Fisica Tecnica G. Grazzini SISTEMA … · pag. 1-27 Fisica Tecnica G. Grazzini UNIVERSITA’ DI...

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pag. 1-27

Fisica Tecnica G. Grazzini

UNIVERSITA’ DI FIRENZE

Facoltà di Ingegneria

SISTEMA TERMODINAMICOSISTEMA TERMODINAMICOSISTEMA TERMODINAMICOSISTEMA TERMODINAMICO

UNIVERSO=SISTEMA+AMBIENTEUNIVERSO=SISTEMA+AMBIENTEUNIVERSO=SISTEMA+AMBIENTEUNIVERSO=SISTEMA+AMBIENTE

SistemaSistemaSistemaSistema - ISOLATO nessuno scambio - CHIUSO scambia ENERGIA ma NON MASSA - APERTO scambia ENERGIA e MASSA Viene detto Semplice, se composto da un'unica sostanza

Per un sistema Isolato l’equilibrio è unico COORDINATE MACROSCOPICHE

COORDINATE TERMODINAMICHE , individuano stato del sistema (es. P, V, T) P e T sono definibili, per il sistema, solo all'equilibrio. Solo in questa condizione esse individuano lo stato del sistema.

sistema

ambiente

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TrasformazioniTrasformazioniTrasformazioniTrasformazioni Se la pressione interna Pi è maggiore di quella esterna Pe il Lavoro viene compiuto verso l'esterno

∆L = P·A·∆x = P∆V Se P in ogni istante è del sistema, allora dL = P·dV e quindi:

∫=2

1

PdVL

Le trasformazioni possono venir rappresentate su di un diagramma termodinamico; se reversibili allora il diagramma riporta solo punti di equilibrio, indifferenti alla direzione di evoluzione. L’area nel diagramma P-V rappresenta il lavoro scambiato. Le trasformazioni si dicono aperte se il punto iniziale e finale sono diversi, altrimenti sono dette chiuse o cicliche

∫=2_1

PdVL

Pi

1=2

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Consideriamo un sistema definito nei suoi costituenti e con massa determinata e costante durante tutte le operazioni eseguite sul sistema; sistema cioè CHIUSO Tutte le coordinate termodinamiche siano controllate. Operando trasformazioni cicliche, il calore Q ed il lavoro L scambiati tra sistema e ambiente sono tra loro proporzionali.

Per sistema chiuso e ciclico Q

LA=

A dipende solo dalle unità di misura utilizzate per Q ed L. Nel S.I. A = 1 Per convenzione si assumono L > 0 se Fornito dal sistema Q > 0 se Fornito al sistema Esperienze particolarmente importanti per la verifica del risultato esposto furono quelle di J.P. Joule negli anni 1840 - 1848

RISULTATO

SPERIMENTALE

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R. Clausius nel 1850 enuncia come I° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA il risultato suddetto Se scambi termici Q e di lavoro L avvengono con continuità durante tutto il ciclo, allora

potremo scrivere ∫= QQ δ e ∫= LL δ

e quindi ( ) 0=−∫ LAQ δδ ; dal punto di vista matematico si può allora dire che la quantità integranda è un differenziale esatto e che esiste

una funzione potenziale U tale che: LAQdU δδ −= La funzione potenziale dipende solo dagli stati iniziali e finali, indipendentemente dal cammino percorso per raggiungerli

E' perciò una FUNZIONE DI E' perciò una FUNZIONE DI E' perciò una FUNZIONE DI E' perciò una FUNZIONE DI STATOSTATOSTATOSTATO

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Se non c’è scambio di calore allora la Trasformazione Trasformazione Trasformazione Trasformazione è adiabaticaadiabaticaadiabaticaadiabatica

dULA =− δ . In meccanica : pdEL =δ

di conseguenza anche dU è energia che per essere riferita al solo sistema chiamiamo Energia

Interna Se invece dUQL =⇒= δδ 0 Di conseguenza possiamo dire che Q ed L sono due modi di interazione, di scambio di energia. Per una trasformazione aperta , essendo Q ed L il calore e il lavoro effettivamente scambiati,

avremo Q AL U− = ∆ AdditivitàAdditivitàAdditivitàAdditività

L'energia interna di un sistema è uguale alla somma delle energie interne delle parti in cui lo si può immaginare diviso

Sistema isolato diviso in due ∆U = 0 ; Q AL U1 1 1− = ∆ Q AL U2 2 2− = ∆ Q Q1 2= − L L1 2= − sommando : ∆ ∆ ∆U U U1 2 0+ = = U è una GRANDEZZA ESTENSIVA in quanto gode della proprietà additiva

P e T invece sono INTENSIVE, non si può ottenere P o T del sistema come somma di quelle di suoi sottosistemi

↑ TRATTAZIONE GENERALE ↑

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Se P , U , T , sono coordinate termodinamiche, per trasformazioni reversibili avremo assenza di attriti, equilibrio delle pressioni e temperature interne ed esterne, quindi potremo scrivere

∫ ∫== PdvmPdVL

oppure mPdvL =δ Dunque per un sistema a composizione chimica costante, senza fenomeni

elettromagnetici o di superficie e trasformazioni reversibili abbiamo:

AmPdvdUQ +=δ e potremo scrivere nel S.I., per l'additività di U :

Pdvduq +=δ dove i simboli in lettere minuscole stanno ad indicare che le grandezze sono riferite all'unità di massa Definiamo fluidi termodinamici quei sistemi il cui stato, se fermi in un determinato

riferimento spazio-tempo, è individuato da due sole variabili della terna P v T

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Se una funzione ( )yxF ; ammette DIFFERENZIALE ESATTO allora si può scrivere

dyy

Fdx

x

FdF

xy

∂∂

+

∂∂

= dove x ed y sono le due variabili da cui dipende F.

Se consideriamo l’energia interna funzione di v e T, allora U v T( , ) e quindi per unità di

massa dT

T

udv

v

udu

vT

∂∂

+

∂∂

=

Avendo introdotto m

Cc =

, ∆ ∆Q C T= e quindi T

q

Tm

Qc

∆∆

=∆

∆= da cui

passando al limite per ∆T tendente a zero, avremo dT

qc

δ=

Essendo Pdvduq +=δ potremo scrivere una espressione generale del calore specifico:

vv

Tv T

uc

dT

dvP

v

u

T

uc

∂∂

=⇒

+

∂∂

+

∂∂

= se a volume costante

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INTERPRETAZIONE U E T CON TEORIE MICROSCOPICHEINTERPRETAZIONE U E T CON TEORIE MICROSCOPICHEINTERPRETAZIONE U E T CON TEORIE MICROSCOPICHEINTERPRETAZIONE U E T CON TEORIE MICROSCOPICHE è solo una particolare teoria, non più “vera” della macroscopica fin qui usata. Il cosiddetto “equivalente meccanico della caloria”, non è altro che un fattore di passaggio dal sistema di misura tecnica a quello internazionale: 1 kcal = 4,187 kJ1 kcal = 4,187 kJ1 kcal = 4,187 kJ1 kcal = 4,187 kJ

ricordiamo che nel S.I., A=1

ESPRESSIONE GENERALE I° PRINCIPIOESPRESSIONE GENERALE I° PRINCIPIOESPRESSIONE GENERALE I° PRINCIPIOESPRESSIONE GENERALE I° PRINCIPIO Se consideriamo un sistema in moto nello spazio lo scambio di energia ∆E, sotto forma di lavoro e calore modificherà sia l’energia interna che l’energia cinetica e potenziale del sistema. Il primo principio si scriverà quindi come:

∆E = ∆Ec + ∆Ep +∆U

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I° principio nega perpetuum mobile Iª specie = Generazione dell' Energia.

II° principio nega perpetuum mobile IIª specie = trasformazione completa di calore in lavoro

Sorgente: sistema termodinamico che cede o assorbe calore senza modificare la propria T.

Enunciati del secondo principio della termodinamica.

Kelvin - Planck: E’ impossibile che l’unico risultato di una trasformazione sia ottenere lavoro

da calore sottratto da UNA sola sorgente.

Clausius: E’ impossibile che l’unico risultato di una trasformazione sia portare Q da T2 a T1 con T2<T1

Necessità cicli per produzione localizzata di energia meccanica - Per trasformazioni aperte è possibile anche ottenere L>Q, a spese ad esempio dell’energia interna. Il risultato non è unico.

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Compiendo due serie di cicli interi m ed n, potremo sempre ammettere che le due macchine della figura sottostante assorbano lo stesso calore Q1 dalla sorgente a temperatura T1. Se una è reversibile, invertendola avremo che per l'enunciato di K - P per il sistema globale dovrà essere LN - LR ≤ 0 altrimenti si otterrebbe lavoro prelevando calore da una sola sorgente alla temperatura T2, dato che l’altra assorbe e cede lo stesso calore Q1, con bilancio nullo.

Definito

= oe_economiccoefficentefficienza

rendimentoQ

Lε

potremo scrivere

NRRN

Q

L

Q

Lεε ≥⇒≤− 0

Se ambedue le macchine sono reversibili si avrà L LN R= e quindi ε εR N= da cui segue

che l’efficienza εR della macchina reversibile è la max possibile. Questo è conosciuto come Teorema di Carnot

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εR f≠ (tipo fluido, ciclo, ecc.) quindi ( )21,TTfR =ε soltanto. Poiché usando il primo principio per una macchina ciclica possiamo scrivere L=Q1-QR , allora

εRRQ

Q= −1

1 perciò, scegliendo Q come grandezza termometrica avremo

[ ]3

16.273Q

QKT =

In conseguenza della definizione della scala di temperature nel S.I.

otterremo εRT

T= −1 2

1 Potremo allora scrivere le relazioni del teorema di Carnot come:

ε εN R− < 0 cioè 1 1 02

1

2

1

− − + <Q

Q

T

T da cui Q

T

Q

T

1

1

2

2

0− <

Per una trasformazione IRREVERSIBILE avremo perciò Q

T

Q

T

2

2

1

1

> ovvero Q

T

Q

T

2

2

1

1

= + σ

dove σ rappresenta la traccia termodinamica sull'ambiente Poiché per le macchine cicliche lo stato termodinamico finale=iniziale, solo l’ambiente registra l’irreversibilità.

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Se supponiamo che una trasformazione continua e ciclica sia composta da infinite macchine con scambi infinitesimi δQi con infinite sorgenti alle temperature Ti, potremo scrivere

(Clausius) ∫ < 0i

i

T

Qδ o ∫ =

R i

i

T

Q0

δ quest’ultima comporta l’esistenza funzione

potenziale dSQ

T=

δ e quindi di un differenziale esatto. Di conseguenza si ha la dipendenza

solo da stati iniziali e finali. Si chiama S entropia, definita

per trasformazioni REVERSIBILI ed è una funzione di stato. Considerando una trasformazione ciclica tra due punti A e B, composta di una trasformazione reversibile ed una irreversibile

00 <+⇒<∫ ∫∫A

BR

B

AIT

Q

T

Q

T

Q δδδ invertendo la trasforma-

zione reversibile e poi passando agli infinitesimi si ha

∫∫∫ >−⇒>B

AI

AB

B

AI

B

ART

QSS

T

Q

T

Q δδδ quindi I

IR

dST

QdS

T

QdS +=⇒

>δδ

di conseguenza per un sistema isolato, essendo δQ = 0 , è dS ≥ 0

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EQUIVALENZA dei due ENUNCIATIEQUIVALENZA dei due ENUNCIATIEQUIVALENZA dei due ENUNCIATIEQUIVALENZA dei due ENUNCIATI Kelvin - Plank non vero permette ottenere L da Q2 da sorgente a T2 cedendo L come calore Q a T1 > T2. Di conseguenza l’enunciato di Clausius non vero Clausius non vero permette trasferire Q2 da T2 a T1 con T1 > T2. Ma una macchina può sottrarre Q2 da T1 fornendo lavoro L e cedendo Q a T2; per sorgente a T1 bilancio termico = 0 Quindi si avrebbe produzione di lavoro L usando solo T2. Di conseguenza l’enunciato di Kelvin - Plank non vero

Consideriamo due macchine reversibili che lavorano tra due sorgenti con T T1 2> ed una

terza a T0 minore. Avremo 1

01T

T−=ε

e 2

01'T

T−=ε

quindi: Q

L

Q

L '' >⇒> εε

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Se esprimiamo la differenza tra le quantità di lavoro ottenute prelevando la stessa quantità di calore Q, possiamo vedere che essa è pari al prodotto della temperatura T0 della sorgente al livello inferiore per la variazione di entropia che si avrebbe nel passaggio della stessa quantità di energia termica Q dalla sorgente a temperatura T1 a quella a T2, in assenza delle due macchine. In altre parole, se una energia termica Q passa ad una temperatura più bassa, perdiamo la possibilità di ottenere del lavoro; Q si degrada.

STT

Q

T

QT

T

T

T

TQQQLL ∆=

−=

−−

−=−=− 0

120

2

0

1

0 11'' εε

0

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Variazione di entropia per due sorgenti con T1 > T2 dovuta ad un trasferimento di energia termica

Q, con differenza ∆T = T1 - T2, ambedue costanti ed unitari.

=

−=∆

12

11

TTQS

=⋅

=+

Q T

T T

Q T

T T T

∆ ∆∆1 2 2

22

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EQUAZIONE DI CONTINUITÀEQUAZIONE DI CONTINUITÀEQUAZIONE DI CONTINUITÀEQUAZIONE DI CONTINUITÀ o di conservazione della massa. Consideriamo un volume di controllo V, cioè un volume scelto opportunamente per analizzare il nostro fenomeno. Supponiamo che al tempo τ0 entri la massa ∆m1 . Al tempo τ0 +∆τ esca la massa ∆m2 . Potremo esprimere la massa totale mst per ciascun tempo:

1

0

mdVmV

st ∆+

= ∫

τ

ρ ;

2

0

mdVmV

st ∆+

=

∆+∫

ττ

ρ

dove ρ è la densità del volumetto dV. Poiché la massa si conserva avremo per i due momenti mst = mst e quindi

21

00

mmdVdVVV

∆−∆=

−

∫∫

∆+ τττ

ρρ

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Dividendo per l’intervallo di tempo ∆τ e passando al limite per ∆τ che tende a 0

ττρ

τ d

dm

d

dmdV

d

d

V

21 −=

∫

Definiamo la portata in massa G

dm

dw S1

11 1 1= =

τρ

con la densità ρ e la velocità W

costanti sulla superficie S ed analogamente G2 ; potremo quindi scrivere:

0111222 =−+

∫ SwSwdV

d

d

V

ρρρτ

REGIME STAZIONARIO (o permanente): le grandezze restano costanti nel tempo, perciò d

dτ= 0 , G1 = G2 = G quindi anche la portata in volume è costante se ρ costante

(valido in prima approssimazione per i liquidi ed in qualche caso anche per gas).

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Q

L

SISTEMA APERTO IN REGIME PERMANENTE percorso SISTEMA APERTO IN REGIME PERMANENTE percorso SISTEMA APERTO IN REGIME PERMANENTE percorso SISTEMA APERTO IN REGIME PERMANENTE percorso

da un fluido termodinamicoda un fluido termodinamicoda un fluido termodinamicoda un fluido termodinamico Prendiamo un volume di controllo e consideriamo un sistema chiuso, deformabile che si sposta nel volume dalla posizione 1 alla 2. Per il I° principio nella sua forma generale:

'ALQUEE pc +=∆+∆+∆

ed esprimendo le variazioni delle varie forme di energia:

A(E'C2 + E'P2) - A(E'C1 + E'P1) + U'2 -

U'1 = Q - AL'

considerando ogni termine come dato dall’energia relativa a due sottosistemi (additività)

E'C = ESC + EC ; E'P = ESP + EP ; U' = US + U scriveremo

A(ESC2 + EC2 + ESP2 + EP2- ESC1 - EC1 - ESP1 - EP1) + U2 + US2 - U1 - US1 = Q – AL’ Considerando il lavoro come fornito attraverso le pareti del volume e le sezioni 1 e 2, avremo:L' = L + L0 L0 = +L2 - L1 = P2A2∆x2 - P1A1∆x1 = P2V2 - P1V1

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Essendo però le condizioni stazionarie, avremo l’uguaglianza dei termini:

ESC2 = ESC1 ; ESP2 = ESP1 e US2 = US1 quindi:

A(EC2 + EP2 - EC1 - EP1)+ U2 - U1 = Q - A(L + P2V2 - P1V1) e riordinando:

A(EC2 + EP2 + P2V2) + U2 + AL = Q + A(EC1 + EP1 + P1V1) + U1

introducendo ora le espressioni dell’energia cinetica e potenziale 2

2wmEC = ; mgzEP =

e le grandezze spec. V = mv ; U = mu con le

e dividendo poi per il tempo τ necessario per passare da 1 a 2, si ottiene

111

111

21

222

222

22

22u

mmvPgz

wA

QALu

mmvPgz

wA

ττττττ+

+++=++

++

espressione generale estendibile a più ingressi ed uscite Quando abbiamo un solo ingresso ed una uscita, in condizioni di regime permanente,

ττ21 mm

= .

IPOTESI di uniformità nella sezione per Velocità ; densità; grandezze termodinamiche

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Per unità di portata in massa si ha perciò:

quvPgzw

AAluvPgzw

A ++

++=++

++ 1111

21

2222

22

22

ed introducendo l’entalpia APvuih

APVUIH

+=⇒+= ,

considerato che nel S.I., A = 1 otteniamo:

( ) lqii

hh

zzgww

−=−−

+−+−

12

12

12

21

22

2

I (o H) funzione entalpia, dipende da U e V, oltre che P, che dipendono dallo stato del sistema, quindi anch’essa è una funzione di stato. Poiché U e V godono della proprietà additiva, anche I ne gode e possiamo riferirla all’unità di massa.

Differenziando di = du + Pdv + vdP per trasformazioni reversibili è δl = Pdv

quindi du = δq - δl = δq - Pdv da cui di = δq + vdP

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Essendo l'entalpia funzione di stato, allora il suo differenziale sarà esatto, e per un fluido termodinamico, assumendo che essa sia funzione di P e T, i(P,T), avremo:

dPP

idT

T

idi

TP

∂∂

+

∂∂

=

sarà vdPqdi += δ e ricordando la definizione di calore specifico dT

qc

δ=

avremo:

dT

dPv

P

i

T

ic

TP

−

∂∂

+

∂∂

= ottenendo

P

PT

ic

∂∂

= per trasf. a P costante

che fa coppia con v

vT

uc

∂∂

=che avevamo ottenuto con l’energia interna

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Dalla si ottiene per alcune apparecchiature, quando si possono trascurare i termini legati ad alcune variazioni di energia, delle relazioni semplificate: sistemi per scambio caloresistemi per scambio caloresistemi per scambio caloresistemi per scambio calore

(caldaie, scambiatori, condensatori, etc.) sistemi per scambio energia meccanicasistemi per scambio energia meccanicasistemi per scambio energia meccanicasistemi per scambio energia meccanica

(pompe, compressori, turbine, etc.) riduttori di pressioneriduttori di pressioneriduttori di pressioneriduttori di pressione

(valvole, ugelli)

Mai dimenticare tutte le ipotesi fatte per ottenere Mai dimenticare tutte le ipotesi fatte per ottenere Mai dimenticare tutte le ipotesi fatte per ottenere Mai dimenticare tutte le ipotesi fatte per ottenere

queste espqueste espqueste espqueste espressioni !ressioni !ressioni !ressioni ! ipotesi introdotte per ricavare l’espressione del primo principio per un sistema aperto in condizioni stazionarie e poi per semplificarne l’espressione.

12 iiq −=

21 iil −=

( )2121

22

12

2 iiww

ii

−+=

=

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II° PRINCIPIO E SISTEMA APERTO II° PRINCIPIO E SISTEMA APERTO II° PRINCIPIO E SISTEMA APERTO II° PRINCIPIO E SISTEMA APERTO Consideriamo un VOLUME DI CONTROLLO V, come nel caso dell’equazione di continuità scriveremo a due diversi istanti

ττ ρ

+∆= ∫

V

ii sdVmsS

'

'

ττ ρ

+∆= ∫

V

oo sdVmsS con τττ ∆+='

II° PRINCIPIO ci permette di scrivere I

j

jS

T

QSS ∆+=− ∑ττ ' e sostituendo le

espressioni precedenti, dividendo per ∆τ e passando al limite, si ottiene:

ττ

δρ

τ d

dS

dT

QsdVGsGs I

j

j

V

iioo +=

∂∂

+− ∑∫

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In condizioni stazionarie, con due sole sezioni 1 in ingresso e 2 in uscita, per unità di portata in

massa si potrà scrivere: ( ) ∑ =++−− 012 I

j

js

T

qss

Moltiplicando per la temperatura T0, minore tra quelle delle sorgenti con cui scambia il

sistema, e sommando l'espressione precedente con quella del I° principio, si ottiene:

( ) 012 0

010201212

21

22 =++

−++−−+−+

−∑ I

j

j sTlT

TqsTsThhzzg

ww

avendo assunto che qq j =∑ Introducendo l’ EXERGIA, definita come sThe 0−=

( ) I

j

j sTzzgww

eeT

Tql 021

22

21

210

21 −−+

−+−+

−= ∑

exergia grandezza estensiva dipendente dallo stato di 2 sistemiexergia grandezza estensiva dipendente dallo stato di 2 sistemiexergia grandezza estensiva dipendente dallo stato di 2 sistemiexergia grandezza estensiva dipendente dallo stato di 2 sistemi EXERGIA CALORE = Fattore di Carnot*Q Inglobando I° e II° principio la relazione esprime l'eguaglianza dal punto di vista del lavoro, vale a dire dell'energia di massima qualità.

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Efficienza, rendimentoEfficienza, rendimentoEfficienza, rendimentoEfficienza, rendimento: rapporto tra grandezze dello stesso tipo

Leva ε =L

L

ottenuto

speso

Caldaia ε =Q

Q

ottenuto

speso

I° principio afferma l’equivalenza tra lavoro e calore, quindi per un

Motore ε =L

Q

ottenuto

speso

e per una macchina ideale reversibile εcL

Q

T

T= = −1 0

Rendimento termodinamicoRendimento termodinamicoRendimento termodinamicoRendimento termodinamico : rapporto tra ciò che si ottiene ed il massimo ottenibile

c

ottenutoII

L

L

εε

η ==omax_teoric

e per un SISTEMA APERTO ηII

ottenutae

e=

spesa

Exergia permette di tener conto delle irreversibilità Diversi tipi di rendimento = parametri di valutazione

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Relazioni tra coefficientiRelazioni tra coefficientiRelazioni tra coefficientiRelazioni tra coefficienti E’ importante conoscere le relazioni esistenti tra grandezze termodinamiche e parametri fisici che caratterizzano il comportamento dei corpi. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE CUBICA A P COSTANTE è dato da:

PT

v

v

∂∂

=1

α quindi per corpi isotropi la dilatazione lineare è = α / 3

gas ≅ 10-3 K-1 liquidi ≅ 10-4 K-1 solidi ≅ 10-5 K-1

COEFFICIENTE DI TENSIONE A V COSTANTE è dato da: v

T

P

P

∂∂

=1

β

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COEFFICENTE COMPRIMIBILITÀ ISOTERMA è dato da: TP

v

v

∂∂

−=1

χ

1

χ= E Modulo Young o di elasticità isoterma Metalli E ≅ 1011 N/m2

Per un fluido termodinamico esisterà una equazione di stato che lega la coordinate termodinamiche P, v, T, cioè F(P, v, T) = 0 , quindi si può scrivere

1−=

∂∂

∂∂

∂∂

vPTP

T

T

v

v

P

che, con le definizioni date, fornisce αβχ

= P

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