Lezione 2Equazioni e GraficiDocente: Leonardo Bargigli2015

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Gli strumenti per studiare economia• L'economia teorica fa un ampio uso di strumenti matematici avanzati.

• In particolare lo studio delle componenti dinamiche dei sistemi

economici richiedono strumenti matematici sofisticati.

• Anche la stima delle relazioni economiche richiede approfondite

competenze di matematica e statistica.

• Nel presente corso, poiché esso si configura come una semplice

introduzione alla disciplina, ci accontenteremo di utilizzare l'algebra

elementare e di rappresentare le relazioni economiche tramite l'ausilio

di grafici.

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L'algebra elementare: un esempio• Il profitto di un impresa è dato dal ricavo totale

– costi totali

• Il ricavo totale (che indichiamo con R) è pari alla quantità di merci venduta (Q) moltiplicato il prezzo di ogni merce (P).

• I costi totali sono dati dalla spesa per i salari (W), quella per gli impianti (K) e quella per le materie prime (M)

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R=P∗Q

C=W +K +M

L'algebra elementare: un esempio

• Il profitto di un impresa (Y) può quindi essere scritto con la seguente equazione:

• Data l'equazione per il profitto sopra indicata, qual è il costo per unità di prodotto (costo medio)? E qual è il profitto per unità di prodotto?

• La quantità di beni prodotti è pari a Q e quindi...

•

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Y=R−C

L'algebra elementare

• … Il costo medio (CU) è pari ai costi totali diviso la quantità di prodotto

• … il profitto medio (YM) è pari al profitto totale diviso la quantità di prodotto

Ovvero il profitto medio è pari al prezzo meno il costo medio!

•

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CU=C /Q

YU=(R−C )/Q=P−CU

Il concetto di variabile• All'interno dell'analisi di fenomeni economici che

vogliamo studiare ci concentreremo su alcuni aspetti specifici: ad esempio potremmo analizzare come si determina la disoccupazione, il risparmio, il PIL, i prezzi o i profitti dell'impresa.

• Tutte questi "aspetti" o "oggetti" possono assumere valori numerici precisi. Ad esempio i disoccupati a giugno 2014 erano 3.150.000.

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Il concetto di variabile• Gli "oggetti" che in momenti diversi possono

assumere valori diversi prendono il nome di "variabile".

• Ad esempio i disoccupati a gennaio 2014 erano circa 3,200,000 (mentre a giugno erano 3,150,000)

• La disoccupazione è quindi una "variabile".• L'economia studia questi oggetti sia valutandone il

valore sia studiando la loro relazione con altre variabili.

• Esempio: che relazione c'è fra la variabile "Disoccupazione" e la variabile "crescita economica"?

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La relazione fra variabili• L'economia studia la relazione fra variabili

• Se il salario medio cambia, come cambia la disoccupazione? Ovvero, che relazione c'è fra salario e disoccupazione?

• Se il prezzo del petrolio aumenta, come cambia la quantità di benzina consumata? E la quantità di auto acquistata?

• I modelli economici costruiscono delle relazioni logico formali fra le variabili economiche.

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Variabili e funzioni• In matematica, le funzioni sono delle applicazioni

che collegano uno o più elementi di un insieme di partenza a un unico elemento dell'insieme di arrivo.

• In altre parole, la funzione è un meccanismo che lega alcune variabili (Prezzo, quantità venduta, salari e costo delle materie prime) ad un'altra variabile (il profitto)

• Y=P*Q-W- K - M è la funzione che determina il profitto.

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Un altro esempio di funzione• Una funzione per calcolare i punti in classifica della

Fiorentina.

• Se io vi dico il numero di vittorie V della fiorentina (1), il numero di pareggi N (3) ed il numero di sconfitte S (1) voi siete immediatamente in grado di calcolare il numero di punti P.

• Vittorie, pareggi e sconfitte costituiscono gli elementi dell'insieme di partenza mentre i punti in classifica costituisce l'elemento dell'insieme di arrivo.

• Si noti che vittorie, pareggi e sconfitte definiscono univocamente il numero di punti in classifica.

•

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Un altro esempio di funzione• Una funzione per calcolare i punti in classifica della

Fiorentina.

• Se io vi dico il numero di vittorie V della fiorentina (1), il numero di pareggi N (3) ed il numero di sconfitte S (1) voi siete immediatamente in grado di calcolare il numero di punti P.

• Vittorie, pareggi e sconfitte costituiscono gli elementi dell'insieme di partenza mentre i punti in classifica costituisce l'elemento dell'insieme di arrivo.

• Si noti che vittorie, pareggi e sconfitte definiscono univocamente il numero di punti in classifica.

•

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Funzioni specifiche e funzioni generiche• La seguente funzione descrive esattamente come calcolare i

punti in classifica della fiorentina.

• Questa funzione esprime in maniera esplicita la relazione

esatta fra le variabili in esame.

• Tuttavia potremmo scrivere tale funzione in maniera più generica, limitandoci a mostrare che esiste un relazione fra punti in classifica e vittorie, pareggi e sconfitte senza però esplicitare la relazione esatta. In tal caso utilizziamo la seguente notazione:

•

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P=0∗S+1∗N +3∗V

Funzioni generiche• La funzione generica

non ci dice esattamente qual è la relazione fra vittorie e punti in classifica.

• Tuttavia, pur non esplicitandola, è lecito fare delle assunzioni su questa relazione

• Ovvero, possiamo supporre che fra vittorie e punti in classifica via sia una relazione crescente: all'aumentare delle vittorie aumentano i punti in classifica.

• Ovvero, i punti in classifica sono una funzione crescente delle vittorie

•

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Variabili dipendenti e indipendenti• La funzione generica descrive una relazione fra punti in

classifica da un lato e vittorie, pareggi e sconfitte dall'altro. Ovvero, ci dice che il numero di punti dipende dalle altre tre variabili.

• Nelle funzioni la variabile che è determinata dai valori delle altre variabili è detta variabile dipendente (è la variabile a sinistra dell'uguale…)

• Le altre variabili, che determinano il valore della variabile dipendente sono dette variabili indipendenti (sono le variabili a destra dell'uguale…)

•

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Funzioni a più variabili e funzioni a una sola variabile

• La funzione che calcolava i punti in classifica dipendeva da tre variabili (vittorie, pareggi, sconfitte). Di conseguenza era necessario conoscere i valori di tutte queste tre variabili per poter calcolare i punti in classifica.

• In altri casi, una certa variabile può dipendere da un'altra variabile soltanto.

• Esempio: il numero di denunce di furti (D) dipende unicamente dalla quantità di furti (F).

• Cosa accade a D se F aumenta?

•

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Funzioni crescenti e funzioni decrescenti

• E' lecito aspettarsi che se il numero di furti aumenta allora il numero di denunce aumenti. D è una funzione crescente di F.

• Altro esempio: la temperatura dell'aria (T) e il consumo di cioccolata calda.

All'aumentare della temperatura il consumo di cioccolata si riduce, C è una funzione decrescente di T.• L'incremento marginale della variabile dipendente in seguito ad

un incremento marginale della variabile indipendente è detto derivata.

•

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Le relazioni fra due variabili rappresentate graficamente

• E' possibile rappresentare graficamente la relazione fra due variabili.

• Si consideri la relazione fra numero di furti e denunce

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Denunce Relazione fra denunce e furti

Furti

Come si legge un grafico?• Si consideri la relazione fra numero di furti e denunce• A un certo quantitativo di furti F1 corrisponde un certo

numero di denunce D1. (F1 e D1 indicano rispettivamente i valori assunti dalle variabili furti e denunce)

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Denunce

Furti

Come si legge un grafico?• Per ogni valore della variabile F possiamo identificare

il valore della variabile D.• Il grafico descrive quindi la relazione fra le due

variabili. La funzione D=g(F) è quindi rappresentabile tramite un grafico

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Denunce

Furti

L'asse cartesiano• Lo schema entro cui si disegna il grafico di una

funzione è detto asse cartesiano• L'asse orizzontale è detto asse delle ascisse, quello

verticale è detto asse delle ordinate• La curva disegnata nel grafico rappresenta la funzione

in oggetto

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DenunceFunzione delle denunceD=g(F)

Furti

Asse delleordinate

Asse delleascisse

Rappresentazioni di funzioni crescenti e decrescenti• Le funzioni rappresentate possono essere crescenti o

decrescenti.• Ad esempio la funzione delle denunce è crescente:

all'aumentare dei furti aumentano le denunce

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Denunce Relazione fra denunce e furti

Furti

Rappresentazioni di funzioni crescenti e decrescenti• Al contrario il consumo di cioccolata calda è una funzione

decrescente della temperatura.

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Consumodicioccolatacalda

Relazione fra consumo di cioccolata calda e temperature

Temperatura

Rappresentazioni di funzioni crescenti e decrescenti• Alcune funzioni possono essere crescenti in alcuni tratti e

decrescenti in altri tratti. Esempio pioggia e altezza dell'erba.

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Altezza erba

Relazione fra altezza dell'erba e quantità di pioggia

Quantità di Pioggia

Analisi visiva di una relazione.

• Tasso di interesse e investimenti delle imprese• Si consideri la relazione fra tasso di interesse e

investimenti.

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Investimenti

Relazione fra investimenti e tasso di interesse

Tasso di interesse

Pendenza e derivate• E' possibile capire il tipo relazione fra la variabile

dipendente e indipendente osservando il grafico.• Se il grafico "sale" allora la variabile dipendente è

una funzione crescente della variabile indipendente. Viceversa se il grafico scende allora la funzione è decrescente.

• La pendenza della curva che descrive la funzione descrive quindi il tipo di relazione.

• In matematica, la pendenza della curva è misurabile tramite quello che si chiama "derivata".

• Ovvero la derivata misura la crescita marginale di una funzione.

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Spostamento lungo la curva e spostamento della curva

• La quantità di denunce effettuata: se aumentano i furti aumentano le denunce. Ci si muove lungo la curva

• E se effettuare una denuncia fosse costoso? Se costasse 100 euro?

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Denunce

Furti

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Spostamento lungo la curva e spostamento della curva

• Quando interviene un evento esterno (esogeno) è la curva a spostarsi, ovvero, è la natura della relazione a cambiare

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Denunce

Furti

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Relazione fra furti e denunce quando denunciare è gratuito

Relazione fra furti e denunce quando denunciare è costoso

Spostamento lungo la curva e spostamento della curva

• In seguito allo spostamento della curva si ha:

• In seguito all'evento esogento, a parità di furti, si denuncia meno! Per incentivare le denunce lo stato dovrebbe ridurre i costi di denunciare.

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Denunce

Furti

1

Relazione fra furti e denunce quando denunciare è gratuito

Relazione fra furti e denunce quando denunciare è costoso

Le relazione di causalità• Si consideri la relazione fra numero di malati di influenza (I)

e consumo di aspirine (A).• Quando I è alto anche A è alto, ovvero, la relazione può

essere rappresentata dal seguente grafico.

•• Attenzione però, questo grafico potrebbe far

intendere che siano le aspirine a causare l'influenza

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Malati di influenza

Consumo di aspirine

Le relazione di causalità• Un grafico non sempre indica una relazione di causalità

corretta e sta allo studioso (e allo studente) interpretare l'effettiva causalità.

• Nel caso precedente, la corretta interpretazione è che il consumo di aspirine è dato dal numero di malati di influenza e non viceversa.

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Un primo modello di domanda e offerta Esempio: la compravendita delle pizze

Variabili economiche di interesse:

P = prezzo

QD = quantità domandata

QO = quantità offerta

Pm = prezzo della farina (fattore di produzione)

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Le funzioni matematichePer esprimere le relazioni tra le variabili

Funzione generica per la domanda di Pizze

Funzione specifica. Indica una precisa relazione quantitativa

)(PDQD =

PQD 1060−= PPD 1060)( −=

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Funzione di domanda

Q Quantità

P Prezzo

La curva di domanda esprime una relazione negativa tra quantità e prezzo (date tutte le altre variabili)

Q D = D (P)

Domanda

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Funzione di offertaQ

Quantità

P Prezzo

Offerta

La curva di offerta esprima una relazione positiva tra quantità e prezzi date tutte le altre variabiliQO = O(P)

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Variabili endogene ed esogeneLe variabili endogene vengono determinate dal modello (equilibrio) dato

il valore delle variabili esogene.

Il valore delle variabili esogene viene, al contrario, determinato fuori dal modello e viene preso per dato (variabili non controllabili).

Variabili

esogeneModello Variabili

endogene

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Variabili endogene ed esogeneLe variabili sono endogene o esogene a seconda del problema (modello) che si sta studiando.

Nel modello di domanda e offerta di pizza:

Endogene: P, QEsogene: Pm

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L'equilibrio: la determinazione delle variabili endogene

Q Quantità

P Prezzo

Domanda

Offerta

P

Q

L’equilibrio del modello è individuato dall’intersezione tra curva di domanda e offerta

Al prezzo di equilibrio la quantità domandata e offerta sono uguali:“market clearing”

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Effetti di un cambiamento delle esogeneUn aumento del prezzo della farina

O2

Un aumento del prezzo di un fattore (esogeno) Pm riduce l’offerta di pizze per ogni livello di prezzo.

…e le endogene: il prezzo aumenta e la quantità diminuisce

D

O1

P2

Q2

P Prezzo

Q Quantità

La curva di offerta si sposta verso il basso

P1

Q1

Il Mercato della pizza

• Le relazioni che spiegano la compravendita della pizza costituiscono il "mercato delle pizza".

• Il nostro modello, quindi, da una rappresentazione stilizzata del mercato della pizza.

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Diversi modelli per studiare diversi problemi

Un modello spiega il comportamento delle variabili endogene in relazione alle esogene.

Problemi diversi richiedono modelli diversi (ovvero non tutte le variabili possono essere endogene).

Il modello di domanda e offerta determina l’effetto su prezzo e quantità di equilibrio in seguito a una variazione del reddito e del prezzo dei fattori.

Ma se vogliamo sapere perché il prezzo dei fattori è cambiato… è necessario utilizzare un modello in cui queste variabili siano endogene

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L’utilizzo dei modelli economici

Per ogni modello è importante comprendere: Le domande: a cui il modello cerca di rispondere Identificare le variabili endogene: variabili che

sono spiegate dal modelloComprendere le ipotesi di base: ipotesi che

identificano gli elementi essenziali del problema. Alcuni problemi non possono essere spiegati dal

modello e sono identificati dalle variabili esogene.