Fisica Tecnica G. Grazzini SCAMBIO TERMICO PER CONVEZIONE · Fisica Tecnica G. Grazzini...

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Fisica Tecnica G. Grazzini

UNIVERSITA’ DI FIRENZE

Facoltà di Ingegneria

SCAMBIO TERMICO PER CONVEZIONE

La trasmissione del calore per convezione si ha quando al meccanismo di scambio proprio

della conduzione si sovrappone un trasporto di energia interna da un punto all'altro del

sistema, dovuto al fatto che i volumi elementari costituenti il mezzo continuo sono dotati

di moto relativo l'uno rispetto all'altro. Ci occuperemo della convezione tra una superficie

solida ed un fluido, anche se in generale la convezione può avvenire anche tra un liquido

ed un gas o tra due liquidi immiscibili.

Anche se il fluido è in movimento, a contatto con la parete si ha sempre uno straterello

di fluido con velocità nulla, pertanto la quantità di calore scambiata tra la parete ed il

fluido potrebbe essere valutata con la relazione che esprime lo scambio attraverso tale

straterello:

dQ = - k (∂T/∂n)p dS

dove n e' il versore normale alla superficie ed il gradiente deve essere valutato sulla

parete.

In pratica però si impiega la relazione

dQ = h (Tp- Tf) dS

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detta legge di Newton, che non ha valore di legge fisica, ma definisce il coefficiente h di

convezione. Questo risulta pertanto dipendere non solo dalla natura del fluido, ma anche

dalle particolari condizioni del sistema (geometria del sistema, regime del moto, ecc.).

Il valore da assegnare ad h deve essere determinato caso per caso per via analitica o

sperimentale; bisogna notare che il valore di h dipenderà anche dal criterio di scelta della

temperatura del fluido Tf che dovrà essere precisato.

Per la temperatura di riferimento Tf nel caso dei fluidi limitati da una sola parete si

assume la temperatura del fluido nella zona indisturbata, al di fuori dello strato limite;

nella convezione entro condotti, assumere la temperatura del fluido sull'asse del condotto,

è una scelta semplicistica priva di fondamento fisico. Si potrebbe definire una temperatura

media Tf su di una sezione A come:

∫=A

f TdAA

T1

In questo caso occorrerebbe conoscere il profilo di temperatura, ma non

si terrebbe conto però della distribuzione delle velocità.

Fisicamente più corretta è la scelta di una Tf ponderata i cui pesi sono dati dalle singole

portate dei vari filetti di corrente con velocità v

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∫

∫=

A

p

A

p

fdAvc

dAvTc

T)(

)(

ρ

ρ

detta anche temperatura di mescolamento adiabatico.

Il valore del coefficiente h è determinabile per via analitica soltanto se si può valutare

la distribuzione della temperatura nel mezzo e quindi il valore del gradiente di temperatura

alla parete, infatti eguagliando le espressioni dello scambio termico già viste si ha

h (Tp- Tf) = - k(dT/dn)p A)

In questo caso occorre quindi risolvere l'equazione generale del trasporto di energia nel

fluido.

L'integrazione di quest'ultima equazione, richiede la conoscenza della distribuzione

della velocità, ottenibile attraverso la soluzione dell'equazione di continuità,

dell'equazione del moto e dell'equazione di stato che esprime la dipendenza della densità

del mezzo dalla pressione e dalla temperatura. Anche per un fluido incomprimibile, per

cui la densità dipende solo dalla temperatura, non si può in generale trascurare questa

dipendenza, dato che, in presenza di un campo gravitazionale, od in generale di un campo

di forze, si hanno delle forze di galleggiamento, dette spinta di Archimede.

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La dipendenza della densità dalla temperatura si esprime tramite il coefficiente di

dilatazione termica ß definito da:

ß = (∂∂∂∂v/∂∂∂∂T)p /v=- (∂∂∂∂ρ/∂∂∂∂T)p / ρ che può essere approssimato sostituendo

le derivate con il rapporto incrementale, ottenendo: ρ = ρ 0 [1 + ß ( T0 - T)]

Nell'equazione del moto si dovrà tener conto della variazione della densità con la

temperatura; se il moto avviene esclusivamente a causa di gradienti di temperatura si parla

di convezione naturale.

Quando il moto del fluido avviene principalmente a causa di fattori esterni al fenomeno

di scambio termico (pompe, ventilatori, differenze di livello, ecc.) si dice che la

convezione è forzata. E` evidente che convezione forzata pura in effetti non si ha mai,

infatti dovrebbe essere ß = 0, ma quando le forze di galleggiamento possono essere

trascurate rispetto alle altre forze in gioco è utile porre ß = 0.

Convezione forzata e convezione naturale sono le due condizioni estreme in cui e' spesso

utile analizzare i fenomeni per poter ottenere importanti semplificazioni analitiche.

Lo studio della trasmissione del calore per convezione è uno dei campi in cui risulta

quasi indispensabile l'indagine sperimentale viste le enormi difficoltà analitiche che si

frappongono alla soluzione delle equazioni costitutive anche con l'utilizzo di metodi

numerici.

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Analisi dimensionale dell'equazione del trasporto energetico

Per dare un carattere più generale al singolo caso preso in esame sperimentalmente,

occorre procedere ad una adimensionalizzazione delle equazioni in modo da definire

coefficienti che non dipendono dalle unità di misura ma che comprendano le

caratteristiche geometriche e di moto del sistema, rendendo quindi la soluzione valida per

ogni altro sistema geometricamente e dinamicamente simile.

Dalla relazione A) scelta una lunghezza di riferimento L si può scrivere:

Nu = L h/k =(dT/dn)p L/(Tp- Tf)

che definisce il numero puro Nu (Nusselt).

Analogamente si può procedere adimensionalizzando le equazioni dell'energia,

introducendo delle variabili senza dimensioni, ad esempio w/W, e rielaborando le equa-

zioni sostituendo tali variabili.

Si può anche utilizzare l'analisi dimensionale col teorema di Buckingham, individuate le

variabili che caratterizzano il sistema, dato che si può scrivere ad esempio per un canale:

( ).....,......),,,,( ⋅⋅⋅⋅== ∑ iiii dcba

i i DwBDwfh ρµµρβ

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si impone che la relazione sia dimensionalmente omogenea e quindi si determinano i

valori degli esponenti.

Oltre al numero di Nusselt si ottengono così il già conosciuto numero di Reynolds:

νµρ wDwD

Re ==, il numero di Prandtl

ed il numero di Grashoff .

Pertanto si vede che per situazioni geometricamente simili e per condizioni al contorno

della stessa specie, si ottengono delle soluzioni particolari che risultano uguali tra loro se

ciascuno dei numeri puri così definiti assume lo stesso valore nei diversi sistemi: ciò

significa che in questi casi i profili di temperatura adimensionali risultano

geometricamente simili, la similitudine diventa termofisica.

In generale scriveremo, scegliendo una relazione interpolante per i dati sperimentali del

tipo semplificato:

Nu = C · Rea · Grb · Prc

ανµ

==k

cPr

p

( )2

23

µ

ρβ ∞−=

TTgDGr

p

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Determinati sperimentalmente il coefficiente e gli esponenti di questa funzione è quindi

possibile calcolare il valore del coefficiente di convezione h per situazioni fisicamente

simili; potremo quindi eseguire misure su modelli ed estenderne la validità a situazioni

reali.

Interpretazione fisica dei coefficienti adimensionali

Analizziamo come si può interpretare fisicamente la similitudine di due sistemi.

Similitudine cinematica: le linee di corrente dei due sistemi sono geometricamente

simili. Implica la similitudine geometrica dei contorni ed assicura che sono simili i due

campi di velocità.

Similitudine dinamica: le forze della stessa specie applicate a qualsiasi coppia di punti

corrispondenti nei due sistemi agiscono su direzioni parallele e stanno tra loro in un

rapporto costante indipendente dalla natura delle forze.

Su di una particella in movimento entro una massa non isoterma di fluido fisicamente e

chimicamente omogeneo, trascurando gli eventuali gradienti di pressione o di campi

imposti dall'esterno, agiscono le seguenti forze:

- d'inerzia (fi)

- di attrito viscoso (fa)

- di galleggiamento (fg).

Nei due sistemi simili A e B dovrà pertanto essere verificato

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(fi)A/(fi)B = (fa)A/(fa)B (fg)A/(fg)B = (fa)A/(fa)B B)

Facendo una valutazione fenomenologica, riferendosi ad una forza per unità di

superficie F/S, si possono scrivere le seguenti relazioni di proporzionalità:

fi ≈ρ w2 ; fa ≈µw/L ; fg ≈ρgβL(Tp-Tf)

per cui nei due sistemi deve assumere lo stesso valore il raggruppamento adimensionale

fi/fa ~ (ρ w2)/ (µw/L) = Re

per cui si vede che Re è collegato al rapporto tra le forze d'inerzia e quelle d'attrito.

Le forze di galleggiamento saranno legate a ß, e dovremo avere una proporzione tra le

forze di galleggiamento; d'altronde dovrà valere ancora la relazione precedente, quindi

l'uguaglianza di Re nei due sistemi.

La contemporanea validità delle B) implica che si possa scrivere:

(fi * fg)/fa2 ~ ρ2 gβL3 (Tp-Tf)]/ µ

2= Gr

si ottiene il nuovo raggruppamento adimensionale Gr (Grashoff) in cui non compare più w

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Abbiamo inoltre:

(fg)A/(fg)B = (fi)A/(fi)B e quindi

22

2

2 Re

Gr

f

f

f

ff

f

f

i

a

a

ig

i

g =⋅⋅

= pertanto se Gr<<Re2 le fg sono trascurabili

rispetto alle fi, per cui si ha praticamente convenzione forzata, se Gr≈Re² siamo in

convezione mista, infine se Gr>>Re2 si ha predominanza delle fg e la convezione è

naturale.

Similitudine energetica: vuol dire che nei due sistemi A e B dovranno essere simili

anche le distribuzioni di temperatura.

Si può vedere, tramite l'equazione dell'energia, che il trasporto di calore è legato al

trasporto di quantità di moto (q.m.), cioè di masse che hanno una determinata velocità.

Quindi perché sia verificata anche la similitudine energetica dovrà essere

[ (trasporto q.m.)A / (trasporto q.m.)B] ≈ [ (trasporto calore)A / (trasporto calore)B]

Pertanto Pr

BA

==αν

αν

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Il numero Prandtl rappresenta quindi il rapporto tra la disponibilità del fluido a

trasportare quantità di moto e quello a trasportare calore e dipende esclusivamente dalla

natura del mezzo e dal suo stato fisico.

Stabilito che due sistemi geometricamente simili sono anche energeticamente simili

quando per entrambi si hanno gli stessi valori di Re, Gr, Pr, ne segue che anche il

gradiente della temperatura, reso adimensionale, e quindi il numero di Nusselt deve essere

funzione di tali numeri puri

Nu = f (Re, Gr, Pr)

Vediamo quale può essere il significato fisico di Nu. Immaginiamo uno strato piano di

fluido stagnante aderente alla parete avente uno spessore s, una conducibilità termica k e

temperatura Tf e T

p alla parete. Come visto nella A) quindi Nu rappresenta il rapporto tra il

calore che si scambia effettivamente per convezione e quello che si scambierebbe per

conduzione attraverso uno strato di fluido stagnante di spessore s, a parità di differenza di

temperatura.

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Moto interno ed esterno

Bisogna anche distinguere tra flussi interni che si svolgono entro un condotto confinato e

flussi esterni, nei quali una superficie è lambita da un fluido che si muove in uno spazio

virtualmente illimitato.

Una distinzione fondamentale è quella tra moto turbolento e moto laminare: in moto

turbolento lo scambio termico interno al fluido è fortemente intensificato dalle fluttuazioni

di velocità.

La definizione del numero di Reynolds è diversa per i moti interni

ed esterni, dove x è la distanza dall'inizio della superficie considerata.

Corrispondentemente variano anche i valori limiti delle transizioni: se per i condotti il

moto è laminare per Re < 2300 e turbolento per Re > 3500, nel caso di una lastra piana

si ha transizione per Re = 5·105.

νDu

Re m=

νxu

Re ∞=

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Strato limite termico

Dalla descrizione del meccanismo del trasporto di energia per convezione ci si

accorge che hanno grande importanza sia la conduzione che il trasporto di materia. Poiché

la conducibilità termica dei fluidi, tranne che per i metalli liquidi è abbastanza piccola, la

velocità del trasporto di energia dipende principalmente dal moto di mescolamento del

fluido. Di conseguenza, per trasmettere una certa potenza termica per convezione

attraverso un fluido, è richiesto un gradiente di temperatura più grande in una regione a

bassa velocità rispetto a quello necessario in una regione ad alta velocità. Quindi in

corrispondenza dello strato limite dinamico si viene a generare anche uno strato limite

termico. Nello strato di fluido aderente alla parete il calore può fluire soltanto per

conduzione, conseguentemente in questo strato si ha di solito una brusca caduta di

temperatura; allontanandosi dalla parete, il movimento del fluido facilita il trasporto di

energia ed il gradiente di temperatura sarà meno ripido, annullandosi infine nella corrente

principale. Convenzionalmente lo strato limite termico è definito dalla temperatura T tale

che:

Convezione forzata

Nel caso della convezione forzata trascurando le forze di galleggiamento avremo

Nu = f (Re, Pr) e quindi Nu = C Rea Prc

( )( ) 990.

TT

TT

p

p =−

−

∞

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In particolare se il moto è laminare stazionario a = c per cui Nu è funzione del prodotto

Re Pr = Pe (numero di Peclet).

Nei casi più semplici è possibile determinare C, a, c analiticamente, altrimenti occorre

procedere sperimentalmente.

Condizioni

al contorno

T

Tp

Tf

x

Tp

Tf

x

T

Temperatura parete costante Flusso termico a parete costante

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Valori Nu moto laminare CONDIZIONI AL CONTORNO

(parete)

SEZIONE DEL

CONDOTTO

Flusso costante Temperatura costante

Circolare 4.36 3.66

Quadrata a=b 3.63 2.98

Rettangolare a=1.4 b 3.78 -

Rettangolare a=2 b 4.11 3.40

Rettangolare a=3 b 4.77 -



Rettangolare a=∞ 8.24 7.54

Rett. a=∞ 1 lato adiabatico 5.38 4.86

Triangolare equilatera 3.00 2.35

Sezione di ingresso

Nel momento in cui il fluido entra in un condotto sia la velocità che la temperatura hanno

valori definiti molto diversi da quelli della parete, si presentano perciò dei gradienti di

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temperatura e velocità tendenti all'infinito all'imbocco, con la tendenza a stabilizzarsi man

mano che il fluido entra nel condotto. Essi sono importanti se x/D<50

x/D

hx/h∞

w

δ

Distribuzione velocità

T

δt

Distribuzione

temperatura in

raffreddamento

Tp<T

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Ingresso: Dinamico e Termico oppure Termico

Campo Regime Nu = C* Rea *Prb

Re ing.

dinam.

ing.

term.

svilup-

pato

C a b Note

<2300 • • 0.289(D/x)1/2 0.5 0.33 L<20 D teorico

<2300 • 1.860(D/x)1/3 0.33 0.33

<2300 • • 0.664(D/x)1/2 0.5 0.33 teorico parete piana

3000-

30000

• 0.0033 1 0.37

2700-7000 • • 0.01(D/x)0.37 1 0.37

>10000 • • 0.036(D/x)1/18 0.8 0.33

>10000 • 0.032(D/x)1/20 0.8 0.37 liquido riscaldato

>10000 • 0.032(D/x)1/20 0.8 0.30 liquido raffreddato

>10000 • 0.183(D/x)1/3 0.583 0.33 teorico

>10000 • 0.023 0.8 0.40 fluido riscaldato

>10000 • 0.023 0.8 0.30 fluido raffreddato

>10000 • 0.027 0.8 0.33 prodotti petroliferi

12000-

220000

• 0.02(Di/De)0.53 0.8 0.33 anulare, superficie

esterna isolata

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Convezione naturale

Se consideriamo la trasmissione di energia termica da una parete ad un fluido che

occupa un semispazio infinito delimitato dalla parete stessa, dovendo essere nulla la

velocità non solo sulla parete, ma anche a distanza infinita dalla stessa, quindi su tutto il

contorno del sistema, poniamo uguale a zero la velocità di riferimento, ossia Re = 0, da cui

Nu = C Grb Prc

nel caso di moto laminare stazionario anche in questo caso sarà b = c.

Poiché il numero di Reynolds non compare è necessario stabilire un nuovo criterio per

determinare se il moto sia laminare o turbolento. Si definisce allora un nuovo numero puro

Gr Pr = Ra (numero di Rayleigh); sperimentalmente si vede che si ha moto laminare solo

se Ra < 109.

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Situazione Campo di validità Ra Nu = C* Gra *Prb

geometrica Ra = Gr * Pr C a b Note

Superficie <10-5 0.4 0 0 Nu e Gr in funzione

cilindrica 103 ÷ 109 0.53 0.25 0.25 del diametro D

orizzontale 109 ÷ 1012 0.13 0.33 0.33

Superficie piana o 103 ÷ 109 0.59 0.25 0.25 Nu e Gr in funzione

cilindrica verticale 109 ÷ 1012 0.13 0.33 0.33 della verticale L

Superficie piana 105 ÷ 2*107 0.54 0.25 0.25 flusso termico

orizzontale,

quadrata

2*107 ÷ 3*1010 0.14 0.33 0.33 verso l’alto

di lato L 105 ÷ 2*107 0.25 0.25 0.25 verso il basso

Sfera 103 ÷ 107 0.51 0.25 0.25

Strato verticale <2000 Pr 1 0 0 Nu e Gr calcolati

altezza H e

spessore

Pr*2*103 ÷ Pr*2*104 0.18(H/L)-1/9 0.25 0 in funzione di L

L: una parete Pr*2*104 ÷ Pr*2*106 0.065(H/L)-1/9 0.33 0 valide per gas

verticale più calda <103 1 0 0 Idem per liquidi

dell’altra 103 ÷ 107 0.28(H/L)-1/4 0.25 0.25 3<Pr<30000

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Convezione naturale libera

su piastra

Descrive anche il comportamento

su tubo (cilindro) verticale

A destra su tubo orizzontale

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Schema del flusso nella cavità: (a) scaldata da sotto e (b) scaldata da sopra

Il numero adimensionale di Rayleigh per una cavità assume la forma:

Ra = (g . β .Dt . δ3) .Pr / ν2

dove: g = accelerazione gravitazionale; β = coefficiente di dilatazione termica;

Dt = differenza di temperatura tra le due pareti; δ = distanza tra le pareti; ν =

viscosità cinematica; Pr = numero di Prandtl

T 1

T 2

T 2 > T 1

(a)

(b)

T2>T1

T1

T2

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Il rapporto d’aspetto (AR =

L /δ) definito come il

rapporto tra la dimensione

longitudinale della cavità

ed il suo spessore, ossia la

distanza tra le pareti.

Effetto dell’angolo di

inclinazione sul numero di

Nusselt in cavità

[Arnold J.N. et al.,1976].

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