log m = 0+ m > 1 °+00 35

8 + 1 II 1 8 9 —CO ( —00 ) = +CO 18 (+«)"*’ = +oo 27 log+c<) m = 0” m < 1 36

m > 0 realeni > 0 intero dispariTi2 > 0 intero pari.

Esempi.

52. lim (senx+ = senj*+ + +' = 1 + 4*- = 1+“ =1 + n Ti VJX~* 5 TT

53. lim (■£ + ctgx) = + ctgO” = -»+(-») = -®x-»- 0“

TAB. V-3

TAB. V-9

55

Page 57: Limiti, guida

TAB. V-1354. lira xtgx = sir(— ) = -»X-*- jir+

55. lim -logx = "TT" Iog0+ = +»(-«) = -cox* 0+ x 0

56. lim (logx)x~3= (logO+)0+-3 = (-®)-3 = 0" x-»- 0+

57. lim (lrx = (¿)-(+" } = «> ♦ > - - 4-X + +0°

» ■ i » , <ife)10KÌ ■ 'òfe>1Oi0* ■ «)'• ■ ~x-* 059. lim logx(e~x + J) = log+a> (e-” + i) = l°g^ + J)

x-*- +«> e

= log+. = l08+„ (0+^ = log+- * = 0

TAB. V-16

TAB. V-24

TAB. V-26

TAB. V-32

TAB. V-36

3° caso: f(c) dà luogo a forme indeterminate.Il calcolo di f(c) può dar luogo ad una delle forme elencate nella TAB. VI,

di interpretazione non immediata.TAB. VI

OIO ì + 00—00 4 1 “ 7 ( 0 + ) 1 0

8 1 8 2 0 ° 5l o g o + (+“) 8 (■*-) 11

0 • 00 3 » 0 6 lov ( 0 + ) 9 l o g j i 1 1 2

E1 chiaro allora che è su queste forme che si deve porre la massima attenzio® ne, nel senso che le difficoltà vere e proprie nel calcolo del limite di una fun zione si riscontrano quando, sostituendo, si giunge ad una forma indeterminata. A questo punto interviene l'abilità di chi opera. L'abilità si acquisisce con 1' esercizio, ma questo solo non basta: occorre anche affinare l'intuito.

2.11.- ESERCIZI PROPOSTI.Calcolare i seguenti limiti immediati consultando, ove occorra, le tabelle IV

e V./ ( 2 x —ir )

+ tgx

«2-x

60. lim x- 2

X^-lix-1 63. lim

x-*- 2{/(x2-3x +2)- x-2 66. lim

x-*- Jrr

61. lim x2-5axi*-6a2x+a 64. lim /3x-2 1.

"logx) 67. limx-*- -<i x-*- +® X-+ 2“

62. lim x** 1

r X + l 1 i<7(^I) + x-r 65. lim

x- 1+log(2-x)-log(x-l)

00 lim x-*- Jir"

tgx + 1-senx

56

Page 58: Limiti, guida

69. lim (xlog x-l) 73. limx- 0+ x->

70. lim (2-x)k1^ 74. limx* 0+ X-+ 0"

4log2x71. lim x ° 75. limx-*- +*» x- 0+

72. lim (x+logChx-2Thx+l) 76. limx-+ +*° x-* (e'

i " etea jChx

A quale d e lle forme indeterm inate e len cate n e lla TAB. VI conducono i seguenti

T f S f ?x** 086.

7«. i »x- 0 tgx x

87.

. . logsenx 79. lim — -x- 0+ ctgX

88.

__ .. log(l+2ex) 80• lu" /(l+x2)X-*- +°°

89.

81. lim (l-x)tg(5irx) x->- 1

90.

82. lim tgx^e1^ x-» 0+

91.

92.

84. lim {x—x2log(1+ -)} x-* +« x

93.

85. lim (senx)tgx x-*- 0+

94.

Soluzioni degli esercizi proposti

/ | x | - a r c s e n ^ _

lim (sxlogx2-^L-^] x-*

lim x-+ 1lim x-»- +°°

lim x+ C

lim logx_j i x_i_:_(x=iT> X** 1 e e

{cos(x-2)-x+l)j. H m logx_2 ^x* 2

93. lim 1°SX (2+ | ) X

x-+ +~

lim x-+ +“

lim x- 0

60. lim *£ d i s .tÌL= 2 . ox-*- 2

61. lim

x+1 2+1 “ 3

x2-5ax+6a2 = a2+5a2+6a2 _ 12a2 _x-*- -a x+a -a+a

r x+1 1 , 1+1 1____ i_ 1_^ B1+ V(x^-i) + 7 ^ ' = T u * ^ ! + ó * o + +<»+( +•»)

TAB. IV-11

+«> TAB. V-7

57

Page 59: Limiti, guida
Page 60: Limiti, guida

90. lim x-+Ì V l0gx-l igx—1 _e-(x-l)^

= log

{cos(x-2)-x+l}2

log0+

0+ 1+-1 log0+ 0^

e0+ -¿0

log0 + ( +•»)

91. lim log. °Y-x-*- 2 X-2 = log

= log

( cos0'f-2't'+l )2 , ( l“-2++i ) 2? “ i o g 0+ § ’ =2+ -2 2

(0 ~ ) 2 _0+ 1°60+ (0+)

92. Ricordando che lgenx| è una funzione limitata, cioè assume valori compresi si tralCE. ed 11 numeratore dell'argomento del'logaritmo assumerà ses»pre valori finiti per qualunque x , quindi:

|senx| _ , __ , c( .ove c può esserelim log

X-*- +«e= log ^ = 108^ (0+)+co -H» ■= 0

t 0

95. lim^ logx (2+ *)x = log+oo ÌZ+ log. 2+” = loS*m (+»)

94. lim log (1-senx) = log (l-0+) = log,. 1"x-, o+ 1 1 +

60

3. FORME INDETERMINATE.

A chiusura della tabella VI si è detto che sulle forme indeterminate si de- iporre la massima attenzione. Ci si deve, cioè, porre in condizione di risolve: 'tutti i limiti di funzioni che danno luogo a forme di tale tipo. Per questo ¿recedimenti sono tanti, ma tutti perseguono lo stesso scopo: trasformare la f\ alone, senza cambiarne il limite, in modo che nella nuova'funzione non compa l'indeterminazione. Per esempio, il

x 3_2x 2-x+2lim x+ 2 x-2

0 B S - 2 + 2 0dà luogo alla forma g , infatti: y(2) = — gq;— = g

\

Se tuttavia riduciamo la frazione ai minimi termini, si ottiene:' x 3-2x 2-x +2 x 2(x -2)-(x -2) _ (x-2) (x2-l) _

x-2 " x-2 x-2x 3—2x 2-x +2 o • • ■l'Ora, poiché le due funzioni: y = ---------- ed y = xz-l coincidono in ogi

punto, tranne in x = 2 (in x = 2 la prima non è determinata, la seconda è i tèrminata), si può scrivere:

x 3-2x 2-x+2lim x- 2 x-2 = lim (x2-l) = 3

x- 2E' importante notare che è stato possibile trovare il valore 3, a cui tende I

prima funzione per x tendente a 2, solo perchè si è potuto sfruttare la seco) da funzione ad essa equivalente per tutti i valori di x escluso x = 2. Ma i me fare, ad esempio, nei casi del tipo:

lim lim (x-l)log(x-l) = 0+ *(-») limx- 0 x->- 1 x-*- +®>visto che non c'è alcuna semplificazione evidente o possibile?

d + i )X = ^

LIMITI DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE.A( x

z

Una funzione di questo tipo si indica con y = • * limiti di queste fi,0 vzioni, o sono immediati, o in genere danno luogo alle forme indeterminate g,~

Caso g . Limiti di questo tipo si hanno quando x tende ad un valore finito ( i L'indeterminazione viene eliminata riducendo la frazione ai minii

termini. A tale scopo si scompone in prodotto di fattori sia il numeratore cl il denominatore e si semplificano i fattori comuni.

Ad esempio, si voglia calcolare il

95. lim = ,U j . Se A(2) = 0 , esso è divisibile per x-2.xz+x-6 L+2-6 n - - .........x-+ 2 Se B(2) = 0 , esso è divisibile per x-2.Cioè x = 2 è uno zero dei polinomi A(x) e B(x). Scomponendo allora cc Ruffini (cfr. 1.2) si ottiene:

x 2-3x +2 _ ,. (x-2)(x-1) _ ,. x-1 = 1x 2+x -6 “ llm„ (x-2)(x+3) llm0 x+3 5lim

x- 2. A(x) 0in generale, quando il lim -3 = g , vuol dire che x

x-*- aè uno zero si

Page 61: Limiti, guida

V J. i t u t U 4 -v O- 4 -

^■A(x) che di B(x) con ordini di molteplicità (°) rispettivamente n re che x = a è uno zero di A(x) e B(x) <'nr' vamente n ed m , significa che A(x)

m.con ordine di molteplicità rispet^

Qi(o)A(x) = (x-a)nQj(x)

B(x) si possono scomporre in:

Qz(a) sono entrambi diversi da zerovidendo ambo i membri delle (1) rispettivamente ene: . ,

A(x)

B(x) = (x-a)mQ2(x) (1)

per (x-a)nQi (x) B(x)

(x-a)nnsiderando i limiti delle (2) per x->- a:

(x-a)1= Q2 ( x )

(x-a)m si ot=

(2)

limx-*

A<x) ,0, _ , ,1 ;— nr- (ò } = Qi(a) = *1 * °a (x-a)

lim B(x)(q ) “ Qt( ** ) — 2 0

(3)

( 4)x-» a (x-a)m sa si deduce dai limiti (3) e (4) ?limite (3) si deduce che per x-*- a la funzione A(x) tende a zero con la

essa rapidità con cui vi tende (x-a)n . Cià si esprime più correttamente dicetiche per x-* a , A(x) è un infinitesimo d ’ordine n rispetto all’infinitesi» di confronto x-a. •limite (A) allo stesso modo si deduce che per x-*- a , B(x)

mo d ’ordine m rispetto all’infinitesimo di confronto x-a.Alla luce delle considerazioni suddette riprendiamo allora il

è un infinite»

lim = lim (-X~a)-n-Q - X-x+ a a (x-a) Q2(x)

ssono presentarsi tre casi:se n < m lim = lim x- a B(x

Qi(x) __x- a (x-a)m_nQ2(x) °'i’2

se n = lim = lim x- a B(x)Qt (x) _ E,QtTxT “x-> a *2 Z fi 0

se n > m U » # 4x- a B(x)

(x-a)n_mQ,(x) _ O-lj

primo caso si dice che, per x -*■ a , A(x) à un infinitesimo di ordine infe^v^1*' >re a B(x).- secondo caso si dice che, per x dine di B(x).1 terzo caso si die -re a B(x).-«•A

a , A(x) ê un infinitesimo dello stesso

:e che> Per x - “ » A(x) è un infinitesimo di ordine supe* o / *

ciò porta alla conclusione che il limite di un rapporto tra funzioni te s ime: infi*“ se il numeratore è un infinitesimo di ordine inferiore al denominatore;

t 0 se il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore al denominatore;mito js© numeratore» e* Hpnnm-i no* ^ISA n,ma,o+., .--- ai orarne superiore al denominatore;numeratore e denominatore sono infinitesimi dello stesso ordine. In

Ter t Map io * • 1 i uno aero del polinoaio xl,*2»»*2x-l . Poiché x‘*-2x»+2x-l l’ordine di molteplicità dello sero x ■ 1 * 111 e 3. (x-l)»(x*l),

l •

questo ultimo caso sarà necessario ridurre la frazione ai minimi termini e calco larne il valore per x = a.

Esempio. Calcolare:,. x“-x-6 4+2-6 0

96‘ ^ m_2 x3+5x2+8x+4 = -8+20+16+4 = 5

Scomponendo numeratore e denominatore si trova: x2-xr6_____(x+2)-(x-3j = ,

. x3+5x2+8x+4 " „ (x+2)2(x+lx-*- -2 x-*-lim Infatti, per x-* -2 , il nume» =

ratore è un infinitesimo di ordine inferiore al denominatore.

97. lim SÜrSï2*16 = 16-32+16 x-r. 2 x r8 8-8Scomponendo numeratore e denominatore si trova:

x‘*-8x2+l6 .. (x-2)2 •(x+2)2) ì *2 * 0tore è un infinitesimo di ordine superiore al denominatore

Infatti, per x-*- 2 , il numera»

98. lim -37 x+ 2

, 3 _ - ix2+4 8-12+4xJ-2x2-4x+8 8-S-8+8

05

Scomponendo numeratore e denominatore si trova:x 3-3x2+4 fx—2Ì2 (x+1Ì r . .lim x3-2x+-4x+8 = *im (x-2)2(x+2) = Lessen ° numeratore e denominato re in

finitesimi dello stesso ordine] = lim = jj .x- 2

hCaso _

r ,

Per funzioni razionali fratte questo caso si verifica quando x ten»__ - d e all'infinito. L'indeterminazione viene eliminata mettendo in evi»denza, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di x con esponente mas_ simo. Per esempio, si voglia calcolare il limite seguente:

axn+bxn~ +cx+d,. A(x) _ . . — — _____ __________ = -l m B(x) aiXm+b]Xm-1 +• • .+Cix+d!

con n, m interi positivi.x-+ »Ìli numeratore è di grado n ed il denominatore di grado m

Si proceda nel modo seguente:U i ¿ / ¿ U t J Q Z U a iH S - L . w w u w w v q u » , . . -

a) Si metta in evidenza al numeratore ed al denominatore rispettivamente x ed 1b

Si ottiene così il lim x-+ ®

x"(a+ l +c a \

+ Xn_1 + xn

xm(a1 + b + ... + ^ + $ )

b) A questo punto si tenga presente che lim^ ^ q = 1 = °* Quindl tuttl 811 ad"X-*- 00A."*'

dendi con x* al denominatore, passando al limite, si annullano. Rimane davn

considerare, ed limite, il rapportoax1aix® •

Ebbene, il limite dipende dai valori di n ed m. Possono capitare 3 casi:

63

Page 62: Limiti, guida

1)

2)

3)

se n < m

se n

se n > m

ax, . A(x) lim t = limB(x) atx1x-* « x-* => 1n a am = lira ~ Zà~ ri = — = 0 ;v- » n aj —

A(x) alim =~ : uguale al rapporto dei coefficienti di gradox** » ' ' 1 massimo; ,

A(x)llffi i u i = limx-+ ® x-*- «

ax aaa°a l

Ora quando il lim f(x) = » , si dice che f(x) è un infinito per x-* •X+ oo

nostro caso: A(x) è un infinito di ordine n rispetto ad x. Infatti:

lim x-* »

A(x) limX+ oo

axn+bxn-i +....+cx+dTT

Nel

B(x) è un infinito di ordine m rispetto ad x. Infatti:

limX-*- »

B(x) _ , a ^ + b i x “-^ ..... +c,x+d,¿à— - l a ---- 1----3 ------1--- L = ajX-* •» X

Alla luce di tali considerazioni si conclude che il limite di un rapporto tra funzioni infinite:è 0 se il numeratore è un infinito di ordine inferiore al denominatore;| e» se il numeratore è un infinito di ordine superiore al denominatore;è finito se numeratore e denominatore sono infiniti dello stesso ordine. In que.sto ultimo caso il limite è dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo.

Esempi.

» . u . J i h i i i - ì . xl„ *3<3* ; » ?limX+ oo

lim x-* "

Infatti il numeratore è un infinito di ordine (3) inferiore al denominatore (M. *

1*x 5+7x “+1 x5(1*+ x + 7 5')100. lim = lim ------* „x-*- 2x5+7 x-*- “ x 5(2+ ;5)

L+0+02+0 = 2

101. lim

Infatti numeratore e denominatore sono infiniti dello stesso ordine.

2(1+ x3> .-------- j - -X-*- oo

l i t ix-1

x3(l+ ¿1)lim ----- ;— = limx-* « x(l- X-*- (1- 1)

Infatti il numeratore è un infinito di ordine superiore al denominatore.

3.2.- INFINITESIMI ED INFINITI. ORDINI.I concetti di funzione infinitesima o infinita introdotti al 5 3.1 sono im=

portanti perché risultano molto efficaci nel calcolo di taluni limiti. Fornisco3 no infatti a chi esegue il calcolo una chiara indicazione sul risultato. La loro applicazione è utile, non solo al calcolo del limite di funzioni razionali frat3 te, ma anche al calcolo del limite di funzioni irrazionali o trascendenti.

Generalizziamo allora il concetto a funzioni di qualsiasi tipo.

Page 63: Limiti, guida

Indicando con f(x) e g(x) funzioni di tipo qualunque, f(x) è infinitesima d'ordine n rispetto ad x-a (infinitesimo di confrónto (°)) se:

lim “ *1 * 0 finit0- x+ a 'x a'Analogamente g(x) è infinitesima d'ordine m rispetto ad x-a se:

g(x)limx* a (x-a)*11 i.2 / 0 finito.

f(x)Dovendo allora calcolare il lim ) ( , tale limite è:x- a

® se n < m perchè il numeratore è infinitesimo d'ordine inferiore al denominatore;

0 se n > m perchè il numeratore è infinitesimo d'ordine superiore al de,nominatore;

0 .I =-j-l se n = m perchè il numeratore e il denominatore sono infinitesimi del

2 lo stesso ordine.Quanto si è detto per le funzioni infinitesime si può ripetere per le fùnzio=

ni infinite. Cioè: f(x) è infinita di ordine n rispetto ad x (infinito di confronto (°0)) se: , >

lim — = Hi 0 finito,x- » x

Analogamente g(x) è infinita di ordine m rispetto ad x se:

lim = i-2 S4 0 finito.x-*- x“

k j Dovendo allora calcolare il lim , tale limite è:f(x)gtxT

se n < m perchè il numeratore è un infinito d'ordine inferiore al de= nominatore;

se n > m perchè il numeratore è un infinito d'ordine superiore al de= nominatore;

l - se n = m perchè numeratore e denominatore sono infiniti dello stesso ordine.

0 se

oo se

l = 11*2 se

Per concludere, quando il limite di una funzione dà luogo ad una forma inde­terminata del tipo g oppure ^ , se ne può determinare il valore mediante un confronto, rispettivamente, tra infinitesimi o infiniti.

W u lu. *<■-T a Q- /<l>*\ «■* dw<*’>~*- W»r#. ' *

le

(*) L'infinitesimo di confronto É:x-s ee x* a finito e non nullo; x ee x * 0 il/x ee x- - .

(**){L'infinito di confronto A: x ee x- - :l/x ee x * 0 ;

j l/(x-a) se x* e .

X -<*)'

fo - Cr 0.L i h /r/r ->»--► -'U-- té* -■

65

Page 64: Limiti, guida

3.3.- LIMITI DI FUNZIONI IRRAZIONALI. (*)In base al tipo di funzione irrazionale, il limite può essere immediato ó da*

. . . . 0 ®re luogo a forme di indeterminazione del tipo g , - , +“-» , etc.Esempi :

, . A-l _ 1-1 0lim. x-i " i-i = 5x+ 1

/(x+2)-/(2x) A - A _ 0lxm A x-2) = /(2-2) " 5x+ 2

x + A■*’xm 2A+xx- +»

4«+«

lim x-*- +°°

+0O+«

/(xz+5x+6)-x = +«>-<»

____ 3x-2_____ -t-°»llflV 7(i*x-l)+/(x+l)X*+“ T*lia ^(è)*Ax2+l) =

+ 00+00

0*(+*)

(cfr. es. 102)

(cfr. es. 103)\

(cfr. es. 107)

(cfr. es. 113)

(cfr. es. 108)

(cfr. es. 109)x-*-

Tanto le funzioni razionali, quanto le irrazionali che, al limite, dan luogoa forme indeterminate diverse dalle q , si possono manipolare per ricondurle alle precedenti tre forme di indeterminazione. L'ultimo esempio, infat» ti si può scrivere:

r ( xz+l ) e* » . oolim /{-— j— £-} = — , ricondotto quindi alla forma - .x+ +® X

Fissiamo quindi l'attenzione, nel caso di limiti di funzioni irrazionali, sul 0 ®— — .fco—ao .0 ’ » ’le forme

Caso — ■. Si tratta sempre di eliminare l'indeterminazione cambiando la funzione I in un'altra avente lo stesso limite. Tale scopo si può raggiungere in 1

tre modi: j1) mediante razionalizzazione, del numeratore, o del denominatore, o di entrambi.2) mediante opportune scomposizioni,3) mediante particolari artifici.Esempi.

A-lx-1

05102. lim

x* 1. . . , . /x-l ,/x+l X—11) Razionalizziamo il numeratore della funzione: x-l*7x+l * (x-i)(7y+i) ’

A-l *Cosicché : lim - j g = lim = lin\ TxTT * ìiT * ^x-»- 1 x+ 1 x+ 1

2) Si può scomporre il denominatore^considerandolo una differenza di quadra

ti. Cosicché: lim A-lx-l - (A-l)(A+l)

A-lx- 1

= limX+ 1

______1___1A+l " 1+1 ~ s

( ) Prima di affrontare questo paragrafo i bene che lo studente riveda nella P.2 il i 1.6 per le prò prietE dei radicali. Per la raiionaliziaeione dei radicali cfr. I 1.3. ~

66

Page 65: Limiti, guida

103. lim - 5 • Razionalizzando sia il numeratore che il denmta/(x+2)-/(2x) /(x+2)+/(2x) /(x-2) (x+2-2x) -/(x-2l

t0re: " ’TH-a) V(x+2 W ( 2 x ) •7(7=21 “ (x-2){ /(x+2)+/( 2x)}= ___-(x-2) «/(x-2)

(x -2 )(/(x + 2 )+ /(2 x )} Cosicché :

, / (x+2) - / (2x) , . -(x-2) ’/(x-2)_____-, • ’ V* «wllm. (x-2){/(x+2)+/(2x)} “ A x +2)+/(2x)C **♦ 6

^x+1x+1

- 1+1- 1+1

06104. lim

x-+ -1l ) Razionalizzando i l numeratore: lim

x - -1

l/'x+lx+1 = lim

-»Ìx-,2) , , _ 0_ ,2+2

x+1lim n• 2x+ -1 (x+1)( /x 2- /x + l)

= limX+ -1 /x 2- /x + l

X+ -1 1

1+1+1

/x+1 /x 2- /x + l x+1X 2-)x + l

2) Scomponendo in fa t to r i i l denominatore, considerato come una3 3 3

cubi ( c f r . § 1.2): x+1 = ( /x + l ) ( /x 2- /x + l) s i ha:„. /x+1 . . /x+1 . . 1 1lim — — = lim —5-------- 5----- 3------ = lim -s-----?-----= - .

X ’ ( /x+1 ) ( /x 2- /x + l) X+ -1

sonata

x+ -1x+1-2/:(x

x- -1-24105. lim

x-* 11) Razionalizzando i l numeratore:

1+1-2

lim x+ 1 (x-l)2

x + l-2 /x (x+ l)+ 2/x _ (x -1 )2 "(x+l)+2/x =

(x+l)*-Ux (x~l)z . 1, = ^ (x-l)z(x+l+2/x) * ^ mi (x-l)z(x+l+2/x) * ^ x+l+2/x =

2) Scomponendo in fa t to r i n el modo seguènte : x + l-2 /x = ( / x - l ) 2( x - l ) 2 = { ( /x + l ) ( / x - l ) } 2 = ( /x + l)2 • ( / x - l ) 2 , s i ha:

1_____1lim x-* 1

x + l-2 /x(x -1 )2 ^ m1 (7xiÌ)2(/x-i)2 = ^ T ^ r p - (1+1)'

/ ( x 2-i>)+x2(x-g)106. lim^+ /{x(x-2^}+/(x2- M 0

5l ) Conviene scomporre nel modo seguente: / ( x 2-M +x2(x—2)

/{x(x-2))+/(xz- M =/(x-2) >/(x+2)+x2f /(x-2) )2 _ /(x -2)(/(x +2)+x 2/(x-2)) /x«/(x-2)+/(x-2) ./(x+2) " /(x-2) *{/x +/(x +2) } Cosicché:

lim x+ 2’

/ ( x 2-U)+x2(x-2 ) }+ /(x 2-

2) . . /(x+2)+x2/(x-2) A+U 0M " ^ m2+ /x+/(x+2) = Ts+TT

2 /2-2 _ 2(/2-2)2-4

g/ 2+2 [razioQ

2 - /2lizzando i l denominatore] = ¿2+2 ' /2 2

2) S i può raggiungere lo s te sso r is u lta to m oltiplicando numeratore e diminatore per /(x -2 ) : =r /{x (x -2 ) }+ /(x 2-4) /(x -2 )

, (x-2)/(x+2)+x2(x-2)/(x-2) _ (x-2){/(x+2) +x2/(x-2)} A • ( x-2 )+( x-2 ) /{ x+2 ) “ ( x-2 ) { /x+/( x+2 )} Cosicché:

Page 66: Limiti, guida

. . /(x2-U)+x2(x-2) _ . . /(x+2)+xV(x-2) __2_x(x-2)} +✓( x -1 ) " *“% + /x+/(x+2) ' /2+2 •

in gli esempi considerati il caso g non-dovrebbe più presentare difficoltà, a io che non si abbia scarsa familiarità con l'algebra elementare.

-Mio — . Anche in questo caso si procede come per le funzioni razionali frat*

te, cioè l'indeterminazione viene eliminata,, in generale, mettendo in ide.nza, jia al numeratore che si denominaiòre,"là potenza di x con esponente ssimo. Occorre perù porre l'attenzione sul fatto che:) Gli esponenti sono frazionari, si ricordi infatti che n/xm ■ xm^n .) Portando fuori dalla i-aAsey indie# _ _n,.(pari. una potenza di x, talvolta compare il. modulo (*) . Esempi:

/x2 = |x| ; /xu = x2 ; /x6 = |x|/x2 .) Nel radicando (che è un polinomio razionale) per x-+ « può talvolta presen» tarsi la forma indeterminata «-» . In un caso come questo il limite è sem» pre infinito. Infatti:lim A(x) * lim axn+bxn_1+....+cx+d = lim xn(a+ - +.... +

— »( a+0+0+....) ~ 00Più precisamente:

A(x)+ +» per fa > 0 In pari

x+ +®A(x)+ +» per fa > 0

\n qualsiasi ; x*4 -«A(x)+ +® per fa < 0

(n dispariA(x)+ -» per ra < 0

\n qualsiasi A(x)+ per fa > 0 \n dispari

x+ di un,A(x)-» -<» per ra < 0

\n pariconcludere: il limite per polinomio razionale da luogo ad una

"urna algebrica di infiniti di ordini diversi. Fra essi prevale quello di ordine .ssimo (potenza di x con esponente massimo). Pertanto nel calcolo si possono ascurare gli infiniti di ordine inferiore.Esempi.07. lim

x-*- +»+ C O + 0 0 4«

+oo

lim

x+/x ______2/x+x * +°°+00x+/x . xfl+(l//x)l ,. l+(l//x) - lfp _ Ti ». a__ 3 Ina x{l+(2//x)} " ’im TZy ò /77\ " ^ ' ** limite e2/x+x x-*- +°° l+(2//xj = 1+0x+ +■» x-*- +»

ancora dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo. Si può procede re anche trascurando gli infiniti di ordine inferiore ad 1 (°®):

x+/x .. x _ ,llm 2^c+x ' x “ Xx+ +«° x+ +•

08. lim 3x-2 i — — . Si osservi che il limite è infinito/( Ux-1 )+/(x+l ) x+ +» 'perchè, per x+ +« ,

;*) SI vede a tale scopo, P.2, i l.A-) Nella funzioni al numeratore a al denominatore ci sono due infiniti:di ordini 1 e ». Si pud allora trascurare quello di ordine inferiore (»).

il numeratore è un infinito di ordine 1 e il denomi

/* , riepettivasiente

Page 67: Limiti, guida

natore è un infinito rii ordine ì rispetto all’infinito di confronto x. In fatti: x(3-: 2)

/(Ux-^ ^ /(x + i) _ x+m+» /{x(u~ ì ) } + / { x d + j)>

lxm x-<- +»

x{3-(2/x)}/x{/(U- ^)+/(l+ ^))

lim x* +“

✓x(3-(2/x)} _/(!*- -)+/(!+ -)

+“ (3-0) +® _ ...= AT-ò)+7( ilo) ~ ~ ~

109. lim /(l/x)/(x2+l) = 0*(+“ )

lim — * (£;) = lim ^ * x2 ^ 3} = lim ^ 7 +3^7 + 3 ^ =/xx-> +“ X-r f a X-* +“

*'x,,+?Xi+3+* lim /(x '*+3x 2+ 3 + 7 5 ) = +00X-*- +“

. 2x2-5+/(x**-3x+l) _ +“110. lim x-l+/(x*+x-2) ~

x-> +“Si osservi che: il numeratore è un infinito di ordine 2. rispetto ad x (pre, so come principale); il denominatore è un infinito di ordine 2 rispetto ad x (preso come principale). Quindi il limite è certamente finito. Infatti:

2x 2 -5-/{x ‘*(1--2? + 7 5 )} 2x 2 -5+x 2 /(1— ^ + 7 Olimlim

x-*- +* x - l+ Z lx ^ i^ -^5 — )} x-* +* x-l+x2/(l+ 7 3 - 71;)X X X Xx 2{2--^2 +/(1— h + l S )}= lim

x- +« x2ix “ +/(1+ "x5 ""x5*^

2+0+10-0+1 * 3

Caso co-« . Questo caso si riconduce, con trasformazioni della funzione che noni «»mutano il suo limite, al precedente j . Come? Dipende dal tipo di

finzione. In generale, comunque, essa è della forma: ^/'A+'Vb 'ì con A+ “ (per *♦ «0 e B* “ (per x-* ») entrambe razionali intere. £er~'eiiminare l'indeter= Binazione (“-«) basta moltiplicare e dividere la funzione per:

L (+)i+1*n/(An-i«Bi_1). con i = 1, 2, wl111. Se per esempio si deve calcolare il:

3 3lim {/(x-l)-/( 2x)} = +00-00 , il fattore razionalizzante è: x+ +“ 3

f. (+l)i+1^{(x-l)3-i.(2x)i-1) = +?(x-l)2+?{(x-l).2x}+^(2x)2 1

e quindi il limite diventa:lim (^(x-l)->(2x)).|^-~^ 2^ 2x(x-l)_)+j(Ux2) =X-+ +“ /(x-l)2+/{2x(x-l) }+7(lx2)

x ^ 2 x = lim ---------^(x+lLx+ +“ ^(x-l)2+?{2x(x-l)}+^(Ux2) x + ^( x - 1 ) 2+^{ 2 x (x -1) }+^(U x 2 )

6 9

Page 68: Limiti, guida

-xd+è)lim = lim

-/x(l+ì) * 'x-* +® /x2{7(l--)2+7(2--)+A} x-* +® /(l--)2+/(2--)+A 1+/2+^ì*

112. lim {x+Ax^+l)} = -®+®. Per poter applicare la (1) è necessario ri<« x-»- -® re gli addendi a radicali aventi lo stesse?'dicer Per questo si deve porre x = -/x1*. Il segno (-) scaturisce dal » "* to che per x-*- -® , il 1° membro tende a -® e quindi, perchè sussista jA guaglianza, anche il 2° membro deve tendere a -®. Il fattore razionaliZ2ste della funzione -/x‘4+/(x1'+l) è:

^(5x‘t-3x-f-l)-i-2x-t-)(x2-i-l) ll6‘ ir.» ~ 2x4(x2+l)

rAiX^-SX+l) n 1 +®lim 1 4, , . +1f " -®+2x+/(x2+l)

Si può anche scrivere:

+1 = +1 [poiché al denominatore 2xx-* prevale su 7(x2+l)]

| X | ✓( 5- “ 7 +^5) r "X^(5_ X5 + 7 i)lim {--- 3 . 1 + 1 ) = lim l-----“T ~ l -----f + 1 1 =x-*- “* 2x+7{x2(l+— 7)}

(+l)*+1 •/{ (x^+l)1*-^* (x1* )i *} = /(x‘*+l)3+/{(xu+l)2x‘*}+/{ (x1*+l)x8}+ï'x12 = lim {■

x-> -« 2x+x 2/3>/(1+ ^ 7) iXl/(5-4i +-3 )

y+ "TJ ) Vi T ---iT --- +1} = lin {-- T T 2— — +1} = +1x-*- -® x(2+x-1/3*/(l+— j)} x-+ -® 2+/(- + - j) 'x x x 3

Cosicché il limite diventa: 1»..

x-» -®

= lim

7(xl*+l)3+|x| /(x'*+l)+x2*7(xl*+l)+|x3|

Anziché ricorrere ad esponenti frazionari, l'espressione 7(x2+l) si pot^ va scrivere /(x2+l) = /{x3(^ + - 3)} 0 x/(^ + ■—5). E' meglio prendere, coi * munque, familiarità con entrambi i procedimenti. '

xAl-x"x-*- /(x1* +1 ) 3-x/(x**+l)+x2 «/(x^+lj-x3 +00+00+00+00 +COi-= 0+

113. lim {7(x 2+5x +6)-x } = +®-® x-*- +®

lim {/(x2+5x+6)-x}v f o y ^ x'*'|'*'x = t2+5x+6-

Per quanto riguarda i limiti di funzioni irrazionali che danno luogo agli altricasi di indeterminazione elencati nella TAB. VI , si cerca di ricondurli ai casi

•* / 0 ° ® \ , , t , precedenti (- , -). Indichiamo allora dei metodi generali validi per qualsiasi• . « . v * 0 ®tipo di funzione, per mezzo dei quali ci si può ricondurre a g o - . ^

X-* +«> /(x 2 +5 x + 6 ) + x /(x ^+5 x + 6 ) + xx-*- +“_ . 5x+6

x^m +œ /(x 2 + 5 x + 6 ) + x

lim x-* +®

x{5+(6/x)}

Il limite è finito perchè sia il numeratore! che il denominatore sono infiniti di crdinet| per X-» ». Infatti:

3.4.- COME RICONDURRE LE FORME INDETERMINATE ALLA g 0 ALLA

|x|/(l+ fj + -)+x= (°) = lim x {5+ ( 6 / x ) }

X X1114. lim {/(x 2+9 x +3)- x ) = +OO-OC

x- +® x{/(l+ 5.+ t )+1}x xz

i l'metodi indicati sono in generale validi per qualunque tipo di funzione, ma è {ovvio che in taluni casi può essere più conveniente un particolare artificio“/ con il quale si raggiunge lo stesso scopo. .*

Per semplicità indicheremo con f(x) e g(x) , o meglio con f e g , delle funzioni qualsiasi, algebriche o trascendenti.

x-+ +®- ■ ?.!, ■ ,, ■■». _ . x2+9x+3-x2 _7(x ^+9x +3)+x ^ /(x 2+9x +3)+x

x{9+(3/x)} 9+(3/x) 9----- -------- - lim ■■■■ = ~

lim {/(x2+9x+3)~x) =x-*- -Holim

•1) Da CH» a -5-

x-> +» x/(l+ - +-\)+x X-» +» /(1+ - + -^)+l 2V Y*- v v 4

Si può scrivere: f*g

X X‘ • X115. lim (7(x2-3x+l)-/(x2-l)} = +»-»

x-* - »

r.// ■> . n ■> / ( x2-3 x+ 1 )+ /(x 2-1 ) . . x2-3x+l-(x^iil*( _3X+1)-/(X lìJvìx^xIlÌI/cx^-!) = X“ __ A x 2-3x+1 ) ; T U ^ T

4) Da O** a — ■.

lim -3x+2 = limx - - « / { x 2 d - ^ + 1 5 ) } + / {x 2 ( 1 _ 1 5 ) j x - - » | x | { / ( l - 2 + - I 5 ) + ✓ ( ! - - ^ 5 ) )

= (°) = lim -x(3~(2/x)}x- -» -x{/(l- 2 + 1 )+/(i_ .Ij)} 1+1 2

Ì(°) Si ricordi che: /*J -|x|. Per /** !x | ’ *! — 1*1 - -X'70

Sia: lim f(x) = 0 , lim g(x) = » . Si cerca il lim f(x)-g(x) = 0«®.x-*- c X-+ c x-*- c

f r v - j - 1 - r - T f 0 0W •: Quindl: lim f,g = lim Ï7g = Ï A = 50 x- c x-> c 0

Esempio: lim tgx*log— = (®*0) = lim i°g(2x/ïï) _ 2 _x-v }u w x - ì ir CtgX 0

-x(3-(2/x)>Sia: lim f(x) = 0 , lim g(x) = » . Si cerca il lim f(x)*g(x) = 0*®.

x-*- c x-*- c x-*- ci può scrivere: f*g = • Quindi: lim f-g = lim = yyg-

x-*- c X-*- c

Esempio: lim (x-Jir)*tgx = [o+-(-®)] = lim , ,5^1 \ = — —■ • *• J 1 + î/tx-jir; +®x- Jir+ X-*- 2 TT

Esempio: lim x2e-x = [(+®)*0+] = lim x2/ex = .x-*- +® x-*- +®

713

Page 69: Limiti, guida

. U oo ,La forma 0*«° può essere quindi trasformata m - oppure - . Si scegliel'una forma o l'altra a seconda che sia più facile calcolare il limite nella

0 „ «forma t o nella forma - .Q coO ooDa -H*-» a x o z • •

Sia: lim f(x) = +“ , lim g(x) = +» . Si cerca il lira (f-g) = +«■-» . Six+ c X-*- C X-»- c

f^g '■ 1 _ 1 . I _ 1. Quindi lim (f-g) = lim § 0-0

0f • g g

può scrivere f-g = Y/fg" = “,, X** C c

Questo è il metodo generale, a meno che non si possa eseguire la differenza f-g , o la razionalizzazione nel caso di funzioni irrazionali. Esempio:

1 _ 1 _ 1 _1 , „ . .. ff(x) = 1/x g___f

)‘ Qulndl: |g(x ) = i/Senx ' l7fglimx-i- 0+

Cosicché

(i-x senx1/senx 1/x _ senx-x

1 ~ xsenx1/xsenx

lim ( - -- -— ) = lim senx x = °n ? = ? . Si può ottenere lon+ x senx n+ xsenx 0-0 0x+ 0T x-+ 0

1stesso limite effettuando la differenza: - senx senx-x

Esempio: lim (/x-ctg-) = +»-ct,gO+ = +»-(+») = +0O-W. x-+ +“

’Sì7fgf_ _ ctg(l/x) /x _ tg- 1

/x

/x*ctg(l/x)tg(l/x)//x Cosicché :

, / ,1< . • tg(l/x)-(l//x) .. 0-0 _ 0lim (/x-ctg-) = lira % g(Ì/x )7Ti7- - 0/» " 0X + + « X-*- +oo °

Talvolta conviene porre f(x)-g(x) = f(l- f) = g(- -l) ed esaminare il limi,« ©te per x-*- c di - (o -) che è della forma «%». Risolta 1 'indeterminazio

f g

(cfr. caso 2)

Dalle forme indeterminate esponenziali si passa alla 0»“ , in base alla ap= plicazione di quanto detto nella nota di pag. 48 , nella quale si è dimostra to che per x > 0 e b > 0 (e diverso da 1) si può scrivere l'identità:

x = t>logbx . In generale quindi z(x) = ^logbz(x) c^e-per b = e (base deilogaritmi naturali) diventa: logalx)

i(x) * e fV

Ognuna delle forme indeterminate esponenziali (0°, «°°, l”) scaturisce dal li

ne, tale limite può dare:i * 1 •+ lim

x-»- c(f-g) = oo(l-n) = 0»

lim | = ' x+ c

1 lim x-*- c

(f-g) = oo(l-l) = "0*0

. 00 -*■ lim X-+ c

(f-g) = oo(l-co) = CO

Da 0°. \ 1“ a 0**o »

Page 70: Limiti, guida

r f

(o^iO»

n s

mite di una funzione z(x) del tipo {f(x)}g(x) , pertanto dalla (1) si hai

{f(x)}g(x> = elog{f(x)}g(x) g(x)logf(x)

(2)

a) Se lim f(x) = 0+ e lim g(x) = 0+ -+ lim if(x)}X-r- C X-r- C X->- C

Applicando la (2) il limite cercato si trasforma in:

S(x) = (O+)0+ .

lim fg = lim e' x-» C X-+ cnito o infinito), cosicché è:

X-+ c

b) Se lim f(x) = -h» e lim g(x) = 0 ■+ lim if(x)}x+ c x->- c x-*- c

Applicando la (2) il limite cercato si trasforma in:

=glogf „o+(-~) Si calcola allora il lim glogf x-> c .

lim fg =

( f |

g(x)

lim fg = lim e" x->- c x->- cnito o infinito), cosicché è:

„glogf = _0.(+») (fi

(o+)

. Si calcola allora il lim glogf = l

z i ^ clim fg = e .x-> c

c) Se lim f(x) = 1 e lim g(x) = « lim {f(x))e^ = l".x-»- c x->- c !x-i- c

Applicando la (2) il limite cercato si trasforma in: '

lim fg = lim eglogf = e ^ogl = e"*° . Si calcola il lim glogf = A (fi x-*- c x->- c x+ cnito o infinito), cosicché è: lim f® = e .

X-+ c

. I

Dalle forme indeterminate logaritmiche a l l a — • oppure R .M o

Cl o )t»

±

Le cinque forme indeterminate logaritmiche (cfr. TAB. Vi) si riconducono fa=/ cilmente alla ~ ( l a prime quattro^) e alla (la quinta) ricordando che:

l0gab = I S § <3) 'formula che muta la base di un logaritmo da a ad e (base dei logaritmi ,! naturali). Cosicché: •-a) Se lim f(x) = 0+ e lim g(x) = +«■>-*• lim log g = log +(+«>)

x-»- c x-»- c X-+ c • ®Applicando la (3) il limite cercato si trasforma in:

li» loef8 - li. g l - ^X-*- c X-*- c

b) Se lim f(x) = 0+ e lim g(x) = 0+ lim log g = log .<0+),x-r- c X-*- c X-*- c 0

Applicando la (3) il limite cercato si trasforma in:lim log-g = lim Ì2SS-= = .x-, c f ^ „ l°gf log(0 ) -»X-i- c

c) Se lim f(x) * +00 e lim g(x) = 0+ -»■ lim log g = log (0+).x+ c x->- c x-* c 1 +”

Applicando la (3) il limite cercato si trasforma in:lim log-g = lim l2Sf = .x_> c f — - logf log(+~) +“

' l ì

Page 71: Limiti, guida

d) Se lim f(x) = +*» e lim g(x) = +® * lim log g = log+m(+•«>).x-* c x-*- c x-» c "

Applicando la (3) il limite cercato diventa:

j ximc l0gfS = ximc W = = '■j e) Se lira f(x) = 1 e lim g(x) = 1 -» lim log g = log 1.

Ì x-* c x-+ c x* e 1Applicando la (3) il limite cercato diventa:

lim logfg - lim - i i g = § •x-+ c

X-» c3.5.- ESERCIZI PROPOSTI.

Calcolare i seguenti limiti di funzioni razionali ed irrazionali. ... . . 2x2-3x-<5

j 117- 3x^-10x+4J x-*- 3

118. lim (x 2-5x+6) x-» +«

119. lim x-*- +»

xi-x+l

X-*- 1

124. limx-» +<» /(l+x5)+/(l+x3)

125. lim x-» +“

.it o ).x 2+x -2

131. limX-*- 1 /(l-x3)

132. lim ~ f r ~ ---x- 2 3-/(5x-l)

1M- ItaX-* »

126. lim x-» 2

/2-/xx-2 133. lim

x-> 1

121. lim* XZ“1

■¡122. lim - 4 ~ lx-*- “ x^+x+l

127. lim /x{/x-/(l+x)} X-r +*

128. lim X-ra 'x2'l)-x-* /(x3-2)

5x-/xx+3/x134. lim

x~» +*>

i? + l -2135. lim ----S---x- °+ T 2 - l +1

129. lim x{/(x2-5x+6)-/(2x2-5x+3))< x+ -00

Trasformare le forme indeterminate cui danno luogo i seguenti limiti nelle0 « forme g oppure - ,

136. lim V x 141. lim {logx-logsen2x} 146. limx-*- +“ x-i- 0+ x-v 0+

137. lim xctg2x x-» 0 *«• u v ‘ì f e ' - À 1x-* 1

147. lim x-* 0+

138. lim (l-xHg^l 143. lim (x-x2log(l+ h ) 148. limx-» 1 £ x-> +® x-* 2”

139. lim x2logcosj 144. lim xx 149. limX- 4® x * 0+ x- 0+

140. lim tgx^e1/* 145. lim x1/*1-*) 150. limx- 0+ *♦ 1 x- 0+

i*

x)X

74

Page 72: Limiti, guida

Soluzioni degli esercizi proposti, m i- 2x2-3x-9 18-9-9 c 0 n117 ' ^"3 3xZ_l°x+U ~ 27-30+U 1 0

118. lim (x 2-5x+6) = ■*»—® . E' una forma indeterminata, ma poiché x-* +» finito di ordine (2) superiore a -5x

l), prevale +•». Infatti:5 . i L

x' e un t (di ordi e

lim x2(l- 2 +-22) = +«(1-0+0) = +« x x2lim (x 2-5x +6) x-+ +« x+ +“

119. lim x ~x+1 = . Il limite è +®, dato che il numeratore è un infinitix-* +® x +°° del 2° ordine e il denominatore è un infinito del 1*

ordine. Infatti :2 ii x2(l- - +x‘-x+l .. x x2S I Iffl ■“ “ “ — ■ — j_ j _m a . v J . — xlim

x+ +«= lim

x-+ +«= lim x(l- - +~u) = +00,1 = +« .

X XX** +* w

UO. li. g l * * . =x-+ »

Essendo numeratore e denominatore dello stesso ordine, il limite è | , eguale al rapporto tra i coefficienti dei monomi di grado massimo. Infatti:

.. 3x 2+x-2 _ .. U x x?; _ 3+0-0 _ 3 jlxm Ux2+x-l llm 2 /i 1 1 x U+0-0 h ' (x-*- « x-* - ' . -

121. limX-** «

x3+3 _ » x2—1 " 00

X2(U+1 _ 1 2) * x x2

Il numeratore è un infinito di ordine superiore al denomij natore, quindi il limite è oo. infatti:

C O* 1T ~ = “ *

x 3+3 .. x 3(1+(3/x 3)) .. x{l+(3/x3))lim J2lf c li« x2Ìr-(i/x2)} = lx“ l-(l/x2)X** C» / I

122. limX+ *

x-1x^+x+1

lim x-+ “

• . Il numeratore è un infinito di ordine inferiore al deno minatore, quindi il limite è zero. Infatti:

xd-(l/x)) s j_j;m __ l~(l/x-j— = —i_ - ì - ox 2 ( l + ì + ^ 5 ) x + “ x (!+ j +*^2 )

f2_,/3‘X+l 2-/301 2 3 • / 2 * x 2 + / 5 * x - ( / 2 + / 5 ) = / 2 + / 5 - ( * / 2 + / 5 )

8 <4/ix®+l J+V i ) AQOIQO +00 . . . . .y*--- 1 y --- “ ----- - = . Numeratore e denominatore sono mfini./(l+x5)+/(l+x3) ” ti dello stesso ordine, quindi il li=

mite è finito. Infatti:

124. lim x-+ +®

|x|^(l+~5) + |x|/(l- - i,)lim x-+ +°°

x(/(i+ -ja)+/(i- \ ) }■ = lim 1+1

x/(-TJ +1)+X ( -J +1) X-»- +« X Ì / A +l)+^(-^ +1)} 1 + 1X X X XI = 1

125. lim ^ix l l = - . Il numeratore è un infinito di ordine inferiore al de.X t+X“2 co

X-v +®

lim x-+ +»

^ x2(è - i »xx 2+x-2

nominatore, quindi il limite è zero 1_X2

Infatti :

= lim x-+ +“»

x/(x -T5)x2( l + ì - f 5 )

= lim/(ì -A-)/lx x2

X+ +“ x(l+ - - ^ 2) X x2= 0+

75

Page 73: Limiti, guida

Oppure:/{x(l-

lim x-* +°°

»x^x-2. = lira

xi/(l_ 1)- lim

/(l- ì)

X->- +«> X 2(l+ ì - X-r- +■» X 2_ S(1+ 1 - -2-)X x X X 21___

Ì26. lim | x- 2

+<»(1+0-0) /2-/x /2-/2 M 0

6 •

xI

•H*

x-2 2-2a) Razionalizzando il nuaeratore:,. /2-/x /2+/x _ , . 2-x_____ . 1 i

x-2 V 2 + A ' ^ 2 ~(2-x)(/2+/x) = ^ n2 -(/2+/x) = "2/2 =b) Scomponendo il denominatore:. /2-/x_______, -(</x - / 2 ) , . -1 i -/?

(/x-/2)(/x+/2) - ^ e2 ì m - > 2 ) ( A ^ s ) = = * ^ = n r

-/2I»

"127. lim /x(/x-/(l+x)} = +«(+•-«>). x+ +»

/x+/(l+x)

X- +~ ** +- /x'7x+^ l +x) 3 ì f /x+/(l+x)lim /x(/x-/(l+x)) = lim

Trasformiamo la forma indeterminata (+»-“ ) razionalizzando la funzione:

~ ---- . Pertanto:

= (— > =

lin\ /x{l+/[(l+x)/x]} " l+/{(ì/x)+l}X<+ +» w X-*" +« i+i •2 -

0 pii semplicemente: lim /x{/x-/(l+x)} ■ lim (x-/(x+x2)} = +“>-«x-*- +» x- +<»lim {x-/(x+x2) } . ^ - ^ < j - = lim

_ -xX- +«= lim

128. lini x-> -®

*= lim x-*- ■

129.x-+- -®

-1^ l+/{(l/x)+l) x-/(x2-l'

1+1

X- +*_ 1= - } ■

x2-x-x2x+/(x+x2) = lim

Razionalizzando :

-xx-*- +® x{l+/(- +1))

. "W.= (— ) = lim

x-+ -®/(x 3-2)x{l+/(l-l/x2)}

<» x/(l-2/x3)

x{/(x2-5x+6)-/(2x2-5x+3)) =

= lim ’X-t- -O

jL-Jxl^l-l/jL2! = lim x/(l-2/x3)

l+/(l-l/x2) = 2 = 2 , /’(1-2/x3) -1

x-|-x/fl-l/x2)} _ x-* x/(l-2/x3)

- * 2

( -H*>-oo) .

... _____ A 2 x 2-5x/(x ì -5x +6)+/(2 x ?-5x +3)

(Cfr. es. 127),

x 2-5x +6-2 x 2+5j _ ^(x 2-5x +6)+/(2x 2-5x +3)

.xf+3. Pertanto:/(x z -5x +6)+/(2x 2-5 x +3)

lim x (/(x 2-5x +6)-/(2 x 2-5x +3)) = lim

-x 3( 1 - A )

-v 3__ ______ •+3X/(x 2-5x +6)+/(2x 2-5x +3)x-*

lim

- e -

-x/(l- - +- j)-x/(2- - + - j) x+ -“>■ /(l- + 5 )+/(2- - + )X X 2 X X2 . X X 2 x x*X‘ X x<

— = +» . Se si vuole effettuare il prodotto bisogna ricordare che Per x-*- -« è x = -/x2 e quindi il limite da calcolare diventa:

1

Page 74: Limiti, guida

13 0'

lim X * ~

lim x- 0lim x- 0

131. limx * 1

lia x- 1

lim x-* 1

132. limX- 2lim x- 2

133. lim x-*- 1lim x-*- 1

“ { /( x1* -5x 3+6x2 ) -/( 2X1* -5x 3+3x2 )} indi si passa alla razionalizzazio° ne-/ ( x + M - ? 2-2 _ 0

x 0 ” 5-.^x+li)-? /(x+4)+2 _ x-t-li-ti ,. 1 1

x "/(X+1*) +2 ^ m0 x(/(x+U)+2) = ^ m0 /(x+U)+2 = Ü

^ U c x 2 ) _ ^(1-1) _ 0

/(l-x3) " 7(1-1) ° '

T ^ c x ) ( n - x ) } — = lin ^(l-x)-)(l+x)

Razionalizzando il numeratore:

Scomponendo i radicandi

, . /(1+x)-. --- 3 3 = llm T/— — — =( 1-x) (l+x+x2 )} x+ 1 / ( 1-x ) • /( l+x'+x2 ) x-+ 1 »(l+x+x2)

- _-/(l+l) ' /2 3/,2. . . .ì — — = T * <'(-) . 0 piu rapidamente:, A 1+1+1) /3 3

■ * * i g 3 l i i & ) i ■ f e ) - >(§) •

Razionalizzando il denominatore:_ ^-x2______U-U3-/( 5x-l) ~ 3-3

05

— i*-x2 3+/(5x-l) _ .. (2-x)(2+x)(3+/(5x-l)}3+/(5x“ l) ~ ^ m2 9-Sx+i----------

= Tim ^2-x)( 2+x) {3+/( 5x-l) ) _ (2+2) (3+3) . 2k x Ì 2 5(2-x ) 5 5 ‘

/(x+l)-/2 /2-/2 0 . . * . .~(x2+3)-2 2-2 5 • Razionalizzando numeratore e denominatore:

r Ax+l)V2 /(x+l)+/2 /(x 2+3)+2 i _ . . (x+l-2)f/(x2+3)+2) _V( x z+3)-2V ( x +1)+/2* i/(x 2+3)+2' " (x 2+3-£){/( x + 1 )+/2}

= lim (x-1){/(x 2+3)+2} _ . /(x 2+3)+2 _(x+1 )(x-1 ){/(x+1 ) +/2} " ^ (x+1){/(x+l)+/2) “

= —A±2__ _Ji___L_ i/?2(/2+/2) " 2*2/2 /2 " * 2 '

134. lim x+ +“

5x-/xx+3/x

|QO “ 00 ■»«■»00

+<a+CO

*(5------- 7—

X+ +” x( 1+ •2-2)lim lim

x+ +®

Al numeratore prevale x su /x . Essendo num£ ratore e denominatore infiniti dello stesso or= dine (l), il limite è finito. Infatti:

ì i A i

- t T 15 •

135. lim x* 0+

lim x- 0+

r j + - -2X* X _ + *> + « •

\ - 2 +1 ~X* X(1/x 2 )(3+2x -2x 2 ) (1/x2)(5-3x+x2)

35

3+2x-2x2 3+0-0 _ 3llB* + 5-3x+x2 5-0+0 " 5x-*- 0

Al denominatore prevale su 2 .

Oppure, effettuando le somme al numerat£ re ed al denominatore:

77

Page 75: Limiti, guida

3 . lim /x = lim xl7x = (+»)° . Si trasformi la forma indeterminata »0x"*' +°° x-v +” come è indicato a pag. 73:x 1 ' * = e(l/x)logx c. - v ......... logx _ +«• Si calcolerà quindi il Ina ---— •

137. lim xctg2x = 0-« x-*- 0a) lidi — — X «---X 0

x- o Ì7ctg2x ^ mo tg2x " 6

, X x-> +<» /(Cfr. pag. 71)

. , . . Ctg2x «b) l iB - i ^ r = »x+ 0

cos*x ~ y 0 0c ) l i m x* 2 ' = lim cos2x- g— = l*r = x

x-<- 0 sen x x-> 0 sen2x 0 0138. lim (l-x)tgjrrx = (l-l)tg|ir = 0«« .

x-+ 1iim —- t = - x . ! CtgJTTX 0 X-i- 1

x-*- +«°

tgsrrx « c) lim (l-x)1 « ’ x-> 1l~x

+«•0 = limlogcosì 0

1 - 0 ■

(Cfr. pag. 71)

senlnx _ 0 _cos|ttx 0

U 0 ’ ÌÌ"o+ tgX‘el/X = (O+)’el/0+ = (0+).e+” = (0+ ).(+■»). (Cfr. pag. 71). el/x -1/0+ +" .a) lim „ — — = . . = -— = 12.

q + CtgX CtgO+ +» +0O. % . . tgx tgO+ 0+ .0*

] n+ •x-* 0 e e c141. lim (logx-logsen2x) = -»-(-«>) = -«+«> (Cfr. pag. 72). Per una nota prò

x’> ® prietà dei logaritmi (Cfr. § 1.5Tsi può scrivere:

*“ 0+ ^ « ¿ S E T • si CalCOlerà ««indi il lim = g .

142’ ifi- ^loe>c ~ = 2-o g l ~ ” = o= " c r = -”+“ ■ (Cfr- Pae- 72>

Effettuando la differenza - _i_ = , il limite viene della forma g .

143. lim {x- x2log(l+ -)} - +“-“*logi = »_«.o . n limite diventa della forma0/0 con le trasformazioni :

! -log(l+ - )Ì U - X______ X

ITx2lim exlogx x-* 0+xlogx = (0+).(-„) _ lim

x- 0+ ì +*145. lim x1^ 1-*7 = ll/U-l) = il/0 = ^ = lim elogx/(!-x)

x-»- 1

X-> -H»

x-x2log(l+ i) = x2{-log(i+ Ì)J_

lim xx = (0

+O

X-r- 0+Si cerca il lim

x-»- 0

lim x1^ l-x) = l1'x-» 1Si cerca il lim

x+ 1

(Cfr. pag. 73)

(Cfr. pag. 73)

78

0/0

Page 76: Limiti, guida

1

1¿ 6 -

147.

148.

149.

150.

. (ì)tgx = (+<»)0+ = lim e lim V i ' ' „+x-*- 0+ X x+ °

(Cfr. pag. 73)

-logx _

tgxlog(l/x)

Si cerca il lim tgx-logj = (0+)(+«) = lim tgx-(-logx) = lim 01 x+ o+ X-»- 0+ X-*- 0+

(Cfr. pag. 73)

+ 0 0

+00

lim (senx)tSX = (0+)° .x-* 0+ , .tgx .. tgx-logsenxlim (senx) 6 = lim ex-*- 0+ x-*- 0+ , .J.,, , . . lcgsenx _ -«Si cerca il lim tgx-logsenx = (0 )(-») - lim ctgx " +«, •

x-> 0+ x+ 0T(Cfr. pag. 73.)lim (U-x2)2-x = (U-U-)2-2 = (O+)0+ .

X-*’ 2 “

lim (ì*-x2)2-x = lim _ e(2-x)l°g(“-x2) •x^ 2- x- 2 _ log(l+-x2) _ -»Si cerca il lim (2-x)log(^-x2) = (0+)(-” ) - lim ^ i/(2-x) +°°

x->- 2~ x_* 2

lim (l+sen2x)1^x3 = l4” • (Cfr. pag. 73)x-*- 0’lim (l+sen2x)ì/x3 = lim e(1/x3)log(l+sen2x)x+ 0T x^ 0+Si cerca il lim — jlog(l+sen2x) - lim

log(l+sen2x) _ 0x-+ o+ x X-+ 0+

lim (1+ hX- 0+ Xlim (1+ hX-»- 0+ XSi cerca il

(Cfr. pag. 73)'

x-i- O’*,, 1% _ , • log{l+(l/x)} _ + .il lim xlog(l+ -) - lim _ -|_/x “ +«, •

x->- (T x-*- 0+

79

Page 77: Limiti, guida

T :tI 4. LIMITI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. (°)

4.1.- CONSIDERAZIONI GENERALI.Per il caleolo dei limiti di funzioni goniometriche non viene aggiunto molto a

quanto detto nei paragrafi precedenti relativamente ai limiti di funzioni razio» nali fratte o irrazionali. Il principio di caleolo infatti è sempre quello di so stituire c al posto di x nella funzione goniometrica f(x) e calcolare f(c). Può allora succedere che :a) Il limite è immediato.b) Il limite non esiste.c) Il limite dà luogo ad una delle forme indeterminate elencate nella TAB. VI.a) Il limite è immediato151. lim cosecx = lim

x-» 0 x-* 0

Esempi :J .__= 1 =senx 0

152. lim sen- = seno xx-> «0 .

,r-, .. senx*cosx 1*0153. lim --------- = —5— = 0 .1 X Ì7Ix-+ jrr ', , , . . 2-x 2-1 1154. lim ---7t-- r -----— = - = » .

^ sen(l-x) senO 9155. lim ctgx* (l-senx) = +«(l-semr+) = +=>(1-0) = .

X-* rr+

156. lim {6senx-log[senxW(sen2x- j^)]} = é"2-log[j+/(r - jj)] =x+ tr/6 **■

= 3-logJ = 3+log2 .

157. lim e(l/4)tgx.cosx = e(1 f h -O" =- 1 — 0“ = (0+)CT = CT .x* Jir+ • e"*”

1 5 8 . lim3 et’^^SX.cosx = e(lA)(-»).0+ = ( o + ) 0 + = 0 + .X-> J1T +

159. lim esenx.|senx| = e0+.senO+ = (l+)0+ = 0+ . x-. 0+

160. lim esenx*|senx| = e® (-senO-) = 1 *(—0~) = 1«0+ = 0+ . x-. 0“

161. lira {-esenx.cosx«(senx+l)} = -e° «l-(0-+l) = -1~.1-*1 = -1+ .x-* 2ir-

162. lim eSenx*sen|x| = e0+.sen|-2ir+ | = l+*0+ = 0+ .X-. -2ir+

b) Il limite non esistelim senx x-. ±»Osserviamo che per:

Esempio:Dimostriamo che questo limite non esiste. La funzione y = senx è definita per ogni x, ed ha periodo 2it.x = kit con k = 0, ± 1 , ±2, .. . essa vale 0X = iir+2kir con k = 0, il, ±2, .. . essa vale 1

X = -Jit+2kir con k = 0, il, ±2, .. essa vale - 1

( ) Per il calcolo dei limici di dette funzioni si richiede la completa conoscenza delle funzioni go- nioootriche, dalle loro variazioni e dalle relazioni tra esse (cfr. il 1.6, 1.7). Molto utili so 0 0 anche i grafici di pag. 1 4 . ”

Page 78: Limiti, guida

CiS detto, consideriamo un intorno di +«, ad esempio tutti gli x > N (nume ro positivo grande): qualunque sia N, per x > N la y = senx assume vaio* ri oscillanti tra -1 ed 1. Quindi, ammesso per assurdo che esista il

lim senx = E x-»- +*»

scelto un e > 0 piccolo a piacere, la differenza |senx-£| non potrebbe es sere sempre minore di e per x > N. Infatti essa diventa:

|—1—A| quando senx = -1-E| quando senx = 01—E| quando senx * 1 .

E' sufficiente allora considerare un e minore del pii piccolo dei tre vaio* ri considerati per concludere che esistono casi in cui |senx-£| > e per x>N. Con analogo ragionamento si può affermare che non esistono i limiti:

lim senx ; lim cosx ; lim sen-x-*- x-+ x- 0 x

La dimostrazione relativa a questo ultimo limite può essere ricondotta al precedente ponendo - = y con y-*- « per x-+ 0. Si ha così: lim

y* *che non

F ig .4 7

esiste. D'altra parte, se si esaminasse il grafico della y = sen^ in un-in torno dello zero (destro o sinistro), si troverebbe che esso è oscillante tra -1 ed--l, comunque piccolo sia l'intorno (cfr. fig. 47). QAltri limiti inesistenti che si poss£ no dedurre dai precedenti sono:

1 . 1 *'lim — — ; lim — — ; lim tgxx-+ » x-* «• cosx etc.

X-» ®

c) Il limite dà luogo ad una delle forme indeterminate della TAB. VI. Esempi:senxx

05lim

x-*- 0lim ^ = g x-*- 0 X 0

sen3x _ 0x 5

rr

lim x-*- 0

lim X-+- 0lim x+ 0 x‘lim sen2x

05

1-cosx _ 1-1 _ 0

limx-* alimX-* ir/4

sen2x-sen*a 05

1-tgx1-ctgx

05

05x-*- 0

lim eO^Hgx.cosx = e^1 A ) (* ” ) *0+ * (+~)(0+) :x-> Jir”

e (l/4)tgX.COSX = o(l/4 )(+«),Q- 3 (+Oo)(0_) .limx |ir~In casi come questi, o si elimina l'indeterminazione, e per questo indichiamo due metodi, o, quando è possibile, si ricorre a considerazioni sugli infinite simi o infiniti.

4.2.- DUE METODI DI RISOLUZIONE DELLE FORME INDETERMINATE.1* Metodo.

Ove é possibile, mediante opportune trasformazioni che non cambiano il limite della funzione f(x) , si trasforma la funzione stessa nel prodotto di due fun=

4

Page 79: Limiti, guida

/ ioni, in modo che il limite cercato diventi :/ lim f(x) = lim (?— 'nx)n.g(x) con lim g(x) immediato.'' x-*- c x-» 0 x 0

senxxCosì facendo la forma indeterminata (qualunque essa sia) compare nel lim

• . , , , X”* 0che, per x in radianti, si dimostra essere uguale ad 1.Dimostriamo allora che nell’intervallo (0, gir) e con x misurato in radianti

v ,. senx ,e: lim — — = 1 .x- 0+ _

Se x è misurato in radianti è AP = x < su .Dalla fig. 48, ove la circonferenza è quella goniometrica, cioè di raggio unitario, si ha:

HP < AP < AT ( 1 )

Fig. 4S

to che per 0 < x < gir

Essendo HP ■ senx , AP = x , AT = tgx , la 1 di= venta:

senx < x < tgx (2)Ambo i membri della (2) possono essere divisi per senx senza cambiare il senso delle disequazioni da

senx >0. Si ottiene così:senxsenx senx

tgxsenx 1 < senx (3)

Nell'intervallo'considerato che costituisce un intorno destro dello zero, la (3)è sempre verificata. Essendo lim — — = 1 , cioè — ---- 1 < e per definizio.+ cosx cosxx-+ 0ne (cfr. TAB. III-2), e sottraendo 1 da ciascun membro della (3), si ha:

x „ _ 10 < -1 <senx cosxSi può allora scrivere che, a maggior ragione,

x

xsenx -1 < e

conferma che lim__ : 1 , sicché anche lim_+ senx .+x-*- Cr x-«- 0senx = lim

x-+ 0+

(4)

Tale espressione

- = T = 1 -_x_ 1senx

Con analogo procedimento, considerando l'intervallo -gir < x < 0 , facendo attensione ai sensi delle disequazioni, si può dimostrare che £im senx = 1

x-* crQuindi in definitiva: .. senx _ „ lim — — = 1

x-» 0Si osservi che se con x indichiamo l'angolo espresso in gradi anziché l'ar=

co, la misura di quest'ultimo sarè: x'Jg5o'•n

Di conseguenza:

la (2) diventa:

la (3) diventa:

senx < x - qqo < tgx180° 180° 1

la (4) diventa: 0 <senx n . cosx

x 180° < l80°( 1

e pertanto: xsenx

senx180°

n cosx -1) < a

< c cioè lim ----x- (0°)+ senx

180°

ir

Similmente per x-*- (0°)'82

Page 80: Limiti, guida

liIn definitiva: lim

x-*- Oesenx lim

x-*- 0iEsempi :ico -i • tgx , • senx 1 , 1163. lim -®— = (-) = lim --- •---- = 1•- * 1 .

o x/senx l80°/it “ 180° ’

x-*- 0 x+ 0 cosx...... 1-cosx ,1-1 0,164. lim — 2— = ( jr~ = „) = li®

x+ 0 x u u x- 01-cosx 1+cosx"— —n1 ■ ♦ “ 1 ■ —X 1+cosx

sen^x 1 . . /senxi •>lim ---2~ ■ ---- = li® (---- 1*n x i 1+eosx „ xx-+ 0 x-+ 0

lim k W x _ 1 ----X- 0 ^ 1+C0SX.— ì--- = ^2.-1- = J .1+cosx A 1+1 2

2 Metodo.Qualora il 1° metodo non sia applicabile, o sia poco evidente, si tenta di

{trasformare la funzione mediante le formule del § 1.7. Con queste è possibile trasformare somme in prodotti (prostaferesi), prodotti in somme (Werner), archi ¡doppi in semplici (duplicazione), semiarchi in archi semplici (bisezione), etc. Tutto ciò permette di operare delle eventuali semplificazioni che eliminano l'in determinazione. Il tipo di trasformazione da effettuare viene, volta per volta, suggerito dal particolare limite. Esempi:

165. lim = -r j- = g . Basta notare che x tende a n/4 (e non a zero)x+ n/l» 8 per dedurre che questo limite non è facilmentericonducibile al 1° metodo. Allora, cerne eliminare l'indeterminazione? La

1-tgx _1-ctgx

Pertanto : lim 1-tgx _X+ n A 1_CtgX X+ n/li

sen2x 0 „ i------ - . Per x-* i ir

trasformazione più evidente è :

166. lim

1-tgx 1—(1/tgx)

tgx = -1.

.tgxU-tgx) = _ttgx—1 6

cosx si annulla il cosx (oltre che sen2x).' Biso. quindi, fare in modo che al numeratore compaia un

Ricordando che:X-»- gir gnacosx come fattore (oppure un sen2x al denominatore)sen2x = 2senxcosx ,'si ha:

sen2x .. 2senxcosx----- = lim ---------cosx 1 cosxx+ ¿irIna ■ x-* Jir

lim x-«- iir

2senx = 2-1 = 2.

167. limx-* Jrr

1-senxcos<s + ?

1-1 0 cosjir Ò Trasformando con prostaferesi (cfr. 1.7)

il numeratore si elimina l 'indeterminazio ne. Infatti :

, i _ Jir-x Jrr+x _ /ir x> ,ir x. „ ^1-senx = senjs-senx = 2sentg— cos4^— = 2sen(jj - -)c o s(jj + -). Pertanto:

,. 1-senxlim ---------/fi , x,X+ | C0S(J; + g)= lim

TTx + §

2sen(J - |)cos(J + |)

cos(= + |)= 21im sen(^

irX+ §|) = 2.0 0.

Alcuni esempi relativi ad entrambi i metodi. sen3x x168. lim Questo limite si riconduce al fondamentale ponendo:

x.-* 0 A 3x = y -*• x = y/3 con y->- 0 per x-*- 0. Quindi:lim se”^x = lim = 31im = 3*1 = 3. In generale allora:x+ 0 X y+ 0 y / i y+ 0 y ______________________________

lim x-*- 0

B lim x+ 0

senmx mx •m = m.

8335

Page 81: Limiti, guida

sen 3xT * ~169. lins

X-» 0

In generale allora

170. lim

= lim « 1 3 . 1 .x- 0 x

^ = lim x„ 0 sen2x ^ Q

i lim I x- 0

sennx _ n _ ,n “ xx“

sen5x x x sen2x

.lora: IliaZ T \ z l 2 .

= lira 2xsen5x ____5x sen2x •È = 5-1-

sennx ,.--- ■— = lim p * -------senqx „ oxx- 0ser.px qx

senqxZ Z T T i inqx q q \

Contrariamente a quanto fatto nell'es. 164, il limite può ricondursi al limite fondamentale lim

x-» 0senx = 1 nel modo se

guente. Dalle formule di bisezione (cfr. § 1.7) yl-cosx = 2sen ;x quin=

di : 1-cosx .. 2sen¿sxlitr. ---j— = lim ---n -* — = limn X r, X - _

X-» 0 x-> 0 x -> 0sen’2 h

172. lim x-*- a

sen2x-sen2a lim x-+ a

^ l»(ì"x)2

(senx-sena)(senx+sena)

lim x-» 0

s(ses^)2 „ j.x = j

06‘ Eer ricondurlo al li=

mite fondamentale tra sformiamo in prodotto (formule di prostaferesi) la differenza senx-sena che dà lo zero al numeratore:lim {senx-sena(senx+sena)} = lim {gsenj(x-a)■cos\ (x+a)(senx+sena)} . .x-*- a x-»* a

= lim «cos;(x+a) • (senx+sena)}. Fosto x-a = y con y-* 0 perx + a 1 x-*- 0, il limite diventa:

lim {?fn^y.COs;(y+2a) • [sen(y+a)+ser,a] } = l-cosa*2sena = sen2a. y * 0 iy

I due esempi considerati fanno intendere che per il calcolo dei limiti di funzio ni goniometriche che danno luogo a forme indeterminate, i principi guida sono:1) il limite fondamentale e quelli da esso dedotti (163, 168, 169, 170, 171);2) opportune trasformazioni.

Per quanto riguarda il secondo punto, la vastissima gamma dei limiti non per= j mette di indicare un metodo per associare una particolare trasformazione ad un

j particolare limite. Si può solo consigliare di tenere sempre presente che le for mule da applicare hanno come scopo di trasformare la funzione, sia al numeratore che al denominatore, in modo da ridurre la frazione ai minimi termini e contempo rancamente eliminare l'indeterminazione. Per esempio:

173. lim i-cosx-senx = 5 ' Possono se6uire strade diverse. Ci si deve però x+ 0 rendere conto che per x+ 0 è il seno (o la tangente) a diventare zero e non il coseno (o la cotangente). Quindi bisogna tra sformare in modo da ottenere come fattore, sia al numeratore che al denomi natore, un seno (o una tangente).

Ricordando allora che: {1-cosx = 2sen2Jx I senx = 2sengx-cos;x \

(bisezione)..(duplicazione)

lim x+ 0

1-cosx+senx1-cosx-senx lim

x-*-2sen2?x+2sen?x-cos;x _ 2sen25X-2sen5X*cos5X lim

x-*- 02sen;x»(sen?x+coslx) _ 2sensx*(senjx-cosix)

Page 82: Limiti, guida

senlx+cosixsengx-cosjx■ lim ! tr-i: f = - z -7 - = -1■

x-» 0Se si vuole la tangente come fattore al numeratore e al denominatore, si u sino le formule parametriche (cfr. pag. 13): ~

1-t2 . 2t

2t1+t2

sen2x-sen2c _ 0 tgx-tgc 5

l+t2-l+t2+2t= ^ mQ l+t2-l+t2-2t - llm

2t(t+l) . . t+1te» 0 = t ^ O t'1

= -1.

Per x-» c diventano nulle le funzioni: sen(x-c)e tg(x-c). Bisogna fare in modo, quindi, che una

funzione compaia come fattore sia al numeratore che al denominatore.A tale scopo si applicano al numeratore e al denominatore le formule di prostaferesi (cfr. pagg. 13, 15):

sen2x-sen2c 2sen(x-c)cos(x+c)— t-- 1---- = ----1--- j--- >--- ‘»cosxcosc . Cosicché:. tgx-tgc sen(x-c),. sen2x-sen2c ,. r2sen(x-c)cos(x+e) ilin — --- r---- = lim 1--- 1— =7--- %----‘»cosxcosci =x_* c tgx-tgc ^ c 1 senTx-c) '

* lim {2cos(x+c)cosxcosc} - 2cos2c*cosc*cosc » 2cos2c*cos2c- x-** c

»

1I

I

4.3.-IÇALCOLO DEL LIMITE PER CONFRONTO TRA INFINITESIMI 0 INFINITI.Infine c'è da tenere presente che considerazioni sugli ordini di infinitesimo

(o infinito) permettono di sapere il risultato di alcuni limiti indipendentemen* te dal calcolo. Sapere il risultato può costituire, talvolta, un'indicazione per il calcolo._____ — r-v ____-_________ 1

Se lim s^nx- = l\ ,1 lim = 1 1 vuol dire che senx e tgx sono infini~ * X + ,Q - ----J U - 0 - 2------ > --- “

‘idi ordine ime rispetto ad x (infinitesimo di confronto). Sicché è ovvio

lim X-» 0

per n > mt g ^ x '0 per n > m

per n = m ; limni 1 per n = m

per n < m X-» 0 X*u OD per n < m

Se limx- 0 x

*** li-no»•»o \

J vuol dire che la funzione l-cosx un infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x. Sicché è ovvio che:

lim x-» 0

(l-cosx)n(x2)ffi ÌO per n > m

i per n = mper n < m

(°)

Esempi.. sgh^x*'*. li» • — : = 0 . Infatti senMx è un infinitesimo del U° ordine rispetto

x-*-0 . senMx . . . .... . . . .ad x: lim — 5— = 1 (cfr. 169); 1-cosx è un infim=x-r- 0

tesimo del 2° ordine rispetto ad x: lim - CjSX = \ (cfr. 171). Quindi„ ................... X- 0 X

il numeratore e infinitesimo di ordine superiore al denominatore. *-t>c Jtic sen^x 1 . ,l/6. lim 77— ^ = l (finito). Infatti: sen^x è un infinitesimo del U° or

x-» 0 (1~cosx)

r> Cfr. 1 3 .2 .85

Page 83: Limiti, guida

dine rispetto ad x: lim

ordine rispetto ad

sen1>x

x-*- 0 x: lim

.senx . U = X X4 (l-cosx)2 è un infinitesimo di ¡4°

(Ì-COSX ) 2 . , .. . /1—COSX\?7v2 Vi " llffi !

x^ Q___— ------- x-> a( l ) 2 - £ ■ Quin

di : limx->- 0 (l-cosx)2 lim

0 (/x1*sen^x

l-.cos.x V 2Z2T> — L. ■

«t> i-;— ir s % i • *-n* 5

177. lim (l-cosx)3x->- 0ordine rispetto ad

Infatti: sen^x è un infinitesimo del lt° ordine ri=spetto ad x; (l-cosx)3 è un infinitesimo del 6°, . (l-cosx) lim ■— — -L = lim (

x-*- 0l-cosx)3 = ( s)3 = g • Quin=

178. lim x-* 0

x-*- 0di il numeratore è un infinitesimo di ordine inferiore al denominatore.

l.P2?x - q . Infatti: l-cosx è infinitesimo del 2° ordine rispetto° ad x; tgx è un infinitesimo del 1° ordine rispetto a

x: lim (tgx/x) = 1. Quindi il numeratore è un infinitesimo di ordinesuperiore al denominatore.

179. lim X-+ 0x:

x-+ 0l-cosxtg2x = 5

lim s a £ « i .X-+ 0 x

Infatti: l-cosx è infinitesimo del 2° ordine rispettoad x; tg2x è infinitesimo del 2° ordine rispetto adQuindi : lim y x = lim

x-»- 0 ® x x-* 0(l-cosx)/x2 tg2x/x2

180. lim Ù=£2§£lix - o * e x

Infatti rispetto ad x:

(l-cosx)2 è un infinitesimo del 4° ordine (l-cosx)2 1

lian 1 F “ 5 ;x-+ 0tg5x e un in

finitesimo del 5° ordine rispetto ad x: lim ìs!ì- =5 - = 1. Quindi il numeraX-+ 0

tore è un infinitesimo di ordine inferiore al denominatore.Gli esercizi potevano essere risolti In altro modo. Ad esempio il 180:

!im ti^cosxlix->- 0 tg^x

(l-cosx)2 (1+cosx)2 _ .. sen^x_______n tg5x (1+cosx)2 im_ tg5x*(1+cosx)2X“* y) X U

= lim

= lim sen^xsen5x (l+cosx)2 senx(l+cosx)2 0 * lex+ 0 " “ ' x-*- 0

Ma sono stati risolti con considerazioni sugli infinitesimi perchè in altri casi è difficile trovare strade diverse.

Tali considerazioni sono utili non solo per trovare il risultato, ma sostituì, scono il calcolo effettivo. Se allo studente viene proposto un esercizio che e= gli vuol risolvere in tal modo, faccia le dovute considerazioni sugli infinitesi mi (o infiniti), indi scriva il risultato che cosi è ben giustificato.

4.A.- ESERCIZI PROPOSTI.

181. lim x-*- 0

senx 184. lim x+ 0

sen3xsen2x 187. lim

x+ 0182. lim sen2x 185. lim sen2x 188. lim

x-*- 0 X x-i- 0 xeosx X+ 0183. lim sen5x 186. lim x-senx 189. lim

x-*- 0 X x-i- 0 X X-»- 3 T

x-senxx+senx3x+tgx

senx+tg2x2senx»(l-senx)

3cos2x

Page 84: Limiti, guida

190. lim l-cosJx 196.xsenxcosxx+ 0191. lim tgx*sengx 197.1-cosxx-*- 0192. lim /(1-cosx) 198.

x+ 0+ x193. lim xsenx 199.l+cosx-2cos2xx-*- 0194. lim senx+cosx-1 200.

X-+ 0 X195. lim X3 201.tgx-senxx+ 0

lim x+ gir

(1-senx)2cosx

lim x-* 0

sen(x+g)-senax

lim x-»- a

cosx-cosax-a

lim x->- gir

____ 1-senx_____cosx(cosgx-sengx)

lim x+ 0+lim x-*- gir

(logx-logs en2x)

3sen2x+senx-Ux-gtr

202. limX-+ 2 TT

1-senx(x-Jir)s

203. lim x+ 0

xctg2x

204. lim x+ |tr

tgx*(l-senx)

205. lim x- ?

(l-tgx)tg2x

206. lim x** »

x+senx2x-senx

207. lim x-r2tg-x-r +«

181

Soluzioni degli esercizi proposti.Ch _ , . senx 1— e —Xlim

x+ 0senx /v

= (o' lim x-»- 0

182. lim x+ 0lira x+ 0

183. lim x-*- 0

184. lim x+ 0

185. lim x-*- 0lim x-*- 0

186. lim x-+ 0

187. lim x-» 0

188. lim x+ 0

189. lim

sen2xx

sen2xx

sen5xx

sen3x _ sen2xsen2x _ xcosx

(°5) - li* x->- 0

sen2x2x 2 = 1*2 = 2

= lim x+ 0

= (5) V

2senxcosxx

sen5x5x

lim 2 x-+ 05 = 1*5

senx

, Il numeratore, infatti, è un in finitesimo di ordine (l) infe= riore al denominatore.. Altro metodo poco conveniente :

•cosx = 2*1«1 = 2.

lim x+ 0

i0\ _ sen3x/x _ . 3sen3x/(3x)0 A sen2x/x - 2sen2x/(2x)x+ 0 x+ 0

32

( 2)V = lim 2 x-*- 0

sen2x _1__2x cosx = 2*1*7 = 2 Oppure :

sen2x .. 2senxcosx . . „ senx _ .---- = lim — _ j.im 2* ~ ¿#i — 2XCOSX YÌ'ftQY Yx-*- 0 xcosx x-*- 0i^enx = {2) . lim (1_ senx) = ^ « 0

x 0 x- 0x-senx .. x(l- senx/x) _ 1-1= (-) = lim — =--------r-T- - -x+senx3x+tgx

x~*~ 01— = (A ) =senx+tg2x 0 Q

x(l+ senx/x) 1+1 x(3+ tgx/x)

senx(1+= lim x-*- 0

_x_ 3+ tgx/x _senx*. senx1+ -----cos^x

x+ gir2senx(1-senx)

3cos2x

= 1.211= 41+0= (5) = limLi ìx-*- gir

2-1

190. lim x-+ 0

J z s s s h - = (2) = limxsenxcosx 0 nx-. 0= lim x+ 0

2senx(1-senx)3(1-senx)(1+senx)

1 3

2senx _i 3(1+senx)X-+ gir

= lim

3(1+1) -(l-cosx)(l+cosx+cos2x) _

xsenxcosx1-cosx

T5— senxl+cosx+cos2x i . 3 _ 3» 1 ■” "■ SS a e i e - — ” ,cosx 1 2

87

Page 85: Limiti, guida

£2JlLE

senxp 191. lim

x-»- 0tgx-uen k = (0) = lim tgx-sen \ x = 1ÌB _ t £ x _ = liffl1-oosx x-*- 0 2sen2sx q 2seri2X “q 2cosxsenJx “

,. 2senJxcos5x ,. cossx 1 . _= Iik r---— 4— = lim ----- — =7 = 1. Oppure:,, 2cosx*sen5x _ co.sx 1“ x-*- 0tgx-senjx

lire — ^----= limx+ 0 iroosx 0

x-i- 0tgx senjx x 2»jx _ ! • I 1-cosx - j 1.

192.x‘ x ‘

. . /(l-cosx) ,0. r. . . t .. /2*sensx , . /2.senèxlim — ------ - = (r) = [bisezione! = lim — -— — = lira — - 1 =a X X v m j X a u * P Xx-+ 0+ /_ x-i- 0+ x-»- Cr

= Tjj'l = j/2 • Oppure:,. /(l-cosx) /(1+cosx) ,. /(l-cos2x) 1lim — ------ - « 1,_ . -— 6-= lim ■—------- -• h . .x+ 0+ ’/( 1+cosx) x-r- 0"* /(1+cOsx)

_ . . senx 1_____ , _i. _ 1 /olm x /(1+cosx) /2x-+ 0+

193. lim ,---XSsms— _ j j , Può essere ricondotto ai limiti fondamentali:n l+cosx-2cosix 0X-> V •? senx senxx* ----- ---xsenx _ ______ x___________ ____________ x_________

1+c o s x -2c o s 2x cos2x+sen2x+cosx-2cos2x ~ cosx(l-cosx) . sen2x2 + 5v *■

Sicché:

lim 1-cosx . sen1x- 0 cosx*--5— + " Tx' x'senx/x----s | . Se questo tipo di risoluzio^

ne è difficile da vedere, si può procedere in altro modo. Scomponiamo in fattori il denominatore:

lim-2cos2x+cosx+l = -2(cosx-l)(cosx+J) = (1-cosx)(2cosx+l). xsenx

x-» 0

lim

.(1-cosx)(2cosx+l) A questo punto, o ci si riconduce ancora ai fon=damentali, o si cerca di ottenere senx come fa;t tore al denominatore.

_____ xsenx______ 1+cosx _ . xsenx*(l+cosx) _q (1-cosx) (2cosx+l) 1+cosx set?x( 2cosx+l)

niF

= lim 1+cosx 1+1

x-+ 0 (senx/x)(2cosx+l) l*(2+l)ac 194. lim

x+ 0senx+cosx-

lim x-+ 0

x1-cosx

ì = (jj) = lim _ Uzcosx)} = L_0 = ! . infatti:0 . _ 1 x x . ‘x-+ 0= 0 perchè il numeratore è infinitesimo del 2° ordine ed il

denominatore del 1° ordine.195. lim A . . . X ’--------- = ( x ) = lim ------- —„ tgx-senx 0' „ , 1x-*- 0 x-*- 0 senx(

= lim

= limcosx

cosx„ senx(l-cosx’)u 1

l) x+- 0

= lim

senx(l-cosx)

cosxx-> 0 senx 1-cosx 1*J = 2

196.X- X x ‘

Poiché cossir = 0 , bisogna tentare di ottenere cosx al numeratore :

(1-senx)2 _ (1-senx)2 (1+senx)2 _ (l-sen2x)2 _ cos^x Sicché1cosx cosx (1+senx)2 cosx(1+senx)2 cosx(l+senx) ‘ lcc

lim X-+ ¿ir

(1-senx)2cosx ( ° ) .

I

1

88

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197.

198.

199.

200.

201.

202.

limx_ oosx(l+senx) = lim C O S 3X 01+1. 1+senxX-» gTI

ficare (1-senx) , è sufficiente procedere così:(l-senx)2 _ cosx _ (1-senx)2cosx _ (l-senx)«cosxcosx cosx (l-senx)(1+senx) 1+senx

Oppure, se si vuole sempli=

il cui limite è zero.. . sen(x+a)-sena ,0%lim ------------- = (-)X"+ 0 x u

Essendoci x al denominatore, bisogna tentare di ottenere senx come fattore al numeratore,

così ci si riconduce al limite fondamentale. Applichiamo a tale scopo le formule di prostaferesi:

lim x-*- 0

„ x+a-a x+a+a 2sen— g— cos — g—= lim x-+ 0

_ x x+2a2sen-cos-r— , . _2 2 .. sensx x+2a--- -------- = lim i »cos— — =2*jx A gx 2x-*- 0= licosa = cosa

cosx^cosa _ (2), Essendoci x-a al denominatore, bisogna tentare di x+ a X a ottenere sen(x-a) come fattore al numeratore. Ap=lim

plichiamo, a tale scopo, le formule di prostaferesi... -2seng(x+a)-seni(x-a) . . r 1, . , seni(x-a)i _lim -----— -- —---- — --- - = lim ( -seng (x+a) • ~ r r — = -sena*l = -senay - n t ‘ i l v-«} 1x-*- a x+ a

lim 1-senxx+ Jir cosx(cosgx-sengx = (5 )V Per x+ g7r si annullano 1-senx , cosx ,

cosjx-sengx . Bisogna allora scomporre inmodo che "lo stesso fattore compaia sia al numeratore che al denominatore:

1-senx______________1-senx_____ cosgx+sengx _ ( 1-senx) ( cosgx+senèx)cosx(cosgx-sengx) cosx'( cosgx-sengx) cosjx+sengx cosx(cos2§x-sen2gx)

r . . . . . i (1-senx)(cosgx+sen^x) 1+senx cos2x(cosgx+sengx)= [cfr. duplicazione] = ------cosx.c^ ------ ÎÏSSF " c o s W s e n x )

n. cos2x(cosàx+sengx) . . cosgx+sengx _ g/2+g/2 _ ¿2in\ cos2x(l+senx) 1+senx 1+1 2x+ ¿71 ' X-*- gir

lim (logx-logsen2x) = (-»+») = lim log x-*- 0+ x+ 0+

b . __ai _ , , ,__2sen2x

2x= lim log( » g) =sen2x ^ 0+ B sen2x

= [essendo log^ = -log^] = lim (-log*88^ * ) = -log(2«l) = -log2x+ 0'

3sen2x+senx-lf _ 0,lim = (5)x-»- Jrr

Posto x - J tt = y •+ x = Jtt+y x-+ i n , il limite diventa:

con y-+ 0 per

lim 3sen2(^+y)+sen(^+y)Zji = lim 3cos2y+cosy-U = [scomponendo ix numers.y+ 0 y+ otore] = lim ~ 1~cosyl(3cosy+U) = 0( 3 •!+!+) = 0 . Infatti 1-cosy m =

y-f 0finitesimo del 2° ordine rispetto ad y

1-senxlim r ^ T T T = (§) x+ J, C T F o'Posto X - g r r = y -*• il limite diventa:

x * gff+y con y+ 0 per x-+ g ir,

lim = lin l-seÿ i rr+y) = lim 1 ^ = jx+ j (x-TüF ”i n * y-+ 0 y+ 0

89

Page 87: Limiti, guida

X

20A.

205.

203.

206.

207.

li" xct8Zx = <°-> = 1ÌBn t ? i = 1Ìmn =x-* 0 x+ 0 x+ 0, . senx(l-senx)lim -----------Poiché e il coseno che si

J CO S X e *■ nir annulla quando x-*- |n, ceplim tgx(l-senx) “ ("*0) x+ gir

chiamo di ottenere il co»seno al numeratore. A tale scopo moltiplichiamo e dividiamo per 1+senx:

senx(l-senx)(l+senx) _ senx*cos2x ,. senxcosx 1*0 •lim ----1--- r~r~---- »---- - ±im ----rr----- c- = lim ~ r~----- - r~r = nx+ J ir cosx(1+senx) cosx( 1+senx) 1+senx 1+1x+ gir x+ }Tt

lim^ (l-tgx)tg2x = (O-w) . Si ha che: (l-tgx)tg2x = (l-

cosx-senx 2senxcosx _ cosx cos2x-sen2x

cosx-senx 2senxcosxcosx (cosx-senx)(cosx+senx) 2senx

cosx+senx Sicché :

/. . ». _ .. 2senx 2*ì/2 /2lim (l-tgx)tg2x = lim cosx+; ^ = = 72 = 1 *x+ ? ** À

Oppure, essendo tg2x = = (1-tJofì+tgx) ’ SÌ ha:

limtr ( 1-tgx)• ( 1-t^ )f*+t 7 = lini 1+tgx = 3+1 = 1 'y-> - i.

lim s ? s r - © ■ « • :ii: a s f i i • ^ *= 1 » 4 ® ■ » <«»•2x-senxx+ «°es. 29), si ha: lim

x+ ». i r . rr_ , *8” „ tg-

lim x*r2tg- = (+<».0) = lim r-'-y = lim r2* — •x+ +°° x+ +*» - x+ +» -

x+

Posto - = y con y-•+ 0+ per x+ +«• , il limite diventa:

lim trr2-^ X = irr2«l =,irr2 . Si osservi che, per x intero, questo limix+ C te fornisce la soluzione del problema posto

nell'introduzione di questa pubblicazione.

90

Page 88: Limiti, guida

5. REGOLA DI DE L'HOSPITAL.

I 5.I.' CONDIZIONI DI APPLICABILITA'.• « • 0 • vQuando il limite da calcolare si riduce alla forma ^ oppure - , si può ri*

ad un altro metodo di calcolo: la regola di De L'Hospital. Tale regola esprimersi con l'uguaglianza:

T( x ) _ . • I* (z) /’*v /1 \g(x) ' ì“ . g'(x) ( > (1)

lim x-* c x-»- c

valida quando sono verificate le seguenti ipotesi:, , . £00 0a) lim ¡U) « oppure -x-*- cb) Le funzioni f(x) e g(x) siano derivabili in un intorno di x » c (al più

escluso x = c).c) Nell'intorno di x = c sia sempre g'(x) i 0.

'd) Esista il limite del rapporto delle derivate.f'(xSe poi il assume ancora la forma indeterminata - allora,X|H^>n analoghe ipotesi su f'(x), g'(x) e g"(x) (oppure su f"(x), g"(x) e g'" (x)

etc.), la regola di De L'Hospital può essere così espressa:

lim -77— r x ^ c « (x)

f(x) f’(xlim —,— ( = lira —ri— g(x) g ’(xx-*- C ° X-* c 0= lim x-* c

I ^ x l -g"(x) (25

i Dopo aver premesso che questa regola è applicabile anche alle altre forme in* determinate (TAB Vi) dopo averle ricondotte a ^ oppure g , poniamo 1' atten*zione sull'ipotesi d). Infatti può succedere che il limite delle derivate non e=• • • f(x)sista pur esistendo il limite del rapporto -, v . Proviamo questa affermazione

jcon un esempio: g'x '.. x3cos(l/x) 0*E 0 . . .lim — ;------- = -r— = - con -1 <. I <. 1 •x- 0 1_cosx 0 0

Questo limite esiste, infatti, calcolato con i metodi già noti è:x3cos(l/x) .. x *cos( 1/x ) 0»E „ ... . . . .--------- -- — --------- - - -j— = 0 . Mentre, applicando la rego=lim

x-*- 0 1-cosx lim x->- 0 1-cosx la dell’Hospital, non è pos.

eibile calcolarlo in quanto viene a mancare l'ipotesi d). Infatti:3 1x3cos-

lim :---- - = lim3x2cos- +{-sen-*(-------X------- -^)x3} 3x 2cos- +xsen-

„ .. 1-cosx . senxx-» 0 x-* 0_ lim x(3xcos(l/x)+sen(l/x)} _ ^

. senxx-*- 0 x-* 0

= lim X-+ 0 senx

3xcos(l/x)+sen(l/x)senx/x

ja funzione al denominatore ha limite 1. Per la funzione al numeratore è:3xcos- 0-t = 0 lim sen-x non esiste (cfr. § 4.1, b).

x+ 0 x-> 0or. esistendo il limite del numeratore, non esiste quello del rapporto delle de=

(*) Per tutto quanto riguarda la derivata di una funziona cfr. P.S dalla ataeea Collana.91

Page 89: Limiti, guida

■icordi ««»di «»* î““ f Üdi.it. d.l t r o t t o dell, « » * * • »“ 1

rivate. Si ricordi ^ux -w.— quando li. w»w— _ -siste, non vuol dire che non esiste quello del rapporto delle due funzioni. in casi come questo, il limite va calcolato senza l'ausilio della regola dell'Hospi al. Applichiamo la regola dell'Hospital per alcuni limiti già calcolati ~

208. lim - O = lim ^ -X r«® XX-v +09 + 0D

__ . . 3x2+x-2 ,■», , . 6x+l ,<», . . 6 3209. li® = (-) = lim ^ = (-) = li® - -X**1 * x-»“ » X-»- »

f0t _ .. -l/(2/x) -1 -/2( - ) _ — _ _ _ = _

. T i

8

210. /2-/x lim x-2 x- 2

(cfr. 119)

(cfr. 120)

(cfr. 126)

X- 2.1o/rv+i) . /(xz+3) _ = 2 .

— = lim 2x/(x+lt 2/2 2OH n • /(x+l)-/2 _ ,0, , .2U. lim /(x2+3)-2 " (Ó) ~ *

x-* 1

213x->lim

1 /(x2+3)2,

l/sen^ senx

x- 1

» > • U » , i ^ ì g ‘ < & ’ T / S è ’ <- tg 2 ,,, ’

(cfr. 133)

(cfr. 165)

2 senx0' n4 X" 4 *■' *» ,1-cosx ,0, .. senx ... senxcos3x _

■ ‘ s1 - ) f 0 - ) " o= lim Jcos3x = J

x-*- 02 .0. .. -2(l-senx)cosx _ -2»0-0 _ _— "ù n V —214. lim

x-> a if

215. lim x-» 0

(l-senx)2_ (Oj _ l i m

(cfr.

(cfr.

179)

196)

cosx

xctg2x (0-

senx" X-* s *

> = lL\ ï ? ï = (o} = xÌ°o 2tgx(l7^ Tx-» 0C0S3X _ /1\ = „2senx 0

(cfr. 203)= lim

x-*- 0

5.2.- INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLA REGOLA DI DE L ’HOSPITAL.Consideriamo la funzione y = f(x) ; tale che:

lim * ( v \ = o (fig. 49)f(x) = 0x-*- c

Considerando un punto P d'ascissa generica x ed ordi_nata f(x) , se si vuole il parametro angolare della

, , v f(x)-f(c) f(x)retta CP , esso e: tga = -------- = ---- essendo’ x-c x-cf(c) = 0 per ipotesi. Tale parametro angolare è lostesso di quello della retta tangente in Q alla f(x)

alla CP. Ed essendo, per definizione getga = f’(xj )e parallela

ometrica di derivata,

90

u

= f(xj)x-c 1Lo stesso ragionamento si può zione y = g(x) e tale che:

•'«'"> crfvì = 0limX-*- c

g(x)

6 ’ ( x 2 )

ne segue:

( 1)

fare per un'altra fun=

(fig. 50)

( 2)Cioè: S ! * lx-cSi osservi che in generale è Xj / x2 , ma per x-*- c sia xj che x2 tendono a C e le due rette tan=

92

in Q e Q'» tendono alle tangenti in C, rispettivamente, alla funzionegef-( ’ «ila g(x). Osservato ci5 effettuiamo il rapporto membro a membro delle 1) f(x) e2)' gi ottiene: fU) = f'(x)

g(x) g'(x) (3)

tale scopo è necessario che in tutto l'intorno di c escluso al più x = c sia A,<x ) 0 altrimenti la (3) perderebbe di significato (questo giustifica l'ipo£ » \ j e e i \ r> ^ _ * . . _ n ______ _____±. i. _ ; s i j . t . . . . . ■ 6 c) del 5 5.1). Se si volesse, pertanto, conoscere il valore del rapporto t®5. 0{ Ì£ l per x tendente a c, dato che tale rapporto è indeterminato ( ) , ci si

( X ) ^rivolgere al rapporto delle derivate in base alla (3). Per cui:f i x ) . . f'(x'pu<

lim x->- c g ’(x)x-+ c

Cioè: il limite del rapporto al primo membro sif > (c)identifica, nell’ipotesi che — 5—g 2 (fini=

to o indefinito), col rapporto dei parametri an golari delle rette tangenti in C alla f(x) ed alla g(x) (fig. 51).

f’(x) g’(x) l (finito o in=L'ipotesi che lim

X- » c

definito) è necessaria perchè il caso contrario è quello che dà, come risultato del limite, una

Fix -51 forma indeterminata ^ oppure - . In ognunoO 00

ii questi due casi si ripeterà il ragionamento fatto sulle due funzioni f'(x) e g'(x) e si chiameranno in causa la f"(x) e la g"(x); etc.

Sia allo scopo di riepilogare, sia per meglio mettere in evidenza quanto può avvenire, facciamo riferimento ai seguenti diagrammi cartesiani. Quando lerette tangenti in C alle curve f(x) e g(x) sono quelle della fig. 52 'mol dire che:

a) lim = lim Ili*) = |l = i.c gU) XH. e g ’(x) l2

h) limx- c 81* )

c) 4 ^ = lim g(x)

lim x-i- c

f’(x) _ 0 g ’ ( x ) l ■

f’(x)gMiT

f'(x) _ i g'(x) ” »

= - = 0

4) U n ì i i l - lija x- c g(x) x- ule rette tangenti in x

c*4ono entrambe con l'asse ohe;

= 0

•) U m £ÜÜ .X-r- e g(x)

^ o r aClim f'(x)

\ t0 Sai

g ' (x) f'(x)

= c alle f(x) e g(x) coin x come in fig. 52e vuol dire06 'x-*- c

si opera sulla f'(x) e sulla g'(x) come indica teorema dell'Hospital, calcolando cioè le derivate Fig. 52 e)

93

Page 90: Limiti, guida

yseconde ed esaminando il , •_ f"(x)

g"(x) •Se le rette tangenti in x = c alle f(x) e g(x) coinci= dono entrambe con una retta parallela all'asse y come in fig. 52f, vuol dire che:> . f (x) _ -, . f ' (x) _ ~x-> c g(x) x- c 8 { x ) "

Allora si opera sulla f'(x) e sulla g'(x) come indicato dal teorema dell'Hospital, calcolando cioè le derivate se=

f^xl g"(x) ‘conde ed esaminando il

Se si dovessero verificare i casi0 * 1g"(x)per il lim

x-»- cte terze; etc. Esempi:

senx _ , cosx

lim x-»- c

e) e f) si procede con le deriva®

216 .

217

lim x-+ 0

= lim x->- 0

Evidentemente le due curve y = senx ed y = x (fig. 53) hanno in 0 la stessa tangente: tga = 1 (a = ir A ) (caso a).

1-cosx . . senx <0,- li» " à T - (5 ).

v » l - cos a:

Fig. 52 fj

Fig. 54Ciò significa che le due curve y = 1-cosx e y = x2 (fig. 54) hanno l'asse x come tangente comune (caso e). Si ricorre allora alle derivateseconde: lim ££sx _ i _ ciò significa che le due curve

X-+ 0 d x x * 0 2y = senx ed y = 2x hanno nell'origine tangenti diverse, con parametri angolari finiti (caso a), come mostra la fig. 55.

5.3.- CONSIDERAZIONI SULLA REGOLA DI DE L'HOSPITAL.Alla luce dei §§ 5.1 e 5.2, lo studente potrebbe pensare che il lavoro svolto

nei capitoli precedenti è pressoché inutile, perchè la regola dell'Hospital, ma= gnifica regola, dà la possibilità di calcolare quasi tutti i limiti risolti fin£ ra, senza eccessiva fatica. Si può rispondere nel seguente modo:a) La regola dell'Hospital talvolta, come visto a pag. 91, dà luogo a limiti in£ sistenti e potrebbe indurre in errore.b) E' una regola che presuppone la conoscenza della derivata di qualunque funzio

f ' (x)ne, e la oculata sistemazione del rapporto , i al fine di rendersi conto se_ 8 txl q „

il limite di tale rapporto esiste oppure e ancora della forma q o - .c) All'esame, al fine di saggiare l'intuito dello studente, può essere chiesto

Page 91: Limiti, guida

di calcolare un limite senza la regola dell'Hospital, per 1' applicazione della quale non occorrono particolari intuizioni.

Comunque, se si vuole calcolare un limite con la regola dell'Hospital, si prò ceda nel modo seguente: 0 n1°) Ci si accerti che il limite dia luogo alla forma r o - . Se dà luogo ad uV 00

na forma indeterminata diversa, si riconduca questa nel migliore dei modi, a

2°) Si proceda alla derivazione del numeratore e del denominatore.3°) Si sistemi il rapporto, operando le eventuali semplificazioni, in modo eh0

il limite della funzione così ottenuta o I immediato o dà luogo ancora alla 0 »forma r o - .0 «•

4°) In quest'ultimo caso si ripetono le operazioni 2) e 3)l e così via.

Esempio:...... lo<z(l+2ex) / +°°\ H ,. 2ex/(l+2ex) . .218• lim "7Ti+x^) '= ^ + lin\ x / W ) ‘ lxm.

2ex /(1+x2) _1+2 e'*x-i- + » ' ' + “ ' ' X + +“

Non ci sono semplificazioni, ed inoltre il limite sembra essersi complica® to. Ma ci si renda conto che adesso si può fare quello che non si poteva fare prima: cioè ricorrere ai metodi dei paragrafi precedenti:

x /(1+x2) 2ex x{/(l/x2)+l) _xlim 2 e

x+ +» l+2ex x+ +«° = lim

ex((l/ex)+2>-{/(l/x2)+l) = 1

x+ 4. (l/ex)+2Questo esempio mostra che i metodi precedenti sono indispensabili anche quan=

do si edicola un limite con la regola dell1Hospital.

5.4.- ESERCIZI PROPOSTI.Calcolare mediante la regola

si trovano subito dopo.

3/x+2x/x-1

tg3x5x

sen/x+x2tgx|x3-l|-2x2-l

/(2+x)

219. lim«1 Xx+ 1220. lim

x+ +•221. lim

x->- 0+222. lim

x+ 0+223. lim

x+ -2+224. lim

x+ -1 ~

225. lim ;x+ 0

226. limx * sir

xex1-cosx

senx+cos2x l+sen22x+cos2x

di De L ’Hospital i seguenti limiti. Le soluzioni

227. lim ÌfiKZELx-> 0 tgqX_<1X

228. lim S- ^ 4 r - H x-* 1

2^9. lxm (2x-l)tgx+x x-»- 0

230. lim (logx-logsen2x) x~ 0+

(cfr. 200)

231. lim xctg2x (cfr. 203)x-+ 0

232. lim tgx*(l-senx) (cfr. 204)x-+ gir

__ ,. x+senx233. lim x----- T2x-senxx-»- »(cfr. 206)

234. lim x*r2tg£ (cfr. 207)x+ +» *

95

Page 92: Limiti, guida

Soluzioni degli esercizi proposti.

¡ir. U » - (g> s il. j ^ r 2- = 3 ^ - - ìx-* 1 3xz-lUx+7 = 3-ll*+7 = " C •

, . 3/x+2x ,+«>i H . . p/v + ® p220. lim v i , • = (— } -*■ lin; ---- = -=- a +®/x-1 '+« 1 ri+x-* +<» x-* +« -A- w2/x

221. lim x-*- 0+

-2.5x = (2s) 5 lim c-2p x = 30+ x- 0+

222. lim x-+ 0+

sen x+x tgx

0 \ H= W lim

x-*- 0+2 A COs/x+2x

223. lim x+ -

x3-l|-2x2-l .. -(x3-ll-?x2-1--7/4 .1--- = lim * 7 — - = li^(2+x) x+ -2"*

limx-> -2+

/(2+x) lim x- -24

- x 3-2 x 2 _ ,0 r'(2+x) ” '6

~ 3 x 2~ 1 x _ -3«U-lf (-2) _ ^U_ _ _

2/(2+x)

* » ■ 2“ . ^ 7 - $ > s u » . ifieH-- s i ■ 0*.x- -1- /(x2-l) X - -1“ 2x3* ^ ( x 2-1)

l a ( - D3*0+

225. lim x-+ 0

X'e"1-cosx ■ <g> S li» ■ ( b

x-*- 0 senx

,,, . . senx+cos2x2 2 0 e 1 xm 1 b _ »1 l+sen‘ 2x+cos2xX-+ ¿ir

_ / 1-1 _ 0> H . cosx-2sen2x'1+0-1 0; lmi Usen2x cos2x-2sen2xx-+ a rr

= lim cosx-bsenxcosx = lim 1-Us1 8senxcosxcos2x-lrsenxcosx ‘i 8senxcos2x-Usenx

X - ¡n x-* gir

0 tgqx-qx x-*- 0

cos2---TArte *■

“P* --- = c*lim cos2px— 2----q 5 X-* 0cos^qx ^

qx ,. l-cos2px _ 2«l«limpx l-coszqx x->- 0 11 x+ (

;os2qx-eos;:qx

-cos2px•ArtC+AV

H p#1.ffl 2psenpx^cospx = p2 lim 5°£H.lim " S S * =<1 x“ 0 2qsenqx • cosqx qz ^ Q cosqx

= (Sj.1.2 = 9) H B2 lim pcospx = P 3 _ 'q2 0 0' q2 „ n qcosqx q3

senqx

X-+ 01

Page 93: Limiti, guida

, . cos/(x-l)______f_____ 1____l _x^m1+ -ir Ax-l) *sen( |ox) *-ir*(0+)*l'

229. lim x->- 0 (2x-l)tgx+x = (5) llm

1C O S 2X

= lim X-* 0

Xlulx^ 0 2tgx+(2x+l)^£ +1

1 , 12senxcosx+2x-l+coszxT Z = ( )=<ì)O+O-l+l' 'o

J

230. lim (logx-logsen2x) = (-«+«) = lim logx-+ 0 x->- 0+

o = loglim — x— 2sen2x Q+ seri2x

5 l0slimn+ diisr - lo^ = -lo«2 •x-* 0

231. lim xctg2x = (0*“>) = lim ~ T ~ - (?) ^ li®x+ 0 tS X °x-»- 0 x-*- 0 2tgx(l+tg2x) = ^ _

senx(l-senx) _ ,0, H 232. lim tgx*(1-senx) = (»•0) = lim ----------- = (r) -*■X-*- J n x-*- g ir

H lim x-* Jc

co3x(1-senx)-3enxcosx _ cosx-sen2x _ ox-+ Jtr -senx 0 .

233. lim x-»- »

x+tfénx2x-senx = <=> lim

x-*- «1 + C 0 S X2-cosx

Poiché per x-+ «• non esiste il limite di cosx , l ’applicazione della re= gola dell'Hospital porta alla conclusione errata che il limite cercato non esiste. Invece, come già si è visto, il limite esiste ed è stato calcolato (cfr. 206).

tg- - „ —?*(l+tg2-)234. lim x*r2tg^ = (»»0) = lim r2-j^ = (q ^ r2*li® —-------— =

X-*- +“ X-» +<» - X-* +• — Tx x*

' = r2-ir*lim (l+tg2^) = irr2(l+0) = irr2.X-+ +»

97

Page 94: Limiti, guida

6. LIMITI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE. (°)

6.1.- CONSIDERAZIONI GENERALI.Le sei funzioni goniometriche inverse sono funzioni continue. Ciò vuole dire

(cfr. 1° caso del § 2.10) che qualunque sia il valore dato alla x (naturalmente nel campo d'esistenza (°) di ognuna delle funzioni), la funzione è reale e defi= nita. Il calcolo, pertanto, del limite di una delle sei funzioni per x tènden te ad un valore del proprio campo d'esistenza è immediato.

Esempi.235. lim arcsenx = -jrr

x-r- -1+236. lim arctgx = -Jir

X-V

237. lim arctgx =x* /3 3

2238. lim arcsecx = riix-r- -2 3

La difficoltà può nascere quando, sostituito il valore di x , si deve trova® re il valore della funzione, visto che con le circolari inverse non si ha tanta familiarità quanta con le circolari dirette (senx, cosx, etc.). Allora si consci glia allo studente di riportare il calcolo alla corrispondente funzione circola® re diretta. Per esempio, nel caso del 235 , occorre conoscere il valore dell' arcsen(-l+). Lo studente si ponga la domanda: qual è l'arco (o l'angolo) il cui seno è -1? E si dia la risposta: siccome l'arco il cui seno è -1 è -571, si ha arcsen(-l+) = -jn. Cioè risolva (a mente) l'equazione senz = -1 -*■ z = -Jtr(escludendo i valori che non interessano).

Stesso ragionamento per il 236. Domanda: qual è l'arco la cui tangente è -® ? Risposta: tgz = -«• per z = -In (escludendo i valori che non interessano).

Ancora allo stesso modo si procede per gli esempi 237 e 238.

6.2.- CALCOLO DI LIMITI.E' naturale che, quando si deve calcolare il limite di una funzione nella quii

le qualche addendolo fattore) è una funzione circolare inversa, o esso è inane® diato, o dà luogo ad una forma indeterminata.

Esempi di limiti immediati.-, • arcsenx-log(l-x) _ f !*-(-<») - *°°i____

x-1 0“ 0-J "x-+ 1"2it. . sengrx-l/2-i-arccosx _ sen(nA)-l/2+arccosl _ 1/2-1/2+ ir/3 _ ________

arcsenx+21og(2x+l) " arcsenl+21og( 1+1 ) n/6+21og2 ir+121og2"

lim + {/(x2+l)+arcsen/(x-5+ijl = (l+arcsen ^ ) = l+0+ = 1+.x* 0'lim { /(x2 +1 ) +arcsen^X2+Jj} = lim { A x 2 +1 ) +ar csen^1+ J/x2 ) } =

x-* +«°= ( -Ho+arcsenl = +»+lir) = +».

Ma come comportarsi nei casi in cui vengon fuori delle forme indeterminate co me ad esempio:

arcsenx 0 arctgx _ 0 (arccosx)2 % . x-arctgx _ 01 ” 5 * x 6 ’ l-x 5 ’ lmrt arcsenx-x ~ 5lim

x-*- 0

C) Per quanto riguarda le funzioni inverna in generale ed inorarne delle circolari in particolare cfr. P.2, li 1-17. 1.18.Par la relazioni ed eventuali tranfornazioni fra le inverna delle circolari cfr. I 1.8.

98

Page 95: Limiti, guida

visto che per le funzioni circolari inverse non si hanno tante trasformazioni da fare? Per una ristretta gamma di tali limiti, si può ricorrere alle considerazio ni sugli infinitesimi (o infiniti). Per altri si deve ricorrere a nuovi metodi di calcolo: la regola di De L'Hospital oppure lo sviluppo in serie di Taylor-Mac Laurin. Si potrebbe, ad esempio, procedere così per il calcolo dei:

arcsenx243. lim ------- . Posto arcsenx = y x = seny con y * 0 per x-+ 0 , six-*- 0 ottiene:lim x-*- 0

244. lim x-r- 0

xarcsenx

arctgxx

x-*- 0245. lim

x-»- 1lim x-> 1

(arccosx) 1-x

(arccos 1-x

- lim -*■— = i (cfr. 5 4.2).y-r- 0 SenyPosto arctgx = y - x = tgy con y* 0 per x-* 0, si ha:

lim = 1r » * "

(cfr. es. 163).

. Posto arccosx = y ■+ x = cosy con y * 0 per x-*- 1 :

|2 - lim y2 = lim y-*- 0

i 1 - 2 (cfr. es. 164)." “0 1-cosy (l-cosy)/y^ T “ 3

* 1 , ci dice che arcsenx è un infinitegjip» a«»i

Vediamo allora a quali importanti considerazioni conducono gli esercizi 243, 244 e 245. Ja) Il fatto che lim

x- 0 31.primo ordine-- rispetto ad x ( infinitesimo di confronto). Quindi con conside= razioni sugli infinitesimi si possono giustificare i seguenti limiti:

per n > m (al) Il numeratore è un infinitesimo di n i. ordine superiore al denominatore,

per n = m (a2) Numeratore e denominatore sono in= finitesimi dello stesso ordine,

per n < m (a3) Il numeratore è un infinitesimo di ordine inferiore al denominatore.

Iìb (arcsenpx)" = x- 0 4X0

Esempio:246. lim (arcfef x)3

x - 0 ^1851*

lim (arCj ^ x)3 = lim

(a2). Posto arcsen5x = y per x-*- 0, si ha:

.v 3 _ 125M l / l2 5 ) s e n 3y ” U

^seny con y-* 0

x-+ 0 y-»- 0b) Il fatto che lim arctgx = 1 , ci dice che nrct.gy è un infinitesimo del 1°

x-»- 0 xordine ris-nettn ad x (infinitesimo di confronto). Quindi, con considerazio= ni sugli infinitesimi si possono giustificare i seguenti limiti:

fO per n > m (bl) Il numeratore è un infinitesimo di

lim (arctgpx)nqx“

f per n = m (b2)ordine superiore al denominatore. Numeratore e denominatore sono in=

x-<- 0 finitesimi dello stesso ordine.00 per n < m (b3) Il numeratore è un infinitesimo di

ordine inferiore al denominatore.Esempio:

247. l i , t e - g f W ’ . 2x-» 0

(b2). Posto arctg3x x-*- 0, si ha:

1.jtgy con y-* 0 per

99

À

Page 96: Limiti, guida

, • (arctg3x)2_ .. y2— — = 2llmn 2 ? " ^ “ 2(l/9)tFy 2x-* 0 y* 0

c) Il fatto che lim ■ = 2 , ci dice che (arccosx) è un infittitesi“x-*- 1

mo del 1° ordine rispetto all'infinitesimo 1-x per x-+ 1. Quindi con consi_ derazioni sugli infinitesimi si possono giustificare i seguenti limiti:

|0 per n > m (cl) Il numeratore è un infinitesimo di ( )2 n Ipn ordine superiore al denominatore,

lim ^ ? -9° A— = < - per n = m (c2) Numeratore e denominatore sono in=x-* 1 q.(l-px) finitesimi dello stesso ordine.

“ per n < m (c3) Il numeratore è un infinitesimo di ordine inferiore al denominatore.

Esempio:.. (arccosx)1* ,. (arccosx)2"2 . / „ i

248> llm, 2(1-x )3 " — 2 { Ì = ^ - “ (C3)-x->- 1 x-*- 1Posto arccosx = y •* x = cosy con y->- 0 per x-* 1, si ha:

■ “ - 0 -

= (2‘ì*2*-i— = §) =1 * 1-1In base alle formule a), b) , c) posronc essere calcolati molti limiti. Esempi:

249. lim x(ar<iS nx)3 t per x . q il numeratore è infinitesimo del k ° ordine, x-* 0 sen x come il denominatore. Allora il limite è finito:lim x(a^ m 0 3 . lim ¿SSSgg)3/*3- = ì = ! (a2). '

o ^ Q sen x/x 1

250. lim ~ 7 ayctSx. . per x-*- 0 il numeratore è infinitesimo del U° ordinex-*- 0 (1-cosx)2

(infatti: lim = lim ^ 4 ® ^ = i (b2)). Inoltre, essendox-*" 0 X xh. 0

1-cosx infinitesimo del 2 ° ordine (infatti: lim 1 ®®sx = saràx-*- 0

(l-cosx)2 infinitesimo del l*° ordine. Quindi il limite è finito:x2(arct<zx)2 .. (arctgx)2/x2 1 _ i.

llmn " (i-cosx)^ = limn l-cosx)2^ - l/U - x->- 0 x-i- 0251. lim t~-°s^ . Rispetto all'infinitesimo 1-x per x-* 1 : l-cos(l-x)I ari'f'nsY )H r

X-v 1è infinitesimo del 2° ordine (infatti: lim = lim 3 CfS = |);

x-»- 1 y-*- 0. . », . , (arccosx)1*(arccosx)4 è un infinitesimo del 2 ordine (infatti: lim — (1-x)2 =

x- 1

X-- 1= lim (a^cpsx)---= = !* (c2)). Pertanto il limite proposto è finito.

_ i (l-x)z 1ore e denominatoi 1—cos(l~*x )} / ( 1—X ](arccosx)1*/(1-x)

Dividendo allora numeratore e denominatore per (l-x) si ottiene . l-cos(l-x) _ .. ( 1—cos(l~*x)}/ ( 1—x)2 _ i _ 1

3-1® ior-nnncvl1' “ 1Un fi ', (arccosx) .x-*- 1 x-*- 1Laddove considerazioni del tipo a), b) , c) non possono essere fatte, si può ricorrere alla regola di De L'Hospital. Per esempio, si voglia calcola

100

Page 97: Limiti, guida

re il:252. lim

X-+ 0x~arctgx = (2) 3 lim = limarcsenx-x n 1 , — ‘ l-/(l-xz

x^ 0 /(l-x2) _1 ** 0 /(l-x2)

l+x2-lH-x2

l-/(l-x2)

X2 /(l-x2) .. /(l-x2) X2= lx\ S ' i - À l - X ^ ) = ^ m0 T ^ l - / ( l - x 2)X-r- 0

= (ì-5) =

= lxm x-+

Jt i _y2 \ x 2 Hi m l i ^ ‘ l i m 1 - / ( 1 - X 2 ) 1 *l l m -+ 0 1]x x- 0 1 u ’ x- 0 -

2x = lim 2/(l-x2) = 2.7 ( & T X + 0

6.3.- ESERCIZI PROPOSTI. »Calcolare i seguenti limiti applicando, ove è possibile, le considerazioni a,

b, c del 6.2, oppure la regola dell'Hospital. arctglx |

X - 0+ /(1_cosx' X-* 0 £“ k-,'*A~A x-r- +~

254. lim x-> 1

(arctg(x-l)}2(l-x)2

255. lim xarcctgx x-*- +“

X-» +»

Soluzioni degli esercizi proposti. 253 . lim arctS |x| im ar-ctgx

X . 0+ /(1-cosx) x_ 0+ /(1-cosx)

257. lim x-arcsenx 261.x- 0 arctgx-x

258. lim sen32x 262.x- 0 x arctgx

259. lim x-arcsenx — ? — 263.

x- 0

260. lim x2-arctgx2 264.(l-cosx)3x- 0

/(x2+l)1 3 — X2

X-r- +<«

X- 1arctgx- n A

x-1

7 ò f e j+ll,)

= (-). Rispetto a x, arctgx e (l-cosx) sono infinitesimi del 1° ordine.

/(l-cosx) _X

,,1-COSXs /i- lim /( 5— ) = * !•X2 Dividendo numeratore e de nominatore ner x si ha:

Infatti: limx-»- 0 “ x-» 0

lim arctgx. x--- i./a = /2.x . q+ x /(l-cosx)Si osservi che con l'Hospital il calcolo del limite si complica:

_1__arctgx H . . 1+x2 , . 2/(1-cosx)lim -77\— — r ->■ lim ---------- = lim , ' --- u =n+ r(1-cosx) 0+ senx . n+ (l+xz)senxx-*- 0T X-r 0+2/(l-cosx)

_ . 1 /(l-cosx) „ « .. /(l-cosx) ,0, „ ...........= 21im rr-5 • -1------L = 2*l-lim --------- = (t ). Per quanto si derivino-+l+x2 senx _+ senx 0 , .x-*- 0 x-*- 0 ulteriormente numeratare e denominatore, l'indeterminazione non scompare. Bisogna allora ricorre.re ad opportune trasformazioni goniometriche. Si possono applicare le for=mule di bisezione al numeratore e di duplicazione al denominatore:

21 im x-*- O-1

/(1-cosx) _ 21im /2sengx^ = 2 /2ni — i * — • lim tq+ Ssenjxcosgx 2 cos¿x = /2.

254. a) Il calcolo può essere ricondotto al caso b) del § 6.2. Infatti, posto x-1 = y con y+ 0 per x-*- 1, il limite diventa:

(arctjpr)2 = ^li» {arf f i ^ )2x - 1 (1“X)

lim y * 0

101

Page 98: Limiti, guida

b) Con l'Hospital:

lim x+ 1

2arctg(x-l)l±ix=U ? = lim arçtfilxzl) lim =■Llm x-1 l+(x-l)2X-*- 1 X-+ 1-2(l-x)

= lim x-* 1

ESSfiiï^i.1 S lim ì ± i p Q Ì = 1 .X_1 x- 1 1

-1

x->- +°° x-i- +»

w

-1 <5> ■+ lim --1 = lim 1+x* - 1.X x+ +“ X 2

X+ +00

Posto X 1= - con y-* 0+ per X+ +00 5 siha: yX-*- +"sir-arcctgy ,0, .. , rr .arcctgv. , .

Hm ----------- - (5 ) = lim ( ¿ ~ -------------= (+“- l ) = +«•>y**- o+ y y+ 0+ ^ *

1y+ 0

1-__ -. x-arcsenx ,0, H .. J' /(1-x^T257 ‘ llmn arctgx-x " (5] " linn 1 ,x-»- 0 0 r r ~ 7 “1

n. /(l-x2)-l 1+x2S “o =l+x^

1+x2 /(l-x2)-l , . /(l-x2)-l _ ,0\llR1n 7 ( ï ^ * r - y j - -1 *1 “ ------ ^X-»- 0 X-r- 0IX___-lim x-*- 0

/(l-x^2x slim

x+ 0. 1 _ _ ,7(l-x2) ” 5

sen32x 0258. lim ~ i--r— = (t ). Sia il numeratore ohe il denominatore sono infinite=x->- 0 X ar° gX simi del 3° ordine rispetto ad x. Infatti:

lim ^ ^ = 8lim (2*325)3=8* lim = lim «SÌS* = i.x- 0 x x-+ 0 2x x-+ 0 x x-+ 0 x

Dividendo allora numeratore e denominatore per x , il limite diventa:sen22x

IT q ^retgxx^~ 0, ..... r/sen2x ,3 x= Slim {(■

x-»- 0 2x arctgx} = 8*1*1 = 8.

Applicando, invece, la regola dell'Hospital, si ha: sen32x H ,. 3sen22x*cos2x*2

x- 0 X arCtgX ; r 0 2xarctgx + ^

= lim 3sen2x*senlrx = lim

1+x2 " ' x„ sen2x „ senlix ,3.— -- "2*-]----*42x______4x

6sen2x*sen2x*cos2x2)x* 0 ^(iSSiSEi t Jjj)

„ o ^ S s s S a . - i - , , * * » l à

3»1*2»1*1* _ 2 k _ q 2*1+1 3 "

x-arcsenx ,0* H . . /(l-x21 . . /(l-x2)-l .. ,0N259. lim jg---- = (5) -► lim ---J- = lim 3 " (5)x+ 0 x+ 0 ■3X X+- 0 k ^_ ,. Al-x2)-l /(l-x2)+l _ .. _________l-x2-l___________ n 3x2*/(l-x2) V ( 1-x 2)+1 * 3x2*/(l-x2) *{/(l-x2)-+l}x-+ 0

= lim x-+ 0

-1x-+ 0

-13/(l-x2) *{/(l-x2)+l} " 3*l*(l+l)

1l •

102

Page 99: Limiti, guida

x2-arctgx2 _ ,0, H . 2 x 1+x1* _ --- -— rs- =• liro -(l-cosx)3 “ (0) limn 3(l-cosx)zsew ^ Q 3<l+x,‘)senx (l-cosx)2 X-r- 0 X-+ U

? . x , x2 ».> i 2 „ ,1n7 §= -*lim ----• (t----- )2*r— ¡r = r'3' ìr'l - o3 senx 1-eosx 1+x4 3 î jX-* 0

/fx2+lì r . A x 2+l) _ -.1 _261. lim xarcsen- ^ - ^ — *- = [«»0 , dato che li® x2 °J

rX-t- + « x-*- +"

= lim ■ x-> +»

/(x2+l) arcsen- ? — u_______ xi. /0v H .(q ) -*• limx->- +“

x3-2x(x2+l)

A i»

a 7 i f e

1

x 3+ 2 x

" "lim X ‘/(x^+xZ+l) X1* - / x2+l “ liir‘ /(x6+2x1*+2x2+l)x-+ +« X-»- +<»

1 +- 2__________xf______- 1 iir* 2 2 Ï

x-* +« A 1+ "^2 + T ü + T 6 )= 1.

X*- XM262. lim {/(x2+l)+arctgx-x) = (+<»+jir-“> = +»—®) ■ Dato che l'indeterminazione

x-, +„ non dipende da arctgx, conviene scomporre il limite nel modo seguente:lim arctgx + lim {/(x2+l)-x} = jir+lim {/(x2+l)-x) = [razionalizzando] =X"> +» X“ +» X-* +»

= h + li” {A X2+l ) ~x} /|x2+i)+x = + lim /(x2+l)+x = ^ +0 = 2lr‘x-*- +~arctgx - r n r -2

263. lim •= (q ) -*• lim — --x-> 1 x-»- 1

x-+ +“

264. Poiché lim_ A x 2 + 1 ) = ^ _x / ( l + 1 j

= -1 , e arcsen(-l) = -jtt , è:

lim xfarcsenTT—f—r-r-+ iir) = (-»-0) = lim/(xz+l) "

arcsen/ ( x2+1) ■ +5 ir

x->

_1_____ /(x2+l)~ A f e )

= (x) +

I r /(1' ^ }lim ----------x-*-

v2= -lim

x^+l

‘I?

x*+l -1.

X 2 • A x 2 + l ) ( x 2 + l - x 2 )* -1“ .. — ( ì w b n r ^

Più semplicemente, dalla TAB. 8.1 si ha:arcsen/(x2+p) = arctgx , quindi:

lim x{arcsen^xj+1j + Jir} = lim x( arctgx+gir) = (-»-O) =x-»-

arctgx+ìrr ,0, H.. l/(l+x2) ,. x2' “ 1 7 x ^ Ï 7 ? ~ = "u m P ï T " “1-X-* “°° x-> -«>

103

j

Page 100: Limiti, guida

7. CALCOLO DI LIMITI MEDIANTE SVILUPPI IN SERIE.

7.1.- CONSIDERAZIONI GENERALI.Come visto ai 55 3.1, 3.2 quando il limite si presenta nella forma indetermi®

0 00 v ♦ ♦nata g o - , mediante un confronto fra infinitesimi o infiniti, e possibile stabilire se il limite è finito (diverso da zero), zero o indefinito. Per poter ope rare in tal senso sarebbe però necessario, date due funzioni di tipo qualunque, poter stabilire subito quale delle due prevale passando al limite. Per alcuni t^ pi di funzioni ciò I abbastanza agevole, per altri tipi, meno.-^““

Si è visto anche (cfr. pag. 68) che in una somma di funzioni infinite prevale l'infinito di ordine maggiore, cioè è possibile trascurare gli infiniti di ordi= ne inferiore. Viceversa, in una somma di furivi rm-i infinitesime prevale l'infini= tesimo di ordine inferiore, cioè è possibile trascurare gli infinitesimi di ordì ne superiore. Esempio:

265. lim = (^). Il numeratore è infinitesimo del 1° ordine rispettox-+ 0 ad x j al denominatore compare la somma di un infinitesimo del 2° ordine (x2) e di uno del 1° ordine (senx). Trascurandcj l'in= finitesimo di ordine superiore si può concludere che numeratore e denomina tore sono infinitesimi dello stesso ordine (1°), quindi il limite è finito e non nullo. Infatti:

limx+'O

tgxx2+senx

tgxlim — x-+ 0 x+ senx

x0+1 1.

In questo caso è stato semplice stabilire gli ordini degli infinitesimi ma in al tri casi tale ricerca può risultare laboriosa e, «f m n si vedo «ii-nn p»r.eliminare l'indeterminazione (come la regola dell'Hospital) è conveniente svilun pare m serie di potenze il numeratore ed il denominatore.Se |x-» 0 Js i adoperano gli sviluppi in serie di Mac Laurin.Se |x-> c #"o] bisognerebbe sviluppare in serie di Taylor, ma poiché, mentre sono

noti gli sviluppi in serie di Mac Laurin, lo sviluppo in serie di Taylor andrebbe calcolato di volta in volta, gj preferì are operare un cambio di vari aitila, jy = x~c| con v->- 0 per X-» C , ip mniln da ri condursi ni primo caso.

A titolo d'esempio sviluppiamo in serie di Mac Laurin (cfr.Appendice: S.7,S.5) numeratore e denominatore della funzione del 265.

x+ — + 2x5 4-lim — = lim ---- — <■ g--------- lim - = 1 . Ottenuto trascu=_ x^+senx _ o / x^ x^ » - x _ . ,x* 0 x-+ 0 x^+(x- — + — - ...) x-+ 0 rendo sia al numeratore che al denominatore gli infinitesimi d'ordine superiore al 1°.

Esempio: calcolare, mediante sviluppo in serie, il

266. lim 1-cosx ,0, ,“5 = (r) che sappiamo essere uguale ad $. In base allo sviluppox-*- 0 X 0 S.6:

limv2 v2

X 1 2! h i . . 21 ** 2-------- = lira -----5—x£

= lim 2 . Ottenuto trascu®x-+ 0 x « * 0 x-<- 0rando, al numeratore, gli infinitesimi di ordine superiore al 2°.

104

Page 101: Limiti, guida

T _ arcsenx _ .0* . .' ' •*-im ---- " \ q > che sappiamo essere uguale ad 1. In base agli sviluppi

S.9 ed S.5: x+ +arcsenx .. ■o-’lim ------- = lim

x- 0 senx x-r- 0 x- += lim j = 1X-r- 0

Ottenuto trascurando, sia al numeratore che al deno

minatore, gli infinitesimi di ordine superiore al 1°.

Applicando gli sviluppi in serie di Mac Laurin S.2, S.4, S.7, si ha:

Page 102: Limiti, guida

272.

273.

274.

275.

276.

277.

» lim — = 2. x- 0 x

lim x-*- 0

1-cosxx-senx (o ^ = o} = ts-6. S-51 = lim

1-(1- b *2 !

x-+ 0 x-(x-

.)— = lim .. ) x->- 0

21 _ Z "31

2*3'XZ .. 3n S linv £ =x-*- 0 x-*- 0

lim

lim senx£ ^ se— ) = ^ t per poter calcolare il limite median=x+ j* C03ZX 0 ° Jte sviluppo in serie è necessario operare un cambio di variabile.Posto x-Jir = >r— ► x = Jrr+y con y-*- 0 per x-+ Ju, si ha:lim senx(l-3enx)„ x~ b COS X

lim sen(|TT+y){l-sen( jrr+y)} = . cosy(l-cosy). _y o cos2({Tr+y) y-+ 0 sen y

lim cosy.^2|3L= Llim = [S.6, S.5] =* santv een‘v *y+ 0 sen -y y-* 0 sen^y

. 1“(1_ 2l += lim ------ó-------- = limx L _21 .

r* 0 (y- - | 7 + ...),2 y - o y2+ +

0,

■= i.

lim SenX+f SX~-1 = = «) = [S.5, S.6] =X+ 0 x v V

y 3 y2(x- — + ...)+(l- — + ...)-l X'

= lim --- ------------- ---------- = lim -x* 0 x x 0

= lim (1- §7 - fr- + x-+ 0 ■3>

2! 31

,..) = 1.

lim x-*- 0

x2-arctgx2 r_0r0_ = Or _ f .(1-cosx) l(l-l) 0-1 1S’11 ’ S,6J ~xz_{(x2)_(x£I3+ ixiL5. ...}

= lim ----- 2--------x+ 0 {1-(1- fj- + . ..))*

2 2. *x+-xz+ ----...lim --------- ~i------------7x - 0 (1- 1+ f y - . . . )3 = lim l ^ = i -x-+ ° 8

Ottenuto trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al 6°.

lim xiSrctsx_x g r 9, = ._ _ arcsenx-x 0 L * » *

x-(x- |- + ...)

x-* 0 x+ 0 x+ + ... -xOttenuto trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al 3°

0-0 0 “ v ~ =x+ 0

lì“ 'x+ 0 x J

2-32 .

<“? - § > - [S-9. 8-3]

lim - ( ** f i-x 3

0 ( x - J j - + . . . ) 3 x+ 0 ( x - J j - + . . . )= lim x+ 0 ~ ì r - ~ ì-

Ottenuto trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al 3106

Page 103: Limiti, guida

2 7 8 - l i »x* 0 s e n x :) = <-

= l i m

, . . x - s e n x) = l i m -------------

_ + x s e n x x -* 0

y 3 V 3x - i x - r T + . . . ) ? ! ■ •

^ ------- = lim - v TTE+—

= (?) = [S.3] -

7 Tx + 0+ x ( x - j j - + ■ • . ) x * 0+ x 2 - j y +

A

l i m - ^ - j r = l i m " f r = 0+ . _ xZ ^ n+ 3 Ix-* 0+ x-»- 0

O t t e n u t o t r a s c u r a n d o g l i i n f i n i t e s i m i d i o r d i n e s u p e r i o r e a l 3 ■

2 7 9. lim ( h ~ ctg2x) = (— ) - li» (p - ¿ 5 ^ = limrt 7a X'*’ 0 x*+ u

2

x - x 4 /O v ^ T = U)

x-*- 0

= [S.7] = lim( x + ~ + . . . ) 2 - x

X2 « t g z x

= l i m

_ ____________________ r t r a s c u r a n d o n e l l e p a r e n t e s i g l i i n i _l i m r T x 3 T 7 ” ' • f i n i t e s i m i d ' o r d i n e s u p e r i o r e a l 3 oJx~* o x2(x+ — + . . .y

(x~r* ~ ) 2 ~ x2 x2 + ^ x u + |x6-x2 f*“* |x6l i r a ~-------- \ = l i r a \ _

x-+ 0 x2(x+-|-)2 x- 0 x2(x2+ - x u + £X6)= l i m

x-*- 0 x u + f x 6 + T.X

l i mx -*

x M( | + 5X2 ) 21 ---- ? ,--- = ò •0 x u ( l + | x 2 + ì x 14) j

ix8 9

280. lim x-+ 0

e X- e ~ X- 2x = ( 1 - 1-0 x - s e n x 0-0 5 > = [ S . 2 , s .5 ] =

y 2 y 3 X^ X ( i + x + j ì + 77 + . . . ) - ( i - x + 57 “ 7 T +

- i J ------------------ s-----------e...)

l i m x-* 0

~5 5~t X J , X Jx-(x- 3! Ej;

= [ t o g l i e n d o l e p a r e n t e s i e s o m m a n d o ]

= l i m x-*- 0

* * + s ì ;..3! 3! 1 • 1 i* \k

X 33! "

A Xx- ° 37

. ■ ) ~ 2 x

O t t e n u t o t r a s c u r a n d o g l i i n f i n i t e s i m i d i o r d i n e s u p e r i o r e a l 3 ° .

I 07

Page 104: Limiti, guida

8. LIMITI DI FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE.

8.1.- LIMITI DI FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE ELEMENTARI.La funzione y = ax è reale e positiva per ogni x reale e per a > 0 (°).

Per ogni x reale essa è anche continua (cfr. 2.10). Quest'ultima affermazione si traduce, per definizione stessa di continuità di una funzione, in:

D'altra parte si è dimostrato (cfr. soluzione es. 34, pag 51) che:

lim a* * (q ' lì e allo stesso modo si può dimostrare che:x-*- +"

lim x-* -«

_ /+*» (a > 1)~ \0+ (0 < a < 1)

x _ f0+ (a > 1)(.+“ (0 < a < 1)

Questi risultati si possono conglobare nei seguenti grafici che servono anche a ricordarli (figg. 56 e 57). '

te tra 0 ed 1, e tra 1 e +».Analoghe considerazioni si possono fare per la funzione logaritmica del tipo

y = logax nella <*uale, affinchè la y sia reale, deve essere x > 0 e a > 0. Cioè per tutti i valori di x > 0 , logQx è reale. Inoltre, per tali valori di x, la funzione è continua, cioè:

lim log x = i = log c con c ed a positivi.8» ÉLX+ CD'altra parte si è dimostrato (cfr. es. 26 e 35) che:

lim logax = { Z So < ì \ 1) e logax = {■x- 0’,. , .’■*» (a > l)e lim logax = (o < a < Dx-*- +»

Questi risultati si possono conglobare nei seguenti grafici che servono anche a ricordarli (figg. 58 e 59).

(*) Cfr. P.2, Il 1.15, 1.20. 108

Page 105: Limiti, guida

J

I diagrammi tratteggiati si ottengono al variare della base a rispettivamen te tra 0 ed 1 , e tra 1 e +<®.

In generale, quindi, quando si deve calcolare il:f(x)lim a ' -oppure lim log f(x)

x-> c x->- c ale complicazioni possono provenire dal tipo della funzione f(x) , dato che essa può essere razionale, irrazionale o trascendente. :yi .^ipniprS allora il:

flim f(x) = il (finito 0 infinito), indi

nf(x) _ i i un a = ax-** clim log&f(x) = log £ X* c

caso_in_cuii__l__J_fin^ito si può scrivere:

i I lim a _ -(x-» cl:r. f(x)

]Esempi.

281. lim e*tgx = e ^ S° = e° = 1

282.

283.

x-+ 0

x-* jrt

x-»- jir+

e flim logaf(x). = log jlim f(x11 )|x-* c c

(cfr. Pag- 57)

eU +°°) +*“1= e J = +oo (cfr. Pag- 57)-90e = 1

e+" = èì - 0+ +»J (cfr. Pag. 57)

0 (cfr. pag. 59)x-*- 0

285. lim log{/(x2+l)-x} = [log(+®-»)] . E' necessario, quindi, calcolare il:X + +00

li. -li. y, ) , 0».X-+ +00 X + +00 X-+ +00 '

Pertanto: lim log(/(x2+l)-x} = (logO+) =X + +0»

logzx-2 +°°286. lim e'Logx 2 _ (e ) . Calcoliamo allora: lim x.^ = (— ).

(cfr. pag. 59)

x* CT x+ 0+ logx-2

Page 106: Limiti, guida

Tale calcolo può farsi in due modi:H .. 21ogx*(l/x) _ ,.-*• lim --- l7x---- 21ogx =

. . log2x-2 _“ o * io«x-2 _

x+ 0+ x- O-*logx-_ [-dividendo per logx-i _ logx _

'•numerat. e denom.-*log2x-2

Quindi: lim e^OBX 2 = (e °° = 7“ ) = 0+.x- 0+

log2x-2

x- CT 1- 1-0'logx

.. log2e2-2 (21oge)z-2 4-2287. lim eloex"2 = [e10**2-2 = e ^ ° ge~2 * e2-2 = e2'0] = (e*)

x-> e*

Si noti che:per x-* e'■2+ il limite è [e2^0+ = e^]

[e2/0- = = 0+ ;

e2/0+ = „+“1 =

8.2.- LIMITI DELLE FUNZIONI (l+ì)x e (l+x)X/x.Poiché il numero e » 2,7182... ricorre spesso come base di una potenza

[ftf(x)j Q come base dei logaritmi naturali [logf(x)] , calcoliamo un limite fon3 dementale che ne è una definizione.288. lim (l+^)x = (l” ) . Forme indeterminate di questo tipo si possono ricon3

x-*- <» durre alla o - (cfr. § 3.4: 4, 1, 2).

ì.x ;> 108<^ 1/xl>(1+ -) = e = e = e Cosicché:log{l+(l/x)}

1/x o= (e5)".lim (l+ -)x = lim e

x+ “ x-*- «Calcoliamo quindi il limite dell'esponente con la regola dell'Hospital:

losil* - ) .0. H . Ì+U/xl’^c5'i r . - o * r . -1/x2 lim l+(l/x) 1+0 = 1.

Allora: lim (l+ -)xxx+ oo 1

=1 =X-> oo

Con più esattezza, essendo:

’limX-*-

limX-+ +oo

l+(l/x) 1+0

l+(l/x) 1+0’V = 1"segue:

4

lim x+ -lim x-* +<o

(1+ ì)X 3 e1+ = e+ ‘ (a)

(l+ ^)X 3 e1 = e” (b)

L'esempio 288 suggerisce che i limiti delle funzioni del tipo [f(x)]g(x)

qualora diano luogo a forme indeterminate (queste possono essere: 0°, <»0 , 1 )>0 00 , ,si possono ricondurre alla forma - o - con la posizione:

logf(x) g ( * )[f(x)]*(*> = eg(x)lOgf(x) = el/gU) = el/logf(x)

1 1 0

Page 107: Limiti, guida

I Sempre dal limite 288 si deducono i seguenti:289. lim log(l+ ì)x = loglim

x- «° X + °°

290. lim loga(l+ ì):K _ log limX + “ x-» <

291. lim (l+x)1/x = e .“ Infatt:x+ 0

(l+x)1/x =lim lim («1+x+ 0 y * » Ja) lim (l+x)1/x = lim (

x-*• 0” y*

Ì ) XX

y

c o ti ' y+ ® per x-*- 0, si ha:

:o al 288). Con più precisione:

(cfr. 288a)

(cfr. 288b)

292.

I

b) lim { l+ x .)1 / x = lim (1+ £)y = x + 0 + y- + +°°

lim log(l+x)f/x = loglim (l+x)1/x = loge" = 1~ (cfr. 291b) x-»- 0+ ' x-*- 0+

293. lim log(l+x)1/x = loglim _ (l+x)1/x = loge+ = 1+ (cfr. 291a) x->- 0 ” X-» 0

{ Occorre porre l'attenzione sui limiti del tipo:lvXlim (1+ h x = [(+»)0+]

x - 0 +e lim (l+x)1/x = [(+*)0+] ,

X— +oolimiti, cioè, delle stesse funzioni degli esempi 288 e 291, rispettivamente, ma ohe non danno, sicuramente, come risultato il numero e. Infatti:

xlog(l+ ±)

X-r- 0 *

lim x- 0+

Xx + 0 +

log(l+ i)l / x ■

l i m ( 1 + ;)xx + 0 + X

= lim x+ O-*

log{l+(l/x)} l/x Essendo:

i(- Z 2 Ì

x+ 0T -l/x5 ^ 0+ l+(l/x) = ll+»■ (t= ) = o+ .

295. lim (l+x)1^ = (<»®) . Posto - = y , con y-» 0+ per x+ +<» , si ha: x+ +»lim (l+x)1/x = lim (1+ ^)y * 1+ (identico al 294). x-» +«» x-+ 0+ y

Si è voluto porre l ’attenzione su questi limiti perchè lo studente, guardando la funzione di cui si vuole il li=Etite, potrebbe pensare subito allumerò e. Ma bisogna o sse rs vare il valore cui tende la x.Per evitare confusioni, disegnai Eto i grafici delle funzioni :

fiy = ( 1 + x)X ed y ■ d +x)1/xGrafici che conviene sempre te=Bere presenti quando si calcola ttn|Limite di questo tipo.

Page 108: Limiti, guida

b) Con 1'Hospital:

.._ ! ! ^ ì ì 1s h F . llm scsseiEilu. i „ .-2 1 1 -x) ^ x-1 ^

L .

limX+ 1

arctg(x-l) , H.. l+(x-l)21“ 1 — £ ì ----- 1 ~ X“ I----- X*X+ 1 X-»- 1

X1+7255. lim xarcctgx = (+~*0+) = lim ~^ tgX = (g) 5 lim = lim

X+ +*• x-» +“> _ X-+ +=» —0 X+ +°X x 2

256. lim /xtirr-arcctg^-) = (+«»0+). Posto x = - con y+ 0+ per x-> +®> s*... . ~ » x i. _. y+°° ha:

257. lim x-r- 0

pir-arcctgy ,0, .. , n arcctgy, , . ,lim + --- y--“ ■ = (6> = llm .(2 7 ---- T-“ -) =y+ 0+ y u y+ 0+ ** y

x-arcsenx . ,0, H , ._ 1_ /(1-x2) _ ., .m /(l-x2)-l 1+x2arctgx-x ■ (*) lim

* * ° i t ^ ' 1

lim x* 0 /(l-x2) 'l-l-x2

, . 1+x2 /(l-x2)-l , .. /(l-x2)-l ,0, Hl lm 7 ( i - x 2 )* -X 5 ■ s -xr - ( 5) +x+ 0 v x ' x X - 0-x

H .. /( 1-x2 ) 1* - lim 27“ ^ = ilxm„ 7 ( T ^ 7 = 5x+ 0 X+ 0

sen32x .0.258. lim xiarc^gx = (q ). Sia il numeratore che il denominatore sono infinite3x+ simi del 3° ordine rispetto ad x. Infatti:

,2.lim “ S ^ - B l i m (a| ^ ) 3 = 8 ; lim ^ arf « x = lim «£tg* . 1. x+ 0 x x+ 0 ' X-+ 0 x X- 0 x

Dividendo allora numeratore e denominatore per x , il limite diventa:sen32x

lim ----8l im f(8-§^ ) 3 „arctgx x . 0 * 2x arctgxx-*- 0

} = 8*1*1 = 8.

Applicando, invece, la regola dell'Hospital, si ha:.. sen32x H _. 3sen22x*cos2x*2 ,. 6sen2x*sen2x*cos2x x+ 0 x arctgx X- 0 2xarctgx + x* 0 x2(2ar£tffic + _ i _ }

= lim x+

3sen2x*sen1*x = lim

1+x*o.sS^^.SSSÌix.ir

2x ltx0 x2(2arctgx + 1 , x-, 0 + 1

X 1+ X2 X 1+x2

3*l*2*l*h _ 2U _2* 1+1 = 8 .

X-arcsenx ,0, H , /(1-x2) . ... /(l-x2)-l ,0,259. lim -3 = (5) + lim r^f--- <- = lim /?ì-x2V = Wx+ 0 x 0 x+ 0 3X x+ 0 3x U x } 0= /(l-x2)-l /(l—x2)+l . l-x2-l__________

v_ n 3x2 • /( 1-x2 ) V ( 1-x 2 ) +1 3xz*/(l-x2) *{/(l-x2)+l} ~x+ 0= lim x+ 0

-1x+ 0

-13/(l-x2)•{/(l-x2)+l) ' 3*1*(1+1)

15 •

1 0 2

Page 109: Limiti, guida

1

2x260.

■*2- a r e t in e 2 .0. H 2x~ T W 6 , • _ axCl+x1*-!) 1^ m0 (1-costO 3 3 tò^"* ^ mn 3(l-cosx)2senx " 0 3(l+x** )senx*(l-cosx)2x-> 0

senx '1-eosx' 1+x1* 32 . . x / x2 1= r-lim 7T~^:• ( ) • rz

x-+ 02 3-(t )2-X = I

261« Xim xarcsen X“* +®

*^X2 = [— 0 , dato ohe lim ^*2 ^ - 0] =v ' ex-*- +®

/(x2+l)arcsen j _ „= lim ----- r------- (q ) ■+ limx-*- +® - x-» +“

x __1 ? 3+2x, x2 x3-2xix2+l) ____x3+2x____

= X /(x“+x2+l) x“./(x2+l) = 7(x6+2xi,+2x2+l) =X-+- +®1 +^5

* X ini 2 3 ix->- +» 7(1+ 72 + y* + Tè)

= l.

262,x x"

lim {/(x2+l)+arctgx-x) = (+<»+jTr-<» = -k»-®) . Dato che l'indeterminazione x_v +00 non dipende da arctgx, conviene scomporre il limite nel nodo seguente:lim arctgx + lim {/(x2+l)-x} = ìrr+lim {/(x2+l)-x> = [razionalizzando] = x-*- +» x-* +® X-* +00

= ifT + lim {/(x2+l)-x}$*j-^*x = Jrr + lim = J^+O = 3".

263.

264.

x-* +®arctgx - c ,0, h .. 1+x2 _ ,

lim, * (6) * 1 *• X-+ 1 X* 1

X-*- +«

Poiché 1 » 7^ J = l i m iX-> -® X-*- -® “Xr ( 1+ ~~2 )

= -X , e arcsen(-l) = —Jtt , è:

lim xtarcsen x-*- -»

:sen /, * . x +éiT A „y v(xz+X) 2 /0\ H----+ Jtt) * (-»•(>) = Xim “ -------- (g) -*•/(x2+X) X-*. -Oi/(x2+X)-

Sii."x^+l

/(x2+l)

1. x2»/(x2+l)(x2+l-x2)

= 'lira ' (x2+l)/(x2+l) 'x*= -lim

x+ - x2+l -1. Più semplicemente, dalla TAB. 8.1 si ha:arcsen^x5+1 j * arctgx , quindi:

lim x{ arcsen + ì") = lim x(arctgx+iir) = (-*«0) =

= lim x-* -®

■ In) “ li» M B S r 1 ' - “ » 3x+ -ÌTx5" x^+l = -i.

103

J

Page 110: Limiti, guida

Essendo:

. 1 - C O S X 1aim — T ' = 2 x- 0 x

ex-l _X

si ottiene: lim 1~.cosx = ì _x-»- 0 ( ex-l )2 1 ~

vX-i- 0Nel secondo caso:, 1-cosx H ^ senx 1 senx i. . senx .n. ulim ------ ■+ lim V. ■ --- = lim -- *lim ---- = jlim - - = (-) «x+ 0 (ex-l)z x+ 0 2(ex-l)ex x-» 0 2eX x-* 0 ex-l x-*- 0 ex-l 0

H 1, . cosx 1 1 -,-* jlim — = i .

Nel terzo caso:

!

x-* 0 e*2 *41-fl- — + —U 2' li'lim -- ^ ---— -------

x-*- 0 ( 1+X+ - |- j- + . . . - I ) 2lim

x x j. p,l x2--- — — = lim — ?» "-r*-x-*- 0 (x+ +

1_2! _ ir - 2 •

8.3.- ESERCIZI PROPOSTI.Calcolare i seguenti limiti:

w : lim O s i } * )/ „ tg2xx-»- 0

30JSC. lim x x-<- 1

tg^1_

1-x

ì y ^ . lim (l+tgx)ctgx e ' x-i- 0+

lim x x-*- 0+

log3x

(è r _ 3M ' Ü “n+ <senx)tsx

(g. lim ( x->- 1’

x-i- O'1

logx x-1

x-i- 0 x2(l+ + ...)2

lim

»V-

lim — —x-i- 0 2X-1

lim 3-82 31ogx-log8

ex-e-x314. limx+ 0 e2x-e~2X

Soluzioni degli esercizi proposti.

305. lim -Pf -(-2+X = (£) • x- o ig x 0 a) Ricorrendo al limite fondamentale: lim

log(l-t-x)= lim Log(i_^ ) 1/x .

x-r-O x - K * x-*- 0 x - < ^ ) 2X X= (Ì28S) = 0*l'

b) Con l'Hospital: lim ~°jf 2'l‘X 5 ü m ---^^+x . = r-iii2ì_r = -1x- 0 tg x o 2tgx(l+tg2x) l2.0(1+0) 0J

i 2c) Sviluppando in serie: lim — X~2 j ’ ' ‘— = [trascurando gli infinite-

x-*- 0 (x+-|- + ... )2

simi di ordine superiore al 2°1 = lim x~?y2 = lim = «.J v ' n 'x-»- 0 x-r- 0

114

Page 111: Limiti, guida

306.

307.

308.

lim x x-* 1

* 11-x = (1° = 1“).

1 logx1-X 1 —xSi può scrivere: x = e . Quindi si cerca

“ i » (5).x-»- 1

a) Posto 1-x = -y -*■ x = 1+y con y-<- 0 per x-v 1 , si ottiene:lim {“ log (1+y)} = -lira log ( 1+y = -loglim (l+y)1^ = -loge = -1.^ ° ° ° (cfr. TAB. VII-6-,7)

b) Con l'Hospital: lim 5 lira = -1.x-+ 1 x+ 1

c) Sviluppando in serie il numeratore dopo aver posto 1-x = -y:

lim {- Ì2£Ì±Ì£l> = -lira

1-x

y * 0

= e-1 = i e

y+ 0

Pertanto : lim xx - 1

lim ( — ------£Ì_) = (ì _ ì ss 0.-00) = lim ì~*2 = (-).£ 1 ^logx logx '0 0 ' ^ m1 logx V *

a) Posto 1-x2 = -y -*■ x = /(1+y) con y+ 0 per x-> 1

= -lira (l-jy+ |y2-...) = -1. y+ 0 J

. . 1-x2lim t--- = lira^ " ; r 0 ™ * ’“ r » w i * » 1"

1

= -21im = -21im

si ottiene: 1

= ' -2' loge = - 2 .

b) Sviluppando in serie il denominatore dopo aver posto 1-x2 = -y:_y________ y _ _____ L-21im

y+ 0 log(1+y) = -21im = -21im,ii*u 1 É.4.ALU mT * 0 y-2y2+jy3--•• y+ 0 l-jy+^y2-...

-2.

c) Con l'Hospital: lira 5 lim = -2.x * 1 10gX x+ 1 1 X

lim ( x-»- 1

ss ( i ------------- ± _ x-l-logx _

x-1logx x- 1 ' '0_ 1 - - 1 " 0“ = “ +œ) ^ m 1_ (x-1 )logx v0

a) Con l'Hospital: lim V \ gX 5 lim -L-iiZil— s= lim .„ (x-l)logx , . X-1 XlOgX+X-1X+ 1 x-+ 1 logx+ — — X-* 1

1 2- H n5 "* 1D1 _ logx+1+1 0”+2

X-+ 1= ( ì ) * .

b) Posto x-1 = y -*■ x = 1+y con y* 0 per x-*- 1“ e sviluppando in se* rie, si ha:

x-i-iogx _ y-iog(i+y) .. y-(y_2y2+3/3--• _« 1- <x-1)logx " i r V . , ,:.7Xy+ 0 - y (y-gy2+^y3- - ••)

limèy2-|y3+.

= lim2-|y+<

y+ 0“ y2~5y3+^y‘i-... y+ 0" l-Jy+gy2-.. •= 2 ■

115

Page 112: Limiti, guida

309.

310.

311.

312.

lim (l+tgx)ctgX = (l4"’). x-+ 0+a) Posto tgx = y con y+ 0+ per x-+ 0+ , si ha: lim (l+y)1/y = e~.

T * 0+b) Con 1'Hospital: lim (l+tgx) gx = lim ectgx*log(l+tgx)

x- 0+ x+ o+Si calcola il:lim ctgx* log (l+tgx) = (+<»*0+) = lim log(l+tgx) _ ,0. Hx-*- 0T x- o+ tgx

1 1H . .... (l+tgx )_1 (l+tg2x)■+ lxm --- g. 2---a--- = lim . _ ___x+ 0+ ' 1 tg x x+ 0+ 1+tSx 1+0

Pertanto: lim ( l+tgx )ctgx = e1” = e~. x+ 0+

lim xlog3x = ( 0 - = O0) = 1ÌB el0g3x'l0gXx+- 0‘t x-+ O1

= {e ). Si cerca quindi il

lim = lim -Ì26*;:“o + iog3x ;:“o+ iog3+iogx J xr 0+ (1° S ^ ogX)'l= i ? 0+( S +1)"l=

= [(ì2S^ +1)"1] = (o-+l)-1 = (i“)_1 = i+

Pertanto: lim x -°s3x = el+ - e+x->- 0+

lim (senx)tgX = (0°) = lim gtgx-logsenx gì caqco]_a quindi il: x+ 0+ x+ 0+

lia -°g!enX = (— ) 3 lim c°sx^ = -lim senxcosx = -0+ = x- 0+ ctgx x- 0+ “1/sen x x-> 0+

0“ .

Pertanto: lim (senx)x^ 0+

,. x _ ,0Xlim "3T“ (5} •x-+ 0 2-1

tgx = e»" = !"

a) Posto 2X-1 = y + x = log2(l+y) con y * 0 Per x_v 0 > si h&:

-i- = lim i sziiiy) = lim log2u+y)1/y = l°g2e.y+ 0

limx-+ 0 2~-l y+ 0

b) Con 1'Hospital: lim ___x- 0 2X-1 0 2xlog2

c) Sviluppando in serie 2X (S.3):

x H lim log2 = log2e (TAB. 5.1).

lim = lim- = limx-»- 0 2 -1 x-+ 0 l+xlog2+Cxl.pgg.)a7 ~ T i x ^ 0 log2x+x-3|f?+ ...

2 !

log2 = log2e.

116

Page 113: Limiti, guida

«

313.

314.

x3-8 _ Ov31ogx-log8 5lim

x-+ 2Con l'Hospital. si ha:

= lim x->- 2 logx3-log23 [cfr. es. 300] = 23 = 8.

lim x-+ 2

-8 H31ogx-log8

lim x-+ 0

„X -x e -ee2X_e-2X

.. . 3x2 lim --r- = lim x3 = 8.x-*- 2 3’- J X x-+ 2

Os5) - lim x+ 0

e-x(e2x-l)e"2x(e-x-l)

2x .= lim ex»----X-+ 0 e**31-!

= lim x-+ 0

e2x-le“*-!

a) In ba^e a quanto visto nell'es. 301, per a = e:1 • V x-1 _ 2 _ ,lira ----- - r - 5.x->- 0 e**x-l k

b) Con l'Hospital:, • ex-e“x H ,. l i m --------- ► lxm

„x -xlim — — ê--- = limx- 0 e2x-e"2x x- 0

X, - x e +e _ 1+1 _ !2 e 2x+ 2 e " 2x 2+2 2 ‘

(S.2):v2

( 1 + X + ^ + + . . . __ 3!„2 „3

■>-(i-x+ Ì i - f T + . . . )

{1+2x+f r + f r + - .)-(l-2x+fS- - 3! • )

= lim2(x+ fr +■••)

x-+ 0 2(2x+J!8x^3 !

= lim IT5------ = 5.+ . . .) x-+ 0 2(1+ j j - +. . .)

Page 114: Limiti, guida

9. LIMITI DELLE FUNZIONI IPERBOLICHE (°).

9.1.- FUNZIONI IPERBOLICHE DIRETTE.Delle sei funzioni iperboliche dirette, quattro sono continue per ogni x rea

le: Shx, Chx, Thx, Sechx; le rimanenti due sono discontinue in x = 0: Cosechx, Cthx. D'altra parte ciò è evidente se si considera il campo d'esistenza delle se i funzioni (cfr. 5 1.9). Pertanto, in base alla definizione esponenziale delle funzioni iperboliche, la ricerca del limite non differisce da quella del limitedi una funzione nella quale compaiono potenze di base e ed esponente ±x.

315. lim Shx = Shc = ?(ec-e_c) 316. lim Chx = Che * J(ec+e_cx-» c x-*- cc -c

317. lim Thx = The = -— -— 318. lim Sechx = Sechc = — —0 “Cx** c e +e X-+- c e°+eQueste relazioni sono valide per qualunque c finito.

319. lim Cosechx = Cosechc = — ---- 320. lim ec+e~Cthx = Cthc = —v yc e -e x+ c c •< e -e

Queste relazioni sono valide per qualunque c ^ 0 finito.Vediamo adesso come si comportano le sei funzioni agli estremi del loro campo

d'esistenza:

321. lim Shx = lim ¡(ex-e x) = (~^~) = x-* -* x-> -<*>

322. lim Shx = lim s(ex-e x) = ( x+ +«0 x-» +»

+00-Q~

) sr + o o ,

323. lim Chx = lim J(ex+e x ) = (-j-) - +°°*X-». - c o X-*

324. lim Chx = lim J(ex+e x) = (-^-^) = +"•x-» +«° x-+ -h »

x_ -x325. lim Thx = lim e~x

-oo x-* e +eX -x ^

326. lim Thx = lim — — — = (— ) = limx-** +« x-* *h» e +e > x-* +00 1+©

. —00.(— ) = limx-*- -<*> e2x+l

_„-2X1-e

0-10+1

. 1-0

327. lim Sechx = lim chic = ^+«^ = 0+x+ -«• x+ -®

328. lim Sechx = lim = (~) = 0+x-*- +“ x-» +0“

329. lim Cosechx * limx-* x-* -

330. lim Cosechx = lim x* 0"

s f e = & - 0_

1 (t- ^ tx-*- 0“ ex-e x ' 1 - 1 '

1+0

(cfr. 323).

(cfr. 324).

(cfr. 321).

0 ; •

= - 1 .

= 1.

{*) Per quanto riguarda la funzioni iperboliche cfr. SS 1.9, 1.10, l.U.

118

Page 115: Limiti, guida

331. lim Cosechx = lim — -— - = (-,+rr- = 7(+) = +*•x* 0+ x- 0+ e -e x

ilf . tìm PnsBnhv s lim — — = (——1 = 0+ (cfr. 322).332. lim Cosechx » lim = 0+x-*- +“ x-* +*

333. lim Cthx = limx-*- x-* Thx = -1

x-*- 0"eX+e-x334. lim Cthx = lim — — —

x-* 0" e -e xex+e~x

x- 0+ ex-e~x335. lim Cthx = lim

x- 0+

(cfr. 325).

,1"+1+ 2 ,(r = r F = r * ~

(Ì̱ìl = 2_i .ll+-l~ 0 +ì

336. lim Cthx = limx-*- +» x-» +“> Thx

= 1 (cfr. 326).

Allo scopo di ricordare i suddetti limiti, è utile tenere presenti i grafici del i 1.10.

•Quando allora si devono calcolare limiti di funzioni iperboliche nelle quali 1 '.argomento sia f(x) e non x, come ad esempio lim Shf(x) , conviene calcolare

x-»- cil lim f(x) - l e quindi regolarsi per il lim Shf(x). Nel caso delle quattro

xx c x-* e .zioni continue per ogni x, se lim f(x) * 8 finito, si può scrivere:

x-»- clim Shf(x) = Shlim f(x) x-*- c x-+ clim Thf(x) = Thlim f(x) x-* c x-*- c

entre per le altre due si può scrivere:lim Cosechf(x) = Cosechlim f(x)x-*- c x-* c

'solo se lim f(x) ■ 8 t 0 finito, x-*- c

Esempi.

lim Chf(x) « Chlim f(x) x-*- c x-*- clim Sechf(x) = Sechlim f(x) x* c x-*- c

lim Cthf(x) = Cthlim f(x) x-*- c x-«- c

]___ i-■x—J't x-/x ì0\ K _ . 2/x i337. lim Sh— . Calcoliamo il lim — r- = («) -*• lim — c--- = i -. X - l n X X O -i X

X-x l x->- 1 X-» 1x-/xPertanto: lim Sh*_^X = ShJ = s(/e- ^e) - g^g •

x-x 1

338. li. ¡ ì . . * " * * ® • - 0*.,“ -ets0" - 0*..»- - 0*.l- ■ 0*.xx- -

339. limxx- 0

340. lim X-*- 0H

341. limXX- -H»

i arctgsEx - arctg^_ Chx*e

arctgQ_ arctg(-«)i _ -s* _ 1[e = e J - e /gii-

1 arctgShx r arctg5+ arctg(+»)i _ J * a /_fr _ . e = [e = e J - e = /e .

arctg;ShxChx

(_l.earCt8+") = 0+.earctgO+ = O+*e0+ = 0+ .l+ = 0+ .

119

Page 116: Limiti, guida

342. lim (1+x-ilogChx-Thx) = [l-«-Jlog(+<»)-(-l) = x-+ -»

343. lim (x+logChx-2Thx+l) = [-~+log( +«>) -2( -1 ) +1 = -»+«>] = x-+ -»

= lim (x+logChx)-21im Thx +1 = 3+lim (x+logChx),X*> —co x** —» x*^

X * X X —Poiché x = logex , Chx = — -*■ logChx = log^ — , il limite cer=cato diventa:

X “ X 2 X —co

3+lim (logex+log^-^— ) = 3+lim log" -„+1 = (3+loge = 3+logì.X+- X-+ -«0

344. lim (l+|x|-slogChx-Thx) = [l+°°-5log{+®)-(-l) = +«-»] . x+Poiché per x-+ -=» è |x| = -x, il limite si può scrivere: lim (1-x-jlogChx-Thx) = lim (l-Thx)-lim (x+plogChx) =x* — X“* “<*> X"

X ->x 2x= 2-lim logex+log/(e *e -) = 2-lim log/(ex»e 2+^) = (2-log0+) = +~.

x-+ - * X->-

9.2.- FUNZIONI IPERBOLICHE INVERSE.Applicando le condizioni di invertibilità (cfr. P.2, § 1.17) alle sei funzio=

ni iperboliche considerate al § 9.1, si ottengono le .corrispondenti funzioni i= perboliche inverse con il loro campo d'esistenza (cfr. § l.ll). Per ogni x ap= partenente al campo di definizione, ognuna delle sei funzioni iperboliche inver= se assume un valore definito, mentre i valori non definiti vengono assunti agli estremi del campo. Pertanto, in base alla definizione logaritmica delle funzioni iperboliche inverse, la ricerca del limite non differisce da quella del limite del logaritmo di una funzione f(x). Cioè:345. lim arcShx = arcShc = log{c+/(c2+l)} per qualunque c

x-»- c346. lim arcChx = arcChc = log{c+/(c2-l)} per c >. 1 finito

x-> c 347. lim arcThx = arcThc = jlog^; per A O A H

x-»- c /. l+/(l+c2)f 10« c per c > 0 finito.

348. lim x+ c

arcCosechx = arcCosechc = | i-/(l+c2)U°g c per c < 0 finito

349. lim l+/(l-c2 )arcSechx = arcSechc = log--------- per 0 < c i 1.X-»* c

350. lim arcCthx = arcCthc = slogar Per c < -1 e c > 1X-+ c

Vediamo adesso come si comportano le sei funzioni agli estremi del loro campo di esistenza:351. lim arcShx = lim log{x+/(x2+l)) = [log(-+~)] = [razionalizzando] =

x+ -» x*>

lim log{[x+/(x2+ l ) ] . 4 4 ^ ] 3 = lim l°S/(x*+l)-x = (1Og0+) =X-* -» x+

120

Page 117: Limiti, guida

352. lim arcShx = lim log{x+/(x2+l)} = [log(+»)] = +».x-+ +<» x-+ +“

353. lim arcChx = lim log{x+/(x2-l)} = [logi+A i] = +».x-v +oo x-*- +°°

354. lim ■ arcThx = lim glog^^ = (glog^-) =xh- -1+ x-r- -1+ 1 x 2

355. lim arcThx = lim glogij^; = [glogfr = glog(+»)] = +*•x- 1“ x- !" i-X 0

356. lim arcCosechx = lim log— Lij2L_l - (q0g— ) = qim log x-+ “» x-> -« X- -00

lxl{]3h~/(Ì2+1)J

lim log{-[iJ|-/(^2+l)]} = logl = 0.

357 . lim arcCosechx = lim log1 - » lim log1' ^ 1+— ~ • £~+/(ì+x^T ~x- 0“ X-* 0- x x- 0” x x v /

0+

= limn-logx { ~ / a +x2)}'= iifni°K1+/("i+x?r = (logr } =x-+ u x-*- 0358. lim arcCosechx = lim log1— 1+X = [log^+ = log(+“ )] = +“ •

x-+ C x-- 0+359. lim arcCosechx = lim log1---— +x = lim log{- +/(" T +l)} = logl+ = 0+

x-+ +«> X-+ +00

360. lim arcSechx = lim logx-+ 0+ x-+ 01

X-*- +oo

4»|1+l/ X' = [l°gl+ = log(+»)] = +“ •

361. lim arcCthx = lim gioghi = glim l°gi-(i/x) = 2l°gl = 0 .x-* -a» X-+ X-> “ *» ' '

362. lim arcCthx = lim gioghi = (glog^r- = glogO+) =x- -1" x* -1- x 1

ss + o o .363. lim arcCthx = lim glog— - = [glogr* = glog(+«o)]x-x 1+ x-*- 1+ X_1 u

364. lim arcCthx = lim g l o g ^ 1 = glint log^ i 1^? = glogl+ = 0+ .X + +oo X+ + 00 X X“V + «

Per ricordare questi limiti sono utili i grafici di pag- 19.Quando si devono calcolare limiti di funzioni iperboliche inverse nelle quali

l'argomento sia f(x) e non x, conviene calcolare prima il limite di f(x), e poi regolarsi per il limite della funzione di f(x). Esempi:

365. lim arcCh^j . Si ha: lim = lim £T(I/^} = 1+- Perfcanto:x-*- +oo x-*- +“ x - y +o>

x2+ltl 2

366. lim arcSech

lim arcCh 2 3 arcChl+ = log{l++*/(l+_l) ) 3 logl+ = 0 .x-* +» X

logx logx _ / +®°\ H , 1/xX

Si ha: lim 3 3 lim ~ ~ = 0+ . Quindi:X-* +«o x+ +00 X-+ +*lim arcSech^^ = (arcSechO+) = +°° (cfr. 360).x + +oo x

121

Page 118: Limiti, guida

367. lim X-r- 0+

10. ESERCIZI DI RIEPILOGO.

368. lim {2/(2x)-log(x2r-l)} 369. lim {xlogx-i~^-2x}x- 0+

x-> 0T

376. lim ' 377 . lim x2logcos^x-*- +« x-+ -*»

x-*- 0

A -e -1 1-cosx370. lin xl0s2x-l 371. lim ù £ t ì i ^ a r c S h * 372. lim

X-r- 0+ X-»- +«¿it-arctg^

373' a rc d iix +TT 374' 3“ 0 l . c o S - W , 37S. lim logsenxx-*- 0+ logx

1/x378. lim x x->- +«°

379. lim x-*- 2

log(3~x) 2-x 380. lim (2-x)log(l*-x2)

x-> 2“

X-r- 0 '

385. lim {rr-2x)tgx x-*- In

_..x388. lim x-x

X-i- 11-x+logx

X-r- +0 0

386. lim logx-loglogx x+ 1+

389. lim {:— 7 -r\l/x llog(l+x)Jx-i- 0

381. lim (ctgx) x->- 0+

logsenx

382. lim /, |X2_„ 11 383. lim {x-x2log(l+^j} 384. limva. n+ * 'x+1x “x I ' va j™ x x-*- 0

Chx-1 + x-Shx

387. lim x-> +»

Shx(2+Ch2x) 1-Sh2x

2iX

392. lim (-£— )1/x2x-, 0 senx

390. lim (cos/-) x-*- +■»

393. lim (l+cos2x)tg xx->- se

395. lim x-*- 0

2 1 x^sen-log(l+x) 396. lim

x+ 0arcShx

l-/(l-x)

391. lim gShx-x(6+xl: x-> 0 X

1394. lim (l+x2)xsenx

x-*- 0__ . . logx-senlogx397. lim : “j— — , —, logx-senlogx x-* 1

x2 ,398. Determinare il valore di X in modo che la funzione y = e -Xx£-cosx sia infinitesima di ordine superiore al 2° rispetto ad x. Determinare quindi, per tale valore di X, l'ordine effettivo di infinitesimo della funzione.

399. Come l'esercizio 398 per la funzione y = log(l+x)-tgx+2Xx2.400. Verificare che la retta y = -¡r^~ è asintoto del ramo destro della funzio=

/one f{x) = /(Chlogx1*-!).

Soluzioni degli esercizi proposti.

3. i / v367. lim /x*e

x->- 0+

«1/x 00. H= (0— ) = lim —1/3" = (;) * li® ^Ì..1/Xv2'*

x+-0+ -|x_l,/3x-r- c r l/x

31 im % 7 T = (3-S) = +~ (cfr. TAB. IV-22).A.+ x ' ux-*- 0

368. lim {2/(2x)-log(x2+l)) = (+«-<«>) = lim /(2x){2-x-r- +® x-v +00

122

Page 119: Limiti, guida

369.

370.

371.

)

372.

373.

374.

Calcoliamo il limx-*- +°°

lofi(x2+l_L= / 2 lir/ ( 2x ) c2+l^ r 2x - 1Ll 2s O S s l m= { — ) •+ lim :j-----lira

^ /(2x) x~ +”x— = 2/21im= 2/21ÌEI i - 1

x->- +» x 2 (l+ 2 ) x-* +0° »'x*(l+— 5 )X A

Pertanto: lim {2/(2x)—log(x^+l)} — [+®*(2—10 )] — +“ .Xr* +“

lim (xlogx+ t2— -2x) = [0M-~)+ -2*0+] = (0*») =x-> 0+ l0gX

= 0+.

= lim xlogx +lim v -21im x = lim ,/x- 0+ x + 0 +1OgX x + 0 + x + 0 +1/x

1.2SL +0-_0+ H lim +0'x-» 0+ -l/x2

lim (xl0S X-l) = [(0+)+“-l] • Essendo x x-»- 0+ ha:lim <el0g3x-l) = ( ) = 0+-l = -1+x- 0+lim x2 +1)-x+1arcshx = (0*~) = lim

-lim x +0 - -0++0 = 0 .x-»- 0+

log x _ logx10g X _ l°g3*

arcShxx-»- +“ 2x 2x /(x2+l)+x-l

x+ ” /(x2+l)-x+l /(x2+l)+x-l, . arcShx______, . arcShx ■ log{x+/(x2+Ì) )

" ^m+» EHÉpHH)' V Ax+d+x-i - xv(2+i)-r*x2+l-x2+-2x-l

Posto x+/(x2+l)-l = y con y-* +°° per x-*- +<» , si ha:

lim — g(1+y) = iimlog(l+y)1/y = 1+ (cfr. TAB. VII-8).y -+ +co ^ y -> +oo

SI

lim f---— = = fj) 5 lim — ‘e = 21 im ex2.-i—1-cosx '1-1 0 senx senxx-*- 0 x+ 0 x-*- 0i * 1jiT-arctg- i i q

lim arcCh(x+l) = = n^‘ Sfruttando la TAB. 8.1 e la definizionex-*- 0+ ^limite diventa:

arctgx

= 2*1*1

logaritmica dell'iperbolica inversa, il

(l+x2)-l;£ m0+ i o g { x * w & +2x)} - “ » + — r x+i .X ° X ° x ~ l+ /(x 2+2x) 7 (x2+2x ) }

• “ V ■ * •» ' ■ “ *■

lim x+ 0

= lim X-+ 0

xsenx _ . 0 _ 0» H . senx+xcosxl+cosx-2cos2x “ v1+1-2 - Ò x^“0 -senx+Ucosxsenx

1+

-1+Ucosx1+1*1 _ 2

-l+li*l 3 '

Oppure, dividendo numeratore e denominatore per x2:

123

Page 120: Limiti, guida

lim x-* 0

senxx

375.

376.

377.

378.

379.

380.

381.

l-cosx+2cosx-2cos2x ° x^mQ iz£Osx +2cos'xl^°li_. 1— - ì = 2 J+2-Ì 3 3 •

2

i . V S S ® ■ © s “ V ■ “ V ■ 1,1 ' l-Oppure, sviluppando in serie il numeratore (S.13):

lim l0gX~ T ~ ife.' ••• . X. 1ÌM - l-(°")*0+ = 1+.log* ** 0+ logx 6 180

log(l+2ex) ... /+to\ H .. llm /(l+x*) 3 * llm

l+2ex •2e

X-* +“ x+ -K° /(1+x2)= 21 im /(1+x2) £

= 21 imx/(-^j+l) *ex

x-*- +" x*ex('Tc +2)= 21im

x-» +•»

X-* +“

A^2+l)

l+2e*

= 2 ' Ì = 1.+ 2 -

li. x W o ^ - <*-o-) - li. teesaa^/x) . ,8, S u, .X-> + » X-» + » X-> + “

tgi= -jlim — r - = [posto - = y con y-* 0+ per x-* +■>] = -Jlim — = _J-

x - + » ± y * 0 * y^ 1 Oppure, sviluppando in serie (S.14), dopo aver posto - = y :

y+ 0i+ y y-*- 0i+ y‘lim jlogcosy = lim ^j(- -75- -•..) = lim (-5- •) = "*•

y- 0+,• 1/x / n+\ , • (l/x)logxlim x = (+»u ) = lim e .x-+ +»Essendo: lim

x->- +°° 1logx ,+<■>. H ,. 1/x . .. x_. - ( — )■* In» ~ 0+ , si ha: lim x ,o+ * r

X-+ +» '" X-*- +“ X-+ +*, log(3“x) _ ,0,.H -(3“x)_1 1Ina — §1=— 1 = („) - Ina --- = Ina -± - ■ 1.x-» 2 X-r- 2 X-» 2 ^“xOppure, posto 2-x = y con ’■ y+ 0 per x->- 2 , si ottiene:

li. i s e t ì a d . u . 108(1^)1/» , loel'i. (W )l/r- 1-x-* 2 y-*- 0 y y-*- 0 y-*- 0

lim ( 2-x)log( U-x2 ) = [0+•(-»)]= lim ìSSÌiiliìl = (=) 5v-, 5>" X-*- 2~ - 1 +~

1 - - 2-xx-+ 2

H lim x-*- 2~

i(-2x)

Tife)73 _21im- x * (2-xTT2+xT s -ali» £L - = 0'-x-»- 2"

1X-+ 2" 2+x

lim (ctgx)logsenx = (+“ x+ 0+

124

+»0-). Si può scrivere:

J

Page 121: Limiti, guida

1 1 logcosx-logsenx logcosxlogsenx _ ^logsenx10®0 ®x _ logsenx _ elogsenx(ctgx)

1 logcosxli« (ctgx)l06Senx = lim elogsenx x-» 0+ x-*- 0+

Quindi-1 ^ -1

- (e " ) e-l+ = (ì)+.

382. lim + /("x+ ]x‘—x| ) = ^0+* = [dato che lx2-xl = P*r ** 0+] =

■ ; : v = ì i v =,x i v = x i v ^ = °+-

ì -log(H-)383. lim (x-x2log(l+j)} « lim x2d -log(l+^)} = (“*0) = lim ----------

x-*- +» x x-* +® x x->- +»> xx-*- +«°Ponendo - * y con y* 0+ per x^ +» , si ottiene:

1li» CÌ2S<Ìtt) . (2) S « *y * 0+Oppure:

(°} * J V " *ili

-f Ìv2 + iv3-

i.

^ ^ y - i o g d + v ) r , y-(y-2y24 y3----) . iy2-|y3+.lim 1---p ; ~ Y - = [s.4] = lim ~ i = li« p ~y * 0+ y y-t- 0+ y y-» 0+ y

= lim (i-iy+.•.) = ì •J * 0+ 3

, . Chx-1 _ ,0, H , .384- lun . crscr = («) llra

x-* 0 Oppure :

.+ x-Shx .0' x-f 0

lim x- 0

Chx-1 .+ x-Shx

Shx A H .. Chx _ ,+ i-chx ~ (5) ^ 0+ -shx

l+ ^7 + T7X ■ ». ' j | X= [s .20 , S.19] = lim ------ XT x g---------- = l i ”> 2 I + -

x- 0+ x-(x+fj + | y +...) x-*0+ --|r -1

= lim (- j t *=) = -» (ottenuto trascurando gli infinitesimi x-+ 0+ 2 x ■ di ordine superiore al 3°) •

385. lim (*-2x)tgx = (0— ) = lim = <§> 5 lic\ ^'¡frc+lJ = = 2*X-+ ¿n x-*- ¿ir x- git °Oppure, posto x-|rr = y con y * 0 per x-> ¿ir , si ha:lim ( rr-2x)tgx = lim {-2ytg(y+3rr)} = lim (-2y(-ctgy)} = 21im = 2.x- in y-r. 0 rty- 0

386. lim logxdoglogx = [0+*log0+ » 0+*(-<»)] = lim -.?gXo6x =x-f 1+ x-*- 1+ r*—logx

1 .13 lim x°g* — = -lim logx * -0+ = 0“ .

x-' 1+ ~XT~ x+ 1+

y* 0

xlog^x

Shx(2+Ch2x) H.. Crtx(2+Ch2x)+2ChxSh2x _ , ._ 2+Ch2x+2Sh2x _• lim “ T-Sh^x---- - l m -SShxChx -2Shx

. » ■ « . . v X lM Q Wx-*- +°° X-*- + •125

Page 122: Limiti, guida

388.

389.

390.

391.

, +°°. ' H . . 2ChxShx+ltShxChx* lin\ ---------------X-r- +“

-31 im Shx = x-> +®

li» , = (g) 5 lim ì=^(logc*l) s lim x .lim l ^ d o g c t l ) =x- 1-x+logx 0 ^ x 1 ^ i x^ ! 1-x

X

= (1 0\ H . . -xx(logx+l)2-xx_1 -l*(0+l)2-l°..) - u , ------ ----------- = ---------- = 2.X-- 1

lim {lo ) = (l ) essendo: li™ ---® — - = 1" ' n ° x-*

(cfr. TAB. VII-6,7). Si pud scrivere:x->- 0 xim0 logd+x) ~ ^ m0 X *lógU+x) = 1

-, ■ _ tgx l tgx il/x _ xX°Slog(l+x)l 1 neri 1 + v \ J*log{l+x) Calcoliamo quindi il:

log - tgx log(l+x) tgxlim -log1 = lim = 5 lim ìgf ( l+x) -----li*x+ 0 x loS(1+x) ** 0 x v-, O t«x logs(l+x)X - * 0 x-»- 0

lim (l+x)log(H-x)-senxcosx . (l+x)log(l+x)-isen2x ,0, Hx_> 0 (1+x)senxcosx•log(1+x) ^ Q s(l+x)sen2x-log(l+x) V ^

limx-»

. _____________log(l+x )+l-cos2x______________ r . •, a 4.l0 5 {sen2xlog( 1+x) +2cos2x♦ ( -+x )log( 1+x) +sen2x} ’ Ubidendo numeratore

e denominatore per x] = limlog(l+x) . l-cos2x ,

-— n a r*. 0 ! g S l o !(l«).co.2..(l«)iadla.) . IfSli¿x x 2x

1+j »0 _ i1«0+1>1-1+1 2‘

Pertanto: lim { ■?x ,}~*'/x = es = /e.x-* 0 l°s(1+x)

lim (cos/-)x = (1 ). Posto /2■f- = y x

x-*- +~2 p—òlogcosy

lim (cosyr = lim e» = limT * 0+ y+ 0+ y- 0+lim i2£50sir= (2) H lim w II 1 01—*

y * 0+ y 0 y * 0+ 2y

glogcosyCaicoliamo il;

Pertanto:

lim (cos/|)x = e2("s) = ì. x- +~ X e

6Shx-x,(6+x2 ) . ,0, H., 6Chx-6-3x2 ,0. H .llm„ ? " (Ó) llm 5 ^ (n> llmx-*- 0 X-+ 0 5 u x-+- 0

6Shx-6x /0, ^ 20x3

H 3-2 • lim Chx-1 ,0. H 1\ - _ /V| n J. . Shx /Vi X „ .3x ~ W * 10‘ m0 2x ' (5) * 20’ m0 1 ” 20-

,0. H 1 Chx10 x-*- 0

Oppure, sviluppando in serie Shx (S.19):126 •

Page 123: Limiti, guida

3 c 6(x+ yr + +> • • )-x3-6x py- + . • • cli» ^ f ~ 6x = li» -----3 I _ ----------- = iì» li-,.----= 1 ^ = .x-»- 0' x3 77"« xJ 77”« xa 5!Ottenuto trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al 5°.

x .l/x2 . , x__\l/x2---) = (1 ). Si può scrivere: (--- )

20

392. lim (x-*- 0

1 . x— vlog----x‘ “senx

1 x_„ n - gsenx _ /0. H ..Calcoliamo il: lim -§— = ( = ) + lim

x- 0 x+ 0

senx senx-xcosx

2x

Pertanto :

i.. senx-xcosx ,0, H 1, . cosx-(cosx-xsenx)" illm„ x2senx = (5) - 2llm„ 2xsenx+x2cosxx+ 0 x-*- 0

. xsenx________ , . • senx .0. H2 lm. x(2senx+xcosx) ” 5 imn 2senx+xcosx - '5'x-*- 0 x-*- 0

_____ cosx ~ _ 1#_1_ _ 1_ 2cosx+cosx-xsenx 5 2+1 6'x+ 0\ 1/x2

*»■ glim

lira (— — ) X = e1 6 = /e.x+ 0 senx

log(l+cos2x)393. lim (l+cos2x)tg2x = (l") = lim etg2x-log(l+cos2x) _ lin e ctg2x

x+ 5 irCalcoliamo il:

x-+ 2 ir x * jit

log(l+cos2x) ,0\ H .. l+cos2x lim — ° . -7----*- = («)-*■ lim -------““2“ •2cosx{-senx)

x+ gir ct'g x x+ gir 2ctgx,2V

-1---sen'-x= lim 1.. . l+cos2x X + g ir

Oppure, ponendo cos2x = y +■ sen^x = 1-y con y-*- 0 per x+ 2v , si ha:

lim log(l+y)- = lim log(l+y)^y> (1-y) = loge*l = 1. r+ 0 y+ 0

Pertanto: lim (l+cos2x)^g x = e1 = e.x+ Jn

11xsenx394. lim (1+x2)

x+ 0 Calcoliamo il:

= (l ) = lim e x+ 0

xsenxlog(1+x2) lim e x-> 0

log(l+x2) xsenx

L ì = (2) 5 . 2x (1+x2,L~1- xsenx 0 - senx+xcosxx+ 0 x+ 0

lim 21im y S ---- ------x+ 0 — — +COSX

= 1.

Oppure : 1lim. l0f!enx = lim 1°fsenx) = lim los(l+x2)1/x2 = lim log(l+y)y = 1,,2-----x+ 0 x+ 0 x+ 0 y+ 0avendo posto x2 = y con y-*- 0 per x■* 0. Oppure ancora, sviluppando in serie (S.4.S.5):

limx+ 0

log(l+x2) xsenx

H x ^ è x 6-...lim -----? r ---- “X + 0 x(x- y y +. . . )

l - i x M x 1*-...lim ----- 2------x+ 0 l-fj*...

= 1.

127

■>

Page 124: Limiti, guida

In definitiva: lini (1+x2)x+ 0

1__xsenx

x2senr395. lim

x-» 0 log(l+x)Z \ = a X con - U H I ) " lim — ^----— * *01

x-» 0

2xsenj +x2eosì*(^ì) (1+x)"! *

non2xsen- -cos^ ^

= lim ---d + x )-l---• Poiché il lim cosi non esi8te (cfr. § 4.1b),x-* 0 ' ' x-*- 0

esiste il limite del numeratore, quindi non esiste il limite del rapporto delle derivate. In questo caso, dunque, la regola dell’Hospital non è ap* piicabile. Per altra via si ha:

2 1 x*sen-lim = lim

xsenì= lim

xs*nì 0*tx+ 0 loe(1+x) x- 0 ìlog(l+x) x-»- 0 log(l+x)1/x

= 0. ?

__ .. arcShx /0, H _. (x2+l) s . //1-x , _ 1396• lim u T i i ^ T = (o) "■lim ■;---- U 211m * 2 T = 2*~ ft 1 / u * ’ 0 x- 0 ¿(1-x) * x+ 0 x 1 1x+ 0

Sviluppando in serie (S.22,S.l), si ha:x___ ì - x 3+

arcShx .. 2-3 ~ 2-3lim - " jr r— r = lim ---------“ ------- = lim ----*-------- = tx- o 1_ d x ) x+ o i-(i-Jx- | ^ x 2+...) x- 0 ÌX+ if^x2-... 2Ottenuto trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al 1°.

x- A x 3+.= T = 2.

397. lim^ ioPx-senlogx = ^6'^ Posto logx = y con * * 0 per x_* 1 * si ha:1-cos;

b,. l-cosy lim ■ ;■ 1 ■lisi C ^ S i i m ^ _

y«. 0 y s e n y y - o 2 y S e n y + y COSy y - 0 y

Oppure, sviluppando in serie seny (S.5):2 S- f L +cosy 2 *1+1

1V

iia = lim ^ L Ì t +'1‘)y^seny rr lim

£ Ì + ..,31

-“ 3 —13!

1l 'r 0 , a “ ‘' y + O y i l y ^ t . . . ) y * 0 y i - l + . . .

Ottenuto trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al 3°.

398. Affinchè la funzione sia infinitesima d ’ordine superiore al 2° rispetto ad x, deve essere (efr. 5 3.2):

ex -Xx2 -cosx ^ »...... v . , . . . , .. 0lim ---- ------- * 0. Il limite e indeterminato e della forma Lo siV<+ Q ^

può calcolare sviluppando in serie (S.2.S.6):x , 2e -Xx^-cosx lim ------5----- = lim

X - 0

i+x.2+ +...-xx2-(i- + ih' -•••)21___ M

lim X-+ 0

X + 02 2* 2^ * ¿I X1*x -Xx + 21 2i ~ ij + •

lim (¡-X+ x 2 + ...) = ¡-X. x- 0 * ^

Affinchè questo limite sia zero, deve essere: ~ X = 0 x =1-

128

Page 125: Limiti, guida

Allo stesso risultato si perviene applicando la regola dell'Hospital: x 2 2

. .... e__-lxz-cosx H . . 2xe -2Ax+senx , . / x2 . .isenxx _ , ,.i _ 3 ,l i m ■* l i m ----------- — ------------ = l i m (e -X +5 ~ ; ) * 1 -A + j = 3 - Ax-+ 0 x-*- 0 x-+ 0

3 ^ v •Per A = ^ la funzione diventa: y = e -^x2-cosx che per x-+ 0 è infinitesima. Per trovarne l'ordine basta determinare n in modo che risulti finito e non nullo il:

e -|x2-cosx 2xex2-3x+senx ,0\ H .. 2(ex2+2x2ex2)-3+cosx _lim ----- ------ lim -------— ---- = (r) -*■ lim ---------- -------nxnx-*- 0 xn x-»- 0 nxn 1 ® x-*- 0 n(n-l)xn 22 2 2

_ , . 2ex (l+2x2)-3+cosx _ ,0* H 2{2xex (l+2x2)+Uxex }-senx _- ìim --------------— ---- \ z ) -*• ìim -------------------- ---------x- 0 n(n-l)x“-2 0 x->- 0 n(n-l)(n-2)xn 3

Ax2 * x2 Uex fl+2x2)- — —■ lim 12xe +8x e ~se^ = lim --------------2L_= [per n * h] =x-* 0 n(n-l)(n-2)xn 3 x+ 0 n(n-l)(n-2)xn-1*

= ¡( (~ -g) = “gF ’ funzi°ne quindi è un infinitesimo del h ° ordine.

La determinazione dell'ordine della funzione risulta più agevole con gli sviluppi in serie S.2, S.6:

e “ X2-cosx lim --- --------- lim

1+x2+ x : + XZ + . ¿ , 2 . ( 1 . x l + X I _ 2£ + \1 X 21 + q I * ‘ * * 2X U 21 Li 6!

x->- 0 x11 x->- 0x1* . xf . x6 | ,

,. 21 - U! 31 6! •“= lim ■ ■---------------X" 0

= lim {(|j " X])x‘*"n+{y, + -g-,)x6 n+...} x-* 0

Per n = L il limite risulta finito e pari a: - -jyj = 2- ^ - jjjy.

399. Affinchè la funzione sia infinitesima di ordine superiore al 2° rispetto a • deve «..r.: .

n X 2x-. 0Applicando gli sviluppi in serie S.4 ed S.7, si ha:

x-jx2+^x3-jj|x‘'+^x5-.. .-x-|x3- y|x5-.. .+;Ax2lim x+ 0

i(A-l)x24 x ‘*+(|--|)x5+...(1) . .---------- ' -------- = lim {j(A-l)-5X2+;j x 3+...} = i(A-l).= lim

x-*- 0 " x-> 0Affinchè questo limite sia zero deve essere 3 (A—1) = 0 -*■ A * 1.Per A = 1 la funzione diventa y = log(l+x)-tgx+jx2. Il suo ordine d'in finitesimo rispetto ad x è dato dal valore di n per cui risulta finito e non nullo il:

lim log(1+x)-tgx+i x2 x* 0 xK

129

Page 126: Limiti, guida

Sviluppando il numeratore come nella (1) ove 1 = 1 ,

iì. T - r f 5+- “ , i iMx-*- 0 xn x-+ 0 U 15

si ottiene:

Per n = 4 il limite risulta finito e pari a La funzione è, quindi,un infinitesimo del h ° ordine rispetto ad x.

400. Perchè la retta sia asintoto per il ramo destro della funzione data, deve essere soddisfatta la condizione che la distanza y(x)-f(x) , tra un punto della retta ed un punto della curva aventi ugual ascissa, tenda a zero per x-> +°° , cioè :

lim (y(x)-f(x)} = 0 'x-+ +<»

Si Si ha:

lim {-¡p- -/(Chlogx4-l)} = («•-<») = [cfr. 1.9] = lim {ip- -/[j (xH ~if)_l]} = x-+ +«> /2 x-*- +“ *2

Ir X^+l^X1*, 1 . . r //X4-Ivi= lim Trix-A---rs---)} = •/s,lim —3— ) ]• -... — /2 x x->- +<»x-» +°°

4/,.. x2- / ^ 1*-!) x2+/(x1(-l) _ 1Vi. . 1_____= /lim ; " /slln\ xix2+/(x**-lj}x-> +« +»Il fatto che il limite sia 0+ ci dice, non solo che la retta è effettiva mente l'asintoto cercato, ma anche che la differenza y(x)-f(x), in un con veniente intorno di +«, si mantiene positiva, cioè, a parità di ascissa, i punti dell'asintoto hanno ordinata maggiore di quella dei punti apparte= nenti alla curva.

130

Page 127: Limiti, guida

APPENDICE

A.I.- NOZIONI SU INTERVALLI E INTORNI.Fissati due numeri reali et e B (con a < B) , l'insieme di tutti i numerireali X tali che:

1) a X 6 a £ x < 8 costituisce un intervallo chiuso.

2) — .— a < x < 8 costituisce un intervallo aperto a destra.a X 83) a X 8 a < x < 8 costituisce un intervallo aperto a sinistra.

4) a X— i ii O

8 a < x < B costituisce un intervallo aperto.

Si dice intorno completo di un numero reale c_ ogni 0~ 0intervallo "aperto, per esempio di estremi a e B , con oc c 8tenente c all'interno.

L'insieme di tutti i numeri reali x tali che:5) 0 ? a < x < B costituisce un intorno completo di c.a x 66) o— — • a < x < c costituisce un intorno sinistro di c.a x c —7) 1 ° c < x < B costituisce un intorno destro di c.c x 8 —

Ogni intervallo aperto tale che:8) x < -N , costituisce un intorno sinistro dell'infinito

-<0 x (o, più semplicemente, un intorno di -<»).9)

10)

N x +«

-N N x

x > N

|x| > N

costituisce un intorno destro dell'infinito (o, più semplicemente, un intorno di +°°).x < -N , x > N costituisce un intorno com=

pleto delfl. 'infinito.

A.2.- SVILUPPI IN SERIE PIU' RICORRENTI.

S.l #/(l±x) = lìjx, §fjx2± | £ f x 3- I f ^ x - t . . .

X ‘ . X 3 . x1*5.2 • ex = l+x+ i T + f7 + t7+---

5.3 • ax = l+xloga+ ^ I * L 2 + +

S.4 Alog(l+x) = X -jx2+ rx3— jx'*+.

X 3 X 5 _ *L '+= X_ 3! 51 7!

- i_ 2<ì + *ÌL _ * ì +1 2 ! 1»! 6\

S 7 t*x = x+ ^ + 62x9 +S.7 . tgx x+ 3 + 15 + 315 + 2835 +

(-1 < x < 1)

4» « >1

+ t

(-1 < X < 1)

s f i * , * x -¿ l * 5 ^ )

131

Page 128: Limiti, guida

ctgx5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

S;14-

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

1 X _ 2x5 _ X7X “ 3 ■ 1*5 • 91*5 1*725

' 3 l'3 ^ 1*3*51*3 ç. X*3 • 5 yarcsenx = x+ ^ + 2 ^ 5* + Z - k - é - l * +

. .3 1

_ m •>3

1 / . A A • Jarccosx = S*-(x+

arctgx x-* xJx ~ T Y

logcosx

1 yS y7arcctgx = 2TT-X+ ---x2 x6

logsenx = logx- s ~ ~ m ~ 2Ô Ï5 ~

X2 X1* X6 17xe 2 ” 12 " 1*5 ~ 2520 ”

X2 7x^ 62x63 90 2835

6! T •••9x** . 37x5 ^ 1*! + +

senx X 2 3x4= l+x+ 271* 1

c o s x . - x2 * Ux-= e(l- gì U!tgx = x2: 1+X+ £ 7 + 3x? + '

5!

Shx = x+ f? + 4 + ^ +5!„<*

71y2 y 1* y6

1+ 2 ! + ÜT + -6l +Chx

1 2 17Thx = X - -x3 + — x5 - “ X7 + ...15 3151 3. 1*3 n 1 • 3 • 5 7.arcShx = X- — x3+ ¿TÜ^T* + ■ ■ ■

arcChx = log2x - ^

arcThx = x + £ + f + f + ...

(-1 < X < 1)

(-1 < x < 1)

(-1 < x < 1)

{-1 < x < 1)

(-ir < x < rr)

(-je < X < Jrr)

(-JT7 < X < Jlt)

-* + * ■ * * % ox+C'Oc'J

( —5 TT < X < Jtt)

(X > 1)

(-1 < X < 1)

Page 129: Limiti, guida

I

1