Fisica Tecnica G. Grazzini L'irraggiamento - de.unifi.it · Fisica Tecnica G. Grazzini...

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Fisica Tecnica G. Grazzini

UNIVERSITA’ DI FIRENZE

Facoltà di Ingegneria

L'irraggiamento L'esperienza mostra che un sistema a temperatura maggiore di quella ambiente, anche se è circondato dal vuoto (vale a dire che non può scambiare energia per contatto con altri sistemi) tende a raffreddarsi, dimostrando così che è possibile il flusso di energia termica anche in assenza di conduzione e convezione: il meccanismo con cui tale flusso di energia ha luogo anche nel vuoto prende il nome di irraggiamento. Per spiegare il fenomeno occorre avvalersi della teoria ondulatoria elettromagnetica e della teoria dei quanti. Si ricorda che la rappresentazione sotto forma di onde permette di trattare grandezze variabili secondo leggi di tipo sinusoidale che richiedono l'uso delle seguenti variabili: - Ampiezza A; è la metà dell'escursione totale del valore della grandezza (max-min)/2 - Lunghezza d'onda λ; distanza interposta tra due valori eguali della grandezza raggiunti ed aventi la stessa derivata - Periodo θ; tempo intercorrente tra due valori eguali della grandezza raggiunti ed aventi la stessa derivata

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- Frequenza ν; quante volte nell'unità di tempo si hanno valori eguali della grandezza raggiunti ed aventi la stessa derivata - Velocità; per le onde elettromagnetiche si usa il simbolo c e si ha c = λ ν; nel vuoto abbiamo per definizione c = 299 792 458 m/s valore esatto Un corpo che si trova ad una certa temperatura irradia, sotto forma di onde elettromagnetiche di varia frequenza, una quantità di energia che, per la teoria quantistica, può essere solo un multiplo dell'energia associata al quanto corrispondente alla frequenza stessa, ossia (equazione di Einstein)

Spettro delle onde elettromagneticheSpettro delle onde elettromagnetiche

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E = h ν dove h=6,626 10

-27 erg s = 6,626 10

-34 J s

è la costante di Planck. La radiazione termica interessa la parte di spettro tra 0,1 e 200 µm; in essa rientra la banda del visibile, situata tra 0.4 e 0.7 µm. A lunghezze d’onda superiori (frequenze minori) si ha il campo dell’infrarosso, che si estende sino a circa 200 µm. Oltre tale lunghezza d’onda si ha il campo delle microonde e poi delle onde radio. A lunghezze d’onda inferiori (frequenze maggiori) è il campo dell’ultravioletto che parte da 0.1 µm. Al di sotto di tale valore inizia il campo dei raggi X.

Consideriamo ora cosa succede ad una radiazione G

quando incide su di una superficie. Una frazione "r" viene riflessa, una frazione "a" viene assorbita e se la superficie è trasparente alla radiazione, una frazione "t" viene trasmessa.

Gr G

t G

a G

Gr G

t G

a G

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Per il principio di conservazione dell'energia dovrà essere: r + a + t = 1 Un corpo si dice opaco se ha t = 0, in tal caso r + a = 1; se è nullo anche r, ossia a = 1, viene detto corpo nero. In generale r, t, a non dipendono solo dal materiale, ma dall'interazione di questo con la radiazione e quindi sono funzioni della lunghezza d'onda e dell'angolo di incidenza. La riflessione è influenzata dalle caratteristiche superficiali dell’oggetto. Se la dimensione della rugosità è grande rispetto alla lunghezza d’onda della luce incidente, la riflessione è diffusa in tutte le direzioni. In caso contrario si ha una riflessione speculare. In pratica il comportamento è intermedio tra questi due casi limite

GλλλλGλλλλ

θ θ

GλλλλGλλλλ

θ θ

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Per definizione il corpo nero ha un potere assorbente unitario (a = 1) per qualsiasi frequenza e angolo d'incidenza.

Il corpo nero non è solo un assorbente perfetto, ma è anche il corpo che ad una determinata temperatura è in grado di emettere la massima energia; esso può essere approssimato nella realtà con un foro realizzato sulla parete di una cavità mantenuta a temperatura uniforme. La radiazione entrante nel foro subisce una serie di riflessioni

multiple ed alla fine è praticamente assorbita del tutto. La radiazione uscente dal foro è indipendente dalla direzione e dipende solo dalla temperatura della cavità. L' energia irradiata per unità di tempo, di superficie e di lunghezza d'onda è chiamata emissione monocromatica o potere emissivo monocromatico o

specifico ed il grafico dei suoi valori alle varie lunghezze d'onda costituisce lo spettro di emissione del corpo considerato. Si definisce emissività ε di una superficie il rapporto tra il suo potere emissivo monocromatico e quello di un corpo nero a parità di temperatura. Pertanto un corpo nero possiede

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a = ε = 1 Sperimentalmente si ottengono spettri diversi al variare della temperatura del corpo e, solo alla fine dello scorso secolo, M. Planck riuscì a correlare il potere emissivo specifico di un corpo nero alla lunghezza d'onda ed alla temperatura introducendo la teoria dei quanti; la relazione ottenuta è detta legge di Planck.

ove h è la costante di Planck e k = 1.3805 ·10-23 J/K è la costante di Boltzman Lo spettro è caratterizzato da un massimo del potere

emissivo monocromatico che si sposta in funzione della temperatura secondo la legge di Wien che fornisce il valore della lunghezza d'onda per cui si ha il suddetto massimo λmax. T = 2898 µm K

−

=

1

2

5

2

,

Tk

hcn

e

hce

λ

λ

λ

π

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Emissioni di corpo nero

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

1.E+13

1.E+14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

λλλλ [m*E6]

e [W/m3]

6000 K

3000 K

1000 K

500 K

273 K

100 K

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0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 10 20 30 40 50

λλλλ [m*E+6]

e/eλmax

6000 K

2000 K

1000 K

500 K

300 K

273 K

100 K

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Se definiamo potere emissivo integrale q (emissione globale o potere emissivo emisferico totale) la quantità di energia irraggiata dall'unità di superficie nel-

l'unità di tempo, integrando la legge di Planck, avremo la legge di Stefan-Boltzmann che fornisce q in funzione di T

4

05

2

1

2Td

e

hcEq

Tk

hcn ⋅=

−

== ∫∞

σλ

λ

π

λ

dove σ= 5,674 10-8 W/m2K4. In un intervallo di lunghezze d’onda tra 0 e λλλλ, si

ha una frazione della potenza radiante emessa data da: Tale frazione è tabulata in funzione di λT e permette di calcolare per differenza la radiazione emessa in qualsiasi intervallo di lunghezze

d’onda.

( )TdT

e

T

deF

Tn,n,

, λσσ

λ λ λ

λ

λ

λ ∫∫

==0 54

00

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Se consideriamo la potenza irradiata in un angolo solido, possiamo definire un potere emissivo angolare : ia = dq/dΩ quindi per una sorgente puntiforme che irradia in tutto

lo spazio: ∫ Ω=π4

0

diq a

mentre una superficie estesa irradierà in un semispazio e quindi Definiamo poi l'intensità di radiazione I (intensità dell'emissione globale) come la potenza emessa per unità di superficie e di angolo solido nella

direzione dell'asse dell'angolo stesso valutata su un piano normale all'asse del-l'angolo solido; avremo: I=dq/(dΩ cosΘ)=ia/ cosΘ.

∫ Ω=π2

0

diq a

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Ovviamente possiamo definire una intensità monocromatica ed un potere emissivo angolare monocromatici riferendoci ad una banda di lunghezze d'onda infinitesima. L'energia monocromatica emessa in totale dalla superficie nel semispazio sarebbe quindi:

ricordando la definizione di angolo solido e di steradiante si ha:

e quindi:

da cui

Se l’intensità non varia con la direzione si parla di emissione diffusa, quindi, essendo Iλ costante, si può integrare l’espressione del potere emissivo ottenendo:

eλ=π Iλ Definendo poi l’intensità totale I ottenuta per integrazione su tutto lo spettro, si ha:

∫ ∫ ΩΘ=π

π

λλ

2

0

2

0cos dIe

ΦΘΘ==Ω ddsinr

dAd n

2

∫ ∫ ΦΘΘΘ=π

π

λλ

2

0

2

0cossin ddIe ∫

∞==

0λλdeEq

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q=E=π I In modo analogo si può definire l’irradianza come il flusso di energia proveniente da tutte le direzioni e incidente sull’unità di area:

su base monocromatica

su base totale [W/m2] Anche in questo caso, nel caso di radiazione diffusa, si ha Gλ=π Iλ su base monocromatica e G = π I su base totale. Per il corpo nero l'intensità I non dipende dalla direzione, ossia la radiazione del corpo nero è isotropa. Essendo pertanto I = In =ian si ha la legge di Lambert: ia=In cosΘ

accettabile con buona approssimazione anche per superfici non metalliche che sono considerabili ad emissione diffusa.

∫

∫ ∫∞

=

ΦΘΘΘ=

0

2

0

2

0

λλ

ππ

λλ

dGG

ddcossinIG

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Se introduciamo un oggetto in una cavità isoterma ed alla stessa temperatura, per la conservazione dell'energia, a regime dovranno essere eguali l'energia assorbita e quella emessa. Se l'oggetto e la cavità sono corpi neri, l'energia incidente G sarà completamente assorbita ed avremo qa= G= q. Se invece l’oggetto non è un corpo nero l'energia assorbita sarà una frazione di quella incidente ossia q'a = a G; d'altra parte il bilancio dell'energia continua ad esser valido per cui anche la potenza emessa sarà una frazione di quella irradiata dal corpo nero q'e =ε q quindi q'a = q'e ⇒ a G =ε q ⇒ a = ε

e se i coefficienti fossero funzione della lunghezza d'onda, per ciascuna di esse si potrebbe fare lo stesso ragionamento e quindi l'eguaglianza è valida indipendentemente dalla natura della superficie e da quello della temperatura di equilibrio. Questa relazione esprime la legge di Kirchoff. I corpi reali presentano notevoli variazioni del coefficiente di assorbimento alle diverse lunghezze

d'onda, per ciascuna restando valida la legge di Kirchoff con aλ = ελ < 1, per cui lo spettro di emissione della superficie è diverso da quello del corpo nero.

T

T

Gλλλλ

eλλλλ

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Torna utile allora definire una nuova superficie ideale detta corpo grigio che si differenzia dal corpo nero solo perchè possiede coefficiente di assorbimento a = < 1; quindi: I = ε In ; q = π ε In = ε σ T4 Anche per i corpi reali è utile l'idea del corpo grigio perchè si può approssimare in questo modo il loro comportamento per bande ristrette di lunghezze d'onda. Scambio di energia tra superfici piane Facciamo il caso di due pareti A e B, infinite per evitare effetti di bordo, piane e parallele separate da un mezzo perfettamente trasparente, con la temperatura TA maggiore di TB. Indichiamo con G la potenza incidente; quindi GB è la potenza che incide per unità di superficie (irradiazione specifica o radiosità di B) su A con

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coefficiente di assorbimento aA; in condizioni di regime stazionario il calore scambiato dalla superficie S di A sarà: Q = S (qA- aA GB) Per unità di superficie esprimeremo le potenze incidenti come GA = q A + (1 - a A)GB e G B = q B + (1 - a B)G A da cui essendo per la legge di Stefan-Boltzmann q A = a A T

4 A ; q B = a B T

4 B

si può ricavare q A e G B, ottenendo dato che a=ε Nel caso di corpi neri il denominatore risulta pari all'unità. È interessante notare l'effetto di uno schermo interposto tra le due pareti come in figura; supponendo di poterlo considerare un corpo grigio isotermo con

( )1

11

44

,

−+

−=

BA

BABA

TTq

εε

σ

S A B

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coefficiente di assorbimento aS=εS, dal suo bilancio energetico in condizioni stazionarie, si ricava per il calore scambiato tra le due superfici A e B: E se avessimo tutti corpi neri il flusso dimezzerebbe. Superfici cilindriche Consideriamo un cilindro B posto all'interno dell'altro come in figura; anche in questo caso assumiamo siano di lunghezza infinita e TA> TB . Le superfici affacciate sono diverse e le considerazioni svolte forniranno per il calore scambiato le due espressioni, essendo Q'=S G |Q| =|QA- aAQ'B|=|QB- aBQ'A|

( )2

211

44

,

−++

−=

SBA

BABA

TTq

εεε

σ

B

A

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Indichiamo con FA, B il rapporto tra la potenza che partendo da A raggiunge B e tutta la potenza, emessa e riflessa , che lascia A (a volte denominata radiosità), con FA, A il suo complemento a 1, ossia FA, A = 1 - FA, B, cioè la potenza che da A va su A; avremo quindi: Q'A = FA, B [ QA + (1 - aA)Q'B ]

Q'B = QB + (1 - aB)Q'A + FA, A [QA + (1 - aA) Q'B] Risolvendo il sistema composto da queste due equazioni si può ricavare Q'B, Q'A ed essendo: QA = SA aA σ TA

4 ; Q B = S B a B σ TB4

ottenere:

A

ABA

B

BBABAA

a

aF

a

TSTFSQ

)1(1

)(

,

44,

−+

−=σ

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Questa espressione si riduce al caso precedente delle superfici piane se si pone SA = SB e quindi FA, B = 1. Il rapporto FA, B può essere calcolato considerando che se TA = TB , Q deve essere uguale a zero, per cui FA, B = SB/SA indipendentemente dalla forma delle superfici e dalle loro caratteristiche. Si ottiene allora:

A

ABA

B

B

BAB

a

aF

a

a

TTSQ

)1(1

)1(

)(

,

44

−++

−−⋅

=σ

che può essere riscritta nella forma

)()1(1)1(

)( 44

,

44

BA

AA

A

BAABB

B

BA TT

aS

a

FSaS

a

TTQ −⋅⋅ℑ=

−++

−−⋅

= σσ

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Dove ciascuno dei termini al denominatore può essere interpretato come una resistenza termica; avremo quindi due resistenze dovute alle caratteristiche superficiali ed una dovuta al fattore di vista. Risulta così applicabile anche all'irraggiamento la similitudine elettrica. Il termine FA, B prende il nome di fattore di vista ed in generale, nel caso di superfici finite, è funzione della forma delle superfici e degli angoli sotto cui ognuna delle superfici vede le altre. Si considerino due superfici nere di aree A1 e A2, a temperature uniformi T1 e T2. Su di esse si individuano due elementi di area dA1 e dA2, distanti R. Siano β1 e β2 gli angoli tra R e le normali agli elementi di area e dΩ1 e dΩ2 gli angoli solidi sotto cui ciascun elemento vede l’altro. La potenza emessa su tutto lo spettro dall’elemento dA1 e incidente su dA2 è data

da: 111121Ω=→ dcosdAIdq ndAdA β

Ove In1 è l’intensità di radiazione emessa da dA1. Ricordando la definizione di angolo solido, si ha poi:

221211 coscos

21 R

dAdAEdq n

dAdA πββ

=→

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Integrando sulle superfici, si ha quindi

∫ ∫=→1 2

21 221211

A A

ndAdA

R

coscosdAdAEq

ββπ

La frazione della potenza totale emessa da A1 che incide su A2, cioè il Fattore di

vista: ∫ ∫== →

1 2

21

22121

1112,1

coscos1A A

n

dAdA

R

dAdA

AAE

qF

ββπ

dipende solo da fattori geometrici.

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Allora l’energia emessa dalla superficie 1 verso la 2 è:

Analogamente per la superficie 2 verso la 1 è:

Pertanto lo scambio termico netto tra le due superfici è:

Poiché lo scambio termico deve essere nullo quando le superfici hanno uguale

temperatura, in tal caso dev’essere:

Pertanto deve anche essere:

teorema di reciprocità dei fattori di vista.

Allora: ( ) ( )42

4121,2

42

4112,12,1 TTAFTTAFQ −=−= σσ

quindi il problema del calcolo dello scambio termico si riduce al problema

geometrico della determinazione dei fattori di vista.

221,2112,12,1 AEFAEFQ nn −=

221,212AEFQ nAA =→

2122121121 e nnn,n, EEAEFAEF ==

212121 AFAF ,, =

112,121AEFQ nAA =→

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Il risultato può essere generalizzato a N superfici formanti una cavità chiusa, per

ciascuna delle quali sarà: In tal caso dovrà essere:

PER LA CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA

I valori dei fattori di vista per

alcuni casi semplici sono

mostrati nelle figure seguenti

( )44,

1jijji

N

j

i TTAFQ −=∑=

σ

11

, =∑=

N

j

jiF

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Si dice selettiva una superficie che presenta un comportamento significativamente diverso nei diversi campi di lunghezza d’onda. Esempio classico è il vetro, che è trasparente alle radiazioni visibili e opaco a quelle infrarosse: tale comportamento origina il cosiddetto “effetto serra”. Comportamenti analoghi si hanno nell'assorbimento, praticamente tutti i materiali possono considerarsi selettivi. Particolarmente interessanti sono i rivestimenti selettivi che hanno alto assorbimento dell’energia solare (visibile) e ridotta emissione nelle elevate lunghezze d’onda caratteristiche

tλλλλ

λλλλ [µµµµm]

tλλλλ

λλλλ [µµµµm]

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dell’irraggiamento a bassa temperatura. Tali materiali sono importanti nel campo dei sistemi ad energia solare.

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Linearizzazione

Nello scambio termico tra due corpi abbiamo scritto:

)()1(1)1(

)( 44

,

44

BA

AA

A

BAABB

B

BA TT

aS

a

FSaS

a

TTQ −⋅⋅ℑ=

−++

−−⋅

= σσ

ma in molte situazioni per semplificare i calcoli si preferisce utilizzare una

relazione lineare introducendo il coefficiente di irraggiamento, imponendo cioè:

)()( 44BABAi TTTTAhQ −⋅⋅ℑ=−⋅⋅= σ da cui

)(

)( 44

BA

BAi

TTA

TTh

−⋅−⋅⋅ℑ

=σ

Fare attenzione alla trasparenza dei mezzi interposti.

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