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Lezione 2

Cenni di meccanica quantistica

Fisica dello Stato SolidoFisica dello Stato Solido

Fisica per la Bioingegneria

http://www2.de.unifi.it/Fisica/Bruzzi/fss.html

Lezione n.2 Cenni di meccanica quantistica- M. BruzziLaurea magistrale in Ingegneria Elettronica

1

Sommario

1. Introduzione - Funzioni d’onda e densità di probabilità

2. Equazione di Schroedinger

3. Operatori in meccanica quantistica

4. Principi della meccanica quantistica

5. Esempi di calcolo dell’equazione di Schroedinger

a) particella libera;

Lezione n.2 Cenni di meccanica quantistica- M. BruzziLaurea magistrale in Ingegneria

a) particella libera;

b) particella in buca di potenziale monodimensionale;

c) particella in buca di potenziale tridimensionale;

d) oscillatore armonico;

e) atomo ad un solo elettrone: numero quantico principale,

quantizzazione del momento angolare, quantizzazione spaziale ed

effetto Zeeman, quantizzazione di Spin ed esperimento di Stern-Gerlach.

7. Gradino di potenziale

8. Penetrazione di una barriera: effetto Tunnel

Approfondimenti

Abbiamo visto come all’inizio del novecento vengano formulati, a partire da nuove evidenze sperimentali,nuovi concetti come la quantizzazione dell’energia, l’interazione della radiazione con la materia spiegata intermini di emissione/assorbimento di fotoni, il principio di indeterminazione di Heisenberg, che ci impone dirinunciare ad una descrizione dettagliata del moto delle particelle atomiche nel senso della meccanicaclassica. A seguito di queste evidenze, un nuovo formalismo, la meccanica quantistica, viene sviluppatonegli anni 20 principalmente dai fisici Louis de Broglie, Max Born, Paul Dirac, Erwin Schrodinger, WernerHeisenberg.

1. Funzione d’onda e densità di probabilità

Il principio di indeterminazione di Heisenberg ci mostra come non siapossibile parlare in senso stretto di traiettoria della particella atomica. In figuramostriamo la traiettoria della particella nel caso (a) classico e (b) quantisticonello spazio delle fasi (cioè nel diagramma momento vs. posizione). Nel casonello spazio delle fasi (cioè nel diagramma momento vs. posizione). Nel caso

quantistico la posizione e il momento sono legati dalla relazione ∆x∆p ~h equindi la traiettoria risulta allargata sulla banda (∆x,∆p). Come descrivereallora il moto della particella? Si utilizza il concetto di “onda o campo dimateria”: la particella presente in una certa regione dello spazio vieneconsiderata come un’onda, indicata come φφφφ. Sappiamo che l’intensità diun’onda è proporzionale al quadrato del suo modulo, quindi l’intensità di

questo campo di materia sarà dato appunto da |φ(x,y,z)|2. Poiché il campo dimateria descrive il moto della particella, possiamo dire quindi che le regionidello spazio in cui è più probabile trovare la particella sono quelle in cui

|φ(x,y,z)|2 è maggiore.


3

Ad esempio, qui mostriamo la funzione d’onda di una particella confinata nella regione

tra A e B lungo x, sotto è riportata la relativa distribuzione |φ(x)|2.

La probabilità di trovare la particella

descritta dalla funzione d’onda φ(x)

nell’intervallo dx intorno al punto x è

|φ(x)|2dx. |φ(x)|2 è una probabilità

per unità di lunghezza o “ densità di

probabilità “. La probabilità di

trovare la particella nella regione

finita V dello spazio è:

Poiché la particella deve comunque trovarsi in qualche luogo dello spazio, se

estendiamo l’integrale allo spazio intero otteniamo la condizione di

normalizzazione:

essa comporta che la funzione φ(x,y,z) abbia alcune caratteristiche fondamentali

(per esempio, φ deve diminuire rapidamente al crescere di x,y,z in modo che

l’integrale su tutto lo spazio possa essere finito).

∫=V

V dxdydzzyxP2

),,(φ

1),,(2

== ∫spaziolotutto

V dxdydzzyxP φ


4

2. Equazione di Schrödinger

Nel 1926 Erwin Schroedinger formula la seguente equazione:

t

tritrtrU

m ∂

∂=

+∇−

),(),(),(

2

22 ψ

ψ hh

Si verifica che, se U è indipendente dal tempo ma dipende solo dalle coordinate

spaziali: U(r,t) = U(r) = U(x,y,z),

è sempre possibile separare la dipendenza temporale della funzione d’onda da

quella spaziale:

(*)


5

quella spaziale:

dove φ(r) dipende solo dalle coordinate spaziali.

Sostituendo nella (*) questa espressione otteniamo l’equazione:

)(),( retrti

φψε

h−

=

εφφ =

+∇− U

m

22

2

h

Metodo della separazione delle variabili

L’equazione di Schroedinger è in tre dimensioni, essa può però essere spesso

ridotta a un numero minore di dimensioni. Se : U(x,y,z) = U1(x) + U2(y) + U3(z)

allora le soluzioni sono del tipo: φ(x,y,z) = φ1(x) φ2(y) φ3(z).

Sostituendo φ ed U nell’equazione di Schroedinger otteniamo :

εφφφ =

+∂

−+

+∂

−+

+∂

− )()(1

)()(1

)()(1 222222

zzUyyUxxUhhh

Ogni termine del primo membro è funzione di una sola coordinata, x, y, o z,

mentre nel secondo membro abbiamo il termine indipendente ε. Il solo modo

per soddisfare questa equazione è che ciascuno dei tre termini del primo

membro sia uguale ad una costante εi ( i = 1,2,3) tale che: ε1 + ε2 + ε3 = ε.

εφφ

φφ

φφ

=

+

∂

∂−+

+

∂

∂−+

+

∂

∂− )()(

2)(

1)()(

2)(

1)()(

2)(

1332

3

222

2

112

1

zzUzmz

yyUymy

xxUxmx

hhh


6

Se poi U(x,y,z) = U1(x) il sistema si riduce ad una sola equazione

monodimensionale in x. Le soluzioni per la funzione d’onda e le energie per

Come risultato otteniamo tre equazioni

monodimensionali, molto più semplici

da risolvere. →

)()()(2

)()()(2

)()()(2

3333

22

2222

22

1111

22

zEzzUdz

d

m

yEyyUdy

d

m

xExxUdx

d

m

φφ

φφ

φφ

=

+−

=

+−

=

+−

h

h

h

monodimensionale in x. Le soluzioni per la funzione d’onda e le energie per

le altre due dimensioni y e z sono quelle della particella libera:

;

Dove Ay ed Az sono le costanti di normalizzazione per le soluzioni dell’onda

piana nelle direzioni y e z.

ikziky

zy eeAAxzyx )(),,( 1φφ = ( )m

kkEE

zy

2

222

1

++=h


7

In termini matematici diciamo che l’espressione H

è un operatore che, quando agisce su una funzione φ(x,y,z), produce una nuova

funzione come risultato di una serie di operazioni esplicitamente contenute nella

definizione di H. In particolare, possiamo riscrivere l’equazione di Schrödinger

come:

3. Operatori in meccanica quantistica

(*)

),,(2

22

zyxUm

+∇−=h

),,(),,( zyxzyxH εφφ =

Cioè l’effetto di H su φ(x,y,z) è quello di moltiplicare φ(x,y,z) per ε. Ovviamente, in

generale, quando H opera su una funzione arbitraria il risultato non è

necessariamente la stessa φ(x,y,z) moltiplicata per una costante. Le funzioni che

soddisfano la (*) sono chiamate autofunzioni dell’operatore H ed i valori ε

corrispondenti autovalori dell’operatore.

(*)),,(),,( zyxzyxH εφφ =


8

Esempio

Indicare quale delle seguenti funzioni sono autofunzioni per l’operatore

d/dx: φa = eikx; φb = eαx; φc = sen(kx) ed eventualmente indicarne

l’autovalore. Si ripeta l’esercizio per l’operatore d2/dx2.

Soluzione. Le funzioni indicate sono autofunzioni per l’operatore d/dx se si

puo’ scrivere dφ/dx = aφ con a = autovalore. Otteniamo che φa e φb sono

autofunzioni con autovalori rispettivamente ik ed α, mentre φc non lo è.

Invece si verifica che tutte e tre sono autofunzioni per l’operatore d2/dx2

con autovalori:-k2, α2, -k2.


9

con autovalori:-k2, α2, -k2.

Per ogni operatore A ci sono in generale una serie di autovalori a1,a2,a3.. ed una

serie di autofunzioni associate φ1, φ2, φ3, … Inoltre possono esistere piùautofunzioni corrispondenti allo stesso autovalore, in tal caso l’autovaloreè detto degenere. Nella meccanica quantistica gli operatori che rappresentano

osservabili fisiche sono hermitiani ( dal nome del matematico francese Hermite).

Questi operatori soddisfano la condizione :

Proprietà degli operatori - Operatori Hermitiani

[ ]∫∫ = dVAdVA 2121 ** φφφφ

Per tutte le funzioni φ1 e φ2 che soddisfano le condizioni al contorno richieste, la

notazione φ* indica il complesso coniugato di φ. Si può dimostrare che gli

autovalori degli operatori hermitiani sono reali e le loro autofunzioni sono

ortogonali, cioè:

Dove φi(x) φj(x) sono autofunzioni che appartengono agli autovalori ai, aj di A.

[ ]∫∫ = dVAdVA 2121 ** φφφφ

ijji

spaziolotutto dV δφφ =∫ *


10

4. Principi della meccanica quantistica

1. Ad ogni grandezza fisica A(r,p), che è funzione della posizione e del momento di

una particella, corrisponde un operatore quantistico ottenuto effettuando la

sostituzione: ∇−→ hip

2. I soli valori possibili che possono essere ottenuti quando si misura la grandezza

fisica A(r,p) sono gli autovalori dell’operatore quantistico : ),( ∇− hirA

Da quanto abbiamo finora esposto, possiamo generalizzare i seguenti principi:

Grandezza fisica Definizione classica Operatore Quantistico

Nella tabella sotto

sono riportati gli

operatori quantistici

di alcune grandezze

fisiche.

Posizione r r

Momento p

Momento angolare

rxp

Energia cinetica

Energia totale

∇− hi

∇− xrih

m

p

2

2

22

2∇−

m

h

pUm

+∇− 22

2

hPU

m

p+

2

2


11

Tramite questi principi possiamo determinare i valori di ogni grandezza fisica A. Il

secondo principio si esprime nella forma matematica:

Se a1,a2,a3 ,.. sono i soli risultati della misura di A, le autofunzioni φ1, φ2,φ3,..

descrivono gli stati possibili del sistema, per quanto riguarda la grandezza fisica A. Seil sistema è in uno stato descritto dalla funzione φφφφ, che non è nessuna dellesoluzioni φφφφn, espandendo la funzione φ nei termini delle autofunzioni φn dell’operatore

A otteniamo:

e poichè le funzioni φ sono ortogonali allora vale:

ψψ airA =∇− ),( h

∑=++++=n

nnnn cccccc φφφφφφφ .....44332211

dVc ∫= φφ *

3. Quando lo stato del sistema corrisponde alla funzione d’onda φ(r), la probabilità

di ottenere il valore an come risultato della misura della grandezza A(r,p) è data da

|cn|2, con :

e φn autofunzione dell’operatore A corrispondente all’autovalore an.

Il set delle φi forma un set completo, cioè può costruire qualunque stato.

e poichè le funzioni φn sono ortogonali allora vale: dVc nn ∫= φφ *

dVc nn ∫= φφ *


12

Perciò in accordo con il terzo principio, quando una funzione φ non è un

autofunzione di A non possiamo conoscere il risultato esatto di A: se

effettuiamo misure differenti otterremo valori diversi, ciascuno con una certa

probabilità. In generale possiamo parlare di valore di aspettazione medio di

A nello stato descritto da φφφφ. Come corollario al terzo principio si può

dimostrare che:

La media del valore di aspettazione di una grandezza fisica A(r,p) quando lo

stato del sistema corrisponde alla funzione φ(r) è

.*

*

dV

dVAA

∫∫

>=<φφ

φφ


13

5. Esempi di calcolo dell’equazione di Schroedinger

1. Particella libera

In questo caso U = U(x) = 0, l’equazione diviene: ),,(),,(2

22

zyxEzyxm

φφ =∇−h

in una dimensione: ),,(),,(

2 2

22

zyxEx

zyx

mφ

φ=

∂

∂−h

Per una particella libera vale:m

pE

2

2

= e: kp h=

Quindi: e l’equazione diviene:kE

22h

= 022

=+∂

φφ

kQuindi: e l’equazione diviene:m

kE

2

h= 02

2=+

∂φk

x

equazione di un’onda stazionaria di lunghezza d’onda : k

πλ

2=

L’equazione ammette soluzioni del tipo: ;)( ikxex =+φ ikx

ex−

− =)(φ

La prima rappresenta una particella che si muove in verso positivo rispetto

all’orientamento dell’asse x, l’altra in direzione opposta. La soluzione generale

Può essere scritta come combinazione lineare delle due soluzioni:

ikxikxBeAex

−+=)(φ


14

Questa funzione non corrisponde ad una direzione preferenziale di moto,

essendo la sovrapposizione di due soluzioni per moto nelle direzioni positiva e

negativa. E’ infatti la stessa situazione delle onde stazionarie ( per esempio una

corda che vibra tra due estremi fissati). Notiamo inoltre che:

1)()(*)(2

== −ikxikxeexxx αφφφ

Il fatto che |φ(x)|2 sia costante indica che la probabilità di trovare la particella è la

stessa in ogni punto. Questo è in accordo con il principio di indeterminazione diHeisenberg dato che l’onda eikx ha ∆p = 0 e quindi ∆x →∞. Per avereHeisenberg dato che l’onda eikx ha ∆p = 0 e quindi ∆x →∞. Per avere

informazioni riguardo la posizione della particella ∆x deve essere finito, il che è

ottenibile sovrapponendo onde A(k)eikx con valori di k in un dominio ∆k, cioè un

pacchetto d’onda. Tale pacchetto può essere espresso come:

dkekAxikx

∫= )()(φ


15

2. Particella in buca di potenziale

Pensiamo ad un potenziale rettangolare del tipo di figura(potential box). Avremo U(x) = 0 per 0< x < a e U(x) →∞ per

x > a e x < 0. Questo significa che esistono delle forze molto

elevate che costringono la particella a rimanere entro la

buca di potenziale, quindi φ(x) = 0 per x ≥ a e x ≤ 0.

All’interno della buca la particella si muove liberamente dato

che qui Ep(x) = 0, quindi in questa regione il problema si

riconduce al caso discusso precedentemente:

02

2

2

=+∂

∂φ

φk

xcon: ;

22

2

h

mEk = .)( ikxikx BeAex −+=φ

ax

0

U

∞ ∞

02

=+∂

φkx

con: ;2

hk = .)( BeAex +=φ

Le condizioni al contorno impongono che:

( ) ;2)(0)0( iAsenkxeeAxBABAikxikx =−=→−=→=+= −φφ

( ) .02)( na

kpa

nkkaiAsenaxh

hππ

φ ==→=→===

Quest’ultima espressione indica i valori permessi di momento.

Corrispondentemente, i valori permessi di energia sono dati da: 2

2222

22 ma

n

m

pE

hπ==


16

.22 2

2222

ma

n

m

pE

hπ==

n=3

n=4

E3= 9E1

E4= 16E1

E

I livelli energetici permessi per la particella in buca di potenziale sono:

Abbiamo mostrato che l’energia non può

assumere un valore arbitrario, ma risulta

quantizzata. Questa situazione avviene in

generale quando l’equazione di Schroedinger

viene risolta per un potenziale che confina la

particella in una regione limitata dello spazio. Laquantizzazione è dovuta al fatto che lafunzione d’onda deve sia essere soluzionedell’equazione di Schroedinger che soddisfare

con n= 1, 2, 3, …

n=1

n=2

E2= 4E1

E1

dell’equazione di Schroedinger che soddisfarele condizioni al contorno. Notiamo che l’energia

minima della particella non è zero, ma pari a:

Questo deriva dal principio di indeterminazione di

Heisenberg. Infatti poiché l’indeterminazione sulla

posizione è ∆x ~ a e la particella si muove avanti e indietro con momento p, percui ∆p ~2p ,valendo ∆x∆p ≥ h otteniamo 2ap ≥ h → E ≥ E1. E1 è detta “energia di punto zero”.

.2 2

22

1ma

Ehπ

=


17

I valori di k permessi per la particella in buca di potenziale sono: .a

nkπ

=

Le funzioni d’onda che corrispondono ai valori di k permessi sono: .)(

=

a

xnCsenxn

πφ

con C = 2iA, che infatti corrispondono a onde stazionarie che vibrano con

estremità fisse, per le quali vale:

.1

;....3

1;

2

1;

2

1a

naaa=λ

Le prime tre funzionid’onda per una particellad’onda per una particellain buca di potenziale e lecorrispondenti densità diprobabilità sonomostrate nella figura afianco


18

Completiamo la discussione determinando la costante C utilizzando la

condizione di normalizzazione:→=∫

a

dxx0

21)(φ ∫ =

a

dxa

xnsenC

0

22 1π

Il valore dell’integrale è : ∫ =

a

adxa

xnsen

0

2

2

1π

Perciò otteniamo: .2

12

12

aCaC =→=

le autofunzioni normalizzate sono perciò: .2

)(

=xn

senxπ

φle autofunzioni normalizzate sono perciò: .)(

=a

sena

xnφ


19

3. Particella in buca di potenziale tridimensionale

Consideriamo ora un particella confinata in una

regione tridimensionale di dimensioni a, b, c come

in figura. Estendendo il ragionamento del caso

precedente, otteniamo:

a

npx

1hπ=

b

npy

2hπ=

c

npz

3hπ=

++==2

3

2

2

2

1

222nnnp

Ehπ

.),,(321

=zn

senyn

senxn

Csenzyxπππ

φ

a

b

c

x

y

z

con n1, n2, n3 interi. Notiamo che l’energia dipende solo dalla somma n12+n2

2+n32,

perciò tutti gli stati che hanno stesso valore per questa somma hanno stessa

energia ma diversa funzione d’onda. Quando questo succede diciamo che

abbiamo degenerazione dei livelli energetici corrispondenti. L’ordine di

degenerazione di un livello energetico, designato con g, è uguale al numero didiverse e indipendenti funzioni d’onda soluzione dell’equazione diSchroedinger per quella energia.

++==2

3

2

2

2

1

22 c

n

b

n

a

n

mm

pE

hπ.),,(

321

=c

senb

sena

Csenzyxφ


20

5. Atomo di idrogeno / atomi ad un solo elettrone

Nel caso dell’elettrone legato al nucleo nell’atomo di idrogeno l’energia potenziale è:

φφπε

φ Er

e

m=−∇−

0

22

2

42

h

r

erU

0

2

4)(

πε−=

quindi l’equazione di Schroedinger diviene*:

La soluzione di questa equazione è al di là degli scopi di questo corso. Daremo

qui solo alcune indicazioni sul risultato di tale calcolo.

a. Quantizzazione dell’energia

Definiamo costante di Rydberg:

Allora i livelli energetici possibili per gli stati stazionari dell’elettrone

dell’atomo di idrogeno sono dati dall’espressione:

hcn

REn 2

∞−=con n = 1,2,3,…

mx

ch

emR e 1

100974.18

7

32

0

4

==∞ε

a. Quantizzazione dell’energia

ed n è detto numero quantico principale .


21

* Con m massa ridotta del sistema

Per un atomo con un unico elettrone legato ad un nucleo con Z protoni:

.6.132

2

2

2

eVn

Z

n

hcZREn −=−= ∞


22

1. Quantizzazione del modulo di L

Nel caso della particella nella buca di potenziale abbiamo visto che energia e

momento, costanti del moto, sono entrambe quantizzate. In un moto dovuto ad un

campo di forza centrale non solo l’energia, ma anche il momento angolare è

costante del moto: da un’analisi sia teorica che sperimentale si mostra che in

questo caso anche il momento angolare risulta quantizzato.

La quantizzazione sul modulo del momento angolare L si esprime con la relazione:

22)1( h+= llL con l = 0, 1, 2, 3,..,n-1

Quindi: in un campo Coulombiano per ogni valore di n ci sono n valori distintipossibili per il momento angolare, da llll = 0 a llll = n-1. I diversi valori di l sono

b. Quantizzazione del momento angolare L

possibili per il momento angolare, da llll = 0 a llll = n-1. I diversi valori di l sono

solitamente designati con lettere s (l=0), p (l=1), d (l=2), f (l=3) e così via. l è

detto numero quantico azimutale.

2. Quantizzazione spaziale

Oltre alla limitazione sul modulo si mostra sperimentalmente (effetto Zeeman)

che esiste una restrizione nella direzione del momento angolare(quantizzazione spaziale): i valori della componente z del momento angolare Lz,

risultano infatti quantizzati secondo la relazione:

hlZ mL = con ml = 0, ±1, ±2, ±3, .. ± l


23

Ovviamente il numero quantico ml non può essere superiore ad l. ml si dice

numero quantico magnetico.

z

Lz

0

z

ml=+1

ml=-1

ml= 0

l = 1 l = 2

z

ml=+1

ml=-1

ml= 0

ml=+2

ml=-2

L = rxp

x

yr

0 l = 1 l = 2

Quindi per ciascun valore del momento angolare, ci sono 2l+1 valori di ml .

La quantità g = 2l+1 è detta degenerazione essenziale di ogni stato con un determinato

momento angolare. Osserviamo che, se la forza in gioco non è funzione dell’inverso delquadrato della distanza, quei livelli che hanno lo stesso valore di n ma diverso valore di llll

non hanno necessariamente la stessa energia. Se però la forza è comunque centrale,l’energia non dipende da mllll perché l’orientazione dell’orbita è irrilevante.

p


24

Effetto Zeeman

Effetto osservato nel 1896 e poi spiegato mediante la quantizzazione spaziale,

percui e.g. una linea spettrale di un atomo a un elettrone diventa un tripletto a causa

della presenza di un campo magnetico. L’elettrone che descrive una orbita circolare

con velocità angolare ω corrisponde ad una spira di corrente:ω

π2

e

T

e

dt

dqI ===

che può essere vista come un dipolo magnetico

di momento:22

2

1

2rer

eAIM L ωωπ

π==⋅=

Dato che il momento angolare è pari a: otteniamo la seguente relazionevrmL e=Dato che il momento angolare è pari a: otteniamo la seguente relazione

tra momento di dipolo magnetico e momento angolare:vrmL e=

Lm

eM

e

L2

=

poiché la carica dell’elettrone è negativa ML e L

sono vettori con stessa direzione e verso opposto.


25

In generale, si verifica che la relazione , da noi mostrata

classicamente, risulta valida anche in

meccanica quantistica per un moto arbitrario con momento angolare L.

La componente z del momento magnetico orbitale risulta:

Lm

eM

e

L2

−=

lBl

e

z

e

Lz mmm

eL

m

eM µ−=−=−=

22

h

T

eVx

m

e

e

B

5106564.52

−==h

µcon = magnetone di Bohr.Tme2

Applichiamo ora un campo magnetico B, il sistema acquisisce l’energia magnetica:

BLm

eBME

e

LB ⋅=⋅−=2

E sul dipolo magnetico agisce il momento della forza magnetica:

BxLm

eBxMM

e

L2

−==


26

Tale momento fa compiere una precessione delsistema attorno alla direzione del campo magnetico.

Assumiamo che il campo magnetico sia in direzione z:

BmBME lBLzB µ=−=

Questa relazione mostra che l’energia del sistemaassume 2llll+1 valori quantizzati secondo il numeroquantico mllll,,,, tutti equispaziati della quantità µµµµBB.

Passaggio da un livello singolo p ad untripletto in presenza di campo magnetico

L’effetto non si osserva con un livello s,perché llll = 0 e quindi mllll = 0.

Il risultato è una riga spettrale che si trasforma in un tripletto.


27

Sappiamo che la Terra, contemporaneamente al moto di rivoluzione intorno al sole,

compie un moto rotatorio intorno al suo asse ( in inglese = to spin): il suo momento angolare

totale è somma vettoriale del momento angolare di rivoluzione e di quello di rotazione. In

analogia con questa evidenza possiamo immaginare che l’elettrone legato all’atomo oltre al

moto orbitale “ ruoti su se stesso” e quindi possegga momento angolare di spin. E’ ovvio

che, non avendo l’elettrone struttura interna, non ha senso considerarlo come particellasferica che ruota su se stessa, tale raffigurazione è comunque un modello valido per la

descrizione di alcuni importanti fenomeni sperimentali.

L’esistenza dello spin elettronico è stata messa in evidenza dall’esperimento diStern e Gerlach (1924), l’idea è stata proposta da Uhlenbeck e Goudsmith (1926) per

spiegare tale esperimento ed alcune caratteristiche spettrali degli atomi ad un elettrone. Se

non possiamo calcolare il momento angolare di spin come facciamo per la Terra, comunque,

c. Quantizzazione di Spin

non possiamo calcolare il momento angolare di spin come facciamo per la Terra, comunque,

varrà sempre che, se S è il momento angolare di Spin ed L quello orbitale, il momentoangolare totale dell’elettrone sarà J = S + L. Dato che l’elettrone è una particella caricalo spin elettronico produrrà un momento di dipolo magnetico MS . Nel semplice modello

di un corpo rigido sferico ruotante su se stesso, la relazione tra MS ed S sarà la stessa che

abbiamo trovato tra ML ed L. In realtà quello che si ha è un po’ diverso:

Sm

egM

e

SS2

−=gS è detto rapporto giromagnetico dell’elettrone, di valore

sperimentale gS = 2.0024. Il momento di dipolo magnetico di un

elettrone che orbita e ruota è quindi: ( )SgLm

eMMM S

e

SL +−=+=2


28

Esperimento di Stern- Gerlach

Supponiamo che un fascio di atomi ad un solo elettrone passi attraverso un campomagnetico non omogeneo. L’effetto di questo campo magnetico sul dipolo magnetico è

quello di esercitare una forza la cui direzione e modulo dipendono dall’orientazionerelativa del campo magnetico e del dipolo (e.g. se il dipolo è orientato parallelamente al

campo B esso tenderà a muoversi nella direzione in cui il campo B cresce , mentre se è

antiparallelo, si muoverà nella direzione in cui il campo B diminuisce). Nell’esperimento di

Stern-Gerlach il campo disomogeneo è ottenuto modificando la forma delle facce deipoli magnetici, ad esempio in modo che il campo aumenti andando da Sud a Nord.

Se gli atomi a un solo elettrone del fascio sononello stato fondamentale ( l = 0 ) hanno

momento angolare orbitale nullo e quindi M = 0 ,momento angolare orbitale nullo e quindi ML = 0 ,

perciò la deviazione del fascio dipenderà solodalla direzione di MS, cioè di quella dello spinS. Il risultato dell’esperimento è che il fascio che

passa tra i due poli magnetici viene diviso indue. Questo dimostra che:

Lo spin elettronico può avere solo dueorientazioni relative al campo magnetico:parallela o antiparallela.


29

Ricordando che la degenerazione effettiva del momento angolare è g = 2l + 1,

poiché nel caso dello spin g = 2 dobbiamo avere l = ½. Indicando il numero

quantico di spin come s invece che come l ed il numero quantistico

corrispondente alla componente z, Sz , come ms invece che ml avremo:

1

;2

1

±=

=

m

s ( )

h

hh

mS

ssS

=

=+= 222

4

31

z

ms=+½h

2

3=S

2

1±=Sm hsz mS =

Concludiamo quindi che per descrivere completamente lo stato di un elettrone inun campo centrale sono necessari quattro numeri quantici: n, l, ml, ms .

ms=-½


30

Data la simmetria sferica dell’energia potenziale atomico l’equazione di

Schroedinger si scrive utilizzando le coordinate sferiche (r,θ,ϕ) e le soluzioni hanno

la forma (metodo di separazione delle variabili): Φ(r,θ,ϕ) = φ1(r)φ2(θ)φ3(ϕ) .

Effettuando la risoluzione si verifica che il fattore radiale risulta dipendere dai numeri

quantici n ed l, mentre il fattore angolare dai numeri quantici l ed m. Inoltre, ogni

orbitale ha quindi la possibilità di contenere due elettroni, data la molteplicità di

spin.

Orbitali atomici

ΦΦΦΦ(r,θ,ϕθ,ϕθ,ϕθ,ϕ) = φφφφn,l(r) φφφφl,m(θ,ϕθ,ϕθ,ϕθ,ϕ)

z

r

θ

Fattore radialeFattore angolare

La probabilità che l’elettrone si trovi nella regione di

spazio tra r ed r + dr è data da:

drrdVdP222

4πΦ=Φ=

x y

r

ϕ


31

Orbitali atomici – Fattori radiali e angolari


32

Fattori radiali ϕϕϕϕ(r)

Fattori r2 |ϕϕϕϕ (r)|2

Nella figura sotto a sinistra mostriamo alcuni esempi di fattori radiali in orbitali atomici,

in quella accanto la conformazone radiale di alcuni orbitali atomici, per vari numeri

quantici n,l


33

Configurazione elettronica Struttura elettronica di un atomo od una molecola.

Corrisponde al modo di distribuirsi degli elettroni negli orbitali dell'atomo o della

molecola. E’ particolarmente importante quella della shell più esterna.

Configurazione elettronica esterna

Z = Numero atomico

configurazione elettronica esterna


34

3s

3px 3py3pz

n=2; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=3; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=3; l = 0

Riempimento orbitali atomici con elettroni

Energ

ia

1s

2s

2px 2py 2pz

3s

n=1; l = 0

n=2; l = 0

n=2; l = 1 m = -1; 0 ; 1


35

n=3; l = 1 m = -1; 0 ; 13dx2-y2

3dz2

n=3; l = 2 m =-2, -1; 0 ; 1;2

3dxy 3dxz3dyz

4s

4px 4py4pz

n=4; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=4; l = 0

Energ

iaRiempimento degli orbitali atomici d

2s

2px 2py 2pz

3s

3px 3py3pz

n=2; l = 0

n=2; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=3; l = 0


36

Nota: nei metalli nobili la configurazione più stabile richiede che gli orbitali d

siano pieni. Un elettrone s viene perciò trasferito in un orbitale d.

Cu Z = 29 4s1 3d10

Ag Z = 47 5s1 4d10

Au Z = 79 6s1 5d10 4f 14

In altri metalli invece, quali Cr e Mo, la configurazione più stabile prevede il

trasferimento di elettroni in modo da avere orbitali d semipieni.

Cr Z = 24 4s1 3d5

Mo Z = 42 5s1 4d5


37

6. Gradino di potenziale

A. L’energia della particella è minore del gradino : ε < U0

Regione I: U(x) = 0 quindi la particella è libera.

Equazione di Schroedinger:

02

22

2

=+ II m

dx

dφ

εφ

h

Che dà soluzione: ikxikx

I BeAex−+=)(φ

Dove eikx rappresenta l’onda incidente, e-ikx rappresenta quella riflessa dalla barriera.

U(x)

xU0

I II

O

ε

U (x)= 0 per x < 0; U = Uo per x > 0

Dove eikx rappresenta l’onda incidente, e-ikx rappresenta quella riflessa dalla barriera.

regione II. U(x) = U0 con eq. di Schroedinger: .

Definendo: , l’equazione diviene : con

Soluzione:

per la meccanica classica la particella non potrebbe trovarsi nella regione x > 0,per la meccanica quantistica c’e’ una probabilità non nulla di trovare la particellain tale regione.

( )0

22

0

2

2

=−

+ IIII Um

dx

dφ

εφ

h( )2

02 2

h

Um −=

εα 02

2

2

=− IIII

dx

dφα

φ

x

II Cexαφ −=)(


Per determinare le costanti A,B,C imponiamo le condizioni al contorno per le regioni I/II,

cioè la continuità della funzione d’onda e della sua derivata prima.

In x = 0: e , da cui si ha: A + B = C e ik(A-B) = -α C.

Otteniamo : e per cui :

e .

dx

d

dx

d 21 φφ=21 φφ =

( )α

α

−

+=

ik

AikB

α−=

ik

ikAC

2

−

++= −ikxikx

eik

ikeAx

α

αφ )(1 x

Aeik

ikx

α

αφ −

−=

2)(2

( ) ( )[ ]ikxikxeikeik

ik

Ax

−++−−

= ααα

φ )(1Riscrivendo: e dato che vale:( ) ( )[ ]eikeikik

x ++−−

= ααα

φ )(1

Le funzioni φ1 e φ2 (a meno del termine complesso 2ik/(ik-a) ) sono rappresentate in

figura .

( ) ( )kxsenikxeikx ±=± cos

−

−= )()cos(

2)(1 kxsen

kkxA

ik

ikx

α

αφ

Riscrivendo: e dato che vale:

, si ottiene:


Osserviamo che più grande è il fattore U0 rispetto all’energia della particella,

più grande è il valore di α e più velocemente la funzione φ2 va a zero per x > 0 .

Nel limite di U0 →∞ la funzione φ2 va a zero e la particella non può penetrare

nella regione II: tutte le particelle vengono riflesse in x = 0.

In questo caso l’espressione di φ1 diviene: )()(2)(1 kxCsenkxiAsenx ==φ


Β. L’energia della particella è maggiore del gradino : ε > U0

U(x)

xU0

I IIε

Classicamente la particella può superare la barriera ed entrare nella regione II, ad

x = 0 soffre di una decelerazione dato che la sua energia cinetica diviene più

piccola.

Dal punto di vista quantistico la soluzione nella regione I è sempre data da:

φ1(x) = Aeikx +Be-ikx,

assumendo che parte delle particelle possano

venire riflesse. Per la regione II, definendo:

l’equazione di Schroedinger è:

con soluzione φII(x) = Ceik’x (rappresenta la particella che viaggia verso destra).

( )2

02 2'

h

Umk

−=

ε

0'22

2

=+ IIII k

dx

dφ

φ

xU0

O


Applicando le condizioni al contorno a x = 0 abbiamo:

A + B = C e k(A-B) = k’C , le cui soluzioni sono :

( )'

'

kk

AkkB

+

−=

'

2

kk

kAC

+=

;'

')(

+

−+= −ikxikx

I ekk

kkeAxφ .

'

2)( 'xik

II Aekk

kx

+=φ

Il fatto che B non sia nullo indica che alcune particelle sono riflesse, unrisultato diverso da quello della meccanica classica.

Questo fenomeno e’ caratteristico dei campi che, nella loro propagazione,

incontrano una regione di discontinuità nelle proprietà fisiche del mezzo: un

fatto ben noto nel caso per esempio di onde elastiche o elettromagnetiche.


7. Penetrazione di una barriera di potenziale - Effetto Tunnel

Consideriamo la barriera di potenziale di altezza U0 e spessore a.

Per ε<U0 avremo soluzioni del tipo:

Dove k, α e k’ hanno significato dato precedentemente. La forma d’onda è come

U(x)

x

U0

I II

O

III

a

ikxikx

I BeAex−+=)(φ

xx

II BeAexααφ −+=)(

xik

III eAx'')( =φ

ε

Dove k, α e k’ hanno significato dato precedentemente. La forma d’onda è come

in figura . E’ quindi possibile che la particella con energia inferiore a U0 penetri la

barriera (onda φ3).

Applicando le condizioni al contorno a x = 0 ed x = a possiamo determinare i

coefficienti A,B,C,D,A’.Lezione n.2 Cenni di meccanica quantistica- M. Bruzzi

Laurea magistrale in Ingegneria Elettronica

Per ε > U0 la descrizione classica indicherebbe che

tutte le particelle vengono trasmesse oltre la barriera.

In meccanica quantistica invece, come per il gradino

di potenziale, alcune particelle possono essereriflesse ad x = 0 ed x = a. Quindi le funzioni d’onda

sono:

ikxikx

I BeAex−+=)(φ xikxik

II DeCex'')( −+=φ ikx

III eAx ')( =φ

Applicando le condizioni al contorno a x = 0 ed x = a possiamo determinare i

coefficienti A,B,C,D,A’.

U(x)

x

U0

I II

O

III

a

ε

La trasmissione della barriera è

valutata come :

T = |A’|2 / |A|2

In figura è mostrata in funzione del

rapporto ε/Uo

ε/U0

coefficienti A,B,C,D,A’.


Esempio: diodo tunnel

Scoperto da L. Esaki nel 1958 (Ph.D. dissertation work). Come anomalia della

curva I-V di una giunzione p-n in cui tutte e due le regioni n e p sono degeneri. In

questo caso il tunneling può essere analizzato considerando una barriera di

potenziale triangolare.

3a equilibrio

3b tensione diretta : una banda di energia con stati occupati a destra della barriera si

affianca ad una banda di stati non occupati a sinistra. Elettroni possono penetrare la

barriera dal lato n a quello p producendo corrente di tunneling.

3c incrementando la tensione diretta le due bande si assottigliano fino a che l’orlo

della n BC = orlo della p BV. Non ci sono piu’ stati disponibili per gli elettroni: la

corrente di tunneling si riduce a zero.

3d corrente diretta dovuta a diffusione dei maggioritari senza tunneling;


Nell’ esperimento di Young con un fascio di elettroni il passaggio dalla doppia

fenditura produce una figura di interferenza sullo schermo. Problemi:

1) La meccanica quantistica stabilisce soltanto in modo probabilistico il punto in cui

Approfondimenti

1) La meccanica quantistica stabilisce soltanto in modo probabilistico il punto in cui

ogni particella colpirà lo schermo, specificando il livello di probabilità alta oppure

bassa, ma non è in grado di esprimere una previsione esatta di dove essaapparirà sullo schermo.

2) Che cosa succede alle particelle nel percorso che dalla sorgente le portaallo schermo? Ogni particella è descritta da una funzione d'onda non localizzata,

sembrerebbe interagire con entrambe le fenditure producendo una sorta di

interferenza con se stessa, se la si considera come puntiforme però non può che

attraversare una sola fenditura.

Interpretazione di Copenaghen*

In meccanica quantistica i risultati delle misurazioni di variabili coniugatesono non deterministici, anche conoscendo tutti i dati iniziali è impossibileprevedere il risultato di un singolo esperimento. Quindi, le affermazioniprobabilistiche della meccanica quantistica sono irriducibili, nel senso chenon riflettono la nostra conoscenza limitata di qualche variabile nascosta .Osserviamo che invece nella fisica classica si ricorre alla probabilità anche seil processo è deterministico, in modo da sopperire a una nostra conoscenzaincompleta dei dati iniziali . Esempio: se conoscessi con precisione l'altezza da cui un dado

viene lanciato, la sua velocità e l'angolo d'inclinazione sarebbe possibile conoscere a priori comeposerà il dado sul tavolo utilizzando le leggi della meccanica.poserà il dado sul tavolo utilizzando le leggi della meccanica.

Domande come: «Dov'era la particella prima che ne misurassi la posizione?»,sono prive di senso, in quanto la meccanica quantistica studia esclusivamentequantità osservabili, ottenibili mediante processi di misurazione.

L'atto della misurazione causa il «collasso della funzione d'onda», nel sensoche quest'ultima è costretta dal processo di misurazione ad assumere i valoridi uno a caso dei possibili stati permessi.

* A tutt’oggi maggiormente condivisa fra gli studiosi ed ispirata ai lavori svolti nella capitale daneseda Bohr e Heisenberg attorno al 1927

Obiezioni all'interpretazione di Copenaghen

Einstein: «Dio non gioca a dadi»; Bohr: "Einstein, smettila di dire a Dio cosa deve fare"

Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen (EPR): esperimento ideale teso aevidenziare che se in un sistema quantistico ipotizziamo condizioni qualirealismo, località e completezza, ritenute ragionevolmente vere per qualunqueteoria che descriva la realtà fisica senza contraddire la relatività, giungiamo auna contraddizione. EPR concludono che la teoria quantistica è incompleta.

Completezza : assenza di variabili nascoste

Località : i processi fisici non possono avere effetto immediato su elementi fisiciLocalità : i processi fisici non possono avere effetto immediato su elementi fisicidi realtà in un altro luogo separato da quello in cui avvengono (in accordo con ilfatto che la velocità della luce (relatività ristretta) è la velocità limite alla qualepuò viaggiare un qualunque tipo d'informazione).

Realismo: l’assunto per cui tutti gli oggetti debbono oggettivamente possederedei valori preesistenti per ogni possibile misurazione prima che questemisurazioni vengano effettuate

→ Einstein: «Credi davvero che la luna non sia lì se non la guardi?»

Una sorgente emette coppie di elettroni, uno dei quali viene inviato alla

destinazione A (Alice), l'altro viene inviato alla destinazione B (Bob). Secondo lameccanica quantistica, possiamo sistemare la sorgente in modo che ciascunacoppia di elettroni emessi occupi uno stato quantistico detto singoletto di spin,descritto come sovrapposizione quantistica di due stati, indicati con I e II.

I: l'elettrone A ha spin parallelo all'asse z (+z) e l'elettrone B ha spin antiparallelo (-z).

II: l'elettrone A ha spin -z e l'elettrone B ha spin +z.

Impossibile associare ad uno dei due elettroni nel singoletto di spin uno statodi spin definito: gli elettroni sono detti entangled, cioè intrecciati.

Paradosso EPR

Alice misura lo spin lungo l'asse ottenendo e.g.: +z; secondo la meccanica

quantistica la funzione d'onda che descrive lo stato di singoletto dei due

elettroni collassa nello stato I, se Bob successivamente misurasse lo spin lungo

l'asse z, otterrebbe -z con una probabilità del 100%. Analogamente, se Alice

misurasse -z, Bob otterrebbe +z, sempre con una probabilità del 100%.

Benché proposto originariamente per mettere in luce l'incompletezza della

meccanica quantistica, ulteriori sviluppi teorici e sperimentali hanno portato una

gran parte dei fisici a considerare il paradosso EPR solo un illustre esempio di

come la meccanica quantistica contrasti in modo stridente con le esperienze

→ una misura eseguita su una parte di un sistema quantistico può propagare

istantaneamente un effetto sul risultato di un'altra misura, eseguita

successivamente su un’altra parte dello stesso sistema, indipendentementedalla distanza che separa le due parti → devono esistere variabilinascoste se si vogliono evitare "paradossali" effetti a distanza istantaneiche contraddicono località e realismo.

come la meccanica quantistica contrasti in modo stridente con le esperienze

quotidiane del mondo macroscopico (per quanto la questione non sia

assolutamente chiusa). In particolare il teorema di Bell (1964) afferma che

nessuna teoria fisica locale e deterministica a variabili nascoste può riprodurre le

predizioni della meccanica quantistica.

Bell ha dimostrato che la condizione di realismo locale impone alcunemodificazioni (restrizioni) nelle correlazioni previste dalla meccanicaquantistica tra i parametri di particelle definite entangled mentre, diconverso, previsioni in completo accordo con la teoria quantisticaimplicano la rinuncia ad almeno uno fra determinismo e località.

Tecnologie di frontiera basate su entanglement quantistico:

Crittografia quantistica: si usano particelle entangled per trasmettere segnaliche non possono essere intercettati senza lasciare traccia dell'intercettazioneavvenuta;Vedere ad esempio: Aspetti di Crittografia Moderna : http://www.clusit.it/download/Q01_web.pdf

Computazione quantistica: si usano stati quantistici intrecciati per eseguiremolti calcoli in parallelo, permettendo velocità che non si possono raggiungerecon i computer classici.con i computer classici.Vedere ad esempio: Introduzione alla Teoria dell'Informazione Quantistica :http://www.bo.imm.cnr.it/users/degliesposti/TIQ.pdf

Lezione 2 Cenni di meccanica quantistica - de.unifi.it · rinunciare ad una descrizione dettagliata...

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